中考数学 考点聚焦 第2章 方程与不等式 第7讲 一元二次方程及其应用1

1．(2016·新疆)一元二次方程x2－6x－5＝0配方可变形为( A ) A．(x－3)2＝14 B．(x－3)2＝4 C．(x＋3)2＝14 D．(x＋3)2＝4 2．(2016·邵阳)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
x1
＋
x2
＝
－
2k k－1
，
x1x2
＝
2 k－1
，
若
S
＝
2
，
则
x2 x1
＋
x1 x2
＋
x1
＋
x2
＝
2
，
即
（x1＋xx2）1x22－2x1x2＋x1＋x2＝2，将 x1＋x2、x1x2 代入整理得：k2－3k＋2
＝0，解得：k＝1(舍)或 k＝2，∴S 的值能为 2，此时 k＝2.
一元二次方程的应用 【例 4】 (2016·贺州)某地区 2014 年投入教育经费 2 900 万元，2016 年投入教育经费 3 509 万元． (1)求 2014 年至 2016 年该地区投入教育经费的年平均增长率； (2)按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百 分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到 2018 年需投入 教育经费 4 250 万元，如果按(1)中教育经费投入的增长率，到 2018 年该 地区投入的教育经费是否能达到 4 250 万元？请说明理由．(参考数据： 1.21＝1.1， 1.44＝1.2， 1.69＝1.3， 1.96＝1.4)
解：(1)x2－2x＝0，x(x－2)＝0，∴x1＝0，x2＝2 (2)∵x2＋4x－1 ＝0，∴x2＋4x＝1，∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，∴x＝－2± 5，
∴x1＝－2＋ 5，x2＝－2－ 5 (3)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2，y－3y2＋3－9y＝1＋2y2，∴5y2＋8y
解：①根据题意可知，横彩条的宽度为 x cm，∴y＝20×23x＋2×12·x －2×32x·x＝－3x2＋54x，即 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－3x2＋54x； ②根据题意，得：－3x2＋54x＝52×20×12，整理，得：x2－18x＋32＝0， 解得：x1＝2，x2＝16(舍)，∴32x＝3，答：横彩条的宽度为 3 cm，竖彩条 的宽度为 2 cm.
3．公式：
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式： x_＝__－__b_±__2_ba_2_－__4_a_c(_b_2_－__4_a_c_≥_0_)．
4．一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： (1)b2－4ac＞0⇔方程有两个_不__相__等__的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔方程有两个_相__等___的实数根； (3)b2－4ac＜0⇔方程_没__有___实数根．
(2)(导学号：01262187)(2016·包头)一幅长 20 cm、宽 12 cm 的图案， 如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3∶2.设竖彩条的 宽度为 x cm，图案中三条彩条所占面积为 y cm2.
①求 y 与 x 之间的函数关系式； ②若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．
[对应训练] 2．(1)(2016·福州)下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2－4x＋c ＝0一定有实数根的是( D ) A．a＞0 B．a＝0 C．c＞0 D．c＝0 (2)(2016·巴中)定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝m2n＋n，等 式 右 边 是 常 用 的 加 法 、 减 法 、 乘 法 及 乘 方 运 算 ． 例 如 ： － 3☆2 ＝ ( － 3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程 ：2x2－bx＋a＝0的根的情况． 解：∵2☆a的值小于0，∴22a＋a＝5a＜0，解得：a＜0.在方程2x2－bx ＋a＝0中，Δ＝(－b)2－8a≥－8a＞0，∴方程2x2－bx＋a＝0有两个不相 等的实数根．
一元二次方程根的判别式
【例2】 (2016·泸州)关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0 有实数根，则k的取值范围是( D )
A．k≥1 B．k>－1 C．k<1 D．k≤1 【点评】 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况的描述 ，必须借助根的判别式，Δ≥0方程有两个实数根，Δ＞0方程有两个不相 等的实数根，Δ＝0方程有两个相等的实数根，Δ＜0方程没有实数根， 反之亦然．另外，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐 含条件．
一元二次方程根与系数的关系
【例 3】 (1)(2016·黄冈)若方程 3x2－4x－4＝0 的两个实数根分别
为 x1，x2，则 x1＋x2＝( D )
A．－4
B．3
C．－34
4 D.3
(2)(导学号：01262184)(2016·南充)已知关于x的一元二次方程x2－6x ＋(2m＋1)＝0有实数根．
5．(2016·衡阳)随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展 ，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底 某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆， 设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列 方程得( A )
1．使用一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系时，必须将一元 二次方程转化为一般式ax2＋bx＋c＝0，以便确定a，b，c的值． 2．正确理解“方程有实根”的含义．若有一个实数根则原方程为一元 一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程．在解题时，要特 别注意“方程有实数根”“有两个实数根”等关键文字，挖掘出它们的 隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱”．
A．10(1＋x)2＝16.9 B．10(1＋2x)＝16.9 C．10(1－x)2＝16.9 D．10(1－2x)＝16.9
一元二次方程的解法
【例 1】 解下列方程： (1)x2－2x＝0； (2)(2016·淄博)x2＋4x－1＝0； (3)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2； (4)(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0.
【点评】 (1)现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二 次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上 ，寻求问题中的等量关系，从而建立方程．(2)解出方程的根要结合方 程和具体实际选择合适的根，舍去不合题意的根．
[对应训练] 4．(1)(导学号：01262186)(2015·毕节)一个容器盛满纯药液 40 L， 第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时 容器里只剩下纯药液 10 L，则每次倒出的液体是_2_0__L. 点拨：设每次倒出液体 xL，由题意得：40－x－404－0 x·x＝10，解 得：x＝60(舍去)或 x＝20.答：每次倒出 20 升
解：(1)设增长率为x，根据题意2015年为2 900(1＋x)万元，2016年为 2 900(1＋x)2万元．则2 900(1＋x)2＝3 509，解得x＝0.1＝10%，或x＝－ 2.1(不合题意舍去)．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%.
(2)2018年该地区投入的教育经费是3 509×(1＋10%)2＝4 245.89(万元 ).4 245.89＜4 250，答：按(1)中教育经费投入的增长率，到2018年该地 区投入的教育经费不能达到4 250万元．
数学
第二章 方程与不等式
第7讲 一元二次方程及其应用
1．定义 只含有一_个__未__知__数___，并且未知数的最高次数是_2___，这样的整式方程 叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式： _a_x_2_＋__b_x_＋__c＝__0_(_a_，__b_，__c_是__已__知__数__，__a_≠_0_)__，其中a，b，c分别叫做二次项 系数、一次项系数和常数项． 2．解法 首先考虑_直__接__开__平__方__法_，_因__式__分__解__法___；其次考虑_配__方__法__，_公__式__法___ ．
实数根，且 x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则 ba 的值是( A )
来自百度文库
1 A.4
B．－14
C．4
D．－1
(2) (导学号：01262185)(2016·鄂州)关于 x 的方程(k－1)x2＋2kx＋2 ＝0.
①求证：无论 k 为何值，方程总有实数根． ②设 x1，x2 是方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0 的两个根，记 S＝xx12＋xx21＋ x1＋x2，S 的值能为 2 吗？若能，求出此时 k 的值；若不能，请说明理由．
－2＝0，y＝－82±×5104＝－4±5
26
－4＋
，∴y1＝ 5
26
－4－
，y2＝ 5
26
(4)(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0，(3x＋5－1)(3x＋5－4)＝0，(3x＋
4
1
4)(3x＋1)＝0，3x＋4＝0 或 3x＋1＝0，∴x1＝－3，x2＝－3
【点评】 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但 一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．
①求m的取值范围； ②如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值 范围． 解：①根据题意得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，解得m≤4； ②根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以 2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4.
[对应训练] 1．用指定的方法解下列方程： (1)(2x－1)2＝9；(直接开平方法) (2)2x2＋1＝3x；(配方法) (3)(2016·山西)2(x－3)2＝x2－9；(因式分解法) (4)x(x＋1)＋2(x－1)＝0.(公式法)
解：(1)(2x－1)2＝9，2x－1＝±3，∴x＝1±23，x1＝2，x2＝－1 (2)移项， 得 2x2－3x＝－1，二次项系数化为 1，得 x2－32x＝－12，配方 x2－32x＋(34)2 ＝－21＋(34)2，(x－34)2＝116，由此可得 x－43＝±14，∴x1＝1，x2＝12 (3)方 程变形得：2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0.分解因式得：(x－3)(2x－6－x－3) ＝0，解得 x1＝3，x2＝9 (4)x(x＋1)＋2(x－1)＝0，x2＋3x－2＝0，x＝ －23×±117，∴x1＝－3－2 17，x2＝－3＋2 17
5．一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为 x1，x2，则有 x1＋x2 ＝_－__ba___，x1x2＝__ca__．
6．一元二次方程的应用 (1)列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用 题的步骤一样．
增长量 (2)①增长率＝基础量×100%； ②设 a 为原来量，当 m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长以 后的量，则有 a(1＋m)n＝b；当 m 为平均下降率，n 为下降次数，b 为 下降以后的量，则有 a(1－m)n＝b. (3)利润问题： ①利润＝售价－成本 ②利润率＝利成润本×100%
解：①当 k＝1 时，原方程可化为 2x＋2＝0，解得：x＝－1，此时
该方程有实根；当 k≠1 时，方程是一元二次方程，∵Δ＝(2k)2－4(k－
1)×2＝4k2－8k＋8＝4(k－1)2＋4＞0，∴无论 k 为何值，方程总有实数根，
综上所述，无论 k 为何值，方程总有实数根．②由根与系数关系可知，
3．(2016·攀枝花)若 x＝－2 是关于 x 的一元二次方程 x2＋32ax－a2 ＝0 的一个根，则 a 的值为( C )
A．－1 或 4 B．－1 或－4 C．1 或－4 D．1 或 4 4．(2016·烟台)若 x1，x2 是一元二次方程 x2－2x－1＝0 的两个根， 则 x12－x1＋x2 的值为( D ) A．－1 B．0 C．2 D．3
【点评】 ①先利用一元二次方程的根的判别式Δ＝b2－4ac来求出m
的取值范围；②根据根与系数的关系得到x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，再利 用2x1x2＋x1＋x2≥20得到2(2m＋1)＋6≥20，然后解不等式和利用①中的 结论可确定满足条件的m的取值范围．
[对应训练]
3．(1)(2016·威海)已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2＋ax－2b＝0 的两