2016最新中考二次函数动点问题(含答案)
二次函数的动点问题(含答案)
72x =B(0,4)A(6,0)EFxyO 二次函数与四边形一．二次函数与四边形的形状例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点 A （6，0）和 B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式；（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．A5-4- 3-2-1- 1 2 3 455 4 3 2 1 A EBC '1- O 2l 1lx y练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．二．二次函数与四边形的面积例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P ：y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x … -3 -2 1 2 … y…-52-4-52…(1) 求A 、B 、C 三点的坐标；(2) 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM=k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围.练习1.（辽宁省十二市第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）．（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）；（2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．图10练习3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2cm y ．（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合)，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D .(1) 求l 2的解析式；(2) 求证：点D 一定在l 2上；(3) □ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值.三．二次函数与四边形的动态探究例1.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．B CPO D QA BPCO DQ A y321 O1 2 x例2.已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．例3..(湖南省郴州)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积．（1） S 与S '相等吗？请说明理由．（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？ （3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，ABE ∆是等腰三角形．练习1.如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）点 （填M 或N ）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自 变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，图2 OC A Bxy DPE F 图1 FE PD y xBA C OxN MQ PHGFEDCBA图11QPN M HGFED CBA图10图12yxP QBCNMOA若不存在，说明理由．练习2..(江西省) 25．实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，， ， ；（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为 ；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．yC()A(40)D ，(12)B ，O x图1yC()A(0)D e ，()B c d ，O x图2yC()A a b ， ()D e b ，()B c d ，Ox图3yC()A a b ，()D e f ，()B c d ，Ox图472x =B(0,4)A(6,0)EFxyO答案：一．二次函数与四边形的形状例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=94（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-， 练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为27()2y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26-（2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326y x =--，∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线， ∴2172264()2522OAES SOA y y ==⨯⨯⋅=-=--+．因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的 取值范围是1＜x ＜6． ①根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形． ② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的 坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ， 使OEAF 为正方形．5-4- 3- 2- 1- 12 3 4 554321 A EBC '1- O 2l1lxy5-4-3-2-1-12 3D554 32 1 ACEM BC '1-O 2l 1l xy练习2.解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，．设2l 的函数关系式为2(3)4y a x =--． 又点(10)A ，在抛物线2(3)4y a x =--上，2(13)40a ∴--=，解得1a =．∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+）．（2）P 与P '始终关于x 轴对称， PP '∴与y 轴平行．设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为265m m -+，4OD =，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得36m =±．当2652m m -+=-时，解得32m =±．∴当点P 运动到(362)-，或(362)+，或(322)--，或(322)+-，时， P P OD ' ∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则90AMB ∠=，30BAM ∠=（或30ABM ∠=），114222BM AB ∴==⨯=．过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=．112122EB BM ∴==⨯=，3EM =，4OE =． ∴点M 的坐标为(43)-，． 但是，当4x =时，246451624533y =-⨯+=-+=-≠-．∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形．练习3. [解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，．解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-．（2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，． 过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以2ADN S S =△．所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤． （3）781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）． 所以74t =时，S 有最大值814． 提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．所以22420t t +-=．解之得126262t t =-=--，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时62t =-．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
二次函数动点答案
一、填空题第1题答案.12二、应用题第2题答案.解：（1）由题意可知，当x ≤100时，购买一个需5000元，故15000y x =；-------------------1分当x ≥100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，所以x≤1035005000-+100=250． ------------------------2分即100≤x ≤250时，购买一个需5000-10(x -100)元，故y 1=6000x -10x 2；----------4分 当x >250时，购买一个需3500元，故13500y x =； ----------------5分所以，⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x y 3500106000500021 ).250()250100()1000(>≤<≤≤x x x ，，2500080%4000y x x =⨯=． -------------------------------7分(2) 当0<x ≤100时，y 1=5000x ≤500000<1400000；当100<x ≤250时，y 1=6000x -10x 2=-10(x -300)2+900000<1400000； 所以，由35001400000x =，得400x =； -------------------------------8分 由40001400000x =，得350x =． -------------------------------9分 故选择甲商家，最多能购买400个路灯．-----------------------------10分第3题答案.解：（1）由题意，得：w = (x －20)·y=(x －20)·(10500x -+)21070010000x x =-+-352bx a=-=. 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．3分（2）由题意，得：210700100002000x x -+-=解这个方程得：x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元. 6分（3）法一：∵10a =-<0，∴抛物线开口向下.∴当30≤x ≤40时，w ≥2000．∵x ≤32，∴当30≤x ≤32时，w ≥2000． 设成本为P （元），由题意，得：20(10500)P x =-+20010000x =-+∵200k =-<0，∴P 随x 的增大而减小.∴当x = 32时，P 最小＝3600.答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．第4题答案.解：（1）在Rt △AOC 中，∵∠AOC=30 o ，OA =83，∴AC=OA ·sin30o =83×21=34， OC=OA ·cos30o =83×23=12．∴点A 的坐标为（12，34）． …………………………………2分 设OA 的解析式为y=kx ，把点A （12，34）的坐标代入得： 34=12k ，∴k =33， ∴OA 的解析式为y =33x ； …………………… ……………………4分 (2) ∵顶点B 的坐标是（9，12）, 点O 的坐标是（0，0）∴设抛物线的解析式为y=a (x -9)2+12，…………………………………6分 把点O 的坐标代入得：法二：∵10a =-<0， ∴抛物线开口向下. ∴当30≤x ≤40时，w ≥2000． ∵x ≤32， ∴30≤x ≤32时，w ≥2000．∵10500y x =-+，100k =-<， ∴y 随x 的增大而减小. ∴当x = 32时，y 最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，∴201803600⨯=（元）.0=a （0-9）2+12，解得a =274- ， ∴抛物线的解析式为y =274- (x -9)2+12 及y =274-x 2+ 38x ； …………………………………………………8分 (3) ∵当x =12时，y =332≠34，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点． …………10分第5题答案.解：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x 米，根据题意，得：()()2410028025200x x x +--=整理，得：2453500x x -+= 3分解之，得：123510.x x ==， 经检验，123510x x ==，均适合题意.所以，要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或10米. 5分 （2）设铺矩形广场地面的总费用为y 元，广场四角的小正方形的边长为x 米，则，()()()()2304100280220210022802y x x x x x x x ⎡⎤=⨯+--+⨯-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 即：2803600240000y x x =-+ 配方得，()28022.5199500y x =-+ 8分当22.5x =时，y 的值最小，最小值为199500.所以，当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，所铺广场地面的总费用最少，最少费用为199500元. 10分三、猜想、探究题第6题答案.解：（1）因抛物线c bx x y ++-=2经过坐标原点O （0，0）和点E （4，0） 故可得04c b ==，所以抛物线的解析式为24y x x =-+ 1分由x x y 42+-=()224y x =--+得当2x =时，该抛物线的最大值是4． 2分（2）①点P 不在直线ME 上.已知M 点的坐标为（2，4），E 点的坐标为（4，0）， 设直线ME 的关系式为y kx b =+．于是得⎩⎨⎧=+=+4204b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=82b k 所以直线ME 的关系式为28y x =-+3分由已知条件易得，当411=t 时，OA=AP=411，111144P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 4分∵P 点的坐标不满足直线ME 的关系式28y x =-+． ∴ 当411=t 时，点P 不在直线ME 上． 5分②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5 ∵点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上， ∴OA=AP=t .∴点P ，N 的坐标分别为()t t ，2(4)t t t -+， 6分∴24(03)AN t t t =-+≤≤，∴22(4)3(3)0AN AP t t t t t t t -=-+-=-+=-≥， ∴23PN t t =-+7分（ⅰ）当0PN =，即0t =或3t =时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD ，∴ S=21DC ·AD=21×3×2=3.（ⅱ）当0PN ≠时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是四边形 ∵PN CD AD CD ∥，⊥， ∴2211()[3(3)]23322S CD PN AD t t t t =+=+-+⨯=-++ 8分 当2335t t -++=时，解得12t =、9分而1、2都在03t ≤≤范围内，故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为5综上所述，当12t =、时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积为5 当1t =时，此时N 点的坐标（1，3） 10分 当2t =时，此时N 点的坐标（2，4）11分说明：（ⅱ）中的关系式，当0t =和3t =时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以，不扣分）四、动态几何第7题答案.解：（1）EFPQ 四边形是矩形，∴EF ∥QP ．∴AEF ∆ ∽ABC ∆． ………………2分AD BC ⊥ 又，∴AH EF ⊥．∴AH EFAD BC=． ………………4分 （2）由（1）得 810AH x =． ∴45AH x =．∴485EQ HD AD AH x ==-=-， ∴()22444(8)8520555EFPQ S EF EQ x x x x x =⋅=-=-+=--+矩形． ……6分∵405-<，∴当5x =时，EFPQ S 矩形有最大值，最大值为20．………………8分（3）如图１，由（2）得，5EF =，4EQ =．∵45C ∠= ∴FPC ∆是等腰直角三角形∴4PC FP EQ ===，9QC QP PC =+=．分三种情况讨论：① 如图２，当04t <≤时，EF PF AC M N 设、分别交于、，则MFN ∆是等腰直角三角形，∴FN MF t ==．∴2211202022Rt MFN EFPQ S S S t t ∆=-=-=-+矩形； 第21题图2 QD BQ P H F ED C B A第21题图1② 如图３，当45t <≤时，则5ME t =-，9QC t =-．()()15944282EMCQ S S t t t ==-+-⨯=-+⎡⎤⎣⎦梯形∴； ③ 如图４，当59t ≤≤时，设EQ AC 交于K ，则9KQ QC t ==-．()()22119922KQC S S t t ∆==-=-∴ ． ………………13分 综上所述：S 与t 的函数关系式为：22120(04)2428(45)1(9)(59).2t t S t t t t ⎧-+<⎪⎪=-+<⎨⎪⎪-⎩≤，≤，≤≤第8题答案.（1）将点(2,2)C 代入直线4y kx =+可得1,k =- 所以直线的解析式为 4.y x =-+当1x =时,3y =，所以B 点的坐标为（1，3），将,,B C O 三点的坐标分别代入抛物线2y ax bx c =++,可得3,422,0.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得2,5,0.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以所求的抛物线为225y x x =-+.4分（2）因ON 的长是以定值，所以当点P 为抛物线的顶点时，PON △的面积最大，又该抛物线的顶点坐标为525,48⎛⎫⎪⎝⎭，此时255tan 82y x ===54:.8分（3）存在把0x =代入直线4y x =-+得4y =,所以点(0,4)A第21题图4 B把0y =代入抛物线225y x x =-+得0x =或52x =,所以点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设动点P 坐标为(,)x y ，其中252502y x x x ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭则得：1||22OAP S OA x x ==△· 115||222ONP S ON y ==⨯△··225(25)(25)4x x x x -+=-+由8,15OAP ONP S S =△△即282=(25)15x x x -+5·4解得0x =或1x =,舍去0x =得1x =,由此得3y = 所以得点P 存在，其坐标为（1，3）. 12分第9题答案.(1) ∵OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC ，且AB = OC = 4， ∵A ，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴， ∴ A ，B 的横坐标分别是2和– 2， 代入y =241x +1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)， ∴M (0，2)，………………………………………… ……….2分 (2) ① 过点Q 作QH ⊥ x 轴，设垂足为H ， 则HQ = y ，HP = x –t ，由△HQP ∽△OMC ，得：42t x y -=, 即： t = x – 2y , ∵ Q(x ,y ) 在y = 241x +1上， ∴ t = –221x + x –2. ……………………………2分当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±5, 当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2∴x 的取值范围是x ≠ 1±5, 且x ≠± 2的所有实数. ………………………………2分 ② 分两种情况讨论：1）当CM > PQ 时，则点P 在线段OC 上，∵ CM ∥PQ ，CM = 2PQ ，∴点M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍，即2 = 2(241x +1)，解得x = 0 ， ∴t = –2021+ 0 –2 = –2 . …………………………………………2分 2）当CM < PQ 时，则点P 在OC 的延长线上， ∵CM ∥PQ ，CM =21PQ ， ∴点Q 纵坐标为点M 纵坐标的2倍，即241x +1=2⨯2，解得： x = ±32. ……2分 当x = –32时，得t = –2)32(21–32–2 = –8 –32, 当x =32时， 得t =32–8. ………………………………………… ……….2分第10题答案.解：（1）∵拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A (-1，0)，C (0，23)两点， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2302b b a a ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=2321b a ∴拋物线的解析式为y 1= -21x 2+x +23． （2）作MN ⊥AB ，垂足为N ．由y 1= -21x 2+x +23易得M (1，2)，N (1，0)，A (-1，0)，B (3，0)，∴AB =4，MN =BN =2，MB =22， ∠MBN =45︒．根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2． ∴(22)2-22=PM 2= -(1-x )2… ，又∠MPQ =45︒=∠MBP ，∴△MPQ ~△MBP ，∴PM 2=MQ ⨯MB =22y 2⨯22… ．由 、 得y 2=21x 2-x +25．∵0≤x ＜3，∴y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +25(0≤x ≤3)．、（3）四边形m 、n 之间的数量关系是m +n =2(0≤m ≤2，且m ≠1)．∵点E 、G 是抛物线y 1= -21x 2+x +23 分别与直线x=m ，x=n 的交点，∴点E 、G 坐标为E (m ，-21m 2+m +23)，G (n ，-21n 2+n +23)．同理，点F 、H 坐标 为F (m ，21m 2-m +25)，H (n ，21n 2-n +25)．∴EF =21m 2-m +25-(-21m 2+m +23)=m 2-2m +1GH =21n 2-n +25-(-21n 2+n +23)=n 2-2n +1．∵四边形EFHG 是平行四边形，EF =GH ．∴m 2-2m +1=n 2-2n +1 ∴(m +n -2)(m -n )=0．由题意知m ≠n ，∴m +n =2 (0≤m ≤2，且m ≠1)．因此，四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是 m +n =2 (0≤m ≤2，且m ≠1)．。
二次函数压轴题---动点问题解答方法技巧总结（含例解答案）
⼆次函数压轴题---动点问题解答⽅法技巧总结（含例解答案）⼆次函数压轴题---动点问题解答⽅法技巧总结⑴求⼆次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为⼀元⼆次⽅程；⑵求⼆次函数的最⼤（⼩）值需要利⽤配⽅法将⼆次函数由⼀般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断⼆次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由⼆次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷⼆次函数的图象关于对称轴对称，可利⽤这⼀性质，求和已知⼀点对称的点坐标，或已知与x 轴的⼀个交点坐标，可由对称性求出另⼀个交点坐标. ⑸与⼆次函数有关的还有⼆次三项式，⼆次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本⾝就是所含字母x 的⼆次函数；下⾯以a ＞0时为例，揭⽰⼆次函数、⼆次三项式和⼀元⼆次⽅程之间的内在联系：动点问题题型⽅法归纳总结动态⼏何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好⼀般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊⾓、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题⼀直是中考热点，近⼏年考查探究运动中的特殊性：等腰三⾓形、直⾓三⾓形、相似三⾓形、平⾏四边形、梯形、特殊⾓或其三⾓函数、线段或⾯积的最值。
下⾯就此问题的常见题型作简单介绍，解题⽅法、关键给以点拨。
⼆、抛物线上动点5、（湖北⼗堰市）如图①，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1)求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三⾓形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E为第⼆象限抛物线上⼀动点，连接BE、CE，求四边形BOCE⾯积的最⼤值，并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三⾓形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆⼼CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆⼼MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
初三复习二次函数动点问题(含答案)
二次函数的动态问题（动点）1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长．（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =∠的点P 有 个．（抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．[解] （1）作BF y ⊥轴于F ．()()01084A B ，，，，86FB FA ∴==，．10AB ∴=．（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷=，．P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥．图①图②GA AP FA AB ∴=，即610GA t=．35GA t ∴=．3105OG t ∴=-．4OQ t =+，()113410225S OQ OG t t ⎛⎫∴=⨯⨯=+- ⎪⎝⎭．即231920105S t t =-++． 19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值． 此时4763311051555GP t OG t ===-=，，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（8分）方法二：当5t =时，1637922OG OQ S OG OQ ====，，． 设所求函数关系式为220S at bt =++．抛物线过点()63102852⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，1001020286325520.2a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，31019.5a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，231920105S t t ∴=-++．19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值． 此时7631155GP OG ==，，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（4）2．[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。
二次函数动点专项练习30题(有答案)
二次函数动点专项练习30题（有答案）1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y 轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=﹣x2+x+2的图象相交于点D，E．（1）写出点A，点B的坐标；（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；（3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y=﹣+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D 分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．①求证：四边形DECF是矩形；②连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．5．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A 在y轴上，P为线段AB上一动点（除A，B两端点外），过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q设线段PQ 的长为l，点P的横坐标为x．（1）求二次函数的解析式；（2）求l与x之间的函数关系式，并求出l的取值范围；（3）线段AB上是否存在一点P，使四边形PQMA为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=﹣2x+7经过抛物线上一点B（5，m），且与直线x=2交于点E．（1）求m的值及该抛物线的函数关系式；（2）若点D是x轴上一动点，当△DCB∽△ECB时，求点D的坐标；（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PC？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中OA=5，AB=2，抛物线y=﹣x 2+3x的图象与BC交于D、E两点．（1）求DE的长_________；（2）M是BC上的动点，若OM⊥AM，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使以D、O、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C（0，﹣2）点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设G是线段BC上的动点，作GH∥AC交AB于H，连接CH，当△BGH的面积是△CGH面积的3倍时，求H点的坐标；（3）若M为抛物线上A、C两点间的一个动点，过M作y轴的平行线，交AC于N，当M点运动到什么位置时，线段MN的值最大，并求此时M点的坐标．9．如图，抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）的图象经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）直接写出点C的坐标；（2）试求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式；（3）连接AC，点E为线段AC上的动点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F．当△OEF 的面积取得最小值时，请求出点E的坐标．10．抛物线y=a（x+6）2﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C，D为抛物线的顶点，直线DE⊥x轴，垂足为E，AE2=3DE．（1）求这个抛物线的解析式；（2）P为直线DE上的一动点，以PC为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在x轴上．若在x轴上的直角顶点只有一个时，求点P的坐标；（3）M为抛物线上的一动点，过M作直线MN⊥DM，交直线DE于N，当M点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E三等分线段DN的情况？若存在，请求出所有符合条件的M的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c经过点A（2，3），B（6，1），C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC 的面积为S．当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？12．如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（﹣1，0）、（0，3）（1）求此抛物线对应的函数解析式；（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值；（3）若过点A（﹣1，0）的直线AD与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形的面积为6，求此直线的解析式．13．已知抛物线y=ax 2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．①如图1．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；②如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式．14．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（4）连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．15．如图，抛物线y=ax2+bx+（a≠0）经过A（﹣3，0）、C（5，0）两点，点B为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求此抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为ts，过点P作PM⊥BD交BC于点M，过点M作MN∥BD，交抛物线于点N．①当t为何值时，线段MN最长；②在点P运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O、P、M、C为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，请说明理由．参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是．16．如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2++c与x轴交于点（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是抛物线上一点，且△ABP的面积是，求P点的坐标；（3）若D是线段BC上的一个动点，过点D作DE⊥BC，交OC于E点．设CD的长为t，四边形DEOB的周长为l，求l与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．18．（2011?宝安区三模）如图，在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，4），AB的垂直平分线交AB于C，交x 轴于D，（1）求点C、D的坐标；（2）求过点B、C、D的抛物线的解析式；（3）点P为CD间的抛物线上一点，求当点P在何处时，以P，C，D，B为顶点的四边形的面积最大？19．（2010?菏泽）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，m）、C（2，2）两点．（1）求直线与抛物线的解析式；（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），设∠PON=α，求当△PON的面积最大时tanα的值；（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知抛物线y=ax 2+bx+c的顶点为A（3，﹣3），与x轴的一个交点为B（1，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）P是y轴上一个动点，求使P到A、B两点的距离之和最小的点P0的坐标．（3）设抛物线与x轴的另一个交点为C．在抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积等于以点A、P0、B、C 为顶点的四边形面积的三分之一？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y=+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连接DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．22．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A，C分别在y轴，x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B两点，且3a﹣b=﹣1．（1）求a，b，c的值；（2）如果动点E，F同时分别从点A，点B出发，分别沿A→B，B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E 到达终点B时，点E，F随之停止运动，设运动时间为t秒，△EBF的面积为S．①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．24．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是（1）中抛物线AB段上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△ACO相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．26．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）、（0，2），将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD，抛物线y=ax2﹣2ax+4经过点A．（1）求抛物线的函数表达式，并判断点D是否在该抛物线上；（2）如图2，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求使|PC﹣PD|的值最大时点P的坐标；（3）设抛物线上是否存在点E，使△CDE是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．27．已知抛物线y=x2+bx+1的顶点在x轴上，且与y轴交于A点．直线y=kx+m经过A、B两点，点B的坐标为（3，4）．（1）求抛物线的解析式，并判断点B是否在抛物线上；（2）如果点B在抛物线上，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长h，点P的横坐标为x，当x为何值时，h取得最大值，求出这时的h值．28．如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标．29．阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）是否存在抛物线上一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数动点30题参考答案：1．解：（1）当y=0时，有，解得：x1=4，x2=﹣1，∴A、B两点的坐标分别为（4，0）和（﹣1，0）．（2）∵⊙Q与x轴相切，且与交于D、E两点，∴圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，∵抛物线的对称轴为，⊙Q的半径为H点的纵坐标m（m＞0），∴D、E两点的坐标分别为：（﹣m，m），（+m，m）∵E点在二次函数的图象上，∴，解得或（不合题意，舍去）．（3）存在．①如图1，当∠ACF=90°，AC=FC时，过点F作FG⊥y轴于G，∴∠AOC=∠CGF=90°，∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG，∴△ACO≌△CFG，∴CG=AO=4，∵CO=2，∴m=OG=2+4=6；反向延长FC，使得CF=CF′，此时△ACF′亦为等腰直角三角形，易得y C﹣y F′=CG=4，∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2．②如图2，当∠CAF=90°，AC=AF时，过点F作FP⊥x轴于P，∵∠AOC=∠APF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，∴∠ACO=∠FAP，∴△ACO≌△∠FAP，∴FP=AO=4，∴m=FP=4；反向延长FA，使得AF=AF′，此时△ACF’亦为等腰直角三角形，易得y A﹣y F′=FP=4，∴m=0﹣4=﹣4．③如图3，当∠AFC=90°，FA=FC时，则F点一定在AC的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′，分别过F，F′两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H．∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，∴∠DFC=∠EFA，∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，∴△CDF≌△AEF，∴CD=AE，DF=EF，∴四边形OEFD为正方形，∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD，∴4=2+2?CD，∴CD=1，∴m=OC+CD=2+1=3．∵∠HF′C+∠CGF′=∠CF′G+∠GF′A，∴∠HF′C=∠GF′A，∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′，∴△HF′C≌△GF′A，∴HF′=GF′，CH=AG，∴四边形OHF′G为正方形，∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2，∴OH=1，∴m=﹣1．∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴y的最大值为．∵直线l与抛物线有两个交点，∴m＜．∴m可取值为：﹣4、﹣2、﹣1或3．综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4、﹣2、﹣1或3 2．（1）∵抛物线y=﹣+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，∴根据题意，得，解得，所以抛物线的解析式为：；（2）①证明：∵把C（m，m﹣1）代入得∴，解得：m=3或m=﹣2，∵C（m，m﹣1）位于第一象限，∴，∴m＞1，∴m=﹣2舍去，∴m=3，∴点C坐标为（3，2），过C点作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC=∠BHC=90°，由A（﹣1，0）、B（4，0）、C（3，2）得AH=4，CH=2，BH=1，AB=5∵，∠AHC=∠BHC=90°∴△AHC∽△CHB，∴∠ACH=∠CBH，∵∠CBH+∠BCH=90°∴∠ACH+∠BCH=90°∴∠ACB=90°，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∴?DECF是矩形；②存在；连接CD∵四边形DECF是矩形，∴EF=CD，当CD⊥AB时，CD的值最小，∵C（3，2），∴DC的最小值是2，∴EF的最小值是2；3. （1）解：顶点D的坐标为（3，﹣1）．令y=0，得（x﹣3）2﹣1=0，解得：x1=3+，x2=3﹣，∵点A在点B的左侧，∴A（3﹣，0），B（3+，0）．（2）证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3．令x=0，得y=，∴C（0，）．∴CG=OC+OG=+1=，∴tan∠DCG=．设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣）=．由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG．∴tan∠EOM=tan∠DCG==，解得EM=2，∴DE=EM+DM=3．在Rt△AEM中，AM=，EM=2，由勾股定理得：AE=；在Rt△ADM中，AM=，DM=1，由勾股定理得：AD=．∵AE2+AD2=6+3=9=DE2，∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°．设AE交CD于点F，∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（对顶角相等），∴∠AEO=∠ADC．（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2．∵y=（x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2=2y+2．∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．将y=1代入y=（x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1=1，解得：x1=1，x2=5．又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1=1舍去．∴P（5，1）．此时点Q坐标为（3，1）或（，）4.解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．将A（﹣1，0），B（4，0）代入，得，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．（2）存在．由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，∴BC==．在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×h=×2×4，∴h=．∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），∴=，∴y=±2将y=2代入抛物线y=﹣x2+x+2，得x1=0，x2=3．当y=﹣2时，不合题意舍去．∴E点坐标为（0，2），（3，2）．（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，∴，y BC=﹣x+2．由BC∥AD，设AD的解析式为y=﹣x+n，由图象，得0=﹣×（﹣1）+n∴n=﹣，y AD=﹣x﹣．∴﹣x2+x+2=﹣x﹣，解得：x1=﹣1，x2=5∴D（﹣1，0）与A重合，舍去；∴D（5，﹣3）．∵DE⊥x轴，∴DE=3，OE=5．由勾股定理，得BD=．∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），∴OA=1，OB=4，OC=2．∴AB=5在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得AC=，BC=2，∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，∴AC2+BC2=AB2∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°．∵BC∥AD，∴∠CAF+∠ACB=180°，∴∠CAF=90°．∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，∴四边形ACBF是矩形，∴AC=BF=，在Rt△BFD中，由勾股定理，得DF=，∴DF=BF，∴∠ADB=45°5．解：（1）依题意，设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2，由于直线y=x+2与y轴交于（0，2），∴x=0，y=2满足y=a（x﹣2）2，于是求得a=，二次函数的解析式为y=（x﹣2）2；（2）∵PQ⊥x轴且横坐标为x，∴l=（x+2）﹣（x﹣2）2=﹣x2+3x，由得点B的坐标为B（6，8），∵点p在线段AB上运动，∴0＜x＜6．∵，∴当x=3时，．∴0＜l＜；（3）作MQ∥AP．过M作MD∥PQ，MD交AB于N，则四边形PQMD为平行四边形．∴MD=PQ，∵M（2，0），∴D（2，4），∴MD=4．∴．∴x2﹣6x+8=0，∴x1=2，x2=4．∵2＜x＜6，∴x=4．∴P（4，6），Q（4，2）．即P点的坐标为：（4，6）6．：（1）∵点B（5，m）在直线y=﹣2x+7上，∴m=﹣5×2+7=﹣3，∴B（5，﹣3），∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，∴点A的坐标为（4，0）设所求的抛物线对应函数关系式为y=a（x﹣0）（x﹣4），将点B（5，﹣3）代入上式，得﹣3=a（5﹣0）（5﹣4），∴a=﹣，∴所求的抛物线对应的函数关系式为y=﹣x（x﹣4），即y=﹣x2+x．（2）∵点A（4，0），B（5，﹣3），C（2，0），∴AC=4﹣2=2，BC==3，当点D在直线x=2的右侧时，当△DCB∽△ECB，∴=，即=，解得：CD=9，∴点D的坐标为：（11，0），当点D在直线x=2的左侧时，∵∠ACB=∠CDB+∠CBA，且∠ACB＜∠DCB，∴在△DCB中不可能存在与∠DCB相等的角，即此时不存在点使三角形相似；综上所述，存在点D的坐标是（11，0），使三角形相似；（3）存在符合条件的点P使PB=PC，∵C（2，0），B（5，﹣3），∴∠ACB=45°，BC垂直平分线的解析式为：y=x﹣5，∴，∴解得：，，∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．7．解：（1）由图知：点D、E的纵坐标为2，依题意，有：﹣x2+3x=2，解得：x1=1、x2=2∴D（1，2）、E（2，2），DE=1．（2）如右图；矩形OABC中，∠OMA=90°，∴∠CMO=∠MAB=90°﹣∠AMB，又∠OCM=∠MBA=90°，∴△OCM∽△MBA，有：=设点M（m，2），则：CM=m，BM=5﹣m∴=，解得m1=1，m2=4∴点M的坐标为（1，2）或（4，2）．（3）若以D、O、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，那么点D、M不共点，所以点M取（4，2）；①当DM为平行四边形的对角线时，点O、Q关于DM的中点对称，即点Q的纵坐标为4，由图知，点Q必不在抛物线图象上，不合题意；②当DM为平行四边形的边时，OM∥OQ，且OM=OQ；∵D（1，2）、M（4，2）∴OQ=DM=3，即Q（﹣3，0）或（3，0）；经验证，点（﹣3，0）不在抛物线图象上；点（3，0）在抛物线图象上；综上，存在符合条件的点Q，且坐标为（3，0）8. 解：（1）设抛物线的解析式：y=a（x+4）（x﹣1），代入C（0，﹣2），得：﹣2=a（0+4）（0﹣1），解得：a=故抛物线的解析式：y=（x+4）（x﹣1）=x2+x﹣2．（2）∵当△BGH的面积是△CGH面积的3倍，∴BG：CG=3：1，即BG：BC=3：4；∵GH∥AC，∴==；易知：BA=OB+OA=5，则BH=AB=，∴OH=BH﹣OB=﹣1=，即H（﹣，0）．（3）设直线AC：y=kx+b，代入A（﹣4，0）、C（0，﹣2），得：，解得故直线AC：y=﹣x﹣2；设M（x，x2+x﹣2），则N（x，﹣x﹣2），则：MN=（﹣x﹣2）﹣（x2+x﹣2）=﹣x2﹣2x=﹣（x+2）2+2因此当M运动到OA的中垂线上，即M（﹣2，﹣3）时，线段MN的长最大．9．（1）令x=0，可得y=3，故点C的坐标为（0，3）；（2）将点A（3，0），B（4，1）代入可得：，解得：，故函数解析式为y=x2﹣x+3；（3）如图，∵点A（3，0），点B（4，1），∴直线AB的解析式为：y=x﹣3，∵A（3，0），C（0，3），∴OA=3，OC=3，∴tan∠OAC===1，∴∠OAC=45°，∴∠OAC=∠OAF=45°，∵∠OEF=∠OAF=45°，∠OFE=∠OAE=45°，∴OE=OF，∠EOF=180°﹣45°×2=90°，∴△OEF是等腰直角三角形，∴S△OEF=×OE×OF=OE2，当OE最小时，S△FEO最小，根据等腰直角三角形的性质，当OE⊥AC时，OE最小，此时点E为AC的中点，故点E的坐标为（，）．10.解：（1）易知抛物线的顶点D（﹣6，﹣3），则DE=3，OE=6；∵AE2=3DE=9，∴AE=3，即A（﹣3，0）；将A点坐标代入抛物线的解析式中，得：a（﹣3+6）2﹣3=0，即a=，即抛物线的解析式为：y=（x+6）2﹣3=x2+4x+9．（2）设点P（﹣6，t），易知C（0，9）；则PC的中点Q（﹣3，）；易知：PC=；若以PC为斜边构造直角三角形，在x轴上的直角顶点只有一个时，以PC为直径的圆与x轴相切，即：||=，解得t=1，故点P（﹣6，1），当点P与点E重合时，由抛物线的解析式可知，A（﹣3，0），B（﹣9，0）．所以P（﹣6，0），故点P的坐标为（﹣6，1）或（﹣6，0），（3）设点M（a，b）（a＜0，b＞0），分两种情况讨论：①当NE=2DE时，NE=6，即N（﹣6，6），已知D（﹣6，﹣3），则有：直线MN的斜率：k1=，直线MD的斜率：k2=；由于MN⊥DM，则k1?k2==﹣1，整理得：a2+b2+12a﹣3b+18=0…（△），由抛物线的解析式得：a2+4a+9=b，整理得：a2+12a﹣3b+27=0…（□）；（△）﹣（□）得：b2=9，即b=3（负值舍去），将b=3代入（□）得：a=﹣6+3，a=﹣6﹣3，故点M（﹣6+3，3）或（﹣6﹣3，3）；②当2NE=DE时，NE=，即N（﹣6，），已知D（﹣6，﹣3），则有：直线MN的斜率：k1=，直线DM的斜率：k2=；由题意得：k1?k2==﹣1，整理得：a2+b2+b+12a+=0，而a2+12a﹣3b+27=0；两式相减，得：2b2+9b+9=0，解得b=﹣2，b=﹣，（均不符合题意，舍去）；综上可知：存在符合条件的M点，且坐标为：M（﹣6+3，3）或（﹣6﹣3，3）．11．（1）将A，B，C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，得，解得，∴y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣）2+；（2）设点P（，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′，∵AP⊥CP，∴△AA′P∽△PC′C，可得=，即=，解得m1=，m2=﹣，∴P（，）或（，﹣）；（3）①由B（6，1），C（0，﹣2），得直线BC的解析式为y=x﹣2，∴D（4，0），当E点为抛物线顶点时，满足条件的点E只有一个，此时S=×4×2+×4×=，∵S△BOC=×2×6=6，∴当6≤S＜时，满足条件的点E有两个．②当4＜S＜6时，﹣x2+x﹣2=0的△＞0，方程有两个不相等的实数根，此时0＜n＜1，需满足的条件点E只能在点H与点B之间的抛物线上，故此时满足条件的点E只有一个．12. 解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1，设抛物线的解析式是y=a（x﹣1）2+k，∴解得：，∴y=﹣（x﹣1）2+4即y=﹣x2+2x+3（2）∵y=﹣x2+2x+3，当y=0时，∴x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴B（3，0），A（﹣1，0）∴AB=4．设P（a，﹣a2+2a+3）∴S△ABP==﹣2（a﹣1）2+8，∴△ABP面积的最大值为8（3）设D的坐标为（1，b），∴=6，∴b=±6，∴D（1，6）或（1，﹣6），设AD的解析式为y=kx+b，得或解得：或∴直线AD的解析式为：y=3x+3或y=﹣3x﹣313. 解：（1）由题意，得，解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x﹣3；（2）①令﹣x2+4x﹣3=0，解得x1=1，x2=3，∴B（3，0），当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，易求直线BC的解析式为y=x﹣3，∴设直线AP的解析式为y=x+n，∵直线AP过点A（1，0），代入求得n=﹣1．∴直线AP的解析式为y=x﹣1解方程组，得，∴点P1（2，1）当点P在x轴下方时，如图1：设直线AP1交y轴于点E（0，﹣1），把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P2，P3，得直线P2P3的解析式为y=x﹣5，解方程组，得，∴P2（，），P3（，），综上所述，点P的坐标为：P1（2，1），P2（，），P3（，），②∵B（3，0），C（0，﹣3）∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°设直线CP的解析式为y=kx﹣3如图2，延长CP交x轴于点Q，设∠OCA=α，则∠ACB=45°﹣α，∵∠PCB=∠BCA，∴∠PCB=45°﹣α，∴∠OQC=∠OBC﹣∠PCB=45°﹣（45°﹣α）=α，∴∠OCA=∠OQC又∵∠AOC=∠COQ=90°∴Rt△AOC∽Rt△COQ∴，∴，∴OQ=9，∴Q（9，0）∵直线CP过点Q（9，0），∴9k﹣3=0∴∴直线CP的解析式为．其它方法略．114．解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，将A（﹣2，2），B（6，6）代入，得，解得，∴y=x+3，令x=0，∴E（0，3）；（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将A（﹣2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，得，解得，∴y=x2﹣x（3）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，联立，得x2﹣6x﹣4m=0，当△=36+16m=0时，过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一的公共点，则点N到BO的距离最大，所以△BON面积最大，解得m=﹣，x=3，y=，即N（3，）；此时△BON面积=×6×6﹣（+6）×3﹣××3=；（4）过点A作AS⊥GQ于S，∵A（﹣2，2），B（6，6），N（3，），∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°，OG=3，NG=，NS=，AS=5，在Rt△SAN和Rt△NOG中，∴tan∠SAN=tan∠NOG=，∴∠SAN=∠NOG，∴∠OAS﹣∠SAN=∠BOG﹣∠NOG，∴∠OAN=∠NOB，∴ON的延长线上存在一点P，使得△BOP∽△OAN，∵A（﹣2，2），N（3，），∵△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应），即△BOP∽△OAN，∴BO：OA=OP：AN=BP：ON又∵A（﹣2，2），N（3，），B（6，6），∴BO=6，OA=2，AN=，ON=，∴OP=，BP=，设P点坐标为（4x，x），∴16x2+x2=（）2，解得x=，4x=15，∵P、P′关于直线y=x轴对称，∴P点坐标为（15，）或（，15）．15.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+与x轴交于点A（﹣3，0），C（5，0）∴解得．∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+．（2）①延长NM 交AC 于E ，∵B 为抛物线y=﹣x 2+x+的顶点，∴B （1，8）．（5分）∴BD=8，OD=1．∵C （5，0），∴CD=4．∵PM ⊥BD ，BD ⊥AC ，∴PM ∥AC ．∴∠BPM=∠BDC=90°，∠BMP=∠BCD ．∴△BPM ∽△BDC ．∴=．根据题意可得BP=t ，∴=．∴PM=t ．∵MN ∥BD ，PM ∥AC ，∠BDC=90°，∴四边形PMED 为矩形．∴DE=PM=t ．∴OE=OD+DE=1+t ．∴E （1+t ，0）．∵点N 在抛物线上，横坐标为1+t ，∴点N 的纵坐标为﹣（1+t ）2+（1+t ）+．∴NE=﹣（1+t ）2+（1+t ）+=﹣t 2+8．∵PB=t ，PD=ME ，∴EM=8﹣t ．∴MN=NE ﹣EM=﹣t 2+8﹣（8﹣t ）=﹣（t ﹣4）2+2．当t=4时，MN 最大=2．②存在符合条件的t 值．连接OP ，如图（2）．若四边形OPMC 是等腰梯形，只需OD=EC ．∵OD=1，DE=PM=t ，∴EC=5﹣（t+1）．∴5﹣（t+1）=1．解得t=6．∴当t=6时，四边形OPMC是等腰梯形16．（1）由题意，得：，解得：，∴所求抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+4．（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．由﹣x2﹣x+4=0，得x1=2，x2=﹣4，∴点B的坐标为（2，0），∴AB=6，BQ=2﹣m，∵QE∥AC，∴△BQE∽△BAC，∴，即，∴EG=（2﹣m），∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ=BQ?CO﹣BQ?EG=（2﹣m）[4﹣（2﹣m）]=﹣（m+1）2+3又∵﹣4≤m≤2，∴当m=﹣1时，S△CQE有最大值3，此时Q（﹣1，0）．（3）存在．在△ODF中．（ⅰ）若DO=DF，∵A（﹣4，0），D（﹣2，0）∴AD=OD=DF=2，又在Rt△AOC中，OA=OC=4，∴∠OAC=45°，∴∠DFA=∠OAC=45°，∴∠ADF=90°．此时，点F的坐标为（﹣2，2）（ⅱ）若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M由等腰三角形的性质得：OM=MD=1，∴AM=3，∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，∴F（﹣1，3）；（ⅲ）若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，∴AC=4，∴点O到AC的距离为2，而OF=OD=2＜2，∴此时不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点F的坐标为：F（﹣2，2）或（﹣1，3）．17.解：（1）∵抛物线y=ax2++c与x轴交于点（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．∴，解得：，∴y=﹣x2++4；（2）令y=0，可得x1=﹣1，x2=3，∴B点坐标为：（3，0），设P点坐标为（x，y），依据题意得出：×4×|y|=，∴|y|=，∵y=﹣x2++4；=﹣（x﹣1）2+，∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，），∴纵坐标最大值为：，∴y=﹣，∴﹣=﹣x2++4；解得：x1=﹣2，x2=4，∴P点的坐标为：（4，﹣），（﹣2，﹣）；（3）如图所示：在△ABC中，OB=3，CO=4，∠BOC=90°，由勾股定理得BC=5，∵DE⊥BC，∴∠EDC=∠BOC=90°，∵∠DCE=∠OCB，∴△DCE∽△OCB，∴==，∵CD=t，∴==，∴CE=t，DE=t，∴四边形DEOB的周长为l=EO+BO+DB+DE=4﹣t+3+t+5﹣t=12﹣t，t的取值范围是：0＜t＜．18．：（1）过C作CD⊥x轴于G，∵点C为线段AB的中点，∴CG是△OAB的中位线，∴点C的坐标是（1，2），┅┅┅┅┅┅┅┅（1分）又∵OA=2，OB=4，∴AB=，AC=，显然△ABO∽△ADC，∴，即，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（2分）∴AD=5OD=AD﹣OA=3，∴点D的坐标是（﹣3，0）；┅┅┅┅┅┅┅┅┅（3分）（2）解：设过B（0，4），C（1，2），D（﹣3，0）的抛物线的关系式为y=ax2+bx+c，∴，┅┅┅┅┅┅（4分）解得：，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（5分）∴抛物线的关系式为；┅┅┅┅┅┅┅┅┅（6分）（3）解：设点P的坐标为（x，y）连BD，过点P作PH⊥x轴于H，交BD于E，S四边形PBCD=S△BCD+S△PBD，∵S△BCD=S△ACD为定值，∴要使四边形PBCD的面积最大就是使△PBD的面积最大，①当P在BD间的抛物线上时，即﹣3＜x＜0，S△PBD=S△PBE+S△PED=PE×DH+PE×OH=PE×OD=PE，∵PE=PH﹣EH=y P﹣y E，┅┅┅┅┅┅┅┅（7分）直线BD的关系式为y=，∴PE=，=，当x=时，PE最大为，∴点P的坐标（，），┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（8分）②当P在BC间的抛物线上时，即0＜x＜1，同理可求出四边形PBCD的面积，很显然，此时四边形PBCD的面积要小于点P在BD间的抛物线上时的四边形PBCD的面积，故P点的坐标是（，）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅（9分）19.解：（1）将点C（2，2）代入直线y=kx+4，可得k=﹣1所以直线的解析式为y=﹣x+4当x=1时，y=3，所以B点的坐标为（1，3）将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c，可得解得，所以所求的抛物线为y=﹣2x2+5x．（2）因为ON的长是一定值，所以当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大，又该抛物线的顶点坐标为（），此时tan∠PON=．（3）存在；把x=0代入直线y=﹣x+4得y=4，所以点A（0，4）把y=0代入抛物线y=﹣2x2+5x得x=0或x=，所以点N（，0）设动点P坐标为（x，y），其中y=﹣2x2+5x （0＜x＜）则得：S△OAP=|OA|?x=2xS△ONP=|ON|?y=?（﹣2x2+5x）=（﹣2x2+5x）由S△OAP=S△ONP，即2x=?（﹣2x2+5x）解得x=0或x=1，舍去x=0得x=1，由此得y=3所以得点P存在，其坐标为（1，3）20.解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x﹣3）2﹣3，依题意有：a（1﹣3）2﹣3=0，a=，∴该抛物线的解析式为：y=（x﹣3）2﹣3=x2﹣x+．（2）设B点关于y轴的对称点为B′，则B′（﹣1，0）；设直线AB′的解析式为y=kx+b，则有：，解得；∴y=﹣x﹣；故P0（0，﹣）．（3）由（1）的抛物线知：y=x 2﹣x+=（x﹣1）（x﹣5），故C（5，0）；∵S四边形AP0BC=S△AB′C﹣S△BB′P0=×6×3﹣×2×=；∴S△BCM=S四边形AP0BC=；易知BC=4，则|y M|=；当M的纵坐标为时，x2﹣x+=，解得x=3+，x=3﹣；当M的纵坐标为﹣时，x2﹣x+=﹣，解得x=3+，x=3﹣；故符合条件的M点有四个，它们的坐标分别是：M1（3+，），M2（3﹣，），M3（3+，﹣），M4（3﹣，﹣）．21．：（1）由于抛物线经过A（2，0），C（0，﹣1），则有：，解得；∴抛物线的解析式为：y=﹣x﹣1．（2）∵A（2，0），C（0，﹣1），∴直线AC：y=x﹣1；设D（x，0），则E（x，x﹣1），故DE=0﹣（x﹣1）=1﹣x；∴△DCE的面积：S=DE×|x D|=×（1﹣x）×x=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，因此当x=1，即D（1，0）时，△DCE的面积最大，且最大值为．（3）由（1）的抛物线解析式易知：B（﹣1，0），可求得直线BC的解析式为：y=﹣x﹣1；设P（x，﹣x﹣1），因为A（2，0），C（0，﹣1），则有：AP2=（x﹣2）2+（﹣x﹣1）2=2x2﹣2x+5，AC2=5，CP2=x2+（﹣x﹣1+1）2=2x2；①当AP=CP时，AP2=CP2，有：2x2﹣2x+5=2x2，解得x=2.5，∴P1（2.5，﹣3.5）；②当AP=AC时，AP2=AC2，有：2x2﹣2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1，∴P2（1，﹣2）；③当CP=AC时，CP2=AC2，有：2x2=5，解得x=±，∴P3（，﹣﹣1），P4（﹣，﹣1）；综上所述，存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（2.5，﹣3.5）、P2（1，﹣2）、P3（，﹣﹣1）、P4（﹣，﹣1）．22．解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式，得：3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；（2）分两种情况：①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；∵点A在点B的右边，∴B（1，0），A（3，0）；∴P1（1，0）；②当点A为△AP2D2的直角顶点时；∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAD2=45°；当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，∴AO平分∠D2AP2；又∵P2D2∥y轴，∴P2D2⊥AO，∴P2、D2关于x轴对称；设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．将A（3，0），C（0，3）代入上式得：，解得；∴y=﹣x+3；设D2（x，﹣x+3），P2（x，x2﹣4x+3），则有：（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，即x2﹣5x+6=0；解得x1=2，x2=3（舍去）；∴当x=2时，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1；∴P2的坐标为P2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）．∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，﹣1）；（3）由（2）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2（2，﹣1）（即顶点Q）时，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；∵P（2，﹣1），∴可设F（x，1）；∴x2﹣4x+3=1，解得x1=2﹣，x2=2+；∴符合条件的F点有两个，即F1（2﹣，1），F2（2+，1）．23．解：（1）由已知A（0，6），B（6，6）在抛物线上，得方程组，（1分）解得．（3分）（2）①运动开始t秒时，EB=6﹣t，BF=t，S=EB?BF=（6﹣t）t=﹣t2+3t，（4分）以为S=﹣t2+3t=﹣（t﹣3）2+，所以当t=3时，S有最大值．（5分）②当S取得最大值时，∵由①知t=3，∴BF=3，CF=3，EB=6﹣3=3，若存在某点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形，则FR1=EB且FR1∥EB，。
二次函数动点问题解答方法技巧含例解答案
函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象及x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大〔小〕值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般及特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
〕 动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、 抛物线上动点5、〔湖北十堰市〕如图①， 抛物线32++=bx ax y 〔a ≠0〕及x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，及y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴及x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明理由．(3) 如图②，假设点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第〔2〕问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM 为半径画弧，及对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，及对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线及对称轴交点即为所求点P。
二次函数动点专项练习30题(有问题详解)ok
实用文档二次函数动点专项练习30题（有答案）1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y 轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=﹣x2+x+2的图象相交于点D，E．（1）写出点A，点B的坐标；（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；（3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y=﹣+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D 分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．①求证：四边形DECF是矩形；②连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．5．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A 在y轴上，P为线段AB上一动点（除A，B两端点外），过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q设线段PQ 的长为l，点P的横坐标为x．（1）求二次函数的解析式；（2）求l与x之间的函数关系式，并求出l的取值范围；（3）线段AB上是否存在一点P，使四边形PQMA为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=﹣2x+7经过抛物线上一点B（5，m），且与直线x=2交于点E．（1）求m的值及该抛物线的函数关系式；（2）若点D是x轴上一动点，当△DCB∽△ECB时，求点D的坐标；（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PC？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中OA=5，AB=2，抛物线y=﹣x2+3x的图象与BC交于D、E两点．（1）求DE的长_________；（2）M是BC上的动点，若OM⊥AM，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使以D、O、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C（0，﹣2）点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设G是线段BC上的动点，作GH∥AC交AB于H，连接CH，当△BGH的面积是△CGH面积的3倍时，求H点的坐标；（3）若M为抛物线上A、C两点间的一个动点，过M作y轴的平行线，交AC于N，当M点运动到什么位置时，线段MN的值最大，并求此时M点的坐标．9．如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）直接写出点C的坐标；（2）试求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式；（3）连接AC，点E为线段AC上的动点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F．当△OEF 的面积取得最小值时，请求出点E的坐标．10．抛物线y=a（x+6）2﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C，D为抛物线的顶点，直线DE⊥x轴，垂足为E，AE2=3DE．（1）求这个抛物线的解析式；（2）P为直线DE上的一动点，以PC为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在x轴上．若在x轴上的直角顶点只有一个时，求点P的坐标；（3）M为抛物线上的一动点，过M作直线MN⊥DM，交直线DE于N，当M点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E三等分线段DN的情况？若存在，请求出所有符合条件的M的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，3），B（6，1），C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC 的面积为S．当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？12．如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（﹣1，0）、（0，3）（1）求此抛物线对应的函数解析式；（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值；（3）若过点A（﹣1，0）的直线AD与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形的面积为6，求此直线的解析式．13．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．①如图1．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；②如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式．14．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（4）连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．15．如图，抛物线y=ax2+bx+（a≠0）经过A（﹣3，0）、C（5，0）两点，点B为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求此抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为ts，过点P作PM⊥BD交BC于点M，过点M作MN∥BD，交抛物线于点N．①当t为何值时，线段MN最长；②在点P运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O、P、M、C为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，请说明理由．参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是．16．如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2++c与x轴交于点（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是抛物线上一点，且△ABP的面积是，求P点的坐标；（3）若D是线段BC上的一个动点，过点D作DE⊥BC，交OC于E点．设CD的长为t，四边形DEOB的周长为l，求l与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．18．（2011•宝安区三模）如图，在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，4），AB的垂直平分线交AB于C，交x 轴于D，（1）求点C、D的坐标；（2）求过点B、C、D的抛物线的解析式；（3）点P为CD间的抛物线上一点，求当点P在何处时，以P，C，D，B为顶点的四边形的面积最大？19．（2010•菏泽）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，m）、C（2，2）两点．（1）求直线与抛物线的解析式；（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），设∠PON=α，求当△PON的面积最大时tanα的值；（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（3，﹣3），与x轴的一个交点为B（1，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）P是y轴上一个动点，求使P到A、B两点的距离之和最小的点P0的坐标．（3）设抛物线与x轴的另一个交点为C．在抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积等于以点A、P0、B、C 为顶点的四边形面积的三分之一？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y=+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连接DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A，C分别在y轴，x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B两点，且3a﹣b=﹣1．（1）求a，b，c的值；（2）如果动点E，F同时分别从点A，点B出发，分别沿A→B，B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E 到达终点B时，点E，F随之停止运动，设运动时间为t秒，△EBF的面积为S．①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．24．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是（1）中抛物线AB段上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△ACO相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．26．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）、（0，2），将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD，抛物线y=ax2﹣2ax+4经过点A．（1）求抛物线的函数表达式，并判断点D是否在该抛物线上；（2）如图2，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求使|PC﹣PD|的值最大时点P的坐标；（3）设抛物线上是否存在点E，使△CDE是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．27．已知抛物线y=x2+bx+1的顶点在x轴上，且与y轴交于A点．直线y=kx+m经过A、B两点，点B的坐标为（3，4）．（1）求抛物线的解析式，并判断点B是否在抛物线上；（2）如果点B在抛物线上，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长h，点P的横坐标为x，当x为何值时，h取得最大值，求出这时的h值．28．如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标．29．阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）是否存在抛物线上一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数动点30题参考答案：1．解：（1）当y=0时，有，解得：x1=4，x2=﹣1，∴A、B两点的坐标分别为（4，0）和（﹣1，0）．（2）∵⊙Q与x轴相切，且与交于D、E两点，∴圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，∵抛物线的对称轴为，⊙Q的半径为H点的纵坐标m（m＞0），∴D、E两点的坐标分别为：（﹣m，m），（+m，m）∵E点在二次函数的图象上，∴，解得或（不合题意，舍去）．（3）存在．①如图1，当∠ACF=90°，AC=FC时，过点F作FG⊥y轴于G，∴∠AOC=∠CGF=90°，∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG，∴△ACO≌△CFG，∴m=OG=2+4=6；反向延长FC，使得CF=CF′，此时△ACF′亦为等腰直角三角形，易得y C﹣y F′=CG=4，∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2．②如图2，当∠CAF=90°，AC=AF时，过点F作FP⊥x轴于P，∵∠AOC=∠APF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，∴∠ACO=∠FAP，∴△ACO≌△∠FAP，∴FP=AO=4，∴m=FP=4；反向延长FA，使得AF=AF′，此时△ACF’亦为等腰直角三角形，易得y A﹣y F′=FP=4，∴m=0﹣4=﹣4．③如图3，当∠AFC=90°，FA=FC时，则F点一定在AC的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′，分别过F，F′两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H．∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，∴∠DFC=∠EFA，∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，∴△CDF≌△AEF，∴CD=AE，DF=EF，∴四边形OEFD为正方形，∴CD=1，∴m=OC+CD=2+1=3．∵∠HF′C+∠CGF′=∠CF′G+∠GF′A，∴∠HF′C=∠GF′A，∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′，∴△HF′C≌△GF′A，∴HF′=GF′，CH=AG，∴四边形OHF′G为正方形，∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2，∴OH=1，∴m=﹣1．∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴y的最大值为．∵直线l与抛物线有两个交点，∴m＜．∴m可取值为：﹣4、﹣2、﹣1或3．综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4、﹣2、﹣1或3 2．（1）∵抛物线y=﹣+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，∴根据题意，得，解得，所以抛物线的解析式为：；（2）①证明：∵把C（m，m﹣1）代入得∴，解得：m=3或m=﹣2，∵C（m，m﹣1）位于第一象限，∴，∴m＞1，∴m=﹣2舍去，∴m=3，∴点C坐标为（3，2），过C点作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC=∠BHC=90°，由A（﹣1，0）、B（4，0）、C（3，2）得AH=4，CH=2，BH=1，AB=5∴△AHC∽△CHB，∴∠ACH=∠CBH，∵∠CBH+∠BCH=90°∴∠ACH+∠BCH=90°∴∠ACB=90°，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∴▱DECF是矩形；②存在；连接CD∵四边形DECF是矩形，∴EF=CD，当CD⊥AB时，CD的值最小，∵C（3，2），∴DC的最小值是2，∴EF的最小值是2；3. （1）解：顶点D的坐标为（3，﹣1）．令y=0，得（x﹣3）2﹣1=0，解得：x1=3+，x2=3﹣，∵点A在点B的左侧，∴A（3﹣，0），B（3+，0）．（2）证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3．令x=0，得y=，∴C（0，）．∴tan∠DCG=．设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣）=．由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG．∴tan∠EOM=tan∠DCG==，解得EM=2，∴DE=EM+DM=3．在Rt△AEM中，AM=，EM=2，由勾股定理得：AE=；在Rt△ADM中，AM=，DM=1，由勾股定理得：AD=．∵AE2+AD2=6+3=9=DE2，∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°．设AE交CD于点F，∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（对顶角相等），∴∠AEO=∠ADC．（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2．∵y=（x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2=2y+2．∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．将y=1代入y=（x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1=1，解得：x1=1，x2=5．又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1=1舍去．∴P（5，1）．此时点Q坐标为（3，1）或（，）4.解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．将A（﹣1，0），B（4，0）代入，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．（2）存在．由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，∴BC==．在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×h=×2×4，∴h=．∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），∴=，∴y=±2将y=2代入抛物线y=﹣x2+x+2，得x1=0，x2=3．当y=﹣2时，不合题意舍去．∴E点坐标为（0，2），（3，2）．（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，∴，y BC=﹣x+2．由BC∥AD，设AD的解析式为y=﹣x+n，由图象，得0=﹣×（﹣1）+n∴n=﹣，y AD=﹣x﹣．∴﹣x2+x+2=﹣x﹣，解得：x1=﹣1，x2=5∴D（﹣1，0）与A重合，舍去；∴D（5，﹣3）．∵DE⊥x轴，∴DE=3，OE=5．由勾股定理，得BD=．∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），∴OA=1，OB=4，OC=2．∴AB=5在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得AC=，BC=2，∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，∴AC2+BC2=AB2∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°．∵BC∥AD，∴∠CAF+∠ACB=180°，∴∠CAF=90°．∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，∴四边形ACBF是矩形，∴AC=BF=，在Rt△BFD中，由勾股定理，得DF=，∴DF=BF，∴∠ADB=45°5．解：（1）依题意，设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2，由于直线y=x+2与y轴交于（0，2），∴x=0，y=2满足y=a（x﹣2）2，于是求得a=，二次函数的解析式为y=（x﹣2）2；（2）∵PQ⊥x轴且横坐标为x，∴l=（x+2）﹣（x﹣2）2=﹣x2+3x，由得点B的坐标为B（6，8），∵点p在线段AB上运动，∴0＜x＜6．∵，∴当x=3时，．∴0＜l＜；（3）作MQ∥AP．过M作MD∥PQ，MD交AB于N，则四边形PQMD为平行四边形．∴MD=PQ，∵M（2，0），∴D（2，4），∴MD=4．∴．∴x2﹣6x+8=0，∴x1=2，x2=4．∵2＜x＜6，∴x=4．∴P（4，6），Q（4，2）．即P点的坐标为：（4，6）6．：（1）∵点B（5，m）在直线y=﹣2x+7上，∴m=﹣5×2+7=﹣3，∴B（5，﹣3），∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，∴点A的坐标为（4，0）设所求的抛物线对应函数关系式为y=a（x﹣0）（x﹣4），将点B（5，﹣3）代入上式，得﹣3=a（5﹣0）（5﹣4），∴a=﹣，∴所求的抛物线对应的函数关系式为y=﹣x（x﹣4），即y=﹣x2+x．（2）∵点A（4，0），B（5，﹣3），C（2，0），∴AC=4﹣2=2，BC==3，当点D在直线x=2的右侧时，当△DCB∽△ECB，∴=，即=，解得：CD=9，∴点D的坐标为：（11，0），当点D在直线x=2的左侧时，∵∠ACB=∠CDB+∠CBA，且∠ACB＜∠DCB，∴在△DCB中不可能存在与∠DCB相等的角，即此时不存在点使三角形相似；综上所述，存在点D的坐标是（11，0），使三角形相似；（3）存在符合条件的点P使PB=PC，∵C（2，0），B（5，﹣3），∴∠ACB=45°，BC垂直平分线的解析式为：y=x﹣5，∴，∴解得：，，∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．7．解：（1）由图知：点D、E的纵坐标为2，依题意，有：﹣x2+3x=2，解得：x1=1、x2=2∴D（1，2）、E（2，2），DE=1．（2）如右图；矩形OABC中，∠OMA=90°，∴∠CMO=∠MAB=90°﹣∠AMB，又∠OCM=∠MBA=90°，∴△OCM∽△MBA，有：=设点M（m，2），则：CM=m，BM=5﹣m∴=，解得m1=1，m2=4∴点M的坐标为（1，2）或（4，2）．（3）若以D、O、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，那么点D、M不共点，所以点M取（4，2）；①当DM为平行四边形的对角线时，点O、Q关于DM的中点对称，即点Q的纵坐标为4，由图知，点Q必不在抛物线图象上，不合题意；②当DM为平行四边形的边时，OM∥OQ，且OM=OQ；∵D（1，2）、M（4，2）∴OQ=DM=3，即Q（﹣3，0）或（3，0）；经验证，点（﹣3，0）不在抛物线图象上；点（3，0）在抛物线图象上；综上，存在符合条件的点Q，且坐标为（3，0）8. 解：（1）设抛物线的解析式：y=a（x+4）（x﹣1），代入C（0，﹣2），得：﹣2=a（0+4）（0﹣1），解得：a=故抛物线的解析式：y=（x+4）（x﹣1）=x2+x﹣2．（2）∵当△BGH的面积是△CGH面积的3倍，∴BG：CG=3：1，即BG：BC=3：4；∵GH∥AC，∴==；易知：BA=OB+OA=5，则BH=AB=，∴OH=BH﹣OB=﹣1=，即H（﹣，0）．（3）设直线AC：y=kx+b，代入A（﹣4，0）、C（0，﹣2），得：，解得故直线AC：y=﹣x﹣2；设M（x，x2+x﹣2），则N（x，﹣x﹣2），则：MN=（﹣x﹣2）﹣（x2+x﹣2）=﹣x2﹣2x=﹣（x+2）2+2因此当M运动到OA的中垂线上，即M（﹣2，﹣3）时，线段MN的长最大．9．（1）令x=0，可得y=3，故点C的坐标为（0，3）；（2）将点A（3，0），B（4，1）代入可得：，解得：，故函数解析式为y=x2﹣x+3；（3）如图，∵点A（3，0），点B（4，1），∴直线AB的解析式为：y=x﹣3，∵A（3，0），C（0，3），∴OA=3，OC=3，∴tan∠OAC===1，∴∠OAC=45°，∴∠OAC=∠OAF=45°，∵∠OEF=∠OAF=45°，∠OFE=∠OAE=45°，∴OE=OF，∠EOF=180°﹣45°×2=90°，∴△OEF是等腰直角三角形，∴S△OEF=×OE×OF=OE2，当OE最小时，S△FEO最小，根据等腰直角三角形的性质，当OE⊥AC时，OE最小，此时点E为AC的中点，故点E的坐标为（，）．10.解：（1）易知抛物线的顶点D（﹣6，﹣3），则DE=3，OE=6；∵AE2=3DE=9，∴AE=3，即A（﹣3，0）；将A点坐标代入抛物线的解析式中，得：a（﹣3+6）2﹣3=0，即a=，即抛物线的解析式为：y=（x+6）2﹣3=x2+4x+9．（2）设点P（﹣6，t），易知C（0，9）；则PC的中点Q（﹣3，）；易知：PC=；若以PC为斜边构造直角三角形，在x轴上的直角顶点只有一个时，以PC为直径的圆与x轴相切，即：||=，解得t=1，故点P（﹣6，1），当点P与点E重合时，由抛物线的解析式可知，A（﹣3，0），B（﹣9，0）．所以P（﹣6，0），故点P的坐标为（﹣6，1）或（﹣6，0），（3）设点M（a，b）（a＜0，b＞0），分两种情况讨论：①当NE=2DE时，NE=6，即N（﹣6，6），已知D（﹣6，﹣3），则有：直线MN的斜率：k1=，直线MD的斜率：k2=；由于MN⊥DM，则k1•k2==﹣1，整理得：a2+b2+12a﹣3b+18=0…（△），由抛物线的解析式得：a2+4a+9=b，整理得：a2+12a﹣3b+27=0…（□）；（△）﹣（□）得：b2=9，即b=3（负值舍去），将b=3代入（□）得：a=﹣6+3，a=﹣6﹣3，故点M（﹣6+3，3）或（﹣6﹣3，3）；②当2NE=DE时，NE=，即N（﹣6，），已知D（﹣6，﹣3），则有：直线MN的斜率：k1=，直线DM的斜率：k2=；由题意得：k1•k2==﹣1，整理得：a2+b2+b+12a+=0，而a2+12a﹣3b+27=0；两式相减，得：2b2+9b+9=0，解得b=﹣2，b=﹣，（均不符合题意，舍去）；综上可知：存在符合条件的M点，且坐标为：M（﹣6+3，3）或（﹣6﹣3，3）．11．（1）将A，B，C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，得，解得，∴y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣）2+；（2）设点P（，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′，∵AP⊥CP，∴△AA′P∽△PC′C，可得=，即=，解得m1=，m2=﹣，∴P（，）或（，﹣）；（3）①由B（6，1），C（0，﹣2），得直线BC的解析式为y=x﹣2，∴D（4，0），当E点为抛物线顶点时，满足条件的点E只有一个，此时S=×4×2+×4×=，∵S△BOC=×2×6=6，∴当6≤S＜时，满足条件的点E有两个．②当4＜S＜6时，﹣x2+x﹣2=0的△＞0，方程有两个不相等的实数根，此时0＜n＜1，需满足的条件点E只能在点H与点B之间的抛物线上，故此时满足条件的点E只有一个．12. 解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1，设抛物线的解析式是y=a（x﹣1）2+k，∴解得：，∴y=﹣（x﹣1）2+4即y=﹣x2+2x+3（2）∵y=﹣x2+2x+3，当y=0时，∴x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴B（3，0），A（﹣1，0）∴AB=4．设P（a，﹣a2+2a+3）∴S△ABP==﹣2（a﹣1）2+8，∴△ABP面积的最大值为8（3）设D的坐标为（1，b），∴=6，∴b=±6，∴D（1，6）或（1，﹣6），设AD的解析式为y=kx+b，得或解得：或∴直线AD的解析式为：y=3x+3或y=﹣3x﹣313. 解：（1）由题意，得，解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x﹣3；（2）①令﹣x2+4x﹣3=0，解得x1=1，x2=3，∴B（3，0），当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，易求直线BC的解析式为y=x﹣3，∴设直线AP的解析式为y=x+n，∵直线AP过点A（1，0），代入求得n=﹣1．∴直线AP的解析式为y=x﹣1解方程组，得，∴点P1（2，1）当点P在x轴下方时，如图1：设直线AP1交y轴于点E（0，﹣1），把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P2，P3，得直线P2P3的解析式为y=x﹣5，解方程组，得，∴P2（，），P3（，），综上所述，点P的坐标为：P1（2，1），P2（，），P3（，），②∵B（3，0），C（0，﹣3）∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°设直线CP的解析式为y=kx﹣3如图2，延长CP交x轴于点Q，设∠OCA=α，则∠ACB=45°﹣α，∵∠PCB=∠BCA，∴∠PCB=45°﹣α，∴∠OQC=∠OBC﹣∠PCB=45°﹣（45°﹣α）=α，∴∠OCA=∠OQC又∵∠AOC=∠COQ=90°∴Rt△AOC∽Rt△COQ∴，∴，∴OQ=9，∴Q（9，0）∵直线CP过点Q（9，0），∴9k﹣3=0∴∴直线CP的解析式为．其它方法略．114．解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，将A（﹣2，2），B（6，6）代入，得，解得，∴y=x+3，令x=0，∴E（0，3）；（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将A（﹣2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，得，解得，∴y=x2﹣x（3）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，联立，得x2﹣6x﹣4m=0，当△=36+16m=0时，过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一的公共点，则点N到BO的距离最大，所以△BON面积最大，解得m=﹣，x=3，y=，即N（3，）；此时△BON面积=×6×6﹣（+6）×3﹣××3=；（4）过点A作AS⊥GQ于S，∵A（﹣2，2），B（6，6），N（3，），∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°，OG=3，NG=，NS=，AS=5，在Rt△SAN和Rt△NOG中，∴tan∠SAN=tan∠NOG=，∴∠SAN=∠NOG，∴∠OAS﹣∠SAN=∠BOG﹣∠NOG，∴∠OAN=∠NOB，∴ON的延长线上存在一点P，使得△BOP∽△OAN，∵A（﹣2，2），N（3，），∵△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应），即△BOP∽△OAN，∴BO：OA=OP：AN=BP：ON又∵A（﹣2，2），N（3，），B（6，6），∴BO=6，OA=2，AN=，ON=，∴OP=，BP=，设P点坐标为（4x，x），∴16x2+x2=（）2，解得x=，4x=15，∵P、P′关于直线y=x轴对称，∴P点坐标为（15，）或（，15）．15.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+与x轴交于点A（﹣3，0），C（5，0）∴解得．（2）①延长NM交AC于E，∵B为抛物线y=﹣x2+x+的顶点，∴B（1，8）．（5分）∴BD=8，OD=1．∵C（5，0），∴CD=4．∵PM⊥BD，BD⊥AC，∴PM∥AC．∴∠BPM=∠BDC=90°，∠BMP=∠BCD．∴△BPM∽△BDC．∴=．根据题意可得BP=t，∴=．∴PM=t．∵MN∥BD，PM∥AC，∠BDC=90°，∴四边形PMED为矩形．∴DE=PM=t．∴OE=OD+DE=1+t．∴E（1+t，0）．∵点N在抛物线上，横坐标为1+t，∴点N的纵坐标为﹣（1+t）2+（1+t）+．∴NE=﹣（1+t）2+（1+t）+=﹣t2+8．∵PB=t，PD=ME，∴EM=8﹣t．∴MN=NE﹣EM=﹣t2+8﹣（8﹣t）=﹣（t﹣4）2+2．当t=4时，MN最大=2．②存在符合条件的t值．连接OP，如图（2）．若四边形OPMC是等腰梯形，只需OD=EC．∵OD=1，DE=PM=t，∴5﹣（t+1）=1．解得t=6．∴当t=6时，四边形OPMC是等腰梯形16．（1）由题意，得：，解得：，∴所求抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+4．（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．由﹣x2﹣x+4=0，得x1=2，x2=﹣4，∴点B的坐标为（2，0），∴AB=6，BQ=2﹣m，∵QE∥AC，∴△BQE∽△BAC，∴，即，∴EG=（2﹣m），∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ=BQ•CO﹣BQ•EG=（2﹣m）[4﹣（2﹣m）]=﹣（m+1）2+3又∵﹣4≤m≤2，∴当m=﹣1时，S△CQE有最大值3，此时Q（﹣1，0）．（3）存在．在△ODF中．（ⅰ）若DO=DF，∵A（﹣4，0），D（﹣2，0）∴AD=OD=DF=2，又在Rt△AOC中，OA=OC=4，∴∠OAC=45°，∴∠DFA=∠OAC=45°，∴∠ADF=90°．此时，点F的坐标为（﹣2，2）（ⅱ）若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M由等腰三角形的性质得：OM=MD=1，∴AM=3，∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，∴F（﹣1，3）；（ⅲ）若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，∴AC=4，∴点O到AC的距离为2，而OF=OD=2＜2，∴此时不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点F的坐标为：F（﹣2，2）或（﹣1，3）．17.解：（1）∵抛物线y=ax2++c与x轴交于点（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．∴，解得：，∴y=﹣x2++4；（2）令y=0，可得x1=﹣1，x2=3，∴B点坐标为：（3，0），设P点坐标为（x，y），依据题意得出：×4×|y|=，∴|y|=，∵y=﹣x2++4；=﹣（x﹣1）2+，∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，），∴纵坐标最大值为：，∴y=﹣，∴﹣=﹣x2++4；解得：x1=﹣2，x2=4，∴P点的坐标为：（4，﹣），（﹣2，﹣）；（3）如图所示：在△ABC中，OB=3，CO=4，∠BOC=90°，由勾股定理得BC=5，∵DE⊥BC，∴∠EDC=∠BOC=90°，∵∠DCE=∠OCB，∴△DCE∽△OCB，∴==，∵CD=t，∴==，∴CE=t，DE=t，∴四边形DEOB的周长为l=EO+BO+DB+DE=4﹣t+3+t+5﹣t=12﹣t，t的取值范围是：0＜t＜．18．：（1）过C作CD⊥x轴于G，∵点C为线段AB的中点，∴CG是△OAB的中位线，∴点C的坐标是（1，2），┅┅┅┅┅┅┅┅（1分）又∵OA=2，OB=4，∴AB=，AC=，显然△ABO∽△ADC，∴，即，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（2分）∴AD=5OD=AD﹣OA=3，∴点D的坐标是（﹣3，0）；┅┅┅┅┅┅┅┅┅（3分）（2）解：设过B（0，4），C（1，2），D（﹣3，0）的抛物线的关系式为y=ax2+bx+c，∴，┅┅┅┅┅┅（4分）解得：，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（5分）∴抛物线的关系式为；┅┅┅┅┅┅┅┅┅（6分）（3）解：设点P的坐标为（x，y）连BD，过点P作PH⊥x轴于H，交BD于E，S四边形PBCD=S△BCD+S△PBD，∵S△BCD=S△ACD为定值，∴要使四边形PBCD的面积最大就是使△PBD的面积最大，①当P在BD间的抛物线上时，即﹣3＜x＜0，S△PBD=S△PBE+S△PED=PE×DH+PE×OH=PE×OD=PE，∵PE=PH﹣EH=y P﹣y E，┅┅┅┅┅┅┅┅（7分）直线BD的关系式为y=，∴PE=，=，当x=时，PE最大为，∴点P的坐标（，），┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（8分）②当P在BC间的抛物线上时，即0＜x＜1，同理可求出四边形PBCD的面积，很显然，此时四边形PBCD的面积要小于点P在BD间的抛物线上时的四边形PBCD的面积，故P点的坐标是（，）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅（9分）19.解：（1）将点C（2，2）代入直线y=kx+4，可得k=﹣1所以直线的解析式为y=﹣x+4当x=1时，y=3，所以B点的坐标为（1，3）将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c，可得解得，所以所求的抛物线为y=﹣2x2+5x．（2）因为ON的长是一定值，所以当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大，又该抛物线的顶点坐标为（），此时tan∠PON=．（3）存在；把x=0代入直线y=﹣x+4得y=4，所以点A（0，4）把y=0代入抛物线y=﹣2x2+5x得x=0或x=，所以点N（，0）设动点P坐标为（x，y），其中y=﹣2x2+5x （0＜x＜）则得：S△OAP=|OA|•x=2xS△ONP=|ON|•y=•（﹣2x2+5x）=（﹣2x2+5x）由S△OAP=S△ONP，即2x=•（﹣2x2+5x）解得x=0或x=1，舍去x=0得x=1，由此得y=3所以得点P存在，其坐标为（1，3）20.解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x﹣3）2﹣3，依题意有：a（1﹣3）2﹣3=0，a=，∴该抛物线的解析式为：y=（x﹣3）2﹣3=x2﹣x+．（2）设B点关于y轴的对称点为B′，则B′（﹣1，0）；设直线AB′的解析式为y=kx+b，则有：，解得；∴y=﹣x﹣；故P0（0，﹣）．（3）由（1）的抛物线知：y=x2﹣x+=（x﹣1）（x﹣5），故C（5，0）；∵S四边形AP0BC=S△AB′C﹣S△BB′P0=×6×3﹣×2×=；∴S△BCM=S四边形AP0BC=；易知BC=4，则|y M|=；当M的纵坐标为时，x2﹣x+=，解得x=3+，x=3﹣；当M的纵坐标为﹣时，x2﹣x+=﹣，解得x=3+，x=3﹣；故符合条件的M点有四个，它们的坐标分别是：M1（3+，），M2（3﹣，），M3（3+，﹣），M4（3﹣，﹣）．21．：（1）由于抛物线经过A（2，0），C（0，﹣1），则有：，解得；∴抛物线的解析式为：y=﹣x﹣1．（2）∵A（2，0），C（0，﹣1），∴直线AC：y=x﹣1；设D（x，0），则E（x，x﹣1），故DE=0﹣（x﹣1）=1﹣x；∴△DCE的面积：S=DE×|x D|=×（1﹣x）×x=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，因此当x=1，即D（1，0）时，△DCE的面积最大，且最大值为．（3）由（1）的抛物线解析式易知：B（﹣1，0），可求得直线BC的解析式为：y=﹣x﹣1；设P（x，﹣x﹣1），因为A（2，0），C（0，﹣1），则有：AP2=（x﹣2）2+（﹣x﹣1）2=2x2﹣2x+5，AC2=5，CP2=x2+（﹣x﹣1+1）2=2x2；①当AP=CP时，AP2=CP2，有：2x2﹣2x+5=2x2，解得x=2.5，∴P1（2.5，﹣3.5）；②当AP=AC时，AP2=AC2，有：2x2﹣2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1，∴P2（1，﹣2）；③当CP=AC时，CP2=AC2，有：2x2=5，解得x=±，∴P3（，﹣﹣1），P4（﹣，﹣1）；综上所述，存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（2.5，﹣3.5）、P2（1，﹣2）、P3（，﹣﹣1）、P4（﹣，﹣1）．22．解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式，得：3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；（2）分两种情况：①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；∵点A在点B的右边，∴B（1，0），A（3，0）；∴P1（1，0）；②当点A为△AP2D2的直角顶点时；∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAD2=45°；当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，∴AO平分∠D2AP2；又∵P2D2∥y轴，∴P2D2⊥AO，∴P2、D2关于x轴对称；设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．将A（3，0），C（0，3）代入上式得：，解得；∴y=﹣x+3；设D2（x，﹣x+3），P2（x，x2﹣4x+3），则有：（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，即x2﹣5x+6=0；解得x1=2，x2=3（舍去）；∴当x=2时，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1；∴P2的坐标为P2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）．∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，﹣1）；（3）由（2）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2（2，﹣1）（即顶点Q）时，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；∵P（2，﹣1），∴可设F（x，1）；∴x2﹣4x+3=1，解得x1=2﹣，x2=2+；∴符合条件的F点有两个，即F1（2﹣，1），F2（2+，1）．23．解：（1）由已知A（0，6），B（6，6）在抛物线上，得方程组，（1分）解得．（3分）（2）①运动开始t秒时，EB=6﹣t，BF=t，S=EB•BF=（6﹣t）t=﹣t2+3t，（4分）以为S=﹣t2+3t=﹣（t﹣3）2+，所以当t=3时，S有最大值．（5分）②当S取得最大值时，∵由①知t=3，∴BF=3，CF=3，EB=6﹣3=3，若存在某点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形，则FR1=EB且FR1∥EB，。
中考二次函数 动点专题含答案
模式1：平行四边形分类尺度：评论辩论对角线例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点组成平行四边形,则可分成以下几种情况（1）当边AB 是对角线时,那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时,那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时,那么有BP AC //例题1：（山东省阳谷县育才中学模仿10）本题满分14分）在平面直角坐标系中,已知抛物线经由A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式;(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m,△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值;(3)若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线y=－x 上的动点,断定有几个地位能使以点P.Q.B.0为极点的四边形为平行四边形,直接写出响应的点Q 的坐标.演习：图1,抛物线322++-=x x y 与x 轴订交于A .B 两点（点A 在B 的左侧）,与y 轴订交于点C ,极点为D ．（1）直接写出A .B .C 三点的坐标和抛物线的对称轴;（2）贯穿连接BC ,与抛物线的对称轴交于点E ,点P 为线段BC 上的一个动点,过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ,设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式暗示线段PF 的长,并求出当m 为何值时,四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ,求S 与m 的函数关系． 模式2：梯形分类尺度：评论辩论高低底例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点组成梯形,则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是底时,那么有PC AB // （2）当边AC 是底时,那么有BP AC // （3）当边BC 是底时,那么有AP BC //例题2：已知,矩形OABC 在平面直角坐标系中地位如图1所示,点A 的坐标为(4,0),点C 的坐标为)20(-，,直线x y 32-=与边BC 订交于点D ． (1)求点D 的坐标;(2)抛物线c bx ax y ++=2经由点A .D .O ,求此抛物线的表达式;(3)在这个抛物线上是否消失点M ,使O .D .A .M 为极点的四边形是梯形？若消失,请求出所有相符前提的点M 的坐标;若不消失,请解释来由．演习：已知二次函数的图象经由A （2,0）.C (0,12) 两点,且对称轴为直线x ＝4,设极点为点P ,与x 轴的另一交点为点B ．（1）求二次函数的解析式及极点P 的坐标;（2）如图1,在直线 y ＝2x 上是否消失点D ,使四边形OPBD 为等腰梯形？若消失,求出点D 的坐标;若不消失,请解释来由;（3）如图2,点M 是线段OP 上的一个动点（O .P 两点除外）,以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 活动,过点M 作直线MN //x 轴,交PB 于点N ． 将△PMN 沿直线MN 半数,得到△P 1MN ．在动点M 的活动进程中,设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ,活动时光为t 秒,求S 关于t 的函数关系式． 模式3：直角三角形分类尺度：评论辩论直角的地位或者斜边的地位例如：请在抛物线上找一点p 使得P B A 、、三点组成直角三角形,则可分成以下几种情况（1）当A ∠为直角时,AB AC ⊥ （2）当B ∠为直角时,BA BC ⊥ （3）当C ∠为直角时,CB CA ⊥例题3：如图1,已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A .B 两点（点A 在点B 左侧）,与y 轴交于点C (0,－3),对称轴是直线x ＝1,直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式; （2）求直线BC 的函数表达式;（3）点E 为y 轴上一动点,CE 的垂直等分线交CE 于点F ,交抛物线于P .Q 两点,且点P 在第三象限．①当线段34PQ AB =时,求tan∠CED 的值;②当以C .D .E 为极点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P 的坐标．演习：如图1,直线434+-=x y 和x 轴.y 轴的交点分离为B .C ,点A 的坐标是（-2,0）．（1）试解释△ABC 是等腰三角形;（2）动点M 从A 动身沿x 轴向点B 活动,同时动点N 从点B 动身沿线段BC 向点C 活动,活动的速度均为每秒1个单位长度．当个中一个动点到达终点时,他们都停滞活动．设M 活动t 秒时,△MON 的面积为S ． ① 求S 与t 的函数关系式;② 设点M在线段OB上活动时,是否消失S＝4的情况？若消失,求出对应的t值;若不消失请解释来由;③在活动进程中,当△MON为直角三角形时,求t的值．模式4：等腰三角形分类尺度：评论辩论顶角的地位或者底边的地位例如：请在抛物线上找一点p使得P、三点组成等腰三角形,则可分成以下几种情BA、况（1）当AAC=∠为顶角时,AB（2）当BBC=∠为顶角时,BA（3）当C∠为顶角时,CBCA=例题4：已知：如图1,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA＝2,OC＝3,过原点O作∠AOC的等分线交AB于点D,衔接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E．（1）求过点E.D.C的抛物线的解析式;（2）将∠EDC绕点D按顺时针偏向扭转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边6,那与线段OC交于点G．假如DF与（1）中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为5么EF＝2GO是否成立？若成立,请赐与证实;若不成立,请解释来由;（3）对于（2）中的点G ,在位于第一象限内的该抛物线上是否消失点Q ,使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C .G 组成的△PCG 是等腰三角形？若消失,请求出点Q 的坐标;若不消失成立,请解释来由．演习：（2012江汉市中考模仿）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经由点B (12,0)和C (0,－6),对称轴为x ＝2．(1)求该抛物线的解析式．(2)点D 在线段AB 上且AD ＝AC ,若动点P 从A 动身沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速活动,同时另一个动点Q 以某一速度从C 动身沿线段CB 匀速活动,问是否消失某一时刻,使线段PQ 被直线CD 垂直等分？若消失,请求出此时的时光t (秒)和点Q 的活动速度;若消失,请解释来由．(3)在(2)的结论下,直线x ＝1上是否消失点M ,使△MPQ 为等腰三角形？若消失,请求出所有点M 的坐标;若不消失,请解释来由．模式5：类似三角形冲破口：查找比例关系以及特别角例题5：（据荆州材料第58页第2题改编）在梯形ABCD 中,AD ∥BC,BA ⊥AC,∠B = 450,AD = 2,BC = 6,以BC 地点直线为x 轴,树立如图所示的平面直角坐标系,点A 在y 轴上.（1）求过A.D.C 三点的抛物线的解析式.（2）求△ADC 的外接圆的圆心M 的坐标,并求⊙M 的半径.（3）E 为抛物线对称轴上一点,F 为y 轴上一点,求当ED ＋EC ＋FD ＋FC 最小时,EF 的长. （4）设Q 为射线CB 上随意率性一点,点P 为对称轴左侧抛物线上随意率性一点,问是否消失如许的点P.Q,使得以P.Q.C 为极点的△与△ADC 类似？若消失,直接写出点P.Q 的坐标,若不消失,则解释来由.模仿题汇编之动点折叠问题1.（2012深圳模仿）（本题12分）已知二次函数c bx x y ++=2与x 轴交于A （－1,0）.B （1,0）两点.（1）求这个二次函数的关系式;（2）如有一半径为r 的⊙P,且圆心P 在抛物线上活动,当⊙P 与两坐标轴都相切时,求半径r 的值.（3）半径为1的⊙P 在抛物线上,当点P 的纵坐标在什么规模内取值时,⊙P 与y 轴相离.订交？2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A.B 两点,A 点在原点的左侧,B 点的坐标为（3,0）,与y 轴交于C （0,-3）点,点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）分离求出图中直线和抛物线的函数表达式;（2）贯穿连接PO .PC,并把△POC 沿C O 翻折,得到四边形POP ′C,那么是否消失点P ,使四边形POP ′C 为菱形？若消失,请求出此时点P 的坐标;若不消失,请解释来由. 解：将B.C 两点的坐标代y=kx+b, 0=3k-3, k=1,∴y=x-3…………1分 将B.C 两点的坐标代入得：⎩⎨⎧-==+303c c b ,解得：⎩⎨⎧-=-=32c b所以二次函数的表达式为：322--=x x y .…………………3分（2）消失点P ,使四边形POP /C 为菱形.设P 点坐标为（x ,322--x x ）,PP /交CO 于E.若四边形POP /C 是菱形,则有PC ＝PO .…………………5分贯穿连接PP /则PE ⊥CO 于E ,∴OE=EC =23∴y =23-.∴322--x x =23-.………………………………6分解得1x =2102+,2x =2102-（不合题意,舍去）∴P 点的坐标为（2102+,23-）.…………………………9分3.（2012江西模仿）已知抛物线234y x x =-++交y 轴于点A ,交x 轴于点B ,C （点B 在点C 的右侧）.过点A 作垂直于y 轴的直线l. 在位于直线l 下方的抛物线上任取一点P ,过点P 作直线PQ 平行于y 轴交直线l 于点Q .衔接AP . （1）写出A ,B ,C 三点的坐标;（2）若点P 位于抛物线的对称轴的右侧：①假如以A ,P ,Q 三点组成的三角形与△AOC 类似,求出点P 的坐标;②若将△APQ 沿AP 半数,点Q 的对应点为点M .是否消失点P ,使得点M 落在x 轴上.若消失,求出点P 的坐标;若不消失,请解释来由.4.（2012安庆模仿）在直角梯形ABCD 中,∠B ＝90°,AD ＝1,AB ＝3,BC ＝4,M .N 分离是底边BC 和腰CD 上的两个动点,当点M 在BC 上活动时,始终保持AM ⊥MN .NP ⊥BC ． (1)证实：△CNP 为等腰直角三角形;(2)设NP ＝x ,当△ABM ≌△MPN 时,求x 的值;(3)设四边形ABPN 的面积为y ,求y 与x 之间的函数关系式,并指出x 取何值时,四边形ABPN 的面积最大,最大面积是若干．解：（1）过D 作DQ ⊥BC 于Q,则四边形ABQD 为平行四边形DQ=AB=3,BQ=AD=1 ∴QC=DQ △DQC 中∠C=∠QDC =45°∴Rt △NPC 为等腰Rt△………………(4分) （2）∵ABM ≌MPN MP=AB=3, BM=NP ∵△NPC 为等腰Rt△∴PC=NP= x ∴BM=BC －MP －PC=1－x ∴1- x= x ∴ x=21 ∴当ABM ≌MPN 时,x =21………………(8分)（3）ABPN S 四边形=21(AB+NP ) BP=21(3+ x )(4－x )=－212x +21 x+6=－21( x-21)+6.125(11分)C DN∴当x 取21时,四边形ABPN 面积最大,最大面积为. ………………(14分) 5.（2012宝应模仿）在直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 的坐标为（2,2）,点C 是线段OA 上的一个动点（不活动至O,A 两点）,过点C 作CD ⊥x 轴,垂足为D,以CD 为边在右侧作正方形CDEF. 衔接AF 并延伸交x 轴的正半轴于点B,衔接OF,设OD ＝t. ⑴ 求tan ∠FOB 的值;⑵用含t 的代数式暗示△OAB 的面积S;⑶是否消失点C, 使以B,E,F 为极点的三角形与△OFE 类似,若消失,请求出所有知足请求的B 点的坐标;若不消失,请解释来由． (1)作AH ⊥x 轴于H,交CF 于P∵A(2,2) ∴AH=OH=2 ∴∠AOB=45° ∴CD=OD=DE=EF=t ∴1tan 22t FOB t ∠==……………………3分(2)∵CF ∥OB ∴△ACF ∽△AOB ∴AP CF AH OB = 即22t tOB-= ∴22tOB t=-∴12(02)22OAB tS OB AH t t∆=⋅=<<-………………6分(3)要使△BEF 与△OFE 类似,∵∠FEO=∠FEB=90° ∴只要OE EFEB EF=或OE EFEF EB= 即:2BE t =或12EB t = ① 当2BE t =时,4BO t =, ∴242t t t =-∴0t =(舍去)或32t =∴B(6,0) ……………………8分② 当12EB t =时,(ⅰ) 当B 在E 的右侧时,52OB OE EB t =+=, ∴2522t t t =-∴0t =(舍去)或65t =∴B(3,0)…………………10分(ⅱ) 当B 在E 的左侧时,如图,32OB OE EB t =-=, ∴2322t t t =-∴0t =(舍去)或23t =∴B(1,0)……………………12分6.（2012广东猜测）（本小题满分12分）如图,抛物线的极点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛8925，－,且经由点) 14 , 8 (A .(1)求该抛物线的解析式;(2)设该抛物线与y 轴订交于点B ,与x 轴订交于C .D 两点（点C 在点D 的左边）, 试求点B .C .D 的坐标;(3)设点P 是x 轴上的随意率性一点,分离贯穿连接AC .BC ． 试断定：PB PA +与BC AC +的大小关系,并解释来由.解：（1）（4分）设抛物线的解析式为89252-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x a y (1)分(第24题图)∵抛物线经由)14,8(A ,∴89258142-⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ＝,解得：21=a …………2分∴8925212-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y （或225212+-=x x y ） …………………………1分 （2）（4分）令0=x 得2=y ,∴)2,0(B ……………………………………1分 令0=y 得0225212=+-x x ,解得11=x .42=x ………………………2分 ∴)0 , 1(C .) 0, 4(D …………………………………………………………1分 （3）（4分）结论：BC AC PB PA +≥+…………………………………1分来由是：①当点C P 与点重应时,有BC AC PB PA +=+………………………………1分 ②当时异于点点C P ,∵直线AC 经由点)14,8(A .)0,1(C ,∴直线AC 的解析式为22-=x y (3)分设直线AC 与y 轴订交于点E ,令0=x ,得2-=y , ∴)2,0(-E ,则)2,0()2,0(B E 与点-关于x 轴对称 ∴EC BC =,贯穿连接PE ,则PB PE =, ∴AE EC AC BC AC =+=+, ∵在APE ∆中,有AE PE PA >+∴BC AC AE PE PA PB PA +=>+=+…………………………………1分 综上所得BC AC BP AP +≥+………………………………………………1分7.．如图,已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象经由A (－2,－1),B (0,7)两点． (1)求该抛物线的解析式及对称轴; (2)当x 为何值时,y ＞0?(3)在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ,与抛物线交于C .D 两点(点C 在对称轴的左侧),过点C .D 作x 轴的垂线,垂足分离为F .E .当矩形CDEF 为正方形时,求C 点的坐标．解：解：(1)把A (－2,－1),B (0,7)两点的坐标代入y ＝－x 2＋bx ＋c ,得⎩⎪⎨⎪⎧－4－2b ＋c ＝－1c ＝7,解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝7.所以,该抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋7,又因为y ＝－x 2＋2x ＋7＝－(x －1)2＋8,所以对称轴为直线x ＝1. (2)当函数值y ＝0时,－x 2＋2x ＋7＝0的解为x ＝1±2 2,联合图象,轻易知道1－2 2<x <1＋2 2时,y >0. (3)当矩形CDEF 为正方形时,设C 点的坐标为(m ,n ), 则n ＝－m 2＋2m ＋7,即CF ＝－m 2＋2m ＋7. 因为C .D 两点的纵坐标相等,所以C .D 两点关于对称轴x ＝1对称, 设点D 的横坐标为p ,则1－m ＝p －1,所以p ＝2－m ,所以CD ＝(2－m )－m ＝2－2m . 因为CD ＝CF ,所以2－2m ＝－m 2＋2m ＋7, 整顿,得m 2－4m －5＝0,解得m ＝－1或5. 因为点C 在对称轴的左侧,所以m 只能取－1. 当m ＝－1时,n ＝－m 2＋2m ＋7＝－(－1)2＋2×(－1)＋7＝4.于是,点C 的坐标为(－1,4)．8.如图,在△ABC 中,已知AB ＝BC ＝CA ＝4cm,AD ⊥BC 于D,点P.Q 分离从B.C 两点同时动身,个中点P 沿BC 向终点C 活动,速度为1cm/s;点Q 沿CA.AB 向终点B 活动,速度为2cm/s,设它们活动的时光为x(s). ⑴ 求x 为何值时,PQ ⊥AC;⑵ 设△PQD 的面积为y(cm 2),当0＜x ＜2时,求y 与x 的函数关系式; ⑶ 当0＜x ＜2时,求证：AD 等分△PQD 的面积;⑷ 摸索以PQ 为直径的圆与AC 的地位关系,请写出响应地位关系的x 的取值规模(不请求写出进程).解：⑴∵当Q 在AB 上时,显然PQ 不垂直于AC. 当Q 在AC 上时,由题意得：BP ＝x,CQ ＝2x,PC ＝4－x, ∴AB ＝BC ＝CA ＝4,∠C ＝600,若PQ ⊥AC,则有∠QPC ＝300,∴PC ＝2CQ ∴4－x ＝2×2x,∴x ＝45,∴当x ＝45(Q 在AC 上)时,PQ ⊥AC;⑵ 当0＜x ＜2时,P 在BD 上,Q 在AC 上,过点Q 作QH ⊥BC 于H, ∵∠C ＝600,QC ＝2x,∴QH ＝QC ×sin600＝3x∵AB ＝AC,AD ⊥BC,∴BD ＝CD ＝12BC ＝2∴DP ＝2－x,∴y ＝12PD ·QH ＝12(2－x)·3x ＝－32x 2＋3x⑶ 当0＜x ＜2时,在Rt △QHC 中,QC ＝2x,∠C ＝600, ∴HC ＝x,∴BP ＝HC ∵BD ＝CD,∴DP ＝DH,∵AD ⊥BC,QH ⊥BC,∴AD ∥QH, ∴OP ＝OQ ∴S △PDO ＝S △DQO ,∴AD 等分△PQD 的面积;⑷ 显然,不消失x 的值,使得以PQ 为直径的圆与AC 相离 当x ＝45或165时,以PQ 为直径的圆与AC 相切.当0≤x ＜45或45＜x ＜165或165＜x ≤4时,以PQ 为直径的圆与AC 订交.9.已知抛物线22(1)2y x k x k =-+-++与x 轴交于A .B 两点,且点A 在x 轴的负半轴 上,点B 在x 轴的正半轴上． （1）求实数k 的取值规模;（2）设OA .OB 的长分离为a .b ,且a ∶b ＝1∶5,求抛物线的解析式;（3）在（2）的前提下,以AB 为直径的⊙D 与y 轴的正半轴交于P 点,过P 点作⊙D 的切线交x 轴于E 点,求点E 的坐标.解：（1）设点A （1x ,0）,B （2x ,0）且知足1x ＜0＜2x 由题意可知()0211<+-=⋅k x x ,即2->k（2）∵a ∶b ＝1∶5,设a OA =,即a x =-1,则a OB 5=,即a x 52=,0>a∴⎩⎨⎧-=⋅-=⋅=+-=+221215545a a a x x a a a x x ,即()()⎩⎨⎧-=+-=-252412a k ak∴12+=a k ,即03252=--a a ,解得11=a ,532-=a （舍去）∴3=k ∴抛物线的解析式为542++-=x x y （3）由（2）可知,当0542=++-x x 时,可得11-=x ,52=x即A （－1,0）,B （5,0）∴AB＝6,则点D 的坐标为（2,0） 当PE 是⊙D 的切线时,PE⊥PD由Rt△DPO∽Rt△DEP 可得DE OD PD ⋅=2即DE ⨯=232∴29=DE ,故点E 的坐标为（29-,0）10.如图,抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经由梯形ABCD 的四个极点,梯形的底AD 在x 轴上,个中A （－2,0）,B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式;（2）点M 为y 轴上随意率性一点,当点M 到A .B 两点的距离之和为最小时,求此时点M 的坐标;（3）在第（2）问的结论下,抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立,求点P 的坐标．解：（1）.因为点A.B 均在抛物线上,故点A.B 的坐标合适抛物线方程 ∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩ 解之得：14a c =⎧⎨=-⎩;故24y x =-为所求 (4)分（2）如图2,衔接BD ,交y 轴于点M ,则点M 就是所求作的点 设BD的解析式为y kx b =+,则有203k b k b +=⎧⎨-+=-⎩, 12k b =⎧⎨=-⎩,故BD 的解析式为2y x =-;令0,x =则2y =-,故(0,2)M -……8分(3).如图3,衔接AM ,BC 交y 轴于点N ,由（2）知,OM=OA=OD=2,90AMB ∠=︒ 易知BN=MN=1,易求AM BM ==122ABMS=⨯=;设2(,4)P x x -, 依题意有：214422AD x -=⨯,即：2144422x⨯-=⨯解之得：x =±,0x =,故相符前提的P1234),(4),(0,4)P P P -- ……12分11.如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点A 的坐标是（﹣4,0）,点B 的坐标是（0,b ）（b ＞0）．P 是直线AB 上的一个动点,作PC⊥x 轴,垂足为C ．记点P 关于y轴的对称点为P´（点P´不在y轴上）,衔接PP´,P´A,P´C．设点P的横坐标为a．（1）当b=3时,①求直线AB的解析式;②若点P′的坐标是（﹣1,m）,求m的值;（2）若点P在第一象限,记直线AB与P´C的交点为D．当P´D：DC=1：3时,求a的值;（3）是否同时消失a,b,使△P´CA为等腰直角三角形？若消失,请求出所有知足请求的a,b的值;若不消失,请解释来由．解：（1）①设直线AB的解析式为y=kx+3,把x=﹣4,y=0代入得：﹣4k+3=0,∴k=,∴直线的解析式是：y=x+3, ……3分②由已知得点P的坐标是（1,m）,∴m=×1+3=; ……4分（2）∵PP′∥AC,△PP′D∽△ACD,∴=,即=,∴a=; ……6分（3）以下分三种情况评论辩论．①当点P在第一象限时,1）若∠AP′C=90°,P′A=P′C（如图1）过点P′作P′H⊥x轴于点H．∴PP′=CH=AH=P′H=AC．∴2a=（a+4）∴a=∵P′H=PC=AC,△ACP∽△AOB （24题图1）∴==,即=,∴b=2 ……8分2）若∠P′AC=90°,P′A=CA （如图2）则PP′=AC∴2a=a+4∴a=4∵P′A=PC=AC,△ACP∽△AOB∴==1,即=1∴b=4 ……10分3）若∠P′CA=90°,则点P′,P都在第一象限内,这与前提抵触．∴△P′CA不成能是以C为直角极点的等腰直角三角形．②当点P在第二象限时,∠P′CA为钝角（如图3）,此时△P′CA不成能是等腰直角三角形;③当P在第三象限时,∠P′CA为钝角（如图4）,此时△P′CA不成能是等腰直角三角形．∴所有知足前提的a,b的值为或……12分12.。
二次函数-动点类(1)含答案
二次函数的动态问题—动点1二次函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
1.“ 使90OPQ =∠，使S ΔOPQ 最大时动点的坐标”如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求正方形ABCD 的边长．（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．（4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ ∠的点P 有 个．图①图②2.“ 是否存在DE ∥OC ”如图，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积；（3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .3.“ 使PQB △为等腰三角形”。
二次函数动点问题压轴题专题汇编(含答案)
二次函数动点问题压轴题专题汇编(含答案)二次函数的动态问题（动点）正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(0,10)，(8,4)，顶点C，D在第一象限。
点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E(4,0)出发，沿x轴正方向以相同速度运动。
当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒。
1) 求正方形ABCD的边长。
解：作BF⊥y轴于F。
则FB=8，FA=6，AB=10.2) 当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分。
求P，Q两点的运动速度。
解：由图可知，点P从点A运动到点B用了10秒。
又AB=10，故P，Q两点的运动速度均为每秒1个单位。
3) 求(2)中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标。
解：方法一：作PG⊥y轴于G，则PG∥BF。
由相似三角形可得：GA/AP=FA/AB，即6/10=t/AP，故GA=3/5t。
又OG=10-3/5t，OQ=4+t。
则S=1/2×OQ×OG=1/2×(t+4)×(10-3/5t)=-3/10t²+19/5t+20.对XXX求导得：S'=(-6/5)t+19/5，令其为0，解得t=19/3.此时S有最大值。
此时GP=76/15，OG=31/5，P的坐标为(76/15,31/5)。
方法二：当t=5时，OG=7，OQ=9，S=63/2.设所求函数关系式为S=at²+bt+20.抛物线过点(5,63/2)，则a=-3/10，b=19/2.代入可得S=-3/10t²+19/2t+20.同样可得最大值时t=19/3，P的坐标为(76/15,31/5)。
4) 若点P，Q保持(2)中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠XXX的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠XXX的大小随着时间t的增大而减小。
初三二次函数动点练习题及答案
初三二次函数动点练习题及答案1.已知：如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ 垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC 重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．2.如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与x轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？3.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9．（1）求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；（2）该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为（0，﹣5），求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过点M作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足MP=MC，连结CD，PD，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE=PD？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．1. （1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），把点A（1，﹣1），B（3，﹣1）代入得，，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x，∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，∴顶点M的坐标为（2，﹣）；（2）∵点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，∴OP=2t，[来源:学+科+网]∴点P的坐标为（2t，0），∵A（1，﹣1），∴∠AOC=45°，∴点Q到x轴、y轴的距离都是OP=×2t=t，∴点Q的坐标为（t，﹣t）；（3）∵△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，∴旋转后点O、Q的对应点的坐标分别为（2t，﹣2t），（3t，﹣t），若顶点O在抛物线上，则×（2t）2﹣×（2t）=﹣2t，解得t=，若顶点Q在抛物线上，则×（3t）2﹣×（3t）=﹣t，解得t=1，综上所述，存在t=或1，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上；（4）点Q与点A重合时，OP=1×2=2，t=2÷2=1，点P与点C重合时，OP=3，t=3÷2=1.5，t=2时，OP=2×2=4，PC=4﹣3=1，此时PQ经过点B，所以，分三种情况讨论：①0＜t≤1时，S=×（2t）×=t2，②1＜t≤1.5时，S=×（2t）×﹣×（t﹣）2=2t﹣1；③1.5＜t＜2时，S=×（2+3）×1﹣×[1﹣（2t﹣3）]2=﹣2（t﹣2）2+；所以，S与t的关系式为S=．2. （1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0），∴﹣×4+b=0，解得b=，∴直线BD解析式为：y=﹣x+．当x=﹣5时，y=3，∴D（﹣5，3）．∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，∴k=．（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=k，∴C（0，﹣k），OC=k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△ABP．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠P AB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．tan∠BAC=tan∠P AB，即：，∴y=x+k．∴D（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：k=．②若△ABC∽△ABP，则有∠ABC=∠P AB，如答图2﹣2所示．与①同理，可求得：k=．综上所述，k=或k=．（3）由（1）知：D（﹣5，3），如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，∴tan∠DBA===，∴∠DBA=30°．过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，∴t=AF+FG，即运动时间等于折线AF+FG的长度．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣x+，∴y=﹣×（﹣2）+=2，∴F（﹣2，2）．综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．3.（1）令y=0，则x2﹣2mx+m2﹣9=0，∵△=（﹣2m）2﹣4m2+36＞0，∴无论m为何值时方程x2﹣2mx+m2﹣9=0总有两个不相等的实数根，∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9的开口向上，顶点在x轴的下方，∴该抛物线与x轴总有两个交点．（2）∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9与y轴交点坐标为（0，﹣5），∴﹣5=m2﹣9．解得：m=±2．当m=﹣2，y=0时，x2+4x﹣5=0解得：x1=﹣5，x2=1，∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），∴m=﹣2不符合题意，舍去．∴m=2．∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5；（3）如图2，假设E点存在，∵MC⊥EM，CD⊥MC，∴∠EMP=∠PCD=90°．∴∠MEP+∠MPE=90°∵PE⊥PD，∴∠EPD=90°，∴∠MPE+∠DPC=90°∴∠MEP=∠CPD．在△EMP和△PCD中，，∴△EPM≌△PDC（AAS）．∴PM=DC，EM=PC设C（x0，y0），则D（4﹣x0，y0），P（x0，y0）．∴|2x0﹣4|=﹣y0．∵点C在抛物线y=x2﹣4x﹣5上；∴y0═x02﹣4x0﹣5∴|2x0﹣4|=﹣（x02﹣4x0﹣5）．当2x0﹣4=﹣（x02﹣4x0﹣5）时，解得：x01=3，x02=﹣7（舍去），当4﹣2x0=﹣（x02﹣4x0﹣5）时，解得：x03=1，x04=11（舍去），∴x0=1或x0=3．∴P（1，﹣2）或P（3，﹣2）．∴PC=6．∴ME=PC=6．∴E（7，0）或E（﹣3，0）．。
(完整版)中考二次函数-动点专题内含答案(可编辑修改word版)
模式 1：平行四边形分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点 p 使得A、B、C、P 四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况（1）当边AB 是对角线时，那么有AP // BC（2）当边AC 是对角线时，那么有AB // CP（3）当边BC 是对角线时，那么有AC // BP例题 1：（ft东省阳谷县育才中学模拟 10）本题满分 14 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，△AMB的面积为 S.求S 关于m 的函数关系式，并求出 S 的最大值；(3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点 P、Q、B、0 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标.练习：图1，抛物线y =-x 2+ 2x + 3 与x 轴相交于A、B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF//DE 交抛物线于点F，设点P 的横坐标为m．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S，求S 与m 的函数关系．模式 2：梯形分类标准：讨论上下底例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A 、 B 、C 、 P 四点构成梯形，则可分成以下几种情况（1） 当边 AB 是底时，那么有 AB // PC （2） 当边 AC 是底时，那么有 AC // BP （3） 当边 BC 是底时，那么有 BC // AP例题 2：已知，矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图 1 所示，点 A 的坐标为(4,0)，点 C 的坐标为(0，- 2) ，直线y = - 2x 与边 BC 相交于点 D ．3(1) 求点 D 的坐标；(2) 抛物线 y = ax 2+ bx + c 经过点 A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；(3) 在这个抛物线上是否存在点 M ，使 O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习：已知二次函数的图象经过 A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线 x ＝4，设顶点为点 P ，与 x 轴的另一交点为点B ．（1） 求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；2（2）如图1，在直线y＝2x 上是否存在点D，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O、P 两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线MN//x 轴，交PB 于点N．将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P1MN．在动点M 的运动过程中，设△P1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．模式 3：直角三角形分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置例如：请在抛物线上找一点 p 使得A、（1）当∠A 为直角时，AC ⊥AB（2）当∠B 为直角时，BC ⊥BA（3）当∠C 为直角时，CA ⊥CBB、P 三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况例题3：如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F，交抛物线于P、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ =3 AB 时，求tan∠CED 的值；4②当以C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．练习：如图1，直线y =-4 x + 4 和x 轴、y 轴的交点分别为B、C，点A 的坐标是（-2，0）．3（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1 个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S＝4 的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．模式 4：等腰三角形分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点 p 使得A、（1）当∠A 为顶角时，AC =AB（2）当∠B 为顶角时，BC =BA（3）当∠C 为顶角时，CA =CBB、P 三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况例题 4：已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D，连接DC，过点D 作DE⊥DC，交OA 于点E．（1）求过点E、D、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC 交于点G．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M，点M 的横坐标为6，那么EF＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成5立，请说明理由；yP ODAB xQC（3） 对于（2）中的点 G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q ，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C 、G构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．练习：（2012 江汉市中考模拟）已知抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经过点 B (12，0)和 C (0，－6)，对称轴为 x ＝2．(1) 求该抛物线的解析式．(2) 点 D 在线段 AB 上且 AD ＝AC ，若动点 P 从 A 出发沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点 Q 以某一速度从 C 出发沿线段 CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ 被直线 CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间 t (秒)和点 Q 的运动速度；若存在，请说明理由．(3) 在(2)的结论下，直线 x ＝1 上是否存在点 M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．模式 5：相似三角形突破口：寻找比例关系以及特殊角例题 5：（据荆州资料第 58 页第 2 题改编）在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B = 450，AD = 2，BC = 6，以 BC所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 A 在 y 轴上。
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)
函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时，以C 为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，②M 为顶点时，以M 为圆心MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，③P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。
2016最新二次函数动点问题(含答案)
1.如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．[解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，．设抛物线2C 的解析式是2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，． 解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以2ADN S S =△．所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤． （3）781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）． 所以74t =时，S 有最大值814． 提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．所以22420t t +-=．解之得1222t t =，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时2t =．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
中考压轴题中的二次函数(一)-带标准答案和详细解析-30道解答题
中考压轴题的中的二次函数(1)一.解答题(共30小题）1.（2016•贵阳模拟)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A（﹣4,0）,B（0，﹣4）,C（2，0）三点.(１)求抛物线的解析式；(2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AＭＢ的面积为Ｓ．求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值．(3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Ｑ、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标．２.(2015•枣庄)如图，直线ｙ=x+2与抛物线y=ax２+bx＋6(ａ≠0)相交于Ａ(,)和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PＣ⊥x轴于点Ｄ,交抛物线于点Ｃ．(１)求抛物线的解析式;(２）是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在，求出这个最大值;若不存在,请说明理由；（3)求△PAＣ为直角三角形时点P的坐标．3.（2015•酒泉)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4),B（1，0），C(5，0）,其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由;(3）连接AC,在直线ＡＣ的下方的抛物线上,是否存在一点Ｎ,使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在,请说明理由.4．(2015•通辽）如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=ａx２+ｂｘ+c（ａ≠0)的顶点为B(2，1),且过点A(0，2）,直线y＝ｘ与抛物线交于点D,E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线ｙ=x于点C,交x轴于点Ｇ,ＥF⊥x轴,垂足为F，点P在抛物线上,且位于对称轴的右侧,PＱ⊥x轴，垂足为点Q,△ＰCQ为等边三角形(1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标;(3)求证:CＥ＝EF;(４)连接PＥ，在x轴上点Ｑ的右侧是否存在一点Ｍ,使△CQM与△CPE全等？若存在,试求出点Ｍ的坐标；若不存在,请说明理由.[注：3+２=（＋1）2].５.（2０15•龙岩）如图,已知点Ｄ在双曲线ｙ=（ｘ＞０)的图象上,以D为圆心的⊙D与y轴相切于点Ｃ(0,4)，与x轴交于A,B两点,抛物线y＝ax2＋bx+c经过A，Ｂ，C三点,点P是抛物线上的动点,且线段ＡP与BC所在直线有交点Ｑ．(1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；(２）证明∠ACO=∠OＢC;（3)探究是否存在点P，使点Q为线段ＡP的四等分点？若存在，求出点Ｐ的坐标;若不存在,请说明理由.6.（２01５•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ｘ2+bx+ｃ,经过A(0,﹣4）,B（ｘ1,0)，C（x２，０)三点,且|x２﹣x1|=5．(1）求ｂ，c的值；(2）在抛物线上求一点D,使得四边形BＤCE是以BC为对角线的菱形;（3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPＯＨ是以OB为对角线的菱形？若存在,求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在,请说明理由．7.(2０15•镇江）如图,二次函数y=ax2+bx＋ｃ（a≠0）的图象经过点(0,3)，且当x＝1时,y有最小值2．（1）求ａ，b，ｃ的值；(2)设二次函数y=k（2ｘ+2)﹣(ax2+bx+ｃ)(k为实数),它的图象的顶点为D．①当ｋ＝1时,求二次函数y=k(2x＋2)﹣(ax2+bx＋ｃ）的图象与x轴的交点坐标；②请在二次函数y=aｘ2＋bx＋ｃ与y=k（２x+2）﹣(ax2＋bx+c)的图象上各找出一个点Ｍ，Ｎ，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称,直接写出点M,N的坐标（点Ｍ在点Ｎ的上方）;③过点M的一次函数y＝﹣x＋t的图象与二次函数y=ax2+ｂｘ+ｃ的图象交于另一点P，当k为何值时,点Ｄ在∠NMP的平分线上？④当k取﹣2,﹣1,0,1，2时,通过计算,得到对应的抛物线y=ｋ(２x＋2)﹣（aｘ２+bx+c）的顶点分别为（﹣1，﹣６,)，(0，﹣5）,(1,﹣２），（２,３),(3，10),请问:顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？８.(2015•绵阳）已知抛物线ｙ=﹣x２﹣2ｘ+a（a≠0）与y轴相交于Ａ点,顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、ｙ轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点.(１）若直线BＣ和抛物线有两个不同交点，求ａ的取值范围，并用a表示交点M,A的坐标; （２）将△ＮAC沿着ｙ轴翻转,若点N的对称点P恰好落在抛物线上，ＡP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△ＰCD的面积；(３）在抛物线y＝﹣x2﹣2x+a(ａ>0）上是否存在点P，使得以P，A,C，Ｎ为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．9.(2015•南宁）在平面直角坐标系中,已知A、B是抛物线y=ax２（a>０）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限,（1）如图１所示,当直线ＡB与ｘ轴平行,∠AOB=90°,且AB＝2时,求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积.(2)如图2所示,在（1)所求得的抛物线上,当直线AB与x轴不平行,∠ＡOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数?如果是,请给予证明；如果不是,请说明理由.(3）在(2）的条件下,若直线ｙ=﹣２x﹣2分别交直线ＡB，y轴于点P、C,直线AB交y轴于点D，且∠BPC=∠ＯＣP，求点P的坐标．10.(２０１5•辽阳）如图1，平面直角坐标系中，直线y=﹣x＋3与抛物线y=ax2＋x＋ｃ相交于Ａ,Ｂ两点，其中点A在x轴上,点B在y轴上.(１）求抛物线的解析式;(2）在抛物线上存在一点M，使△ＭAＢ是以AB为直角边的直角三角形，求点M的坐标;(3)如图2,点Ｅ为线段AB上一点，BE=2，以BE为腰作等腰Rt△BDE，使它与△AＯB在直线ＡB的同侧,∠BED=90°,△BDE沿着BＡ方向以每秒一个单位的速度运动，当点B与Ａ重合时停止运动,设运动时间为ｔ秒，△BDＥ与△AOB重叠部分的面积为Ｓ,直接写出S关于t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围．11.(2015•鄂州）如图，在平面直角坐标系ｘOy中,直线y=x+2与ｘ轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx＋c的对称轴是ｘ=﹣且经过A、C两点，与ｘ轴的另一交点为点B.（1）①直接写出点B的坐标;②求抛物线解析式.(2)若点Ｐ为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PＡ，PC．求△PAC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.(3）抛物线上是否存在点M，过点Ｍ作ＭN垂直x轴于点Ｎ,使得以点A、Ｍ、N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（２015•湘西州）如图,已知直线ｙ=﹣ｘ+３与ｘ轴、y轴分别交于A,Ｂ两点,抛物线y=﹣ｘ2+bx+ｃ经过A,B两点，点P在线段ＯA上,从点O出发,向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接ＰＱ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；(２）问：当t为何值时，△APＱ为直角三角形；(３）过点Ｐ作PE∥y轴,交ＡB于点E，过点Q作QＦ∥ｙ轴，交抛物线于点F,连接EＦ,当EF∥ＰQ时，求点Ｆ的坐标；（４)设抛物线顶点为Ｍ,连接BＰ，ＢM,ＭQ,问：是否存在t的值，使以Ｂ，Q,Ｍ为顶点的三角形与以O，B,P为顶点的三角形相似?若存在，请求出t的值;若不存在，请说明理由.１3．（2０１5•葫芦岛)如图，直线y=﹣x＋3与ｘ轴交于点Ｃ，与y轴交于点Ｂ,抛物线ｙ=aｘ2＋x+c经过Ｂ、C两点．(1)求抛物线的解析式;(2）如图，点E是直线ＢＣ上方抛物线上的一动点，当△BEＣ面积最大时,请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？（３)在(2)的结论下,过点E作y轴的平行线交直线ＢＣ于点M，连接ＡM,点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以Ｐ、Q、A、Ｍ为顶点的四边形是平行四边形？如果存在,请直接写出点Ｐ的坐标;如果不存在,请说明理由.１4.(201５•曲靖）如图，在平面直角坐标系xＯy中,直线l⊥ｙ轴于点B(0，﹣2)，A为OB 的中点,以A为顶点的抛物线y＝ａx２＋c与x轴交于Ｃ、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆.（1)求抛物线的解析式；(2）若⊙Ｐ与ｙ轴的另一交点为E,且OE=2,求点P的坐标;（3)判断直线l与⊙Ｐ的位置关系,并说明理由．15．（20１5•湘潭)如图，二次函数y=x2＋ｂｘ+c的图象交x轴于A（﹣1,0）、Ｂ(３，0)两点,交y轴于点C,连接BC,动点Ｐ以每秒1个单位长度的速度从A向B运动,动点Q以每秒个单位长度的速度从B向Ｃ运动,P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Ｑ同时停止运动，设运动时间为t秒.(1)求二次函数的解析式;（2)如图1，当△ＢPQ为直角三角形时，求t的值;(3）如图２,当t＜２时,延长QＰ交y轴于点Ｍ,在抛物线上是否存在一点N,使得PQ的中点恰为ＭＮ的中点?若存在，求出点N的坐标与t的值;若不存在,请说明理由．１6．（2015•营口）如图1,一条抛物线与x轴交于A,B两点(点Ａ在点B的左侧)，与y轴交于点C,且当x=﹣１和ｘ=3时,y的值相等，直线y＝ｘ﹣与抛物线有两个交点,其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．(1）求这条抛物线的表达式．(2)动点P从原点O出发,在线段OＢ上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q 从点B出发,在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时,另一个点立即停止运动,设运动时间为t秒．①若使△BPＱ为直角三角形，请求出所有符合条件的ｔ值;②求t为何值时，四边形AＣQP的面积有最小值,最小值是多少？(3）如图2，当动点P运动到OB的中点时,过点P作ＰＤ⊥ｘ轴，交抛物线于点D，连接OD，OＭ，MD得△OＤM，将△OPＤ沿x轴向左平移m个单位长度（０<m＜2)，将平移后的三角形与△ＯＤM重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．１７．（2015•潜江)已知抛物线经过Ａ(﹣３,０）,B(1,０),C(2,）三点,其对称轴交x轴于点Ｈ,一次函数y=kx+b（k≠0)的图象经过点C，与抛物线交于另一点Ｄ(点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2)如图１，当S△EOＣ=S△ＥAB时，求一次函数的解析式；（3)如图2,设∠ＣＥH=α,∠ＥＡH=β,当α＞β时,直接写出k的取值范围.18.（20１5•锦州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线ｙ=ax２+bx+2经过点A（﹣１,0）和点B(4,0)，且与y轴交于点C,点D的坐标为（２，０)，点P(m,n)是该抛物线上的一个动点，连接ＣＡ,CD，PD，PＢ．(１)求该抛物线的解析式；(2）当△ＰDB的面积等于△CAＤ的面积时，求点P的坐标；(３)当m＞０,n>0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x 轴于点G,连接EG，请直接写出随着点P的运动,线段EG的最小值.19.（2０1５•大庆）已知二次函数ｙ=x2＋ｂx﹣４的图象与y轴的交点为C,与x轴正半轴的交点为Ａ,且ｔan∠ACO=（1）求二次函数的解析式；(2)P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO,求Q点坐标;(3）是否存在实数x1、x２（x1＜x2),当x１≤ｘ≤x2时，ｙ的取值范围为≤ｙ≤？若存在,直接写在x１,x２的值；若不存在,说明理由．2０．（２01５•达州)如图，在平面直角坐标系中,矩形OＡBC的边OＡ在ｙ轴的正半轴上，ＯＣ在x轴的正半轴上,∠AOC的平分线交AＢ于点D,E为BC的中点,已知A（０，4)、C（５，0),二次函数ｙ＝x2+ｂｘ+c的图象抛物线经过A，Ｃ两点.（1)求该二次函数的表达式;(２）F、G分别为ｘ轴，y轴上的动点,顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEＦG周长的最小值；（3)抛物线上是否在点Ｐ,使△ODP的面积为12?若存在，求出点Ｐ的坐标;若不存在，请说明理由.2１.（２0１5•深圳)如图1，关于x的二次函数y=﹣x２+bｘ＋c经过点A(﹣3，0)，点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，Ｅ在x轴上．（1）求抛物线的解析式;(2）ＤE上是否存在点P到AD的距离与到ｘ轴的距离相等？若存在求出点Ｐ,若不存在请说明理由；(3)如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△ＦBC=3S△EBＣ?若存在求出点Ｆ的坐标,若不存在请说明理由．22.（2015•海南）如图，二次函数y=aｘ２+bｘ＋3的图象与ｘ轴相交于点A（﹣３，0）、B(1,0),与y轴相交于点Ｃ,点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点Ｈ(3，０)，ＡＤ平行GC交ｙ轴于点Ｄ.(1)求该二次函数的表达式；(2）求证:四边形ACHD是正方形;(3）如图2，点M(t，ｐ)是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内,过点Ｍ的直线ｙ＝kｘ交二次函数的图象于另一点Ｎ．①若四边形ADCM的面积为S，请求出Ｓ关于t的函数表达式，并写出t的取值范围;②若△CＭＮ的面积等于，请求出此时①中Ｓ的值．2３．(2015•郴州）如图,已知抛物线经过点A（４,0),B（0，4）,C(6，6).（1)求抛物线的表达式;（２)证明:四边形AＯBＣ的两条对角线互相垂直;(3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱ＤEＦＧ?（顶点D，Ｅ,F，G分别在线段AO，OB,ＢC,CA上,且不与四边形AＯBC的顶点重合）若能，求出▱DEＦG的最大面积，并求出此时点Ｄ的坐标；若不能,请说明理由．24.（20１5•随州)如图，已知抛物线y＝(x＋2）（x﹣４）与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点Ｃ,CＤ∥x轴交抛物线于点D，Ｍ为抛物线的顶点．(1)求点A、Ｂ、C的坐标;（2）设动点N(﹣2，n），求使MN+ＢN的值最小时n的值；(3)P是抛物线上一点,请你探究:是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△AＢＤ相似(△PAB与△ＡBD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.2５．(２015•遵义）如图，抛物线y=ａｘ２+bｘ+c(ａ≠０）与x轴交于A(﹣4，0)，B（2，0)，与y轴交于点C（0,2).(1)求抛物线的解析式;（2）若点D为该抛物线上的一个动点,且在直线AC上方,当以Ａ、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积;（3）以ＡB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1,﹣5)，并且与⊙M相切，求该直线的解析式．2６.（２015•内江)如图,抛物线与x轴交于点Ａ(﹣，0)、点Ｂ(２，0），与y轴交于点C(0，1),连接ＢC.(1)求抛物线的函数关系式;(２）点N为抛物线上的一个动点，过点N作ＮＰ⊥ｘ轴于点Ｐ，设点N的横坐标为t(﹣＜t＜2），求△ＡBN的面积S与t的函数关系式；(3）若﹣<t＜2且ｔ≠0时△OＰＮ∽△COB，求点Ｎ的坐标.27．（2015•安顺）如图，抛物线ｙ＝ax2＋ｂx+与直线AＢ交于点Ａ（﹣1,０),B（4,）,点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，Ｂ重合)，直线CD与y轴平行,交直线ＡＢ于点C,连接AD,BD．(1）求抛物线的解析式;（2)设点D的横坐标为m,△ＡDB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当Ｓ取最大值时的点C的坐标.28．（201５•抚顺)已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示,A点坐标为（﹣6，0）,Ｂ点坐标为(４，0),点D为BＣ的中点，点Ｅ为线段AB上一动点，连接ＤE经过点Ａ、Ｂ、C三点的抛物线的解析式为y=aｘ2＋bx+8.(1）求抛物线的解析式；(2）如图①,将△BDE以ＤE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时,求G点的坐标；（3）如图②,当点E在线段AB上运动时,抛物线ｙ=aｘ2+bx＋８的对称轴上是否存在点F,使得以Ｃ、D、E、Ｆ为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点F的坐标;若不存在，请说明理由．29．(20１5•昆明）如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=ax２+x+ｃ(a≠0)与x轴交于Ａ、B 两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C,点A的坐标为(4，０),抛物线的对称轴是直线ｘ=.(１)求抛物线的解析式；(2)M为第一象限内的抛物线上的一个点,过点Ｍ作MG⊥x轴于点G，交AＣ于点H，当线段CM=CH时,求点Ｍ的坐标;（3）在（2)的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°<α＜9０°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段ＧA上是否存在点P,使得以Ｐ、N、G为顶点的三角形与△ＡBC相似？如果存在，请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由．3０．（2０1５•泉州）阅读理解抛物线y=x2上任意一点到点（0,１）的距离与到直线ｙ=﹣１的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kｘ+1与y轴交于C点，与函数y＝x２的图象交于Ａ,B两点,分别过Ａ,B两点作直线ｙ=﹣１的垂线，交于E,F两点.（1）写出点C的坐标，并说明∠EＣF=9０°;(2)在△PEF中,M为EF中点，P为动点.①求证:PE2+PF2＝2（PＭ２＋EM2);②已知PE=PF=3,以EＦ为一条对角线作平行四边形CEDF,若１<ＰD<2,试求ＣP的取值范围.ﻬ中考压轴题的中的二次函数（1)参考答案与试题解析一.解答题（共30小题）１．（2０16•贵阳模拟）在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(﹣4，０),B(0，﹣4),Ｃ（２,０）三点．（1）求抛物线的解析式;(2）若点Ｍ为第三象限内抛物线上一动点，点Ｍ的横坐标为ｍ,△AMB的面积为S.求Ｓ关于m的函数关系式,并求出S的最大值．（3)若点Ｐ是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣ｘ上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、Ｏ为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．考点: 二次函数综合题;待定系数法求二次函数解析式．专题：压轴题.分析:(1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式.（2）设出M点的坐标，利用S=Ｓ△AＯM+S△OBM﹣S△AOB即可进行解答；（3)当OＢ是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可;当ＯＢ是对角线时，由图可知点A与P应该重合.解答:解:(1）设此抛物线的函数解析式为：y=ａx2+bx＋c(a≠0）,将A(﹣4,0)，B（０，﹣4），C（2，０)三点代入函数解析式得：解得，所以此函数解析式为：y=;（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上,∴M点的坐标为：（m,），∴S＝S△AＯM＋Ｓ△OＢM﹣S△AOB＝×４×（﹣m２﹣m＋4）+×４×(﹣ｍ）﹣×4×4＝﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m,=﹣(m＋2)2＋4，∵﹣4＜m<０，当m=﹣2时，S有最大值为:Ｓ=﹣４+8=4．答：ｍ=﹣２时Ｓ有最大值S=４.（３)设Ｐ（x,x2+ｘ﹣4）.当OB为边时,根据平行四边形的性质知PB∥OQ,∴Q的横坐标的绝对值等于Ｐ的横坐标的绝对值,又∵直线的解析式为y=﹣x,则Q（x，﹣x）．由ＰQ=ＯB,得|﹣x﹣(x2+ｘ﹣４）｜=４,解得ｘ=0,﹣４,﹣2±2.x＝0不合题意,舍去.如图,当BＯ为对角线时，知A与P应该重合，OP=4.四边形PBQＯ为平行四边形则BQ＝ＯP=4，Ｑ横坐标为4,代入ｙ=﹣ｘ得出Q为(４，﹣4）．由此可得Q(﹣4,4)或(﹣２＋2,2﹣2）或(﹣2﹣2，2＋２）或（４,﹣4)．点评：本题考查了三点式求抛物线的方法,以及抛物线的性质和最值的求解方法.2.(20１5•枣庄)如图，直线y=ｘ+2与抛物线y＝ax2＋bx+６（ａ≠0）相交于A（,）和B(４，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C. （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的Ｐ点,使线段PC的长有最大值？若存在,求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3）求△PＡC为直角三角形时点P的坐标.考点: 二次函数综合题.专题: 几何综合题;压轴题．分析：(1)已知B（4,m）在直线ｙ＝x+2上，可求得m的值,抛物线图象上的A、B两点坐标,可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．(２)要弄清PＣ的长,实际是直线AＢ与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标,根据直线AB和抛物线的解析式表示出Ｐ、Ｃ的纵坐标,进而得到关于PＣ与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3)当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形,需要分类讨论,分别求解.解答：解:（1)∵Ｂ(４，ｍ）在直线y＝x+2上，∴m=4+2=6，∴Ｂ（4,6），∵Ａ（，）、B(4，6）在抛物线ｙ=ax2+bｘ+6上,∴,解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣８x+６．（2)设动点P的坐标为（ｎ，n+２），则C点的坐标为（n,2ｎ２﹣8ｎ+6），∴PC＝(n＋2)﹣（２ｎ２﹣8n+6),=﹣2n2+9ｎ﹣4，=﹣2(n﹣)2+，∵PＣ＞0，∴当ｎ=时,线段PC最大且为.（3)∵△PAC为直角三角形，i)若点P为直角顶点，则∠APC=9０°.由题意易知,PC∥y轴，∠APC=45°,因此这种情形不存在；ii)若点A为直角顶点,则∠PＡC=9０°.如答图３﹣１,过点A（，)作AN⊥ｘ轴于点N，则OＮ=，AN＝.过点A作ＡM⊥直线AB，交x轴于点M,则由题意易知,△AMＮ为等腰直角三角形, ∴ＭN=AN=，∴OM=ON+MN=＋＝3,∴M（3，0)．设直线AM的解析式为:y=kx+b,则:，解得，∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为:y＝2ｘ２﹣8x+6 ②联立①②式，解得:x=3或ｘ=(与点Ａ重合，舍去）∴C(3，0），即点C、Ｍ点重合．当x=3时,ｙ=x+２=５,∴Ｐ1（３，5);iii）若点C为直角顶点,则∠AＣP=90°．∵y=2x２﹣8x＋6=２(x﹣2）２﹣２,∴抛物线的对称轴为直线x＝２．如答图3﹣2,作点A(，）关于对称轴ｘ=2的对称点Ｃ，则点C在抛物线上,且C(,）.当x=时，y=ｘ+2＝.∴P2（,）．∵点Ｐ1（3，5）、P2(,)均在线段AＢ上,∴综上所述,△ＰＡC为直角三角形时,点P的坐标为(３，5）或（,）.点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．３．（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中,抛物线经过点A（0,4)，B(１,0），C(5，0），其对称轴与x轴相交于点M．(１)求抛物线的解析式和对称轴;(２)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由；(３）连接AC,在直线AＣ的下方的抛物线上,是否存在一点N，使△ＮAC的面积最大？若存在，请求出点Ｎ的坐标;若不存在,请说明理由.考点: 二次函数综合题．专题: 压轴题.分析:(1)抛物线经过点A(0，4）,B（1，0),Ｃ(５，0)，可利用两点式法设抛物线的解析式为ｙ＝a(x﹣１）(x﹣5），代入A（0,4）即可求得函数的解析式,则可求得抛物线的对称轴;（2)点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4)，连接BA′交对称轴于点P，连接A Ｐ,此时△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式,即可得出点Ｐ的坐标．（３)在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t,此时点Ｎ(ｔ,t2﹣t+4）(0<ｔ<5），再求得直线AC的解析式,即可求得ＮG的长与△ＡCN的面积,由二次函数最大值的问题即可求得答案．解答:解:（1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1)（x﹣5），把点A（0，４）代入上式得:ａ=，∴y＝（x﹣1）(ｘ﹣5）＝x2﹣x+4＝(x﹣3）2﹣,∴抛物线的对称轴是：ｘ=3；(２)P点坐标为(3，)．理由如下：∵点Ａ（0，４),抛物线的对称轴是x＝３，∴点A关于对称轴的对称点Ａ′的坐标为（6,4)如图1,连接BＡ′交对称轴于点P，连接ＡP，此时△ＰAB的周长最小.设直线BA′的解析式为y=kx+b,把Ａ′（6,4),Ｂ（1,0）代入得，解得，∴ｙ＝x﹣,∵点P的横坐标为３，∴ｙ=×3﹣＝,∴Ｐ（3,）.（3)在直线AC的下方的抛物线上存在点Ｎ，使△NAC面积最大.设Ｎ点的横坐标为t，此时点N(t,t２﹣t+４）(０＜t＜５），如图2，过点N作ＮG∥y轴交AC于G；作ＡD⊥NG于D,由点A(０,4)和点Ｃ(5，０)可求出直线AC的解析式为:y=﹣ｘ＋４，把ｘ＝t代入得:y=﹣ｔ+4，则Ｇ（ｔ，﹣t＋4)，此时:NG=﹣t+4﹣（ｔ2﹣ｔ＋4）=﹣t2+4ｔ，∵AD+CＦ=CO=5，∴S△ACN=S△ＡNＧ+S△CGN=AＭ×ＮG+NG×ＣＦ=AＤ•OＣ＝×(﹣t2+4t)×5＝﹣２t2+１0t=﹣2(ｔ﹣）2+，∴当t=时，△ＣAN面积的最大值为，由t=，得：ｙ=t2﹣t＋4=﹣3,∴N(，﹣3）．点评:本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用.4．(2015•通辽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ａx２+bx+ｃ（a≠0)的顶点为B（2,1)，且过点A（0,２),直线ｙ=x与抛物线交于点D,Ｅ（点E在对称轴的右侧),抛物线的对称轴交直线y=x于点C,交ｘ轴于点G，EF⊥ｘ轴,垂足为Ｆ,点P在抛物线上,且位于对称轴的右侧，ＰQ⊥ｘ轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1)求该抛物线的解析式;（２）求点P的坐标；(３）求证:CＥ=EＦ；（４）连接PＥ,在x轴上点Q的右侧是否存在一点M,使△ＣＱＭ与△CPE全等？若存在,试求出点M的坐标;若不存在,请说明理由．［注：3+2＝（+1）２].考点: 二次函数综合题.专题: 压轴题.分析:(1）根据抛物线的顶点是(2,1）,因而设抛物线的表达式为ｙ＝ａ（ｘ﹣2)２+1,把Ａ的坐标代入即可求得函数的解析式；（2)根据△PCQ为等边三角形，则△ＣGＱ中,∠CQD=３０°，CG的长度可以求得,利用直角三角形的性质，即可求得CQ，即等边△CＱP的边长，则P的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得Ｐ的坐标；(3)解方程组即可求得E的坐标,则EＦ的长等于E的纵坐标,ＯE的长度，利用勾股定理可以求得,同理,OC的长度可以求得,则ＣE的长度即可求解；(4)可以利用反证法,假设x轴上存在一点,使△ＣQＭ≌△CＰE,可以证得ＥＭ＝EＦ，即M与F重合，与点E为直线y=ｘ上的点，∠ＣEF=45°即点Ｍ与点F不重合相矛盾，故M不存在.解答:解：（１)设抛物线的表达式为y=a(ｘ﹣２）2+1,将点Ａ（0，2）代入，得ａ（０﹣2)2+1=2, 解这个方程，得a=,∴抛物线的表达式为y＝（ｘ﹣2)2+1＝x2﹣x+2;（２）将x=2代入y=x,得y＝2∴点C的坐标为（２,2）即CG=2，∵△PCQ为等边三角形∴∠CＱP=6０°,CQ=PＱ,∵ＰＱ⊥x轴，∴∠CＱＧ＝30°，∴ＣQ=4，GQ＝２.∴ＯQ=2+2，PＱ=4，将y=4代入y=(x﹣２)2+1，得４=(x﹣２)2+1解这个方程,得ｘ１=２+2=OQ,ｘ２=2﹣2<0（不合题意，舍去).∴点P的坐标为(2+2，4)；(3)把y＝x代入y=x2﹣x+2，得x＝x2﹣x＋2解这个方程，得x1=４+2,x２＝4﹣2<２(不合题意,舍去）∴y=4+2＝EＦ∴点E的坐标为（4+2，４+2)∴ＯE=＝4+4,又∵OC==2,∴CＥ=OE﹣OＣ=4+２,∴CE＝EＦ；（4)不存在．如图，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，则CM=CＥ,∠QCM=∠ＰCＥ∵∠QCP＝60°,∴∠MCE＝６0°又∵ＣE＝EＦ,∴EM=EF,又∵点Ｅ为直线y=x上的点,∴∠CEＦ=４５°,∴点Ｍ与点F不重合．∵EＦ⊥x轴,这与“垂线段最短”矛盾，∴原假设错误,满足条件的点M不存在.点评:本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质,解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键．5.（２015•龙岩)如图,已知点D在双曲线ｙ＝（ｘ＞0)的图象上,以D为圆心的⊙D与ｙ轴相切于点C(０，4)，与x轴交于Ａ,Ｂ两点,抛物线ｙ＝ax2+bｘ+c经过Ａ,B,C三点,点P是抛物线上的动点,且线段AP与BC所在直线有交点Q．（1)写出点Ｄ的坐标并求出抛物线的解析式;(2)证明∠ACO＝∠ＯBC；（３）探究是否存在点P，使点Ｑ为线段AP的四等分点?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题.分析:（1)根据切线的性质得到点D的纵坐标是4，所以由反比例函数图象上点的坐标特征可以求得点D的坐标；过点D作DE⊥x轴,垂足为E,连接AD,BD,易得出Ａ,Ｂ的坐标，即可求出抛物线的解析式;(２）连接AC，tan∠ACＯ=＝,tan∠CBＯ＝=，即可得出∠ACＯ＝∠CBO．(３）分别过点Ｑ,P作ＱF⊥ｘ轴,PG⊥x轴,垂足分别为Ｆ,G,设P（t，t2﹣ｔ+4),分三种情况①AＱ:AP＝１:4，②AＱ:AP=2：４,③AQ：AＰ=3:4,分别求解即可．解答:解：(1）∵以D为圆心的⊙D与y轴相切于点Ｃ（0,4)，∴点D的纵坐标是4,又∵点D在双曲线y＝（ｘ＞0)的图象上，∴4=,解得x=５，故点D的坐标是(5,4）.如图1，过点D作ＤＥ⊥ｘ轴,垂足为E,连接AD,BＤ,在RT△DＡE中,DA=5，DＥ＝4,∴AE＝=3，∴OA=OE﹣ＡE=2，OB=OA+2ＡE=8，∴A（2，０)，B(8，0）,设抛物线的解析式为y=a（ｘ﹣2)(x﹣8），由于它过点C（0,4）, ∴a(0﹣2）(0﹣8）=4，解得a=,∴抛物线的解析式为y＝x2﹣ｘ+4．（2）如图2，连接AC，在RＴ△AOC中，ＯA=2,CO=４,∴tan∠ACＯ=＝，在RＴ△BOC中，OＢ=８，CＯ＝4，∴tan∠CＢO==，∴∠ACＯ＝∠CＢO.（3)∵Ｂ（8,0），C(0,４）,∴直线BC的解析式为y＝﹣ｘ+４,如图3，分别过点Ｑ，Ｐ作QF⊥x轴,PG⊥ｘ轴，垂足分别为F,Ｇ，设P(ｔ,ｔ2﹣ｔ+4）,①AQ:AP=1:４,则易得Q（，)，∵点Ｑ在直线y=﹣x+4上,∴﹣+4=,整理得t2﹣８ｔ﹣36=0，解得t1=4+2，t2=４﹣2，∴P１(４+2,1１﹣),P２（４﹣2,11＋)，②AＱ：AP=2:4，则易得Q（,），∵点Q在直线y＝﹣ｘ+4上，∴﹣•+4=，整理得t２﹣8t﹣12＝0，解得P3＝４＋2,P4=４﹣2,∴P3（4＋２，５﹣)，Ｐ4（4﹣2，5+）;③ＡQ：AP=３:４，则易得Q(，）,∵点Ｑ在直线y=﹣x+4上,∴﹣•+４＝,整理得t2﹣８t﹣4=０,解得t５=4＋2,t６＝4﹣2，∴P５(４+２,３﹣）,Ｐ6(4﹣2，3+），综上所述，抛物线上存在六个点P，使Q为线段AP的四等分点,其坐标分别为Ｐ1(4＋２，１1﹣),P2(4﹣2,11+）,P３(4+2，５﹣)，P４（4﹣2,５+）；P５（４＋2,3﹣），P6（4﹣2，3+).点评:本题主要考查了二次函数的综合题,涉及双曲线,一次函数，三角函数及二次函数的知识，解题的关键是分三种情况讨论求解.6．（20１５•甘南州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线ｙ=﹣x2+bｘ+c，经过A(0,﹣4),B（x1，０),C(x2,0)三点，且|ｘ2﹣ｘ１｜＝5．（1）求b，c的值；(2)在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以ＢC为对角线的菱形；(３）在抛物线上是否存在一点Ｐ,使得四边形BＰOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标,并判断这个菱形是否为正方形?若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题.专题：压轴题．分析:(１)把A(０，﹣4)代入可求c,运用两根关系及|x2﹣x1|=５,对式子合理变形，求ｂ;(2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；(3）由四边形BPOH是以OＢ为对角线的菱形,可得PH垂直平分OＢ,求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段ＯB的长度关系,判断是否为正方形即可.解答:解：（1）∵抛物线y＝﹣ｘ２+bｘ+c，经过点A(0，﹣4），∴ｃ=﹣4又∵由题意可知,x1、ｘ２是方程﹣x2+bｘ﹣４＝0的两个根,∴x１+x2=b,x１ｘ２＝6由已知得（x2﹣x1)2=２5又∵(x2﹣x1)2=（x2＋ｘ1）２﹣4x1x2=b2﹣24∴b2﹣24＝25解得ｂ＝±,当ｂ=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去.∴ｂ=﹣．（2)∵四边形ＢDCE是以ＢC为对角线的菱形，根据菱形的性质,点Ｄ必在抛物线的对称轴上，又∵y=﹣x２﹣x﹣4=﹣(x＋）2+，∴抛物线的顶点（﹣,)即为所求的点D．(3)∵四边形BＰOH是以OＢ为对角线的菱形,点B的坐标为（﹣6,0),根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与抛物线ｙ=﹣x2﹣x﹣4的交点，∴当x=﹣3时,y=﹣×(﹣３)2﹣×（﹣3）﹣４=4，∴在抛物线上存在一点P（﹣3,４）,使得四边形BPOH为菱形.四边形ＢPＯH不能成为正方形,因为如果四边形ＢPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3,3),但这一点不在抛物线上点评：本题考查了抛物线解析式的求法,根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的方法．7.(201５•镇江）如图,二次函数y＝ａx２+ｂｘ+c（ａ≠0）的图象经过点(0，３），且当x=1时，y有最小值2.（1)求a，b，c的值;（2)设二次函数ｙ＝ｋ（2ｘ＋2)﹣（ax2+bx+ｃ）（k为实数）,它的图象的顶点为Ｄ．①当k=１时,求二次函数ｙ=ｋ（2ｘ+2)﹣(ax２+bｘ+c)的图象与x轴的交点坐标;②请在二次函数y=ａx2+bx+c与y＝k(２x+2）﹣(ax２+bx＋c)的图象上各找出一个点Ｍ，Ｎ，不论ｋ取何值,这两个点始终关于ｘ轴对称，直接写出点Ｍ，N的坐标（点M在点Ｎ的上方)；③过点M的一次函数y=﹣ｘ+t的图象与二次函数y=ax2＋bx+ｃ的图象交于另一点P,当k为何值时,点D在∠ＮMＰ的平分线上？④当ｋ取﹣２，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线y=k（2x+２)﹣（ax2＋bx+ｃ)的顶点分别为(﹣1，﹣６,）,(0,﹣5）,(１，﹣２），（2，3),（３，１0)，请问:顶点的横、纵坐标是变量吗?纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？考点：二次函数综合题．专题: 压轴题．分析：（１）利用顶点式的解析式求解即可；(2）)①当ｋ=１时,y＝﹣ｘ2+4x﹣1,令y=0,﹣x2+4ｘ﹣１=0，解得x的值，即可得出图象与x轴的交点坐标；②ｙ=k（2x+2)﹣（ax2+bx＋ｃ)当经x=﹣1时，y=ax２+bｘ＋ｃ与y=ｋ（2ｘ+２)﹣。
二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)
_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； 2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进行判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况△ ＞ 0 与x 轴 交点 方程有 的实数根△ ＜ 0 与x 轴 交点 实数根 △ ＝ 0与x 轴 交点方程有 的实数根3、抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。
4、 常见考察形式1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆方法规律{平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
中考二次函数与几何图形动点问题--答案
二次函数与几何图形模式1：平行四边形 分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC //1、本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.2、如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．模式2：梯形分类标准：讨论上下底例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC //3、已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 32-=与边BC 相交于点D ．(1)求点D 的坐标；(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4、已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．模式3：直角三角形分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置例如：请在抛物线上找一点p 使得P B A 、、三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况 （1）当A ∠为直角时，AB AC ⊥ （2）当B ∠为直角时，BA BC ⊥ （3）当C ∠为直角时，CB CA ⊥5、如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．6：如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．模式4：等腰三角形分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点p 使得P B A 、、三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况 （1）当A ∠为顶角时，AB AC = （2）当B ∠为顶角时，BA BC = （3）当C ∠为顶角时，CB CA =7：已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ． （1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．AB COP QDy x8、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经过点B (12，0)和C (0，－6)，对称轴为x ＝2． (1)求该抛物线的解析式．(2)点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t (秒)和点Q 的运动速度；若存在，请说明理由．(3)在(2)的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．模式5：相似三角形突破口：寻找比例关系以及特殊角9、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BA ⊥AC ，∠B = 450，AD = 2，BC = 6，以BC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A 在y 轴上。
二次函数动点试题答案2
二次函数动点问题典型例题等腰三角形问题1. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB 交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（，），D（，）；②当m=时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．面积最大1. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．2．已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若直线CD△AB交抛物线于D点，求D点的坐标；（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．3. （2015•黔西南州）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y=﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．（1）求A、A′、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．最短路径1.（2014绵阳）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．2. （2014•泸州）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．平行四边形1. （2015•贵州省贵阳,第24题9分）如图，经过点C（0，﹣4）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣2，0），B两点．（1）a＞0，b2﹣4ac＞0（填“＞”或“＜”）；（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．2. （14分）（2015•葫芦岛）（第26题）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．3.（2015•辽宁抚顺）（第26题，14分））已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（﹣6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4.（2015•梧州,第26题12分）如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G 与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N 两点的横坐标．5. （2015•甘南州第28题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．角度问题1. （2015•宁德第24题14分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．函数应用1. （2015•广东茂名23，8分）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：1. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（，），D（，）；②当m=时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．面积最大1. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．2．已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若直线CD△AB交抛物线于D点，求D点的坐标；（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．3. （2015•黔西南州）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y=﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．（1）求A、A′、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．最短路径1.（2014绵阳）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．2. （2014•泸州）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．平行四边形1. （2015•贵州省贵阳,第24题9分）如图，经过点C（0，﹣4）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣2，0），B两点．（1）a＞0，b2﹣4ac＞0（填“＞”或“＜”）；（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．2. （14分）（2015•葫芦岛）（第26题）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．3.（2015•辽宁抚顺）（第26题，14分））已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（﹣6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4.（2015•梧州,第26题12分）如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G 与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N 两点的横坐标．5. （2015•甘南州第28题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．角度问题1. （2015•宁德第24题14分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．函数应用1. （2015•广东茂名23，8分）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：时间（第x天）1 3 6 10 …日销售量（m件）198 194 188 180 …②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：时间（第x天）1≤x＜50 50≤x≤90销售价格（元/件）x+60 100（1）求m关于x的一次函数表达式；（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日销售量×（每件销售价格﹣每件成本）】（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．相似三角形1. （2015•辽宁铁岭）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC 相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．解析式的应用1. （2015•天津,第25题10分）（2015•天津）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=l的怙况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．综合练习1. （2015•辽宁阜新）（第18题，12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点一、单项选择题（共70题，每题1分。
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二次函数的动点问题1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求正方形ABCD 的边长．（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．（4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =∠的点P 有 个．（抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．[解] （1）作BF y ⊥轴于F ．()()01084A B ，，，，86FB FA ∴==，．图①图②10AB ∴=．（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷=，．P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥．GA AP FA AB ∴=，即610GA t=．35GA t ∴=．3105OG t ∴=-．4OQ t =+，()113410225S OQ OG t t ⎛⎫∴=⨯⨯=+- ⎪⎝⎭． 即231920105S t t =-++． 19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值． 此时4763311051555GP t OG t ===-=，，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（8分）方法二：当5t =时，1637922OG OQ S OG OQ ====，，． 设所求函数关系式为220S at bt =++．抛物线过点()63102852⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，1001020286325520.2a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，31019.5a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩， 231920105S t t ∴=-++． 19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值． 此时7631155GP OG ==，，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（4）2．[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。
． 2. 如图①，Rt ABC △中，90B ∠=，30CAB ∠=．它的顶点A 的坐标为(100)，，顶点B 的坐标为(5，10AB =，点P 从点A 出发，沿A BC →→的方向匀速运动，同时点Q 从点(02)D ，出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求BAO ∠的度数．（2）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使90OPQ ∠=的点P 有几个？请说明理由．解: （1）60BAO =∠．（2）点P 的运动速度为2个单位/秒． （3）(10)P t -（05t ≤≤）1(22)(10)2S t t =+-2912124t ⎛⎫=--+⎪⎝⎭． ∴当92t =时，S有最大值为1214， 此时112P ⎛⎝⎭． （4）当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个． ①当点P 与点A 重合时，90OPQ <∠，当点P 运动到与点B 重合时，OQ 的长是12单位长度， 作90OPM =∠交y 轴于点M ，作PH y ⊥轴于点H ，由OPH OPM △∽△得：11.5OM ==， 所以OQ OM >，从而90OPQ >∠．所以当点P 在AB 边上运动时，90OPQ =∠的点P 有1个． ②同理当点P 在BC 边上运动时，可算得1217.8OQ =+=． （第29题图①）x t （第29题图②）而构成直角时交y 轴于35303⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，35320.217.83=>， 所以90OCQ <∠，从而90OPQ =∠的点P 也有1个． 所以当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个．3. （本题满分14分）如图12，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .解：（1）令0=x ，则4=y ；令0=y 则3=x ．∴()30A ，．()04C ， ∵二次函数的图象过点()04C ，， ∴可设二次函数的关系式为42++=bx ax y又∵该函数图象过点()30A ，．()10B -， ∴093404a b a b =++⎧⎨=-+⎩，．解之，得34-=a ，38=b ． ∴所求二次函数的关系式为438342++-=x x y （2）∵438342++-=x x y =()3161342+--x∴顶点M 的坐标为1613⎛⎫ ⎪⎝⎭， 过点M 作MF x ⊥轴于F∴AFM AOCM FOCM S S S =+△四边形梯形=()1013164213161321=⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯-⨯ ∴四边形AOCM 的面积为10 （3）①不存在DE ∥OC∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时12t <<，在Rt AOC △中，5AC =． 设点E 的坐标为()11x y ，∴54431-=t x ，∴512121-=t x ∵DE OC ∥， ∴t t 2351212=- ∴38=t∵38=t >2，不满足12t <<．∴不存在DE OC ∥．②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为1124423543=+++（秒） 现分情况讨论如下： ⅰ）当01t <≤时，2134322S t t t =⨯=； ⅱ）当12t <≤时，设点E 的坐标为()22x y ，∴()544542--=t y ，∴516362ty -= ∴t t t t S 5275125163623212+-=-⨯⨯=ⅲ）当2 <t <1124时，设点E 的坐标为()33x y ，，类似ⅱ可得516363ty -=设点D 的坐标为()44,y x∴532344-=t y ， ∴51264-=t y∴AOE AOD S S S =-△△512632151636321-⨯⨯--⨯⨯=t t =572533+-t ③802430=S47.关于x 的二次函数22(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方．（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式；（3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．参考资料：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，对称轴是直线2bx a=-． 解：（1）据题意得：240k -=，2k ∴=±．当2k =时，2220k -=>． 当2k =-时，2260k -=-<．又抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，2k ∴=．∴抛物线的解析式为：22y x =-+．函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可） （2）解：令220x -+=，得x =不0x <<112A D x =，2112A B x =-+，211112()244l A B A D x x ∴=+=-++．当x >222A D x =，2222(2)2A B x x =--+=-．222222()244l A D A B x x ∴=+=+-．l ∴关于x 的函数关系是：当0x <<2244l x x =-++；当x >2244l x x =+-．（3）解法一：当0x <<1111A B A D =，得2220x x +-=．解得1x =-（舍），或1x =-+将1x =-+2244l x x =-++，得8l =．当x >2222A B A D =，得2220x x --=．解得1x =，或1x =+将1x =+2244l x x =+-，得8l =．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当1x =时正方形的周长为8；当1x =（第26题）时，正方形的周长为8+．解法二：当0x <<1x =-∴正方形的周长11488l A D x ===．当x >1x =∴正方形的周长22488l A D x ===．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当1x =时正方形的周长为8；当1x =时，正方形的周长为8+． 解法三：点A 在y 轴右侧的抛物线上，0x ∴>，且点A 的坐标为2(2)x x -+，． 令AB AD =，则222x x -+=．∴222x x -+=，①或222x x-+=-②由①解得1x =-，或1x =-+由②解得1x =，或1x =+ 又8l x =，∴当1x =-+8l =；当1x =+8l =．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当1x =时正方形的周长为8；当1x =时，正方形的周长为8+．5.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．第26题图解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得第26题图(批卷教师用图)⎩⎨⎧0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23b ＝－83∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－83x ＋8（3）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m8∴EF ＝40－5m 4过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－12m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （4）存在．理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－12＜0，∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．6.（14分）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。