圆的方程及空间直角坐标系(讲义及答案)
九年级圆的知识点讲义
九年级圆的知识点讲义1. 什么是圆？圆是平面上所有到一个固定点距离都相等的点的集合。
这个固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
2. 圆的基本要素圆的基本要素包括圆心、半径、直径、弧和弦。
- 圆心：圆的中心点，用字母O表示。
- 半径：从圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
- 直径：穿过圆心的线段，并且两个端点都在圆上，直径的长度是半径的两倍，用字母d表示。
- 弧：圆上两点间的一段弯曲部分。
- 弦：圆上任意两点间直线段。
3. 圆的性质（1）半径相等性质：圆上任意两点之间的半径都相等。
（2）直径长为两倍性质：圆的直径长等于其半径的两倍，即d=2r。
（3）弧长和弧度性质：圆的弧长与圆心角的度数成正比，弧长等于圆周率π乘以半径的长度，用公式l = πr表示。
（4）圆周率π：π是一个无理数，大约等于3.14，用来计算圆的周长和面积。
4. 圆的坐标系表示圆可以在平面直角坐标系中表示为一个方程。
以圆心坐标为（h，k），半径为r的圆表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²5. 圆的相关公式和定理（1）周长计算公式：圆的周长等于直径乘以π，或等于2倍半径乘以π，用公式C = πd或C = 2πr表示。
（2）面积计算公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，用公式A = πr²表示。
（3）相交弧的性质：当两个圆相交时，它们的相交弧的度数之和等于360度。
（4）切线和半径垂直定理：切线和半径之间的夹角是直角。
6. 圆的应用圆在生活和科学中有广泛的应用，例如建筑结构中的圆形拱门、运动学中的圆周运动、天文学中的星体运动轨迹等等。
以上就是九年级圆的知识点讲义。
希望这份讲义能够帮助你更好地理解和掌握圆的相关知识。
圆的方程专题2：直线系与圆系方程-高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (解析版)
直线系与圆系方程1 直线系方程(1)过点(x0 ,y0)的直线系方程为A(x−x0)+B(y−y0)=0(其中A ,B不全为零)(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+C0=0(C≠C0)；(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx−Ay+C0=0；(4)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R , 这个直线系下不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0，解题时注意检验l2是否满足题意)【例】写出与直线x−2y+1=0平行、垂直的直线系方程.解与直线x−2y+1=0平行的直线系方程分别为x−2y+m=0，与直线x−2y+1=0垂直的直线系方程分别为2x+y+m=0.2 圆系方程(1)以(a ,b)为圆心的同心圆圆系方程：(x−a)2+(y−b)2=λ(λ>0)；(2)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心圆的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0；(3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)；(4)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0)特别地，当λ=−1时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.【例】直线l:x−2y+1=0，圆C1:x2+y2+2x−2y+1=0，圆C2:x2+y2+x+y= 0，写出过直线l与圆C1交点的圆系方程，过圆C1与圆C2交点的曲线方程，过圆C1与圆C2交点的公共弦方程.解过直线l与圆C1交点的圆系方程为x2+y2+2x−2y+1+λ(x−2y+1)=0，化简为x2+y2+(2+λ)x−(2+2λ)y+1+λ=0；过圆C1与圆C2交点的曲线方程x2+y2+2x−2y+1+λ(x2+y2+x+y)=0，化简为(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2+λ)x+(λ−2)y+1=0，令λ=−1，得过圆C1与圆C2交点的公共弦方程x−3y+1=0.3 过圆上一点的切线方程过圆上一点P(x0 ,y0)作圆⨀M:(x−a)2+(y−b)2=r2的切线l方程为(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2证明 向量法 向量PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x 0 ,b −y 0)，设切线上任意一点B(x ,y)，∵l ⊥PM ，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(a −x 0 ,b −y 0)(x −x 0 ,y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0即切线l 方程为(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0.∵(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a +a −x 0)+(b −y 0)(y −b +b −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a )+(a −x 0)2+(b −y 0)(y −y 0)+(b −y 0)2=0⇒(a −x 0)(x −a )+(b −y 0)(y −y 0)+r 2=0⇒(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2∴切线l 方程也可以写成(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2.【例】 求过点(1,−2)作圆(x +2)2+(y +1)2=1的切线方程.解 切线方程为(1+2)(x +2)+(−2+1)(y +1)=1，化简为3x −y +4=0.【题型一】直线系方程【典题1】求过两条直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)斜率为−12； (2)过点P(2,3)； (3)平行于直线3x +y =1．解析 直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点为(1,5)，方法一(1)当斜率为−12时，由直线的点斜式方程得：直线方程为y −5=−12(x −1)．直线方程为x +2y －11=0．(2)过点P(2,3)时，由两点式得：y －5=3−52−1(x －1)即为y =−2x +7．直线方程为2x +y −7=0．(3)平行于直线3x +y =1时，得直线斜率为k =－3，直线方程为y −5=−3(x －1)， 即直线方程为3x +y −8=0．方法二 由直线系方程可设所求直线为2x +3−y +λ(3x −y +2)=0(1) 2x +3−y +λ(3x −y +2)=0⇒(2+3λ)x −(λ+1)y +2λ+3=0直线的斜率为−12时，2+3λλ+1=−12，解得λ=−57， 故所求直线方程为x +2y －11=0．(2) 过点P(2,3)时，代入方程得4+5λ=0⇒ λ=−45，故所求直线方程为2x +y －7=0．(3) 平行于直线3x +y =1时，2+3λλ+1=−3，解得λ=−56,故所求直线方程为3x +y －8=0．点拨 此题是直线系问题.从本题来看，用直线系方程的方法求解对于一般的解法也没有优势，这里只是拓展大家的思路.【巩固练习】1.求过两直线x −2y +4=0和x +y −2=0的交点P ，且分别满足下列条件的直线l 的方程．(1)过点(2 ,1)； (2)和直线3x −4y +5=0垂直．答案 (1) x +2y −4=0 (2) 4x +3y −6=0解析 由{x −2y +4=0x +y −2=0 解得{x =0y =2，∴P(0 ,2)．(1)设过点P 的直线方程为x −2y +4+λ(x +y −2)=0，∵过点(2 ,1)，∴2−2+4+λ=0⇒λ=−4，故所求直线方程为x −2y +4−4(x +y −2)=0⇒x +2y −4=0.(2) 设所求直线为4x +3y +λ=0,∵过点P(0 ,2)，∴0+6+λ=0⇒λ=−6，故所求直线方程为4x +3y −6=0.【题型2】过圆上一点的切线方程【典题1】求过点P(−1 ,4)，圆(x −2)2+(y −3)2=1的切线l 的方程．解析 方法一 当直线l 斜率不存在时，方程为x =−1，显然不是切线，故可设切线方程为y =k (x +1)+4，∵直线l 与圆相切，∴圆心(2 ,3)到直线l 的距离等于半径1，故√1+k 2=1，解得k =0或−34，故所求直线l 的方程为y =4或3x +4y −13=0．方法二 如方法一，设切线方程为y =k (x +1)+4，由{y =k (x +1)+4(x −2)2+(y −3)2=1得(1+k 2)x 2+(2k 2+2k −4)x +k 2+2k −4=0其判别式∆=(2k 2+2k −4)2−4(1+k 2)(k 2+2k −4)=0 , 解得k =0或−34 ,故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．方法三因为切线过点P(−1 ,4)，故可设所求直线的方程为A(x+1)+B(y−4)=0(其中A ,B不全为零)，∵直线l与圆相切，=1∴圆心(2 ,3)到直线l的距离等于半径1，故√A2+B2,B≠0．整理，得A(4A−3B)=0，即A=0(这时B≠0)或A=34故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．点拨本题的方法很多，这里利用了直线系方程，过点(x0 ,y0)的直线系方程为A(x−x0)+ B(y−y0)=0(其中A ,B不全为零) , 它比起斜截式y=kx+b的设法好在不用对k的存在进行讨论.【巩固练习】1.求过点P(1 ,3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．答案x=1或5x+12y+31=0解析因为切线过点P(1 ,3)，故设所求直线的方程为A(x−1)+B(y−3)=0(其中A ,B不全为零)，=2，∵直线l与圆相切，∴圆心(−1 ,0)到直线l的距离等于半径2，故√A2+B2,≠0，整理得B(5B+12A)=0，即B=0(这时A≠0)或A=−512故所求直线l的方程为x=1或5x+12y+31=0．2. 求过点P(0,√3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．答案x+√3y−3=0.解析易发现点P(0,√3)在圆(x+1)2+y2=4上，故直线l的方程为(0+1)(x+1)+√3y=4，化简得x+√3y−3=0，即所求直线l的方程为x+√3y−3=0.【题型3】圆系方程【典题1】经过直线2x−y+3=0与圆x2+y2+2x−4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是．解析方法一(面积最小的圆是以两个交点为直径的圆)∵圆x2+y2+2x−4y+1=0的方程可化为(x+1)2+(y−2)2=4．∴圆心坐标为(−1 ,2)，半径为r=2；∴圆心到直线2x−y+3=0的距离为d=，√5设直线2x−y+3=0和圆x2+y2+2x−4y+1=0的交点为A ,B，则|AB|=2√r 2−d 2=2√4−15=√19√5，∴过点A ,B 的最小圆半径为√19√5，联立{2x −y +3=0x 2+y 2+2x −4y +1=0得5x 2+6x −2=0，故x 1+x 2=−65，则圆心的横坐标为：12(x 1+x 2)=−35，纵坐标为2×(−35)+3=95，∴最小圆的圆心为(−35 ,95)，∴最小圆的方程为(x +35)2+(y −95)2=195．方法二 依题意，可设过点A 、B 两点圆的方程为x 2+y 2+2x －4y +1+λ(2x −y +3)=0，(利用圆系方程把满足题意的所有圆表示出来，再用代数的方法求面积最小的圆) 整理得(x +λ+1)2+(y −4+λ2)2=54λ2+λ+4 若要使得圆的面积最小，则只需半径最小，即54λ2+λ+4取到最小值，而54λ2+λ+4=54(λ+25)2+195≥195，当λ=−25时取到最小值，此时圆的方程为(x +35)2+(y −95)2=195.点拨 本题是过直线与圆交点的圆系问题.方法一可以说是从几何的角度得出思路求解，而方法二算是“代数法”，略显简洁些.【典题2】 已知圆C 1：x 2+y 2=10与圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0．(1)求证：圆C 1与圆C 2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x +y −6=0上的圆的方程．解析 (1)证明：(圆心距C 1C 2∈(R −r ,R +r)⇔两圆相交)圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0化为标准方程为(x +1)2+(y +1)2=16∴C 2(−1 ,−1)，r =4∵圆C 1：x 2+y 2=10的圆心坐标为(0 ,0)，半径为R =√10∴|C 1C 2|=√2 ,∵4−√10<√2<4+√10，∴两圆相交；(2)(两圆方程相减所得方程即是公共弦所在直线方程)将两圆方程相减，可得2x +2y −4=0，即两圆公共弦所在直线的方程为x +y −2=0；(3)方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接)由{x 2+y 2+2x +2y −14=0x 2+y 2=10解得{x =3y =−1或{x =−1y =3，(这里还是有些计算量的)则交点为A (3 ,−1) ,B(−1 ,3)，∵圆心在直线x +y −6=0上，设圆心为P(6−n ,n)，则AP =BP ，解得n =3，故圆心P(3 ,3)，半径r =AP =4，∴所求圆的方程为(x −3)2+(y −3)2=16．方法二 设所求圆的方程为x 2+y 2+2x +2y −14+λ(x 2+y 2−10)=0(λ≠−1) 即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+2x +2y −14−10λ=0 ∴圆心坐标为(−11+λ ,−11+λ)代入直线x +y −6=0可得：−11+λ−11+λ−6=0，∴λ=−43∴所求圆的方程为x 2+y 2−6x −6y +2=0．点拨 此题是过圆与圆交点的圆系问题.① 两圆之间的位置关系看圆心距O 1O 2与两圆半径R 与r 之间的关系；② 过两圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0)特别地，当λ=−1(即两圆方程相减)时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.③ 方法的选取在于思考难度、计算量、严谨性性等.【巩固练习】1.求经过原点，且过圆x 2+y 2+8x －6y +21=0和直线x －y +7=0的两个交点的圆的方程．答案 x 2+y 2+5x －3y =0解析 (1)设圆的方程为x 2+y 2+8x －6y +21+λ(x －y +7)=0，代入(0,0)，可得21+7λ=0，∴λ=－3，∴圆的方程为x 2+y 2+8x －6y +21－3(x －y +5)=0，即x 2+y 2+5x －3y =0.2.求经过圆x 2+y 2+8x －6y +21=0与直线x －y +5=0的交点且在y 轴上的弦长为2√33的圆的方程．答案 x 2+y 2−2x +4y −29=0或x 2+y 2+26x −24y +111=0解析 设所求的圆的方程为(x 2+y 2+8x −6y +21)+k(x −y +5)=0，且与y 轴的交点坐标为y 1、y 2，令x =0得(y 2−6y +21)+k(−y +5)=0，化简得y 2−(k +6)y +21+5k =0， ∴y 1+y 2=k +6，y 1⋅y 2=5k +21，由|y 1−y 2|=2√33两边平方得(y 1+y 2)2－4y 1⋅y 2=132，∴(k +6)2－4(5k +21)=132，化简得k 2－8k －180=0，解得k =－10或k =18，∴所求圆的方程为(x 2+y 2+8x −6y +21)－10(x −y +5)=0，或(x 2+y 2+8x −6y +21)+18(x −y +5)=0，∴所求圆的方程为x 2+y 2−2x +4y −29=0或x 2+y 2+26x −24y +111=0.3.求经过两圆x 2+y 2+6x −4=0和x 2+y 2+6y −28=0的交点，并且圆心在直线x −y −4=0上的圆的方程．答案 x 2+y 2−x +7y －32=0解析 设经过两圆x 2+y 2+6x −4=0和x 2+y 2+6y −28=0的交点的圆的方程，为(x 2+y 2+6x －4)+λ(x 2+y 2+6y －28)=0，即x 2+y 2+61+λx +6λ1+λy −4+28λ1+λ=0， 则它的圆心坐标为(−31+λ,−3λ1+λ)．再根据圆心在直线x −y −4=0上，可得−31+λ+3λ1+λ−4=0，解得λ=−7，故所求的圆的方程为x 2+y 2−x +7y －32=0．4.已知圆C 1：x 2+y 2−3x −3y +3=0，圆C 2：x 2+y 2−2x −2y =0．(1)求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．(2)求过两圆交点且面积最小的圆的方程． 答案 (1) x +y −3=0,√6 (2) (x −32)2+(y −32)2=32解析 (1)设两圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则A 、B 两点的坐标是圆C 1：x 2+y 2−3x −3y +3=0，圆C 2：x 2+y 2−2x −2y =0，联立方程组的解，两方程相减得：x +y −3=0，∵A 、B 两点的坐标都满足该方程，∴x +y −3=0为所求．将圆C 2的方程化为标准形式，(x −1)2+(y −1)2=2，∴圆心C 2(1,1)，半径r =√2． 圆心C 2到直线AB 的距离d =√2=√2，|AB|=√6．即两圆的公共弦长为√6．(2)C 1(32,32),C 2(1,1)，直线C 1C 2方程：x −y =0．{x −y =0x +y −3=0，交点为(32,32)， 即为圆的圆心，半径r =√32， 所以圆的方程是：(x −32)2+(y −32)2=32．【A 组---基础题】1.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程：l 1：x −2y +2=0，l 2：2x −y −2=0；答案 y =x解析 方法一 方程组{x −2y +2=02x −y −2=0得{x =2y =2所以，l 1与l 2的交点是(2,2)．设经过原点的直线方程为y =kx ，把点(2,2)的坐标代入以上方程，得k =1，所以所求直线方程为y =x ．方法二 过直线l 1与l 2的交点的直线可设为x −2y +2+λ(2x −y −2)=0因为过原点，故2−2λ=0⇒λ=1，则所求直线方程为y =x .2.已知直线x +2y =0与圆x 2+y 2−2x =0的交点为A 、B ，(1)求弦长AB ；(2)求过A 、B 两点且面积最小的圆的方程．答案 (1) 45√5 (2) (x −45)2+(y +25)2=45解析 (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则直线x +2y =0与圆x 2+y 2−2x =0联立，消去x ，可得5y 2+4y =0，∴y 1=0,y 2=−45,∴{x1=0y 1=0,{x 2=85y 2=−45，∴|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=45√5.(2)所求圆的圆心为AB 中点C(45,−25)，所求面积最小的圆的方程是(x −45)2+(y +25)2=45.3.求圆心在直线3x +4y −1=0上，且过两圆x 2+y 2−x +y －2=0与x 2+y 2=5交点的圆的方程．答案 x 2+y 2+2x −2y −11=0解析设所求圆的方程为(x2+y2−x+y−2)+m(x2+y2−5)=0．整理得(1+m)x2+(1+m)y2−x+y−2−5m=0．圆心坐标为(12(1+m),−12(1+m))代入3x+4y−1=0得m=−32，∴所求圆的方程为x2+y2+2x−2y−11=0．4.过圆x2+y2=4内一点A(1 ,1)作一弦交圆于B、C两点，过点B、C作圆的切线PB、PC，求点P的轨迹方程.答案x+y=4解析设B(x1,y1),C(x2,y2)，P(x0,y0)，则过圆x2+y2=4上的B,C点的切线方程分别为：xx1+yy1=4,xx2+yy2=4，P点在切线上；∴x0x1+y0y1=4，x0x2+y0y2=4；∴直线BC的方程为：xx0+yy0=4；直线BC过点A(1,1)；∴x0+y0=4；∴点P的轨迹方程为x+y=4．故答案为：x+y=4．5.已知点M(2,－2)，圆O：x2+y2=3(O为坐标原点)．(1)求经过M，以及圆O与圆x2+y2+3x=0交点的圆的方程；(2)过点M向圆O引两条切线，切点分别为A,B，求直线AB的方程．答案(1)3x2+3y2−5x−14=0(2) 2x−2y=3.解析(1)设圆的方程为x2+y2+3x+λ(x2+y2−3)=0，因为点M(2,－2)在圆上，所以λ=−145，所求圆的方程是3x2+3y2−5x−14=0；(2)以MO为直径的圆C的方程为x2+y2−2x+2y=0，则由圆系方程可知圆C与圆O方程相减即得直线AB方程为是2x−2y=3．若切点弦的公式可直接得到2x−2y=3.6.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x−3y−3=0截得的弦长为2√3．(1)圆C的方程；(2)设P是直线x+y+4=0上动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P ,C 三点的圆必过定点，并求所有定点坐标．答案(1)(x−2)2+y2=4 (2)(−1 ,−3)和(2 ,0)解析(1)设圆C的圆心为(a,0)，则圆心到直线l的距离d=|4a−3|5．由题意可得，d2+(√3)2=r2，即(4a−3)225+3=4，解得a =2或a =−12(舍)．∴圆C 的方程为(x −2)2+y 2=4；(2)证明：∵P 是直线x +y +4=0上的点，∴P(m,−m −4)．∵PA 为圆的切线，∴PA ⊥AC,即过A,B,C 三点的圆是以PC 为直径的圆．设圆上任意一点Q(x,y)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m,y +m +4)，CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y)，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m)(x −2)+y(y +m +4)=0，即x 2+y 2－2x +4y +m(－x +y +2)=0．故{x 2+y 2−2x +4y =0−x +y +2=0，解得{x =−1y =−3或{x =2y =0．因此经过A,P,C 三点的圆必过定点(－1,－3)和(2,0)．【B 组---提高题】1.已知圆C ：x 2+y 2=1，直线l ：x +y +2=0，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A,B ，则直线AB 过定点( )A ．(−12,−12)B ．(−1,−1)C ．(−12,12)D ．(12,−12)答案 A解析 根据题意，P 为直线l ：x +y +2=0上的动点，设P 的坐标为(t,−2−t)，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A,B ，则PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C(0,0),P(t,−2−t)，则以PC 为直径的圆的方程为x(x −t)+y(y +2+t)=0， 变形可得：x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，则有{x 2+y 2=1x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，联立可得：1−tx +(t +2)y =0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，即直线AB 的方程为1+2y −t(x −y)=0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，则有{1+2y =0x −y =0，解可得{x =−12y =−12，故直线AB 过定点(−12,−12)，故选：A ．2.已知圆C 的方程为(x +2)2+y 2=4，点M 在圆C 上运动，点N 的坐标是(2,0)．(1)若线段MN 的中点形成的轨迹为G ，求轨迹G 的方程；(2)点P在直线x=8上，过P点引轨迹G的两条切线PA、PB，切点为A、B，求证：直线AB恒过定点．答案(1)x2+y2=1(2) (18,0)解析(1)设线段MN的中点(x,y)，则M(2x−2,2y)∵NM在圆(x+2)2+y2=4上运动∴(2x−2+2)2+(2y)2=4,即x2+y2=1①；(2)连接OA,OB，∵PA,PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP,OB⊥BP，∴A,B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为(8,b),b∈R，则线段OP的中点坐标为(4,b2)∴以OP为直径的圆方程化简得：x2+y2－8x－by=0,b∈R，②∵AB为两圆的公共弦，∴①－②得：直线AB的方程为8x+by=1,b∈R，即8(x−18)+by=0，则直线AB恒过定点(18,0)．【C组---拓展题】1.已知直线l：y=kx−2，M(−2 ,0) ,N(−1 ,0)，O为坐标原点，动点Q满足|QM||QN|=√2，动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与圆O：x2+y2=2交于不同的两点A ,B，当∠AOB=π2时，求k的值；(3)若k=12，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点．答案(1)x2+y2=2(2) ±√3(3)(12,−1)解析(1)设点Q(x ,y)，依题意知|QM||QN|=√(x+2)2+y2√(x+1)2+y2=√2 ，整理得x 2+y 2=2，∴曲线C 的方程为x 2+y 2=2；(2)∵点O 为圆心，∠AOB =π2，∴点O 到l 的距离d =√22r ，∴√k 2+1=√22⋅√2⇒k =±√3 ；(3)由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， (对角互补的四边形的四顶点共圆)设P(t ,12t −2)，则圆心(t 2 ,t 4−1)，半径√t 24+(t4−1)2得(x −t 2)2+(y −t 4+1)2=t 24+(t 4−1)2即x 2−tx +y 2−(12t −2)y =0 又C 、D 在圆O ：x 2+y 2=2上∴l CD ：tx +(12t −2)y −2=0即 (x +y2)t −2y −2=0(直线CD 是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程) 由{x +y 2=02y +2=0得 {x =12y =−1，∴直线CD 过定点(12 ,−1).。
圆的方程专题讲义
圆的方程专题讲义一、知识梳理圆的定义与方程注意：1确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．()(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()(6)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．()题组二：教材改编2．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －3)2＋(y －1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝13．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为_______．题组三：易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞)5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <1C ．a >1或a <－1D ．a ＝±46．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1三、典型例题题型一：圆的方典例 (1)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为__________．(2)已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为______________． 思维升华：(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练 一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．题型二：与圆有关的最值问题典例 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值．引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值． 2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．思维升华：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －b x －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练：已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上．(1)求y x的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值与最小值．题型三：与圆有关的轨迹问题典例已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．思维升华：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．跟踪训练 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．注意：利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．四、反馈练习1．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝1162．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0 3．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝44．若a ∈}431,0,2{ ，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C．1＋22D．2＋226．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝17．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．8．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．9．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．10．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为22，在y轴上截得的线段长为2 3. (1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．12．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|P A|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．14．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为55，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为_________________．。
高中数学竞赛讲义第十章 直线与圆的方程【讲义】
第十章 直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。
如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件,列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角,叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00,倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：1=+b y a x ；（5）两点式：121121y y y y x x x x --=--；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p（其中θ为法线倾斜角,|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角）,t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号,若P 0P 方向向上则取正,否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2,将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ,夹角为α,则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。
圆的方程-讲义
圆与方程1 圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2 圆的方程(1) 标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2，圆心(a ,b)，半径为r.(2) 一般方程x2+y2+D x+E y+F=0 (D2+E2−4 F>0)(3) 求圆方程的方法(i) 待定系数法先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ,b ,r；若利用一般方程，需要求出D ,E ,F；(ii) 直接法直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.3 点与圆的位置关系(1) 设点到圆心的距离为d，圆半径为r，a.点在圆内⇔ d<r；b.点在圆上⇔ d=r ；c.点在圆外⇔ d>r .(2) 给定点M(x0 ,y0)及圆C:(x−a)2+(y−b)2=r2.◆M在圆C内⇔(x0−a)2+(y0−b)2<r2；◆M在圆C上⇔(x0−a)2+(y0−b)2=r2；◆M在圆C外⇔(x0−a)2+(y0−b)2>r2.(3) 某点M到圆⊙O上点N的距离若点M在圆内，则MN min=MN1=r−OM，MN max=MN2=r+OM；若点M在圆外，则MN min=MN1=OM−r，MN max=MN2=OM+r；4 直线、圆的位置关系(1) 三种位置关系(2) 根据d与r的关系判断(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径.)◆相离⇔没有公共点⇔ d>r;◆相切⇔ 只有一个公共点⇔ d=r;◆相交⇔ 有两个公共点⇔ d<r.(3) 联立方程求判别式的方法联立直线方程与圆的方程{A x+B y+C=0x2+y2+D x+E y+F=0求解，通过解的个数来判断：◆当Δ>0时，直线与圆有2个交点，直线与圆相交；◆当Δ=0 时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；◆当Δ<0 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离.(4) 圆上一点到圆外一直线的距离若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PE min=P1F=d−r，PE max=P2F=d+r.5 弦长弦长公式：AB=2 √r2−d2(r是圆的半径，d是圆心O到直线l的距离).利用垂径定理及勾股定理可以得到.【题型一】求圆的方程【例题1】若圆C过点(0 ,−1) ,(0 ,5)，且圆心到直线x−y−2=0的距离为2 √2 ，求圆C的标准方程.【例题2】已知A(−1 ,0)，B(3 ,2)，C(0 ,−2)，则过这三点的圆方程为.课堂练习1已知圆x2+y2+ax+by+1=0关于直线x+y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，则a+ b＝.2圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为.3过点A(1 ,1)， B(−3 ,5)，且圆心在直线2x+y+2=0上的圆的半径是.【题型二】点与圆的位置关系【例题1】若点P的坐标是(5cosθ,4sinθ)，圆C的方程为x2+y2=25，则点P与圆C的位置关系是()A．点P在圆C内B．点P在圆C上C．点P在圆C内或圆C上D．点P在圆C上或圆C外【例题2】若实数x,y满足x2+y2+4x−2y−4=0，则√x2+y2的最大值是.课堂练习1若点M(m,m−1)在圆C：x2+y2−2x+4y+1=0内，则实数m的取值范围为．2在圆(x－2)2+(y+3)2=2上与点(0,－5)距离最大的点的坐标是．3在平面内，一只蚂蚁从点A(－2,－3)出发，爬到y轴后又爬到圆(x+3)2+(y−2)2=2上，则它爬到的最短路程是．4已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上，则√(x−1)2+(y−1)2的最大值为．5已知点P(3,a)，若圆O：x2+y2=4上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是．6设点M(x0 ,1) , 若圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=30∘，那x0的取值范围．7如果圆(x−a)2+(y−a)2=8上总存在到原点的距离为√2的点，那实数a的取值范围．8在平面直角坐标系xOy中，已知点P(0,1)在圆C：x2+y2+2mx−2y+m2−4m+1= 0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为．【题型三】直线与圆的位置关系【例题1】若圆C：x2+y2−2x+2y=2与直线x−y+a=0有公共点，则a的取值范围是．【例题2】求过点P(−1,4)，圆(x−2)2+(y−3)2=1的切线l的方程．【例题3】已知两点A(−1,0)、B(0,2)，若点P是圆(x−1)2+y2=1上的动点，则△ABP 面积的最大值和最小值之和为．【例题4】已知圆C：(x−√3)2+(y−3)2=3，过直线√3x−y−6=0上的一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值为．课堂练习1点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外，则直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系是() A．相切B．相交C．相离D．不确定2已知过点P(2,2)的直线l与圆(x−1)2+y2=5相切，则直线l的斜率为()A．1B．12C．2D．−123【多选题】已知点P在圆(x−5)2+(y−5)2=16上，点A(4,0),B(0,2)，则() A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|=3√2D．当∠PBA最大时，|PB|=3√24已知圆C：x2+y2−2y=0，P为直线l：x−y−2=0上任一点，过点P作圆C的切线PT(T 为切点)，则|PT|最小值是．5过直线x+y−2√2=0上的点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两切线的夹角为60°，则点P的坐标为．6直线x+y+a=0与半圆y=−√1−x2有两个交点,则a的值是．7若圆x2+y2−2x−2y=0上至少有三个不同点到直线l：y=kx的距离为√2，则k的取值2范围．8已知P(x,y)是圆(x−1)2+(y−2)2=r2(r>0)上任意一点，若|3x−4y|+|3x−4y+ 16|是定值，则实数r的取值范围是．9已知⊙C：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：x+2y+2=0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为．10若P为直线x−y+4=0上一个动点，从点P引圆C：x2+y2−4x=0的两条切线PM,PN(切点为M,N)，则|MN|的最小值是．【题型四】弦长问题【例题1】已知圆的方程为(x−1)2+(y−1)2=9 ，P(2 ,2)是该圆内一点，过点P的最长弦与最短弦分别是AC和BD，求四边形ABCD的面积.【例题2】设O为原点，直线y=kx+2与圆x2+y2=4相交于A,B两点，那△ABO面积最大值为．课堂练习1 直线x−y+3=0被圆(x+2)2+(y−2)2=2截得的弦长等于．2已知圆心在x轴上，半径为√5的圆位于y轴右侧，且截直线x+2y=0所得弦的长为2，则圆的方程为．3已知直线l：y=m(x−2)+2与圆C：x2+y2=9交于A、B两点，则弦长|AB|的最小值为．4已知圆C：x2+y2−4x−2y+1=0及直线l：y=kx−k+2(k∈R)，设直线l与圆C相交所得的最长弦长为MN，最短弦为PQ，则四边形PMQN的面积为．。
圆的方程及空间直角坐标系(习题及答案)
圆与方程及空间直角坐标系（习题） 1.方程2220x y ax by c ++-+=表示圆心为C (2，2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为（）A ．2，4，4B ．-2，4，4C ．2，-4，4D ．2，-4，-42.若方程224250x y x y k +-++=表示圆，则k 的取值范围是（）A ．1k >B ．1k <C ．1k ≥D ．1k ≤3.已知圆C 的圆心在直线l ：x -2y -1=0上，并且经过原点和A (2，1)，则圆C 的标准方程是_____________________．4.已知点A (1，2)在圆22230x y x y m ++++=内，则m 的取值范围是_________．5.直线30x y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（）A ．33-或B ．333-或C ．333-或D ．3333-或6.已知圆x 2+y 2=4，直线l ：y =x +b ．若圆x 2+y 2=4上恰有3个点到直线l 的距离都等于1，则b 的值为______________．7.过点M (3，0)作圆22(1)(1)5x y -+-=的切线，则切线的方程为_________________________．8.已知圆C 的圆心是直线x -y +1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x +y +3=0相切．则圆C 的方程为______________．9.过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（）A ．3B ．2C ．6D ．2310.若⊙O 1：x 2+y 2=m （0m >）和⊙O 2：2268110x y x y ++--=有公共点，则实数m 的取值范围是___________________．11.已知点A (-1，0)，点B (2，0)，动点C 满足|AC |=|AB |，则点C与点P (1，4)所连线段的中点M 的轨迹方程为_____________．12.在空间直角坐标系中，点A (1，2，-3)关于x 轴的对称点为（）A ．(1，-2，-3)B ．(1，-2，3)C ．(1，2，3)D ．(-1，2，-3)13.在空间直角坐标系中，已知A(1，0，2)，B(1，-3，1)，在z，则M点的坐标为（）轴上存在点M，使得MA MBA．(0，0，3)B．(0，0，-3)C．(0，0，-6)D．(0，0，6)14.若A(1，-2，1)，B(4，2，3)，C(6，-9，4)，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形15.已知圆的一条直径的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证：此圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．16.如图在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz ．（1）若点P 在线段BD 1上，且满足13BP BD ，试写出点P 关于平面Oxz 的对称点P′的坐标；（2）线段C 1D 中点为M ，求点M 到点P 的距离．【参考答案】1.B 2.B 3.226129()()51020x y -+-=4.m ＜﹣135.C 6.22-或7.26y x =-8.22(1)2x y ++=9.D 10.1≤m ≤12111.229(2)4x y +-=12.B 13.B 14.C 15.略16.（1）221'()333P -，，；（2）22。
2.圆的方程与位置关系-讲义版
课程主题：圆的方程与位置【知识点】一、圆的方程形式（1）圆的标准方程：)0()()(222>=-+-r r b y a x ，其中（,a b ）是圆心坐标，r 是圆的半径；（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ），圆心坐标为(,)22D E--，半径为2242D E Fr +-=．注:①确定圆的方程需要有三个互相独立的条件，通常也用待定系数法；②圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义，使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识；③圆的直径式方程：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，其中1122(,),(,)A x y B x y 是圆的一条直径的两端点．二、点、线、圆与圆的位置关系 （一）点与圆：点00(,)P x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点在圆内⇔222()()x a y b r -+-< (2)点在圆上⇔222()()x a y b r -+-= (3)点在圆外⇔222()()x a y b r -+-= （二）直线与圆:1．直线l ：0(,Ax By C A B ++=不全为0），圆C ：222()()x a y b r -+-=， 圆心到直线的距离为d ，直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：d r >⇔直线与圆相离；d r =⇔直线与圆相切；d r <⇔直线与圆相交．（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，组成方程组，消元后得到关于x （或关于y ）的一元二次方程，设其判别式为∆，则0∆<⇔直线与圆相离；0∆=⇔直线与圆相切；0∆>⇔直线与圆相交． 2．若点00(,)P x y 为圆上一点，则过点P 的切线方程为.0220000=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++F y y E x x D y y x x 或200))(())((r b y b y a x a x =--+-- 课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程3．直线被圆截得弦长的求法：（1）几何法：运用弦心距d 、半径r 及弦的一半构成直角三角形，计算弦长AB =222r d - （2）代数法：用一般的弦长公式AB 212(1)k x +-． （三）圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1，r 2，|O 1O 2|为圆心距，则两圆位置关系如下：①|O 1O 2|>r 1+r 2⇔两圆外离； ②|O 1O 2|=r 1+r 2⇔两圆外切； ③| r 1-r 2|<|O 1O 2|< r 1+r 2⇔两圆相交； ④| O 1O 2 |=| r 1-r 2|⇔两圆内切； ⑤0<| O 1O 2|<| r 1-r 2|⇔两圆内含．【课堂演练】题型一 圆的方程例1 圆222460x y x y ++--=的圆心和半径分别是（ ） A ．(1,2)-11 B ．(1,2)11C ．(1,2)--11 D ．(1,2)-11练1 圆心在y 轴上，半径为1，且过点()1,2的圆的方程是（ ） A ．()2221x y +-=B ．()2221x y ++=C ．()2231x y +-=D ．()2231x y ++=练2 下列方程中圆心在点(2,3)P -，并且与y 轴相切的圆是（ ） A ．22(2)(3)4x y -++= B ．22(2)(3)4x y ++-= C ．22(2)(3)9x y -++= D ．22(2)(3)9x y ++-=练3 已知一个圆的圆心坐标标为)3,2(-，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则该圆的标准方程是（ ） A ．13)3()2(22=-++y x B ．52)3()2(22=-++y xC ．52)3()2(22=++-y x D ．13)3()2(22=++-y x例2 圆心在y x =-上且过两点(2,0)，(0,4)-的圆的一般方程为 ．练4 已知圆经过点()2,3A -和()2,5--两点，若圆心在直线230x y --=上，求圆的方程．练5 已知圆经过点()1,1A 和()2,2B -两点，若圆心在直线10x y -+=上，求圆的方程．例3 求经过直线0=+y x 与圆084222=--++y x y x 的交点，且经过点)2,1(--P 的圆的方程．练6 求过点()()()1,03,00,1A B C -、、的圆的方程．练7 求过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程． （1）过原点；（2）有最小的面积．题型二 点与圆的位置关系例4 点(1,2-a a )在圆22240x y y +--=的内部，则a 的取值范围是（ ） A ．11a -<<B ．01a <<C ．115a -<<D ．115a -<< 练8 点P 2(,5)m 与圆2224x y +=的位置关系是（ ）A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．不确定练9 已知圆22222(1)0x y ax y a +--+-=(01a <<)，则原点O 与圆的位置关系为 ．例5 圆O 的方程为22(3)(4)25x y -+-=，点(2,3)到圆上的最大距离为 ．练10 已知某个点与圆的最近距离与最远距离分别为2，8，则此圆的半径为 ．练11 实数x ，y 满足()()14322=-+-y x ，则22y x +的最小值是 ．题型三 直线与圆的位置关系 ➢ 相离例6 直线3480x y +-=与圆()22(2)31x y -+-=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法判断练12 直线4y x =+与圆()22(5)38x y -+-=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．无法判断例7 圆2244100x y x y +---=上的点到直线80x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．18 B ．62C ．52D ．42练13 圆222210x y x y +--+=上的点到直线40x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ） A 2 B 21C ．2D 21➢ 相切例8 设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ ） A ．4±B ．22±C ．2±D ．2±练14 以点()1,1-为圆心且与直线0x y -=相切的圆的方程为（ ） A ．()()22112x y -++= B ．()()22114x y ++-=C ．()()22111x y -++= D ．()()22114x y -++=练15 以点（2，1-）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为（ ） A ．()()22213x y -++= B ．()()22213x y ++-= C ．()()22219x y -++= D ．()()22219x y ++-=例9 从圆22(1)(1)1x y -+-=外一点(2,3)P 向这个圆引切线，则切线长为 ．练16 连过原点O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为 ． ➢ 相交例10 已知集合A ＝{(,)x y |,x y 为实数，且221x y +=}，B ＝{(,)x y |,x y 为实数，且1x y +=}，则A ∩B 的元素的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1练17 已知直线k x y +=2和圆422=+y x 有两个交点，则k 的取值范围是（ ） A ．55k -<< B ．0k = C ．25k > D ．2525k -<<例11 已知圆C ：22230x y x ay +++-= (a 为实数)上任意一点关于直线l ：20x y -+=的对称点都在圆C 上，则a = ．练18 圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=（a 、b R ∈）对称，则a b 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例12 圆224460x y x y +-++=截直线05=--y x 所得弦长为（ ）A 6B ．225 C ．1 D ．5练19 圆()()221+14x y --=截直线2y x =-所得弦长为 ．例13 过点(3,1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦,其中最短的弦长为 ．练20 过点()2,1-P 的直线l 将圆036422=-+-+y x y x 截成两段弧，若其中劣弧的长度最短，那么直线l 的方程为 ．题型四 圆与圆的位置关系例14 圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．外切 C ．相离 D ．内切练21 圆221x y +=和圆()()221416x y +++=的位置关系是（ ）A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离练22 若224a b +=，则两圆22()1x a y -+=和22()1x y b +-=的位置关系是 ．练23 若圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线l 的方程是（ ）A ．0x y +=B ．20x y +-=C ．20x y --=D ．20x y -+=．【课后巩固1】1．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（ ） A ．()2,3 B ．()2,3- C ．()2,3-- D ．()2,3-2．已知圆C 的圆心坐标为()2,1-，半径长是方程()()140x x --=的解，则圆C 的标准方程为（ ） A ．()()22124x y ++-= B ．()()22214x y -+-= C ．()()222116x y -++= D ．()()222116x y ++-=3．过三点()()()1,3,4,2,1,7A B C -的圆交y 轴于,M N 两点，则MN =（ ） A ．62 B ．8C ．64D ．104．点()1,1--在圆()()224x a y a ++-=的内部，则a 的取值范围是（ ） A ．11a -<< B ．01a << C ．11a a <->或 D ．1a =±5．直线420ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．无法判断6．已知圆221:4C x y +=，圆222:68160C x y x y ++-+=，则圆1C 和圆2C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切7．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴，过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（ ） A ．2 B ．24C ．6D ．1028．已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ） A ．－2B ．－4C ．－6D ．－89．过圆222440x y x y +-+-=内一点()3,0M 作圆的交线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是（ ） A ．30x y +-= B ．30x y --= C ．430x y --= D ．430x y +-=10．圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 ．11．圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程 ．12．求经过点()6,4P -，且被圆2220x y +=x 2+y 2=20截得的弦长为26的直线方程．【课后巩固2】1．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） A ．1)1()1(22=-+-y x B ．1)1()1(22=+++y x C ．2)1()1(22=+++y x D ．2)1()1(22=-+-y x2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点()1,2的圆的方程是（ ） A ．()2221x y +-=B ．()2221x y ++=C ．()2231x y +-=D ．()2231x y ++=3．若()2,1P -为圆()22:125C x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是(A )A ．30x y --=B ．230x y +-=C ．10x y +-=D ．250x y --=4．若圆1:221=+y x C 与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则=m （ ）A ．21B ．19C ．9D ．﹣115．直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是（ ） A ．)12,0(- B ．)12,12(+- C ．)12,12(+-- D ．)12,0(+6．直线230x y --=与圆C ：()222(3)9x y -++=交于E F 、两点，则ECF ∆的面积为（ ）A ．32B ．34C ．355D ．57．已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=，当直线l 被圆C 截得的弦长为23a 是（ ） A 2B ．22-C 21D 218．设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点)1,3(P ，则直线AB 的方程为 ．9．A B 、为直线y x =与圆221x y +=的两个交点，则AB 等于 ．10．圆()()22415x y -+-=内一点()30P ，，则过P 点的最短弦的弦长为 ；最短弦所在直线方程为 ．11．圆8)1(22=++y x 内有一点()2,1-P ,AB 过点P ，若弦长72=AB ，求直线AB 的倾斜角α；【课后巩固3】1．已知圆C 的方程为2224200x y x y +-+-=，则其圆C 和半径r 分别为（ ） A ．()1,2,5C r -= B ．()1,2,5C r --= C ．()1,2,25C r = D ．()1,2,25C r -=2．已知圆M 与直线340x y -=及34100x y -+=都相切，圆心在直线4y x =--上，则圆M 的方程为（ ） A ．()()22311x y ++-=B ．()()22311x y -++= C ．()()22311x y +++= D ．()()22311x y -+-=3．已知圆22:240C x y x y +--=，则下列点在圆C 内的是（ ） A ．()4,1 B ．()5,0 C ．()3,4 D ．()2,34．直线4y x =+与圆()()2238x a y -+-=相切，则a 的值为（ ） A ．3B ．22C ．35或-D ．35-或5．“直线y x b =+与圆221x y +=相交”是“01b <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知圆的方程为2260x y x +-=，过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．47．如果圆()()228x a y a -+-=上存在一点P 到直线y x =-2，则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．3C ．32D ．33-或8．若直线2x y -=被圆()224x a y -+=所截得的弦长为22a 的值为（ ） A ．－13B ．1或3 C ．－2或6 D ．0或49．圆221x y +=与圆()()221416x y +++=的位置关系是（ ） A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离10．过点()1,1-的圆2224200x y x y +---=的最大弦长与最小弦长的和为（ ） A ．17B ．18C ．19D ．2011．如果把直线20x y λ-+=向左平移1个单位，再向下平移2个单位，便与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值等于 ．12．一直线过点33,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且被圆2225x y +=所截得的弦长为8，则此直线方程为 ．13．已知直线L ：0382=---m y mx 和圆C ：02012622=++-+y x y x ，m 取何值时，L 被C 截得弦长最短，求此弦长．。
【原创讲义】圆与方程(全面详细)
同学们我们在初中的时候已经学习了圆的几何性质，今天开始我们从代数坐标系的角度再来学习圆的一些性质.1.圆的要素：在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.因此，确定一个圆的基本要素是圆心与半径，即位置与大小.2.圆的定义：描述一：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆.描述二：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 如图所示：O 为定点（圆心），P 为动点()r b y a x =-+-⇒22)(根据点到点距离公式我们将上面这个方程平方也就得到了圆的标准方程.3.圆的标准方程： ()().11)0,0(),()0(22222称为单位圆的圆半径单位圆：我们把圆心为，半径圆心＞=+==-+-y x r rb a r r b y a x理解：所说的标准方程其实也只是圆方程的一种书写形式，该方程的优势体现在能直观的看出圆心和半径长.其中标准方程的右边必须大于零才能表示圆，如果等于零，方程表示的只是一个点),(b a .现在我们将圆的标准方程括号去掉化简就可以得到圆的一般方程.※圆与方程4.圆的一般方程：24-2204-0222222F E D r ED FE DF Ey Dx y x +=--+=++++），圆心（＞圆的判别式：一般方程：.022项，也没有的系数相同且与理解：xy y x ≠图像不存在＜③表示点②表示圆＞①一般方程：配方⇒+--⇒=+⇒++=+++−−→−=++++04-)2,2(04-04-44-)2()2(022*********2F E D ED FE DF E D FE D E y D xF Ey Dx y x圆的标准方程与一般方程在形式上存在区别，但又可以通过配方将二者相互转化.5.圆的参数方程：（一般用于求最值）()()[)πθθθθθθ2.0(sin cos sin cos 1)()()0(222222∈⎩⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-⇒=-+-−−−−−−→−=-+-为参数，圆的参数方程＞等号左右两边同除以b r y a r x rb y r a x rb y r a x r r b y a x r圆成立的条件很重要:0422＞F E D -+例1:写出以下方程的圆心、半径、参数方程再作出图像，将标准方程化为一般方程，将一般方程化为标准方程.[)()⎩⎨⎧∈+====+-+=-+πθθθ2,02sin cos 1)2,0(0341)2(2222y x r y y x y x ，圆心一般方程：例：064)1(22=+-+y x y x 022)2(22=-++y x y x2)1()2)(3(22=-++y x 31)33()4(22=++y x2)1()1)(5(22=++-y x 0)6(22=++-y y x x例2：的取值范围是表示圆，则方程m m y mx y x 052422=+-++ .例3：写出下列圆的方程.2),1,2()1(半径长是圆心- .1),,0()2(半径长是圆心m -.),,()3(a b a 半径长是圆心- .1,)4(半径长是轴圆心在x.,012)5(轴相切的圆且与上圆心在直线y y x =+-)2,0(),3,2()6(为圆直径的两个端点分别.)4,3(),2,1(),5,0()7(三个点圆的方程求过---C B A.)5,2(),3,2(,032)8(的圆的标准方程且过点上求圆心在---=--B y x类型一：点与圆位置关系()()())(0)()3()(0)()2()(0)()1(),(002020********020********0202202000r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x y x ＞＞或＞点在圆外＜＜或＜点在圆内或点在圆上点++++-+-⇒++++-+-⇒==++++=-+-⇒.,011122的取值范围求始终存在公共点与圆：直线例a ay x y x kx y =+++++=例2：一束光线从点)1,1(-A 出发x 轴反射，到达圆1)3()2(:22=-+-y x C 上一点的最短距离是多少？：例3已知圆1)3()2(221=-+-y x C ：，圆9)4()3(222=-+-y x C ：，N M 、分别是圆21C C 、上的动点，P 是x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为？：例4若点),15(a a M +在圆26)1(22=+-y x 的内部，则实数a 的取值范围是？1：图形表示与判断方法关系 相交 相切 相离图 像几 何 法r d ＜r d =r d ＞联立方程方程组两个解方程组一个解方程组无解直线与圆交点个数两个公共点一个公共点没有公共点判别式法0＞∆0=∆0＜∆：例1直线2+=kx y 与圆122=+y x 没有公共点，求k 的取值范围？：例2不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是？：例3若圆4)1(22=+-y x 关于直线022=+-+m y x 对称，则实数m 的值为？关系 外离外切相交内切内含图 像几 何 法d 为圆心距21r r d +＞21r r d +=2121r r d r r +-＜＜21r r d -=210r r d -≤＜公切线 四条三条两条一条无位置 关系几个结论(1)经过圆()()222r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--.(掌握)(2)已知圆222r y x =+的切线的斜率为k ，则圆的切线方程为12+±=k r kx y .（了解） (3)切点弦方程：过圆()()222r b y a x =-+-外一点),(00y x P 引圆的两条切线，切点分别为B A 、，则过B A 、的直线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--(掌握)(4)圆与圆公共弦方程：()0)(00212121222222111221=-+-+-=++++=++++F F y E E x D D F y E x D y x O F y E x D y x O ：公共弦，该直线方程为若两圆相交，则有一条：与圆：圆(5)弦长公式ak d r AB ∆⋅+=-=22212 )(为平方项的系数为斜率，其中a k（6）半圆、直线、射线、点29x y -= 0)2(22=-+y y x x ()042222=-++y x x241y x -=- ()04122=-+-+y x y x 22x y --=类型一：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1.已知圆1)1(22=+-y x O ：，求过点)2,2(P 与圆O 相切的切线方程．2.两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．3.过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
高考数学一轮复习第八章第二节第1课时系统知识__圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系讲义含解析
第二节圆与方程第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系1．圆的定义及方程点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.[提醒] 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．[谨记常用结论]若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：当F＝0时，圆过原点.当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上.当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点.当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切.[小题练通]1.[人教A版教材P124A组T4]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________．答案：(x－2)2＋y2＝102.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为________________．答案：(x －1)2＋(y －1)2＝13.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，2335．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－2，2)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 答案：x 2＋y 2－2x ＝01．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d )2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.(3)切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ard.[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3．圆的弦问题直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.(2)代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|.[谨记常用结论]过直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝D 2＋E 2－4F ＞交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λAx ＋By ＋C ＝0.,[小题练通]1.[教材改编题]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.[教材改编题]直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交C ．相离D ．随a 的变化而变化解析：选B ∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．3.[教材改编题]已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是________．解析：由题意知点M 在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．答案：相交4.[易错题]过点(2,3)且与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________________． 解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝05．以M (1,0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋y 2＝86．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 2圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)[提醒] 涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．[谨记常用结论]圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交时：将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； 两圆圆心的连线垂直平分公共弦；x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λx 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0表示过两圆交点的圆系方程不包括C 2[小题练通]1.[人教A 版教材P133A 组T9]圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦的长为________．答案：2 22.[教材改编题]若圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a ＝________.答案：±25或03.[教材改编题]圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.解析：由题意，得2r＝32＋－2，所以r＝10 2.答案：10 24.[易错题]若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．答案：[1,121]5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y －4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有( ) A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝7－32＋[1－－2]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.。
第2章 2.3.1 圆的标准方程-人教B版(2021)高中数学选择性必修第一册讲义
2.3 圆及其方程2.3.1圆的标准方程学习目标核心素养1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点) 3．掌握点与圆的位置关系．(重点)4．圆的标准方程的求解．(难点) 1．通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养．1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径．确定一个圆的条件：(1)圆心；(2)半径．2．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．3．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞r d＝r d＜r[提示]若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．()(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9．()[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．(2)错误．当m＝0时，不表示圆．(3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3．2．(教材P101练习A①改编)圆心为O(－1,1)，半径为2的圆的方程为() A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4C[将O(－1,1)，r＝2代入圆的标准方程可得．]3．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定A[∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是．x2＋(y－2)2＝1[设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，又点(1,2)在圆上，所以(2－b)2＋1＝1，∴b＝2，故方程为x2＋(y－2)2＝1．]直接法求圆的标准方程【例1(1)圆心在点C(－2,1)，且过点A(2，－2)；(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．[思路探究]只要确定圆心坐标和半径即可求得圆的标准方程．[解](1)所求圆的半径r＝|CA|＝(2＋2)2＋(－2－1)2＝5．又因为圆心为(－2,1)，所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25．(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a ＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝(4－2)2＋(0＋3)2＝13，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13．确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.[跟进训练]1．求圆心在x轴上，半径为5且过点A(2，－3)的圆的标准方程．[解]设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25，因为点A(2，－3)在圆上，所以有(2－a)2＋(－3)2＝25，解得a＝－2或a＝6，所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25或(x－6)2＋y2＝25．待定系数法求圆的标准方程【例(1)圆心在y＝0上且过两点A(1,4)，B(3,2)；(2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)．[思路探究]由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a，b，r三个参数．[解](1)设圆心坐标为(a，b)，半径为r，则所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．∵圆心在y ＝0上，故b ＝0，∴圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2．又∵该圆过A (1,4)，B (3,2)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋16＝r 2，(3－a )2＋4＝r 2， 解得a ＝－1，r 2＝20．∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20．(2)设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ (2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.故所求圆的标准方程为 (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程((x －a )2＋(y －b )2＝r 2)→列方程组(由已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组)→解方程组(解方程组，求出a 、b 、r )→得方程(将a 、b 、r 代入所设方程，得所求圆的标准方程)．[跟进训练]2．求经过点A (10,5)，B (－4,7)，半径为10的圆的方程．[解] 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝100，将A 、B 两点代入得⎩⎪⎨⎪⎧(10－a )2＋(5－b )2＝100 ①(－4－a )2＋(7－b )2＝100 ② ①－②得7a －b －15＝0，即b ＝7a －15 ③将③代入得：a 2＋8－6a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝100或(x －4)2＋(y －13)2＝100． 圆的标准方程的实际应用[思路探究] 桥是圆拱桥，可通过建立适当的平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，然后根据圆的对称性求水面宽度．[解] 以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x 轴，以过拱顶的竖直直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，则O (0,0)，A (6，－2)．设圆的标准方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2(r ＞0)．将A (6，－2)的坐标代入方程得r ＝10，∴圆的标准方程为x 2＋(y ＋10)2＝100．当水面下降1米后，可设点A ′(x 0，－3)(x 0＞0)．将A ′(x 0，－3)代入圆的标准方程，求得x 0＝51，∴水面下降1米，水面宽为2x 0＝251≈14．28(米)．解决圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面[跟进训练][解]以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x 轴，过圆心且垂直于直径AB的直线为y轴，建立直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2．7代入圆方程，得y＝16－2.72＝8.71＜3，即在离中心线2．7米处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道．与圆有关的最值问题[1．若P(x，y)为圆C：(x＋1)2＋y2＝14上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值．[提示]原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12．2．若P (x ，y )是圆C ：(x －3)2＋y 2＝4上任意一点，请求出P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．[提示] P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，圆心C (3,0)，圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，所以点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2．【例4】 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3．求y x 的最大值和最小值．[思路探究] y x 的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得．[解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设y x ＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝±3．故y x 的最大值为3，最小值为－3．1．在本例条件下，求y －x 的最大值和最小值．[解] 设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6．故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6．2．在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．[解]x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝(2－3)2＝7－43．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题.(2)形如l＝ax＋by(b≠0)形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ab＋lb截距的最值问题.(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝m．当m＞0时，表示圆心为C(a，b)，半径为m的圆；当m＝0时，表示一个点C(a，b)；当m＜0时，不表示任何图形．2．确定圆的方程的方法及步骤(1)直接代入法，根据已知条件求圆心坐标和半径．直接写出圆的标准方程．(2)待定系数法：第一步：设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．第二步：根据条件列方程组求待定系数a，b，r．第三步：代入所设方程中得到圆的标准方程．3．在实际应用问题求解过程中，应灵活运用几何性质(如弦的垂直平分线过圆心、半弦长、弦心距、半径长构成的勾股关系)．4．重点掌握的方法(1)求标准方程的方法．(2)求与圆相关的最值的方法．1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标()A．(2,1)B．(2，－1)C．(－2,1) D．(－2，－1)B[结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，－1)．]2．以(2 020,2 020)为圆心，2 021为半径的圆的标准方程为()A．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212B．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 0212C．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 021D．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 021A[由圆的标准方程知(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212．]3．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为．a＞1或a＜－15[因为(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，所以4a2＋(a－2)2＞5，解得a＞1或a＜－15．]4．点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是．(x＋2)2＋y2＝10[因为点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋1＝m．∴m＝10，即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10．]5．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2，3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，求圆M的方程．[解]∵|MA|＝(－1－3)2＋(1－4)2＝5，|MB|＝(1－3)2＋(0－4)2＝25，|MC|＝(－2－3)2＋(3－4)2＝26，∴|MB|＜|MA|＜|MC|，∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，∴圆的半径r＝|MA|＝5，∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25．。
圆的方程 - 中档 - 讲义
圆的方程知识讲解一、圆的标准方程⑴以点(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程：222()()x a y b r -+-=⑵圆心在原点的圆的标准方程：222x y r +=二、圆的一般方程方程：220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->）① 说明：⑴2x 和2y 项的系数相等且都不为零； ⑵没有xy 这样的二次项．⑶表示以(,)22D E -- a)当2240D E F +-=时，方程①只有实根2D x =-，2E y =-，方程①表示一个点(,)22D E -- b)当2240D EF +-<时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形三、圆的参数方程概念：cos ,(sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数)叫做圆的参数方程．特别地，当0,a b ==即圆心在原点，圆的参数方程式为cos ,(sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数)．圆的参数方程，其实质是三角换元．当涉及有关最值或取值范围问题时，可设圆上的点参数，这样可把代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识来处理．四、圆心的三个重要的几何性质 1.圆心在过切点且与切线垂直的直线上．2.圆心在模一条弦的中垂线上．3.两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．五、判断点与圆的位置关系的方法 1. 圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，圆心(,)A a b ，半径r ，若点00(,)M x y 在圆上，则22200()()x a y b r -+-=；若点00(,)M x y 在圆外，则22200()()x a y b r -+->；若点00(,)M x y 在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．反之，也成立．2. 利用几何法来判断点与圆的位置关系．当点M 到圆心的距离大于圆的半径，则若点M 在圆外；当点M 到圆心的距离小于圆的半径，则若点M 在圆内；当点M 到圆心的距离等于圆的半径，则若点M 在圆上．即AM r >⇔点M 在圆外；AM r <⇔点M 在圆内；AM r =⇔点M 在圆上典型例题一．选择题（共6小题）1．（2011•大纲版）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4 B． C．8 D．2．（2016•平度市一模）圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）2=2或（x+1）2+（y﹣1）2=23．（2015•陕西校级二模）圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5 D．（x+1）2+（y+1）2=54．（2017•腾冲县校级二模）已知圆x2+y2﹣2x+4y+1=0和两坐标轴的公共点分别为A，B，C，则△ABC的面积为（）A．4 B．2 C． D．5．（2017•河南二模）以（a，1）为圆心，且与两条直线2x﹣y+4=0与2x﹣y﹣6=0同时相切的圆的标准方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5 B．（x+1）2+（y+1）2=5 C．（x﹣1）2+y2=5 D．x2+（y﹣1）2=56．（2017•南开区模拟）圆心在y轴上，且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是（）A．x2+y2+10y=0 B．x2+y2﹣10y=0 C．x2+y2+10x=0 D．x2+y2﹣10x=0二．填空题（共5小题）7．（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．8．（2016•浙江）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是，半径是．9．（2014•陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（2010•新课标）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为．11．（2016•安徽模拟）已知直线l过圆x2+y2﹣6y+5=0的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是．三．解答题（共4小题）12．（2015春•宜昌期末）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，1）和B（2，0），线段AB的垂直平分线交该圆于C、D两点，且|CD|=10（Ⅰ）求直线CD的方程；（Ⅱ）求圆P的方程．13．（2010秋•徐州期末）已知过点A（﹣1，4）的圆的圆心为C（3，1）．（1）求圆C的方程；（2）若过点B（2，﹣1）的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程．14．（2016秋•武清区期末）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，（Ⅰ）若直线l1过定点A（1，0），且与圆C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x+y﹣2=0上，且与圆C外切，求圆D 的方程．15．（2016秋•濮阳期末）一圆与y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且直线y=x 截圆所得弦长为，求此圆的方程．。
圆的概念及相关定理(讲义及答案)
圆的概念及相关定理（讲义）➢知识点睛1.平面上到_____的距离等于_____的所有点组成的图形叫做圆，其中，_____称为圆心，_____称为半径；圆O记作_____．2.圆中概念：弧：_________________________，弧包括______和_______；弦：_______________________________________________；圆周角：___________________________________________；圆心角：___________________________________________；弦心距：___________________________________________．3.圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是_________________________；圆是中心对称图形，其对称中心为_______．4.圆中基本定理：*（1）垂径定理：_____________________________________ ______________________________________________；推论：_______________________________________________________________________________________；总结：知二推三①_______________________________，②_____________________，③____________________，④_____________________，⑤____________________．（2）四组量关系定理：在_____________________中，如果_______________、______________、_______________、_______________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（3）圆周角定理：___________________________________．推论1：________________________________________．推论2：________________________________________，_______________________________________________．推论3：_______________________________________．注：四边形的四个顶点都在圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．➢精讲精练1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ） A ．CM =DMB ．CB ︵=BD ︵C ．∠ACD =∠ADCD ．OM =MB第1题 第2题2. 如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC，若AB ，求⊙O 的半径． 3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__________mm ．4. 如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，垂足为E ，连接OB ，CB ．已知⊙O的半径为2，AB =，则∠BCD =_______．AD BO ECB第4题图 第5题图5. 如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD =50°，则∠ACD =________．6. 一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100 m ，测得圆周角∠ACB =45°，则这个人工湖的直径AD 为________．7. 如图，E 为正方形ABCD 的边CD 的中点，经过A ，B ，E 三点的⊙O 与边BC 交于点F ，P 为AB ︵上任意一点．若正方形ABCD 的边长为4，则sin P 的值为__________．8. 如图，点D 为边AC 上一点，点O 为边AB 上一点，AD =DO ．以O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交AC 于另一点E ，交AB 于F ，G 两点，连接EF ．若∠BAC =22°，求∠EFG 的度数．ADF ECO G B9. 如图，已知四边形A B CD 内接于⊙O ，如果它的一个外角∠DCE =64°，那么∠BOD 的度数为__________．10. 如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A =55°，∠E =30°，则∠F =___________．与圆有关的位置关系➢ 知识点睛与圆有关的位置关系，关键是找d ．和r ．． 1. 点与圆的位置关系d 表示__________的距离，r 表示___________． ①点在圆外：_____________； ②点在圆上：_____________； ③点在圆内：_____________． 2. 直线与圆的位置关系d 表示__________________的距离，r 表示__________． ①直线与圆相交：____________； ②直线与圆相切：____________； ③直线与圆相离：____________．切线的性质定理：__________________________________； 切线的判定定理：__________________________________ __________________________________________________． 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的__________，内切圆的圆心是_____________________，叫做三角形的_______．➢ 精讲精练1. 矩形ABCD 中，AB =8，BC=P 在AB 边上，且BP =3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ） A ．点B ，C 均在圆P 外B ．点B 在圆P 外、点C 在圆P 内 C ．点B 在圆P 内、点C 在圆P 外D ．点B ，C 均在圆P 内2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，BC =4 cm ，以点C 为圆心，以3 cm长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是__________．CBA3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4．以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 有且只有一个公共点，则R 的取值范围是_________________． 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，∠CDB =20°，过点C 作⊙O的切线，交AB 的延长线于点E ，求∠E 的度数．A5.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P=40°，则∠ACB=_______．E第5题图第6题图6.如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A=______．7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为___________．圆中计算及综合➢知识点睛1.圆中的计算公式弧长公式：____________________．扇形面积公式：①________________；②________________．圆锥的侧面积公式：_________________________________．圆锥的全面积公式：__________=__________+__________．扇形及其所围圆锥间的等量关系：①________________________________________________；②________________________________________________．➢精讲精练1.如图，⊙O的半径是1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是___________．2.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路径长为______．（结果保留π）l 3.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是________．【参考答案】圆的概念及相关定理➢知识点睛1.定点；定长；定点；定长；⊙O2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧；优弧；劣弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角；顶点在圆心的角叫做圆心角；圆心到弦的距离叫做弦心距3.任意一条过圆心的直线；圆心4.（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；过圆心的直线；垂直于弦；平分弦；平分优弧；平分劣弧（2）同圆或等圆；两个圆心角；两条弧；两条弦；两个弦心距（3）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形对角互补➢精讲精练1. D2.⊙O3.84.30°5.40°6.7.3 58.∠EFG的度数为33°．9.128°10.40°与圆有关的位置关系及圆内接正多边形➢知识点睛1.点到圆心；圆的半径；d＞r；d=r；d＜r2.圆心O到直线l；圆的半径；d＜r；d=r；d＞r圆的切线垂直于过切点的半径；过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；过圆外一点所画的圆的两条切线长相等； 内切圆；三角形三条角平分线的交点；内心➢ 精讲精练1. C2. 相交3. 3＜R ≤4或125R =4. ∠E 的度数为50°．5. 110°6. 99°7. 68°圆中计算及综合➢ 知识点睛1. 180n r l π=；2360n r S π=；2lRS =（l 为弧长）；S =πlr （l 为母线长，r 为底面半径）；全面积；侧面积；底面积；圆锥的底面周长等于扇形的弧长；圆锥的侧面积等于扇形面积➢ 精讲精练1.25π2. (4π3. 6π。
圆方程讲义
一、 圆的方程22222222222()(),)+40040+40x a y b r a b r D E F x y Dx Ey F D E F D E F ⎧-+-=⎪⎧->⎪⎪⎨++++=+-=⎨⎪⎪⎪-<⎩⎩标准式：，（为圆心，为半径：圆圆的方程方程式：：点：无意义 例题1、方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是-----------------。
例题2、已知两点)3,6()9,4(21P P 和，求以21P P 为直径的圆的方程。
例题3、已知圆C 的半径为17，圆心在直线02=--y x 上，且过点（－2，1），求圆C 的方程。
二、直线与圆的关系222d r d r d r AB r d ⎧=⎧⎪⎪>⎨⎪⎪⎪<⎩⎪⎨=-⎪⎪⎪⎪⎩相切：直线与圆的位置关系相离：相交：直线与圆弦长公式：切线问题：利用圆心到直线的距离等于半径求解例1、 若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则弦长AB 的长度为（ ）3、切线问题：当斜率存在的时候，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程，求出k ；当斜率不存在时，结合图形求出。
（1）若点),(00y x 在圆222)()(r b y a x =-+-的外面，则设切线方程为（2）若点),(00y x 位于圆上，若圆的方程是222R y x =+，则切线方程为 ；若圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，则切线方程为 ；若圆的方程为022=++++F Ey Dx y x 。
则切线方程为 ；（3）若切线斜率为k ，则圆222r y x =+的切线方程为 。
例5、已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆的方程讲义圆C 的方程为 。
例6、设直线l 过点（－2，0），且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率为 。
例7、设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值 。
高一数学(文)圆和圆的位置关系、空间直角坐标系苏教版知识精讲
高一数学（文）圆和圆的位置关系、空间直角坐标系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：圆和圆的位置关系、空间直角坐标系二. 教学目标：1、理解并掌握圆与圆的五种位置关系，并能用圆心距和半径之间的大小关系来判断圆与圆的位置关系。
2、了解空间直角坐标系的定义、建立方程、会用空间直角坐标系刻画点的位置。
3、掌握空间两点间的距离公式及空间两点间中点坐标公式。
三. 知识要点：（一）圆和圆的位置关系1、外离2、外切3、内切4、相交5、内含判断方法：第一步 计算两圆的半径12,r r ；第二步 计算两圆的圆心距d ；第三步 根据d 与12,r r 之间的关系，判断两圆的位置关系。
12d r r >+⇔圆和圆外离 12d r r =+⇔圆和圆外切1212r r d r r -<<+⇔圆和圆相交 12d r r =-⇔圆和圆内切 12d r r <-⇔圆和圆内含二、空间点的直角坐标系 1、空间直角坐标系的定义过定点O ，作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)；统称坐标轴。
通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z 轴，当右手的四指从正向x 轴以90角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O 叫做坐标原点。
（如下图所示）说明：（1）三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。
过x 轴与y 轴，y 轴与z 轴及z 轴与x 轴的平面分别称为： xOy 面，yOz 面，zOx 面。
（2）三个坐标平面将空间分成八个卦限。
空间直角坐标系共有八个卦限2、空间点和坐标设点M 为空间一已知点。
我们过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P 、Q 、R ，这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为x 、y 、z 。
2019高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程第1课时圆的标准方程讲义含解析新人教A版必修2
第1课时圆的标准方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P118～P120，回答下列问题．(1)圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆．定点就是圆心，定长就是半径．圆心和半径．圆心：确定圆的位置；半径：确定圆的大小．(2)求圆的标准方程时常用哪些几何性质？提示：求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：①弦的垂直平分线必过圆心．②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．③圆心与切点的连线长是半径长．④圆心与切点的连线必与切线垂直．2．归纳总结，核心必记(1)圆的标准方程①圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．②确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．③圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．(2)点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则[问题思考]方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b，r∈R)表示一个圆吗？为什么？提示：未必表示圆．当r≠0时，表示圆心为(a，b)，半径为|r|的圆；当r＝0时，表示一个点(a，b)．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)圆的标准方程是什么？怎样求解？；(2)点与圆有哪些位置关系？.“南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米．[思考1] 游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？ 提示：一样．圆上的点到圆心的距离都是相等的，都是圆的半径．[思考2] 若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x ，y )的坐标满足什么关系？提示：x 2＋y 2＝1532.[思考3] 以(1,2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x ，y )满足什么关系？ 提示：x －2＋y －2＝3.[思考4] 确定圆的标准方程需具备哪些条件？名师指津：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a ，b )是圆的定位条件，半径r 是圆的定量条件．讲一讲1．求过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的标准方程．(链接教材P 120－例3)[尝试解答] 法一：设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由已知条件知⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋－b2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法二：设点C 为圆心，∵点C 在直线x ＋y －2＝0上， ∴可设点C 的坐标为(a,2－a )． 又∵该圆经过A ，B 两点， ∴|CA |＝|CB |. ∴a －2＋－a ＋2＝a ＋2＋－a －2，解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1,1)，半径长r ＝|CA |＝2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法三：由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0)，k AB ＝1－－－1－1＝－1，∴弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，∴AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)， 即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1,1)， 圆的半径为－2＋[1－－2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法： (1)待定系数法，如法一，建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程； (2)借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．练一练1．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；(2)圆心在y 轴上，半径为5，且过点(3，－4)；(3)过点P (2，－1)和直线x －y ＝1相切，并且圆心在直线y ＝－2x 上． 解：(1)r 2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝8. (2)设圆心为C (0，b )， 则(3－0)2＋(－4－b )2＝52， ∴b ＝0或b ＝－8， ∴圆心为(0,0)或(0，－8)， 又r ＝5，∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝25或x 2＋(y ＋8)2＝25. (3)∵圆心在y ＝－2x 上，设圆心为(a ，－2a )， 则圆心到直线x －y －1＝0的距离为r . ∴r ＝|a ＋2a －1|2， ①又圆过点P (2，－1)，∴r 2＝(2－a )2＋(－1＋2a )2， ②由①②得⎩⎨⎧a ＝1，r ＝2或⎩⎨⎧a ＝9，r ＝132，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338.爱好运动的小华，小强，小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心O 越近，谁获胜，如图A ，B ，C 分别是他们掷一轮飞镖的落点．看图回答下列问题：[思考1] 点与圆的位置关系有几种？ 提示：三种．点在圆外、圆上、圆内． [思考2] 如何判断他们的胜负？ 提示：利用点与圆心的距离． 讲一讲2．已知圆心在点C (－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P 1(－1,0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．(链接教材P 119—例1)[尝试解答] 因为圆心是C (－3，－4)，且经过原点， 所以圆的半径r ＝－3－2＋－4－2＝5，所以圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25. 因为|P 1C |＝－1＋32＋＋2＝4＋16＝25<5，所以P 1(－1,0)在圆内； 因为|P 2C |＝＋2＋－1＋2＝5，所以P 2(1，－1)在圆上；因为|P 3C |＝＋2＋－4＋2＝6>5，所以P 3(3，－4)在圆外．(1)判断点与圆的位置关系的方法①只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． (2)灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围． 练一练2．已知点A (1,2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围． 解：由题意，点A 在圆C 上或圆C 的外部， ∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2， ∴2a ＋5≥0， ∴a ≥－52，又a ≠0，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)．讲一讲3．已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求：(1)x 2＋y 2的最值；(2)x ＋y 的最值．[思路点拨] 首先观察x 、y 满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，最后结合图形求出其最值．[尝试解答] (1)据题意知x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O (0,0)到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.因此x 2＋y 2的最大值和最小值分别为94和14. (2)令y ＋x ＝b 并将其变形为y ＝－x ＋b .问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y 轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y 轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b |2＝12，解得b ＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1.数形结合思想能有效地找到解题的捷径，解题时找到圆心和半径，分析待求数学表达式的几何意义，将“数”与“形”有机地结合起来是求解与圆有关的最值问题的关键．练一练3．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．解：设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34.最大值为2×36＋2＝74.————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系．难点是根据所给条件求圆的标准方程．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求圆的标准方程的方法，见讲1.(2)判断点与圆的位置关系的方法，见讲2.(3)求与圆有关的最值的方法，见讲3.3．本节课的易错点是求圆的标准方程中易漏解，如练1.课下能力提升(二十二)[学业水平达标练]题组1 圆的标准方程1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3C．(－2,3)， 2 D．(2，－3)， 2解析：选D 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为 2.2．(2016·洛阳高一检测)圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －4)2＝25B ．x 2＋(y ＋4)2＝25 C ．(x －4)2＋y 2＝25 D ．(x ＋4)2＋y 2＝25 解析：选A 由题意，圆的半径r ＝－2＋－2＝5，则圆的方程为x 2＋(y－4)2＝25.3．(2016·达州高一检测)△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (1,0)，B (3,0)，C (3,4)，则△ABC 的外接圆方程是 ( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝20 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝10 C ．(x －2)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝ 5解析：选C 易知△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°，所以圆心是斜边AC 的中点(2,2)，半径是斜边长的一半，即r ＝5，所以外接圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5.4．经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________． 解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x ＋2)2＋y 2＝4. 答案：(x ＋2)2＋y 2＝45．求过点A (1,2)和B (1,10)且与直线x －2y －1＝0相切的圆的方程．解：圆心在线段AB 的垂直平分线y ＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r ，则圆的方程为(x －a )2＋(y －6)2＝r 2.将点(1,10)代入得(1－a )2＋(10－6)2＝r 2， ① 而r ＝|a －13|5，代入①，得(a －1)2＋16＝a －25，解得a ＝3，r ＝25或a ＝－7，r ＝4 5.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20或(x ＋7)2＋(y －6)2＝80. 题组2 点与圆的位置关系6．点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上 D ．不确定解析：选A 把点P (m 2,5)代入圆的方程x 2＋y 2＝24得m 4＋25>24，故点P 在圆外． 7．点(5a ＋1，a )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围是________． 解析：由于点在圆的内部，所以(5a ＋1－1)2＋(a )2＜26，即26a ＜26，又a ≥0，解得0≤a ＜1.答案：[0,1)8．已知圆M 的圆心坐标为(3,4)，且A (－1,1)，B (1,0)，C (－2,3)三点一个在圆M 内，一个在圆M 上，一个在圆M 外，则圆M 的方程为________．解析：∵|MA|＝－1－2＋－2＝5，|MB|＝－2＋－2＝25，|MC|＝－2－2＋－2＝26，∴|MB|＜|MA|＜|MC|，∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，∴圆的半径r＝|MA|＝5，∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.答案：(x－3)2＋(y－4)2＝25题组3 与圆有关的最值问题9．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6 B．4 C．3 D．2解析：选B 由题意，知|PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即|PQ|的最小值为6－2＝4.10．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则x－2＋y－2的最大值为________．解析：x－2＋y－2的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1,1)的距离，因此最大值为2＋1.答案：1＋ 2[能力提升综合练]1．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为( )A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4D．(x－3)2＋y2＝4解析：选A 已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.2．圆心为C(－1,2)，且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的方程是( ) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x－1)2＋(y＋2)2＝20C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x＋1)2＋(y－2)2＝20解析：选C 因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r＝－1－2＋－2＝5，又圆心为C (－1,2)，故圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，故选C.3．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆解析：选D y ＝9－x 2可化为x 2＋y 2＝9(y ≥0)，故表示的曲线为圆x 2＋y 2＝9位于x 轴及其上方的半个圆．4．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5解析：选C 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.5．(2016·合肥高一检测)圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4， 即圆心为(2,4)，从而r ＝－2＋－2＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20. 答案：(x －2)2＋(y －4)2＝206．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是________．解析：如图所示，设圆心C (a,0)，则圆心C 到直线x ＋2y ＝0的距离为|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5，a ＝5(舍去)，∴圆心是(－5,0)．故圆的方程是(x ＋5)2＋y 2＝5. 答案：(x ＋5)2＋y 2＝57．已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．解：法一：如图所示，由题设|AC |＝r ＝5，|AB |＝8， ∴|AO |＝4.在Rt △AOC 中，|OC |＝ |AC |2－|AO |2＝ 52－42＝3. 设点C 坐标为(a,0)， 则|OC |＝|a |＝3，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25. 法二：由题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝25. ∵圆截y 轴线段长为8，∴圆过点A (0,4)． 代入方程得a 2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25.8．(1)如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，求y x的最大值和最小值； (2)已知实数x ，y 满足方程x 2＋(y －1)2＝14，求x －2＋y －2的取值范围．解：(1)法一：如图，当过原点的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切于上方时y x最大，过圆心A (2,0)作切线l 的垂线交于B ，在Rt △ABO 中，OA ＝2，AB ＝ 3.∴切线l 的倾斜角为60°，∴y x的最大值为 3. 同理可得y x 的最小值为－ 3.法二：令y x＝n ，则y ＝nx 与(x －2)2＋y 2＝3联立， 消去y 得(1＋n 2)x 2－4x ＋1＝0， Δ＝(－4)2－4(1＋n 2)≥0，即n 2≤3，∴－3≤n ≤3，即y x的最大值、最小值分别为3、－ 3. (2)x －2＋y －2可以看成圆上的点P (x ，y )到A (2,3)的距离．圆心C (0,1)到A (2,3)的距离为d ＝－2＋－2＝2 2.由图可知，圆上的点P (x ，y )到A (2,3)的距离的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12. 即x －22＋y －32的取值范围是22－12，22＋12.。
2.4圆的方程-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义
2.4 圆的方程1、圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：),(22ED--半径r＝12D2＋E2－4F2、点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：（1）|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；（2）|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；（3）|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.3、特殊的圆的方程（1）圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.（2）以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.题型一圆的方程例1方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是( )A．a<－2或a>23B．－23<a<2C．－2<a<0D．－2<a<2 3知识梳理知识典例【答案】D 【解析】 【分析】先把圆的一般方程化为圆的标准方程，由此可求得a 的范围. 【详解】由题意可得圆的标准方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<，选D.【点睛】圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，化标准方程为22224()()224D E D E Fx y +-+++=（其中2240D E F +->），圆心为(,)22D E--，半径2242D E Fr +-=．1、“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件和充分必要条件的判断可得选项. 【详解】方程2222530x y mx m m +---+=表示圆需满足()()22245+30,3m m m m ---->∴<-或1>2m ， 所以“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的充分不必要条件， 故选：A.2、若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________． 【答案】(0，－1) 【解析】方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化为标准方程为(x ＋2k )2＋(y ＋1)2＝1－234k ，巩固练习∵r 2＝1－234k ≤1，∴k ＝0时r 最大．此时圆心为(0，－1)．题型二 圆的方程求解例 2 过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-= D ．()()22114x y +++=【答案】C1、圆心在y 轴上，半径为1，且过点()12，的圆的方程是 【答案】()2221x y +-=2、求圆心在直线230x y --=上，且过点3(2,)A -，(2,5)B --的圆的标准方程． 【答案】22(1)(2)10x y +++= 【解析】试题分析：根据圆中的弦的垂直平分线过圆心求出弦AB 的垂直平分线的方程，与直线l 联立可求出圆心坐标，然后根据两点间的距离公式求出圆的半径，即可写出圆的标准方程． 试题解析： ∵()351222AB K -+==--，AB 中点()2235,0,422---⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴AB 中垂线为()420y x +=--， 整理得240y x ++=，巩固练习联立240230y x x y ++=⎧⎨--=⎩， 解出1x =-，2y =-， ∴圆心为()1,2--，半径为()()22213210⎡⎤--+-+=⎣⎦，圆为()()221210x y +++=．题型三 点与圆的位置关系例 3 已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外 D ．无法判断【答案】B 【解析】因为22345AM r =+== ,所以点M 在圆上，选B.1、若点（1，1）在圆()()224x a y a -++=的内部，则a 的取值范围是（ ） A ．11a -<< B ．01a << C ．1a <-或1a > D ．1a =±【答案】A 【解析】因为点（1，1）在圆内部，所以22(1)(1)4a a -++<,解之得11a -<<.2、点2(,5)m 与圆2224x y +=的位置关系是（ ）． A ．点在圆外 B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定【答案】A 【解析】巩固练习将点2(,5)m 代入圆方程，得42524m +>．故点在圆外， 选A ．1、以()2,1-为圆心，4为半径的圆的方程为( ) A ．22(2)(1)4x y ++-= B ．22(2)(1)4x y +++= C ．22(2)(1)16x y -++= D ．22(2)(1)16x y ++-=【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的标准方程的性质求解． 【详解】以()2,1-为圆心，4为半径的圆的方程为：22(2)(1)16x y -++=．故选C ．2、方程1x -= ） A ．一个圆 B ．两个半圆 C ．两个圆 D ．半圆【答案】A 【解析】试题分析：由方程1x -=221x -=，即22(1)(1)1x y -++=，所以方程表示的轨迹为一个圆，故选A ．3、若方程2220x y a ++=表示圆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．0a <B ．0a =C ．0a ≤D ．0a >【答案】A4、若原点在圆22(3)(4)x y m -++=的外部，则实数m 的取值范围是（ ）巩固提升A ．(,25)-∞B ．(,5)-∞C ．(0,25)D ．(0,5)【答案】C 【解析】 【分析】根据点圆的位置关系直接列不等式求得答案. 【详解】根据题意，圆22(3)(4)x y m -++=的圆心为(3,4)-，必有0m >. 若原点在圆22(3)(4)x y m -++=的外部，则22(03)(04)m -++>，则有25m <. 综合可得:025m <<. 故选：C.5、点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 【答案】 A【解析】 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，故(2x－4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.6、已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为 【答案】(x －3)2＋(y －4)2＝25. 【解析】 圆C 的圆心的坐标C (6，8)， 则OC 的中点坐标为E (3，4)， 则所求圆的半径|OE |＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.7、在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.【答案】x 2＋y 2－2x ＝0.【解析】设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，故圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.8、已知曲线()()22:11480C a x a y x ay +++-+=,a R ∈.(1)当a 取何值时，方程表示圆？(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点. (3)当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值.【答案】(1)1a ≠-时，方程表示圆；(2)证明见解析；(3)14a = 【解析】 【分析】（1）当1a =-时，可知方程表示直线；当1a ≠-，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；（2）将已知方程整理为()2222480x y x a x y y +-+++=，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得；（3）根据（2）的结论，可知以AB 为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构造方程组，解方程组求得结果. 【详解】(1)当1a =-时，方程为20x y +=表示一条直线当1a ≠-时， ()222224416111a a x y a a a +⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+()2241601a a +>+ 1a ∴≠-时方程表示圆(2)方程可变形为：()2222480x y x a x y y +-+++=a 取任何值，上式都成立 22224080x y x x y y ⎧+-=∴⎨++=⎩，解得：00x y =⎧⎨=⎩或16585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴曲线C 过定点()0,0A ，168,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭即无论a 为何值，曲线C 必过两定点(3)由(2)曲线C 过定点,A B ，在这些圆中，以AB 为直径的圆的面积最小∵以AB 为直径的圆的方程为：228416555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()22281544154161651a a a a a ⎧⎪=+⎪⎪⎪∴=⎨+⎪⎪+=⎪+⎪⎩，解得：14a =。
圆的方程讲义
圆的方程 知识梳理： 一、圆的标准方程 1．平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点是圆心，定长是半径．2．确定圆的几何要素： (1)不共线三点确定一个圆，圆心在任意两点连线段的中垂线上，三点确定的三角形叫该圆的内接三角形，该圆叫做这个三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心．(2)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只要圆心和半径确定下来，圆也就确定下来了，因此求圆的方程必须具备三个独立条件．3．圆心为(a ，b )半径为r (r >0)的圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，称作圆的标准方程．特别地，圆心在原点、半径为r 的圆方程为x 2＋y 2＝r 2.4．点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系． P 在圆外⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2，P 在圆上⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，P 在圆内⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.二、圆的一般方程1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. (1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆； (2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2； (3)当D 2＋E 2－4F <0 时，方程没有实数解，它不表示任何图形．2．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是：A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4F >0 .3．点P (x 0，y 0)与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)的位置关系是：P 在圆内⇔， P 在圆上⇔， P 在圆外⇔. 4．求轨迹方程的五个步骤：(1)建系：建立适当的坐标系，用(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标；(2)设点：写出适合条件P 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}；(3)列式：用坐标(x ，y )表示条件p (M )，列出方程F (x ，y )＝0；(4)化简：化方程F (x ，y )＝0为最简形式；(5)查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．典型例题：类型一 圆的标准方程例1：写出下列方程表示的圆的圆心和半径．(1)x 2＋y 2＝2； (2)(x －3)2＋y 2＝4；(3)x 2＋(y －1)2＝9； (4)(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8.练习1：已知圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，试根据下列条件，分别写出a 、b 、r 应满足的条件：(1)圆心在x 轴上； (2)圆与y 轴相切；(3)圆过原点且与y 轴相切； (4)圆与两坐标轴均相切．练习2：已知圆C 的方程为()()225610x y -+-=，试判断点()()()6,9,3,3,5,3M N Q 是在圆上，圆内，还是在圆外？例2：过两点P (2,2)、Q (4,2)，且圆心在直线x －y ＝0上的圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝2B ．(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝2C ．(x －3)2＋(y －3)2＝ 2D ．(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝ 2练习1：求经过点A (10,5)、B (－4,7)，半径为10的圆的方程．练习2：求满足下列条件的方程（1）圆心在原点，半径是3； （2）圆心在点()3,4C（3）圆心在直线538x y -=上，又圆与坐标轴相切练习3：求以A (2,2)、B (5,3)、C (3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．类型二 圆的一般方程例3：m 是什么实数时，关于x 、y 的方程(2m 2＋m －1)x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示一个圆？练习1：已知方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求：(1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．练习2：220x y x y R +-++=表示一个圆，则R 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．(),2-∞C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦例4：已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)、B (－2，3)、C (4，－5)，求△ABC 的外接圆的一般方程．练习1：求过点C (－1,1)和D (1,3)且圆心在直线y ＝x 上的圆的一般方程．练习2：ABC ∆的三个顶点坐标分别为()()()1,5,2,2,5,5A B C ---，求其外接圆的方程．例5：等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．练习2：已知动点M 到定点()8,0的距离等于M 到()2,0的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是（ ）A ．2232x y +=B ．2216x y +=C ．()22116x y -+=D ．()22116x y +-=小练习：1．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)满足( )A ．是圆心B ．在圆上C ．在圆内D ．在圆外2．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标和半径分别为( )A ．(－1,2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1,2)，4D ．(1，－2)，43．已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1004．圆x 2＋y 2－2x ＋y ＋14＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(－1，12)；1 B ．(1，－12)；1 C ．(1，－12)；62 D ．(－1，12)；625．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2 C ．－2<a <0 D ．－2<a <236．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( )A.2πB ．2πC ．22πD ．4π7. 若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________.8. 点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是________9.求经过点P (5,1)，圆心为点C (8，－3)的圆的标准方程．课后练习：1．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，1－t 21＋t 2与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．与t 有关2．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝53．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()A．一个点B．一个圆C．一条直线D．不存在4．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点在圆C上，则实数a等于()A．10 B．－10C．20 D．－205．过点A(1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25B．(x－1)2＋(y－3)2＝2C．(x－5)2＋(y－5)2＝25D．(x－1)2＋(y－1)2＝16．圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25上的点到原点的最大距离是()A．5－10 B．5＋10C.10 D．107. 一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0上的最短路程是()A．4 B．5C．32－1 D．2 68.经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是__________________．9.经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．10．圆C通过不同三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P的切线的斜率为1，试求圆C的方程．。
高中数学讲义圆的方程
当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.
由此有
解此方程组得
由于r2=2b2知 于是,所求圆的方程是:
(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.
【例3】已知圆 ，求（1） 的最大值（2） 的最大值与最小值（3） 的最小值
变式1．已知 满足 ,则 的最小值为
提示：以上两题都用数形结合法来解。
【例4】在平面直角坐标系 中，已知圆心在第二象限、半径为 的圆 与直线 相切于坐标原点 ．椭圆 与圆 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 ．
(1)求圆 的方程；
(2)试探究圆 上是否存在异于原点的点 ，使 到椭圆右焦点 的距离等于线段 的长．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
点拨:解决圆的综合问题时,一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题,另一方面还要注意几何问题代数化的思想运用.
重点:
1.圆的两种方程的基本形式以及圆方程的充要条件。
2.圆方程的常用求法。
3.有关于圆方程的综合应用。
4.待定系数法和数形结合法。
【课堂练习】
1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB为直径的圆的方程为(x+ 1)2+ (y－1)2=25
解:设圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.
由题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴的弦长为 ，故r2=2b2
又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1.
又点P(a,b)到直线x2y=0的距离为
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的方程及空间直角坐标系(讲义) >知识点睛
一、圆的方程
1. 圆的标准方程： ______________________ ,
圆心： ________, 半径：________.
2. 圆的一般方程：
圆心： 二、位置关系的判断
(1) 点与圆
由两点间的距离公式计算点到圆心的距离"，比较"，r 大小. ① 已知点Vo)与圆的标准方程(x-a}\(y'-b)-=r,
则计算矿二 _________________ ，比较沪，尸大小. ② 已知点P(xo, yo)与圆的一般方程X- + y- +Dx + Ey + F = 0 ,
则计算 _____________________ ,与0比较大小.
(2) 直线与圆
① 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离"，比较 ",r 大小.
② 联立直线与圆方程，得到一元二次方程，根△判断： 'A <O ,直线与圆相离
.A = 0,直线与圆相切.
△ >0,直线与圆相交
(3)圆与圆
利用两点间的距离公式求圆心距d,结合两圆半径和〃的关系 判断.
三、常见思考角度
1. 直线与圆位置关系常见考査角度
(1)过定点求圆的切线方程
① 判断该点与圆的位置关系(若点在圆内，则无切线). ② 根据切线的性质求切线方程.
若点在圆上，则利用切线垂直于过切点的半径求切线方程： 若点在圆外，则分别讨论 ___________________ ,设点斜式 利用〃二r 建方程求解.[gl
（2）直线与圆相交求弦长
结合垂径定理和勾股定理，半径长厂圆心到直线的距离丛 弦长/满足关系式：厂2=〃2+（_厂
2
2. 圆与圆位置关系常见考査角度
（1） 两圆相交求公共弦所在直线方程
设圆G ：x2+y2 + DrV + Ej + F| = 0,
C2：x2+b+0x + E* + F2 = O,则公共弦所在直线的方程为 （0 — D? ）x + （E] — £*2） y + F[—尸2 = 0 -
（2） 两圆相交求公共弦长
求出公共弦所在直线方程及其中一圆圆心到公共弦的距离， 垂径定理、勾股定理结合求弦长.
四、轨迹方程
在平面直角坐标系中，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标 （X, y ）满足的关系式.
五、空间直角坐标系Ovvz （右手直角坐标系）
如图1, 0点叫做坐标原点，牙轴、y 轴、2轴叫做坐标 轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.
zn
六、空间直角坐标系中点的坐标
如图2,过点M 分别作垂直于X 轴，y 轴和Z 轴的平面，依 次交X 轴，y 轴和Z 轴于点P, e 和设点P, Q 和R 在牙 轴，y 轴和Z 轴上的坐标分别是X, y 和Z,那么点M 对应唯 —确定的有序实数组U ，y,刀.
有序实数组馆）* 201做点M 在此空间直角坐标系中的坐标， 记作MS ，y, z ）.其中X 叫做点M 的 __________ , y 叫做点 M 的 __________ , Z 叫做点M 的 __________ .
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' B
C
>1 \ >1 0 X
七、空间两点间的距离公式
如图3,设空间直角坐标系中点P 的坐标是（兀，y, Z ）,则 IOPI = ____________________ .
如图4,设点£（易，y,, Z,）, RC E ，＞'2»空）是空间中任意两点, 则 IA A1= ___________________ .
A/ P 、 Pl
精讲精练
写出下列圆的标准方程：
(I)圆心在C(-3,4” 半径长为^/J•
(2)圆心在C(8,-3),且经过点M(5J)・
2 . 下列方程：
①W+y2-6x=0 ；②-2%+4 V-6=0 ；③W+y，二。
；
@(X -4)' + y- -2 3' + 4 = 0 ；⑤尸+尤2+5厂4兀+5二0.
其中表示圆的是___________ -(填写序号)
3 . 已知圆的方程是(—3)2+0 + 2)2=25,则圆心为___________ ,半径为________ .点(5, -7)在_________ ，点(4,>/5-2)在_________ -(填"圆上"、"圆外"或"圆内")
4 . 圆*+)j2x+4y+1 =0的圆心是 ________ ,半径是
点(1, 3)在__________ ，点(1-5/3 , -1)在_
(填“圆上”、“圆外"或“圆内")
已知△Q4B的三个顶点的坐标分别是0(0, 0), 4(1, 1), B(4, 2),则它的外接圆的方程为____________________
已知直线方程为tnx-y-in-\=Q,圆的方程为卫+尸-4厂2卩+1=0・
(1)若直线与圆只有一个公共点，则册的值为 __________ ;
(2)若直线与圆有两个公共点，则用的取值范M 是•
过点(3, 1)作圆(L1)2+F=1的切线，则切线的方程是
圆F+y2-4x+4;v+6=0截直线%->-5=0所得的弦长为
已知圆 CI: A"+y"+2v+8y+1 =0» 圆 C?：xr+y~-4x+4y-1 =0r 则圆
Ci与圆C2的位置关系是_________ •
10.____________ 圆X+护T0L10\=0与圆”+)、2-6欠+2)-40=0
的公共弦长为. ()
9.
11. (1)已知点M 与两个定点50, 0), A(3, 0)的距离的比为-，
2
则点M 的轨迹方程为
(2)已知线段AB 的端点B 的坐标是(4, 3),端点A 在圆 Ci ・+i)2+y2=4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为
13•如图，长方体 OABODAEC 中，1041=3, I0CI=4, IOD]=3,
打FD 相交于点P,则点C 倍P 的坐标分别为 __________ 14•点P(-3, 2, -1)关于xOv 平面对称的点的坐标是 _____ ,关 于yOz 平面对称的点的坐标是 _____ ,关于Z.OX 平面对称的 点的坐标是 _______ ,关于X 轴对称的点的坐标是 ________ , 关于y 轴对称的点的坐标是 _______ ,关于Z 轴对称的点的坐 标是 _______ ,关于原点对称的点的坐标是 _______ • 15•如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱氏为《的正方体 ABCO-ABCD ，/VC 的中点£ B 的中点F 的距离为(
B.至
2
C- (I
12•设X, y 为任意实数, A. B C D
Z 轴上的点 过
Z 轴上的(0, 过Z 轴上的相应的所有点P(x. y. 3)的集合是(
0, 3)点且与Z 轴垂直的直线
0, 3)点且与Z 轴垂直的平面
以上答案都有可能
X
16•在空间直角坐标系中，已知点P在X轴上，2(4, 1, 2).且PQ=屈,则点P的横坐标为( )
B. -1
C. -1 或 9 D・ 1 或 9
A. 1
17•求证：以 A(4, b 9), 3(10, -1, 6), C(2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰直角三角形・
【参考答案】
＞知识点睛
一、 圆的方程
1. (%-«)"+ (y-Zj)" = r" T (“9 /?)» r
2. F + r + Dx + £v + F=0, D- + £2-4F ＞O
(D
E 1 /TH 頁 2 2 2
二、 位置关系的判断
(1)氏-")2+(儿-疔；(2) V + yJ+Dxo + Eyo+F
三、 常见思考角度
1. 切线有无斜率
六、 空间直角坐标系中点的坐标
横坐标，纵坐标，竖坐标
七、 空间两点间的距离公式
jF+r+Z ： , yl(X- X )■ + ( y - y)2 + (Z -|Z)■ 2 ＞精讲精练
1. (1) U+3)- + (y-4)-=5； (2) (x-8)-+(y+ 3)-= 25
2. ①②⑤
3. (3, -2), 5,圆外，圆内
4. & 9.相交
10.4 価
11. (1) x- + y-+2x-3 = 0, (2) (x-»+(y-» = 1
2 2
12. C
13. (Or 4r 0), (3, 4, 3), (?, 2, 3)
2
(b -2), 2,圆外，圆上
X" + y" 一8x + 6y =0
4 4 (1) 0或一(2) ｛加丨川＞0或加＜一_
3 3 ，=1或，=铁-3
3
5. 6. 7-
14.(一3, 2, 1), (3, 2, -1), (一3, -2, -1), (一3, -2,
1) (3, 2, 1), (3, -2, 一 1), (3, -2, 1)
15.B
16.C
17•证明略。