相似三角形中考试题选编(含答案)

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专题14 相似三角形-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)

专题14 相似三角形-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)

专题14.相似三角形一、单选题1.(2021·浙江温州市·中考真题)如图,图形甲与图形乙是位似图形,O 是位似中心,位似比为2:3,点A ,B 的对应点分别为点A ',B '.若6AB =,则A B ''的长为( )A .8B .9C .10D .152.(2021·四川遂宁市·中考真题)如图,在△ABC 中,点D 、E 分别是AB 、AC 的中点,若△ADE 的面积是3cm 2,则四边形BDEC 的面积为( )A .12cm 2B .9cm 2C .6cm 2D .3cm 23.(2021·重庆中考真题)如图,△ABC 与△BEF 位似,点O 是它们的位似中心,其中OE =2OB ,则△ABC 与△DEF 的周长之比是( )A .1:2B .1:4C .1:3D .1:94.(2021·江苏连云港市·中考真题)如图,ABC 中,BD AB ⊥,BD 、AC 相交于点D ,47AD AC =,2AB =,150ABC ∠=︒,则DBC △的面积是( )A B C D5.(2021·浙江绍兴市·中考真题)如图,Rt ABC 中,90BAC ∠=︒,1cos 4B =,点D 是边BC 的中点,以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ,使ADE B ∠=∠,连结CE ,则CE AD的值为( )A .32BCD .26.(2021·重庆中考真题)如图,在平面直角坐标系中,将OAB 以原点O 为位似中心放大后得到OCD ,若()0,1B ,()0,3D ,则OAB 与OCD 的相似比是( )A .2:1B .1:2C .3:1D .1:37.(2020·广西贵港市·中考真题)如图,在ABC 中,点D 在AB 边上,若3BC =,2BD =,且BCD A ∠=∠,则线段AD 的长为( )A .2B .52C .3D .928.(2020·云南昆明市·中考真题)在正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图,△ABC 是格点三角形,在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE (不含△ABC ),使得△ADE ∽△ABC (同一位置的格点三角形△ADE 只算一个),这样的格点三角形一共有( ) A .4个 B .5个 C .6个 D .7个9.(2020·湖南益阳市·中考真题)如图,在矩形ABCD 中,E 是CD 上的一点,ABE ∆是等边三角形,AC 交BE 于点F ,则下列结论不成立的是( )A .30DAE ∠=B .45BAC ∠= C .12EF FB =D .2AD AB =10.(2020·湖南永州市·中考真题)如图,在ABC 中,2//,3AE EF BC EB =,四边形BCFE 的面积为21,则ABC 的面积是( )A .913B .25C .35D .6311.(2020·海南中考真题)如图,在矩形ABCD 中,6,10,AB BC ==点E F 、在AD 边上,BF 和CE 交于点,G 若12EF AD =,则图中阴影部分的面积为( ) A .25 B .30 C .35 D .4012.(2020·广西中考真题)如图,在ABC 中,120BC =,高60AD =,正方形EFGH 一边在BC 上,点,E F 分别在,AB AC 上,AD 交EF 于点N ,则AN 的长为( )A .15B .20C .25D .3013.(2020·海南中考真题)如图,在ABCD 中,10,15,AB AD BAD ==∠的平分线交BC 于点,E 交DC 的延长线于点,F BG AE ⊥于点G ,若8BG =,则CEF △的周长为( )A .16B .17C .24D .2514.(2020·云南中考真题)如图,平行四边形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,E 是CD 的中点,则DEO 与BCD △的面积的比等于( )A .12B .14C .16D .1815.(2020·山西中考真题)泰勒斯是古希腊时期的思想家,科学家,哲学家,他最早提出了命题的证明.泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长,标杆的高度。

相似三角形(中考分类汇编)

相似三角形(中考分类汇编)

相似1.(2008江苏盐城15)如图,D E ,两点分别在ABC △的边AB AC ,上,DE 与BC 不平行,当满足 条件(写出一个即可)时,ADE ACB △∽△.2.(08盐城22)如图,在1212⨯的正方形网格中,TAB △的顶点分别为(11)T ,,(23)A ,,(42)B ,.(1)以点(11)T ,为位似中心,按比例尺(:)3:1TA TA '的位似中心的同侧将TAB 放大为TA B ''△,放大后点A B ,的对应点分别为A B '',,画出TA B ''△,并写出点A B '',的坐标;(2)在(1)中,若()C a b ,为线段AB 上任一点,写出变化后点C 的对应点C '的坐标.3.(2008江苏扬州26)已知:矩形ABCD 中,AB=1,点M 在对角线AC 上,直线l 过点M 且与AC 垂直,与AD 相交于点E 。

(1)如果直线l 与边BC 相交于点H (如图1),AM=31AC 且AD=A ,求AE 的长;(用含a 的代数式表示)(2)在(1)中,又直线l 把矩形分成的两部分面积比为2:5,求a 的值;(3)若AM=41AC ,且直线l 经过点B (如图2),求AD 的长; (4)如果直线l 分别与边AD 、AB 相交于点E 、F ,AM=41AC 。

设AD 长为x ,△AEF 的面积为y ,求y 与x 的函数关系式,并指出x 的取值范围。

(求x 的取值范围可不写过程)第15题图4.(08泰州12)在平面上,四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ,且满足AB CD =.有下列四个条件:(1)OB OC =;(2)AD BC ∥;(3)AO DO CO BO =;(4)OAD OBC ∠=∠.若只增加其中的一个条件,就一定能使BAC CDB ∠=∠成立,这样的条件可以是( )A .(2)、(4)B .(2)C .(3)、(4)D .(4)5.(08南京7)小刚身高1.7m ,测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ,紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为1.1m ,那么小刚举起的手臂超出头顶( )A .0.5mB .0.55mC .0.6mD .2.2m6.(08连云港14)如图,一落地晾衣架两撑杆的公共点为O ,75OA =cm ,50OD =cm .若撑杆下端点A B ,所在直线平行于上端点C D ,所在直线,且90AB =cm ,则CD = cm .7.(2008苏州26)如图,在等腰梯形ABCD 中,AD BC ∥,5AB DC ==,6AD =,12BC =.动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动,动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动.两点同时出发,当P 点到达C 点时,Q 点随之停止运动.(1)梯形ABCD 的面积等于 ;(2)当PQ AB ∥时,P 点离开D 点的时间等于 秒;(3)当P Q C ,,三点构成直角三角形时,P 点离开D 点多少时间?(第14题图) A C D PB(第26题)8.(2008年江苏省无锡市,20T )如图,已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点,BF AE 于F ,试说明:ABF EAD △∽△.9.(2008年江苏省南通市,17T ,4分)已知△ABC 和△A ′B ′C ′是位似图形. △A ′B ′C ′的面积6cm 2,周长是△ABC 的一半.AB =8cm ,则AB 边上的高等于( )A .3cmB .6cmC .9cmD .12cm 答案17.B10.(2008年江苏省南通市,26T ,12分)如图,四边形ABCD 中,AD =CD ,∠DAB =∠ACB =90°,过点D 作DE ⊥AC ,垂足为F ,DE 与AB 相交于点E. (1)求证:AB ·AF =CB ·CD(2)已知AB =15cm ,BC =9cm ,P 是射线DE 上的动点.设DP =xcm (x >0),四边形BCDP 的面积为ycm 2.①求y 关于x 的函数关系式; ②当x 为何值时,△PBC 的周长最小,并求出此时y 的值.D PE FC B。

初三数学相似三角形典型例题(附含答案解析)

初三数学相似三角形典型例题(附含答案解析)

2初三数学相似三角形(一)相似三角形是初中几何的一个重点,同时也是一个难点,本节复习的目标是:1. 理解线段的比、成比例线段的概念,会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比,了解黄金分割。

2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明,会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4.能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要内容之一, 在中考试题中时常与四边形、 圆的知识相结合 构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现,分值一般在 10%左右,有时也单独成题,形成创新与探索型试题;有利于培养学生的综合素质。

(二)重要知识点介绍: 1.比例线段的有关概念:在比例式 ab c (a : bc :d )中, a 、 d 叫外项,db 、c 叫内项, a 、c 叫前项, b 、d 叫后项, d 叫第四比例项,如果 b=c ,那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。

把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,使 AC=AB BC ,叫做把线段 AB 黄金分割, C 叫做线段 AB 的黄金分割点。

2. 比例性质:①基本性质: ac b d②合比性质:acb dad bca b c d bd③等比性质:a c⋯b dm (b d ⋯ nn ≠ 0) a c ⋯ m ab d ⋯ nb3.平行线分线段成比例定理:①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l 1∥ l 2∥ l 3 。

AB 则BCDE , ABEF AC DE , BCDF AC EF ,⋯DF②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

③定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。

相似三角形测试题及答案(全)

相似三角形测试题及答案(全)
=________。 二、选择题(每小题4分,共16分)
1、两个相似三角形对应边之比是1:5,那么它们的周长比是( )。 (A)
;(B)1:25;(C)1:5;(D)
。 2、如果两个相似三角形的相似比为1:4,那么它们的面积比为( )。 (A)1:16;(B)1:8;(C)1:4;(D)1:2。 3、如图,锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于O,则与△DOB相似的三角 形个数是( )。 (A)1;(B)2;(C)3;D)5。
3、如图,△ABC中,D是AC中点,AF∥DE, =1:3,则 =( )。 (A)1:2;(B)2:3;(C)3:4;(D)1:1。 4、如图,平行四边形ABCD中,O1、O2、O3为对角线BD上三点,且BO1= O1O2=O2O3=O3D,连结AO1并延长交BC于点E,连结EO3并延长交AD于F, 则AD:FD等于( )。 (A)19:2;(B)9:1;(C)8:1;(D)7:1。 三、(本题8分) 如图,已知矩形ABCD中,AB=10cm,BC=12cm,E为DC中点,AF⊥BE于 点F,求AF长。 四、(本题8分) 如图,D、E分别是△ABC边AB和AC上的点,∠1=∠2,求证:AD·AB= AE·AC。 五、(本题8分) 如图,ABCD是平行四边形,点E在边BA延长线上,连CE交AD于点F, ∠ECA=∠D,求证:AC·BE=CE·AD。
4、如图,∠ACD=∠B,AC=6,AD=4,则AB=________。
5、如图ABCD是平行四边形,F是DA延长线上一点,连CF交BD于G,交AB 于E,则图中相似三角形(包括全等三角形在内)共有________对。 6、如图,△ABC中,BC=15cm,DE、FG均平行于BC且将△ABC面积分成 三等分,则FG=________ cm。 7、如图,AF∥BE∥CD,AF=12,BE=19,CD=28,则FE:ED的值等于 ________。 8、如图,△ABC,DE∥GF∥BC,且AD=DG=GB,则 =________。

相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典题(含答案)

相似三角形典范习题之阳早格格创做例1 从底下那些三角形中,选出相似的三角形.例2 已知:如图,ABCD 中,2:1:=EB AE ,供AEF ∆取CDF ∆的周少的比,如果2cm 6=∆AEF S ,供CDF S ∆.例3 如图,已知ABD ∆∽ACE ∆,供证:ABC ∆∽ADE ∆.例4 下列命题中哪些是透彻的,哪些是过失的?(1)所有的曲角三角形皆相似.(2)所有的等腰三角形皆相似.(3)所有的等腰曲角三角形皆相似.(4)所有的等边三角形皆相似. 例5 如图,D 面是ABC ∆的边AC 上的一面,过D 面绘线段DE ,使面E 正在ABC ∆的边上,而且面D 、面E ABC ∆的一个顶面组成的小三角形取ABC ∆相似.尽大概多天绘出谦脚条件的图形,并道明线段DE 的绘法.例6 如图,一人拿着一收刻有厘米分绘的小尺,站正在距电线杆约30米的场合,把脚臂背前伸曲,小尺横曲,瞅到尺上约12个分绘恰佳遮住电线杆,已知脚臂少约60厘米,供电线杆的下.例7 如图,小明为了丈量一下楼MN 的下,正在离N 面20m 的A 处搁了一个仄里镜,小明沿NA 退却到C 面,正佳从镜中瞅到楼顶M 面,若5.1=AC m ,小明的眼睛离大天的下度为1.6m ,请您助闲小明估计一下楼房的下度(透彻到0.1m ).例8格面图中的二个三角形是可是相似三角形,道明缘由.例9 根据下列各组条件,判决ABC ∆战C B A '''∆是可相似,并道明缘由:(1),cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A .(2)︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A .(3)︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB .例10 如图,下列每个图形中,存没有存留相似的三角形,如果存留,把它们用字母表示出去,并简要道明识别的根据.例11例125、12、1326S.例13正在一次数教活动课上,教授让共教们到操场上丈量旗杆的下度,而后回去接流各自的丈量要领.小芳的丈量要领是:拿一根下米的竹竿曲坐正在离旗杆27米的C处(如图),而后沿BC目标走到D处,那时目测旗杆顶部A取竹竿顶部E恰佳正在共背去线上,又测得C、D二面的距离为3米,小芳的目下为米,那样即可知讲旗杆的下.您认为那种丈量要领是可可止?请道明缘由.例14.如图,为了估算河的宽度,咱们不妨正在河对于岸选定一个目标动做E,使面A,再正在河的那一边选面B战CBC取AE的接面为D您能供出二岸之间AB的大概距离吗?例15.如图,为了供出海岛上的山峰AB的下度,正在D战F处横坐标杆DC战FE,标杆的下皆是3丈,相隔1000步(1步等于5尺),而且AB、CD战EF正在共一仄里内,从标杆DC退后123步的G处,可瞅到山峰A战标杆顶端C正在背去线上,从标杆FE退后127步的H处,可瞅到山峰A战标杆顶端E正在背去线上.供山峰的下度AB及它战标杆CD的火仄距离BD 各是几?(古代问题)例16如图,已知△ABC的边AB AC=2,BC边上的下AD (1)供BC的少;(2)如果有一个正圆形的边正在AB上,其余二个顶面分别正在AC,BC 上,供那个正圆形的里积.相似三角形典范习题问案例1.解①、⑤、⑥相似,②、⑦相似,③、④、⑧相似例2.1:3.例3分解道明例4.分解(1)没有透彻,果为正在曲角三角形中,二个钝角的大小没有决定,果此曲角三角形的形状分歧.(2)也没有透彻,等腰三角形的顶角大小没有决定,果此等腰三角形的形状也分歧.(3)透彻.设有等腰曲角三角形ABCa、b、c(4问:(1)、(2)没有透彻.(3)、(4)透彻.例5.解:绘法略.例6.分解BCBC的少.解,∴,∴∽.∴杆的下为6米.例7.分解的相似闭系便透彻了.解m).例8.分解那二个图如果没有是绘正在格面中,那是无法推断的.本量上格面无形中给图形删加了条件——少度战角度.解道明逢到格面的题目一定要充散创造其中的百般条件,勿使遗漏.例9.解(1(2(3例10.解(1二角相等;(2二角相等;(3二角相等;(4二边成比率夹角相等;6二边成比率夹(5角相等.例11.分解有一个角是65°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD是底角的比率推出线段之间的比率闭系.∴道明(1)有二个角对于应相等,那么那二个三角形相似,那是推断二个三角形相似最时常使用的要领,而且根据相等的角的位子,不妨决定哪些边是对于应边.(2或者仄办法.例12分解26,不妨供解三边依次为∴例13.分解推断要领是可可止,应试虑利用那种要领加之咱们现有的知识是可供出旗杆的下.按那种丈量要领,过FG,接CE于H,可知GF、HF、EH可供,那样可供得AG,故旗杆AB可供.F G,接CE于H所解(米)所以旗杆的下为米.道明正在简曲丈量时,要领要现真、确真可止.例14.AB大概相距100米.例15.例16. 分解:央供BC的少,需绘图去解,果AB、AC皆大于下AD,那么有二种情况存留,即面D正在BC上或者面D正在BC的延少线上,所以供BC的万古要分二种情况计划.供正圆形的里积,闭键是供正圆形的边少.解:(1)如上图,由AD⊥BC,由勾股定理得BD=3,DC=1,所以BC =BD+DC=3+1=4.如下图,共理可供BD=3,DC=1,所以BC=BD-CD=3-1=2.(2)如下图,由题目中的图知BC=4,ABC是曲角三角形.由AE G F是正圆形,设G F=x,则FC=2-x,∵G F∥AB,∴,即.∴,∴如下图,当BC=2,AC=2,△ABC是等腰三角形,做CP⊥AB于P,∴AP正在Rt△APC中,由勾股定理得CP=1,∵GH∥AB,∴△C GH∽△CBA,∵,∴。

相似三角形中考题大全

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中考数学专题练习:相似三角形一、选择题1.如图,将图形用放大镜放大,应该属于()A .平移变换B .相似变换C .旋转变换D .对称变换2.如图,在△ABC 中,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,DE ∥BC .若BD =2AD ,则()A.AD AB =12B.AE EC =12C.AD EC =12D.DE BC =123.(2019•雅安)若34a b =∶∶,且14a b +=,则2a b -的值是A .4B .2C .20D .144.(2020·河南)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,边BC 在x 轴上,顶点A ,B 的坐标分别为(-2,6)和(7,0).将正方形OCDE 沿x 轴向右平移,当点E 落在AB 边上时,点D 的坐标为()A.(32,2) B.(2,2) C.(114,2) D.(4,2)5.(2019•重庆)下列命题是真命题的是A .如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的周长比为2∶3B .如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的周长比为4∶9C .如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的面积比为2∶3D .如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的面积比为4∶96.(2019•巴中)如图 ABCD ,F 为BC 中点,延长AD 至E ,使13DE AD =∶∶,连接EF 交DC 于点G ,则:DEG CFG S S △△=A .2∶3B .3∶2C .9∶4D .4∶97.(2020·威海)如图,矩形ABCD 的四个顶点分别在直线l 3,l 4,l 2,l 1上.若直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4且间距相等,AB =4,BC =3,则tan α的值为()A .B .C .D .8.(2020·昆明)在正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图,△ABC 是格点三角形,在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC),使得△ADE ∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE 只算一个),这样的格点三角形一共有()个 D.7个B二、填空题9.(2020·盐城)如图,//,BC DE 且,4,10BCDE AD BC AB DE <==+=,则AEAC的值为.10.(2020·吉林)如图,在ABC 中,D ,E 分别是边AB ,AC 的中点.若ADE的面积为12.则四边形DBCE 的面积为_______.11.(2019•大庆)如图,在△ABC 中,D 、E 分别是BC ,AC 的中点,AD 与BE相交于点G ,若DG=1,则AD=__________.12.(2020·临沂)如图,在ABC ∆中,D ,E 为边AB 的三等分点,////EF DG AC ,H 为AF 与DG 的交点.若6AC =,则DH =_________.13.(2020·绥化)在平面直角坐标系中,△ABC和△A 1B 1C 1的相似比等于12,并且是关于原点O 的位似图形,若点A 的坐标为(2,4),则其对应点A 1的坐标是______.14.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =15,AC =20,点D 在边AC 上,AD =5,DE ⊥BC 于点E ,连接AE ,则△ABE 的面积等于________.15.(2019•辽阳)如图,平面直角坐标系中,矩形ABOC 的边BO CO ,分别在x 轴,y 轴上,A 点的坐标为(86)-,,点P 在矩形ABOC 的内部,点E 在BO 边上,满足PBE △∽CBO △,当APC △是等腰三角形时,P 点坐标为__________.16.(2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ,90ACB ∠=︒,10AB =,6AC =,点D 为BC 边上的任一点,沿过点D 的直线折叠,使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处,当BDE △是直角三角形时,则CD 的长为__________.三、解答题17.如图,过☉O 外一点P 作☉O 的切线PA ,切☉O 于点A ,连接PO 并延长,与☉O 交于C ,D 两点,M 是半圆CD 的中点,连接AM 交CD 于点N ,连接AC ,CM.(1)求证:CM 2=MN ·MA ;(2)若∠P=30°,PC=2,求CM 的长.18.如图,M 为线段AB 的中点,AE 与BD 交于点C ,∠DME =∠A =∠B =α,且DM 交AC 于F ,ME 交BC 于G.(1)写出图中两对相似三角形,并证明其中的一对;(2)请连接FG ,如果α=45°,AB =42,AF =3,求FG 的长.19.(2020·杭州)如图,在正方形ABCD 中,点E 在BC 边上,连接AE ,DAE ∠的平分线AG 与CD 边交于点G ,与BC 的延长线交于点F .设()0CEEBλλ=>.(1)若2AB =,λ=1,求线段CF 的长.(2)连接EG ,若EG AF ⊥,①求证:点G 为CD 边的中点.②求λ的值.20.(2020·攀枝花)三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫三角形的重心.如图G 是ABC ∆的重心.求证:3AD GD =.21.(2020·江苏徐州)我们知道:如图①,点B 把线段AC 分成两部分,如果BC ABAB AC=,那么称点B为线段AC的黄金分割点..(1)在图①中,若AC=20cm,则AB的长为cm;(2)如图②,用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作:对折正方形ABCD得折痕EF,连接CE,将CB折叠到CE上,点B的对应点H,得折痕CG.试说明:G是AB的黄金分割点;(3)如图③,小明进一步探究:在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E (AE>DE),连接BE,作CF⊥BE,交AB于点F,延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时,E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现,并说明理由.图①图②图③22.(2020•丽水)如图,在△ABC中,AB=4,∠B=45°,∠C=60°.(1)求BC边上的高线长.(2)点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连结EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF.①如图2,当点P落在BC上时,求∠AEP的度数.②如图3,连结AP,当PF⊥AC时,求AP的长.23.如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O、B重合),作EC⊥OB 交⊙O于点C,作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB.(1)求证:AC平分∠FAB;(2)求证:BC2=CE·CP;(3)当AB=43且CFCP=34时,求劣弧BD︵的长度.24.在平面直角坐标系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根.比如对于方程x2-5x+2=0,操作步骤是:第一步:根据方程的系数特征,确定一对固定点A(0,1),B(5,2);第二步:在坐标平面中移动一个直角三角板,使一条直角边恒过点A,另一条直角边恒过点B;第三步:在移动过程中,当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时,点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图①);第四步:调整三角板直角顶点的位置,当它落在x轴上另一点D处时,点D的横坐标n既为该方程的另一个实数根.(1)在图②中,按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹);(2)结合图①,请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一个实数根;(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置.若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的实数根,请你直接写出一对固定点的坐标;(4)实际上,(3)中的固定点有无数对,一般地,当m1,n1,m2,n2与a,b,c之间满足怎样的关系时,点P(m1,n1).Q(m2,n2)就是符合要求的一对固定点?答案一、选择题1.【答案】B2.【答案】B【解析】∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,∵BD =2AD ,∴AD AB =AEAC=13,∴AE EC =12,故选B .3.【答案】A【解析】由a ∶b =3∶4知34b a =,所以43a b =.所以由14a b +=得到:4143aa +=,解得6a =.所以8b =.所以22684a b -=⨯-=.故选A .4.【答案】B【解析】∵点A ,B 的坐标分别为(-2,6)和(7,0),∴OC=2,AC=6,OB=7,∴BC=9,正方形的边长为2.将正方形OCDE 沿x 轴向右平移,当点E 落在AB 边上时,设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ,∵EF ⊥x 轴,EF=GF=DG=2,∴EF ∥AC ,D ,E 两点的纵坐标均为2,∴EF BF AC BC =,即269BF=,解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2,∴D 点的横坐标为2,∴点D 的坐标为(2,2).5.【答案】B【解析】A 、如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的周长比为4∶9,是假命题;B 、如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的周长比为4∶9,是真命题;C 、如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的面积比为16∶81,是假命题;D 、如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的面积比为16∶81,是假命题,故选B .6.【答案】D【解析】设DE x =,∵13DE AD =∶∶,∴3AD x =,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD BC ∥,3BC AD x ==,∵点F 是BC 的中点,∴1322CF BC x ==,∵AD BC ∥,∴DEG CFG △∽△,∴224()()392DEG CFG S DE x S CF x ===△△,故选D .7.【答案】:作CF ⊥l 4于点F ,交l 3于点E ,设CB 交l 3于点G ,由已知可得,GE∥BF ,CE =EF ,∴△CEG ∽△CFB ,∴,∵,∴,∵BC =3,∴GB,∵l 3∥l 4,∴∠α=∠GAB ,∵四边形ABCD 是矩形,AB =4,∴∠ABG =90°,∴tan ∠BAG ,∴tan α的值为,故选:A.8.【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个,如图所示:B因此本题选A .二、填空题9.【答案】2【解析】∵BC ∥DE ,∴△ADE ∽△ABC ,∴AE AD DEAC AB BC ==,设DE =x ,则AB =10-x ∵AD =BC =4,∴4104AE x AC x ==-,∴x 1=8,x 2=2(舍去),824AE AC ==,此本题答案为2.10.【答案】32【解析】 点D ,E 分别是边AB ,AC 的中点,1//,2DE BC DE BC ∴=ADE ABC∴ 21()4ADE ABC S DE S BC ∴==△△,即4ABC ADES S =△△又12ADE S =,1422ABC S ∴=⨯= 则四边形DBCE 的面积为13222ABC ADE S S -=-= .故答案为:32.11.【答案】3【解析】∵D 、E 分别是BC ,AC 的中点,∴点G 为△ABC 的重心,∴AG=2DG=2,∴AD=AG+DG=2+1=3.故答案为:3.12.【答案】1【解析】∵D 、E 为边AB 的三等分点,∴BE=ED=AD=13AB.∵////EF DG AC ,∴123EF AC ==∴112DH EF ==.13.【答案】(-4,-8)或(4,8)【解析】∵△ABC 和△A1B1C1的相似比等于12,∴△A1B1C1和△ABC 的相似比等于2.因此将点A(2,4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标,∴点A1的坐标是(-4,-8)或(4,8).14.【答案】78【解析】如解图,过A 作AH ⊥BC ,∵AB =15,AC =20,∠BAC=90°,∴由勾股定理得,BC =152+202=25,∵AD =5,∴DC =20-5=15,∵DE ⊥BC ,∠BAC =90°,∴△CDE ∽△CBA ,∴CE CA =CD CB ,∴CE =1525×20=12.法一:BC·AH =AB·AC ,AH =AB·AC BC =15×2025=12,S △ABE =12×12×13=78.法二:DE =152-122=9,由△CDE ∽△CAH 可得,CD CA =ED HA ,∴AH =9×2015=12,S △ABE =12×12×13=78.15.【答案】326()55-,或(43)-,【解析】∵点P 在矩形ABOC 的内部,且APC △是等腰三角形,∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上;①当P 点在AC 的垂直平分线上时,点P 同时在BC 上,AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ,如图1所示,∵PE BO ⊥,CO BO ⊥,∴PE CO ∥,∴PBE △∽CBO △,∵四边形ABOC 是矩形,A 点的坐标为(86)-,,∴点P 横坐标为﹣4,6OC =,8BO =,4BE =,∵PBE △∽CBO △,∴PE BE CO BO =,即468PE =,解得:3PE =,∴点(43)P -,.②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上,圆弧与BC 的交点为P ,过点P 作PE BO ⊥于E ,如图2所示,∵CO BO ⊥,∴PE CO ∥,∴PBE △∽CBO △,∵四边形ABOC 是矩形,A 点的坐标为(86)-,,∴8AC BO ==,8CP =,6AB OC ==,∴22228610BC BO OC =+=+=,∴2BP =,∵PBE △∽CBO △,∴PE BE BP CO BO BC ==,即:26810PE BE ==,解得:65PE =,85BE =,∴832855OE =-=,∴点326(55P -,,综上所述:点P 的坐标为:326(55-,或(43)-,,故答案为:326()55-,或(43)-,.16.【答案】3或247【解析】分两种情况:①若90DEB ∠=︒,则90AED C ∠=︒=∠,CD ED =,连接AD ,则Rt Rt ACD EAD △≌△,∴6AE AC ==,1064BE =-=,设CD DE x ==,则8BD x =-,∵Rt BDE △中,222DE BE BD +=,∴2224(8)x x +=-,解得3x =,∴3CD =;②若90BDE ∠=︒,则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒,CD DE =,∴四边形CDEF 是正方形,∴90AFE EDB ∠=∠=︒,AEF B ∠=∠,∴AEF EBD △∽△,∴AF EFED BD=,设CD x =,则EF DF x ==,6AF x =-,8BD x =-,∴68x x x x -=-,解得247x =,∴247CD =,综上所述,CD 的长为3或247,故答案为:3或247.三、解答题17.【答案】解:(1)证明:∵在☉O 中,点M 是半圆CD 的中点,∴∠CAM=∠DCM ,又∵∠CMA 是△CMN 和△AMC 的公共角,∴△CMN ∽△AMC ,∴=,∴CM 2=MN ·M A .(2)连接OA ,DM ,∵PA 是☉O 的切线,∴∠PAO=90°,又∵∠P=30°,∴OA=PO=(PC +CO ).设☉O 的半径为r ,∵PC=2,∴r=(2+r ),解得r=2.又∵CD 是直径,∴∠CMD=90°,∵点M 是半圆CD 的中点,∴CM=DM ,∴△CMD 是等腰直角三角形,∴在Rt △CMD 中,由勾股定理得CM 2+DM 2=CD 2,∴2CM 2=(2r )2=16,∴CM 2=8,∴CM=2.18.【答案】解:(1)△AMF ∽△BGM ,△DMG ∽△DBM ,△EMF ∽△EAM 等.(写出两对即可)以下证明△AMF ∽△BGM.由题知∠A =∠B =∠DME =α,而∠AFM =∠DME +∠E ,∠BMG =∠A +∠E ,∴∠AFM =∠BMG ,∴△AMF ∽△BGM.(2)当α=45°时,可得AC ⊥BC 且AC =BC ,∵M 为AB 中点,∴AM =BM =2 2.由△AMF ∽△BGM 得,AF·BG =AM·BM ,∴BG =83.又AC =BC =42cos 45°=4,∴CG =4-83=43,CF =4-3=1,∴FG =(43)2+12=53.19.【答案】解:(1)∵四边形ABCD 是正方形,∴AD ∥BC ,AB =BC =2,∴∠DAF =∠F .∵AG 平分∠DAE ,∴∠DAF =∠EAF ,∴∠EAF =∠F ,∴EA =EF .∵λ=1,∴BE =EC =1.在Rt △ABE 中,由勾股定理得EA ,∴CF =EF -EC -1.(2)①∵EA =EF ,EG ⊥AF ,∴AG =GF .又∵∠AGD =∠FGC ,∠DAG =∠F ,所以△DAG ≌△CFG ,∴DG =CG ,∴点G 为CD 边的中点.②不妨设CD =2,则CG =1.由①知CF =AD =2.∵EG ⊥AF ,∴∠EGF =90°.∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BCD =90°,∴∠BCD =∠FCG ,∠EGC +∠CGF=90°,∠EGC +∠GEC =90°,∴∠CGF =∠GEC ,∴△EGC ∽△GFC ,∴ECCG =CG CF =12,∴EC =12,∴BE =32,∴λ=13.20.【答案】证明:连接DE ,∵点G 是△ABC 的重心,∴点E 和点D 分别是AB 和BC 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥AC 且DE=12AC ,∴△DEG ∽△ACG ,∴2AG AC DG ED ==,∴2AG GD =∴AD=3DG ,即AD=3GD .21.【答案】解:(1)10-.解:∵ABAC=,AC=20,∴AB=10-.(2)延长CG 交DA 的延长线于点J ,由折叠可知:∠BCG=∠ECG ,∵AD ∥BC ,∴∠J=∠BCG=∠ECG ,∴JE=CE.由折叠可知:E 、F 为AD 、BC 的中点,∴DE=AE=10,由勾股定理可得:==,∴EJ=AJ=JE-AE=-10,∵AJ ∥BC ,∴△AGJ ∽△BGC,∴AG AJ BG BC ===,∴G 是AB 的黄金分割点.(3)PB=BC ,理由如下:∵E 为AD 的黄金分割点,且AE>DE ,∴AE=12 a.∵CF ⊥BE ,∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90˚,∴∠ABE=∠FCB,在△BEA 和△CFB 中,∵90ABE FCB AB BCA FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩,∴△BEA ≌△CFB ,∴a.∴12AF BF BF AB ==,∵AE ∥BP ,∴△AEF ∽△BPF,∴AE AF BF PB BF AB==,∵AE=BF,∴PB=AB ,∴PB=BC.22.【答案】解:(1)如图1中,过点A 作AD ⊥BC 于D.在Rt △ABD 中,AD =AB•sin45°=44.(2)①如图2中,∵△AEF ≌△PEF ,∴AE =EP ,∵AE =EB ,∴BE =EP ,∴∠EPB =∠B =45°,∴∠PEB =90°,∴∠AEP =180°﹣90°=90°.②如图3中,由(1)可知:AC,∵PF ⊥AC ,∴∠PFA =90°,∵△AEF ≌△PEF ,∴∠AFE =∠PFE =45°,∴∠AFE=∠B,∵∠EAF=∠CAB,∴△AEF∽△ACB,∴,即,∴AF=2,在Rt△AFP,AF=FP,∴AP AF=2.23.【答案】(1)证明:∵PF切⊙O于点C,CD是⊙O的直径,∴CD⊥PF,又∵AF⊥PC,∴AF∥CD,∴∠OCA=∠CAF,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠CAF=∠OAC,∴AC平分∠FAB;(2)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠DCP=90°,∴∠ACB=∠DCP=90°,又∵∠BAC=∠D,∴△ACB∽△DCP,∴∠EBC=∠P,∵CE⊥AB,∴∠BEC=90°,∵CD是⊙O的直径,∴∠DBC=90°,∴∠CBP=90°,∴∠BEC=∠CBP,∴△CBE∽△CPB,∴BCPC=CECB,∴BC2=CE·CP;(3)解:∵AC平分∠FAB,CF⊥AF,CE⊥AB,∴CF=CE,∵CFCP=34,∴CECP=34,设CE=3k,则CP=4k,∴BC2=3k·4k=12k2,∴BC=23k,在Rt△BEC中,∵sin∠EBC=CEBC=3k23k=32,∴∠EBC =60°,∴△OBC 是等边三角形,∴∠DOB =120°,∴BD ︵=120π·23180=43π3.24.【答案】【思路分析】(1)因为点C 是x 轴上的一动点,且∠ACB =90°保持不变,所以由圆周角的性质得,点C 必在以AB 为直径的圆上,所以以AB 为直径画圆,与x 轴相交于两点,除点C 的另一点就是所求;(2)因为∠ACB =90°,∠AOC =90°,所以过点B 作BE ⊥x 轴,垂足为E ,则构造了一个“K”字型的基本图形,再由相似三角的性质得出比例式,化简后得m 2-5m +2=0,问题得证;(3)由(2)中的证明过程可知,一个二次项系数为1的一元二次方程,一次项系数是点A 的横坐标与点B 的横坐标的和的相反数;常数项是点A 的纵坐标与点B 的纵坐标的积,先把方程ax 2+bx +c =0,化为x 2+b a x +ca=0,再根据上述关系写出一对固定点的坐标;(4)由(2)的证明中知,本题的关键点在“K”字型的构造,所以本小题解题的关键是要抓住图②中的“K”字型,只要P 、Q 两点分别在AD 、BD 上,过P 、Q 分别作x 轴垂线,垂足为M 、N ,这样就构造出满足条件的基本图形,再应用相似三角形的性质,可得相应的关系式.图①图②(1)解:如解图①,先作出AB 的中点O 1,以O 1为圆心,12AB 为半径画圆.x 轴上另外一个交点即为D 点;(4分)(2)证明:如解图①,过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点E ,∵∠ADB =90°,∴∠ADO +∠BDE =90°,∵∠OAD +∠ADO =90°,∴∠OAD =∠BDE ,∵∠AOD =∠DEB =90°,∴△AOD ∽△DEB ,(6分)∴AO DE =OD EB ,即15-m =m2,∴m 2-5m +2=0,∴m 是x 2-5x +2=0的一个实根;(8分)(3)解:(0,1),(-b a,c a )或(0,1a ),(-ba ,c );(10分)(4)解:在解图②中,P 在AD 上,Q 在BD 上,过P ,Q 分别作x 轴的垂线交x轴于M ,N.由(2)知△PMD ∽△DNQ ,∴n 1m 2-x =x -m 1n 2,(12分)∴x 2-(m 1+m 2)x +m 1m 2+n 1n 2=0与ax 2+bx +c =0同解,∴-b a =m 1+m 2;ca=m 1m 2+n 1n 2.(14分)【难点突破】本题是一道考查数形结合思想的题.本题解题的突破口要抓住∠ACB =90°保持不变的特征,构造相似三角形中的基本图形,通过数形结合的方法,以相似三角形的比例式为桥梁,以此获得关于m 的等量关系,从而使问题得以解决.。

九年级数学相似三角形经典题(含答案)

九年级数学相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典习题教师版例1 从下面这些三角形中,选出相似的三角形.例2 已知:如图,ABCD 中,2:1:=EB AE ,求AEF ∆与CDF ∆的周长的比,如果2cm 6=∆AEF S ,求CDF S ∆.例3 如图,已知ABD ∆∽ACE ∆,求证:ABC ∆∽ADE ∆.例4 下列命题中哪些是正确的,哪些是错误的?(1)所有的直角三角形都相似. (2)所有的等腰三角形都相似. (3)所有的等腰直角三角形都相似. (4)所有的等边三角形都相似.例5 如图,D 点是ABC ∆的边AC 上的一点,过D 点画线段DE ,使点E 在ABC ∆的边上,并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似.尽可能多地画出满足条件的图形,并说明线段DE 的画法.例6 如图,一人拿着一支刻有厘米分画的小尺,站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.例7 如图,小明为了测量一高楼MN 的高,在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜,小明沿NA 后退到C 点,正好从镜中看到楼顶M 点,若5.1=AC m ,小明的眼睛离地面的高度为1.6m ,请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1m ).例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形,说明理由.例9 根据下列各组条件,判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似,并说明理由:(1),cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A . (2)︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A .(3)︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB .例10 如图,下列每个图形中,存不存在相似的三角形,如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据.例11 已知:如图,在ABC ∆中,BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线,试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2.例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13,与其相似的C B A '''∆的最大边长为26,求C B A '''∆的面积S .例13 在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处(如图),然后沿BC 方向走到D 处,这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上,又测得C 、D 两点的距离为3米,小芳的目高为1.5米,这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行?请说明理由.例14.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ,再在河的这一边选点B 和C ,使BC AB ⊥,然后再选点E ,使BC EC ⊥,确定BC 与AE 的交点为D ,测得120=BD 米,60=DC 米,50=EC 米,你能求出两岸之间AB 的大致距离吗?例15.如图,为了求出海岛上的山峰AB 的高度,在D 和F 处树立标杆DC 和FE ,标杆的高都是3丈,相隔1000步(1步等于5尺),并且AB 、CD 和EF 在同一平面内,从标杆DC 退后123步的G 处,可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上,从标杆FE 退后127步的H 处,可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上.求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少?(古代问题)例16 如图,已知△ABC 的边AB =32,AC =2,BC 边上的高AD =3.(1)求BC 的长;(2)如果有一个正方形的边在AB 上,另外两个顶点分别在AC ,BC 上,求这个正方形的面积.相似三角形经典习题答案例1. 解 ①、⑤、⑥相似,②、⑦相似,③、④、⑧相似例2. 解 ABCD 是平行四边形,∴CD AB CD AB =,//,∴AEF ∆∽CDF ∆,又2:1:=EB AE ,∴3:1:=CD AE ,∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1:3. 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ,∴)cm (542=∆CD F S . 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆,则CAE BAD ∠=∠,因此DAE BAC ∠=∠,如果再进一步证明AECAAD BA =,则问题得证.证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆,∴CAE BAD ∠=∠.又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ,∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠, ∴DAE BAC ∠=∠.∵ABD ∆∽ACE ∆,∴AEACAD AB =. 在ABC ∆和ADE ∆中,∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,,∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4.分析 (1)不正确,因为在直角三角形中,两个锐角的大小不确定,因此直角三角形的形状不同.(2)也不正确,等腰三角形的顶角大小不确定,因此等腰三角形的形状也不同. (3)正确.设有等腰直角三角形ABC 和C B A ''',其中︒='∠=∠90C C ,则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ,设ABC ∆的三边为a 、b 、c ,C B A '''∆的边为c b a '''、、, 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,,∴a ac c b b a a '=''=',,∴ABC ∆∽C B A '''∆. (4)也正确,如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形,对应角相等,对应边都成比例,因此ABC ∆∽C B A '''∆.答:(1)、(2)不正确.(3)、(4)正确. 例5.解:画法略.例6.分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形,即60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=CE 米,求BC .由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,,又ACF ∆∽ABC ∆,∴BC GFEC DF =,从而可以求出BC 的长.解 EC DF EC AE //,⊥ ,∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,,∴ADF ∆∽AEC ∆.∴ACAFEC DF =. 又EC BC EC GF ⊥⊥,,∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//, ∴AGF ∆∽ABC ∆,∴BC GF AC AF =,∴BCGFEC DF =.又60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=EC 米,∴6=BC 米.即电线杆的高为6米. 例7.分析 根据物理学定律:光线的入射角等于反射角,这样,BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了.解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,,所以BCA ∆∽MNA ∆.所以AC AN BC MN ::=,即5.1:206.1:=MN .所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN (m ). 说明 这是一个实际应用问题,方法看似简单,其实很巧妙,省却了使用仪器测量的麻烦.例8.分析 这两个图如果不是画在格点中,那是无法判断的.实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度.解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,,所以︒=∠=∠90B E , 又4,2,2,1====AB BC DE EF .所以21==BC EF AB DE .所以DEF ∆∽ABC ∆. 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件,勿使遗漏.例9.解 (1)因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ,所以ABC ∆∽C B A '''∆; (2)因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ,两个三角形中只有A A '∠=∠,另外两个角都不相等,所以ABC ∆与C B A '''∆不相似;(3)因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ,所以ABC ∆相似于C B A '''∆. 例10.解 (1)ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等; (2)ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等;(3)CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等; (4)EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等; (5)ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等; (6)ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等.例11.分析 有一个角是65°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD 是底角的平分线,∴︒=∠36CBD ,则可推出ABC ∆∽BCD ∆,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明 AC AB A =︒=∠,36 ,∴︒=∠=∠72C ABC . 又BD 平分ABC ∠,∴︒=∠=∠36CBD ABD .∴BC BD AD ==,且ABC ∆∽BCD ∆,∴BC CD AB BC ::=,∴CD AB BC ⋅=2,∴CD AC AD ⋅=2.说明 (1)有两个角对应相等,那么这两个三角形相似,这是判断两个三角形相似最常用的方法,并且根据相等的角的位置,可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式cd ab =,或平方式bc a =2,一般都是证明比例式,b dc a =,或caa b =,再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形,又因为ABC ∆∽C B A '''∆,所以C B A '''∆也是直角三角形,那么由C B A '''∆的最大边长为26,可以求出相似比,从而求出C B A '''∆的两条直角边长,再求得C B A '''∆的面积.解 设ABC ∆的三边依次为,13,12,5===AB AC BC ,则222AC BC AB += ,∴︒=∠90C .又∵ABC ∆∽C B A '''∆,∴︒=∠='∠90C C .212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC , 又12,5==AC BC ,∴24,10=''=''C A C B . ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S .例13.分析 判断方法是否可行,应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高.按这种测量方法,过F作AB FG ⊥于G ,交CE 于H ,可知AGF ∆∽EHF ∆,且GF 、HF 、EH 可求,这样可求得AG ,故旗杆AB 可求.解 这种测量方法可行.理由如下:设旗杆高x AB =.过F 作AB FG ⊥于G ,交CE 于H (如图).所以AGF ∆∽EHF ∆.因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ,所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH .由AGF ∆∽EHF ∆,得HF GF EH AG =,即33025.1=-x ,所以205.1=-x ,解得5.21=x (米) 所以旗杆的高为21.5米.说明 在具体测量时,方法要现实、切实可行. 例14. 解:︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ,∴ABD ∆∽ECD ∆,1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB (米),答:两岸间AB 大致相距100米. 例15. 答案:1506=AB 米,30750=BD 步,(注意:AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,.) 例16. 分析:要求BC 的长,需画图来解,因AB 、AC 都大于高AD ,那么有两种情况存在,即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上,所以求BC 的长时要分两种情况讨论.求正方形的面积,关键是求正方形的边长. 解:(1)如上图,由AD ⊥BC ,由勾股定理得BD =3,DC =1,所以BC =BD +DC =3+1=4. 如下图,同理可求BD =3,DC =1,所以BC =BD -CD =3-1=2.(2)如下图,由题目中的图知BC =4,且162)32(2222=+=+AC AB ,162=BC ,∴222BC AC AB =+.所以△ABC 是直角三角形.由AE G F 是正方形,设G F =x ,则FC =2-x , ∵G F ∥AB ,∴AC FC AB GF =,即2232xx -=. ∴33-=x ,∴3612)33(2-=-=AEG F S 正方形. 如下图,当BC =2,AC =2,△ABC 是等腰三角形,作CP ⊥AB 于P ,∴AP =321=AB ,在Rt △APC 中,由勾股定理得CP =1, ∵GH ∥AB ,∴△C GH ∽△CBA ,∵x x x -=132,32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此,正方形的面积为3612-或121348156-.相似三角形 一,比例线段 1, 成比例线段对于四条线段a ,b ,c ,d ,如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比,如b a =dc(或a :b=c :d ),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。

初三数学13 相似三角形-2024年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

初三数学13 相似三角形-2024年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

专题13 相似三角形一.选择题1.(2022·黑龙江哈尔滨)如图,,,AB CD AC BD ∥相交于点E ,1,2,3AE EC DE ===,则BD 的长为( )A .32B .4C .92D .6【答案】C【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE 的长,即可求得BD 的长.【详解】∵//AB CD ∴ABE CDE ∽ ∴AE BE EC DE= ∵1,2,3AE EC DE ===,∴32BE =∵BD BE ED =+ ∴92BD = 故选:C .【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例,解题的关键在于找到对应边长.2.(2022·广西贺州)如图,在ABC 中,25DE BC DE BC ==∥,,,则:ADE ABC S S 的值是( )A .325B .425C .25D .35【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理得到ADE ABC ,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算,得到答案.【详解】解:25DE BC DE BC ==∥,,∴ADE ABC ,∴2224525ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,故选:B .【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.3.(2022·广西梧州)如图,以点O 为位似中心,作四边形ABCD 的位似图形''''A B C D ﹐已知'13OA OA =,若四边形ABCD 的面积是2,则四边形''''A B C D 的面积是( )A .4B .6C .16D .18【答案】D 【分析】两图形位似必相似,再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解.【详解】解:由题意可知,四边形ABCD 与四边形''''A B C D 相似,由两图形相似面积比等于相似比的平方可知:''''22'1139ABCD A B C D S OA S OA ⎛⎫⎛⎫= ⎪= ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又四边形ABCD 的面积是2,∴四边形''''A B C D 的面积为18,故选:D .【点睛】本题考察相似多边形的性质,属于基础题,熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键.4.(2022·四川雅安)如图,在△ABC 中,D ,E 分别是AB 和AC 上的点,DE ∥BC ,若AD BD =21,那么DE BC =( )A .49B .12C .13D .23【答案】D【分析】先求解2,3AD AB =再证明,ADE ABC ∽可得2.3DE AD BC AB ==【详解】解: AD BD =21,2,3AD AB ∴= DE ∥BC ,,ADE ABC ∴ ∽ 2,3DE AD BC AB ∴== 故选D 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质,证明ADE ABC △△∽是解本题的关键.5.(2022·内蒙古包头)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,A ,B ,C ,D 四个点均在格点上,AC 与BD 相交于点E ,连接,AB CD ,则ABE △与CDE △的周长比为( )A .1:4B .4:1C .1:2D .2:1【答案】D 【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM 为平行四边形,接着证明ABE CDE ∽,最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出.【详解】如图:由题意可知,3DM =,3BC =, ∴DM BC =,而DM BC ∥,∴四边形DCBM 为平行四边形,∴AB DC ∥,∴BAE DCE ∠=∠,ABE CDE ∠=∠,∴ABE CDE ∽,∴21ABE CDE C AB C CD ===△△.故选:D .【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理,熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键.6.(2022·黑龙江绥化)如图,在矩形ABCD 中,P 是边AD 上的一个动点,连接BP ,CP ,过点B 作射线,交线段CP 的延长线于点E ,交边AD 于点M ,且使得ABE CBP =∠∠,如果2AB =,5BC =,AP x =,PM y =,其中25x < .则下列结论中,正确的个数为( )(1)y 与x 的关系式为4y x x =-;(2)当4AP =时,ABP DPC ∽;(3)当4AP =时,3tan 5EBP ∠=.A .0个B .1个C .2个D .3个【答案】C 【分析】(1)证明ABM APB ∽,得AB AM AP AB=,将2AB =,AP x =,PM y =代入,即可得y 与x 的关系式;(2)利用两组对应边成比例且夹角相等,判定ABP DPC ∽;(3)过点M 作MF BP ⊥垂足为F ,在Rt APB △中,由勾股定理得BP 的长,证明FPM APB ∽,求出MF ,PF ,BF 的长,在Rt BMF △中,求出tan EBP ∠的值即可.【详解】解:(1)∵在矩形ABCD 中,∴AD BC ∥,90A D ∠=∠=︒,5BC AD ==,2AB DC ==,∴APB CBP ∠=∠,∵ABE CBP =∠∠,∴ABE APB ∠=∠,∴ABM APB ∽,∴AB AM AP AB=,∵2AB =,AP x =,PM y =,∴22x y x -=,解得:4y x x=-,故(1)正确;(2)当4AP =时,541DP AD AP =-=-=,∴12DC DP AP AB ==,又∵90A D ∠=∠=︒,∴ABP DPC ∽,故(2)正确;(3)过点M 作MF BP ⊥垂足为F ,∴90A MFP MFB ∠=∠=∠=︒,∵当4AP =时,此时4x =,4413y x x =-=-=,∴3PM =,在Rt APB 中,由勾股定理得:222BP AP AB =+,∴BP ===,∵FPM APB ∠=∠,∴FPM APB ∽,∴MF PF PM AB AP PB ==,∴24MF PF ==∴MF =PF =∴BF BP PF =-=∴3tan 4MF EBP BF ∠===故(3)不正确;故选:C .【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质,勾股定理的应用,矩形的性质,正确找出相似三角形是解答本题的关键.7.(2022·湖北鄂州)如图,定直线MN ∥PQ ,点B 、C 分别为MN 、PQ 上的动点,且BC =12,BC 在两直线间运动过程中始终有∠BCQ =60°.点A 是MN 上方一定点,点D 是PQ 下方一定点,且AE ∥BC ∥DF ,AE =4,DF =8,ADBC 在平移过程中,AB +CD 的最小值为()A .B .C .D .【答案】C 【分析】如图所示,过点F 作FH CD ∥交BC 于H ,连接EH ,可证明四边形CDFH 是平行四边形,得到CH =DF =8,CD =FH ,则BH =4,从而可证四边形ABHE 是平行四边形,得到AB =HE ,即可推出当E 、F 、H 三点共线时,EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ,延长AE 交PQ 于G ,过点E 作ET ⊥PQ 于T ,过点A 作AL ⊥PQ 于L ,过点D 作DK ⊥PQ 于K ,证明四边形BEGC 是平行四边形,∠EGT =∠BCQ =60°,得到EG =BC =12,然后通过勾股定理和解直角三角形求出ET 和TF 的长即可得到答案.【详解】解:如图所示,过点F 作FH CD ∥交BC 于H ,连接EH ,∵BC DF FH CD ∥∥,,∴四边形CDFH 是平行四边形,∴CH =DF =8,CD =FH ,∴BH =4,∴BH =AE =4,又∵AE BC ∥,∴四边形ABHE 是平行四边形,∴AB =HE ,∵EH FH EF +≥,∴当E 、F 、H 三点共线时,EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ,延长AE 交PQ 于G ,过点E 作ET ⊥PQ 于T ,过点A 作AL ⊥PQ 于L ,过点D 作DK ⊥PQ 于K ,∵MN PQ BC AE ∥∥,,∴四边形BEGC 是平行四边形,∠EGT =∠BCQ =60°,∴EG =BC =12,∴=cos =6=sin GT GE EGT ET GE EGT ⋅⋅∠,∠,同理可求得8GL AL ==,,4KF DK ==,,∴2TL =,∵AL ⊥PQ ,DK ⊥PQ ,∴AL DK ∥,∴△ALO ∽△DKO ,∴2AL AO DK DO==,∴2133AO AD DO AD ====∴24OL OK ===,,∴42TF TL OL OK KF =+++=,∴EF ==故选C .【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,勾股定理,解直角三角形,正确作出辅助线推出当E 、F 、H 三点共线时,EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF 是解题的关键.8.(2022·广西贵港)如图,在边长为1的菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,动点E 在AB 边上(与点A 、B 均不重合),点F 在对角线AC 上,CE 与BF 相交于点G ,连接,AG DF ,若AF BE =,则下列结论错误的是( )A .DF CE =B .120BGC ∠=︒C .2AF EG EC =⋅D .AG【答案】D【分析】先证明△BAF ≌△DAF ≌CBE ,△ABC 是等边三角形,得DF =CE ,判断A 项答案正确,由∠GCB +∠GBC =60゜,得∠BGC =120゜,判断B 项答案正确,证△BEG ∽△CEB 得BE CE GE BE= ,即可判断C 项答案正确,由120BGC ∠=︒,BC =1,得点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上,易得当点G 在等边△ABC 的内心处时,AG 取最小值,由勾股定理求得AG D 项错误.【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形,60ABC ∠=︒,∴AB =AD =BC =CD ,∠BAC =∠DAC =12∠BAD =12(180)ABC ⨯︒-∠=60ABC ︒=∠,∴△BAF ≌△DAF ≌CBE ,△ABC 是等边三角形,∴DF =CE ,故A 项答案正确,∠ABF =∠BCE ,∵∠ABC =∠ABF +∠CBF =60゜,∴∠GCB +∠GBC =60゜,∴∠BGC =180゜-60゜=180゜-(∠GCB +∠GBC )=120゜,故B 项答案正确,∵∠ABF =∠BCE ,∠BEG =∠CEB ,∴△BEG ∽△CEB ,∴BE CE GE BE = ,∴2BE GE CE = ,∵AF BE =,∴2AF GE CE = ,故C 项答案正确,∵120BGC ∠=︒,BC =1,点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上,∴当点G 在等边△ABC 的内心处时,AG 取最小值,如下图,∵△ABC 是等边三角形,BC =1,∴BF AC ⊥,AF =12AC =12,∠GAF =30゜,∴AG =2GF ,AG 2=GF 2+AF 2,∴2221122AG AG ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 解得AG D 项错误,故应选:D【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理,熟练掌握菱形的性质是解题的关键.9.(2022·贵州贵阳)如图,在ABC 中,D 是AB 边上的点,B ACD ∠=∠,:1:2AC AB =,则ADC 与ACB △的周长比是( )A .B .1:2C .1:3D .1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ,即有12AC AD CD AB AC BC ===,则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++,问题得解.【详解】∵∠B =∠ACD ,∠A =∠A ,∴△ACD ∽△ABC ,∴AC AD CD AB AC BC ==,∵12AC AB =,∴12AC AD CD AB AC BC ===,∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++,∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2,故选:B .【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键.10.(2022·广西)已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形,位似比是1:3,则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比( )A .1 :3B .1:6C .1:9D .3:1【答案】C【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方,即可得到答案.【详解】∵△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形,位似比是1:3,∴△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为1:9,故选:C .【点睛】本题考查位似图形的性质,熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键.11.(2022·山东临沂)如图,在ABC 中,∥DE BC ,23AD DB =,若6AC =,则EC =( )A .65B .125C .185D .245【答案】C【分析】由∥DE BC ,23AD DB =,可得2,3AD AE DB EC ==再建立方程即可.【详解】解: ∥DE BC ,23AD DB =,2,3AD AE DB EC ∴== 6AC =,62,3CE CE -∴= 解得:18.5CE =经检验符合题意故选C 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例,证明“23AD AE DB EC ==”是解本题的关键.12.(2022·山东威海)由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形,∠AOB =∠BOC =∠COD =…=∠LOM =30°.若S △AOB =1,则图中与△AOB 位似的三角形的面积为( )A .(43)3B .(43)7C .(43)6D .(34)6【答案】C【分析】根据题意得出A 、O 、G 在同一直线上,B 、O 、H 在同一直线上,确定与△AOB 位似的三角形为△GOH ,利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=6x ,再由相似三角形的性质求解即可.【详解】解:∵∠AOB =∠BOC =∠COD =…=∠LOM =30°∴∠AOG =180°,∠BOH =180°,∴A 、O 、G 在同一直线上,B 、O 、H 在同一直线上,∴与△AOB 位似的三角形为△GOH ,设OA =x ,则OB=1cos30OA x ==︒,∴OC=24cos303OB x x ==︒,∴OD=3cos30OC x ==︒,…∴OG=6x ,∴6OG OA =,∴12643GOH AOB S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ,∵1AOB S = ,∴643GOH S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,故选:C .【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形,找规律问题,相似三角形的性质等,理解题意,找出相应边的比值规律是解题关键.二.填空题13.(2022·贵州黔东南)如图,折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD ,折痕是DM ,点C 落在点E 处,分别延长ME 、DE 交AB 于点F 、G ,若点M 是BC 边的中点,则FG =______cm.【答案】53【分析】根据折叠的性质可得DE =DC =4,EM =CM =2,连接DF ,设FE =x ,由勾股定理得BF ,DF ,从而求出x 的值,得出FB ,再证明FEG FBM ∆∆ ,利用相似三角形对应边成比例可求出FG .【详解】解:连接,DF 如图,∵四边形ABCD 是正方形,∴4,90.AB BC CD DA A B C CDA ︒====∠=∠=∠=∠=∵点M 为BC 的中点,∴114222BM CM BC ===⨯=由折叠得,2,4,ME CM DE DC ====∠90,DEM C ︒=∠=∴∠90DEF ︒=,90,FEG ∠=︒设,FE x =则有222DF DE EF =+∴2224DF x =+又在Rt FMB ∆中,2,2FM x BM =+=,∵222FM FB BM =+∴FB ==∴4AF AB FB =-=在Rt DAF ∆中,222,DA AF DF +=∴2224(44,x +=+解得,124,83x x ==-(舍去)∴4,3FE =∴410233FM FE ME =+=+=∴83FB ==∵∠90DEM ︒=∴∠90FEG ︒=∴∠,FEG B =∠又∠.GFE MFB =∠∴△FEG FBM∆ ∴,FG FE FM FB=即4310833FG =∴5,3FG =故答案为:53【点睛】本题主要考查了正方形的性质,折叠的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,正确作出辅助线是解答本题的关键.14.(2022·上海)如图,在△ABC 中,∠A =30°,∠B =90°,D 为AB 中点,E 在线段AC 上,AD DE AB BC=,则AE AC =_____.【答案】12或14【分析】由题意可求出12DE BC =,取AC 中点E 1,连接DE 1,则DE 1是△ABC 的中位线,满足112DE BC =,进而可求此时112AE AC =,然后在AC 上取一点E 2,使得DE 1=DE 2,则212DE BC =,证明△DE1E2是等边三角形,求出E1E2=14AC ,即可得到214AE AC =,问题得解.【详解】解:∵D 为AB中点,∴12AD DE AB BC ==,即12DE BC =,取AC 中点E 1,连接DE 1,则DE 1是△ABC 的中位线,此时DE 1∥BC ,112DE BC =,∴112AE AD AC AB ==,在AC 上取一点E 2,使得DE 1=DE 2,则212DE BC =,∵∠A =30°,∠B =90°,∴∠C =60°,BC =12AC ,∵DE 1∥BC ,∴∠DE1E2=60°,∴△DE1E2是等边三角形,∴DE 1=DE 2=E1E2=12BC ,∴E1E2=14AC ,∵112AE AC =,∴214AE AC =,即214AE AC =,综上,AE AC 的值为:12或14,故答案为:12或14.【点睛】本题考查了三角形中位线的性质,平行线分线段成比例,等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等,根据12DE BC =进行分情况求解是解题的关键.15.(2022·北京)如图,在矩形ABCD 中,若13,5,4AF AB AC FC ===,则AE 的长为_______.【答案】1【分析】根据勾股定理求出BC ,以及平行线分线段成比例进行解答即可.【详解】解:在矩形ABCD 中:AD BC ∥,90ABC ∠=︒,∴14AE AF BC FC ==,4BC =,∴144AE =,∴1AE =,故答案为:1.【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例,掌握平行线分线段成比例是解题的关键.16.(2022·江苏常州)如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,9AC =,12BC =.在Rt DEF 中,90F ∠=︒,3DF =,4EF =.用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ,Rt DEF 从起始位置(点D 与点B 重合)平移至终止位置(点E 与点A 重合),且斜边DE 始终在线段AB 上,则Rt ABC △的外部被染色的区域面积是______.【答案】28【分析】过点F 作AB 的垂线交于G ,同时在图上标出,,M N F '如图,需要知道的是Rt ABC 的被染色的区域面积是MNF F S '梯形,所以需要利用勾股定理,相似三角形、平行四边形的判定及性质,求出相应边长,即可求解.【详解】解:过点F 作AB 的垂线交于G ,同时在图上标出,,M N F '如下图:90C ∠=︒ ,9AC =,12BC =,15AB ∴==,在Rt DEF 中,90F ∠=︒,3DF =,4EF =.5DE ∴==,15510AE AB DE =-=-= ,//,EF AF EF AF ''= ,∴四边形AEFF '为平行四边形,10AE FF '∴==,11622DEF S DF EF DE GF =⋅=⋅= ,解得:125GF =, //DF AC ,,DFM ACM FDM CAM ∴∠=∠∠=∠,DFM ACM ∴ ∽,13DM DF AM AC ∴==,1115344DM AM AB ∴===,//BC AF ' ,同理可证:ANF DNC ' ∽,13AF AN BC DN '∴==,345344DN AN AB ∴===,451530444MN DN DM ∴=-=-=,Rt ABC 的外部被染色的区域面积为130121028245MNF F S '⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭梯形,故答案为:28.【点睛】本题考查了直角三角形,相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质,解题的关键是把问题转化为求梯形的面积.17.(2022·广西)数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度,他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米,此时旗杆影长为7.2米,则旗杆的高度为______米.【答案】12【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变,构造相似三角形,然后根据相似三角形的性质解答.【详解】解:设旗杆为AB ,如图所示:根据题意得:ABC DEF ∆∆ ,∴DE EF AB BC= ∵2DE =米, 1.2EF =米,7.2BC =米,∴2 1.2=7.2AB 解得:AB =12米.故答案为:12.【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用,解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.18.(2022·广东深圳)已知ABC 是直角三角形,90,3,5,B AB BC AE ∠=︒===连接CE 以CE 为底作直角三角形CDE 且,CD DE =F 是AE 边上的一点,连接BD 和,BF BD 且45,FBD ∠=︒则AF 长为______.【分析】将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒,得到线段HD ,连接BH ,HE ,利用SAS 证明EDH CDB ∆≅∆,得5EH CB ==,90HED BCD ∠=∠=︒,从而得出////HE DC AB ,则ABF EHF ∆∆∽,即可解决问题.【详解】解:将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒,得到线段HD ,连接BH ,HE ,BDH ∴∆是等腰直角三角形,又EDC ∆ 是等腰直角三角形,HD BD ∴=,EDH CDB ∠=∠,ED CD =,()EDH CDB SAS ∴∆≅∆,5EH CB ∴==,90HED BCD ∠=∠=︒,90EDC ∠=︒ ,90ABC ∠=︒,////HE DC AB ∴,,ABF EHF BAF HEF ∴∠=∠∠=∠,ABF EHF ∴∆∆∽,∴==-AB AF AF EH EF AE AF ,AE =∴35=AF ∴=,【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质等知识,解题的关键是作辅助线构造全等三角形.19.(2022·广西河池)如图,把边长为1:2的矩形ABCD 沿长边BC ,AD 的中点E ,F 对折,得到四边形ABEF ,点G ,H 分别在BE ,EF 上,且BG =EH =25BE =2,AG 与BH 交于点O ,N 为AF 的中点,连接ON ,作OM ⊥ON 交AB 于点M ,连接MN ,则tan ∠AMN =_____.【答案】58##0.625【分析】先判断出四边形ABEF 是正方形,进而判断出△ABG ≌△BEH ,得出∠BAG =∠EBH ,进而求出∠AOB =90°,再判断出△AOB ~△ABG ,求出OA OB ==△OBM ~△OAN ,求出BM =1,即可求出答案.【详解】解:∵点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,∴11,22AF AD BE BC ==,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A =90°,AD ∥BC ,AD =BC ,∴12AF BE AD ==,∴四边形ABEF 是矩形,由题意知,AD =2AB ,∴AF =AB ,∴矩形ABEF 是正方形,∴AB =BE ,∠ABE =∠BEF =90°,∵BG =EH ,∴△ABG≌△BEH(SAS),∴∠BAG=∠EBH,∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°,∴∠AOB=90°,∵BG=EH=25BE=2,∴BE=5,∴AF=5,∴AG==∵∠OAB=∠BAG,∠AOB=∠ABG,∴△AOB∽△ABG,∴OA OB ABAB BG AG==,即52OA OB==∴OA OB==∵OM⊥ON,∴∠MON=90°=∠AOB,∴∠BOM=∠AON,∵∠BAG+∠FAG=90°,∠ABO+∠EBH=90°,∠BAG=∠EBH,∴∠OBM=∠OAN,∴△OBM~△OAN,∴OB BM OA AN=,∵点N是AF的中点,∴1522AN AF==,52BM=,解得:BM=1,∴AM=AB-BM=4,∴552tan48ANAMNAM∠===.故答案为:5 8【点睛】此题主要考查了矩形性质,正方形性质和判定,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,求出BM 是解本题的关键.20.(2022·内蒙古赤峰)如图,为了测量校园内旗杆AB 的高度,九年级数学应用实践小组,根据光的反射定律,利用镜子、皮尺和测角仪等工具,按以下方式进行测量:把镜子放在点O 处,然后观测者沿着水平直线BO 后退到点D ,这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A ,此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°,观测者眼睛与地面距离CD =1.7m ,BD =11m ,则旗杆AB 的高度约为_________m . 1.7≈)【答案】17【分析】如图容易知道CD ⊥BD ,AB ⊥BD ,即∠CDO =∠ABO =90°.由光的反射原理可知∠COD =∠AOB =60°,这样可以得到△COD ∽△AOB ,然后利用对应边成比例就可以求出AB .【详解】解:由题意知∠COD =∠AOB =60°,∠CDE =∠ABE =90°,∵CD =1.7m ,∴OD =60CD tan =︒≈1(m),∴OB =11-1=10(m),∴△COD ∽△AOB .∴CD OD AB OB =,即1.7110AB =,∴AB =17(m),答:旗杆AB 的高度约为17m .故答案为:17.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,相似三角形的应用,本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似三角形的性质就可以求出结果.21.(2022·湖北鄂州)如图,在边长为6的等边△ABC 中,D 、E 分别为边BC 、AC 上的点,AD 与BE 相交于点P ,若BD =CE =2,则△ABP 的周长为 _____.【答案】6+【分析】如图所示,过点E 作EF ⊥AB 于F ,先解直角三角形求出AF ,EF ,从而求出BF ,利用勾股定理求出BE 的长,证明△ABD ≌△BCE 得到∠BAD =∠CBE ,AD =BE ,再证明△BDP ∽△ADB ,得到62BP PD==,即可求出BP ,PD ,从而求出AP ,由此即可得到答案.【详解】解:如图所示,过点E 作EF ⊥AB 于F ,∵△ABC 是等边三角形,∴AB =BC ,∠ABD =∠BAC =∠BCE =60°,∵CE =BD =2,AB =AC =6,∴AE =4,∴cos 2sin AF AE EAF EF AE EAF =⋅∠==⋅∠=,,∴BF =4,∴BE =又∵BD =CE ,∴△ABD ≌△BCE (SAS ),∴∠BAD =∠CBE ,AD =BE ,又∵∠BDP =∠ADB ,∴△BDP ∽△ADB ,∴BD BP DP AD AB BD==,62BP PD==,∴BP PD =∴AP AD AP =-=,∴△ABP 的周长=6AB BP AP ++=故答案为:6+【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质,解直角三角形,勾股定理,相似三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,正确作出辅助线是解题的关键.22.(2022·山东潍坊)《墨子·天文志》记载:“执规矩,以度天下之方圆.”度方知圆,感悟数学之美.如图,正方形ABCD 的面积为4,以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形A B C D '''',若:2:1A B AB ='',则四边形A B C D ''''的外接圆的周长为___________.【答案】【分析】根据正方形ABCD 的面积为4,求出2AB =,根据位似比求出4A B ''=,周长即可得出;【详解】解: 正方形ABCD 的面积为4,∴2AB =,:2:1A B AB ''=,∴4A B ''=,∴A C ''==所求周长=;故答案为:.【点睛】本题考查位似图形,涉及知识点:正方形的面积,正方形的对角线,圆的周长,解题关键求出正方形ABCD 的边长.23.(2022·内蒙古包头)如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,3AC BC ==,D 为AB 边上一点,且BD BC =,连接CD ,以点D 为圆心,DC 的长为半径作弧,交BC 于点E (异于点C ),连接DE ,则BE的长为___________.【答案】3##3-+【分析】过点D 作DF ⊥BC 于点F ,根据题意得出DC DE =,根据等腰三角形性质得出CF EF =,根据90ACB ∠=︒,3AC BC ==,得出AB =CF x =,则3BF x =-,证明DF AC ,得出BF BDCF AD=,列出关于x 的方程,解方程得出x 的值,即可得出3BE =.【详解】解:过点D 作DF ⊥BC 于点F ,如图所示:根据作图可知,DC DE =,∵DF ⊥BC ,∴CF EF =,∵90ACB ∠=︒,3AC BC ==,∴AB ===∵3BD BC ==,∴3AD =,设CF x =,则3BF x =-,∵90ACB ∠=︒,∴AC BC ⊥,∵DF BC ⊥,∴DF AC ,∴BF BDCF AD =,即3x x -=,解得:x =,∴226CE x ===-,∴3363BE CE =-=-+=.故答案为:3.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定,勾股定理,平行线分线段成比例定理,平行线的判定,作出辅助线,根据题意求出CF 的长,是解题的关键.24.(2022·江苏泰州)如图上,Δ,90,8,6,ABC C AC BC ∠=== 中O 为内心,过点O 的直线分别与AC 、AB 相交于D 、E ,若DE=CD+BE ,则线段CD 的长为__________.【答案】2或12##12或2【分析】分析判断出符合题意的DE 的情况,并求解即可;【详解】解:①如图,作//DE BC ,OF BC OG AB ⊥⊥,,连接OB ,则OD ⊥AC ,∵//DE BC ,∴OBF BOE ∠=∠∵O 为ABC ∆的内心,∴OBF OBE ∠=∠,∴BOE OBE ∠=∠∴BE OE =,同理,CD OD =,∴DE=CD+BE ,10AB ===∵O 为ABC ∆的内心,∴OF OD OG CD ===,∴BF BG AD AG==,∴6810AB BG AG BC CD AC CD CD CD =+=-+-=-+-=∴2CD =②如图,作DE AB ⊥,由①知,4BE =,6AE =,∵ACB AED CAB EAD ∠=∠∠=∠,∴ABC ADE ∆∆ ∴AB ADAC AE=∴1061582AB AE AD AC ⋅⨯===∴151822CD AC AD =-=-=∵92DE ===∴19422DE BE CD =+=+=∴12CD =故答案为:2或12.【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似,根据题意正确分析出符合题意的情况并应用性质定理进行求解是解题的关键.25.(2022·黑龙江绥化)如图,60AOB ∠=︒,点1P 在射线OA 上,且11OP =,过点1P 作11PK OA ⊥交射线OB 于1K ,在射线OA 上截取12PP ,使1211PPPK =;过点2P 作22P K OA ⊥交射线OB 于2K ,在射线OA 上截取23P P ,使2322P P P K =.按照此规律,线段20232023P K 的长为________.20221【分析】解直角三角形分别求得11PK ,22P K ,33P K ,……,探究出规律,利用规律即可解决问题.【详解】解:11PK OA ⊥ ,11OPK ∴△是直角三角形,在11Rt OPK 中,60AOB ∠=︒,11OP =,12111tan 60PP PK OP ∴==⋅︒=11PK OA ⊥ ,22P K OA ⊥,1122PK P K ∴∥,2211OP K OPK ∴△∽△,222111P K OP PK OP ∴=,=221P K ∴,同理可得:2331P K =+,3441P K =,……,11n n n P K -∴=,2022202320231P K ∴=,20221.【点睛】本题考查了图形的规律,解直角三角形,平行线的判定,相似三角形的判定与性质,解题的关键是学会探究规律的方法.26.(2022·黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,点1A ,2A ,3A ,4A ……在x 轴上且11OA =,212OA OA =,322OA OA =,432OA OA =……按此规律,过点1A ,2A ,3A ,4A ……作x轴的垂线分别与直线y =交于点1B ,2B ,3B ,4B ……记11OA B ,22OA B △,33 OA B ,44 OA B ……的面积分别为1S ,2S ,3S ,4S ……,则2022S =______.【答案】2【分析】先求出11A B =,可得11OA B S =112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥,从而得到11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △,再利用相似三角形的性质,可得11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231:2:2:2::2n ,即可求解.【详解】解:当x =1时,y =,∴点(1B ,∴11A B =∴11112OA B S =⨯= ,∵根据题意得:112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥,∴11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △,∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S :……∶n n OA B S = OA 12∶OA 22∶OA 32∶……∶OAn 2,∵11OA =,212OA OA =,322OA OA =,432OA OA =,……,∴22OA =,2342OA ==,3482OA ==,……,12n n OA -=,∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231246221:2:2:2::21:2:2:2::2n n --= ,∴11222n n n OA B OA B S S -= ,∴220222202222S ⨯-==故答案为:2【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题,相似三角形的判定和性质,明确题意,准确得到规律,是解题的关键.27.(2022·广西)如图,在正方形ABCD 中,AB =,对角线,AC BD 相交于点O .点E 是对角线AC 上一点,连接BE ,过点E 作EF BE ⊥,分别交,CD BD 于点F 、G ,连接BF ,交AC 于点H ,将EFH △沿EF 翻折,点H 的对应点H '恰好落在BD 上,得到EFH '△若点F 为CD 的中点,则EGH '△的周长是_________.【答案】5+【分析】过点E 作PQ //AD 交AB 于点P ,交DC 于点Q ,得到BP =CQ ,从而证得BPE ≌EQF △,得到BE =EF ,再利用BC =F 为中点,求得BF ==BE EF ===,再求出2EO ==,再利用AB //FC ,求出ABH CFH △∽△21AH CH ==,求得216833AH =⨯=,18833CH =⨯=,从而得到EH =AH -AE =1610233-=,再求得EOB GOE △∽△得到21242OG ===,求得EG OG =1, 过点F 作FM ⊥AC 于点M ,作FN ⊥OD 于点N ,求得FM =2,MH =23,FN =2,证得Rt FH N '△≌Rt FMH 得到23H N MH '==,从而得到ON =2,NG =1,25133GH '=+=,从而得到答案.【详解】解:过点E 作PQ //AD 交AB 于点P ,交DC 于点Q ,∵AD //PQ ,∴AP =DQ ,BPQ CQE ∠=∠,∴BP =CQ ,∵45ACD ∠=︒,∴BP =CQ =EQ ,∵EF ⊥BE ,∴90PEB FEQ ∠+∠=︒∵90PBE PEB ∠+∠=︒∴PBE FEQ ∠=∠,在BPE 与EQF △中BPQ FQE PB EQPBE FEQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BPE ≌EQF △,∴BE =EF ,又∵BC AB ==F 为中点,∴CF =∴BF ==∴BE EF ===,又∵4BO ==,∴2EO ==,∴AE =AO -EO =4-2=2,∵AB //FC ,∴ABH CFH △∽△,∴AB AH CF CH=,21AH CH ==,∵8AC ==, ∴216833AH =⨯=,18833CH =⨯=,∴EH =AH -AE =1610233-=,∵90BEO FEO ∠+∠=︒,+90BEO EBO ∠∠=︒,∴FEO EBO ∠=∠,又∵90EOB EOG ∠=∠=︒,∴EOB GOE△∽△∴EG OG OE BE OE OB==,21242OG ===,∴EG OG =1,过点F 作FM ⊥AC 于点M ,∴FM=MC 2=,∴MH =CH -MC =82233-=, 作FN ⊥OD 于点N ,2,FN ==,在Rt FH N '△与Rt FMH 中FH FH FN FM'=⎧⎨=⎩∴Rt FH N '△≌Rt FHM∴23H N MH '==,∴ON =2,NG =1,∴25133GH '=+=,∴10533EGH C EH EG GH EH EG GH '''=++=++=△,故答案为:【点睛】本题考查了正方形的性质应用,重点是与三角形相似和三角形全等的结合,熟练掌握做辅助线是解题的关键.28.(2022·辽宁)如图,在正方形ABCD 中,E 为AD 的中点,连接BE 交AC 于点F .若6AB =,则AEF 的面积为___________.【答案】3【分析】由正方形的性质可知1113222AE AD AB BC ====,//AD BC ,则有AEF CBF ∽△△,然后可得12EF AE BF BC ==,进而问题可求解.【详解】解:∵四边形ABCD 是正方形,6AB =,∴6AD BC AB ===,//AD BC ,∴AEF CBF ∽△△,∴EF AE BF BC=,∵E 为AD 的中点,∴1113222AE AD AB BC ====,∴12EF AE BF BC ==,192ABE S AE AB =⋅= ,∴13EF BE =,∴133AEF ABE S S == ;故答案为3.【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定,熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.29.(2022·贵州贵阳)如图,在四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点E ,6cm AC BC ==,90ACB ADB ∠=∠=︒.若2BE AD =,则ABE △的面积是_______2cm ,AEB ∠=_______度.【答案】 36-36- 112.5【分析】通过证明ADE BCE ,利用相似三角形的性质求出23m AE =,263m CE =-,再利用勾股定理求出其长度,即可求三角形ABE 的面积,过点E 作EF ⊥AB ,垂足为F ,证明AEF 是等腰直角三角形,再求出AE CE =,继而证明()Rt BCE Rt BFE HL ≅ ,可知122.52EBF EBC ABC ∠=∠=∠=︒,利用外角的性质即可求解.【详解】90,ACB ADB AED BEC ∠=∠=︒∠=∠ ,ADE BCE ∴ ,AD AE BC BE∴=,6,2BC AC BE AD === ,设,2AD m BE m ==,62m AE m∴=,23m AE ∴=,263m CE ∴=-,在Rt BCE 中,由勾股定理得222BC CE BE +=,22226(6)(2)2m m ∴+-=,解得236m =-或236m =+ 对角线AC ,BD 相交于点E ,236m ∴=-,12AE ∴=-,6CE ∴=,∴(2111263622ABE S AE BC =⋅⋅=⨯-⨯=- ,过点E 作EF ⊥AB ,垂足为F ,90,ACB AC BC ∠=︒= ,45BAC ABC AEF ∴∠=∠=︒=∠,6AE AF AE CE ∴====,BE BE = ,()Rt BCE Rt BFE HL ∴≅ ,122.52EBF EBC ABC ∴∠=∠=∠=︒,112.5AEB ACB EBC ∴∠=∠+∠=︒,故答案为:36-,112.5.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质及三角形外角的性质,熟练掌握知识点是解题的关键.三.解答题30.(2022·河北)如图,某水渠的横断面是以AB 为直径的半圆O ,其中水面截线MN AB ∥.嘉琪在A 处测得垂直站立于B 处的爸爸头顶C 的仰角为14°,点M 的俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7m .(1)求∠C 的大小及AB 的长;(2)请在图中画出线段DH ,用其长度表示最大水深(不说理由),并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位).(参考数据:tan 76︒取4 4.1)【答案】(1)=76C ∠︒, 6.8(m)AB =(2)见详解,约6.0米【分析】(1)由水面截线MN AB ∥可得BC AB ⊥,从而可求得76C ∠=︒,利用锐角三角形的正切值即可求解.(2)过点O 作O H M N ⊥,交MN 于D 点,交半圆于H 点,连接OM ,过点M 作MG ⊥OB 于G ,水面截线MN AB ∥,即可得DH 即为所求,由圆周角定理可得14BOM ∠=︒,进而可得ABC OGM ,利用相似三角形的性质可得4OG GM =,利用勾股定理即可求得GM 的值,从而可求解.(1)解:∵水面截线MN AB∥BC AB ∴⊥,90ABC ∴∠=︒,90=76C CAB ∴∠=︒-∠︒,在t R ABC 中,90ABC ∠=︒, 1.7BC =,tan 76 1.7AB AB BC ∴︒==,解得 6.8(m)AB ≈.(2)过点O 作O H M N ⊥,交MN 于D 点,交半圆于H 点,连接OM ,过点M 作MG ⊥OB 于G ,如图所示:水面截线MN AB ∥,OH AB ⊥,DH MN ∴⊥,GM OD =,DH ∴为最大水深,7BAM ∠=︒ ,214BOM BAM ∴∠=∠=︒,90ABC OGM ∠=∠=︒ ,且14BAC ∠=︒,ABC OGM ∴ ,OG MG AB CB ∴=,即6.8 1.7OG MG =,即4OG GM =,在Rt OGM △中,90OGM ∠=︒, 3.42AB OM =≈,222OG GM OM ∴+=,即2224(3.4)GM GM +=(),解得0.8GM ≈,= 6.80.86DH OH OD ∴-=-≈,∴最大水深约为6.0米.【点睛】本题考查了解直角三角形,主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理,熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键.31.(2022·吉林)下面是王倩同学的作业及自主探究笔记,请认真阅读并补充完整.【作业】如图①,直线12l l ∥,ABC 与DBC △的面积相等吗?为什么?解:相等.理由如下:设1l 与2l 之间的距离为h ,则12ABC S BC h =⋅ ,12DBC S BC h =⋅△.∴ABC DBC S S = .【探究】(1)如图②,当点D 在1l ,2l 之间时,设点A ,D 到直线2l 的距离分别为h ,h ',则ABC DBC S h S h ='△△.证明:∵ABC S(2)如图③,当点D 在1l ,2l 之间时,连接AD 并延长交2l 于点M ,则ABC DBC S AM S DM =△△.证明:过点A 作AE BM ⊥,垂足为E ,过点D 作DF BM ⊥,垂足为F ,则90AEM DFM ∠=∠=︒,∴AE ∥ .∴AEM △∽ .∴AE AM DF DM =.由【探究】(1)可知ABC DBC S S =△△ ,∴ABC DBC S AM S DM =△△.(3)如图④,当点D 在2l 下方时,连接AD 交2l 于点E .若点A ,E ,D 所对应的刻度值分别为5,1.5,0,ABC DBC S S △△的值为 .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)73【分析】(1)根据三角形的面积公式可得11,22ABC DBC S S BC h BC h '=⋅=⋅ ,由此即可得证;(2)过点A 作AE BM ⊥,垂足为E ,过点D 作DF BM ⊥,垂足为F ,先根据平行线的判定可得AE DF ,再根据相似三角形的判定可证AEM DFM ~ ,根据相似三角形的性质可得AE AM DF DM=,然后结合【探究】(1)的结论即可得证;(3)过点A 作AM BC ⊥于点M ,过点D 作DN BC ⊥于点N ,先根据相似三角形的判定证出AME DNE ~ ,再根据相似三角形的性质可得73AM AE DN DE ==,然后根据三角形的面积公式可得12ABC S BC AM =⋅ ,12DBC S BC DN =⋅ ,由此即可得出答案.(1)证明:12ABC S BC h =⋅ ,12DBC BC h S '=⋅ ,ABC DBC S h S h ∴='.(2)证明:过点A 作AE BM ⊥,垂足为E ,过点D 作DF BM ⊥,垂足为F ,则90AEM DFM ∠=∠=︒,AE DF ∴∥.AEM DFM ~∴ .AE AM DF DM∴=.由【探究】(1)可知ABC DBC S AE S DF= ,ABC DBC S AM S DM ∴= .(3)解:过点A 作AM BC ⊥于点M ,过点D 作DN BC ⊥于点N ,则90AME DNE ∠=∠=︒,AM DN ∴ ,AME DNE ∴~ ,AM AE DN DE∴=, 点,,A E D 所对应的刻度值分别为5,1.5,0,5 1.5 3.5AE ∴=-=, 1.5DE =,3.571.53AM DN ∴==,又12ABC S BC AM =⋅ ,12DBC S BC DN =⋅ ,73ABCDBC S AM S DN =∴= ,故答案为:73.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.32.(2022·山东青岛)如图,在Rt ABC △中,90,5cm,3cm ACB AB BC ∠=︒==,将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到ADE ,连接CD .点P 从点B 出发,沿BA 方向匀速运动,速度为1cm/s ;同时,点Q 从点A 出发,沿AD 方向匀速运动,速度为1cm/s .PQ 交AC 于点F ,连接,CP EQ .设运动时间为(s)(05)t t <<.解答下列问题:(1)当EQ AD ⊥时,求t 的值;(2)设四边形PCDQ 的面积为()2cm S ,求S 与t 之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t ,使PQ CD ∥?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)16s 5(2)213714210S t t =-+(3)存在,65s 29t =【分析】(1)利用AQE AED △∽△得AQ AE AE AD =,即445t =,进而求解;(2)分别过点C ,P 作,CM AD PN BC ⊥⊥,垂足分别为M ,N ,证ABC CAM △∽△得,AB BC AC CA AM CM ==,求得121655AM CM ==,再证BPN BAC △∽△得BP PN BA AC=,得出45PN t =,根据ABC ACD APQ BPC PCDQ S S S S S S ==+-- 四边形即可求出表达式;(3)当PQ CD ∥时AQP ADC ∠=∠,易证APQ MCD △∽△,得出AP AQ MC MD =,则5161355t t -=,进而求出t 值.(1)解:在Rt ABC △中,由勾股定理得,4AC ===∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到ADE。

《相似三角形》中考试题选编(含答案)

《相似三角形》中考试题选编(含答案)
求证:△ABC∽△FDE.
4、(2008年杭州市)(本小题满分10分)
如图:在等腰△ABC中,CH是底边上的高线,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.
(1)证明:∠CAE=∠CBF;
(2)证明:AE=BF;
(3)以线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G),记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取之范围。
°°°°
2、(2008湘潭市) 如图,已知D、E分别是 的AB、AC边上的点, 且 那么 等于( )
A.1:9B.1:3
C.1:8D.1:2
3、(2008 台湾)如图G是ABC的重心,直线L过A点与BC平行。若直线CG分别与AB、L交于D、E两点,直线BG与AC交于F点,则AED的面积:四边形ADGF的面积=?( )
A. B. C. D.
18、(2008 江苏 常州)如图,在△ABC中,若DE∥BC, = ,DE=4cm,则BC的长为( )
A.8cmB.12cmC.11cmD.10cm
19、(2008 江西南昌)下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是()
20、(2008 重庆)若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为2︰3,则S△ABC︰S△DEF为()
相似三角形中考真题试题汇编
二、填空题
6、(2008年江苏省南通市)已知∠A=40°,则∠A的余角等于=________度.
8、(2008年荆州)两个相似三角形周长的比为2:3,则其对应的面积比为___________.
9、(2008年庆阳市)两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为.

初中相似三角形经典习题(附答案)

初中相似三角形经典习题(附答案)

一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.考点:相似三角形的判定;平行线的性质。

分析:根据平行线的性质可知∠AED=∠C,∠A=∠FEC,根据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC.解答:证明:∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EFC.点评:本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.考点:相似三角形的判定;三角形中位线定理;梯形。

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分析:(1)利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF.(2)根据点F是BC的中点这一条件,可得△CDF≌△BGF,则CD=BG,只要求出BG的长即可解题.解答:(1)证明:∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,(2分)∴△CDF∽△BGF.(3分)(2)解:由(1)△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF,CD=BG,(6分)∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG.∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm.(8分)点评:本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质,全等三角形的判定及线段的等量代换,比较复杂.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.分析:由FD∥AB,FE∥AC,可知∠B=∠FDE,∠C=∠FED,根据三角形相似的判定定理可知:△ABC∽△FDE.解答:证明:∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE.点评:本题很简单,考查的是相似三角形的判定定理:(1)如果两个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似;(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似;(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,则这两个三角形相似.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.解答:证明:∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,(2分)∴∠BAF=∠AED.(4分)∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°.∴∠AFB=∠D.(5分)∴△ABF∽△EAD.(6分)点评:考查相似三角形的判定定理,关键是找准对应的角.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.考点:相似三角形的判定;全等三角形的判定;等腰三角形的判定;旋转的性质。

中考数学 相似三角形专题训练(含答案)

中考数学 相似三角形专题训练(含答案)

2020中考数学相似三角形专题训练(含答案)一、选择题:1. 如图,把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置,它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半,若BC=,则△ABC移动的距离是( )A.B.C.D.﹣答案:D.2.如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,点F为BC边上一点,连接AF交DE于点G,则下列结论中一定正确的是( )A.=B.=C.=D.=答案:C3. 如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,连接BE并延长交AD于点F,已知S△AEF=4,则下列结论:①=;②S△BCE=36;③S△ABE=12;④△AEF~△ACD,其中一定正确的是( )A.①②③④ B.①④ C.②③④D.①②③答案D.4.如图,矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,CF平分∠BCD,交EA的延长线于点F,且BC=4,CD=2,给出下列结论:①∠BAE=∠CAD;②∠DBC=30°;③AE=;④AF=2,其中正确结论的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案C.二、填空题:5.已知AB∥CD,AD与BC相交于点O.若=,AD=10,则AO= .答案:4.6. 在△ABC在,AB=6,AC=5,点D在边AB上,且AD=2,点E在边AC上,当AE= 时,以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似.答案:或.7.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形,如果其中一个是等腰三角形,另外一个三角形和原三角形相似,那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图,线段CD是△ABC的“和谐分割线”,△ACD为等腰三角形,△CBD和△ABC相似,∠A=46°,则∠ACB的度数为.故答案为113°或92°.8.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,CM是∠BCD的平分线,且CM⊥AB,M为垂足,AM= AB.若四边形ABCD的面积为,则四边形AMCD的面积是.答案:1.9. (2017内江)如图,正方形ABCD中,BC=2,点M是边AB的中点,连接DM,DM与AC交于点P,点E在DC上,点F在DP上,且∠DFE=45°.若PF=,则CE= .答案:.10.如图,在▱ABCD中,∠B=30°,AB=AC,O是两条对角线的交点,过点O作AC的垂线分别交边AD,BC于点E,F,点M是边AB的一个三等分点,则△AOE与△BMF的面积比为.故答案为3:4.三、解答题:11.如图,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF=∠B,且点D、F分别在边AB、AC上.(1)求证:△BDE∽△CEF;(2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC.【解答】解:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB,∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB,∵∠DEF=∠B,∴∠BDE=∠CEF,∴△BDE∽△CEF;(2)∵△BDE∽△CEF,∴,∵点E是BC的中点,∴BE=CE,∴,∵∠DEF=∠B=∠C,∴△DEF∽△CEF,∴∠DFE=∠CFE,∴FE平分∠DFC.12.如图示,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相交于点G,连接CF.①求证:△DAE≌△DCF;②求证:△ABG∽△CFG.【解答】证明:①∵正方形ABCD,等腰直角三角形EDF,∴∠ADC=∠EDF=90°,AD=CD,DE=DF,∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF,∴∠ADE=∠CDF,在△ADE和△CDF中,,∴△ADE≌△CDF;②延长BA到M,交ED于点M,∵△ADE≌△CDF,∴∠EAD=∠FCD,即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF,∵∠MAD=∠BCD=90°,∴∠EAM=∠BCF,∵∠EAM=∠BAG,∴∠BAG=∠BCF,∵∠AGB=∠CGF,∴△ABG∽△CFG.13. 如图,在▱ABCD中过点A作AE⊥DC,垂足为E,连接BE,F为BE上一点,且∠AFE=∠D.(1)求证:△ABF∽△BEC;(2)若AD=5,AB=8,sinD=,求AF的长.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,AD=BC,∴∠D+∠C=180°,∠ABF=∠BEC,∵∠AFB+∠AFE=180°,∴∠C=∠AFB,∴△ABF∽△BEC;(2)解:∵AE⊥DC,AB∥DC,∴∠AED=∠BAE=90°,在Rt△ABE中,根据勾股定理得:BE===4,在Rt△ADE中,AE=AD•sinD=5×=4,∵BC=AD=5,由(1)得:△ABF∽△BEC,∴,即,解得:AF=2.∵△ADF∽△DEC,14. 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D与点B在AC同侧,∠DAC>∠BAC,且DA=DC,过点B作BE∥DA交DC于点E,M为AB的中点,连接MD,ME.(1)如图1,当∠ADC=90°时,线段MD与ME的数量关系是 MD=ME ;(2)如图2,当∠ADC=60°时,试探究线段MD与ME的数量关系,并证明你的结论;(3)如图3,当∠ADC=α时,求的值.【解答】解:(1)如图1,延长EM交AD于F,∵BE∥DA,∴∠FAM=∠EBM,∵AM=BM,∠AMF=∠BME,∴△AMF≌△BME,∴AF=BE,MF=ME,∵DA=DC,∠ADC=90°,∴∠BED=∠ADC=90°,∠ACD=45°,∵∠ACB=90°,∴∠ECB=45°,∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB,∴CE=BE,∴AF=CE,∵DA=DC,∴DF=DE,∴DM⊥EF,DM平分∠ADC,∴∠MDE=45°,∴MD=ME,故答案为MD=ME;(2)MD=ME,理由:如图2,延长EM交AD于F,∵BE∥DA,∴∠FAM=∠EBM,∵AM=BM,∠AMF=∠BME,∴△AMF≌△BME,∴AF=BE,MF=ME,∵DA=DC,∠ADC=60°,∴∠BED=∠ADC=60°,∠ACD=60°,∵∠ACB=90°,∴∠ECB=30°,∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB,∴CE=BE,∴AF=CE,∵DA=DC,∴DF=DE,∴DM⊥EF,DM平分∠ADC,∴∠MDE=30°,在Rt△MDE中,tan∠MDE=,∴MD=ME.(3)如图3,延长EM交AD于F,∵BE∥DA,∴∠FAM=∠EBM,∵AM=BM,∠AMF=∠BME,∴△AMF≌△BME,∴AF=BE,MF=ME,延长BE交AC于点N,∴∠BNC=∠DAC,∵DA=DC,∴∠DCA=∠DAC,∴∠BNC=∠DCA,∵∠ACB=90°,∴∠ECB=∠EBC,∴CE=BE,∴AF=CE,∴DF=DE,∴DM⊥EF,DM平分∠ADC,∵∠ADC=α,∴∠MDE=,在Rt△MDE中,=tan∠MDE=tan.15. (1)阅读理解:如图①,在四边形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中点,若AE 是∠BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系.解决此问题可以用如下方法:延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC,得到AB=FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断.AB、AD、DC之间的等量关系为 AD=AB+DC ;(2)问题探究:如图②,在四边形ABCD中,AB∥DC,AF与DC的延长线交于点F,E 是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.(3)问题解决:如图③,AB∥CF,AE与BC交于点E,BE:EC=2:3,点D在线段AE 上,且∠EDF=∠BAE,试判断AB、DF、CF之间的数量关系,并证明你的结论.【解答】解:(1)如图①,延长AE交DC的延长线于点F,∵AB∥DC,∴∠BAF=∠F,∵E是BC的中点,∴CE=BE,在△AEB和△FEC中,,∴△AEB≌△FEC,∴AB=FC,∵AE是∠BAD的平分线,∴∠DAF=∠BAF,∴∠DAF=∠F,∴DF=AD,∴AD=DC+CF=DC+AB,故答案为:AD=AB+DC;(2)AB=AF+CF,证明:如图②,延长AE交DF的延长线于点G,∵E是BC的中点,∴CE=BE,∵AB∥DC,∴∠BAE=∠G,在△AEB和△GEC中,,∴△AEB≌△GEC,∴AB=GC,∵AE是∠BAF的平分线,∴∠BAG=∠FAG,∵AB∥CD,∴∠BAG=∠G,∴∠FAG=∠G,∴FA=FG,∴AB=CG=AF+CF;(3)AB=(CF+DF),证明:如图③,延长AE交CF的延长线于点G,∵AB∥CF,∴△AEB∽△GEC,∴==,即AB=CG,∵AB∥CF,∴∠A=∠G,∵∠EDF=∠BAE,∴∠FDG=∠G,∴FD=FG,∴AB=CG=(CF+DF).。

《相似三角形》中考复习题专题及答案

《相似三角形》中考复习题专题及答案

相似三角形一。

选择题(1)△ABC 中,D 、E 、F 分别是在AB 、AC 、BC 上的点,DE ∥BC ,EF ∥AB ,那么下列各式正确的是( ) A.DB AD =EC BF B.AC AB =FCEF C 。

DB AD =FC BF D 。

EC AE =BF AD (2)在△ABC 中,BC=5,CA=45,AB=46,另一个与它相似的三角形的最短边是15,则最长边是( ) A 。

138 B 。

346 C 。

135 D.不确定(3)在△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,∠ABC 的平分线交AC 于D ,则构成的三个三角形中,相似的是( ) A 。

△ABD ∽△BCD B.△ABC ∽△BDC C.△ABC ∽△ABD D 。

不存在(4)将三角形高分为四等分,过每个分点作底边的平行线,将三角形分四个部分,则四个部分面积之比是( )A.1∶3∶5∶7 B 。

1∶2∶3∶4 C 。

1∶2∶4∶5 D 。

1∶2∶3∶5(5)下列命题中,真命题是( )A.有一个角为30°的两个等腰三角形相似 B 。

邻边之比都等于2的两个平行四边形相似C.底角为40°的两个等腰梯形相似 D 。

有一个角为120°的两个等腰三角形相似(6)直角梯形ABCD 中,AD 为上底,∠D=Rt ∠,AC ⊥AB ,AD=4,BC=9,则AC 等于( )A.5 B 。

6 C 。

7 D 。

8(7)已知CD 为Rt △ABC 斜边上的中线,E 、F 分别是AC 、BC 中点,则CD 与EF 关系是( )A.EF >CD B 。

EF=CD C 。

EF <CD D 。

不能确定(8)下列命题①相似三角形一定不是全等三角形 ②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比;③边数相同,对应角相等的两个多边形相似;④O 是△ABC 内任意一点.OA 、OB 、OC 的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC.其中正确的个数是( )A 。

相似三角形测试卷(含答案)

相似三角形测试卷(含答案)

相似三角形测试卷(满分120分)一.选择题(共10小题,每个5分)1.如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F是矩形ABCD外两点,AE⊥CF于点H,AD=3,DC=4,DE=,∠EDF=90°,则DF长是()(第1题)(第2题)(第3题)(第4题)A .B.C.D.2.如图,△ABC中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的顶点E,F在△ABC内,顶点D,G分别在AB,AC 上,AD=AG,DG=6,则点F到BC的距离为()A .1 B.2 C.12﹣6 D.6﹣63.如图,在△ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DE∥BC交AC于点E,若线段DE=5,则线段BC的长为()A .7.5 B.10 C.15 D.204.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、BC上的点,且DE∥AC,若S△BDE:S△CDE=1:4,则S△BDE:S△ACD=()A .1:16 B.1:18 C.1:20 D.1:245.如图,已知△ABC的面积是12,BC=6,点E、I分别在边AB、AC上,在BC边上依次做了n个全等的小正方形DEFG,GFMN,…,KHIJ,则每个小正方形的边长为()(第5题)(第6题)(第7题)A .B.C.D.6.如图,△ABC中,点D、E分别是AC、BC边上的点,且DE∥AB,AD:DC=1:2,△ABC的面积是18,则△DEC的面积是()A .8 B.9 C.12 D.157.如图,AB是⊙O的直径且AB=,点C是OA的中点,过点C作CD⊥AB交⊙O于D点,点E是⊙O上一点,连接DE,AE交DC的延长线于点F,则AF•AE的值为()A .B.12 C.D.8.如图,▱ABCD中,AB=3,BC=5,BE平分∠ABC交AD于点E、交AC于点F,则的值为()(第8题)(第9题)(第10题)A .B.C.D.9.如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,G,F分别为AD,BC边上的点,若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,则GF的长为()A .x B.2 C.n D.310.如图,在△ABC中,AB=AC=a,BC=b(a>b),在△ABC内依次作∠CBD=∠A,∠DCE=∠CBD,则DE等于()A .B.C.D.二.填空题(共10小题,每个5分)11.如图,在梯形ABCD中,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,如果直线AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似,那么这样的点P有_________个.(第11题)(第12题)(第13题)(第14题)12.如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,且∠ADE=60°,BD=3,CE=2,则△ABC的边长为_________.13.如图,在△ABC中,D为AC边上的点,∠DBC=∠A,,AC=3,则CD的长为_________.14.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点A、C分别在x,y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上,且QO=OC,连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为_________.15.将一副三角尺如图所示叠放在一起,则的值是_________.(第15题)(第16题)(第17题)16.如图,正方形ABCD的边长为4,E、F分别是BC、CD上的两个动点,且AE⊥EF.则AF的最小值是_________.17.如图,在▱ABCD中,AB=6cm,AD=9cm,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=4cm,则EF+CF的长为_________cm.18.如图,O为矩形ABCD的中心,M为BC边上一点,N为DC边上一点,ON⊥OM,若AB=6,AD=4,设OM=x,ON=y,则y与x的函数关系式为_________.(第18题)(第19题)(第20题)19.如图,△ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,且AD=AB,DF∥BC,E为BD的中点.若EF⊥AC,BC=6,则四边形DBCF的面积为_________.20.如图,在正方形ABCD内有一折线段,其中AE⊥EF,EF⊥FC,并且AE=4,EF=8,FC=12,则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为_________.三.解答题(共2小题,每个10分)21.如图.在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,点E是AB的中点,连接EF.(1)求证:EF∥BC;(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.22.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.(1)求证:△ADF∽△DEC;(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长.参考答案一.选择题(共10小题)1--5.CDCCD 6--10ABBDC二.填空题(共10小题)11.612.9 13.2 14.(2,4﹣2).15.16.5.17.518.y=x19.15.20.80π﹣160.三.解答题(共2小题)21.如图.在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,点E是AB 的中点,连接EF.(1)求证:EF∥BC;(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.解答:(1)证明:∵DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于F,∴F为AD的中点,∵点E是AB的中点,∴EF为△ABD的中位线,∴EF∥BC;(2)解:∵EF为△ABD的中位线,∴,EF∥BD,∴△AEF∽△ABD,∴S△AEF:S△ABD=1:4,∴S△AEF:S四边形BDEF=1:3,∵四边形BDFE的面积为6,∴S△AEF=2,∴S△ABD=S△AEF+S四边形BDEF=2+6=8.22.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.(1)求证:△ADF∽△DEC;(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长.解答:(1)证明:∵▱ABCD,∴AB∥CD,AD∥BC,∴∠C+∠B=180°,∠ADF=∠DEC.∵∠AFD+∠AFE=180°,∠AFE=∠B,∴∠AFD=∠C.在△ADF与△DEC中,∴△ADF∽△DEC.(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=8.由(1)知△ADF∽△DEC,∴,∴DE===12.在Rt△ADE中,由勾股定理得:AE===6.。

中考数学相似三角形试题解析

中考数学相似三角形试题解析

中考数学相似三角形试题一.选择题(共28小题)1.制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是()A.360元B.720元C.1080元D.2160元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本,根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积,计算即可.【解答】解:3m×2m=6m2,∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2,将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,则面积扩大为原来的9倍,∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2,∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2,故选:C.2.两三角形的相似比是2:3,则其面积之比是()A.: B.2:3 C.4:9 D.8:27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.【解答】解:∵两三角形的相似比是2:3,∴其面积之比是4:9,故选:C.3.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为()A.3cm B.4cm C.4.5cm D.5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得.【解答】解:设另一个三角形的最长边长为xcm,根据题意,得:=,解得:x=4.5,即另一个三角形的最长边长为4.5cm,故选:C.4.已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1:3,则△ABC与△A1B1C1的面积比为()A.1:1 B.1:3 C.1:6 D.1:9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方,求出即可.【解答】解:已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1:3,则△ABC与△A1B1C1的面积比为1:9,故选:D.5.已知△ABC∽△DEF,相似比为2,且△ABC的面积为16,则△DEF的面积为()A.32 B.8 C.4 D.16【分析】由△ABC∽△DEF,相似比为2,根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方,即可得△ABC与△DEF的面积比为4,又由△ABC的面积为16,即可求得△DEF的面积.【解答】解:∵△ABC∽△DEF,相似比为2,∴△ABC与△DEF的面积比为4,∵△ABC的面积为16,∴△DEF的面积为:16×=4.故选:C.6.已知△ABC∽△DEF,且相似比为1:2,则△ABC与△DEF的面积比为()A.1:4 B.4:1 C.1:2 D.2:1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可.【解答】解:∵△ABC∽△DEF,且相似比为1:2,∴△ABC与△DEF的面积比为1:4,故选:A.7.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是()A.B.C.D.【分析】根据正方形的性质求出∠ACB,根据相似三角形的判定定理判断即可.【解答】解:由正方形的性质可知,∠ACB=180°﹣45°=135°,A、C、D图形中的钝角都不等于135°,由勾股定理得,BC=,AC=2,对应的图形B中的边长分别为1和,∵=,∴图B中的三角形(阴影部分)与△ABC相似,故选:B.8.在△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则△ADE与△ABC的面积之比为()A.B.C.D.【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点,可得出DE为△ABC的中位线,进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC,再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比.【解答】解:∵点D、E分别为边AB、AC的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=()2=.故选:C.9.如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,若△ADE的面积为4,则△ABC的面积为()A.8 B.12 C.14 D.16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC,DE=BC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.【解答】解:∵在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC,∴△ADE∽△ABC,∵=,∴=,∵△ADE的面积为4,∴△ABC的面积为:16,故选:D.10.如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE:EC=3:1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为()A.3:4 B.9:16 C.9:1 D.3:1【分析】可证明△DFE∽△BFA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案.【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴DC∥AB,∴△DFE∽△BFA,∵DE:EC=3:1,∴DE:DC=3:4,∴DE:AB=3:4,∴S△DFE :S△BFA=9:16.故选:B.11.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则的值为()A.1 B.C. 1 D.【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性质结合S△ADE=S 四边形BCED,可得出=,结合BD=AB﹣AD即可求出的值,此题得解.【解答】解:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC,∴()2=.∵S△ADE =S四边形BCED,∴=,∴===﹣1.故选:C.12.如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是()A.=B.=C.=D.=【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA,根据相似三角形的性质即可找出==,此题得解.【解答】解:∵GE∥BD,GF∥AC,∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA,∴=,=,∴==.故选:D.13.(遵义)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为()A.5 B.4 C.3 D.2【分析】先求出AC,进而判断出△ADF∽△CAB,即可设DF=x,AD=x,利用勾股定理求出BD,再判断出△DEF∽△DBA,得出比例式建立方程即可得出结论.【解答】解:如图,在Rt△ABC中,AB=5,BC=10,∴AC=5过点D作DF⊥AC于F,∴∠AFD=∠CBA,∵AD∥BC,∴∠DAF=∠ACB,∴△ADF∽△CAB,∴,∴,设DF=x,则AD=x,在Rt△ABD中,BD==,∵∠DEF=∠DBA,∠DFE=∠DAB=90°,∴△DEF∽△DBA,∴,∴,∴x=2,∴AD=x=2,故选:D.14.(扬州)如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt △ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M.对于下列结论:①△BAE∽△CAD;②MP•MD=MA•ME;③2CB2=CP•CM.其中正确的是()A.①②③B.①C.①②D.②③【分析】(1)由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证;(2)通过等积式倒推可知,证明△PAM∽△EMD即可;(3)2CB2转化为AC2,证明△ACP∽△MCA,问题可证.【解答】解:由已知:AC=AB,AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选:A.15.(贵港)如图,在△ABC中,EF∥BC,AB=3AE,若S四边形BCFE=16,则S△ABC=()A.16 B.18 C.20 D.24【分析】由EF∥BC,可证明△AEF∽△ABC,利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值.【解答】解:∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∵AB=3AE,∴AE:AB=1:3,∴S△AEF :S△ABC=1:9,设S△AEF=x,∵S四边形BCFE=16,∴=,解得:x=2,∴S△ABC=18,故选:B.16.(孝感)如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论:①∠ADC=15°;②AF=AG;③AH=DF;④△AFG∽△CBG;⑤AF=(﹣1)EF.其中正确结论的个数为()A.5 B.4 C.3 D.2【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°,据此可判断;②求出∠AFP和∠FAG度数,从而得出∠AGF度数,据此可判断;③证△ADF≌△BAH即可判断;④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB 即可得证;⑤设PF=x,则AF=2x、AP==x,设EF=a,由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x,根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x,据此得出EH=a,证△PAF∽△EAH得=,从而得出a与x的关系即可判断.【解答】解:∵△ABC为等边三角形,△ABD为等腰直角三角形,∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°,∴△CAD是等腰三角形,且顶角∠CAD=150°,∴∠ADC=15°,故①正确;∵AE⊥BD,即∠AED=90°,∴∠DAE=45°,∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°,∠FAG=45°,∴∠AGF=75°,由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG,故②错误;记AH与CD的交点为P,由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°,则∠BAH=∠ADC=15°,在△ADF和△BAH中,∵,∴△ADF≌△BAH(ASA),∴DF=AH,故③正确;∵∠AFG=∠CBG=60°,∠AGF=∠CGB,∴△AFG∽△CBG,故④正确;在Rt△APF中,设PF=x,则AF=2x、AP==x,设EF=a,∵△ADF≌△BAH,∴BH=AF=2x,△ABE中,∵∠AEB=90°、∠ABE=45°,∴BE=AE=AF+EF=a+2x,∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a,∵∠APF=∠AEH=90°,∠FAP=∠HAE,∴△PAF∽△EAH,∴=,即=,整理,得:2x2=(﹣1)ax,由x≠0得2x=(﹣1)a,即AF=(﹣1)EF,故⑤正确;故选:B.17.(泸州)如图,正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则的值是()A.B.C.D.【分析】如图作,FN∥AD,交AB于N,交BE于M.设DE=a,则AE=3a,利用平行线分线段成比例定理解决问题即可;【解答】解:如图作,FN∥AD,交AB于N,交BE于M.∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∵FN∥AD,∴四边形ANFD是平行四边形,∵∠D=90°,∴四边形ANFD是解析式,∵AE=3DE,设DE=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,∵AN=BN,MN∥AE,∴BM=ME,∴MN=a,∴FM=a,∵AE∥FM,∴===,故选:C.18.(临安区)如图,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE:BC的值为()A.B.C.D.【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所截得的三角形与原三角形相似,再根据相似三角形的对应边成比例解则可.【解答】解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴===.故选:A.19.(恩施州)如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为()A.6 B.8 C.10 D.12【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD,进而可得出△ABF∽△GDF,根据相似三角形的性质可得出==2,结合FG=2可求出AF、AG的长度,由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度,此题得解.【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF,∴△ABF∽△GDF,∴==2,∴AF=2GF=4,∴AG=6.∵CG∥AB,AB=2CG,∴CG为△EAB的中位线,∴AE=2AG=12.故选:D.20.(杭州)如图,在△ABC中,点D在AB边上,DE∥BC,与边AC交于点E,连结BE.记△ADE,△BCE的面积分别为S1,S2()A.若2AD>AB,则3S1>2S2B.若2AD>AB,则3S1<2S2C.若2AD<AB,则3S1>2S2D.若2AD<AB,则3S1<2S2【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC,由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答.【解答】解:∵如图,在△ABC中,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=()2,∴若2AD>AB,即>时,>,此时3S1>S2+S△BDE,而S2+S△BDE<2S2.但是不能确定3S1与2S2的大小,故选项A不符合题意,选项B不符合题意.若2AD<AB,即<时,<,此时3S1<S2+S△BDE<2S2,故选项C不符合题意,选项D符合题意.故选:D.21.(永州)如图,在△ABC中,点D是边AB上的一点,∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为()A.2 B.4 C.6 D.8【分析】只要证明△ADC∽△ACB,可得=,即AC2=AD•AB,由此即可解决问题;【解答】解:∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ADC∽△ACB,∴=,∴AC2=AD•AB=2×8=16,∵AC>0,∴AC=4,故选:B.22.(香坊区)如图,点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点,若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式一定成立的是()A.=B.=C.=D.=【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论.【解答】解:∵DE∥BC,∴,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,∵EF∥AB,∴,∵EF∥AB,∴△CEF∽△CAB,∴,∵DE∥BC,EF∥AB,∴四边形BDEF是平行四边形,∴DE=BF,EF=BD,∴,,,,∴正确,故选:C .23.(荆门)如图,四边形ABCD 为平行四边形,E 、F 为CD 边的两个三等分点,连接AF 、BE 交于点G ,则S △EFG :S △ABG =( )A .1:3B .3:1C .1:9D .9:1【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题;【解答】解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴CD=AB ,CD ∥AB ,∵DE=EF=FC ,∴EF :AB=1:3,∴△EFG ∽△BAG , ∴=()2=,故选:C .24.(达州)如图,E ,F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点,AE=CF=AC .连接DE ,DF 并延长,分别交AB ,BC 于点G ,H ,连接GH ,则的值为( )A .B .C .D .1【分析】首先证明AG :AB=CH :BC=1:3,推出GH ∥AC ,推出△BGH ∽△BAC ,可得==()2=()2=,=,由此即可解决问题.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC,DC=AB,∵AC=CA,∴△ADC≌△CBA,=S△ABC,∴S△ADC∵AE=CF=AC,AG∥CD,CH∥AD,∴AG:DC=AE:CE=1:3,CH:AD=CF:AF=1:3,∴AG:AB=CH:BC=1:3,∴GH∥AC,∴△BGH∽△BAC,∴==()2=()2=,∵=,∴=×=,故选:C.25.(南充)如图,正方形ABCD的边长为2,P为CD的中点,连结AP,过点B 作BE⊥AP于点E,延长CE交AD于点F,过点C作CH⊥BE于点G,交AB于点H,连接HF.下列结论正确的是()A.CE=B.EF=C.cos∠CEP=D.HF2=EF•CF【分析】首先证明BH=AH,推出EG=BG,推出CE=CB,再证明△CEH≌△CBH,Rt△HFE≌Rt△HFA,利用全等三角形的性质即可一一判断.【解答】解:连接EH.∵四边形ABCD是正方形,∴CD=AB═BC=AD=2,CD∥AB,∵BE⊥AP,CH⊥BE,∴CH∥PA,∴四边形CPAH是平行四边形,∴CP=AH,∵CP=PD=1,∴AH=PC=1,∴AH=BH,在Rt△ABE中,∵AH=HB,∴EH=HB,∵HC⊥BE,∴BG=EG,∴CB=CE=2,故选项A错误,∵CH=CH,CB=CE,HB=HE,∴△ABC≌△CEH,∴∠CBH=∠CEH=90°,∵HF=HF,HE=HA,∴Rt△HFE≌Rt△HFA,∴AF=EF,设EF=AF=x,在Rt△CDF中,有22+(2﹣x)2=(2+x)2,∴x=,∴EF=,故B错误,∵PA∥CH,∴∠CEP=∠ECH=∠BCH,∴cos∠CEP=cos∠BCH==,故C错误.∵HF=,EF=,FC=∴HF2=EF•FC,故D正确,故选:D.26.(临沂)如图.利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6m.BC=12.4m.则建筑物CD的高是()A.9.3m B.10.5m C.12.4m D.14m【分析】先证明∴△ABE∽△ACD,则利用相似三角形的性质得=,然后利用比例性质求出CD即可.【解答】解:∵EB∥CD,∴△ABE∽△ACD,∴=,即=,∴CD=10.5(米).故选:B.27.(长春)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为()A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.【解答】解:设竹竿的长度为x尺,∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=1.5尺,影长五寸=0.5尺,∴,解得x=45(尺).故选:B.28.(绍兴)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC 位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为()A.0.2m B.0.3m C.0.4m D.0.5m【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO,据此得=,将已知数据代入即可得.【解答】解:∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABO=∠CDO=90°,又∵∠AOB=∠COD,∴△ABO∽△CDO,则=,∵AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,∴=,解得:CD=0.4,故选:C.二.填空题(共7小题)29.(邵阳)如图所示,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形:△ADF∽△ECF.【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE,则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF.【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥CE,∴△ADF∽△ECF.故答案为△ADF∽△ECF.30.(北京)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC 于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为.【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD,进而可得出∠FAE=∠FCD,结合∠AFE=∠CFD(对顶角相等)可得出△AFE∽△CFD,利用相似三角形的性质可得出==2,利用勾股定理可求出AC的长度,再结合CF=•AC,即可求出CF的长.【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,∴∠FAE=∠FCD,又∵∠AFE=∠CFD,∴△AFE∽△CFD,∴==2.∵AC==5,∴CF=•AC=×5=.故答案为:.31.(包头)如图,在▱ABCD中,AC是一条对角线,EF∥BC,且EF与AB相交=1,则S△ADF的值为.于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若S△AEF【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a,根据EF∥BC得=()2=,=1知S△ADC=S△ABC=,再由==知=,继而根据S△ADF=S结合S△AEF可得答案.△ADC【解答】解:∵3AE=2EB,∴可设AE=2a、BE=3a,∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴=()2=()2=,∵S△AEF=1,∴S△ABC=,∵四边形ABCD是平行四边形,∴S△ADC=S△ABC=,∵EF∥BC,∴===,∴==,∴S△ADF =S△ADC=×=,故答案为:.32.(资阳)已知:如图,△ABC的面积为12,点D、E分别是边AB、AC的中点,则四边形BCED的面积为9.【分析】设四边形BCED的面积为x,则S△ADE=12﹣x,由题意知DE∥BC且DE=BC,从而得=()2,据此建立关于x的方程,解之可得.【解答】解:设四边形BCED的面积为x,则S△ADE=12﹣x,∵点D、E分别是边AB、AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,且DE=BC,∴△ADE∽△ABC,则=()2,即=,解得:x=9,即四边形BCED的面积为9,故答案为:9.33.(泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步面见木?”用今天的话说,大意是:如图,DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)?请你计算KC的长为步.【分析】证明△CDK∽△DAH,利用相似三角形的性质得=,然后利用比例性质可求出CK的长.【解答】解:DH=100,DK=100,AH=15,∵AH∥DK,∴∠CDK=∠A,而∠CKD=∠AHD,∴△CDK∽△DAH,∴=,即=,∴CK=.答:KC的长为步.故答案为.34.(岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是步.【分析】如图1,根据正方形的性质得:DE∥BC,则△ADE∽△ACB,列比例式可得结论;如图2,同理可得正方形的边长,比较可得最大值.【解答】解:如图1,∵四边形CDEF是正方形,∴CD=ED,DE∥CF,设ED=x,则CD=x,AD=12﹣x,∵DE∥CF,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB,∴,∴,x=,如图2,四边形DGFE是正方形,过C作CP⊥AB于P,交DG于Q,设ED=x,S△ABC=AC•BC=AB•CP,12×5=13CP,CP=,同理得:△CDG∽△CAB,∴,∴,x=,∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是(步),故答案为:.35.(吉林)如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,∠B=∠C=90°,测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽AB=100m.【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED,利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB.【解答】解:∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD∽△ECD,∴,,解得:AB=(米).故答案为:100.三.解答题(共15小题)36.(张家界)如图,点P是⊙O的直径AB延长线上一点,且AB=4,点M为上一个动点(不与A,B重合),射线PM与⊙O交于点N(不与M重合)(1)当M在什么位置时,△MAB的面积最大,并求岀这个最大值;(2)求证:△PAN∽△PMB.【分析】(1)当M在弧AB中点时,三角形MAB面积最大,此时OM与AB垂直,求出此时三角形面积最大值即可;(2)由同弧所对的圆周角相等及公共角,利用两对角相等的三角形相似即可得证.【解答】解:(1)当点M在的中点处时,△MAB面积最大,此时OM⊥AB,∵OM=AB=×4=2,=AB•OM=×4×2=4;∴S△ABM(2)∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,∴△PAN∽△PMB.37.(株洲)如图,在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中AM=AN.(1)求证:Rt△ABM≌Rt△AND;(2)线段MN与线段AD相交于T,若AT=,求tan∠ABM的值.【分析】(1)利用HL证明即可;(2)想办法证明△DNT∽△AMT,可得由AT=,推出,在Rt △ABM中,tan∠ABM=.【解答】解:(1)∵AD=AB,AM=AN,∠AMB=∠AND=90°∴Rt△ABM≌Rt△AND(HL).(2)由Rt△ABM≌Rt△AND易得:∠DAN=∠BAM,DN=BM∵∠BAM+∠DAM=90°;∠DAN+∠ADN=90°∴∠DAM=∠AND∴ND∥AM∴△DNT∽△AMT∴∵AT=,∴∵Rt△ABM∴tan∠ABM=.38.(大庆)如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O,B重合),作EC⊥OB,交⊙O于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB.(1)求证:AC平分∠FAB;(2)求证:BC2=CE•CP;(3)当AB=4且=时,求劣弧的长度.【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可;(2)只要证明△CBE∽△CPB,可得=解决问题;(3)作BM⊥PF于M.则CE=CM=CF,设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用相似三角形的性质求出BM,求出tan∠BCM的值即可解决问题;【解答】(1)证明:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠BCP+∠ACF=90°,∠ACE+∠BCE=90°,∵∠BCP=∠BCE,∴∠ACF=∠ACE,即AC平分∠FAB.(2)证明:∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∵PF是⊙O的切线,CE⊥AB,∴∠OCP=∠CEB=90°,∴∠PCB+∠OCB=90°,∠BCE+∠OBC=90°,∴∠BCE=∠BCP,∵CD是直径,∴∠CBD=∠CBP=90°,∴△CBE∽△CPB,∴=,∴BC2=CE•CP;(3)解:作BM⊥PF于M.则CE=CM=CF,设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,∵∠MCB+∠P=90°,∠P+∠PBM=90°,∴∠MCB=∠PBM,∵CD是直径,BM⊥PC,∴∠CMB=∠BMP=90°,∴△BMC∽△PMB,∴=,∴BM2=CM•PM=3a2,∴BM=a,∴tan∠BCM==,∴∠BCM=30°,∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°,∠BOD=120°∴的长==π.39.(江西)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长.【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD,求出BC=CD=4,证△AEB∽△CED,得出比例式,求出AE=2CE,即可得出答案.【解答】解:∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD,∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠D=∠CBD,∴BC=CD,∵BC=4,∴CD=4,∵AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,∴=,∴=,∴AE=2CE,∵AC=6=AE+CE,∴AE=4.40.(上海)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.(1)求证:EF=AE﹣BE;(2)联结BF,如课=.求证:EF=EP.【分析】(1)利用正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90°,根据等角的余角相等得到∠1=∠3,则可判断△ABE≌△DAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论;(2)利用=和AF=BE得到=,则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠4=∠3,再证明∠4=∠5,然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP.【解答】证明:(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠BEA=∠AFD=90°,∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,在△ABE和△DAF中,∴△ABE≌△DAF,∴BE=AF,∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE;(2)如图,∵=,而AF=BE,∴=,∴=,∴Rt△BEF∽Rt△DFA,∴∠4=∠3,而∠1=∠3,∴∠4=∠1,∵∠5=∠1,∴∠4=∠5,即BE平分∠FBP,而BE⊥EP,∴EF=EP.41.(东营)如图,CD是⊙O的切线,点C在直径AB的延长线上.(1)求证:∠CAD=∠BDC;(2)若BD=AD,AC=3,求CD的长.【分析】(1)连接OD,由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB,根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°,利用等角的余角相等,即可证出∠CAD=∠BDC;(2)由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD,根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3,即可求出CD的长.【解答】(1)证明:连接OD,如图所示.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∵CD是⊙O的切线,OD是⊙O的半径,∴∠ODB+∠BDC=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠OBD+∠CAD=90°,∴∠CAD=∠BDC.(2)解:∵∠C=∠C,∠CAD=∠CDB,∴△CDB∽△CAD,∴=.∵BD=AD,∴=,∴=,又∵AC=3,∴CD=2.42.(南京)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作AF ⊥DE,垂足为F,⊙O经过点C、D、F,与AD相交于点G.(1)求证:△AFG∽△DFC;(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求⊙O的半径.【分析】(1)欲证明△AFG∽△DFC,只要证明∠FAG=∠FDC,∠AGF=∠FCD;(2)首先证明CG是直径,求出CG即可解决问题;【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,∠ADC=90°,∴∠CDF+∠ADF=90°,∵AF⊥DE,∴∠AFD=90°,∴∠DAF+∠ADF=90°,∴∠DAF=∠CDF,∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形,∴∠FCD+∠DGF=180°,∵∠FGA+∠DGF=180°,∴∠FGA=∠FCD,∴△AFG∽△DFC.(2)解:如图,连接CG.∵∠EAD=∠AFD=90°,∠EDA=∠ADF,∴△EDA∽△ADF,∴=,即=,∵△AFG∽△DFC,∴=,∴=,在正方形ABCD中,DA=DC,∴AG=EA=1,DG=DA﹣AG=4﹣1=3,∴CG==5,∵∠CDG=90°,∴CG是⊙O的直径,∴⊙O的半径为.43.(滨州)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD⊥CD于点D,且AC 平分∠DAB,求证:(1)直线DC是⊙O的切线;(2)AC2=2AD•AO.【分析】(1)连接OC,由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC,据此知OC∥AD,根据AD⊥DC即可得证;(2)连接BC,证△DAC∽△CAB即可得.【解答】解:(1)如图,连接OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵AC平分∠DAB,∴∠OAC=∠DAC,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD,又∵AD⊥CD,∴OC⊥DC,∴DC是⊙O的切线;(2)连接BC,∵AB为⊙O的直径,∴AB=2AO,∠ACB=90°,∵AD⊥DC,∴∠ADC=∠ACB=90°,又∵∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB,∴=,即AC2=AB•AD,∵AB=2AO,∴AC2=2AD•AO.44.(十堰)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC 于点E,过点D作FG⊥AC于点F,交AB的延长线于点G.(1)求证:FG是⊙O的切线;(2)若tanC=2,求的值.【分析】(1)欲证明FG是⊙O的切线,只要证明OD⊥FG;(2)由△GDB∽△GAD,设BG=a.可得===,推出DG=2a,AG=4a,由此即可解决问题;【解答】(1)证明:连接AD、OD.∵AB是直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,∵AC=AB,∴CD=BD,∵OA=OB,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,∴FG是⊙O的切线.(2)解:∵tanC==2,BD=CD,∴BD:AD=1:2,∵∠GDB+∠ODB=90°,∠ADO+∠ODB=90°,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠GDB=∠GAD,∵∠G=∠G,∴△GDB∽△GAD,设BG=a.∴===,∴DG=2a,AG=4a,∴BG:GA=1:4.45.(杭州)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.(1)求证:△BDE∽△CAD.(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.【分析】(1)想办法证明∠B=∠C,∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题;(2)利用面积法:•AD•BD=•AB•DE求解即可;【解答】解:(1)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∠B=∠C,∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC,∴△BDE∽△CAD.(2)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,在Rt△ADB中,AD===12,∵•AD•BD=•AB•DE,∴DE=.46.(烟台)如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,BC上两点,点A,C,E 在⊙D上,点B,D在⊙E上.F为上一点,连接FE并延长交AC的延长线于点N,交AB于点M.(1)若∠EBD为α,请将∠CAD用含α的代数式表示;(2)若EM=MB,请说明当∠CAD为多少度时,直线EF为⊙D的切线;(3)在(2)的条件下,若AD=,求的值.【分析】(1)根据同圆的半径相等和等边对等角得:∠EDB=∠EBD=α,∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,再根据三角形内角和定理可得结论;(2)设∠MBE=x,同理得:∠EMB=∠MBE=x,根据切线的性质知:∠DEF=90°,所以∠CED+∠MEB=90°,同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°;(3)由(2)得:∠CAD=45°;根据(1)的结论计算∠MBE=30°,证明△CDE是等边三角形,得CD=CE=DE=EF=AD=,求EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,根据三角形内角和及等腰三角形的判定得:EN=CE=,代入化简可得结论.【解答】解:(1)连接CD、DE,⊙E中,∵ED=EB,∴∠EDB=∠EBD=α,∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α,⊙D中,∵DC=DE=AD,∴∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,△ACB中,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,∴∠CAD==;(2)设∠MBE=x,∵EM=MB,∴∠EMB=∠MBE=x,当EF为⊙D的切线时,∠DEF=90°,∴∠CED+∠MEB=90°,∴∠CED=∠DCE=90°﹣x,△ACB中,同理得,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴,∴∠CAD=45°;(3)由(2)得:∠CAD=45°;由(1)得:∠CAD=;∴∠MBE=30°,∴∠CED=2∠MBE=60°,∵CD=DE,∴△CDE是等边三角形,∴CD=CE=DE=EF=AD=,Rt△DEM中,∠EDM=30°,DE=,∴EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,△ACB中,∠NCB=45°+30°=75°,△CNE中,∠CEN=∠BEF=30°,∴∠CNE=75°,∴∠CNE=∠NCB=75°,∴EN=CE=,∴===2+.47.(陕西)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.【分析】由BC∥DE,可得=,构建方程即可解决问题.【解答】解:∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE,∴=,∴=,∴AB=17(m),经检验:AB=17是分式方程的解,答:河宽AB的长为17米.48.(济宁)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.(1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论;(2)过点H作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点,求△PDC周长的最小值.【分析】(1)结论:CF=2DG.只要证明△DEG∽△CDF即可;(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC 的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK;【解答】解:(1)结论:CF=2DG.理由:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°,∵DE=AE,∴AD=CD=2DE,∵EG⊥DF,∴∠DHG=90°,∴∠CDF+∠DGE=90°,∠DGE+∠DEG=90°,∴∠CDF=∠DEG,∴△DEG∽△CDF,∴==,∴CF=2DG.(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC 的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.由题意:CD=AD=10,ED=AE=5,DG=,EG=,DH==,∴EH=2DH=2,∴HM==2,∴DM=CN=NK==1,在Rt△DCK中,DK===2,∴△PCD的周长的最小值为10+2.49.(聊城)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过B点作BH ⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF.(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.【分析】(1)根据ASA证明△ABE≌△BCF,可得结论;(2)根据(1)得:△ABE≌△BCF,则CF=BE=2,最后利用勾股定理可得AF的长.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,∵BH⊥AE,∴∠BHE=90°,∴∠AEB+∠EBH=90°,∴∠BAE=∠EBH,在△ABE和△BCF中,,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF;(2)解:∵AB=BC=5,由(1)得:△ABE≌△BCF,∴CF=BE=2,∴DF=5﹣2=3,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=5,∠ADF=90°,由勾股定理得:AF====.50.如图,AG是∠HAF的平分线,点E在AF上,以AE为直径的⊙O交AG于点D,过点D作AH的垂线,垂足为点C,交AF于点B.(1)求证:直线BC是⊙O的切线;(2)若AC=2CD,设⊙O的半径为r,求BD的长度.【分析】(1)根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC,证明OD⊥CB,可得结论;(2)在Rt△ACD中,设CD=a,则AC=2a,AD=a,证明△ACD∽△ADE,表示a=,由平行线分线段成比例定理得:,代入可得结论.【解答】(1)证明:连接OD,∵AG是∠HAF的平分线,∴∠CAD=∠BAD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,∵∠ACD=90°,∴∠ODB=∠ACD=90°,即OD⊥CB,∵D在⊙O上,∴直线BC是⊙O的切线;(4分)(2)解:在Rt△ACD中,设CD=a,则AC=2a,AD=a,连接DE,∵AE是⊙O的直径,∴∠ADE=90°,由∠CAD=∠BAD,∠ACD=∠ADE=90°,∴△ACD∽△ADE,∴,即,∴a=,由(1)知:OD∥AC,∴,即,∵a=,解得BD=r.(10分)。

专题15 相似三角形-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)(第1期)(原卷版)

专题15 相似三角形-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)(第1期)(原卷版)

专题15 相似三角形一.选择题1.(2022·湖南衡阳)在设计人体雕像时,使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.如图,按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像,那么该雕像的下部设计高度约是( )(结果精确到0.01m .参考数据:2 1.4143 1.732≈5 2.236≈)A .0.73mB .1.24mC .1.37mD .1.42m2.(2022·山西)神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现,其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的( )A .平移B .旋转C .轴对称D .黄金分割3.(2022·浙江丽水)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A ,B ,C 都在横线上.若线段3AB =,则线段BC 的长是( )A .23 B .1 C .32 D .24.(2022·湖南湘潭)在ABC 中(如图),点D 、E 分别为AB 、AC 的中点,则:ADE ABCS S =( )A .1:1B .1:2C .1:3D .1:45.(2022·浙江绍兴)将一张以AB 为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD ,其中90A ∠=︒,9AB =,7BC =,6CD =,2AD =,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能...是( )A .252B .454C .10D .3546.(2022·甘肃武威)若ABC DEF △△,6BC =,4EF =,则AC DF =( ) A .49 B .94 C .23D .32 7.(2022·云南)如图,在ABC 中,D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点,设ABC 的面积为S 1,EBD 的面积为S 2.则21S S =( )A .12B .14C .34D .788.(2022·浙江舟山)如图,在Rt ABC 和Rt BDE 中,90ABC BDE ∠=∠=︒,点A 在边DE 的中点上,若AB BC =,2DB DE==,连结CE ,则CE 的长为( )A14B15C.4D17 9.(2022·江苏连云港)ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的三角形DEF,其最长边为12,则DEF的周长是()A.54B.36C.27D.2110.(2022·四川凉山)如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,若DE△BC,23 ADDB,DE=6cm,则BC的长为()A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm 11.(2022·重庆)如图,ABC与DEF位似,点O是它们的位似中心,且位似比为1△2,则ABC与DEF的周长之比是()A.1△2B.1△4C.1△3D.1△9 12.(2022·重庆)如图,ABC与DEF位似,点O为位似中心,相似比为2:3.若ABC的周长为4,则DEF的周长是()A .4B .6C .9D .1613.(2022·浙江金华)如图是一张矩形纸片ABCD ,点E 为AD 中点,点F 在BC 上,把该纸片沿EF 折叠,点A ,B 的对应点分别为A B A E ''',,与BC 相交于点G ,B A ''的延长线过点C .若23BF GC =,则AD AB的值为( )A .22B 410C .207D .8314.(2022·浙江湖州)如图,已知BD 是矩形ABCD 的对角线,AB =6,BC =8,点E ,F 分别在边AD ,BC 上,连结BE ,DF .将△ABE 沿BE 翻折,将△DCF 沿DF 翻折,若翻折后,点A ,C 分别落在对角线BD 上的点G ,H 处,连结GF .则下列结论不正确...的是( )A .BD =10B .HG =2C .EG FH ∥D .GF △BC15.(2022·四川眉山)如图,四边形ABCD 为正方形,将EDC △绕点C 逆时针旋转90︒至HBC ,点D ,B ,H 在同一直线上,HE 与AB 交于点G ,延长HE 与CD 的延长线交于点F ,2HB =,3HG =.以下结论:①135EDC ∠=︒;②2EC CD CF =⋅;③HG EF =;④2sin CED ∠= )A .1个B .2个C .3个D .4个16.(2022·湖南株洲)如图所示,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,过点C 作CE BD ∥交AB 的延长线于点E ,下列结论不一定正确的是( )A .12OB CE = B .ACE 是直角三角形C .12BC AE = D .BE CE = 17.(2022·浙江温州)如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,以其三边为边向外作正方形,连结CF ,作GM CF ⊥于点M ,BJ GM ⊥于点J ,⊥AK BJ 于点K ,交CF 于点L .若正方形ABGF与正方形JKLM 的面积之比为5,102CE =CH 的长为( )A 5B 35+C .2D 10 18.(2022·湖北十堰)如图,某零件的外径为10cm ,用一个交叉卡钳(两条尺长AC 和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA:OC=OB:OD=3,且量得CD=3cm,则零件的厚度x为()A.0.3cm B.0.5cm C.0.7cm D.1cm二、填空题19.(2022·陕西)在20世纪70年代,我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”,在全国大规模推广,取得了很大成果.如图,利用黄金分割法,所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分,其中E为边AB的黄金分割点,即2BE AE AB=⋅.已知AB为2米,则线段BE的长为______米.20.(2022·浙江湖州)如图,已知在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,DE BC∥,1 3ADAB=.若DE=2,则BC的长是______.21.(2022·湖南怀化)如图,△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,若S△ADE=2,则S△ABC =_____.22.(2022·四川成都)如图,ABC 和DEF 是以点O 为位似中心的位似图形.若:2:3OA AD =,则ABC 与DEF 的周长比是_________.23.(2022·湖南娄底)如图,已知等腰ABC 的顶角BAC ∠的大小为θ,点D 为边BC 上的动点(与B 、C 不重合),将AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度时点D 落在D 处,连接BD '.给出下列结论:①ACD ABD '≅△△;②ACB ADD '△△;③当BD CD =时,ADD '的面积取得最小值.其中正确的结论有________(填结论对应的序号).24.(2022·湖南常德)如图,已知F 是ABC 内的一点,FD BC ∥,FE AB ∥,若BDFE 的面积为2,13BD BA =,14BE BC =,则ABC 的面积是________.25.(2022·天津)如图,已知菱形ABCD 的边长为2,60DAB ∠=︒,E 为AB 的中点,F 为CE的中点,AF与DE相交于点G,则GF的长等于___________.26.(2022·江苏宿迁)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点M、N分别是边AD、BC 的中点,某一时刻,动点E从点M出发,沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动;同时,动点F从点N出发,沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动,其中一点运动到矩形顶点时,两点同时停止运动,连接EF,过点B作EF的垂线,垂足为H.在这一运动过程中,点H所经过的路径长是_____.BC=,27.(2022·四川宜宾)如图,ABC中,点E、F分别在边AB、AC上,12∠=∠.若4 CF=,则EF=______.2AF=,328.(2022·河北)如图是钉板示意图,每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点,钉点A,B的连线与钉点C,D的连线交于点E,则(1)AB与CD是否垂直?______(填“是”或“否”);(2)AE=______.29.(2022·湖南邵阳)如图,在ABC 中,点D 在AB 边上,点E 在AC 边上,请添加一个条件_________,使ADE ABC △△∽.30.(2022·新疆)如图,四边形ABCD 是正方形,点E 在边BC 的延长线上,点F 在边AB 上,以点D 为中心将DCE 绕点D 顺时针旋转90︒与DAF △恰好完全重合,连接EF 交DC 于点P ,连接AC 交EF 于点Q ,连接BQ ,若·32AQ DP =BQ =______.三、解答题31.(2022·浙江杭州)如图,在ABC 中,点D ,E ,F 分别在边AB ,AC ,BC 上,连接DE ,EF ,已知四边形BFED 是平行四边形,DE 1BC 4=.(1)若8AB =,求线段AD 的长.(2)若ADE 的面积为1,求平行四边形BFED 的面积.32.(2022·四川乐山)华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案. 2.如图,在正方形ABCD 中,CE DF ⊥.求证:CE DF =.证明:设CE 与DF 交于点O ,△四边形ABCD 是正方形,△90B DCF ∠=∠=︒,BC CD =.△90BCE DCE ∠+∠=︒.△CE DF ⊥,△90COD ∠=︒.△90CDF DCE ∠+∠=︒.△CDF BCE ∠=∠.△CBE DFC ≌△△.△CE DF =.(1)【问题探究】如图,在正方形ABCD 中,点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上,且EG FH ⊥.试猜想EG FH的值,并证明你的猜想. (2)【知识迁移】如图,在矩形ABCD 中,AB m =,BC n =,点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上,且EG FH ⊥.则EG FH=______. (3)【拓展应用】如图,在四边形ABCD 中,90DAB ∠=︒,60ABC ∠=︒,AB BC =,点E 、F 分别在线段AB 、AD 上,且CE BF ⊥.求CE BF的值.33.(2022·浙江嘉兴)小东在做九上课本123页习题:“12也是一个很有趣的比.已知线段AB(如图1),用直尺和圆规作AB上的一点P,使AP:AB=12”小东的作法是:如图2,以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,再以点A为圆心,AC长为半径作弧,交线段AB于点P,点P即为所求作的点.小东称点P为线段AB的“趣点”.(1)你赞同他的作法吗?请说明理由.(2)小东在此基础上进行了如下操作和探究:连结CP,点D为线段AC上的动点,点E在AB的上方,构造DPE,使得DPE△CPB.①如图3,当点D运动到点A时,求△CPE的度数.②如图4,DE分别交CP,CB于点M,N,当点D为线段AC的“趣点”时(CD<AD),猜想:点N是否为线段ME的“趣点”?并说明理由.34.(2022·浙江湖州)已知在Rt△ABC中,△ACB=90°,a,b分别表示△A,△B的对边,a b.记△ABC的面积为S.(1)如图1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGF C.记正方形ACDE的面积为1S,正方形BGFC的面积为2S.①若19S=,216S=,求S的值;②延长EA交GB的延长线于点N,连结FN,交BC于点M,交AB于点H.若FH△AB(如图2所示),求证:212S S S-=.(2)如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE,记等边三角形ACD的面积为1S,等边三角形CBE的面积为2S.以AB为边向上作等边三角形ABF(点C在△ABF内),连结EF,CF.若EF△CF,试探索21S S-与S之间的等量关系,并说明理由.35.(2022·江西)如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,ACD ABE∠=∠.(1)求证:ABC AEB∽;(2)当6,4AB AC==时,求AE的长.36.(2022·江苏扬州)如图1,在ABC∆中,90,60BAC C∠=︒∠=︒,点D在BC边上由点C向点B运动(不与点B C、重合),过点D作DE AD⊥,交射线AB于点E.(1)分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系,并说明理由;①点E在线段AB的延长线上且BE BD=;②点E在线段AB上且EB ED=.(2)若6AB =.①当3DE AD =AE 的长;②直接写出运动过程中线段AE 长度的最小值.37.(2022·浙江宁波)(1)如图1,在ABC 中,D ,E ,F 分别为,,AB AC BC 上的点,,,DE BC BF CF AF =∥交DE 于点G ,求证:DG EG =.(2)如图2,在(1)的条件下,连接,CD CG .若,6,3⊥==CG DE CD AE ,求DE BC的值.(3)如图3,在ABCD 中,45,︒∠=ADC AC 与BD 交于点O ,E 为AO 上一点,EG BD ∥交AD 于点G ,⊥EF EG 交BC 于点F .若40,︒∠=EGF FG 平分,10∠=EFC FG ,求BF 的长.38.(2022·湖北武汉)问题提出:如图(1),ABC 中,AB AC =,D 是AC 的中点,延长BC 至点E ,使DE DB =,延长ED 交AB 于点F ,探究AF AB的值.(1)先将问题特殊化.如图(2),当60BAC ∠=︒时,直接写出AF AB的值;(2)再探究一般情形.如图(1),证明(1)中的结论仍然成立. 问题拓展:如图(3),在ABC 中,AB AC =,D 是AC 的中点,G 是边BC 上一点,()12CG n BC n =<,延长BC 至点E ,使DE DG =,延长ED 交AB 于点F .直接写出AF AB的值(用含n 的式子表示).39.(2022·湖南岳阳)如图,ABC 和DBE 的顶点B 重合,90ABC DBE ∠=∠=︒,30BAC BDE ∠=∠=︒,3BC =,2BE =.(1)特例发现:如图1,当点D ,E 分别在AB ,BC 上时,可以得出结论:AD CE=______,直线AD 与直线CE 的位置关系是______;(2)探究证明:如图2,将图1中的DBE 绕点B 顺时针旋转,使点D 恰好落在线段AC 上,连接EC ,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)拓展运用:如图3,将图1中的DBE 绕点B 顺时针旋转(1960)αα︒<<︒,连接AD 、EC ,它们的延长线交于点F ,当DF BE =时,求()tan 60α︒-的值.40.(2022·山西)综合与实践问题情境:在Rt △ABC 中,△BAC =90°,AB =6,AC =8.直角三角板EDF 中△EDF =90°,将三角板的直角顶点D 放在Rt △ABC 斜边BC 的中点处,并将三角板绕点D 旋转,三角板的两边DE ,DF 分别与边AB ,AC 交于点M ,N ,猜想证明:(1)如图①,在三角板旋转过程中,当点M 为边AB 的中点时,试判断四边形AMDN 的形状,并说明理由;问题解决:(2)如图②,在三角板旋转过程中,当B MDB ∠=∠时,求线段CN 的长;(3)如图③,在三角板旋转过程中,当AM =AN 时,直接写出线段AN 的长.41.(2022·江苏苏州)(1)如图1,在△ABC 中,2ACB B ∠=∠,CD 平分ACB ∠,交AB 于点D ,DE //AC ,交BC 于点E .①若1DE =,32BD =,求BC 的长;②试探究AB BE AD DE -是否为定值.如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.(2)如图2,CBG ∠和BCF∠是△ABC 的2个外角,2BCF CBG ∠=∠,CD 平分BCF ∠,交AB 的延长线于点D ,DE //AC ,交CB 的延长线于点E .记△ACD 的面积为1S ,△CDE 的面积为2S ,△BDE 的面积为3S .若2132916S S S ⋅=,求cos CBD ∠的值.42.(2022·湖北黄冈)问题背景:一次数学综合实践活动课上,小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1,已知AD 是△ABC 的角平分线,可证AB AC =BD CD.小慧的证明思路是:如图2,过点C 作CE ∥AB ,交AD 的延长线于点E ,构造相似三角形来证明AB AC=BD CD . (1)尝试证明:请参照小慧提供的思路,利用图2证明AB AC =BD CD; (2)应用拓展:如图3,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,D 是边BC 上一点.连接AD ,将△ACD 沿AD 所在直线折叠,点C 恰好落在边AB 上的E 点处.①若AC =1,AB =2,求DE 的长;②若BC =m ,∠AED =α,求DE 的长(用含m ,α的式子表示).43.(2022·甘肃武威)已知正方形ABCD ,E 为对角线AC 上一点.(1)【建立模型】如图1,连接BE ,DE .求证:BE DE =;(2)【模型应用】如图2,F 是DE 延长线上一点,FB BE ⊥,EF 交AB 于点G . ①判断FBG △的形状并说明理由;②若G 为AB 的中点,且4AB =,求AF 的长.(3)【模型迁移】如图3,F 是DE 延长线上一点,FB BE ⊥,EF 交AB 于点G ,BE BF =.求证:)21GE DE =.44.(2022·江苏扬州)【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积?【初步尝试】如图1,已知扇形OAB ,请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O 作一条直线,使扇形的面积被这条直线平分;【问题联想】如图2,已知线段MN ,请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN 为斜边的等腰直角三角形MNP ;【问题再解】如图3,已知扇形OAB ,请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O 为圆心的圆弧,使扇形的面积被这条圆弧平分.(友情提醒:以上作图均不写作法,但需保留作图痕迹)45.(2022·四川成都)如图,在矩形ABCD 中,()1AD nAB n =>,点E 是AD 边上一动点(点E 不与A ,D 重合),连接BE ,以BE 为边在直线BE 的右侧作矩形EBFG ,使得矩形EBFG ∽矩形ABCD ,EG 交直线CD 于点H .(1)【尝试初探】在点E 的运动过程中,ABE △与DEH △始终保持相似关系,请说明理由.(2)【深入探究】若2n =,随着E 点位置的变化,H 点的位置随之发生变化,当H 是线段CD 中点时,求tan ABE ∠的值.(3)【拓展延伸】连接BH ,FH ,当BFH △是以FH 为腰的等腰三角形时,求tan ABE ∠的值(用含n 的代数式表示).。

相似三角形题经典(含答案)

相似三角形题经典(含答案)

相似三角形一、选择填空题 1、如图1,已知AD 与BC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC 的大小为( )A.60°B.70°C.80°D.120°2、如图,在矩形ABCD 中,点E 为边BC 的中点,AE BD ⊥,垂足为点O ,则ABBC的值等于 .3.如图,在ABC △中,P 是AC 上一点,连结BP ,要使ABP ACB △∽△,则必须有ABP ∠= 或APB ∠= 或ABAP= . 4、如图,正方形ABCD 的边长为2,AE =EB ,MN =1,线段MN 的两端分别在CB 、CD 上滑动,那么当CM =________时,△ADE 与△MN C 相似.5.已知菱形ABCD 的边长是8,点E 在直线AD 上,若DE =3,连接BE 与对角线AC 相交于点M ,则MCAM的值是________.6.如图,等边△ABC 的边长为3,点P 为BC 边上一点,且BP =1,点D 为AC 上一点;若∠APD =60°,则CD 长是 A.43 B.23 C.21 D.32 7、如图,正方形ABCD 中,E 是AD 的中点, BM ⊥CE,AB=6,则BM=______.图4 图6 图78、如下图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与ABC △相似的是( )9.如图,四边形ABCD 是矩形,DH ⊥AC ,如果AH=9cm ,CH=4cm ,那么ABCD S 四边形=( )A B C D O 图1 A B O E C DA PCB DP C ABAB CA .752cmB .762cmC .772cmD .782cm图9 图10图1110、如图,DE 是ABC △的中位线,M 是DE 的中点,CM 的延长线交AB 于点N ,则:DMN CEM S S △△等于( ) A.1:2B.1:3C.1:4D.1:511.如图,△ABC 中,PQ ∥BC ,若3=∆APQ S ,6=∆PQB S ,则=∆cQB S ( ) A .10 B .16 C .9 D .1812、如图,已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点,,DE BC //且1ADEDBCE SS :=:8,四边形那么:AE AC 等于( ) A .1 : 9 B .1 : 3 C .1 : 8 D .1 : 213、已知ABC DEF △∽△,相似比为3,且ABC △的周长为18,则DEF △的周长为( )A .2B .3C .6D .5414、如图,线段AB 、CD 相交于E ,AD EF BC ∥∥,若12AE EB =∶∶,1ADES =,则AEFS等于 ( )A.4 B.23 C.2 D.4315、如图,△ABC 是等边三角形,被一平行于BC 的矩形所截,AB 被截成三等分,则图中阴影部分的面积是 △ABC 的面积的 ( ) A.91 B.92 C.31 D.94图图1416、在同一时刻,身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米,一棵大树的影长为 4.8米,则树的高度为( ) A 、4.8米B 、6.4米C 、9.6米D 、10米PQCA H DC BAA N DB CE M B A C DE((第15题图)17、如图,由点O 出发的13条射线恰好等分圆周,图中的三角形都是直角三角形.若641 OA ,则71A A 的长为________.二.解答题1.如图,已知菱形AMNP 内接于△ABC ,M 、N 、P 分别在AB 、BC 、AC 上,如果AB =21 cm ,CA =15 cm ,求菱形AMNP 的周长。

初三数学相似三角形典型例题(含答案)

初三数学相似三角形典型例题(含答案)

初三数学相似三角形典型例题(含答案)本节复的目标是理解相似三角形的概念和性质,并能应用其定理解决实际问题。

其中包括线段的比、成比例线段的概念,黄金分割,平行线分线段成比例定理等重要知识点。

相似三角形是平面几何的重要内容之一,常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题。

在中考试题中,相似三角形题型常以填空、选择、简答或综合出现,分值一般在10%左右。

相似三角形题目有利于培养学生的综合素质,形成创新与探索型试题。

重要知识点包括比例线段的有关概念、黄金分割、比例性质等。

比例线段的比例式中,a、d叫外项,b、c叫内项,a、c叫前项,b、d叫后项,d叫第四比例项。

黄金分割是把线段AB分成两条线段AC和BC,使AC=AB·BC,C叫做线段AB的黄金分割点。

比例性质包括基本性质、合比性质和等比性质。

平行线分线段成比例定理是相似三角形中的重要定理。

该定理指出,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。

同时,平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段也成比例。

如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。

相似三角形的判定有五种情况。

其中,两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例、直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例、平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。

AEF=45°同理,∠CEA=45°XXX和△XXX都是等腰直角三角形,且∠AEF=∠CEAAEF∽△CEA2)∵四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形AFB=∠EFG=90°同理,∠ACB=∠DCH=90°AFB+∠ACB=180°又因为四边形ABCD是平行四边形AFB+∠ACB=180°-∠BAC又因为△ABC是等边三角形BAC=60°AFB+∠ACB=180°-60°=120°AFB+∠ACB=45°+75°=120°AFB+∠ACB=45°+∠BAC=120°AFB+∠ACB=45°已知:在△ABC中,D为BC边上的一点,∠CAD=∠B,AD=6,AB=8,BD=7,求DC的长。

中考数学专题训练:相似三角形(附参考答案)

中考数学专题训练:相似三角形(附参考答案)

中考数学专题训练:相似三角形(附参考答案)1.若a3=b2,则a+bb的值为( )A.32B.53C.52D.232.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,BD=3,AC=10,则AE的长为( )A.3 B.4C.5 D.63.如图,AD∥BE∥FC,直线l1,l2分别与三条平行线交于点A,B,C和点D,E,F.若AB=3,BC=5,DF=12,则EF的长为( )A.4.5 B.6C.7.5 D.84.如图,小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时,测得标杆BE高1.2 m,又知AB∶BC=1∶8,则建筑物CD的高是( )A.9.6 m B.10.8 mC.12 m D.14 m5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2).现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′,则顶点C′的坐标是( )A.(2,4) B.(4,2)C.(6,4) D.(5,4)6.如图(单位:mm),小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容:当测试距离为5 m时,标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm,当测试距离为3 m时,最大的“E”字高度为( )A.121.17 mm B.43.62 mmC.29.08 mm D.4.36 mm7.如图,AC是□ABCD的对角线,点E在CD的延长线上,连接BE分别交AC,AD 于点F,G,则下列式子一定正确的是( )A.AFCF =AGDGB.ABCE=CFAFC.BFFG =EFBFD.ADDG=ABDE8.如图,在△ABC中,D,E分别为边AB,AC上的点,试添加一个条件:________________________,使得△ADE与△ABC相似.(任意写出一个满足的条件即可)9.如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,S△ABDS△BCD =12,则S△BOCS△BCD=______.10.如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,AFFC =14,则AE的长为_____.11.如图,为了测量山坡的护坡石坝高,把一根长为4.5 m 的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出竿上AD长为1 m时,它离地面的高度DE为0.6 m,则坝高CF为________m.12.已知在平面直12角坐标系中,△AOB的顶点分别为A(2,1),B(2,0),O(0,0).若以原点O为位似中心,相似比为2,将△AOB放大,则点A的对应点的坐标为__________________________.13.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点.若S△ADE=2,则S△ABC=_____.14.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△ODE是位似图形,则它们位似中心的坐标是____________.15.如图,在△ABC和△DEC中,∠A=∠D,∠BCE=∠ACD.(1)求证:△ABC∽△DEC;(2)若S△ABC∶S△DEC=4∶9,BC=6,求EC的长.16.如图,在△ABC中,AB=4,BC=5,点D,E分别在BC,AC上,CD=2BD,CE =2AE,BE交AD于点F,则△AFE面积的最大值是______.17.小孔成像的示意图如图所示,光线经过小孔O,物体AB在幕布前形成倒立的实像CD(点A,B的对应点分别是C,D).若物体AB的高为6 cm,小孔O到物体和实像的水平距离BE,CE分别为8 cm,6 cm,则实像CD的高度为________cm.18.如图,在正方形ABCD中,点E是边CD上一点,连接BE,以BE为对角线作正方形BGEF,边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H,连接AF,有以下五个结论:①∠ABF=∠DBE;②△ABF∽△DBE;③AF⊥BD;④2BG2=BH·BD;⑤若CE∶DE=1∶3,则BH∶DH=17∶16.你认为其中正确的是____________.(填写序号)19.已知,如图1,若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线,通过证明可得ABAC =BDCD,同理,若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线,通过探究也有类似的性质.请你根据上述信息,求解如下问题:如图2,在△ABC中,BD=2,CD=3,AD是△ABC的内角平分线,则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是_____________.20.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB 上,且CF=BE,AE2=AQ·AB.求证:(1)∠CAE=∠BAF;(2)CF·FQ=AF·BQ.21.在等腰三角形ABC中,AB=AC,点D是边BC上一点(不与点B,C重合),连接AD.(1)如图1,若∠C=60°,点D关于直线AB的对称点为点E,连接AE,DE,则∠BDE=________.(2)若∠C=60°,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,连接BE.①在图2中补全图形;②探究CD与BE的数量关系,并证明.(3)如图3,若ABBC =ADDE=k,且∠ADE=∠C,试探究BE,BD,AC之间满足的数量关系,并证明.参考答案1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B 7.C8.ADAB =AEAC(答案不唯一) 9.2310.1 11.2.712.(4,2)或(-4,-2)13.8 14.(4,2) 15.(1)证明略(2)EC=916.43 17.4.5 18.①②③④ 19.12<l<25220.(1)证明略(2)证明略21.(1)30°(2)①图略②CD与BE的数量关系为CD=BE,证明略(3)AC=k(BD+BE),证明略。

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年 级: 九年级 授课时间: 授课主题: 第 次课 学生姓名: 授课科目: 数学
教学内容
《相似三角形的识别、性质》
第1题. 某同学的身高为1.6米,某一时刻他在阳光下的影长为1.2米,与他相邻的一棵树的影长为3.6米,
则这棵树的高度为( ) A.5.3米 B.4.8米 C.4.0米 D.2.7米 答案:B
第2题. 如图,电灯P 在横杆AB 的正上方,AB 在灯光下的影子为CD AB CD ,∥,2m AB =,5m CD =,
点P 到CD 的距离是3m ,则点P 到AB 的距离是( ) A.
5
6
m
B.6m 7
C.6m 5 D.10m 3
答案:C
第3题. 如图,D E ,分别是ABC △的边AB AC ,上的点,请你添加一个条件,使 ABC △与AED △相似,你添加的条件是 . 答案:AED B =∠∠或ADE C =∠∠或AD AE
AC AB
=
第4题. 如图,已知ABC DBE △∽△,68AB DB ==,, 则:ABC DBE S S =△△ . 答案:9:16
第5题.如图,E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点,CE 交AD 于点
F ,下列各式中错误的是( )
A .AE EF A
B CF =
B .CD CF BE E
C =
C .AE AF AB DF
=
D .A
E A
F AB BC
=
答案:D
第6题. 如图,90C E ∠=∠=,3AC =,4BC =,2AE =,则AD = .
答案:
103
第7题.如图,A B C D E G H M N ,,,,,,,,都是方格纸中的格点(即小正方形的顶点),要使DEF
△与ABC △相似,则点F 应是G H M N ,,,四点中的( )
A .H 或N
B .G 或H
C .M 或N
D .G 或M 答案:C
第8题. 图中_______x =. 答案:2
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第9题 已知111ABC A B C △∽△,11:2:3AB A B =,则ABC S △与111A B C S △之比为 . 答案:4:9 第10.题 如图,在正方形ABCD 中,点E 是BC 边上一点,且:2:1BE EC =,AE 与BD 交于点F ,则AFD △与四边形DFEC 的面积之比是_________. 答案:9:11
第11题 由三角形三条中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的 . 答案:
1
4
第12 题如图,在ABC △中,90C =∠,在AB 边上取一点D ,使BD BC =,过D 作DE AB ⊥交AC 于E ,86AC BC ==,.求DE 的长.
答案:解:在ABC △中,9086C AC BC ===,,∠,
2210AB AC BC ∴=+=. 又
6BD BC ==, 4AD AB BD ∴=-=. DE AB ⊥,
90ADE C ∴==∠∠.
又A A =∠∠,
AED ABC ∴△∽△. DE AD
BC AC
∴=
. 4
638
AD DE BC AC ∴==⨯=.
第13题点D E ,分别是ABC △的边AB AC ,的中点,则:ADE ABC S S =△△( ) A .
12 B .13 C .14
D .2
答案:C
第14题如图,矩形ABCD 中,BE AC ⊥于F ,E 恰是CD 的中点,下列式子成
立的是( )
A .221
2BF AF =
B .2
21
3BF AF =
C .22
12
BF AF >
D .22
13
BF AF <
答案:A
第15题.如图,要使ACD ABC △∽△,只需添加条件 (只要写出一种合适的条件即可).
答案:1ABC ∠=∠或2ACB ∠=∠或2AC AD AB =·(答案不唯一)
C
E
A
B
C
E F
D
1
2。

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