2
.E ∇=
ρε 2
0231.(.)E
∂∇=
=
∂r
E r E r r a
00203.E ∴=∇E
=a
ερε
2.11
两个点电荷－q,+q/2在空间产生的电位： 01
(,,)4x
y z
⎡⎤ϕ=
πε
令(,,)0x y z ϕ= 得方程：
104⎡⎤=πε
方程化简得
2
22242()33x a y z a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭
由此可见，零电位面是以点（4 a /3,0,0）为球心，2 a /3为半径的球面。 2.20
由高斯定理.s
D dS q =⎰
由 00r x r x D E E =εε=εεa 得 0()
x
qd
E s x d =ε+a
由0
.d
x U E dx =⎰ 得 0ln 2qd
U s
=
ε 由
q
C U =
得 0ln 2
s C d ε= 2.22
由于d
a ，球面的电荷可看作均匀分布的
先计算两导体球的电位1ϕ、2ϕ： 则112...d
a
a
d
E dr E dr E dr ∞
∞
ϕ==+⎰⎰⎰
112001144d a d q q q r r ∞
+⎛⎫⎛⎫
=
-+- ⎪ ⎪πεπε⎝⎭⎝⎭ 12
0044q q a d
=
+πεπε '''212...d
a
a
d
E dr E dr E dr ∞
∞
ϕ==+⎰⎰⎰
212001144d a d q q q r r ∞
+⎛⎫⎛⎫
=
-+- ⎪ ⎪πεπε⎝⎭⎝⎭ 12
0044q q d a
=
+πεπε 得 1122014P P a ==
πε，1221
01
4P P d
==πε
由112212
1
2C P P P =
+-得 02ad C d a πε=-
2.25
方法1：
设其中一个极板在yoz 平面，另一极板在x=a 位置 则电容器储能：
22
0122e U W CU a
ε==
当电位不变时，第二个极板移动受力：
2
02
2e
a W U F a
a
ϕ
∂ε=
=-∂ 式中负号表示极板间作用力为吸引力
方法2：
设其中一个极板在yoz 平面，另一极板在x=a 位置 当电荷不变时，
由0.a
x U E dx =⎰ 得 x U E a =
由高斯定理有0.s
q E dS =
ε⎰ 则0
x q E =ε 得 0
qa
U =
ε 由 20122e q a
W qU ==ε 得 2202
022e a q W U q F a a ∂ε=-=-=-∂ε 式中负号表示极板间作用力为吸引力
二 习题答案（第三章）
3. 7
方法1:
设流入球的电流为I ，球的半径为a , 导体球的电流分布为
22==r
I
J e r
π 电场强度为
2
2r J
I E e r σ
πσ=
=
以无穷远处为零点电位，则导体球的电压为
222∞∞===
⎰⎰a a I I
U Edr dr r a
πσπσ 接地电阻为
土壤损耗的功率为
22
61.5910 (W)2==
=⨯I P I R a
πσ
方法2:
设半球表面的总电荷为q ，球的半径为a
电场强度为
2
2=
r q
E r πε
以无穷远处为零点电位，则导体球的电压为
2∞
==
⎰r a q
U E dr a
πε
导体球的电容
由静电比拟法可直接得: G=2a πσ
接地电阻为 1
2=R a
πσ
土壤损耗的功率为
22
61.5910 (W)2==
=⨯I P I R a
πσ
3.12
在圆柱坐标系计算,取导体中轴线和z 轴重合,磁场只有e φ方向分量,大小只跟r 有关,
由安培环路定理:
'0.2B l ==⎰
C
d rB I φπμ
当≤r a 时,'0=I ,
0=B φ
12==
U R I a
πσ2==q
C a U
πε
