第11章 磁场和它的源

B dl 0 I
L
B
ຫໍສະໝຸດ Baidu I
2πr
r a I 0
ar b
∴
B0
I
B
I 2 2 π ( r a ) 2 2 π(b a )
∴
0 I (r 2 a 2 )
2πr (b 2 a 2 )
r b
I I
∴
B
0 I 2 πr
I a b P
如图，在距原点x远处取宽度dx的薄板，为 I dI dx ， 它在P点的磁感应强 一长直电流 a 度方向垂直向里，大小为
dB 2 (a b x)
I a
O
b
P
0 dI

2a(a b x)
0 I
dx
x dx
x
则整个薄板形电流在P点的磁感应强度大小为
B dB
a
1
r2 b
窄条面积为
dS hdx
b (a r1 x)dx a
r1
a
左、右二长直导线电流在窄条处的磁场分别为
B1
0 I （垂直向外） 2x
B2
2 [ x (r1 r2 )]
0 I
（垂直向里）
I o
I r2 r1
则窄条的磁通量为
d m ( B2 B1 )dS
I
O
R
R
(2)
a
O
(3) 正方形的每条边在O 处产生的 B 均相同 一条边在O 处产生的 B 由下式给出（方向垂直向里）
B直o 20 I 1 3 (cos1 cos 2 ) (cos cos ) 4π r 2πa a 4 4 4π 2
1 I
(3)
2
0 I
11-8 一根很长的铜导线均匀载有电流I，截面半径为R，在导线内 部作一平面 S ，如图所示，试计算通过 S 平面的磁通量 (沿轴线 方向取长为l的一段作计算).（铜的磁导率 0 ） 解： 以轴为中心作半径 r 的圆环 0 I内 则环上 B 2πr 当 0＜r＜R 时： B 沿环的切向.
a R S
I O
a(2 ) R S 2 IR I I 2π R
2π
2π
并联
R
a (2 ) S 2
a I 1
IR I I R 2π
B
B
0 I
2r
0 I 2 π
11-7 如图所示，有一很长的载流导体直圆管，内半径为 a,外半径 为 b，电流强度为 I，电流沿轴线方向流动,并且均匀地分布在管壁 的横截面上．空间某一点到管轴的垂直距离为 r，求 r < a，a < r < b 及 r > b 等各区间的磁感应强度． b 解：取半径为 r 的安培环路，根据环路定理 a 有 B 2πr 0 I 对于
L dl 0 I c 0 I d B dl LB L 2 B dl B dl
L2
B dl o ( I c I d )
L1
L2
11-12 半径为R的两块圆板，构成平行板电容器放在空气中， 现对电容器匀速充电，使两板间的电场的变化率为 dE dt a ， P点是两极板之间到对称轴距离为r的任意一点，求P点处的磁 感应强度。 解： 在平行板间取一半径为r 的圆形回路 穿过该回路的电通量随时间的变化率
1
2
显然，有 B dl B dl
L1 L
（穿过L的位移电流显然比 穿过L1的大，再利用普遍 的安培环路定理即可推得）
L
L1
忽略边缘效应且认为导线处的 I d 0 ； 无导线处，即电容器极板间， I c 0 。 则由全电流连续原理知，导线处的传导电流 I c 与极 板间的位移电流 I d 相等 又，普遍的安培环路定理
8π 2 r
B 向外,
B 向里
0 I 2 2π
2r

0 I 2 π
8π 2 r
B环 B B 0 BO B环 B1 B2
0
11-4 如图所示，一宽度为a的无限长金属薄板中通有电流I，电流 沿宽度方向均匀分布，求在薄板平面内距板一边距离为b的P点的 磁感应强度大小和方向。 解： 无限长薄板电流可视为由无数 根长直电流构成
I dq R d R dt dt
半径为R，电流为I的圆形电流在其轴线上离圆心x远处一点 的磁感应强度大小为（参见张三慧编《大学物理学》第三版 上册 P273，式（11.11）） 2
B
0 IR
2( x 2 R 2 )3 2
将 I R 带入上式得
B
0R 3
z
解： 0 I ˆ B入 k 4πR
R O y
0 I 3 ˆ B弧 i 2R 4
x
I
0 I ˆ B出 j 4πR
0 I ˆ ˆ2ˆ B 3π i j 2k 8πR


11-3 电流由长直导线 1 沿半径方向经 a 点流入一电阻均匀分布的 圆环，再由 b 点沿半径方向从圆环流出，经长直导线 2 返回电源， 如图所示。已知长直导线上电流强度为 I，求圆心 O 点的磁感应 强度. 2 b 解： ∵O点在导线 1 和 2 的延长线上, ∴ B1 = B2 = 0 I 设环的半径 a , 两导线夹角 ，环的电阻 率ρ, 横截面积 S , 则二段弧的电阻分别为
解：先由位移电流与dE/dt成正比，判断 位移电流方向：垂直向里，再由右手螺旋 关系，可判断感生磁场的方向：竖直向下
E
P O
1 同理 I b b 2
Ib b O a Ia

∴
Ba B 同理 b 4 2a Ba 和 Bb 均垂直向外
0 I a
0
0
4
而两直线段上元电荷 dq 旋转形成 I b 等效圆形(平均)电流 d I r b dq dI r 2 T 2 dr π dr dr r 2π O a dr 0 dI r d r I 0 a ∴ dBr d I 2r r 2π r 所有的 dB 垂直向外. 0 b dr 0 b 则 Br dBr 2π a r 2π ln a ∴ O 点处总磁感应强度的大小： 0 b B Ba Bb Br 2π ( π ln a ) B 方向：垂直向外
B圆心
0 I
2R
B 取向内为正
(1)
BO B圆心 B长直
0 I
2R

2πR
0 I

2πR
0 I
(π 1)
(2) 各段电流在 O 点产生的 B 均向内
BO 2B半长直 B半圆心
I I I 0 (2 π) 2 0 0 4πR 4R 2 R 2
2 r I内 2 I R
I
r
B
dr
S
l
B
0 Ir
2 πR 2
d m B dS BdS Bl dr
m d m

R
0
Bldr 0 l
R
0 Ir
2 πR 2
dr
0 Il 4
11-9 无限长平行直导线与一矩形共面，各部分尺寸如图所示。 已知导线中的电流为I，求矩形回路的磁通量。 解：取如图所示的y轴，在距原点y处取宽度dy的 I 窄条。无限长平行（与此窄条平行）直线电 0 I ˆ 流的磁场分布为 B 2y B ，对此窄条的磁通量 为 ˆ d m B dS BdS Bbdy ( B || dS )
0 a
2a(a b x)
0 I
dx
2πa
0 I
ln
ab b
方向垂直向里
11-5 如图, 半径为 R, 电荷线密度 ( > 0 ) 的均匀带电的圆线圈绕 过圆心与圆平面垂直的轴以角速度 转动, 求轴线上任一点的磁感 应强度 B . R 解： 带电的圆线圈转动时，等价为一圆形电流 O 取 dq dl Rd 则圆形电流的电流强度大小为
I a b
x
a x y dy b y
则对矩形回路的磁通量为
o
m d m
xa
Bbdy
x x
xa
0 I 0 Ib a x bdy ln( ) 2y 2 x
11-10 两无限长平行直导线与一直角三角形共面，各部分尺寸如 图所示。已知两导线中的电流均为I，求三角形回路中的磁通量。 解：取如图所示的x轴，在距原点x远处取宽度dx I I 的窄条，其高度为 h b (a r x)
11-1 如图所示，电流I沿三种不同形状的导线流动，求下列各种 情况下O点处的磁感应强度大小。
R
O
I
O
R
a
I
I
R
(1)
(2)
(3)
解：
B直 4π r
几型载流导线的磁场公式
(cos1 cos2 )
0 I
B长直
2π r
0 I
B半长直
4π r
0 I
B弧心
0 I 为弧所对应的圆周角） （ 2 R 2
0 Ib
11-11 如图所示，平板电容器（忽略边缘效应）充电时，沿环路 L1、L2的磁感应强度为B的环流中，必有 B dl < dl LB L1 2 L （填“ > ”或“ < ”或“ = ”） 解： 在电容器二极板间取一和极板边缘一样的 L 回路L（下图中红色虚线所示）
2( x 2 R 2 )3 2
方向沿轴线且与电流方向成右手螺旋关系
11-6 有一闭合回路由两个半径为 a 和 b 的同心共面半圆连接而成， 如图所示，其上均匀分布线密度为 的电荷，回路以角速 度 绕过 O 点垂直于回路的轴转动, 求圆心 O 点处的磁感应强 度 BO.
解：∵电流定义为 1 秒钟内通过某 截面的电荷量, ∴等效圆形(平均) 电流 q 1 a π a I a T 2π 2
d e dE r 2 ar 2 dt dt
r
P
d e 又 B dl o ( I c o ) L dt
极板间 I c 0
B
2rB o 0 ar 2
1 o 0 ar 2
11-13 如图所示的为一圆柱体的横截面，圆柱体内有一均匀电场 E ，其方向垂直纸面向内， E 的大小随时间t线性增加，P为 圆柱体内与轴线相距为r的一点，则（1）P点的位移电流密度的 方向为 向内 ；（2）P点感生磁场的方向为 竖直向下 。
dx b x a
x
0 I 1 1 b ( ) (a r1 x)dx 2 x r2 r1 x a
a r1
则三角形 回路中的 磁通量为
m d m

r1
0 I 1 1 b ( ) (a r1 x)dx 2 x r2 r1 x a
r1 (a r2 ) (a r1 ) ln 2 πa r2 (a r1 )
0 I
则
Bo 4 B直o
20 I 2 20 I 4 πa 2πa
11-2 载有电流I的导线由两根半无限长直导线和半径为R的、 以Oxyz坐标系原点O为中心的3/4圆弧组成，圆弧在Oyz平面 内，两根半无限长直导线分别在Oxy平面和Oxz平面内且与x 轴平行，电流流向如图所示．求O点的磁感应强度 。