1-1-1 三角函数
第一章--三角函数(北师大新版)
第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数1、锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ．即sinA=斜边边的对A ∠=ca．（2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．即cosA=斜边邻边的A ∠=c b．（3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA ．即tanA=边对边的邻A ∠的A ∠=ba．（4）三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．锐角三角函数的定义1．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝，BE=2，则tan ∠DBE 的值（ ） A 、 B 、2 C 、D 、第1题 第2题 第3题2．如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是（ ）A ．BD BCB ．BC ABC ．ADAC D ．CD AC3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是 ．4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是 ．第4题 第5题 第6题 第7题 5．如图，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB=_______________. 6．如图，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sin A 的值为 ． 7．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为 ．8．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于23，则sin ∠CAB= ．9．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sinα= ．2.2 30°、45°、60°角的三角函数值1、同角三角函数的关系（1）平方关系：sin 2A+cos 2A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=AAcos sin 或sinA=tanA•cosA ．2、互余两角的三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos （90°-∠A ）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin （90°-∠A ）； 也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB 或sinB=cosA ． 3、特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值1．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠1=22，则∠2的度数为 ．2．若2cos （α+15°）=1，则α= 度． 3．在△ABC 中，若，∠A ，∠B 都是锐角，则∠C的度数是 ．2.4 解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°； ②三边之间的关系：a 2+b 2=c 2； ③边角之间的关系：sin A=c a ，cos A=c b ，tan A=ba ． 基础训练1．如图，在△ABC 中，cosB=22，sinC=53，AC=10，则△ABC 的面积为 ．第1题 第2题 第3题 2．如图，在 Rt △ABO 中，斜边 AB=1，若 OC ∥BA ，∠AOC=36°，则下面四个结论： ①点B 到AO 的距离为sin54°； ②点B 到AO 的距离为tan36°；③点A 到OC 的距离为sin36°•sin54°； ④点A 到OC 的距离为cos36°•sin54°． 其中正确的是 （填序号）．3．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ．4．如图，在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则tan ∠BDE 的值等于 ．第4题 第5题 第6题5．如图，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD=3，cos B=53，则AC 的长为 ．6．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，若AB=6，AD=8，sin ∠OEA= ．7．如图，△ABC 中，∠A=30°，tan B ＝23，AC=23，则AB 的长为 ．8．如图，已知AC=4，求AB 和BC 的长．9．如图，已知在△ABC 中，∠ABC=30°，BC=8，sin ∠A=55，BD 是AC 边上的中线．求： （1）△ABC 的面积； （2）∠ABD 的正切值．拓展提升1．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE=2AE ，已知AD=33，tan ∠BCE=33，那么CE 等于 ．第1题 第2题 第3题2．如图，已知点A （53，0），直线y=x+b （b ＞0）与y 轴交于点B ，连接AB ，∠α=75°，则b= ． 3．在Rt △ACB 中，∠C=90°，点D 是AC 的中点，cos ∠CBD=415，则sin ∠ABD= ． 4．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为 。
(完整版)三角函数三角函数公式表
(完整版)三角函数公式表1. 正弦函数 (sin):定义：正弦函数是直角三角形中对边与斜边的比值。
公式：sin(θ) = 对边 / 斜边范围：1 ≤ sin(θ) ≤ 1特殊值：sin(0°) = 0, sin(30°) = 1/2, sin(45°) = √2/2, sin(60°) = √3/2, sin(90°) = 12. 余弦函数 (cos):定义：余弦函数是直角三角形中邻边与斜边的比值。
公式：cos(θ) = 邻边 / 斜边范围：1 ≤ cos(θ) ≤ 1特殊值：cos(0°) = 1, cos(30°) = √3/2, cos(45°) = √2/2, cos(60°) = 1/2, cos(90°) = 03. 正切函数 (tan):定义：正切函数是直角三角形中对边与邻边的比值。
公式：tan(θ) = 对边 / 邻边范围：tan(θ) 可以取任意实数值特殊值：tan(0°) = 0, tan(30°) = 1/√3, tan(45°) = 1, tan(60°)= √3, tan(90°) 不存在（无穷大）4. 余切函数 (cot):定义：余切函数是直角三角形中邻边与对边的比值。
公式：cot(θ) = 邻边 / 对边范围：cot(θ) 可以取任意实数值特殊值：cot(0°) 不存在（无穷大）, cot(30°) = √3, cot(45°) = 1, cot(60°) = 1/√3, cot(90°) = 05. 正割函数 (sec):定义：正割函数是直角三角形中斜边与邻边的比值。
公式：sec(θ)= 1 / cos(θ)范围：sec(θ) 可以取任意实数值特殊值：sec(0°) = 1, sec(30°) = 2, sec(45°) = √2, sec(60°) = 2/√3, sec(90°) 不存在（无穷大）6. 余割函数 (csc):定义：余割函数是直角三角形中斜边与对边的比值。
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
高中数学第一章三角函数11任意角和弧度制111任意角知识巧解学案
1。
1.1 任意角疱工巧解牛知识•巧学一、正角、负角、零角1.一条射线的端点是O，它从初始位置OA旋转到终止位置OB,形成一个角α，点O是角α的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边、终边。
我们规定,按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，这样就把角的概念推广到了任意角。
旋转一周角的大小记为360°，如图1—1-1.图1—1-12.由于图1-1-1（1）中的α、β分别是按逆时针、顺时针方向旋转的，所以α=45°，β=—315°；图1—1-1(2)中的α=30°,β=390°，γ=-60°。
显然角的大小与旋转的周数有关，角的正负与旋转的方向有关.图1—1—2如图1-1-2，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置,接着再旋转-30°到OC的位置，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°）=60°。
学法一得引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化α—β为α+(-β)，也就是说各角和的旋转量等于各角旋转量的和。
3。
在画图表示角时,常用带箭头的弧来表示旋转的方向,旋转的周数及角的绝对值的大小,旋转生成的角,又常称为转角。
显然,如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的始边为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小.二、象限角1。
若把角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除顶点外）在第几象限，我们说这个角是第几象限角.图1—1—3例如：由于图1—1-3甲中的角45°、405°、-315°都是始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角;同理图1-1-3乙中的角480°是第二象限的角，—70°、290°都是第四象限的角.2。
高中数学必修一课件：三角函数的概念
【分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号．
【解析】 (1)∵105°，－230°均为第二象限角， ∴sin 105°>0，cos(－230°)<0.于是sin 105°cos(－230°)<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则sin 78π>0，tan 78π<0.∴sin 78πtan 78π<0.
1
2
4．sin 390°＝____2____；cos(－315°)＝____2____；tan
8π 3 ＝__－___3___．
5．判断sin 3cos 4tan－234π的符号． 解析 ∵π2 <3<π，π<4<3π 2 ，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan－234π>0.
1．对三角函数概念的理解应注意什么？ 答：①三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终 边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值大小只与角有关．
②符号sin α，cos α，tan α各自是一个整体，离开“α”，“sin” “cos”“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘
课时学案
题型一 利用定义求值
例1 (1)求4π 3 的正弦值、余弦值和正切值．
【解析】
①sin
4π 3 ＝sinπ＋π3 ＝－sin
π 3 ＝－
23，
②cos 4π 3 ＝cosπ＋π3 ＝－cos π3 ＝－12，
③tan
4π 3 ＝tanπ＋π3 ＝tan
三角函数展开式
三角函数展开式
三角函数展开式是指将三角函数表达式按照一定规律展开成一系列三角函数的和或积的形式。
三角函数展开式在数学中具有很大的作用和意义，它们可以用于求解各种三角函数的复杂问题，如证明恒等式、求解三角方程、计算三角函数的值等等。
以下是常见的三角函数展开式：
1. 正弦函数展开式
sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny
sin(x-y) = sinxcosy - cosxsiny
sin(2x) = 2sinxcosx
sin(3x) = 3sinx - 4sin^3x
2. 余弦函数展开式
cos(x+y) = cosxcosy - sinxsiny
cos(x-y) = cosxcosy + sinxsiny
cos(2x) = cos^2x - sin^2x = 2cos^2x - 1 = 1 - 2sin^2x cos(3x) = 4cos^3x - 3cosx
3. 正切函数展开式
tan(x+y) = (tanx+tany)/(1-tanxtany)
tan(x-y) = (tanx-tany)/(1+tanxtany)
tan(2x) = 2tanx/(1-tan^2x)
tan(3x) = (3tanx-tan^3x)/(1-3tan^2x)
三角函数展开式的应用非常广泛，不仅在数学中有很多应用，也
在物理、工程等领域中发挥着巨大的作用。
因此，学习和掌握三角函数展开式对于我们理解和掌握数学知识，提高数学水平非常重要。
人教版高中数学必修1《三角函数的概念》PPT课件
• [方法技巧]
• 有关三角函数值符号问题的解题策略
• (1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两 个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的 公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情 况．
• (2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨 论．
()
• A．第一象限 二象限
B．第
• C．第三象限
D．第四象限
• (2)判断下列各式的符号：
• ①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°；
• ②tan 191°－cos 191°；
• ③sin 2cos 3tan 4.
• [解析] (1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
则 sin θ＋tan θ＝3
10－30 10 .
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x 经过第二、四象限． 在第二象限取直线上的点(－1， 3)， 则 r＝ －12＋ 32＝2， 所以 sin α＝ 23，cos α＝－12，tan α＝－ 3； 在第四象限取直线上的点(1，－ 3)， 则 r＝ 12＋－ 32＝2， 所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3.
• 可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0，
• 所以角θ所在的象限是第三象限．
答案：C (2)①∵2 020°＝1 800°＋220°＝5×360°＋220°， 2 021°＝5×360°＋221°，2 022°＝5×360°＋222°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 020°<0，cos 2 021°<0，tan 2 022°>0， ∴sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°>0. ②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. ③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<32π， ∴2 是第二象限角，3 是第二象限角，4 是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0.
三角函数公式和图像大全[1]
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初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质反三角函数的图形反三角函数的性质三角函数公式两角和公式sin(A+B ） = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B ） = sinAcosB —cosAsinB cos （A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos （A —B ） = cosAcosB+sinAsinBtan （A+B ） =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A —B ） =tanAtanB 1tanBtanA +-cot （A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot （A —B ） =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA •CosACos2A = Cos 2A —Sin 2A=2Cos 2A —1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA —4(sinA ）3 cos3A = 4（cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan （3π—a ）半角公式sin （2A )=2cos 1A - cos(2A）=2cos 1A + tan(2A）=A A cos 1cos 1+- cot （2A）=AA cos 1cos 1-+ tan （2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba -sina-sinb=2cos2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos （a —b)] cosacosb = 21［cos(a+b)+cos(a —b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)］ cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a —b ）］ 诱导公式sin （—a) = -sinacos(—a) = cosasin （2π-a) = cosacos （2π—a) = sina sin （2π+a) = cosa cos （2π+a ） = —sina sin （π-a) = sinacos （π—a ） = -cosasin(π+a) = -sinacos(π+a） = -cosa tgA=tanA =aa cos sin万能公式 sina=2)2(tan 12tan2a a+ cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2)2(tan 12tan 2a a -其它公式a •sina+b •cosa=)b (a 22+×sin （a+c) ［其中tanc=ab ］a •sin(a ）—b •cos(a ） = )b (a 22+×cos(a —c ） [其中tan （c)=b a ］1+sin （a) =(sin 2a +cos 2a )21-sin(a ） = （sin 2a -cos 2a ）2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec （a) =a cos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -a acosh （a)=2e e -a a tg h （a ）=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α)= tanαcot （2kπ＋α)= cotα公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin （π＋α）= -sinαcos （π＋α）= —cosαtan （π＋α）= tanαcot （π＋α）= cotα公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(—α)= —sinαcos(-α)= cosαtan （-α）= -tanαcot （—α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的关系：sin （π—α）= sinαcos （π—α）= —cosαtan(π—α)= -tanαcot(π-α）= —cotα公式五利用公式—和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系:sin （2π-α）= —sinαcos(2π-α）= cosαtan （2π—α)= -tanαcot （2π—α）= —cotα公式六2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π+α）= cosα cos(2π+α)= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= —tanαsin （2π-α)= cosαcos （2π-α）= sinαtan （2π—α）= cotα cot(2π-α）= tanαsin （23π+α）= —cosα cos(23π+α)= sinαtan （23π+α)= -cotαcot （23π+α）= -tanαsin （23π-α）= -cosαcos （23π-α）= —sinα tan(23π—α)= cotαcot （23π-α)= tanα(以上k∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A •sin(ωt+θ）+B •sin(ωt+φ） =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=（a+b)（a-b) a3+b3=(a+b ）(a2-ab+b2） a3—b3=（a-b)（a2+ab+b2）三角不等式｜a+b｜≤｜a｜+｜b||a-b｜≤｜a｜+|b｜｜a|≤b<=>-b≤a≤b｜a-b｜≥｜a|-|b|—｜a｜≤a≤｜a｜一元二次方程的解-b+√(b2-4ac）/2a -b-b+√（b2-4ac）/2a 根与系数的关系X1+X2=—b/aX1*X2=c/a注:韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注:方程有一个实根b2—4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B）=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B）=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan（A+B）=(tanA+tanB）/(1-tanAtanB） tan(A—B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB）ctg(A+B)=（ctgActgB-1)/（ctgB+ctgA) ctg（A—B)=(ctgActgB+1)/（ctgB-ctgA）倍角公式tan2A=2tanA/(1—tan2A) ctg2A=(ctg2A—1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a半角公式sin(A/2）=√（（1-cosA）/2） sin（A/2)=—√(（1-cosA)/2)cos（A/2）=√（（1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA）/2）tan(A/2)=√(（1—cosA）/（（1+cosA）） tan(A/2)=—√((1-cosA)/((1+cosA））ctg（A/2)=√(（1+cosA）/((1—cosA）) ctg（A/2）=—√(（1+cosA）/（(1—cosA））和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A—B） 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A—B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin（A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)—cos（A-B)sinA+sinB=2sin（(A+B）/2)cos((A—B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin(（A-B）/2)tanA+tanB=sin（A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B）/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB —ctgA+ctgBsin（A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n（n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n（n+1）（2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2（n+1)2/41*2+2＊3+3＊4+4*5+5*6+6＊7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2—2accosB注:角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/（a-b）]={［Tan(a+b）/2］/［Tan（a—b)/2］}圆的标准方程(x—a）2+（y—b)2=r2 注：（a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2—4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=—2py直棱柱侧面积S=c＊h斜棱柱侧面积S=c'＊h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c'）h’圆台侧面积S=1/2(c+c’）l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi＊r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2＊c＊l=pi＊r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r 〉0 扇形面积公式s=1/2*l*r(完整word版)三角函数公式和图像大全(word版可编辑修改) 锥体体积公式V=1/3＊S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi＊r2h斜棱柱体积V=S’L注：其中,S’是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式V=s＊h圆柱体V=pi＊r2h。
三角形及三角函数公式
三角函数一共有6个:直角三角形中:正弦:sin 对边比斜边余弦:cos 邻边比斜边正切:tan 对边比邻边余切:cot 邻边比对边正割:csc 斜边比对边余割:sec 斜边比邻边设三角形三个内角分别为A,B,C;对边分别为a,b,c正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,(R为该三角形外接圆半径)余弦定理:c2=a2+b2-2abcosCb2=a2+c2-2accosBa2=b2+c2-2bccosA由余弦定理可推导出:a=bcosC+ccosBb=ccosA+acosCc=acosB+bcosA海仑公式:SΔABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],而公式里的p为半周长: p=(a+b+c)/21 三角函数公式大全一,诱导公式口诀:(分子)奇变偶不变,符号看象限.1. sin (α+k·360)=sin αcos (α+k·360)=cos atan (α+k·360)=tan α2. sin(180°+β)=-sinαcos(180°+β)=-cosa3. sin(-α)=-sinacos(-a)=cosα4*. tan(180°+α)=tanαtan(-α)=tanα5. sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosα6. sin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosα7. sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinα8*. Sin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinα9*. Sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+a)=-sinα10*.sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinα二,两角和与差的三角函数1. 两点距离公式2. S(α+β): sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβC(α+β): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ3. S(α-β): sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβC(α-β): cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ4. T(α+β):T(α-β):5*.三,二倍角公式1. S2α: sin2α=2sinαcosα2. C2a: cos2α=cos2α-sin2a3. T2α: tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)4. C2a': cos2α=1-2sin2αcos2α=2cos2α-1四*,其它杂项(全部不可直接用)1.辅助角公式asinα+bcosα=sin(a+φ),其中tanφ=b/a,其终边过点(a, b) asinα+bcosα=cos(a-φ),其中tanφ=a/b,其终边过点(b,a) 2.降次,配方公式降次:sin2θ=(1-cos2θ)/2cos2θ=(1+cos2θ)/2配方1±sinθ=[sin(θ/2)±cos(θ/2)]21+cosθ=2cos2(θ/2)1-cosθ=2sin2(θ/2)3. 三倍角公式sin3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3-3cosθ4. 万能公式5. 和差化积公式sinα+sinβ= 书p45 例5(2)sinα-sinβ=cosα+cosβ=cosα-cosβ=6. 积化和差公式sinαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] 书p45 例5(1) cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]sinαsinβ-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]7. 半角公式书p45 例4小计:57个另：三角函数口诀三角知识，自成体系，记忆口诀，一二三四。
01-三角函数1——三角函数的基本概念(1)
教师李聪学生姓名填写时间年级学科数学上课时间阶段基础（）提高（）强化（）课时计划第（）次课共（）次课教学目标教学难点教学过程题型一：任意角与弧度制【例1】下列各对角中终边相同的角是（）。
A2π和2()2Zk kππ-+∈B3π-和223C79π-和119πD203π和1229π【例2】若角α、β的终边相同，则αβ-的终边在.典例分析三角函数的基本概念（1）A.x 轴的非负半轴上B.y 轴的非负半轴上C.x 轴的非正半轴上D.y 轴的非正半轴上【例3】 时钟经过一小时，时针转过了（ ）。
A 6rad πB 6rad π-C12rad πD 12rad π-【例4】 两个圆心角相同的扇形的面积之比为1:2，则两个扇形周长的比为（ ）A 1:2B 1:4C 1:2D 1:8【例5】 下列命题中正确的命题是（ ）A 若两扇形面积的比是1:4，则两扇形弧长的比是1:2B 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值C 若扇形的面积一定，则弧长存在最小D 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系【例6】 一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）A. 21(2sin1cos1)2R -⋅ B21sin1cos12R ⋅ C212RD 2(1sin1cos1)R -⋅【例7】 下列说法正确的有几个（ ）（1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于90的角是锐角；（4）090的角是锐角。
A 1个B 2个C 3个D 4个【例8】 下面四个命题中正确的是（ ）A.第一象限的角必是锐角B.锐角必是第一象限的角C.终边相同的角必相等D.第二象限的角必大于第一象限的角【例9】 已知角α的终边经过点(33)P -，，则与α终边相同的角的集合是.A.2π2π3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ， B.5π2π6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，C.5ππ6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，D.2π2π3x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，【例10】 若α是第四象限角，则180α-是（ ）A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角【例11】 若α与β的终边互为反向延长线，则有（ ）A 180αβ=+B 180αβ=-C αβ=-D (21)180,k k Z αβ=++⋅∈【例12】 与1840终边相同的最小正角为________，与1840-终边相同的最小正角是________。
高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
探究二
探究三
(1)解析:依题意,x2+
5
3
2
3
α=± ,tan α=
2
3
答案:
5
±3
5
±3
思维辨析
2 2
=1,解得
3
5
x=± 3 ,于是
2
sin α=3,cos
2 5
.
5
=±
2 5
5
±
(2) 解析:由已知得 x=-6,y=8,
8
10
所以 r= 2 + 2 =10,于是 sin θ=
8
-6
4
4
一
二
三
3.做一做:求值
(1)sin 780°;
25
(2)cos 4 π;
(3)tan
15
-4π
.
3
2
解:(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= .
25
π
π
2
(2)cos 4 π=cos 3 × 2π + 4 =cos4 = 2 .
15
π
π
(3)tan - 4 π =tan -2 × 2π + 4 =tan4=1.
第27页
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视对参数的分类讨论致误
【典例】 角 α 的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则 cos
α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
-3 3
α= 5 =-5.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
三角函数1
三角函数百科名片角θ的所有三角函数三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
目录定义起源基本公式相关计算相关概念高等数学内容三角函数的性质定理三角函数在解三次方程中的应用定义起源基本公式相关计算相关概念高等数学内容三角函数的性质定理三角函数在解三次方程中的应用展开编辑本段定义直角三角定义它有六种基本函数(初等基本表示)：三角函数数值表（斜边为r，对边为y，邻边为x。
）在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有正弦函数sinθ=y/r 正弦（sin）:角α的对边比斜边余弦函数cosθ=x/r 余弦（cos）:角α的邻边比斜边正切函数tanθ=y/x 正切（tan）:角α的对边比邻边余切函数cotθ=x/y 余切（cot）:角α的邻边比对边正割函数secθ=r/x 正割（sec）:角α的斜边比邻边余割函数cscθ=r/y 余割（csc）:角α的斜边比对边以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versinθ =1-cosθ余矢函数coversθ =1-sinθsinα、cosα、tanα的定义域：sinα定义域无穷，值域 [-1，1]cosα定义域无穷，值域 [-1，1]tanα的定义域（-π/2+kπ，π/2+kπ），k属于整数，值域无穷单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
三角函数知识点归纳(3)[1]
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三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角（1）角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°（k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P (x ，y ),它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝错误!，cos α＝错误!，tan α＝错误!．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A 。
三角函数公式大全[1]
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三角函数公式三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义城为整个实数城。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷敖列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
公式分类锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式sin2A=2sinA•cosAcos2A=cosA;方-sinA方;A=1-2sin²A=2cos²A-1tan2A=（2tanA）÷（1-tan^2A）三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanαcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tanαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }√表示根号,包括{……}中的内容诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α)= sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(c osα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtan BtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)[编辑本段]内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
三角函数公式(最全)
正弦定理变形可得：
五、其他公式
2、余弦定理
对于如图所示的边长为a、b、c而相应角为α、β、γ的△ABC， 有：
3、降幂公式
sin²α=[1-cos(2α)]/2 cos²α=[1+cos(2α)]/2 tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]
4、三角和
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+ cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)k-1xk/k, x∈(-1,1)
sin x = x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R
cos x = 1-x2/2!+x4/4!-…+(-1)kx2k/(2k)!+…, x∈R
arcsin x = x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2* 4*6*7)…+(2k+1)!!*x2k+1/(2k!!*(2k+1))+…, x∈(-1,1)（!!表 示双阶乘）
1
一、定义公式
三角函数公式
锐角三角函数 任意角三角函数
正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或tg） 余切（cot或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或tg） 余切（cot或ctg） 正割（sec） 余割（csc）
1、倒数关系
二、函数关系
(完整版)三角函数最全知识点总结
三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角．②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角．③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角．(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.象限角轴线角2．弧度制(1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__.(2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__.(3)角度与弧度的换算：360°＝__2π__rad,1°＝__π180＝(__180π__)≈57°18′.(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__，面积S＝__12|α|r2__＝__12lr__.3．任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝__yr__，cosα＝__xr__，tanα＝__yx__.(2)三角函数在各象限的符号是：(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝__sinα__，cos(α＋k·2π)＝__cosα__，tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．重要结论1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．2．确定αk(k∈N*)的终边位置的方法(1)讨论法：①用终边相同角的形式表示出角α的范围．②写出αk的范围．③根据k的可能取值讨论确定αk的终边所在位置．(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求αk是第几象限角．①等分：将每个象限分成k等份．②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．③选答：出现数字m的区域，即为αk所在的象限．如α2判断象限问题可采用等分象限法．二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：__sin 2x ＋cos 2x ＝1__. (2)商数关系：__sin xcos x ＝tan x __.2．三角函数的诱导公式1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x ·cos x ，tan 2x ＋1＝1cos 2x ，(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x 等． 2．特殊角的三角函数值表“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．4.sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．三、两角和与差的三角函数 二倍角公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝__2sin αcos α__；(2)cos2α＝__cos 2α－sin 2α__＝__2cos 2α__－1＝1－__2sin 2α__； (3)tan2α＝__2tan α1－tan 2α__(α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2，k ∈Z )． 3．半角公式(不要求记忆) (1)sin α2＝±1－cos α2； (2)cos α2＝±1＋cos α2；(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.重要结论1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2. 2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. 3．公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)． 1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)；1＋tan α1－tan α＝tan(π4＋α)cos α＝sin2α2sin α，sin2α＝2tan α1＋tan 2α，cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，1±sin2α＝(sin α±cos x )2.4．辅助角(“二合一”)公式： a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝ 5.三角形中的三角函数问题在三角形中，常用的角的变形结论有：A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π；A2＋B 2＋C 2＝π2.三角函数的结论有：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .四、三角函数的图象与性质1．周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，__2kπ(k∈Z，k≠0)__都是它们的周期，最小正周期是__2π__.2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质π重要结论1．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是__(0,0)__、__(π2，1)__、__(π，0)__、__(3π2，－1)__、__(2π，0)__.函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、__(π2，0)__、__(π，－1)__、__(3π2，0)__、__(2π，1)__.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π|ω|，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.3．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．4．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．五、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1．五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的图象(1)列表： (2)描点：__(－φω，0)__，__(π2ω－φω，A )__，(πω－φω，0)，(3π2ω－φω，－A )__，(2πω－φω，0)__.(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间长度为一个周期内的图象．(4)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象2．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈[0，＋∞)的物理意义 (1)振幅为A . (2)周期T ＝__2πω__.(3)频率f ＝__1T __＝__ω2π__. (4)相位是__ωx ＋φ__. (5)初相是φ.重要结论1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间的“长度 ”为T2.2．“五点法”作图中的五个点：①y ＝A sin(ωx ＋φ)，两个最值点，三个零点；②y ＝A cos(ωx ＋φ)，两个零点，三个最值点．3．正弦曲线y ＝sin x 向左平移π2个单位即得余弦曲线y ＝cos x .六、正弦定理、余弦定理1．正弦定理和余弦定理 ①a ＝__2R sin A __，b ＝__2R sin B __，c ＝__2R sin C __；②sin A ＝__a 2R __，sin B ＝__b2R__，sin C＝__c2R __；③ab c ＝__sin Asin B sin C __④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Aa <b sin A a ＝b sin A b sin A < a <b a ≥b a >b a ≤b (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．重要结论在△ABC 中，常有以下结论 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.2．在三角形中大边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 5．tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .6．∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .7．三角形式的余弦定理sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ，sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －2sin A sin C cos B ，sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C .8．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π3]；若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π3. 9.三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B )＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．。
三角函数对照表(转)
tan90=无
cot0=无
cot30=1.732050808 根号3
cot45=1
cot60=0.577350269 三分之根号3
cot90=0
（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。（见下）
（3）锐角三角函数值的变化情况
（1）特殊角三角函数值
பைடு நூலகம்
sin0=0
sin30=0.5
sin45=0.7071 二分之根号2
sin60=0.8660 二分之根号3
sin90=1
cos0=1
cos28=0.882947592858927 cos29=0.8746197071393957 cos30=0.8660254037844387
cos31=0.8571673007021123 cos32=0.848048096156426 cos33=0.838670567945424
cos16=0.9612616959383189 cos17=0.9563047559630355 cos18=0.9510565162951535
cos19=0.9455185755993168 cos20=0.9396926207859084 cos21=0.9335804264972017
sin34=0.5591929034707468 sin35=0.573576436351046 sin36=0.5877852522924731
sin37=0.6018150231520483 sin38=0.6156614753256583 sin39=0.6293203910498375
sin16=0.27563735581699916 sin17=0.2923717047227367 sin18=0.3090169
周期变化1-1-三角函数
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随堂巩固验收
03
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
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1．下列现象是周期现象的有( D ) ①太阳的东升西落；②月亮的圆缺；③太阳表面的太阳黑子活动；④心脏的收缩与舒 张． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
[解析] 由周期现象的描述知①②③④均为周期现象．
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课堂互动探究
02
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
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题型一 生活中的周期现象 【典例 1】 (1)我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这 12 种动物按顺序轮流代表 各年的年号，2016 年是猴年，那么 1949 年是( A ) A．牛年 B．虎年 C．兔年 D．龙年 (2)受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高 度 y(米)是时间 t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作 y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
2．周期函数的定义 一般地，对于函数 y＝f(x)，x∈A，如果存在一个非零常数 T，使得对任意的 x∈A， 都有 x＋T∈A 且满足 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数 y＝f(x)称作周期函数，非零常数 T 称这个 函数的周期．
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[温馨提示](1)周期函数的定义是对定义域中的每一个值来说的．如果只有个别的 x 值 满足 f(x＋T)＝f(x)，那么 T 是不能称为 f(x)的周期的．
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2．若 f(x)的最小正周期 T＝1，则下列选项不是 f(x)的周期是( B ) A．－1 B．0 C．2 D．－2
三角函数的巧记方法
三角函数的巧记方法我折腾了好久三角函数的巧记方法，总算找到点门道。
我一开始学三角函数的时候，那叫一个头疼啊。
就那些什么正弦、余弦、正切、余切的，公式一大堆，记忆起来特别混乱。
我试过的一个方法是画图像记忆。
你想啊，正弦函数y = sin x的图像是那种波浪形的，就像海上的波浪一样，它在0到2π这个区间内有完整的起伏。
而且它的取值范围是-1到1 ，就像一个人在一定的高度里上上下下，高峰就是1，低谷就是-1。
然后记住特殊点，像sin 0 = 0 ，sin(π/2) = 1 ，sin(π) = 0 ，sin(3π/2)= -1 ，sin(2π) = 0 。
这就好像你在波浪上标记了几个特别的地方，有了这些标记，整个函数的轮廓就容易记多了。
但是这个方法有个问题，就是当我记忆函数性质的时候，还是容易混。
像单调性，奇偶性这些。
后来我又尝试结合单位圆来记。
我就把三角函数看作是单位圆上的线段比例什么的。
比如说，对于一个角θ，它的正弦就是y轴坐标与斜边（半径为1，就是单位圆的半径）的比值，余弦就是x 轴坐标与斜边的比值。
这个方法对于理解正弦和余弦之间的关系很有帮助，比如说sin²θ+cos²θ= 1 ，你从单位圆的角度看，就好像是直角三角形的勾股定理，x²+ y²= 1嘛（因为半径是1）。
不过这个时候，正切和余切又让我迷糊了。
正切是正弦除以余弦，tan θ= sinθ/cosθ，我总是忘记这个除法关系。
我就想啊，你看正切函数y = tan x的图像，它有那么多的渐近线，为什么呢？因为cosθ有时候会等于0 。
就像一条路走到某个地方突然断了似的，这样我就比较好地记住了正切函数不能取到那些cosθ为0的值。
然后我发现，自己总结口诀也很有用。
像“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，这个口诀是说在第一象限里所有三角函数值都是正的，第二象限里只有正弦值是正的，以此类推。
记住这个口诀，在判断三角函数值正负的时候就快多了。
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成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
自主预习
1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ___si_an_A_＝__s_ibn_B__＝__s_inc_C_____.
第一章 1.1 第1课时
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第一章
第 1 课时 正弦定理
第一章 解三角形
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课前自主预习 课堂典例讲练
名师辨误做答 课后强化作业
第一章 1.1 第1课时
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课前自主预习
第一章 1.1 第1课时
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第一章 1.1 第1课时
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在△ABC 中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求边 b 的长及△ABC 外接圆的半径 R.
[解析] 已知 B＝30°，C＝45°，c＝1.
由正弦定理，得sibnB＝sincC＝2R，
所以 b＝cssiinnCB＝1×sinsi4n53°0°＝ 22，
已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形 已知在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°， 解这个三角形． [分析] 在△ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可运 用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．
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第一章 1.1 第1课时
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不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； (3)a＝9，b＝10，A＝60°； (4)c＝50，b＝72，C＝135°.
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温故知新
在初中，我们学习过直角三角形中的边角关系，那么在 Rt△ ABC 中(如图)，有________、________、________.
[答案]
ac＝sinA
bc＝sinB
c csinC
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新课引入
“无限风光在险峰”，在充满象征色彩的诗意里，对险峰的 慨叹跃然纸上，成为千古之佳句．对于难以到达的险峰应如何测 出其海拔高度呢？能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下方的险 峰海拔高度吗？在本节中，我们将学习正弦定理，借助已学的三 角形的边角关系解决类似于上述问题的实际问题.
60°<B<90°. ∴对应的钝角 B 有 90°<B<120°，也满足 A＋B<180°，所以△
ABC 有两解．
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(4)sinB＝bsicnC＝725si0nC>sinC＝ 22， ∴B>45°， ∴B＋C>180°，∴△ABC 无解．
对正弦定理的理解： (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的 正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的 正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关 系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系 的转化．
B．4 3 22
D. 3
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[分析] 已知两角，由三角形内角和定理第三角可求，已 知一边可由正弦定理求其它两边．
[答案] C [解析] 在△ABC 中，A＝180°－(B＋C)＝45°，由正弦定 理sianA＝sibnB得，b＝assiinnAB＝8s·sinin4650°°＝4 6. ∴选 C.
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2．正弦定理的变形公式 (1)a＝bssiinnBA＝__css_iin_nC_A_， b＝assiinnAB＝_c_ss_iin_nC_B_， c＝assiinnAC＝_b_ss_iin_nB_C_.
第一章 1.1 第1课时
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有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形； ②正弦定理不适用于钝角三角形； ③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定 值； ④在△ABC 中，sinA B C＝a b c.
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[解析] 由正弦定理及已知条件有sin3A＝sin425°，
得 sinA＝ 23，asinB＝
3sin45°＝
6 2<
2.
∴∠A 有两解，∴A＝60°或 120°.
当 A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝bssiinnBC＝
s2isni4n57°5°＝
6＋ 2
2 .
当 A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
②在△ABC 中，已知 a、b 和 A，以点 C 为圆心，以边长 a 为 半径画弧，此弧与除去顶点 A 的射线 AB 的公共点的个数即为三角 形的个数，解的个数见下表：
A 为钝角 A 为直角
A 为锐角
a>b a＝b
一解 无解
一解 无解
一解 一解
a>bsinA 两解
a<b
无解
无解 a＝bsinA 一解
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(2)sinA＝asibnB＝__a_si_cn_C_， sinB＝bsianA＝__b_s_icn_C__， sinC＝csianA＝_c_s_ibn_B__. (3)a:b:c＝___s_in_A__:s_i_n_B_:_si_n_C____.
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
解三角形
第一章 解三角形
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第一章
1．1 正弦定理和余弦定理
第一章 解三角形
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第一章 1.1 第1课时
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在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC 等于( )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[答案] A [解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
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建模应用引路
三角形形状的判断
(2012～2013 学年度江西九江一中高二期中测 试)在△ABC 中，a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边，若 acosA＝bcosB，则△ABC 一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
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a<bsinA 无解
第一章 1.1 第1课时
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图示已知 a、b、A，△ABC 解的情况． (ⅰ)A 为钝角或直角时解的情况如下：
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(ⅱ)A 为锐角时，解的情况如下：
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[解析] 由正弦定理，得sianA＝sibnB， ∴sinB＝bsianA＝4 3×4sin30°＝ 23， 又∵b>a，∴B>A，∴B＝60°或 120°.
第一章 1.1 第1课时
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[答案] D
[分析] 判断三角形形状通常从三角形内角的关系确定， 也可以从三角形三边关系确定．本题由条件式可考虑应用正弦 定理把边化为角，寻找三角形角与角之间的关系，然后予以判 定．
第一章 1.1 第1课时
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[解析] 由正弦定理，得ab＝ssiinnAB. 又 acosA＝bcosB，即ab＝ccoossBA，∴ssiinnAB＝ccoossBA， 即 sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B. ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B.∴A＝B 或 A＋B＝2π. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选 D.
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(3)已知两边及其中一边对角，判断三角形解的个数的方法： ①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的 个数．
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[解析]
(1)sinB＝bsina120°＝45×
3 2<
23，
∴△ABC 有一解．