201X-201x高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式学案 新人教A版选修4
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式
二 一般形式的柯西不等式庖丁巧解牛知识·巧学一、二维形式的柯西不等式定理1 （二维形式的柯西不等式）已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ，则(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)2(b 12+b 22)2，当且仅当a 1b 2-a 2b 1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式： 对于任何实数a 1，a 2，b 1，b 2,以下不等式成立：22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1+a 2b 2|; 22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1|+|a 2b 2|.联想发散不等式中等号成立⇔a 1b 2-a 2b 1=0.这时我们称(a 1,a 2),(b 1,b 2)成比例,如果b 1≠0,b 2≠0,那么a 1b 2-a 2b 1=0⇔2211b a b a =.若b 1·b 2=0,我们分情况说明：①b 1=b 2=0,则原不等式两边都是0,自然成立;②b 1=0,b 2≠0,原不等式化为(a 12+a 22)b 22≥a 22b 22,也是自然成立的;③b 1≠0,b 2=0,原不等式和②的道理一样,自然成立.正是因为b 1·b 2=0时,不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时,总是假定b 1b 2≠0,等号成立的条件可以写成2211b a b a =,这种写法在表示一般形式(n 维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.定理2 （柯西不等式的向量形式）设α,β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=k β时，等号成立. 学法一得定理2 中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非零向量，则定理2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或π，即α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成立的充分必要条件为2211b a b a =（b i 为零时，a i 为零，i=1，2）.定理 3 （二维形式的三角不等式）设x 1,x 2,y 1,y 2∈R ，那么22122122222121)()(y y x x y x y x -+-≥+++.二维形式的三角不等式的变式：用x 1-x 3代替x 1，用y 1-y 3代替y 1，用x 2-x 3代替x 2，用y 2-y 3代替y 2，代入定理3，得232231231231)()()()(y y x x y y x x -+-+-+-221221)()(y y x x -+-≥二、一般形式的柯西不等式 定理 设a i ,b i ∈R (i=1,2, …,n),则(∑∑∑===≤ni ini ini ii ba b a 121212)(.当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).即(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)2(b 12+b 22+…+b n 2)2（a i ,b i ∈R ,i=1,2,…,n ）中等号成立的条件是2211b a b a ==…=nn b a. 记忆要诀这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于和方积”.等号成立的条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广. 一般形式的柯西不等式有两个很好的变式：变式 1 设a i ∈R ，bc>0(i=1,2, …,n),则∑∑∑≥=ii ni i ib a b a 212)(,等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ），则∑∑∑≥=i i i ni iib a a b a 212)(,等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .深化升华要求a i ，b i 均为正数.当然，这两个式子虽常用，但是记不记住并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用.柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的a 1, …,a n ;b 1, …,b n 都表示实数）是：（1）a 12+a 22+…+a n 2=1,b 12+b 22+…+b n 2=1,则|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |≤1;（2）a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≤a 12+a 22+a 32;（3）(a 1+a 2+…+a n )2≤n(a 12+a 22+…+a n 2);（4）(a+b)(a 1+b1)≥4=(1+1)2，其中a 、b∈R +; （5）(a+b+c)(a 1+b 1+c1)≥9=(1+1+1)2,其中a 、b 、c∈R +.柯西不等式是一个重要的不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位. 典题·热题知识点一： 用柯西不等式证明不等式 例1 设a 1>a 2>…>a n >a n+1,求证：11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-=-++ >0.思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构就可以使用了，我们不妨改为证： (a 1-a n+1)·［13221111+-++-+-n n a a a a a a ］>1.证明：为了运用柯西不等式，我们将a 1-a n+1写成a 1-a n+1=(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+ …+(a n -a n+1),于是［(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+…+(a n -a n+1)］·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）≥n 2>1.即(a 1-a n+1)·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）>1,∴11132211111++->-++-+-n n n a a a a a a a a ,故11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-+-++ >0.方法归纳我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明. 知识点二： 用柯西不等式证明条件不等式 例2 （经典回放）设x 1,x 2, …,x n ∈R +,求证：123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2+x 3+…+x n +x 1)，也即嵌以因式(x 1+x 2+…+x n )，由柯西不等式即可得证.证明：(123221x x x x x x x x nn ++++ )·(x 2+x 3+…+x n +x 1) =［(21x x )2+(22x x )2+…+(nn x x 1-)2+(1x x n )2］ ［(2x )2+(3x )2+…+(n x )2+(1x )2］≥(21x x ·2x +22x x ·3x +…+nn x x 1-·n x +1x x n ·1x ) =(x 1+x 2+…+x n )2,于是123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 巧解提示柯西不等式中有三个因式∑∑∑===ni ii ni ini iba b a 11212,,，而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一.知识点三： 用柯西不等式求函数的极值例3 已知实数a,b,c,d 满足a+b+c+d=3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5,试求a 的最值. 思路分析：本题求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解. 解：由柯西不等式得，有 (2b 2+3c 2+6d 2)(613121++)≥(b+c+d)2, 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2.由条件可得，5-a 2≥(3-a)2. 解得，1≤a≤2,当且仅当6/163/132/12dc b ==时等号成立. 代入b=1,c=31,d=61时，a max =2; b=1,c=32,d=31时,a min =1.巧妙变式为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决.而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 如：已知a,b 为正常数，且0<x<2π,求y=x b x a cos sin +的最小值. 解：利用柯西不等式，得)(32323232b a b a +=+(sin 2x+cos 2x)≥(3a sinx+3b cosx)2.当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.于是33232a b a ≥+sinx+3b cosx.再由柯西不等式，得3232b a +(xb x a cos sin +) ≥(3a sinx+3b cosx)(xb x a cos sin +） ≥(x b x b x a x a cos cos sin sin 66+)2=(a 32+b 32)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.从而y=x bx a cos sin +≥(a 32+b 32)32. 于是y=xbx a cos sin +的最小值是(a 32+b 32)32. 问题·探究 思想方法探究问题 试探究用柯西不等式导出重要公式.如n 个实数平方平均数不小于这n 个数的算术平均数，即若a 1,a 2,…,a n ∈R ，则na a a n a a a nn2222121+++≤+++ .探究过程:由柯西不等式可知(a 1+a 2+…+a n )2≤(a 1·1+a 2·1+…+a n ·1)2≤(a 12+a 22+…+a n 2)·(12+12+…+12)=(a 12+a 22+…+a n 2)·n,所以na a a n 221)(+++ ≤a 12+a 22+…+a n 2,故na a a n a a a nn2222121+++≤+++ .不等式na a a na a a nn2222121+++≤+++ ,把中学教材中仅有关于两个正数的“算术平均”，“几何平均”问题拓广到了“二次幂平均”问题，即nn a a a 21≤na a a n a a a nn2222121+++≤+++ ，这不仅拓宽了中学生的眼界，而且为解决许多不等式的问题开辟了一条新路.探究结论:柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很好的指导作用，利用它能方便地解决一些中学数学中的有关问题. 交流讨论探究问题 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，试交流讨论使用柯西不等式的技巧,试举例归纳.探究过程:人物甲：构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数，如：设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证cb a ac c b b a ++>+++++9222.我们可以如此分析：∵a、b 、c 均为正,∴为证结论正确只需证2(a+b+c)［ac c b b a +++++111］>9.而2(a+b+d)=(a+b)+(b+c)+(c+a),又9=(1+1+1)2.人物乙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排某些项的次序，如：a 、b 为非负数，a+b=1,x 1,x 2∈R +,求证(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2.我们可以如此分析：不等号左边为两个二项式积，a,b∈R -,x 1,x 2∈R +，直接用柯西不等式做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了.人物丙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变结构，从而能够使用柯西不等式，如：若a>b>c ，求证c b b a -+-11≥ca -4.我们可以如此分析：初式并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了.∵a -c=(a-b)+(b-c),a>c,∴a -c>0,∴结论改为(a-c)(cb b a -+-11)≥4. 人物丁：构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项，如：若a,b,c∈R +，求证b ac a c b c b a +++++≥23.我们可以如此分析：左端变形c b a ++1+a c b ++1+b a c ++1=(a+b+c)(b a a c c b +++++111),∴只需证此式≥29即可. 探究结论:使用柯西不等式的技巧主要就是使用一些方法（巧拆常数、重新安排某些项的次序、添项等）构造符合柯西不等式的形式及条件.。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第3节排序不等式创新应用教学案新人教A版选修4_5
——教学资料参考参考范本——高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第3节排序不等式创新应用教学案新人教A版选修4_5______年______月______日____________________部门[核心必知]1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3)时，等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋…＋anbn)2，当且仅当bi ＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．[问题思考]1．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成ai·bi(i＝1，2，3，…，n)，可以吗？提示：不可以，ai·bi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致．2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1，2，3，…，n)，可以吗？提示：不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．设a，b，c为正数，且不全相等．求证：＋＋>.[精讲详析] 本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解答本题需要构造两组数据，，；，，，然后利用柯西不等式解决．构造两组数，，c＋a；，，，则由柯西不等式得(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋c)≥9，于是＋＋≥.由柯西不等式知，①中有等号成立⇔＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.因题设，a，b，c不全相等，故①中等号不成立，于是＋＋>.——————————————————柯西不等式的结构特征可以记为(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2，其中ai，bi∈R＋(i＝1，2，…，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．1．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b ＋b2c ＋c2a ()a＋b＋c＝·[()2＋()2＋()2]≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2＝(a ＋b ＋c)2，即(a ＋b ＋c)≥(a＋b ＋c)2， 又a ，b ，c∈R＋， ∴a ＋b ＋c>0，∴＋＋≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立。
高中数学 第三讲《柯西不等式与排序不等式》教案(1) 新人教版选修4-5
第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +≥>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则22||m a b =+，2||n c d =+∵m n ac bd •=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 222||c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+222c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d . 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题.第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =? 要点：利用变式222||ac bd c d +≤+.二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式：y =→ 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法 （数形结合法） 2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥.分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥.3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值.要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号，假设0i b ≠）联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B AC -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则 2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++22212()n b b b +++≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值.③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题2. 作业：教材P 41 5、6题第四课时 3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.② 提出排序不等式（即排序原理）： 设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和) 1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和) 121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n +++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 证明过程：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.又222111123n>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得3322112222222323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++， 两式相加即得.3. 小结：排序不等式的基本形式.三、巩固练习：1. 练习：教材P 45 1题2. 作业：教材P 45 3、4题。
高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 3 排序不等式课件 新人教A版选修45
a11＋b11＋c11≤a11＋b11＋c11， abcbcc
即 a10＋b10＋c10≤ab11＋bc11＋ca112≥a10＋b10＋c10.
2．设 a，b，c 为正数，求证： a2＋ 2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2≤bac3＋cba3＋acb3 . [思路点拨] 由题目可获取以下主要信息：①a，b，c 为正 数．②求证一个与排序有关的不等式．③题目中没有给出 a，b， c 的大小顺序．解答本题时不妨先设定 a≤b≤c，再利用排序不 等式加以证明．
• 解析： 由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和 最小，故最大值为32，最小值为28.
• 答案： 32 28
4．已知 a，b，x，y∈R＋，且1a>1b，x>y，求证：x＋x a>y＋y b. 证明： ∵1a>1b，∴b>a>0.又 x>y>0，由排序不等式知， bx>ay. 又x＋x a－y＋y b＝x＋bxa－ya＋y b>0， ∴x＋x a>y＋y b.
证明： ∵a≥b>0，于是1a≤1b，又 c>0， ∴1c>0，从而b1c≥c1a. 同理，∵b≥c>0，于是1b≤1c，∵a>0，∴1a>0，于是得c1a≥a1b. 从而b1c≥c1a≥a1b.
需对字母顺序作出假设的不等式的证明
设 a，b，c 为正数，求证： ab1c2＋bc1a2＋ca1b2≥a10＋b10＋c10. [思路点拨] 题目中没有给出 a，b，c 三个数的大小顺序， 且 a，b，c 在不等式中的“地位”是对等的，不妨设 a≥b≥c， 再利用排序不等式加以证明．
[解题过程] 由对称性，不妨设 a≥b≥c>0
于是 a12≥b12≥c12，b1c≥c1a≥a1b，
高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式3排序不等式人教A版选修4_5
[自主解答] 不妨设 0<a≤b≤c，则 a3≤b3≤c3， 0<b1c≤c1a≤a1b， 由排序原理：乱序和≤顺序和，得 a3·c1a＋b3·a1b＋c3·b1c≤a3·b1c＋b3·c1a＋c3·a1b， a3·a1b＋b3·b1c＋c3·c1a≤a3·b1c＋b3·c1a＋c3·a1b.
将上面两式相加得 a2＋c b2＋b2＋a c2＋c2＋b a2≤2bac3＋cba3＋acb3 ， 将不等式两边除以 2， 得a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2≤bac3＋cba3＋acb3 .
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给 出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限 定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限 定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．
合作探究 提素养
用排序不等式证明不等式(字母大小已定) 【例 1】 已知 a，b，c 为正数，a≥b≥c，求证： (1)b1c≥c1a≥a1b； (2)ba2c22＋cb2a22＋ac2b2 2≥a12＋b12＋c12.
[精彩点拨] 由于题目条件中已明确 a≥b≥c，故可以直接构造 两个数组．
[自主解答] (1)∵a≥b>0，于是1a≤1b. 又 c>0，∴1c>0，从而b1c≥c1a， 同理，∵b≥c>0，于是1b≤1c， ∴a>0，∴1a>0，于是得c1a≥a1b， 从而b1c≥c1a≥a1b.
即按注满时间为 4 min,5 min,6 min,8 min,10 min 依次等水，等待 的总时间最少．
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式a45a高二45数学
2．排序不等式的本质． 两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两 两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘 积之和最小． 3．求证一个与排序有关的不等式．若a，b，c在不 等式中的“地位”是对称的，解答时不妨设a≥b≥c，再 利用排序不等式加以证明．
第三十页，共三十一页。
第三 讲 (dì sān) 柯西不等式与排序不等式
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3．3 排序不等式
第二页，共三十一页。
[学习目标] 1.了解排序不等式的数学思想和背 景． 2.了解排序不等式的结构与基本原理，会用排序 不等式解决简单的不等式问题(重点、难点)．
第三页，共三十一页。
1．基本概念 设 a1<a2<a3<…<an，b1<b2<b3<…<bn 是两组实数，设 c1，c2，c3，…，cn 是数组 b1，b2，…，bn 的任何一个排 列，则 S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1 叫做数组(a1，a2，…， an)和(b1，b2，…，bn)的反序和；S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn 叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的顺序和；
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S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn 叫做数组(a1，a2，…，an) 和(b1，b2，…，bn)的乱序和．
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2．排序原理或排序不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数， c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么，a1bn ＋anbn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2 ＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn 时，反序和等于顺序和．
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不
三 排序不等式知识梳理1.基本概念设a 1<a 2<a 3<…<a n ,b 1<b 2<b 3<…<b n 是两组实数，c 1,c 2,c 3, …,c n 是数组b 1,b 2, …,b n 的任何一个排列，则S 1=a 1b n +a 2b n-1+…+a n b n 叫做数组（a 1,a 2, …,a n ）和(b 1,b 2, …b n ）的和_______；S 2=a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 叫做数组（a 1,a 2, …a n ）和(b 1,b 2, …，b n )的_______和;S=a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n 叫做数组(a 1,a 2, …,a n )和(b 1,b 2, …,b n ）的_______和.2.排序原理设a 1≤a 2≤…≤a n ,b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1,c 2, …,c n 是b 1,b 2, …,b n 的任一排列，那么,_______≤_______≤_______.当且仅当_______或_______时，反序和等于顺序和.知识导学排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”，两种较为简单是“顺与反”，而乱序和也就不按“常理”的顺序了，对于排序定理的记忆，我们只需记住用特殊例子的方法来说大小关系，比如教材上的例子. 对于排序不等式取等号的条件不难理解a 1=a 2=…=a n 或b 1=b 2=…=b n ，但对于我们解决某些问题则非常关键，它是命题成立的一种条件，所以要牢记.疑难突破1.对排序不等式的证明的理解对排序不等式的证明中，用到了“探究——猜想——检验——证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及到的“排序”及“乘积”的问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解.对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的.2.排序原理的思想在解答数学问题时，常常涉及到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题.因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.典题精讲【例1】 设a,b,c 都是正数，求证：cab b ca a bc ++≥a+b+c. 思路分析：不等式的左侧，可以分为两种数组ab,ac,bc;c 1,b 1,a 1，排出顺序后，可利用排序原理证之.证明：由题意不妨设a≥b≥c>0,由不等式的单调性，知ab≥ac≥bc,c 1≥b 1≥a1. 由排序原理，知ab×c 1+ac×b 1+bc×a 1≥ab×b 1+ac×a 1+bc×c1， 即所证不等式成立.绿色通道：要利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应的数组，并且要排列出大小顺序，因此比较出数组中的数间的大小关系是解答题的关键和基础.【变式训练】 设a,b 都是正数，求证：(b a )2+(a b )2≥b a +ab . 思路分析：观察不等式找出数组，并比较大小，用排序原理证明.证明：由题意不妨设a≥b>0.由不等式的单调性，知a 2≥b 2,b 1≥a1. 所以ab b a 22≥. 根据排序原理，知ba b a b a a a b b b a 11112222⨯+⨯≥⨯+⨯. 即(b a )2+(a b )2≥b a +ab . 【例2】 设a 1,a 2,…,a n 是1，2，…，n 的一个排列，求证：21+32+…+nn a a a a a a n n 132211-+++≤-Λ. 思路分析：构造出数组，利用排序原理证明.证明：设b 1,b 2, …,b n-1是a 1,a 2, …,a n-1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n-1；c 1,c 2, …,c n-1是a 2,a 3, …,a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n-1, 则121111->>>n c c c Λ且b 1≥1,b 2≥2, …,b n-1≥n -1,c 1≤2,c 2≤3, …,c n-1≤n. 利用排序不等式，有nn c b c b c b a a a a a a n n n n 1322111221113221-+++≥+++≥+++---ΛΛΛ. ∴原不等式成立.绿色通道：构造数组时，自己可根据题目的要求与需要，来限定数组间的一些联系，对于一些大小顺序，在不影响一般性的前提下，也可以设定.【变式训练】 设a 1,a 2, …,a n 都是正数，b 1,b 2, …,b n 是a 1,a 2, …,a n 的任一排列，求证：a 12b 1-1+a 22b 2-1+…+a n 2b n -1≥a 1+a 2+…+a n .思路分析：设定a 1,a 2,…，a n 的大小，找到两个数组，利用排序原理可证得.证明：设a 1≥a 2≥…≥a n >0,可知a 12≥a 22≥…≥a n 2,a n -1≥a n -1-1≥…≥a 1-1.由排序原理，得a12b1-1+a22b2-1+…+a n2b n-1≥a12a1-1+a22a2-1+a n2a n-1即a12b1-1+a22b2-1+…+a n2b n-1≥a1+a2+…+a n.问题探究问题：有十人各拿一只水桶去打水，如果水龙头灌满第i个人的水桶需要t i分钟，且这些t i（i=1,2, …,10)各不相等，试问：若有两个相同的水龙头供水时，应如何安排这十个人的次序，使他们花费的总时间最少？这个最少的总时间是多少？导思：考虑两个水龙头，要注意数组的搭配与数组中的大小顺序，可以联系教材上一个水龙头供水时的设定方法去求解.探究：如果有两个水龙头，设总时间最少时有m个人在第一个水龙头打水，设依次所需时间为p1,p2, …,p m;有10-m个人在第二个水龙头打水，依次所需时间设为q1,q2, …,q10-m.显然必有一个水龙头的打水人数不少于5人，不妨设为第一个水龙头，也不可能有一个水龙头没人去打水，则5≤m<10.设p1<p2<…<p m，q1<q2<…<q10-m.总花费的时间为：T=mp1+(m-1)p2+…+p m+(10-m)q1+(9-m)q2+…+q10-m.其中{p1,p2, …,p m,q1,q2, …,q10-m}={t1,t2, …,t10},t1<t2<…<t10.首先我们来证明m=5.若不然，我们让在第一个水龙头打水的第一人到第二个水龙头的第一位去，则总花费的时间变为：T′=(m-1)p2+…+p m+(11-m)p1+(10-m)q1+…+q10-m.T-T′=(2m-11)p1>0.即当m>5时，我们让第一水龙头的第一人到第二水龙头去后，总时间减少.故在m=5时，总时间可能取得最小值.由于m=5，故两个水龙头人一样多，总用时:T=(5p1+4p2+3p3+2p4+p5)+(5q1+4q2+3q3+2q4+q5).由于p1<p2<…<p5,q1<q2<…<q5.不妨设p1=t1.下证q1<p2.否则我们交换用时为q1,p2的两人的位置后，总用时变为T″=(5p1+4q1+3p3+2p4+p5)+(5p2+4q2+3q3+2q4+q5),T-T″=q1-p2>0.即经交换后总时间变少.故q1<p2.也即q1=t2.类似地我们可以证明：p i<q i<p i+1(i=1,2,3,4),p5<q5.从而最省时的打水顺序为：水龙头一：t1,t3,t5,t7,t9;水龙头二:t2,t4,t6,t8,t10.其中：t1<t2<…<t10.。
2020版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式练习(含解析)新人教A版选修4_5
三排序不等式基础巩固1有一有序数组,其顺序和为A,反序和为B,乱序和为C,则它们的大小关系为() A.A≥B≥C B.A≥C≥BC.A≤B≤CD.A≤C≤B,顺序和≥乱序和≥反序和,故A≥C≥B.2已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5,b1≤b2≤b3≤b4≤b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将b i(i=1,2,3,4,5)重新排列记为c1,c2,c3,c4,c5,则a1c1+a2c2+…+a5c5的最大值和最小值分别是()A.132,6B.304,212C.22,6D.21,363设a,b>0,P=a3+b3,Q=a2b+ab2,则P与Q的大小关系是()A.P>QB.P≥QC.P<QD.P≤Q4已知a,b,c>0,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是()A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序不等式,得a3·a+b3·b+c3·c≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.5设a1,a2,a3为正数,E则的大小关系是A.E<FB.E≥FC.E=FD.E≤Fa1≥a2≥a3>0,于是≤a3a1≤a1a2.由排序不等式,得·a2a3·a3a1·a1a2=a3+a1+a2,即≥a1+a2+a3.故E≥F.6某班学生要开联欢会,需要买价格不同的礼品4件,5件和2件.现在选择商店中单价分别为3元,2元和1元的礼品,则至少要花元,最多要花元.257已知a,b,x,y∈R+,且则与的大小关系是由排序不等式,得08若a>0,b>0且a+b=1,则的最小值是a≥b>0,则有a2≥b2,且由排序不等式,得·a2·b2=a+b=1,当且仅当a=b时,等号成立.所以的最小值为1.9n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为.-≤…≤-由排序不等式得反序和≤乱序和≤顺序和.0<a1≤a2≤a3≤…≤a n,则0--故最小值为反序和a1·--+a n·-10设a,b都是正数,求证,并比较大小,用排序不等式证明.a≥b>0,则a2≥b2所以根据排序不等式,知即能力提升1设x,y,z∈R+,且x+y+z=1,则P与的大小关系为A.P=1B.P<1C.P≥D.P≤x,y,z∈R+,且x+y+z=1,不妨设x≥y≥z,则x2≥y2≥z2由排序不等式,得当且仅当x=y=z时,等号成立.所以P≥ .2若A其中都是正数则与的大小关系为A.A>BB.A<BC.A≥BD.A≤B{x n}的各项都是正数,不妨设0<x1≤x2≤…≤x n,则x2,x3,…,x n,x1为序列{x n}的一个排列.依排序不等式,得x1x1+x2x2+…+x n x n≥x1x2+x2x3+…+x n x1,即≥x1x2+x2x3+…+x n x1.3在锐角三角形ABC中,设P则的大小关系为A.P≥QB.P=QC.P≤QD.不能确定A≥B≥C,则a≥b≥c,cos A≤ B≤ C,则由排序不等式有Q=a cos C+b cos B+c cos A≥a cos B+b cos C+c cos A=R(2sin A cos B+2sin B cos C+2sin C cos A),Q=a cos C+b cos B+c cos A≥b cos A+c cos B+a cos C=R(2sin B cos A+2sin C cos B+2sin A cos C),上面两式相加,得Q=a cos C+b cos B+c cos A≥A cos B+2sin B cos A+2sin B cos C+2sin C cos B+2sin C cos A+2sin A cos C)=R[ sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)]=R(sin C+sin A+sin B)4设a,b,c都是正数,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是()A.M≥0B.M≤0C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关D.不能确定a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4,则a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥a·c4+b·a4+c·b4.∵a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc,∴a4b+b4c+c4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca≥a3bc+b3ac+c3ab.∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.∴M≥0.5已知a,b,c都是正数,则的最小值为a≥b≥c>0,则由排序不等式,知+,得当且仅当a=b=c时,等号成立.★6在Rt△ABC中,C为直角,A,B所对的边分别为a,b,则aA+bB与的大小关系为a≥b>0,则A≥B>0.由排序不等式⇒2(aA+bB)≥a(A+B)+b(A+B)故aA+bB≥≥7设a,b,c都是正实数,求证:a a b b c c≥(ab)a≥b≥c>0,则lg a≥lg b≥lg c,由排序不等式,得a lg a+b lg b+c lg c≥b lg a+c lg b+a lg c,a lg a+b lg b+c lg c≥c lg a+a lg b+b lg c,且a lg a+b lg b+c lg c=a lg a+b lg b+c lg c,以上三式相加整理,得3(a lg a+b lg b+c lg c)≥(a+b+c)(lg a+lg b+lg c),即lg(a a b b c c)≥·lg(abc).故a a b b c c≥(ab)★8设a,b,c都是正实数,求证a≥b≥c>0,则而由不等式的性质,知a5≥b5≥c5.由排序不等式,知又由不等式的性质,知a2≥b2≥c2由排序不等式,得由不等式的传递性,知故原不等式成立.。
第三讲 柯西不等式与排序不等式
第三讲 柯西不等式与排序不等式2．熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明;．会应用柯西不等式解决函数最值，方程、不等式等的一些问题一、课前准备 知识情景：1. 柯西主要贡献简介： 柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2．如果,a b R ∈, 那么222a b a b +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 当0,0a b >>时，由222a b a b +≥⇒基本不等式： 二、新课导学（一）二维形式的柯西不等式1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d a c b d +++.当且仅当 时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式. 证法1.（综合法）222222222222()()a b c d a c a db c b d++=+++222()()()a c b d =++当且仅当 时, 等号成立.证法2.（构造法）分析：22222()()()a c b d a b c d +++⇐22222[2()]4()()0a c b d a b c d +-++而22222[2()]4()()a c b d a b c d +-++的结构特征 那么， 证：设22222()()2()f x a b x a c b d x c d =+-+++， ∵ 22()()()f x a x c b x d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证. 证法3.（柯西不等式的向量形式） 设向量(,)ma b =，(,)n c d =， 则||m =，||n =.∵ m n⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式1.若,,,a b c d R ∈，则_a c b d +_a c b d +；变式2.若,,,a b c d R ∈；变式3. （三角不等式）若1122,,,x y x y R∈推论：若123123,,,,,x x x y y y R ∈，则≥3. 二维柯西不等式的应用：例1．（1）已知,a b 为实数，求证： 4422332()()()a b a b a b ++≥+ （2）设,,1a b R a b +∈+=，求证：114ab+≥例2．（1）求函数y =（2）若231x y +=，求2249x y +的最小值，并求最小值点。
第三讲柯西不等式的基本方法与排序不等式(排序不等式)
探 究
S = a1c1 + a 2c2 + a 3c3 + L + a nc n 乱序和 S1 = a1bn + a 2 bn-1 + a 3 bn-2 + L + a n b1 反序和 S2 = a1b1 + a 2 b2 + a 3 b3 + L + a n b n 顺序和 之间的大小关系
设 0 < a1 < a 2 < a 3 < L < a n 0 < b1 < b2 < b3 < L < bn
反序排序原理） 定理：（排序不等式，又称排序原理） ：（排序不等式
设a1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ L ≤ a n，b1 ≤ b2 ≤ b ≤ L ≤ bn 为两组实数， L 为两组实数，c1，c2，c3， ，cn 是b1 , b2 , b,L, bn 的任一排列，那么 的任一排列， S1 ≤ S ≤ S2 S = a1c1 + a 2c2 + a 3c3 + L + a ncn 乱序和） （乱序和） S1 = a1bn + a 2 bn-1 + a3 bn-2 + L + a n b1 反序和） （反序和） S2 = a1b1 + a 2 b2 + a3 b3 + L + a n bn 顺序和） （顺序和） 当且仅当a 当且仅当a1 = a 2 = a3 = L = a n 或b1 = b2 = b = L = bn 时，反序和等于顺序和
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不
三 排序不等式庖丁巧解牛知识·巧学排序不等式Sequence Inequality(又称排序原理) (1)排序原理的内容：设有数组A ：a 1≤a 2≤…≤a n ，及数组B ：b 1≤b 2≤…≤b n .称a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 为顺序和，a 1b n +a 2b n-1+a 3b n-2+…+a n b 1为倒序和，a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n 为乱序和(其中c 1,c 2,…,c n 是b 1≤b 2≤…≤b n 的一个排列).则有：顺序和≥乱序和≥倒序和，其中等号当且仅当a 1=a 2=…=a n 或b 1=b 2=…=b n 时成立. 记忆要诀 以S=∑=ni ii ba 1表示顺序和，以∑=+-=ni i n i ba S 11表示倒序和，以S 1=∑=ni ii ca 1表示乱序和（其中，c 1，c 2,…,c n 是b 1≤b 2≤…≤b n 的任一排列）,则有S ≤S 1≤S.(2)排序原理的本质含义：两实数序列同方向单调（同时增或同时减）时所得两两乘积之和最大，反方向单调（一增一减）时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列. 学法一得由排序原理，我们可以得到这样一个推论：对于实数，a 1,a 2,…,a n ,设a i1,a i2,…,a in 为其任一个排列,则有a 1a i1+a 2a i2+…+a n a in ≤a 12+a 22+…+a n 2.证明：不妨设满足a 1≤a 2≤…≤a n ,取b k =a k (k=1,2，…,n), 因此b 1≤b 2≤…≤b n ,且a 1,a 2,…,a n 是b 1,b 2,…,b n 的一个排列,由排序原理知, a 11i a +a 22i a +…+a n n i a ≤a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =a 12+a 22+…+a n 2.(3)排序原理的意义：在解各种涉及到若干个可以比较大小的对象（如实数、线段、角度等）a 1,a 2,…,a n 的数学问题时，如果根据对称性，假定它们按一定的顺序排列起来，往往能使问题迎刃而解.这就是数学中的排序思想. 联想发散根据排序原理的定义，在处理积问题时，有时我们可以通过“逐步调整”的方法，使最后的积总的最大.而且所进行操作的步骤是有限的. 排序原理的思想：在解答数学问题时常常涉及到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，不妨可以将它们按一定顺序排列起来，往往十分有助于解题，这在不等式中应用尤为广泛. 典题·热题知识点一： 用排序不等式证明不等式例1 在△ABC 中，h a ,h b ,h c 为边长a,b,c 上的高，求证：asinA+bsinB+csinC≥h a +h b +h c . 思路分析：解题关键是将h a ，h b ，h c 结合已知量转化为积的形式，进而运用排序原理去求证. 证明：如下图,h a =bsinC;h b =csinA,h c =asinB,不妨设a≥b≥c;由大角对大边可知A≥B≥C.①若A≤90°，则有sinA≥sinB≥sinC,由顺序和≥乱序和，可得asinA+bsinB+csinC≥asinB+bsinC+csinA.②若A>90°,此时,sinA=sin(B+C),因为B+C 为锐角,故亦有sinA≥sinB≥sinC.由顺序和≥乱序和，可得asinA+bsinB+csinC≥asinB+bsinC+csinA. 综上可知,asinA+bsinB+csinC≥h a +h b +h c 成立. 巧妙变式用A 、B 、C 表示△ABC 的三内角的弧度数，a 、b 、c 表示其对边，求证c b a cC bB aA ++++≥3π.证明：由对称性，不妨设a≥b≥c,于是A≥B≥C，于是由顺序和≥乱序和，可得aA+bB+cC=aA+bB+cC, aA+bB+cC≥aB+bC+cA, aA+bB+cC≥aC+bA+cB. 将上面三式相加可得3（aA+bB+cC ）≥(a+b+c)(A+B+C)=π(a+b+c). 因为a+b+c>0，所以c b a cC bB aA ++++≥3π.例2 a,b,c∈R +，求证: a+b+c≤abc ca b bc a b a c a c b c b a 233222222222++≤+++++. 思路分析：本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在处理该类式子中，经常对每个式子采用同样的处理方法即可（即轮换技巧）.中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明：不妨设a≥b≥c，则a 2≥b 2≥c 2,c 1≥b 1≥a 1,则a 2·c 1+b 2·a 1+c 2·b1（乱序和）≥a 2·a 1+b 2·b 1+c 2·c 1（倒序和），同理a 2·c 1+b 2·a 1+c 2·b 1（乱序和）≥a 2·a 1+b 2·b 1+c 2·c1（倒序和）.两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组a 3≥b 3≥c 3及bc 1≥ac 1≥ab1，仿上可证第二个不等式.方法归纳证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，这些操作包括一些添项、拆项，及一定的构造,而变形的主要依据是不等式的性质.因此在学习中，应该认真把握这个定理的内容形式.知识点二： 用排序不等式证明重要公式例 3 证明切比雪不等式：若a 1≤a 2≤…≤a n 且b 1≤b 2≤…≤b n ,则∑=n i i i b a n 11≥(∑=n i i a n 11)·(∑=ni i b n 11). 思路分析：排序原理,运用于数列解题是常见题型,处理该类题目,应将数列进行重组,使其成为递增数列或者递减数列,再由大小关系应用排序原理求解. 证明：由排序不等式有：a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n , a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥a 1b 2+a 2b 3+…+a n b 1, a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥a 1b 3+a 2b 4+…+a n b 2， ……a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥a 1b n +a 2b 1+…+a n b n -1. 将以上式子相加得：n(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )≥a 1(b 1+b 2+…+b n )+a 2(b 1+b 2+…+b n )+…+a n (b 1+b 2+…+b n ),∴∑=n i i i b a n 11≥∑=n i i a n 11)·(∑=ni i b n 11). 巧妙变式a 1≤a 2≤…≤a n 且b 1≥b 2≥…≥b n ,则∑=n i i i b a n 11≤(∑=n i i a n 11)·(∑=ni i b n 11).例4 请利用排序不等式证明G n ≤A n .（一般地，对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ；几何平均G n =nn a a a 21，算术平均A n =na a a n+++ 21）思路分析：由排序不等式可以衍生出很多的定理与性质，及一些有用的式子. 证明：令b i =niG a (i=1,2, …,n)，则b 1b 2…b n =1，故可取x 1,x 2, …,x n >0，使得 b 1=21x x ,b 2=32x x , …,b n -1=n n x x 1-,b n =1x x n .由排序不等式有： b 1+b 2+…+b n =13221x x x x x x n ++（乱序和） ≥x 1·11x +x 2·21x +…+x n ·nx 1（倒序和） =n ， ∴nn n n G a G a G a +++ 21≥n,即n a a a n++21≥G n . 方法归纳对,1,121a a …，na 1各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，G n ≤A n . 问题·探究思想方法探究问题 如何形象地理解排序原理，并正确地运用它？探究过程:理解排序原理的正确性，令a 1=2,a 2=7,a 3=8,a 4=9,a 5=12,另令b 1=3,b 2=4,b 3=6,b 4=10,b 5=11,记c 1,c 2,c 3,c 4,c 5是b 1,b 2,b 3,b 4,b 5的一个重排列，来计算a 1c 1+a 2c 2+…+a 5c 5的值,至多可以得到5！=120个不同的数.易验证出a 1b 1+a 2b 2+…+a 5b 5最大,值为304;而a 1b 5+a 2b 4+…+a 5b 1最小,值为212.排序不等式应用较为广泛，它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组的积的形式，如a,b,c∈R +时,a 3+b 3+c 3≥a 2b+b 2c+c 22·a+b 2·b+c 2·c≥a 2·b+b 2·c+c 2·a,此处依据的是顺序和≥乱序和;ac c b b a 222++≥a+b+c ⇔a 2·b 1+b 2·c 1+c 2·a 1≥a 2·a 1+b 2·b 1+c 2·c 1,此处依据的是乱序和≥倒序和.在运用排序定理时，首先要特别注意“序”，应注意所给项的一个大小问题，这是排序不等式与别的不等式的一个显著区别所在.我们以前学过的一些有用的不等式，如对a>0,有a+a 1≥2，完全可以改写为这样一个形式，对a>0,有a·1+1·a 1≥a·a1+1·1，这时，运用的就是顺序和≥反序和，可谓异曲同工.探究结论:排序不等式也有广泛的应用，许多重要的不等式（如柯西不等式、平均不等式等）都可以由它推得. 交流讨论探究 问题 平均的概念，在人们的日常生活和生产实践中是经常遇到的.除了上述谈到的算术平均数和几何平均数之外，还常会用到哪些平均数？ 探究过程:同学甲：设a 1,a 2, …,a n 为正数，则这n 个数的平方和的算术平均数的算术平方根为Q n =na a a n22221+++ .Q n 称为这n 个数的平方平均数.平方平均数在概率统计及误差分析中有着重要的作用. 同学乙：而n 个正数的倒数的算术平均数的倒数为H n =na a a n11121+++ .H n 称为这n 个数的调和平均数.调和平均数在物理学中的光学及电路分析中有着较多的应用.而记A n =na a a n++21,G n =n n a a a 21.同学丙：A n ,G n ,Q n ,H n 四个平均数的关系为H n ≤G n ≤A n ≤Q n . 其中等号当且仅当a 1=a 2=…=a n 时成立.探究结论:这些不等式，本身也可以通过排序不等式证明出，这些重要的不等式不仅应用广泛，而且也是今后进一步学习高等数学的重要工具.。
第三讲柯西不等式与排序不等式介绍
第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +≥>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课： 1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量α,,）（b a =β),(d c =，α与β之间的夹角为θ，πθ≥≤0。
根据向量内积的定义，我们有：，θβαβαcos =∙ 所以，θβαβαcos =∙因为1cos ≤θ，所以，βαβα≤∙22||||c d ac bd +≥+证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即22222()()()a b c d ac bd ++≥+③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？22||c d ac bd +≥+ 或 22||||c d ac bd +≥+222c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：什么时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程： 一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+≥2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y ?要点：利用变式22||ac bd c d ++.二、讲授新课： 1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y = 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式：y → 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法 （数形结合法） 2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥. 3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=.4. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？ 答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++ 二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212nna a ab b b ===时取等号，假设0i b ≠） 联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B AC -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++22212()n b b b +++≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.） ④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值. 分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式： ② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值. ③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.第四课时 3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路. 教学过程： 一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课： 1. 教学排序不等式：（1）引入：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min ，25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式
故( －3t＋12＋ t)max＝4.(10分)
归纳升华 根据题设条件的结构特点，恰当选择柯西不等式的 某个形式，获得某个最值，再结合其他数学知识，解决 参数的范围、不等式恒成立等综合问题．
[类题尝试] 把一根长为12 m的细绳截成三段，各
围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正
方形面积之和S最小，并求此最小值．
小，最小面积为3 m2.
1．理解并记忆三种形式取“＝”的条件． (1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号． (2)向量形式中当α＝kβ或β＝0时取等号． (3)三角形式中当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三 点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号．
2．二维形式的柯西不等式的变式． (1) a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|. (2) a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3) a2＋b2· c2＋d2≥ac＋bd. 3．对柯西不等式一般形式的说明． 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式的柯西 不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等 式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运 用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．
即x＝
37 6
，y＝
28 9
，z＝
22 15
时等号成立，此时umax＝
2 30.
归纳升华 1．先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯 西不等式求解的先决条件； 2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安 排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而 达到运用柯西不等式求最值的目的． 3．有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才 能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立 的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多 次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等
三 排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，称a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n .排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．已知a ，b ，c 为正数，且a ≥b ≥c ，求证：b 3c 3＋c 3a 3＋a 3b 3≥a ＋b ＋c.分析题目中已明确a ≥b ≥c ，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．∵a ≥b >0，∴1a ≤1b.又c >0，从而1bc ≥1ca.同理1ca ≥1ab ，从而1bc ≥1ca ≥1ab.又由于顺序和不小于乱序和，故可得a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3⎝ ⎛⎭⎪⎫∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b 3＝1c ＋1a ＋1b＝1a ＋1b ＋1c.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin β·cos β＋sin γcos γ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．2．设x ≥1，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n. 证明：∵x ≥1，∴1≤x ≤x 2≤…≤x n.由排序原理，得12＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n.①又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n的一个排列， 由排序原理，得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，得x ＋x 3＋…＋x2n －1＋x n≥(n ＋1)x n.②将①②相加，得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n.在△ABC 中，试证：3≤a ＋b ＋c.可构造△ABC 的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明． 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ≥aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n . 证明：不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n.因为1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排列，由排序原理，得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n ≤a 1·1c 1＋a 2·1c 2＋…＋a n ·1c n ，即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n ≥n .4．设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列， 求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n.证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c 1>1c 2>…>1c n －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n .利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n. ∴原不等式成立．课时跟踪检测(十一)1．有一有序数组，其顺序和为A ，反序和为B ，乱序和为C ，则它们的大小关系为( ) A ．A ≥B ≥C B ．A ≥C ≥B C ．A ≤B ≤CD ．A ≤C ≤B解析：选B 由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A ≥C ≥B .2．若A ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：选C 序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n } 的一个排列．由排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 22＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ， 则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ＝R＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2.4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________元．( )A ．76B ．20C ．84D ．96解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.答案：32 286．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s 、4 s 、3 s 、7 s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：417．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．解析：不妨设a ≥b >0，则A ≥B >0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )．答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b )8．设a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c ≤a 4＋b 4＋c 4abc.证明：由题意不妨设a ≥b ≥c >0.由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，ab ≥ac ≥bc . 根据排序原理，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 3c ＋b 3a ＋c 3b .① 又由不等式的性质，知a 3≥b 3≥c 3，且a ≥b ≥c . 再根据排序不等式，得a 3c ＋b 3a ＋c 3b ≤a 4＋b 4＋c 4.②由①②及不等式的传递性，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 4＋b 4＋c 4.两边同除以abc 得证原不等式成立． 9．设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值．解：不妨设a ≥b ≥c ， 则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由排序不等式，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，以上两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32，即当且仅当a ＝b ＝c 时，ab ＋c＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值为32.10．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y.证明：由于不等式关于x ，y ，z 对称， 不妨设0<x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x，由排序原理：反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y ，x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1y ＋y 2·1z ＋z 2·1x， 将上面两式相加，得2(x ＋y ＋z )≤x 2＋y 2z ＋y 2＋z 2x ＋z 2＋x 2y ，于是x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验(陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤32＋124－t2＋t2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.12n 12n 1122＋…＋a nb n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，形式简洁、美观，对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证：1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.由柯西不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＋1c2＋1d 2⎝ ⎛ 1b2＋1c2＋⎭⎪⎫1d2＋1a 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da 2，于是1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d 1a⇔b a ＝c b ＝d c ＝a d⇔a ＝b ＝c ＝d .又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立． 即1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2>1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简便．设a ，b ，c 为实数，求证：a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.由对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab.由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ca ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a.① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c，再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得a 11a ＋b 11b ＋c 11c ≤a 11b ＋b 11c ＋c 11a.② 由①②得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．已知5a 2＋3b 2＝158，求a 2＋2ab ＋b 2的最大值．解：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ≥⎝⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，当且仅当5a ＝3b ，即a ＝38，b ＝58时，等号成立．∴815×(5a 2＋3b 2)≥a 2＋2ab ＋b 2. ∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1.∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1.已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n＋x 2nx 1的最小值． 不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ，则1x 1≥1x 2≥…≥1x n>0，且0<x 21≤x 22≤…≤x 2n .∵1x 2，1x 3，…，1x n ，1x 1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 的一个排列，根据排序不等式，得F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1≥x 21·1x 1＋x 22·1x 2＋…＋x 2n ·1x n＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＝P n时，等号成立．即F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2nx 1的最小值为P .。
(导学案)第三讲柯西不等式与排序不等式
第三讲柯西不等式与排序不等式［学习目标］1. 认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2. 通过运用柯西不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法;3. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题。
依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解 ［知识要点］1、定理1:（二维形式的柯西不等式）若a,b,c,deR ，则 __________________________ . 当且仅当 ________________ 时，等号成立.变式： 若ci,b,c,d£R, 则 ______________________ 或 ________________________ 2、 定理2：（柯西不等式的向量形式）设。
/是两个向量，则 __________________ . 当且仅当 ________________________________________________ 时，等号成立. 3、 定理3：（三角形不等式）设为，乂,工2，光为任意实数，则___________________________________________________________ 4、 定理4：（一般形式的柯西不等式）设〃为大于1的自然数，《.也.（2 = 1, 2,…，n ）为任意实数，则 ___________________________________________________________ ， 其中等号当且仅当 _______________ 时成立（当％=0时，约定々•=（）,，= 1, 2,…，〃）。
5、 排序不等式，又称排序原理：设«,<«2< ••- <a tl -,b {<b 2<・・・V 仑为两个有序实数 组，C|,C 2,…，c 〃是h^b 2 , ••• ,h n 的任一排歹|J,则有（反序和）< （乱序和）< （顺序和） 当且仅当 时，反序和等于顺序和.［预习自测］1. 已知3x + 2y = l,则X 2 + y 2的最小值是 ________ .2. 函数y = 3』x-5 + 4』6-x 的最大值为 ______________ ,此时x 的值为 ___________3. 设6X1下列最小的是（）A 呐 +心+咧B . 咕 + 心 +皿 c. 雎!2+咧+皿 ［）. 雎1+心 +。
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3.3排序不等式
预习案
一、预习目标及范围
1．了解排序不等式的数学思想和背景．
2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．
二、预习要点
教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念
设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，b 1≤b 2≤b 3≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则称a i 与b i (i ＝1,2，…，n )的相同顺序相乘所得积的和 为顺序和，和 为乱序和，相反顺序相乘所得积的和 称为反序和．
教材整理2 排序不等式
设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则 ≤ ≤ ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时，反序和等于顺序和，此不等式简记为 ≤ ≤顺序和．
三、预习检测
1.若m ≥n ≥p ≥q ，a ≥b ≥c ≥d ，则
(1)am ＋bn ＋cp ＋dq 是________和，
(2)an ＋bq ＋ca ＋dp 是________和，
(3)aq ＋bp ＋cn ＋d m 是________和，
(4)aq ＋bm ＋cq ＋dn 是________和．
2.若a 1≥a 2≥a 3，b 1≥b 2≥b 3，则a 1b j 1＋a 2b j 2＋a 3b j 3中最大值是a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3(其中j 1，j 2，j 3是1,2,3的任一排列)．( )
3.若a ≥b ，c ≥d ，则ac ＋bd ≥ad ＋bc .( )
探究案
一、合作探究
题型一、用排序不等式证明不等式(字母大小已定)
例1已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证：
(1)1bc ≥1ca ≥1ab
； (2)a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c
2.
【精彩点拨】 由于题目条件中已明确a ≥b ≥c ，故可以直接构造两个数组．
[再练一题]
1．本例题中条件不变，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2
c 3.
题型二、字母大小顺序不定的不等式证明
例2设a ，b ，c 为正数，求证：a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3
ab
. 【精彩点拨】 (1)题目涉及到与排序有关的不等式；
(2)题目中没有给出a ，b ，c 的大小顺序．解答本题时不妨先设定a ≤b ≤c ，再利用排序不等式加以证明．
[再练一题]
2．设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2
n a 1
≥a 1＋a 2＋…＋a n .
题型三、利用排序不等式求最值
例3 设A ，B ，C 表示△ABC 的三个内角，a ，b ，c 表示其对边，求
aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c
的最小值(A ，B ，C 用弧度制表示)．
【精彩点拨】 不妨设a ≥b ≥c ＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解．
[再练一题] 3．已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝1，求t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2
x
的最小值．
题型四、利用排序不等式求解简单的实际问题
例4 若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？
【精彩点拨】 这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t 1 min 时，三台电脑等候维修的总时间为3t 1 min ，依此类推，等候的总时间为3t 1＋2t 2＋t 3 min ，求其最小值即可．
[再练一题]
4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4 min,8 min,6 min,10 min,5 min，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？
二、随堂检测
1．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是( )
A．M>N B．M≥N C．M<N D.M≤N
2．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是( ) A．P>Q B．P≥Q C．P<Q D.P≤Q
3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________.
参考答案
预习检测：
1.【答案】(1)顺序(2)乱序(3)逆序(4)乱序
【答案】 2.√ 3.√
随堂检测：
1.【解析】由排序不等式，知M≥N.
【答案】 B
2.【答案】 B
3.【解析】由排序不等式，顺序和最大，反序和最小，
∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.
【答案】32 28
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