圆的方程及空间直角坐标系(讲义及答案)

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的方程及空间直角坐标系(讲义) >知识点睛

一、圆的方程

1. 圆的标准方程： ______________________ ,

圆心： ________, 半径：________.

2. 圆的一般方程：

圆心： 二、位置关系的判断

(1) 点与圆

由两点间的距离公式计算点到圆心的距离"，比较"，r 大小. ① 已知点Vo)与圆的标准方程(x-a}\(y'-b)-=r,

则计算矿二 _________________ ，比较沪，尸大小. ② 已知点P(xo, yo)与圆的一般方程X- + y- +Dx + Ey + F = 0 ,

则计算 _____________________ ,与0比较大小.

(2) 直线与圆

① 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离"，比较 ",r 大小.

② 联立直线与圆方程，得到一元二次方程，根△判断： 'A

.A = 0,直线与圆相切.

△ >0,直线与圆相交

(3)圆与圆

利用两点间的距离公式求圆心距d,结合两圆半径和〃的关系 判断.

三、常见思考角度

1. 直线与圆位置关系常见考査角度

(1)过定点求圆的切线方程

① 判断该点与圆的位置关系(若点在圆内，则无切线). ② 根据切线的性质求切线方程.

若点在圆上，则利用切线垂直于过切点的半径求切线方程： 若点在圆外，则分别讨论 ___________________ ,设点斜式 利用〃二r 建方程求解.[gl

（2）直线与圆相交求弦长

结合垂径定理和勾股定理，半径长厂圆心到直线的距离丛 弦长/满足关系式：厂2=〃2+（_厂

2

2. 圆与圆位置关系常见考査角度

（1） 两圆相交求公共弦所在直线方程

设圆G ：x2+y2 + DrV + Ej + F| = 0,

C2：x2+b+0x + E* + F2 = O,则公共弦所在直线的方程为 （0 — D? ）x + （E] — £*2） y + F[—尸2 = 0 -

（2） 两圆相交求公共弦长

求出公共弦所在直线方程及其中一圆圆心到公共弦的距离， 垂径定理、勾股定理结合求弦长.

四、轨迹方程

在平面直角坐标系中，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标 （X, y ）满足的关系式.

五、空间直角坐标系Ovvz （右手直角坐标系）

如图1, 0点叫做坐标原点，牙轴、y 轴、2轴叫做坐标 轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.

zn

六、空间直角坐标系中点的坐标

如图2,过点M 分别作垂直于X 轴，y 轴和Z 轴的平面，依 次交X 轴，y 轴和Z 轴于点P, e 和设点P, Q 和R 在牙 轴，y 轴和Z 轴上的坐标分别是X, y 和Z,那么点M 对应唯 —确定的有序实数组U ，y,刀.

有序实数组馆）* 201做点M 在此空间直角坐标系中的坐标， 记作MS ，y, z ）.其中X 叫做点M 的 __________ , y 叫做点 M 的 __________ , Z 叫做点M 的 __________ .

-1 -- B»

1 "Z C'

A

' B

C

>1 \ >1 0 X

七、空间两点间的距离公式

如图3,设空间直角坐标系中点P 的坐标是（兀，y, Z ）,则 IOPI = ____________________ .

如图4,设点£（易，y,, Z,）, RC E ，＞'2»空）是空间中任意两点, 则 IA A1= ___________________ .

A/ P 、 Pl

精讲精练

写出下列圆的标准方程：

(I)圆心在C(-3,4” 半径长为^/J•

(2)圆心在C(8,-3),且经过点M(5J)・

2 . 下列方程：

①W+y2-6x=0 ；②-2%+4 V-6=0 ；③W+y，二。；

@(X -4)' + y- -2 3' + 4 = 0 ；⑤尸+尤2+5厂4兀+5二0.

其中表示圆的是___________ -(填写序号)

3 . 已知圆的方程是(—3)2+0 + 2)2=25,则圆心为___________ ,半径为________ .点(5, -7)在_________ ，点(4,>/5-2)在_________ -(填"圆上"、"圆外"或"圆内")

4 . 圆*+)j2x+4y+1 =0的圆心是 ________ ,半径是

点(1, 3)在__________ ，点(1-5/3 , -1)在_

(填“圆上”、“圆外"或“圆内")

已知△Q4B的三个顶点的坐标分别是0(0, 0), 4(1, 1), B(4, 2),则它的外接圆的方程为____________________

已知直线方程为tnx-y-in-\=Q,圆的方程为卫+尸-4厂2卩+1=0・

(1)若直线与圆只有一个公共点，则册的值为 __________ ;

(2)若直线与圆有两个公共点，则用的取值范M 是•

过点(3, 1)作圆(L1)2+F=1的切线，则切线的方程是

圆F+y2-4x+4;v+6=0截直线%->-5=0所得的弦长为

已知圆 CI: A"+y"+2v+8y+1 =0» 圆 C?：xr+y~-4x+4y-1 =0r 则圆

Ci与圆C2的位置关系是_________ •

10.____________ 圆X+护T0L10\=0与圆”+)、2-6欠+2)-40=0

的公共弦长为. ()

9.