流体力学4-3.4相似定理
流体力学4-3.4相似定理
5. 马赫准则 Ma（表面张力） Mach number
在高速气流中，存在着 弹性力和惯性力的关系
FEp I p FEm Im
FE=El2 E=ρa2
I=ρl 2v2 FE= ρl2a2
pl
2 p
v2p
pl
p2a
2 p
mlm2 vm2 mlm2 am2
vp vm ap am
Map = Mam
适用范围：水流阻力即粘滞力起主要作用的流体流动， 如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和 潜体绕流问题等。
2.弗劳德准则 Fr（重力）
考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系
G gl3
I l22
Gp Ip
Gm Im
2 p
m2
g plp gmlm
Fr Fr 2
# 对于非恒定流动，还要满足初始条件相似； 而对于恒定流动，无需初始条件相似。
流动相似的进一步解释：
边界条件和初始条件相似以及几何相似是流动
相似的前提与依据；
动力相似是决定流体运动相似的主导因素；
运动相似是几何相似和动力相似的最终表现，是
流动相似的目标；
凡流动相似的原型与模型流动，必然同 时满足几何相似、动力相似和运动相似。
考虑原型与模型之间压力与惯性力的关系
P pl2
I l22
Pp I p
Pm Im
pp pm
p
2 p
mm2
Eup
Eum
p
2
欧拉数（Euler number）表征压力与惯性力之比。 两相似流动，压力起主要作用时，欧拉数相等。
由于压力通常是待求量，这样只要粘滞力、重力 相似，压力将自行相似。换言之，当雷诺准则、弗劳 德准则成立，欧拉准则可自行成立。
相似原理在流体力学的应用
相似原理在流体力学的应用1. 引言流体力学是研究流体力学基本规律以及与流体相关的力学现象的科学。
相似原理是流体力学中非常重要的理论工具之一，通过寻找相似性，可以将流体力学问题简化为更易于解决的形式。
在本文中，我们将探讨相似原理在流体力学中的应用。
2. 相似原理的基本概念相似原理是基于两个物体或系统在某些条件下具有相同的无量纲参数，推导出它们之间物理规律相似的原理。
在流体力学中，常用的无量纲参数有雷诺数、马赫数、庚特数等。
3. 相似原理的应用案例3.1 飞机模型以飞机为例，为了研究飞机在不同速度下的气动特性，可以制造不同大小的飞机模型，保持雷诺数相同。
通过在实验中测量模型飞机的升力、阻力等参数，可以推导出与实际飞机相似的气动特性。
3.2 水流实验在水力学实验中，为了研究不同流速下的水流行为，常常采用比例缩小的模型，并保持雷诺数不变。
通过观察模型中水流的涡旋、湍流等特性，可以预测实际工程中的水流行为。
3.3 管道流动在研究管道内的流动时，相似原理可以用于推导出不同尺寸的管道中的流速、压力分布等参数之间的关系。
这样一来，我们可以通过在小尺寸管道上进行实验，得到与实际尺寸管道相似的结果，从而减少成本和工作量。
3.4 船舶模型试验在船舶设计中，为了研究船舶的阻力、操纵性能等特性，常常使用比例缩小的船舶模型。
通过保持雷诺数不变，可以推导出模型与实际船舶的流体特性相似的规律，为船舶设计提供有效的依据。
4. 相似原理的优点和局限性相似原理作为研究流体力学问题的工具，具有以下优点： - 通过将问题简化，可以减少实验或计算的复杂性。
- 可以通过实验获得对实际情况的预测，从而指导工程设计和优化。
然而，相似原理也存在一定的局限性：- 不同问题可能存在不同的无量纲参数，相似性可能不易寻找。
- 实际流体力学问题往往十分复杂，相似性的适用性可能受到限制。
5. 结论相似原理在流体力学中具有重要的应用价值，通过寻找无量纲参数的相似性，可以简化问题，并从实验中获得对实际问题的预测。
《流体力学》第十章相似性原理与因次分析
第十章 相似性原理和因次分析
流体力学实验是研究问题的重要手段。 相似性原理用于指导实验非常有用。 相似性原理所研究的是相似物理现象之间的关系。只有同类的物理现象之间才能谈论相似问题。 同类的物理现象：是指那些用相同形式并具有相同内容的微分方程式所描写的现象。 电场和导热物体的温度场之间只有类比或比拟，但不存在相似。
例如：在考虑不可压缩流体流动的动力相似时， 决定流动平衡的四种力，粘滞力、压力、重力 和惯性力并非都是独立的，其中必有一力是被 动的，只要三个力分别相似，则第四个力必然 相似。因此，在决定动力相似的三个准则数Eu, Fr,Re中，也必有一个被动的，相互之间存在 依赖关系 Eu=f(Fr,Re)。 准则数之间的函数关系称为准则方程。
例题5：水翼船的阻力Ff与翼弦长度l,翼型截面积A,航行速度U,水的密度ρ,水的粘度μ有关,取U,A, ρ为基本量,用π定理确定阻力的函数关系式.
01
如果两个同一类的物理现象，在对应的时空点，各标量物理量的大小成比例，各向量物理量除大小成比例外，且方向相同，则称两个现象是相似的。
02
相似的条件：几何相似、运动相似、动力相似以及两个流动的边界条件和起始条件相似。
第一节 力学相似性原理
原型管流
模型管流
几何相似是指流动空间几何相似。即形成此空间任意相应两线段夹角相等，任意相应线段长度保持一定的比例。
1
同名作用力，指的是同一物理性质的力，如重力，粘性力，压力，惯性力，弹性力等。
2
动力相似是运动相似的保证
动力相似
01.
由动力相似的定义推导相似准数：
02.
由于惯性力与运动相似直接相关，把以上关系写为：
03.
原型流动
04.
模型流动
流体力学试验相似准则
流体力学实验相似准则
两个流动相似包括几何相似、运动学相似、质量相似、动力学相似、热力学相似五个方面。
5．热力学相似
•模型流动与实物流动中的传热方式相同，且对流传热、热传导传热、热辐射传热等各项对应成比例。
•例1
•河流中水流作用于桥墩的冲击力主要受重力的影响，因此，设计桥墩的模型实验应遵循重力
相似准则。
现有直径D=0.8米的圆柱形桥墩建
在水深H=3.5米的河流中，河水流速V=1.9米/
秒，选定模型比尺为1：10在水槽中进行模型
实验，实验测量到模型所受冲击力为f=6.8牛顿，水流绕过模型的时间为t=5秒，求：（1）模型
桥墩的直径d和水槽中的水深h；（2）水槽中
的流速v；（3）实际桥墩受到的水流冲击力F
和水流绕过桥墩的时间T。
•例2煤油管路上的文丘里流量计，入口直径为300mm，喉部直径为150mm，在1：3的模型中用水来进行试验。
已知煤油的比重为0.82，水和煤油的运动粘性系数分别为0.010cm2／s和
0.045cm2／s，
•(1) 已知原型煤油流量，为达到动力相似，模型中水的流量应为多少?
•(2) 若在模型中测得入口和喉部断面的测管水头差，推算原型中的测管水头差应为多少?。
流体力学相似原理和量纲分析
称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。
11
四、马赫数
当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA
在因次上 [F ] [E][A] El2
代入（4 —10）中的 F 时，则
Enln2
nln2Vn2
Emlm2
mlm2Vm2
即 En Em
nVn2 mVm2
对可压缩流体，音速a
E
, 因此
E
1 a2
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
l
1 2
v
l 32
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研 究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力， 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。
15
例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷 诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。
m gmlm3
mlm
2 2 m
简化后得
2 n
m2
（4—14）
式中
2
Fr
gnln gmlm
，称为弗劳德 Froude 数。
gl
物理意义：
惯性力与重力之比。
9
三、欧拉数
研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，
起主要作用的力为压力 F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
将其代替式（4—10）中的F时，则
纲数之间的函数式（4—22），这就是泊金汉 E.Buckingham
定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。
流体力学第4章相似原理和量纲分析
p
v2
l d
f Re, d
2021/4/10
4
主要内容
4.1 流动的力学相似 4.2 动力相似准则 4.3 流动相似的条件 4.4 近似模型试验 4.5 量纲分析法
2021/4/10
5
4.1 流动的力学相似
几何相似 流动相似
形状相似 同类现象 相似现象 几何相似 运动相似 动力相似
尺度成比例 遵循同一方程 物理量成比例 尺度成比例 速度成比例
1/ 5
3/2 0.08944
k 2021/4/10 7.5105 0.08944 6.708106 m2 / s 21
例4-2 两种密度和动力粘度相等的液体从 几何相似的喷嘴中喷出。一种液体的表面 张力为0.04409N/m，出口流束直径为 7.5cm，流速为12.5m/s，在离喷嘴12m处 破裂成雾滴；另一液体的表面张力为 0.07348N/m。求在流动相似条件下另一液 体的出口流束直径、流速、破裂成雾滴的 距离。
2021/4/10
22
解：流体破裂是受粘性力和表面张力的共同作 用，其流动相似的条件是雷诺数和韦伯数同时 相等。
kv kl 1
kv2 kl k
kl k1 / 0.07348 / 0.04409 1.6666
kv kl1 1/1.6666 0.6
另一流束参数：
d d / kl 7.5 /1.6666 4.5 cm
关系（只适用于简单变量关系） 优点：直接可靠 缺点：工作量 无普遍意义(只能用于与实验条件完全相同的现象 中); 某些情况难以进行(如高温、高压、大型设备)
以相似理论为基础的模型试验法（常规试验程序： 小中生产规模）
优点：易于控制、调节、节省投资；
流体力学中的相似准则课堂教学课件
G T F惯 F合 F弹 T表
粘
•• 所有的力构成力的封闭三角 所有的力构成力的封闭三角
动力相似 动力相似
λF = λI
Fp Fm
2 2
•• F-重力、压力、粘滞力、 F-重力、压力、粘滞力、
弹性力、表面张力; I-惯 弹性力、表面张力; I-惯 性力。 性力。
=
Ip Im
2 2
I = ma ⇒ ρl v , λI = λρ ⋅ λl ⋅ λv
λu =
up um
λt =
lp tp
tp tm
λv =
λa =
ap
vp vm
λa =
ap am
λ λv = = = l vm lm t m λt
vp
⎛ dv ⎞ =⎜ ⎟ am ⎝ dt ⎠ p
⎛ dv ⎞ 2 ⎜ ⎟ = λv λt = λl λt ⎝ dt ⎠ m
λa ≠ λl 2 λt2
动力相似
当促成液流运动的作用力只有弹性力时，
F = KA ⇒ Kl
2
F Kl 2 K Ne = 2 2 = 2 2 = 2 ρl v ρl v ρv
v2 令Ca = ，称为柯西数 K/ρ
惯性力 表示 弹性力 表示
Ne p = Nem
柯西相似准则
Ca p = Cam
两流动弹性力相似，则原型、 模型的柯西数相等。
第四章 相似原理与量纲分析
§4—1 流动相似 §4—2 相似准则 §4—3 模型试验 §4—4 量纲分析
EXIT
水力学的研究方法
理论分析、实验研究和数值计算相结合。三个方面是互 理论分析、实验研究和数值计算相结合。三个方面是互 相补充和验证，但又不能互相取代的关系。其中实验研究也 相补充和验证，但又不能互相取代的关系。其中实验研究也 是一种非常重要的方法。 是一种非常重要的方法。 实验研究
流体力学-相似原理与量纲分析
F v2l2
Rm Rn 1.5kN
21
F 1 v2l2 0.672 1.52 1
第四节 量纲分析法
一、量纲
所有物理量 ＝ 自身的物理属性 + 为量度物理属性 而规定的量度标准（量度单位） 如长度：物理属性是线性几何量，量度标准是 m ， cm，英尺、光年等。 没有任何联系的独立的量纲为基本量纲，可由其导 出的为导出量纲。 原则上基本量纲的选取带随意性，常采用 M-L-T-Θ 为基本量纲系（即质量-长度-时间-温度）。
14
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
在相似的条件下进行实验： 完全相似 例如 难于做到 严格地要求四个相似准数都相同
Frn Frm
g 相同
vn l n vm lm
vn lm vm ln
流 体 力 学
1
u l
Ren Rem
相同
u
l
可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变 g 和。但改 变 g 是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航天飞机上 做），改变 的可能性也不大，因为流体力学实验可供选择的 流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证起决定作 用的那个相似准数相等，称为部分相似(局部相似)。
----- 韦伯准数
F El 2
3
v2
l I l 2 l 2v2 ----- 马赫准数 t v FT l 2 lv ( Re)n ( Re)m Re l l ----- 雷诺准数 I l 3 2 l 2v 2 12 t
Mn Mm
2. 由动力相似定义推导
ln lm un t n um t m
2 2 vn vm g nln g mlm
流体力学试验相似准则
流体力学实验相似准则
两个流动相似包括几何相似、运动学相似、质量相似、动力学相似、热力学相似五个方面。
5．热力学相似
•模型流动与实物流动中的传热方式相同，且对流传热、热传导传热、热辐射传热等各项对应成比例。
•例1
•河流中水流作用于桥墩的冲击力主要受重力的影响，因此，设计桥墩的模型实验应遵循重力
相似准则。
现有直径D=0.8米的圆柱形桥墩建
在水深H=3.5米的河流中，河水流速V=1.9米/
秒，选定模型比尺为1：10在水槽中进行模型
实验，实验测量到模型所受冲击力为f=6.8牛顿，水流绕过模型的时间为t=5秒，求：（1）模型
桥墩的直径d和水槽中的水深h；（2）水槽中
的流速v；（3）实际桥墩受到的水流冲击力F
和水流绕过桥墩的时间T。
•例2煤油管路上的文丘里流量计，入口直径为300mm，喉部直径为150mm，在1：3的模型中用水来进行试验。
已知煤油的比重为0.82，水和煤油的运动粘性系数分别为0.010cm2／s和
0.045cm2／s，
•(1) 已知原型煤油流量，为达到动力相似，模型中水的流量应为多少?
•(2) 若在模型中测得入口和喉部断面的测管水头差，推算原型中的测管水头差应为多少?。
流动的力学相似资料一
第一节流动相似原型：天然水流和实际建筑物称为原型。
模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。
水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。
水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。
关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。
流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。
模型和原型保证流动相似，应满足：几何相似运动相似动力相似初始条件和边界条件相似1.几何相似几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。
（5-1）长度比尺：（5-2）面积比尺：（5-3）体积比尺：2. 运动相似运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。
（5-4）速度比尺：（5-5）加速度比尺：3.动力相似动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。
力的比尺：（5-6）4.初始条件和边界条件的相似初始条件：适用于非恒定流。
边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。
如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等。
流动相似的含义：几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
第二节动力相似准则动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持固定不变的比例关系。
流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用的结果。
因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。
惯性力则根据动力相似有λF= λI即（5-7）若称牛顿数，即（5-8）所以两个相似流动的牛顿数应相等，这是流动相似的重要标志和准则，称为牛顿数相似准则。
流体力学4-3.4相似定理分解
5. 马赫准则 Ma（表面张力） Mach number FEp I p 在高速气流中，存在着 弹性力和惯性力的关系 FEm I m
FE=El2
λv 、λQ 、λa ……
二、流动相似
若两个流动的对应点上的同名物理量（如速度、压 强及各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两 个流动就是相似的。 模型和原型保证流动相似，应满足： • • • 几何相似 运动相似 动力相似
•
初始条件和边界条件相似
1. 几何相似（geometric similarity）
原型中的自由液面，模型相应部分也是自由液面。
# 对于非恒定流动，还要满足初始条件相似；
而对于恒定流动，无需初始条件相似。
流动相似的进一步解释：
边界条件和初始条件相似以及几何相似是流动
相似的前提与依据；
动力相似是决定流体运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的最终表现，是
流动相似的目标；
vd Re p Re m
vd
pl p mlm p m
2.弗劳德准则 Fr（重力）
考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系
Gp
G gl
3
2 p
Gm
Ip Im
I l
2 2
g plp
2 m
g m lm
Fr p Fr m
2
g l
第三节
相似原理
原型(Prototype)：天然水流和实际建筑物称为原型。 模型(Model)：通常把原型（工程实物）按一定比例关
系缩小（或放大）的代 表物，称为模型。
水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究
原型水流问题。
流体力学 - 相似理论
Lm U 1 1 = ( m )2 = ( )2 = L U 6 36
6. 缩尺比为 1：64 的船模，模型试验测得兴波阻力 10N，求原船的兴波阻力。 解：由兴波阻力系数相等： Cw =
Fwm 1 ρU 2 m Am 2
U Lg
=
Fw 1 ρU 2 A 2
佛鲁德数相等 Fr =
Um Lm g
=
速度之比：
迁移惯性力 粘性力 迁移惯性力 局部惯性力
Fr =
迁移惯性力 重力
Eu =
压力 迁移惯性力
Se =
4.相似理论的应用 完全相似：满足两流动现象相似的全部动力相似准则，但在工程实际中难于做到。 部分相似：对某一具体问题，只考虑对流动起主导作用的动力相似准则，忽略次要因素的相 似准则。 5.自动模拟 当雷诺数达到一定数值时，阻力系数几乎不随雷诺数而变化，这一阻力系数不随雷诺 数而变的区域称为自动模拟区，所对应的雷诺数称为自模雷诺数。不同形状的物体，所对应 的雷诺数也不同。
−1 导出量纲：导出单位的量纲称为导出量纲，例如流体运动粘性系数 [ν ] = ⎡ ⎦ 等。 ⎣ LT ⎤
量纲齐次性原理：一个具有物理意义的方程中各项的因次必须相同称量纲齐次性。有量纲
的方程可以用无量纲形式表示。 无量纲数：又称无因次数，例如压力系数 C p =
p 1 ρV 2 A 2
Π定理：描述某物理现象的有量纲参数，可以转化为无量纲参数。 设某个物理现象与n个物 理量 α1 , α 2 ,"" , α n 有关，可以由函数关系式 f (α1 , α 2 ,"" , α n ) = 0 表示。如果n个物理 量中有P个基本量纲, 则可将n个物理量组合成n-p个独立的无量纲数Π1，Π1，Πn-p，因而该物 理现象可以由无量纲关系式 F (Π1 , Π 2 ,"" , Π n − p ) = 0 所描述。 在不可压缩流体流动中，p=3, 则有 F (Π1 , Π 2 ,"" , Π n −3 ) = 0 不可压缩流体流动中Π定理的运用： 1） 在 n 个物理量中选 3 个基本量（循环量） ，基本量选取的一般原则： 为保证几何相似，选取一个与长度直接相关的量， 为保证运动相似，选取一个与速度直接相关的量， 为保证动力相似，选取一个与质量直接相关的量。 2）用所选定的 3 个基本量与其余 n-3 个物理量依次组合成无量纲数。 3. 相似准则 两流动现象相似的充分必要条件是： 两力学现象应满足同一微分方程式， 且具有相似的 边界条件及初始条件。 应用量纲分析法，由 N-S 方程得到如下相似准数： 1）雷诺数 Re =
流体力学-相似原理与量纲分析性
K
c
v2l We
l Sr vt
如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该方 程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是 令方程中的有关力与惯性力相比。
第三节 流动相似条件
流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量都成比例。
相似流动必然满足以下条件：
1、任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应点上的各种物 理量，都应为相同的微分方程所描述； 2、相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即流动满足单值 条件； 3、由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动相似也必须满 足的条件。
（4-15）
c 为声速
则弹性力之比： CF Cc 2C Cl 2
代入式(4-15)得：
Cv Cc
1
（4-32）
或: v' v c' c
（4-33）
令:
v Ma
c
（4-34）
Ma称为马赫数，它是惯性力与弹性力的比值。
当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等， 即：Ma' Ma 反之亦然。这就是弹性力相似准则（马赫准则）。
（4-29）
或:
'v'2 v2
（4-30）
K' K
:
v2 Ca
K
（4-31）
Ca 称为柯西数，它是惯性力与弹性力的比值。
当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等， 即：C'a Ca
反之亦然。这就是弹性力相似准则（柯西准则）。
四、弹性力相似准则
CF 1 C Cl2Cv2
若流场中的流体为气体： K c2
图4-2 速度场相似
长度比例尺和速度比例尺确定所有运动学量的比例尺。
流体力学三大相似准则
流体力学三大相似准则流体力学是研究流体运动和应力分布的科学。
在流体力学中，有三个重要的相似准则被广泛应用，它们是相似性原理、雷诺数相似和马赫数相似。
本文将详细介绍这三个相似准则的概念和应用。
相似性原理是流体力学中最基本的准则之一。
它指出，当两个流体力学问题的几何形状和流体性质相似时，在相似几何条件和相似边界条件下，两个问题的流体运动和应力分布将是相似的。
通过相似性原理，我们可以将具有复杂几何形状的流体力学问题简化为具有简单几何形状的模型，从而进行更加便捷的分析和实验研究。
雷诺数相似是描述流体动力学行为的重要准则之一。
它是根据惯性力和粘性力之比来判断流体流动的性质。
当两个流体力学问题的雷诺数相等时，它们的流动特性将是相似的。
雷诺数越大，惯性力相对于粘性力的作用越显著，流体流动趋向于湍流；雷诺数越小，则趋向于层流流动。
马赫数相似是描述压缩性流体流动的准则之一。
马赫数是表示流体流动中的声速与流体自由流速之比。
当两个流体力学问题的马赫数相等时，它们的流动特性将是相似的。
马赫数相似主要应用于研究超音速和高超声速领域的流体力学问题。
相似准则的应用可以大大简化流体力学问题的研究和实验分析。
通过建立相似模型，我们可以在实验室中使用较小的尺度和流体样品进行试验，从而节省成本和时间。
同时，相似准则也为工程实践提供了重要的指导。
通过在设计过程中考虑相似性原理、雷诺数相似和马赫数相似，工程师可以根据实际需求预测和优化流体力学系统的性能。
在航空航天领域，相似准则的应用十分广泛。
航空器的设计和性能评估通常需要进行风洞试验。
通过将飞行器的几何尺寸缩小到风洞模型的尺度，同时保持相似的雷诺数和马赫数，可以在实验室中模拟真实飞行的各种流动情况。
相似性原理则使得我们可以通过对风洞模型的试验结果进行改变尺度的换算，从而预测实际飞行器的流体力学性能。
此外，相似准则在管道输送、河流和海洋工程、风力发电等领域也有广泛应用。
工程实践中的流体力学问题往往涉及复杂的流动现象和多种流体特性，使用相似准则可以大大简化问题，并提供有力的理论支持和指导。
流体力学相似原理和量纲分析
几何相似、运动相似和动力相似是模型流场 和原型流场相似的重要特征。
10
工程流体力学
第五章、相似原理和量纲分析
五、基本比例尺、其它动力学比例尺 常选取ρ、l、v的比例尺为为基本比例尺
长度比例尺
kl
kv
Fi/ aV k F k k 2F 2 Fi / aV ka kV kl kv
或者说模型与原形的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向相同 而流速大小的比例相等。
速度比例尺
v kv v
时间比例尺
t l / v kl kt t l /v kv
2 a v / t kv kv 加速度比例尺 ka a v/t kt kl
7
工程流体力学
kv 1 1/ 2 (kl k g )
v v Fr 1/ 2 1/ 2 ( g l ) ( gl)
Fr——弗劳德数，是惯性力与重力的比值。
当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反 之亦然。这就是重力相似准则（弗劳德准则）。
重力场中： g ' g , k g 1
则：
k v kl
1
2
15
工程流体力学
第五章、相似原理和量纲分析
2.粘滞力相似准则
在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。
(dv x / dy) A kF k k v kl F (dvx / dy) A
F
代入
kF 1 2 2 k kl kv
k k v kl k
按性 质分
几何 相似
运动 相似 动力 相似
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
描述动力特征的
工程流体力学课件 第04章 相似原理与量纲分析
C Cv2 Ck 1
（4-29） （4-30） （4-31） 称为柯西数，它是 Ca 惯性力与弹性力的 比值。
或: 令:
' v' 2
K'
v 2
K
v 2
（4-5）
v'
加速度比例尺:
（4-6）
注：长度比例尺和速度比例尺 确定所有运动学量的比例尺。
体积流量比例尺:
C qV
q' C 2 V 3 t ' l Cl CV qV Ct l t
l '3
3
（4-7）
运动粘度比例尺:
v' t ' Cl C C Cv 2 l v v l Ct t
C v Cl C v 1
（4-21）
（4-22） （4-23）
或: 令:
' v' l ' vl '
vl vl Re
v' l ' vl '
Re 称为雷诺数， 它是惯性力与粘 性力的比值。
当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦 然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。 模型与原型用同一种流体时，C
（4-32） （4-33） （4-34）
Ma称为马赫数，它
或: 令:
v' v c' c v Ma c
是惯性力与弹性力 的比值。
当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦 然。这就是弹性力相似准则（马赫准则）。 Ma' Ma
实验流体力学-相 似 理 论
与流体力学有关的相似参数
Euler数 压力 pl2 p Eu 2 2 2 2 1 2 惯性力 l V V 2
瑞士数学家、物理学家（1707-1783）。 主要应用范围：管流、绕流、气蚀、流体机械。
Newton数
外力 F 2 2 惯性力 l V L D 如：CL 1 , CD 1 , 2 2 2 V S 2 V S Ne M CM 1 2 V SC 2
例题
• 油(比重为0.85,运动粘性系数0.24Ns/m2)以速度3.5m/s在直径为 100mm的管道中流动。问雷诺数多大？
例题
• 一股垂直的水射流以速度76ft/sec从一个喷管向上喷出，其高度距 离地面为90ft. 要使一股水流在月球上升到120ft的高度，问这股射 流的速度应该多大？不计空气阻力，月球的加速度为1/6地球的加 速度。
相似准则的第二种寻找方法：Pi定律
布金汉π定理的运用步骤
1.确定关系式。根据对所研究现象的认识，确定影 响这个现象的各个物理量及其关系式。
f ( x1 , x2 , , xn ) 0
2.确定基本物理量。从n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取 m=3。使基本量纲的行列式不等于零，即保障基 本无论量相互独立。
例题
• 为了研究潮汐，建造了一个1:600的模型。1）与原型中一天的时 间相对应的模型的时间长度是多大？2)假设我们这个模型可以在 月球上实验，那么这种情况下，模型与原型的时间关系如何？
例题
• 水流过一个1：35的溢洪道的顶部，在其上一个特定的点测得流 速为0.46m/s.这个速度对应在原型上是多大？在模型某个面积上 测得的受力为0.12N.问元模型对应面积上的力是多大？力的比尺 是多少？
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l
1
p 1 m
2、弗劳德模型律
按弗劳德准则 (Fr)p=(Fr)m
g p l p g m lm
2 p 2 m
p g pl p m gmlm
1/ 2
g l
1/ 2
通常实验在地球表面进行，各地g=c
g
gp gm
1
1/ 2 l
若要同时满足Re、Fr准则
l
1
1/ 2 l
l
1
1
l
3/ 2
l 1
1/ 2 l
模型实验想做到与原型完全流动相似是困难的， 一般只能达到近似相似，就是保证对流动起主要作 用的力相似，这就是模型律的选择问题。 实际模型试验中，根据流动的特点，抓住主要矛盾。 在几何相似的基础上，只满足雷诺模型律，或者只满足 弗劳德模型律，或者两者都不满足（处于自模区，只需 满足几何相似），即可近似认为流动相似，在主要方面 满足试验要求。
2、举例说明由重力、粘滞力起主要作用的水流。
粘滞力：层流状态下的、管道、隧洞中的有压流动和 潜体绕流问题等。 重力：堰坝溢流、孔口出流及明槽流动及处于阻力平 方区的有压隧洞等。
第四章作业 2、4、6、8、 10、12
up
l t
p / t p p tm l a 2 am m / tm m t p t t
ap
3.动力相似（dynamic similarity）
指原型和模型流动相应点处质点受同名力作用，力 的方向相同，大小成比例。
分别以符号T、G、P、Tw和I代表影响流体运动的作 用力，如粘滞力、重力、压力、表面张力和惯性力，则 有 Tp Gp Pp Ip 力的比尺 F
凡流动相似的原型与模型流动，必然同 时满足几何相似、动力相似和运动相似。
三、相似准则
F
Tp Tm
Gp Gm
Pp Pm
Ip Im
相似准则：要使两个流动动力相似，前面定义的各项
比尺须符合一定的约束关系，这种约束关系称为相似准 则。
动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持
某种固定不变的比例关系。
指原型和模型两个流场的几何形状相似，即对应 的线段长度成比例、夹角相等。
以脚标p表示原型、m表示模型，则有 l p1 l p 2 lp l l m1 l m 2 lm p1 m1 , p 2 m 2
长度比尺
l
A
lp lm
体积比尺
原型中的自由液面，模型相应部分也是自由液面。
# 对于非恒定流动，还要满足初始条件相似；
而对于恒定流动，无需初始条件相似。
流动相似的进一步解释：
边界条件和初始条件相似以及几何相似是流动
相似的前提与依据；
动力相似是决定流体运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的最终表现，是
流动相似的目标；
第三节
相似原理
原型(Prototype)：天然水流和实际建筑物称为原型。 模型(Model)：通常把原型（工程实物）按一定比例关
系缩小（或放大）的代 表物，称为模型。
水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究
原型水流问题。
关键问题：使模型水流和原型水流保持流动相似。
相似原理就是研究相似现象之间的联系的理论，
4. 韦伯准则 We（表面张力）
当流动受表面张力影响时
Twp Twm
Ip Im
2 2 l v m lm vm 2 2 I=ρl v p lp m lm 2 pl p v p Wep = Wem We p
Tw =σ l
2 p p
2 p
韦伯数表征惯性力与表面张力之比，两流动相 应的韦伯数相等，则表面张力相似Weber number.
法一
(Re)p=(Re)m
plp p mlm m
p Qp Ap 0.318m/s
dm p Qm m Am 0.245 l/s
m p
dp m
0.125m/s
法二
Q l Qm Qp l 0.245 l/s
是模型试验的理论基础,为对流动现象进行理论分析的一 个重要手段。
一、比尺
1、比尺λ：
原型和模型对应的物理量之比
比尺的数目与物理量的个数相同
2、基本比尺：
对应基本量纲，互相独立的基本物理量的原型和模 型的比值，对于力学
λl=lp/lm λt=tp/tm λF=Fp/Fm
3、导出比尺：
由基本比尺以指数形式的乘积组成的比尺
1、为什么每个相似准则都要表征惯性力？
作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运 动状态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。如 果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么 惯性力则是这个力多边形的合力，即牛顿定律 F ma 流动的变化就是惯性力与其他上述各种力相互作用的结 果。因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相 互比较。
2、根据对流动受力情况分析，满足对流动起主要作 用的力相似，抓住主要矛盾选择模型律；
3、最后按所选用的相似准则，确定流速比尺λ 模型的流量。 例题：书P84
v
及
例：为研究输油管道水力特征，用水管作模型实验。已 知油管直径dp=600mm，νp=40×10-6m2/s，输油量Qp=90 l/s，水管dm=50mm，νm=1.31×10-6m2/s，求输水量Qm=? 解：本实验应满足Re准则（有压管流）
1、雷诺准则 Re（粘滞力）
考虑原型与模型之间粘滞力与惯性力的关系
Tp Tm
Ip Im
du T A l dy
l 2 2 I ma l 2 l t
3
无量纲数Re称雷诺数（Reynolds number） 雷诺数表示惯性力与粘滞力之比。两相似流动，粘 滞力起主要作用时，雷诺数相等。 适用范围：水流阻力即粘滞力起主要作用的流体流动， 如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和 潜体绕流问题等。
Pp
P pl 2 2 I l
2
Im pp pm p Eu p Eu m 2 2 2 p p mm
Pm
Ip
欧拉数（ Euler number ）表征压力与惯性力之比。 两相似流动，压力起主要作用时，欧拉数相等。 由于压力通常是待求量，这样只要粘滞力、重力 相似，压力将自行相似。换言之，当雷诺准则、弗劳 德准则成立，欧拉准则可自行成立。
Tm
GmPmΒιβλιοθήκη Im达朗贝尔原理：对于运动的质点，设想加上该质点的惯 性力，则惯性力与质点所受作用力平衡，形式上构成封 闭力多边形。 动力相似可表述为响应点上的力多边形相似，相应 力（同名力）成比例。
4.初始条件和边界条件相似
# 边界条件相似指两个流动相应边界性质相同，
如原型中有固体壁面，模型中相应部分也是固体壁面；
V
Vp Vm
lp lm
3 3
3 l
面积比尺
Ap Am
2 lp 2 lm
l2
2.
运动相似（kinematic similarity）
指原型和模型流体运动的速度场相似，即两 流场各相应点（包括边界上各点）的速度u 及 加速度 a 方向相同，且大小具有同一比值。
速度比尺
加速度比尺
p l p / t p l p tm um m lm / tm lm t p
若要同时考虑Re、Fr准则,并涉及所有量
l
g l
1/ 2
λg≠1 转轮实验、微重力实验 λg=1 3/ 2
l
1/ 2 g l l
二、模型设计
步骤： 1、通常是先根据实验场地，模型制做和量测条件定 出长度比尺λ l；再以选定的比尺缩小原型的几何尺 寸，得出模型区的几何边界；
为了使模型和原型流动完全相似，除要几何相似外， 各独立的相似准则应同时满足。但实际上要同时满足各 准则很困难，甚至是不可能的。
1、雷诺模型律
按雷诺准则 (Re)p=(Re)m
pl p mlm p m
p p lm m m l p
l
通常采用同一种流体作实验
λv 、λQ 、λa ……
二、流动相似
若两个流动的对应点上的同名物理量（如速度、压 强及各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两 个流动就是相似的。 模型和原型保证流动相似，应满足： • • • 几何相似 运动相似 动力相似
•
初始条件和边界条件相似
1. 几何相似（geometric similarity）
5. 马赫准则 Ma（表面张力） Mach number FEp I p 在高速气流中，存在着 弹性力和惯性力的关系 FEm I m
FE=El2
E=ρa2
I=ρl 2v2
FE= ρl2a2
Map = Mam
2 2 l v m lm v m 2 2 l a m lm am 2 p p 2 p p 2 p 2 p
vm a p am
vp
v Ma a
马赫数表征惯性力与弹性力的关系，两流动 相应的马赫数相等，则弹性力相似。
第四节
模型实验
建立与原型相似的小尺度模型进行实验研究，并以 模型实验的结果预测原型将会发生的流动现象及规律。
一、模型律的选择
原型与模型流动雷诺数相等的这个相似条件，称为 雷诺模型律。 原型与模型流动弗劳德数相等的这个相似条件，称 为弗劳德模型律。
vd Re p Re m