数学建模网络挑战赛

第九届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛承诺书我们仔细阅读了第九届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们接受相应处理结果。

我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。

我们的参赛队号为：参赛队员：队员1：队员2：队员3：参赛队教练员：参赛队伍组别：第九届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛编号专用页参赛队伍的参赛队号：1348组竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2016年第九届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段论文题目低分辨率下看世界关键词特征点匹配FTA算法灰色投影法Bresenham算法仿真摘要：本文根据问题进行分析，先对某一特定点的运动方向进行分析，建立模型并设计算法判断其运动方向，然后通过仿真模拟，从而判断视野的运动方向。

首先对摄像机与视野运动的关系进行分析，并建立视野运动的数学建模。

然后建立坐标系，确定视野中特定点的位置。

然后通过基于GHT的圆心定位模型，并用代表点匹配法，通过特征点代表匹配算法进行分析。

FTA算法是稳像算法中获取图像运动矢量的重要算法，可以最大程度的利用图像的特征信息，利用特征点来估计运动矢量可以有效地减少数据量，提高计算的速度，且有利于图像的可靠匹配。

该算法不仅可以检测图像的平移，对图像序列的旋转也可以解决。

然后利用灰色投影法算法得到图像帧间的运动矢量，从而实现图像运动矢量的准确获取，从而达到稳定图像序列的目的。

最后利用Bresenham 算法对图像的频谱图进行灰度求和进而确定运动模糊方向。

将Bresenham算法应用于判断图像运动方向的方法目的在于快速计算出某一条直线灰度值的和经过实验验证，本文提出的运动模糊角度判别方法比较准确地判断出了图像运动的方向。

提出了基于PSNR的电子稳像评价方法，变焦摄像机拍摄的视频图像进行了仿真实验，对各算法的精度及运动方向进行了比较，从而得到更准确的结果。

参赛队号: 1348组参赛密码（由组委会填写）所选题目:B题一、问题重述数码摄像技术被广泛使用于多种场合中。

有时由于客观条件的限制，拍摄设备只能在较低的分辨率下成像。

为简单起见，我们只考虑单色成像。

假设成像的分辨率为32×64，成像方式是将整个矩形视野划分成32×64个相同大小的矩形格子，图像中每个像素的取值为对应格子的亮度平均值。

每间隔一定时间拍摄一帧图像，运动的画面体现为图像的序列。

需要解决的问题:现在整个视野区域向某个方向缓慢运动，拍摄到的系列图像实时地传输到计算机中。

请你建立合理的数学模型和算法，通过分析实时拍图像，使用尽量少的时间，以判断出运动的方向。

二、问题分析如果想要分析出整个视野的移动方向，可以通过视野中某个点的移动方向从而确定整个视野的移动方向。

想要判断视野中的某个点的移动方向，首先要确定这个点的坐标以及移动后的坐标，从而确定其移动方向。

三、问题假设1、假设相机工作正常，其内部组件都是标准组件，组成光学系统的光学镜头光轴完全共线。

2、像平面是由一个个有大小的像素点组成，是一个不连续的点空间，而几何定义大都是在连续空间内定义的，这里假定，在几何推理中，像平面是连续的面，也即每个象素点除了表示坐标外，不再具有实际的大小。

3、目标点始终在视野中。

4、假设相机的摄像过程中，同一条直线上的所有点的投影像仍然在同一条直线上。

5、不考虑非线性畸变的影响。

四、符号说明1、oxyz——坐标系2、θ——摄像机的旋转角3、T(∆∆∆——摄像机的位移量Z,YX),4、f——摄像机镜头的焦距五．模型的建立与求解5.1．摄像机运动与图像运动的关系通常运动图像的记录过程应该用三个坐标系描述：定坐标系0000z y x o ，相机载体坐标系和像空间坐标系1111z y x o ，它们的分布如图1所示。

图1.定坐标系、载体坐标系及像空间坐标系像空间坐标系2222z y x o 原点恰好位于光电转换器中心，而像空间坐标系的轴2z 是物镜的光轴。

坐标系中2222z y x o 的图像偏移是由于载体坐标系1111z y x o 相对于定坐标系0000z y x o 的运动引起的。

下面主要研究下图像的运动和摄像机载体的关系。

假设图像的运动只是由摄像机载体相对于被摄目标运动的线速度和角速度引起的，则下图表示摄像机坐标和图像坐标及它们运动之间的相互关系。

图2.摄像机运动和图像运动之间的坐标关系在图中，XYZ 是摄像机的坐标系，其运动参数为：运动的线速度T z y x T T T V ),,(:，运动的角速度T z y x ),,(ΩΩΩΩ。

而XYZ 坐标是摄像机的图像面坐标。

T z y x T T T p ),,(:表示相对于摄像机的一个地面景物点。

其中T t y x P ),(表示景物时刻t 在图像上的相应的投影点坐标。

由于摄像机的运动，经过t ∆时间后，导致点P 在图像上的坐标发生变化，而使投影点在图像的"p 位置。

式（5-1）运动的摄像机在1t ，2t 时刻不同坐标的关系可表示为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆∆+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z Y X Z Y X Z Y X 1112221000cos sin 0sin cos θθθθ（5-1）式中 θ——摄像机的旋转角；T Z Y X ),,(∆∆∆——摄像机的位移量；T Z Y X ),,(111——1t 时刻摄像机的坐标；T Z Y X ),,(222——2t 时刻摄像机的坐标。

根据透视投影原理，景物点在二维图像生成像的公式为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111Y X Z f y x （5-2）式中f ——摄像机镜头的焦距；t=1,2... 表示不同时刻。

图像间的运动变量可由(5-3)式来表示⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222111cos sin sin cos y x y x s y x θθθθ（5-3） 式中 s ——变焦系数；),(22y x ∆∆——2t 相对1t 时刻图像的位移量。

5.2．图像运动的数学模型由于图像的运动方式各不相同，可采用不同的运动模型来表示，常用的三种图像运动数学模型为：Translation ，Affine 和Similarity 模型。

（1）如果图像只含有平移运动，其数学模型可采用Translation 模型T P P +=01（5-4）式中01,p p ——是当前帧和参考帧中对应的坐标；T ——二维平移量。

（2）当图像有旋转和变焦两种运动时，则须采用Similarity 模型T p sR P o c +=1 （5-5）式中 T ——二维平移量；s ——变焦系数；c R ——正交的旋转矩阵。

即T p s p +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01cos sin sin cos θθθθ （5-6） 式中 T s p p 、、、01和c R 含义同上； θ——旋转角度。

（3）当图像有旋转变化时，只有Affine 的仿射模型才能反映图像的变化，图 像运动的模型参数有六个⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x t t y x r r r r s y x 112221121111 （5-7） 式中 22211211,,,r r r r ——旋转参数；s ——变焦系数；),(22y x 和),(22y x ——表示每个像素点在参考帧和当前帧在第k 帧的坐标；),(y x t t ——当前帧相对于参考帧在x 轴和y 轴的偏移量。

总的来说运动模型的参数个数越多，对图像运动的描述更加精确，相应计算复杂性越高。

由于帧间图像变化较小，在精度要求不高时可近似采用平移模 型，该模型计算复杂性低，但是在对连续帧间的摄像机运动参数进行叠加时， 所造成的累计误差也很严重，非相邻帧的摄像机运动不能简单的用平移模型描 述。

5.3．坐标的确定5.3.1.坐标系的建立如下图所示，在像平面上定义直角坐标系uv O 0，每一像素点的坐标),(v u 分别是该像素点在数组中的列数与行数，而),(v u 是以像素为单位的图像坐标称为像素坐标；像素坐标的集合称为像素坐标集。

由于),(v u 只表示像素位于数组中的列数与行数,并没有用长度单位表示出该像素在图像中的位置，因而，为了解题的需要，我们建立一个以物理单位(毫米)表示的像平面坐标系．如图，坐标原点O1为相机光轴与像平面的交点，建立与u,v 轴平行且同向的x ，y 轴，并以毫米为单位的xy O 1坐标系。

若),(v u 表示像素坐标，),(y x 表示以毫米为单位的像坐标系的坐标．y x ,轴方向上的物理尺寸为dy dx ,，则图像中任意一个像素在两个坐标系下的坐标有如下关系：00v dyy v u dx x u +=+=（5-8） 用齐次坐标与矩阵形式表示上式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11001001100y x v dy u dx v u （5-9） 逆关系可写成：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110000100v u dy v dy dx u dx y x （5-10） 5.3.2.模型建立首先,为了便于求解,根据题目要求,建立一个相机坐标系.接着,要确定圆心的像坐标,需要建立模型,确定圆心的像坐标与圆面的其他像素点的关系. 边缘是图像最基本的特征 ,圆的边缘点与圆心的关系最为紧密.所以需要建立利用边缘点定位圆心坐标的模型.然后,要确定圆的边缘点位置,可用检测算子的边缘抽取法,获得边缘点的像素坐标集.最后,根据模型的算法,利用边缘点的像素坐标集,计算出圆心的像坐标.5.3.2.1.建立三维坐标系首先，我们根据题目要求建立相机坐标系，如下图。

也就是说，以光学中心为原点，过原点垂直于像平面并以指向像平面为正方向的有向直线作为c Z 轴．可知，c Z 轴经过像平面坐标系的原点1o ,c c Y X -平面平行于像平面，其中c X 轴，c Y 轴分别平行于x 轴，y 轴且同向．图3.相机坐标系5.3.2.2.图像空间中圆心的GHT(广义霍夫变换)求解基本原理要从一幅图像中检测出半径已知的圆形来.取和图像平面一样的参数平面，以图像上每一个前景点为圆心，以已知的半径在参数平面上画圆面，并把结果进行累加.最后找出参数平面上的峰值点，这个位置就对应了图像上的圆心，其中图像平面上的每一点对应到参数平面上的一个圆面.若图像空间中圆的方程为：r y y x x =-+-2020)()(.对应于图像空间，参数空间中以),(y x 为圆心，半径为r 的圆方程为r y v x u =-+-22)()(。