最新流体力学(相似原理与)
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工程流体力学 第四章相似原理及量纲分析
t '3 t3
（4-4）
速度比例尺:
l'
Cv
v' v
t' l t
Cl Ct
加速度比例尺:
Ca
v' a' t'
av t
Cv Ct
Cv2 Cl
注：长度比例尺和速度比例尺 确定所有运动学量的比例尺。
（4-5） （4-6）
第一节 流动的力学相似
体积流量比例尺:
CqV
q'V qV
l'3 t'
l3 t
水工结构上的流体流动情况。 2. 探索性的观察实验——寻找未知的流动规律。 指导第一类实验的理论基础是相似原理，后者则要
借助于量纲分析法。
第一节 流动的力学相似
5
力学相似的基本概念
力学相似 —— 实物流动与模型流动在对应点上的 对应（同名）物理量都应该具有固
定的比例关系。
力学相似
几何相似 运动相似 动力相似
工程流体力学
第四章 相似原理与量纲分析
第四章 相似原理与量纲分析
解决流体 力学问题
的方法
数学分析 实验研究
模型实验
以相似原理为基础
模型试验是对真实流动现象在实验室内的再现，目的 是揭示流动的物理本质。
问题的提出： 进行实验研究，需要解决什么问题？
1.实验条件如何安排？（设计实验模型的根据） 2.试验数据如何整理？ 3.试验结果如何换算？（试验结果与实际流动之间 服从什么关系）
【例 4-1】 如图 4-4 所示，为防止当通过油池底部的管道向外输油时， 因池内油深太小，形成油面的旋涡将空气吸入输油管。需要通过模型 实 验 确 定 油 面 开 始 出 现 旋 涡 的 最 小 油 深 hmin 。 已 知 输 油 管 内 径 d=250mm，油的流量 qv=0.14m3/s，运动粘度 7.5 105 m2 s 。倘若选 取的长度比例尺 C1 1 5，为了保证流动相似，模型输出管的内径、模 型内液体的流量和运动粘度应等于多少？在模型上测得 h'min 50mm ， 油池的最小油深 hmin 应等于多少？
流体力学第五章相似原理和量纲分析
vl vl
vl vl
k kvkl 1 k
kvkl 1 k
Re vl vl
雷诺数，惯性力 与黏性力之比
黏性力作用相似： Re Re
第二节 动力相似准则
• （３）压力相似准则（欧拉准则）
在压力作用下相似的流动，其压力分布必须相似
或者：
p Eu
v 2
Eu p
v 2
欧拉数，是总压力与 惯性力的比值
3 基本量 导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理
量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可 由前者通过某种关系得到，前者互为独立的物理 量。基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本 量必须包括三个基本量纲在内，这就是选取基本 量的原则。
k kl3kg
v
v
gl1 2 gl1 2
kv kl kg
12
1
弗劳德数，是惯性力
Fr
v
gl 1
2
与重力的比值
流场重力作用相似： Fr Fr
第二节 动力相似准则
• （２）黏滞力相似准则（雷诺准则）
在黏性力作用下相似的流动，其黏性力分布必须相似
kF
F F
dvx dvx
/ dyA / dyA
k kvkl
F ma V dv dt F ma Vdv dt
F
F
l2v2 l 2v2
kF 1
k
k2 l
k2 v
Ne F
l 2v2
牛顿数，是作用力与 惯性力的比值
流场动力相似： Ne Ne
第二节 动力相似准则
• （１）重力相似准则（弗劳德准则）
在重力作用下相似的流动，其重力场必须相似
kF
《流体力学》第十章相似性原理与因次分析
第十章 相似性原理和因次分析
流体力学实验是研究问题的重要手段。 相似性原理用于指导实验非常有用。 相似性原理所研究的是相似物理现象之间的关系。只有同类的物理现象之间才能谈论相似问题。 同类的物理现象：是指那些用相同形式并具有相同内容的微分方程式所描写的现象。 电场和导热物体的温度场之间只有类比或比拟，但不存在相似。
例如：在考虑不可压缩流体流动的动力相似时， 决定流动平衡的四种力，粘滞力、压力、重力 和惯性力并非都是独立的，其中必有一力是被 动的，只要三个力分别相似，则第四个力必然 相似。因此，在决定动力相似的三个准则数Eu, Fr,Re中，也必有一个被动的，相互之间存在 依赖关系 Eu=f(Fr,Re)。 准则数之间的函数关系称为准则方程。
例题5：水翼船的阻力Ff与翼弦长度l,翼型截面积A,航行速度U,水的密度ρ,水的粘度μ有关,取U,A, ρ为基本量,用π定理确定阻力的函数关系式.
01
如果两个同一类的物理现象，在对应的时空点，各标量物理量的大小成比例，各向量物理量除大小成比例外，且方向相同，则称两个现象是相似的。
02
相似的条件：几何相似、运动相似、动力相似以及两个流动的边界条件和起始条件相似。
第一节 力学相似性原理
原型管流
模型管流
几何相似是指流动空间几何相似。即形成此空间任意相应两线段夹角相等，任意相应线段长度保持一定的比例。
1
同名作用力，指的是同一物理性质的力，如重力，粘性力，压力，惯性力，弹性力等。
2
动力相似是运动相似的保证
动力相似
01.
由动力相似的定义推导相似准数：
02.
由于惯性力与运动相似直接相关，把以上关系写为：
03.
原型流动
04.
模型流动
流体力学第三章(相似原理与量纲分析)概论
第二章总结
§1连续方程(3种形式）
§2作用于流体的力、应力张量 （1）质量力和表面力； （2）应力张量； （3）广义的牛顿粘性假设
1
§3运动方程 （1）Navier—Stokes方程； （2）欧拉方程； （3）静力方程；
§4能量方程 （1）动能方程； （2）伯努利方程
§5简单情况下的N-S方程的准确解
uQ2 uQ1
vQ2 vQ1
wQ2 wQ1
此时，两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
上式要求所有对应点均成立 （场的观点，要求任意对应点均成立）
17
模型流动中的时间变化过程并不要求与原型流动以相 同的时间变化率进行（过程加速或延缓），但要求两 流场的所有对应点上均按同一常数值的时间变化加速 和延缓，即要求满足
时间相似常数 ct t2 / t1
注意：t f (l, v) ，通常 ct 可以是不独立的，决定于
a2 a1
b2 b1
c2 c1
ac b
7
时间相似
时间相似:要求模型流场跟原型流场的所有对应点上均 按同一常数值的时间变化加速或延缓，即满足：
Ct
t2 t1
8
运动相似
运动相似（流场相似）:要求模型流场和原型流场在任意 选取的对应点上，流速分量满足：
uP2 uP1
vP2 vP1
wP2 wP1
对于原型流动，考虑运动方程在z方向的分量形式
1
§1连续方程(3种形式）
§2作用于流体的力、应力张量 （1）质量力和表面力； （2）应力张量； （3）广义的牛顿粘性假设
1
§3运动方程 （1）Navier—Stokes方程； （2）欧拉方程； （3）静力方程；
§4能量方程 （1）动能方程； （2）伯努利方程
§5简单情况下的N-S方程的准确解
uQ2 uQ1
vQ2 vQ1
wQ2 wQ1
此时，两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
上式要求所有对应点均成立 （场的观点，要求任意对应点均成立）
17
模型流动中的时间变化过程并不要求与原型流动以相 同的时间变化率进行（过程加速或延缓），但要求两 流场的所有对应点上均按同一常数值的时间变化加速 和延缓，即要求满足
时间相似常数 ct t2 / t1
注意：t f (l, v) ，通常 ct 可以是不独立的，决定于
a2 a1
b2 b1
c2 c1
ac b
7
时间相似
时间相似:要求模型流场跟原型流场的所有对应点上均 按同一常数值的时间变化加速或延缓，即满足：
Ct
t2 t1
8
运动相似
运动相似（流场相似）:要求模型流场和原型流场在任意 选取的对应点上，流速分量满足：
uP2 uP1
vP2 vP1
wP2 wP1
对于原型流动，考虑运动方程在z方向的分量形式
1
流体力学第4章相似原理和量纲分析
p
v2
l d
f Re, d
2021/4/10
4
主要内容
4.1 流动的力学相似 4.2 动力相似准则 4.3 流动相似的条件 4.4 近似模型试验 4.5 量纲分析法
2021/4/10
5
4.1 流动的力学相似
几何相似 流动相似
形状相似 同类现象 相似现象 几何相似 运动相似 动力相似
尺度成比例 遵循同一方程 物理量成比例 尺度成比例 速度成比例
1/ 5
3/2 0.08944
k 2021/4/10 7.5105 0.08944 6.708106 m2 / s 21
例4-2 两种密度和动力粘度相等的液体从 几何相似的喷嘴中喷出。一种液体的表面 张力为0.04409N/m，出口流束直径为 7.5cm，流速为12.5m/s，在离喷嘴12m处 破裂成雾滴；另一液体的表面张力为 0.07348N/m。求在流动相似条件下另一液 体的出口流束直径、流速、破裂成雾滴的 距离。
2021/4/10
22
解：流体破裂是受粘性力和表面张力的共同作 用，其流动相似的条件是雷诺数和韦伯数同时 相等。
kv kl 1
kv2 kl k
kl k1 / 0.07348 / 0.04409 1.6666
kv kl1 1/1.6666 0.6
另一流束参数：
d d / kl 7.5 /1.6666 4.5 cm
关系（只适用于简单变量关系） 优点：直接可靠 缺点：工作量 无普遍意义(只能用于与实验条件完全相同的现象 中); 某些情况难以进行(如高温、高压、大型设备)
以相似理论为基础的模型试验法（常规试验程序： 小中生产规模）
优点：易于控制、调节、节省投资；
流体力学-相似原理与量纲分析
F v2l2
Rm Rn 1.5kN
21
F 1 v2l2 0.672 1.52 1
第四节 量纲分析法
一、量纲
所有物理量 ＝ 自身的物理属性 + 为量度物理属性 而规定的量度标准（量度单位） 如长度：物理属性是线性几何量，量度标准是 m ， cm，英尺、光年等。 没有任何联系的独立的量纲为基本量纲，可由其导 出的为导出量纲。 原则上基本量纲的选取带随意性，常采用 M-L-T-Θ 为基本量纲系（即质量-长度-时间-温度）。
14
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
在相似的条件下进行实验： 完全相似 例如 难于做到 严格地要求四个相似准数都相同
Frn Frm
g 相同
vn l n vm lm
vn lm vm ln
流 体 力 学
1
u l
Ren Rem
相同
u
l
可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变 g 和。但改 变 g 是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航天飞机上 做），改变 的可能性也不大，因为流体力学实验可供选择的 流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证起决定作 用的那个相似准数相等，称为部分相似(局部相似)。
----- 韦伯准数
F El 2
3
v2
l I l 2 l 2v2 ----- 马赫准数 t v FT l 2 lv ( Re)n ( Re)m Re l l ----- 雷诺准数 I l 3 2 l 2v 2 12 t
Mn Mm
2. 由动力相似定义推导
ln lm un t n um t m
2 2 vn vm g nln g mlm
土木工程-流体力学-完整版- 相似原理与量纲分析
2.1 相似原理原型/模型流动相似：几何、运动、动力相似相似准则：雷诺、弗雷德、欧拉准则2.2 模型实验模型律的选择及模型设计2.3 量纲分析基本量纲、导出量纲、无量纲量量纲分析法：Π 定理（Theorum ）、瑞利法（Rayleigh ）2.4 2.4 基本方程的无量纲化基本方程的无量纲化第 2 章 相似原理和量纲分析（ Similarity and Dimensional Analysis)2.2 模型实验2.2.1 模型律的选择为使模型与原型流动相似，除几何相似外，还要动力相似，即同时满足各独立准则。
事实上，很难达到独立准则同时满足。
一般情况下，只能按照近似相似进行模型实验，即满足主要作用力相似即可。
通常，不可压缩液体流动的独立准则为雷诺准则和弗汝准则。
因此，主要作用力则是黏滞力或重力。
若主要作用力是黏滞力，模型按雷诺模型律设计，即模型与原型之间只满足雷诺准则。
例如有压管流。
若主要作用力是重力，模型按弗汝德模型律设计，即模型与原型之间只满足弗汝德准则。
例如明渠流。
【例2】求水泵输出功率的表达式。
【解】水泵输出功率指单位时间水泵输出的能量。
（1）找出与水泵输出功率N有关的物理量，包括单位体积水的重量γ=ρg、流量Q、扬程H，于是有f（N, γ , Q, H）= 0（2）指数积关系式N= Kγa Q b H c（3）量纲式dim N = dim(γa Q b H c)（4）用基本量纲表示各物理量量纲ML2T-3 = (ML-2T-2)a(L3T-1)b(L)c （5）根据量纲和谐原理求量纲指数M： 1 = aL： 2 = -2a+3b+cT：-3 = -2a-b解方程得，a = 1，b = 1，c = 1。
（6）整理方程得N = KγQHK 为由实验确定的常数。
问题：由于基本量纲只有3个，故只能建立3 个方程求解量纲指数。
因此，用瑞利法求力学方程，相关的物理量不能超过4个，否则将会出现待定系数。
第四章 相似原理与量纲分析(新)
第四章 相似原理与量纲分析流体力学中许多工程实际问题由于边界条件复杂，影响因素众多，目前还不能用数学分析方法求出严谨的答案。
即使有少数问题可导出微分方程，但由于它是非线性的，也难以求得精确解。
有些由解析方法求解的，也要做相当的简化和假定，以致结论与实际情况不完全相符。
这就必须借助实验，而且实际中很多公式和系数就是实验的总结。
根据已有的科学知识，进行船舶、飞机和水力机械等的设计是否符合实际需要和流体力学原理，要由实践来证实，因为经济和技术上的原因，不可能直接作出实物实验。
但是，实验必须有理论指导，否则将带有很大的局限性和盲目性，而相似原理和量纲分析就是指导和分析实验的理论依据。
通过相似原理和量纲分析可以正确和合理地制订实验方案和设计模型，获得符合实际的结果。
§ 4-1 相似原理和相似判据一、 相似原理相似概念最早出现于几何学。
如果两个几何图形的对应夹角相等，对应边成比例，那么这两个几何图形是相似的。
这一概念可被推广于一般的物理过程。
所谓两个系统是相应的，就是假定一个系统的一个点和瞬时(ｘp ，ｙp ，ｚp ，ｔp)可以和另一系统的唯一的一个点和瞬时(X Ｍ，Y Ｍ，Z Ｍ，ｔＭ）相对应，并且假定连续性条件适用于这两个系统中的任何两个相邻点。
所谓同名物理量即两个系统中表示同一物理属性的量。
例如，一个系统中某点的速度和另一系统中相应点的速度是两个系统中的同名物理量。
当两个相应系统中进行着同一的物理过程(例如都是机械运动)，而所有相应点的同名物理量的方向相同，其大小之间保持着同一比例关系，那么这两个系统就是物理相似的。
在流体力学中，两个流动系统中相应点的各种向量物理量彼此之间相互平行，并且向量或标量物理量互相成一定比例，则称两个流场是力学相似的。
要实现力学相似，两个流场必须具备以下几个条件：①几何相似；②运动相似；③动力相似；④边界条件和起始条件相似。
(一)几何相似如果两个流场几何形状相同，它们所有相应线段长度之比为同一常数，那么这两个流场是几何相似的。
流体力学相似原理和量纲分析
力矩（功、能）比例尺：
kM
M M
F l Fl
kF kl
k kl3kv2
压强(应力)比例尺：
kp
p p
Fp / A Fp / A
kF kA
k kv2
功率比例尺：
kP
P P
Fv Fv
kF kv
k kl2kv3
动力粘度比例尺：
k
k k
k klkv
要使模型流动和原型流动相似，需要两者 在时空相似的条件下受力相似。
动力相似（受力相似）用相似准则（相 似准数）的形式来表示，即：要使模型流动 和原型流动动力相似，需要这两个流动在时 空相似的条件下各相似准则都相等。
4.2 动力相似准则 （牛顿第二定律F m）a
由力比例尺可得： F ' 'V ' dv' / dt' F V dv / dt
作用力与惯性力之比
时间条件（非定常流）、物性条件（密度、 粘性等）相似。 • 同名相似准则数相等。
几个概念：
单值条件中的各物理量称为定性量，如密度 ，特
征长度 l，流速 v，粘度 ， 重力加速度 ；g
由定性量组成的相似准则数称为定性准则数，如雷诺 数 Re vl 弗劳德数 Fr v gl
包含被决定量的相似准则数称为非定性准则数，如压强
工程研究方法及其特点
1. 数学分析法：微分方程（组）+ 定解条件求解 优点： （1）理论完善 （2）物理概念清晰 （3）能揭示过程的物理本质 （4）指出影响因素的主次关系
缺点： （1）对复杂工程问题难以描述 （2）求解难度大
2. 实验法 • 直接实验法：在原型实物上研究各物理量之间的
关系（只适用于简单变量关系） 优点：直接可靠 缺点：工作量
流体静力学-相似原理与量纲分析
性力的比值。
当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦 然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。
模型与原型用同一种流体时， 1 ，则：
v
1
l
（b）
FT
A dv
dy
lv
lv
FI ma l 2v2
vpl p vmlm
p m
无量纲数 Re vl
雷诺数——粘性力的相似准数
三、压力相似准则
2、实验法：是指对某一正在发生的现象或正在 进行的过程进行系统的观察和参量的测定，再通过对 取得的数据进行加工、分析，以找出各参量的分布规 律及其相互间的依变关系。
实验法可分为原型测试和模型实验两类。 原型测试法：就是对正在运行的设备及过程进行实际
测试，掌握第一手资料，从而可为设备及过程的最优化提出 改进依据。
二 运动相似（时间相似）
定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相 等，即它们的速度场（加速度场）相似。
图10-2 速度场相似
第一节 流动的力学相似
时间比例尺:
t
tn tm
速度比例尺:
ln
v
vn vm
tn lm
tm
l t
加速度比例尺:
Ca
v' a' t'
1 Strouhal 相似准数 Sr=l/vt
表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运 动随时间变化的情况 2 Froude 相似准数 Fr=v2/gl
表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所 起的影响程度 3 Euler 相似准数 Eu=p/v2
表示压力和惯性力的比值
4 Renolds 相似准数 Re=ul/= ul/
当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦 然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。
模型与原型用同一种流体时， 1 ，则：
v
1
l
（b）
FT
A dv
dy
lv
lv
FI ma l 2v2
vpl p vmlm
p m
无量纲数 Re vl
雷诺数——粘性力的相似准数
三、压力相似准则
2、实验法：是指对某一正在发生的现象或正在 进行的过程进行系统的观察和参量的测定，再通过对 取得的数据进行加工、分析，以找出各参量的分布规 律及其相互间的依变关系。
实验法可分为原型测试和模型实验两类。 原型测试法：就是对正在运行的设备及过程进行实际
测试，掌握第一手资料，从而可为设备及过程的最优化提出 改进依据。
二 运动相似（时间相似）
定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相 等，即它们的速度场（加速度场）相似。
图10-2 速度场相似
第一节 流动的力学相似
时间比例尺:
t
tn tm
速度比例尺:
ln
v
vn vm
tn lm
tm
l t
加速度比例尺:
Ca
v' a' t'
1 Strouhal 相似准数 Sr=l/vt
表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运 动随时间变化的情况 2 Froude 相似准数 Fr=v2/gl
表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所 起的影响程度 3 Euler 相似准数 Eu=p/v2
表示压力和惯性力的比值
4 Renolds 相似准数 Re=ul/= ul/
流体力学(相似原理与 )
vm = λl = λv v p 1
vp vm 108 × 1000 = 1 .5 × = 1( m ) 45 × 3600
hm =
hp
λl
= hp
（2）求原型汽车所受的阻力 由在推导牛顿数得到的力的比尺为
λ f = λ ρ λl2 λ 2 v
λ 此处 λ ρ = 1 ， v = 1 λ l ， 则
2 λv =1 λ g λl
在此λg = 1，则 λ 1
λv = λl
vp
，模型的流速为
vm =
模型流量为 Qp 因为 所以 Qm
Qm =
λl
=
2.3 50
=λ
= 0.325(m / s)
=
v p Ap v m Am
2 l
vp vm
Q p vm
λl2 v p
2.3 × (90 − 4.3) × 8.2 × 0.325 = = 0.091( m 3 / s ) 50 2 × 2.3
p Eu = ρv 2
则 所以
pm = 2 2 ρpvp ρmvm
pp
—— 无量纲数
( Eu ) p = ( Eu ) m
上式说明，若作用在流体上的力主要是压力，两个流动动力相 似，则它们的欧拉数应相等。反之，两个流动的欧拉数相等，则这 两个流动一定是在压力作用下动力相似。
§5 －3
模型试验
模型律的选择 模型设计
五、流动相似的含义
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定两个流体运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流 动。
§5 －2
相似准则
流体力学第六章相似原理与量纲分析
• 物理过程的有量纲表达形式为 f (x1, x2,, xn ) 0 ，其中 m 个物
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m 个物理量组合成无量纲量 1,2,,nm ，定理的结论是：物理 过程的无量纲表达形式为 F(1, 2,, nm ) 0
例 初速为零的自由落体运动位移 s
量纲和谐原理的重要性：
a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验 经验公式的 正确性和完整性。
b.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。
c.可用来建立物理方程式的结构形式。
1. 定理
• 物理过程涉及 n 个物理量，其中有 m 个物理量的量纲是互
相独立的，选这量纲为基本量纲，可组成 n-m 个无量纲量， 物理过程则可由这 n-m 个无量纲量的关系式描述。否则就违反 了量纲和谐原理。
该相同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指
数方程式即得各物理量之间的关系式。
应用范围：一般情况下，要求相关变量未知
数n小于等于4~5个.
第二节 相似的基本概念
原型：天然水流和实际建筑物称为原型。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）
的代表物，称为模型。 水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑
应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小
各具有同一比值。 速度比尺： （6-4） 加速度比尺： （6-5）
3.动力相似 动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力
方向相同，其大小比值相等。 力的比尺：
（6-6）
4.初始条件和边界条件的相似 初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。
流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用 的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方 来相互比较。
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m 个物理量组合成无量纲量 1,2,,nm ，定理的结论是：物理 过程的无量纲表达形式为 F(1, 2,, nm ) 0
例 初速为零的自由落体运动位移 s
量纲和谐原理的重要性：
a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验 经验公式的 正确性和完整性。
b.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。
c.可用来建立物理方程式的结构形式。
1. 定理
• 物理过程涉及 n 个物理量，其中有 m 个物理量的量纲是互
相独立的，选这量纲为基本量纲，可组成 n-m 个无量纲量， 物理过程则可由这 n-m 个无量纲量的关系式描述。否则就违反 了量纲和谐原理。
该相同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指
数方程式即得各物理量之间的关系式。
应用范围：一般情况下，要求相关变量未知
数n小于等于4~5个.
第二节 相似的基本概念
原型：天然水流和实际建筑物称为原型。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）
的代表物，称为模型。 水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑
应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小
各具有同一比值。 速度比尺： （6-4） 加速度比尺： （6-5）
3.动力相似 动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力
方向相同，其大小比值相等。 力的比尺：
（6-6）
4.初始条件和边界条件的相似 初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。
流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用 的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方 来相互比较。
《流体力学》课件 第五章 相似原理与量纲分析
[ML T ] ] [L] [ML ]
1 2 b1
3 c1
4) 确定无量纲量的表达式： 5) 写出准数方程:
v a2 l b2 ρ c2 g π 3 = a3 b3 c3 v l ρ
p = Eu ρv 2 1 π2 = = ρvl Re
π1 =
π4 =
τ
v a4 l b4 ρ c4
gl = Fr 2 v vτ π4 = = Ho l
13
量纲
物理量所属的种类，反映物理量的本质，与单位之 间存在密切的联系，又有一定的区别。
量纲表达式
导出量与基本量之间的关系式。
规则： I. II. III.
C = A× B
C= A B
C = An
[C ] = [A]× [B] [C ] = [A] [B ] [C ] = [A]n
14
量纲指数
量纲和谐原理 在一个有意义的方程中，任意两项的量纲都必须相同。 量纲分析法推导相似准数
C ρ Cv Cτ
=
C ρ Cv2 Cl
=
C Cv Cl2
7
=
Cp Cl
= Cρ Cg
相似准数的导出
C ρ Cv Cτ ① = Cρ C Cl ②
2 v
v′′ v′y′ v′′ x = = z = Cv v′ v′y v′ x z
=
C Cv Cl2 ③
=
Cp Cl ④
= Cρ Cg
τ ′′ = Cτ τ′
π1 =
F a v∞ d b ρ c
1 a
(v∞ , d , ρ )
π2 =
2 3 c 2
a v∞′ d b′ ρ c′ 1 1
[π 1 ] =
流体力学 第10章 相似性原理与因次分析
个物理量作为基本量,( ,(流体力学中 若选择其中 m 个物理量作为基本量,(流体力学中 m = 3 ,其中一个几何量,一个运动量,一个动力 其中一个几何量,一个运动量, 量),其他的物理量可以用这3个基本量表示,写为 ),其他的物理量可以用这3个基本量表示, 其他的物理量可以用这 无量纲的 π 式,
1.
模型律
2 v
λv λL λ =1 =1 满足粘滞力相似(雷诺准数) 满足粘滞力相似(雷诺准数) λν λg λL
所以上式写为
可写成: 可写成:
除以上式, 用 ρg 除以上式, λ 并令 f ( , Re) = d 2 则 或:
l 2 p = f ( , Re) ρv d d
p l v = hf = λ ρg d 2g
2
p
l v = hf = λ d 2g γ
2
第二节
流动相似的基本概念
力学相似性原理) (力学相似性原理) 模型——研究题目,状态,过程的简化表述. 研究题目,状态,过程的简化表述. 模型 研究题目 模型试验成果要用于原型, 模型试验成果要用于原型,故原型与模型两液流 动相似,即原型(prototype)与模型 与模型(model)上同名 动相似,即原型 与模型 上同名 物理量( 对应成比例. 物理量( v, p, F ....... )对应成比例. 6.2.1 几何相似 原型与模型几何长度对应成比例,对应角相等. 原型与模型几何长度对应成比例,对应角相等. 长度比尺: 面积比尺: 长度比尺: λ = l p 面积比尺: λ = λ2
1946年 北洋大学与华北局建成水力学实验室(第一水工所) 1946年 北洋大学与华北局建成水力学实验室(第一水工所) 1953年 第一水工所解体,一部分去北京建立水科院, 1953年 第一水工所解体,一部分去北京建立水科院,而后 建南京水科院(南试处)一部分留天津大学(水利馆) 建南京水科院(南试处)一部分留天津大学(水利馆) 现在:科研机构众多(各省市,大设计院,大学) 现在:科研机构众多(各省市,大设计院,大学),都建有水 工试验厅( 工试验厅(室).
1.
模型律
2 v
λv λL λ =1 =1 满足粘滞力相似(雷诺准数) 满足粘滞力相似(雷诺准数) λν λg λL
所以上式写为
可写成: 可写成:
除以上式, 用 ρg 除以上式, λ 并令 f ( , Re) = d 2 则 或:
l 2 p = f ( , Re) ρv d d
p l v = hf = λ ρg d 2g
2
p
l v = hf = λ d 2g γ
2
第二节
流动相似的基本概念
力学相似性原理) (力学相似性原理) 模型——研究题目,状态,过程的简化表述. 研究题目,状态,过程的简化表述. 模型 研究题目 模型试验成果要用于原型, 模型试验成果要用于原型,故原型与模型两液流 动相似,即原型(prototype)与模型 与模型(model)上同名 动相似,即原型 与模型 上同名 物理量( 对应成比例. 物理量( v, p, F ....... )对应成比例. 6.2.1 几何相似 原型与模型几何长度对应成比例,对应角相等. 原型与模型几何长度对应成比例,对应角相等. 长度比尺: 面积比尺: 长度比尺: λ = l p 面积比尺: λ = λ2
1946年 北洋大学与华北局建成水力学实验室(第一水工所) 1946年 北洋大学与华北局建成水力学实验室(第一水工所) 1953年 第一水工所解体,一部分去北京建立水科院, 1953年 第一水工所解体,一部分去北京建立水科院,而后 建南京水科院(南试处)一部分留天津大学(水利馆) 建南京水科院(南试处)一部分留天津大学(水利馆) 现在:科研机构众多(各省市,大设计院,大学) 现在:科研机构众多(各省市,大设计院,大学),都建有水 工试验厅( 工试验厅(室).
流体力学4-3.4相似定理
Ma v a
马赫数表征惯性力与弹性力的关系，两流动 相应的马赫数相等，则弹性力相似。
第四节 模型实验
建立与原型相似的小尺度模型进行实验研究，并以 模型实验的结果预测原型将会发生的流动现象及规律。
一、模型律的选择
原型与模型流动雷诺数相等的这个相似条件，称为 雷诺模型律。
原型与模型流动弗劳德数相等的这个相似条件，称 为弗劳德模型律。
第三节 相似原理
原型(Prototype)：天然水流和实际建筑物称为原型。 模型(Model)：通常把原型（工程实物）按一定比例关
系缩小（或放大）的代 表物，称为模型。
水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究
原型水流问题。
关键问题：使模型水流和原型水流保持流动相似。
相似原理就是研究相似现象之间的联系的理论，
2、根据对流动受力情况分析，满足对流动起主要作 用的力相似，抓住主要矛盾选择模型律； 3、最后按所选用的相似准则，确定流速比尺λ v 及 模型的流量。
例题：书P84
例：为研究输油管道水力特征，用水管作模型实验。已 知油管直径dp=600mm，νp=40×10-6m2/s，输油量Qp=90 l/s，水管dm=50mm，νm=1.31×10-6m2/s，求输水量Qm=?
1
l
1/2
l
1 l
1/ 2 l
3/2 l
1
l 1
模型实验想做到与原型完全流动相似是困难的， 一般只能达到近似相似，就是保证对流动起主要作 用的力相似，这就是模型律的选择问题。
实际模型试验中，根据流动的特点，抓住主要矛盾。
在几何相似的基础上，只满足雷诺模型律，或者只满足 弗劳德模型律，或者两者都不满足（处于自模区，只需 满足几何相似），即可近似认为流动相似，在主要方面 满足试验要求。
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流动一定是在重力作用下动力相似。
三、欧拉准则
作用在流体上的力主要是压力P。即：压力
P = pA
压力比尺
P
Pp Pm
ppAp pmAm
pl2
由于作用力F中只考虑压力P，因而 F = P，即
f P
于是可得 l22v pl2
化简得 欧拉数
p 1
2 v
Eu p
v 2
则
pp pm
p
v
2 p
mvm2
—— 无量纲数
由于作用力F中仅考虑重力G，因而 F = G，即λf = λG
于是 l22 v g3 l
化简得：
2 v
1 或
v
2 p
v
2 m
gl
g pl p gmlm
—— 无量纲量
佛汝德数
Fr
v2 gl
所以 (Fr)p (Fr)m
上式说明，若作用在流体上主要是重力，两个流动动力相似，
它们的佛汝德数相等，反之，两个流动的佛汝德数相等，则这两个
F
N e l 2v 2
上式说明，两个流动动力相似，它们的牛顿数相等；反之两个 流动的牛顿数相等，则两个流动动力相似。
在相似原理中，两个动力相似流动中的无量纲数，如牛顿数， 称为相似准数。动力相似条件（相似准数相等）称为相似准则。
四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界 上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等 。
小，失去了模型实验的价值。
从上述分析可见，一般情况下同时满足两个或两个以上作用力 相似是难以实现的。
二、模型设计
模型设计首先定出长度比尺 l ，再以选定的比尺 l 缩
小（或放大）原型的几何尺度，得出模型流动的几何边界。
通常，模型和原型采用同一种类流体，则 1 ，然后按 所选用的相似准则确定相应的速度比尺，再按下式计算出模型流的
例2：汽车高hp=1.5m，最大行速为108km/h，拟在风洞中测定 其阻力。风洞的最大风速为45m/s，问模型的最小高度为多少？若
模型中测得阻力为1.50kN，试求原型汽车所受的阻力。
解：（1）求模型的最小高度hm
对于分析气体阻力问题，可按雷诺准则计算。雷诺准则为
由于 1
lv
，故
1
l
1
v
vm vp
相等。即得： 3l 2
要实现两流动相似，一是模型的流速应为原型流速的 1 / l 倍；
二是必须按 来3l 选2 择运动粘度的比值，但通常这后一条件难
于实现。
若模型与原型采用同一种介质，即 1 ，根据粘性力和重
力的相似，由式（1）和式（2），有如下的条件：
v
1 l
v l
显然，要同时满足以上两个条件，则 l 1 ,即模型不能缩
解：（1）模型的各几何尺寸
由给定的 l = 50 直接计算
桥墩长
lm
lp
l
240.48(m) 50
桥墩宽
bmbpl
4.30.08(m 6) 50
桥台距离
Bm
Bp
l
901.80(m) 50
水深
hmhpl
8.20.16(m 4) 50
（2）模型平均流速与流量
对一般水工建筑物的流动，起主要作用的是重力，所以模型试
一、模型律的选择
在进行模型设计时，根据原型的物理量确定模型的量值，这就
是模型律的选择，模型律的选择应依据相似准则来确定。
现在仅考虑粘性力与重力同时满足相似。
由雷诺准则 l v 1
则
由佛汝德准则
2 v
1
gl
v
l
（1）
通常λg = 1，则上式为
v l
（2）
要同时满足雷诺准则和佛汝德准则两个条件，式（1）和式（2）
能够基本上反映出流体的运动状态。
一、雷诺准则
作用在流体上的力主要是粘性力。
牛顿内摩擦定律
粘性力 粘性力比尺
TAduAdu
dy dy
T
Tp Tm
pp Ap
dup dyp
mmAm
dum dym
lv
由于作用力仅考虑粘性力，F = T ，即 f T
于是
l2v 2 lv
化简后 或者
lv 1
v plp vmlm
验只需满足佛汝德准则。即
2 v
1
gl
在此λg = 1，则 v l ，模型的流速为
vm
vp
l
2.30.32(m 5/s) 50模型流量为来自因为Qp Qm
vpAp vmAm
l2
vp vm
所以
Q m Q l2 p v v p m 2 .3 (9 5 0 4 2 .3 0 ) 2 .8 3 .2 0 .3 20 .0 5(m 9 3/s 1 )
所以 (Eu)p (Eu)m
上式说明，若作用在流体上的力主要是压力，两个流动动力相
似，则它们的欧拉数应相等。反之，两个流动的欧拉数相等，则这
两个流动一定是在压力作用下动力相似。
§5－3 模型试验
模型律的选择 模型设计
§5－3 模型试验
模型的设计，首先要解决模型与原型各种比尺的选择问题，即
所谓模型律的问题。
流量：
Qp Qm
vpAp vmAm
vl2
或
Qm
Qp
v
2 l
按以上步骤，便可实现原型、模型流动在相应准则控制下的流
动相似。
例1：一桥墩长lp =24m，墩宽bp=4.3m，水深hp=8.2m，河中水
流平均流速vp=2.3m/s，两桥台的距离Bp=90m。取 l =50来设计水工
模型试验，试求模型各几何尺寸和模型中的平均流速和流量。
p
m
—— 无量纲数
即 雷诺数 (Re)p (Re)m
上式说明，若作用在流体上的力主要是粘性力时，两个流动动
力相似，它们的雷诺数应相等。反之，两个流动的雷诺数相等，则
这两个流动一定是在粘性力作用下动力相似。
二、佛汝德准则
作用在流体上的力主要是重力。即：重力 G = mg = ρVg
重力比尺 GG G m p m pV Vm pg gm p g3 l
流体力学(相似原理与)
§5－1 流动相似
几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件的相似
则
f 3 llt2l2 tl 2l22 v
即
Fp
pl
2 p
v
2 p
Fm mlm2 vm2
上式可写成
Fp Fm
plp2v2p mlm2vm2
—— 无量纲数
在相似原理中称为牛顿数Ne ∴ (Ne)p (Ne)m
五、流动相似的含义
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定两个流体运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流 动。
§5－2 相似准则
雷诺准则 佛汝德准则 欧拉准则
§5－2 相似准则
在模型实验中，只要使其中起主导作用外力满足相似条件，就
h mhp l hpv vm p1 .51 4 0 5 3 186 0 0 0 1 (m 0 0 )