概率统计习题全解
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习题一解答
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A :
(1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件}{两次出现的面相同=A ;
(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}; (3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。 解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω, )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数,则
},2,1,0|{ ===Ωk k X , }3,2,1,0|{===k k X A .
(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命(单位:小时),则
)},0({∞+∈=ΩX , )}2500,2000({∈=X A .
2. 袋中有10个球,分别编有号码1至10,从中任取1球,设=A {取得球的号码是偶数},=B {取得球的号码是奇数},=C {取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件:
(1)B A ;(2)AB ;(3)AC ;(4)AC ;(5)C A ;(6)C B ;(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件; (2) φ=AB 是不可能事件;
(3) =AC {取得球的号码是2,4};
(4) =AC {取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10};
(5) =C A {取得球的号码为奇数,且不小于5}={取得球的号码为5,7,9};
(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10}; (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10}
3. 在区间]2,0[上任取一数,记??????≤<=121x x A ,???
???≤≤=2341x x B ,求下列事件的表达式:
(1)B A ;(2)B A ;(3)B A ;(4)B A .
解 (1) ???
???≤≤=234
1x x B A ;
(2) =??????≤<≤≤=B x x x B A 2121
0或?
?????
≤?????≤
≤231214
1x x x x ; (3) 因为B A ?,所以φ=B A ;
(4)=??????≤<<≤=223410x x x A B A 或 ?
?????≤<≤<<≤223
121410x x x x 或或 4. 用事件C
B A ,,的运算关系式表示下列事件:
(1) A 出现,C B ,都不出现(记为1E ); (2) B A ,都出现,C 不出现(记为2E ); (3) 所有三个事件都出现(记为3E );
(4) 三个事件中至少有一个出现(记为4E ); (5) 三个事件都不出现(记为5E ); (6) 不多于一个事件出现(记为6E ); (7) 不多于两个事件出现(记为7E ); (8) 三个事件中至少有两个出现(记为8E )。 解 (1)C B A E =1; (2)C AB E =2; (3)ABC E =3; (4)C B A E =4;
(5)C B A E =5; (6)C B A C B A C B A C B A E =6;
(7)C B A ABC E ==7;(8)BC AC AB E =8.
5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设i A 表示事件“第i 次抽到废品”,3,2,1=i ,试用i A 表示下列事件:
(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品;
(2) 只有第一次抽到废品; (3) 三次都抽到废品;
(4) 至少有一次抽到合格品; (2) 只有两次抽到废品。
解 (1)21A A ; (2)321A A A ; (3)321A A A ;
(4)321A A A ; (5)321321321A A A A A A A A A .
6. 接连进行三次射击,设i A ={第i 次射击命中},3,2,1=i ,=B {三次射击恰好命中二次},=C {三次射击至少命中二次};试用i A 表示B 和C 。
解 321321321A A A A A A A A A B = 323121A A A A A A C =
习题二解答
1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品,求其中恰有1件次品的概率。
解 这是不放回抽取,样本点总数???
?
??=350n ,记求概率的事件为A ,则有利于A 的样本点数
???
? ?????? ??=15245k . 于是
39299!2484950!35444535015245)(=??????=????
?????? ?????? ??==n k A P 2.一口袋中有5个红球及2个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后,再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求
(1) 第一次、第二次都取到红球的概率;
(2) 第一次取到红球,第二次取到白球的概率; (3) 二次取得的球为红、白各一的概率; (4) 第二次取到红球的概率。
解 本题是有放回抽取模式,样本点总数27=n . 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为D C B A ,,,.
(ⅰ)有利于A 的样本点数2
5=A k ,故 492575)(2
=??
?
??=A P
(ⅱ) 有利于B 的样本点数25?=B k ,故 4910
725)(2=?=B P
(ⅲ) 有利于C 的样本点数252??=C k ,故 49
20
)(=C P
(ⅳ) 有利于D 的样本点数57?=D k ,故 75
49357
57)(2==?=D P . 3.一个口袋中装有6只球,分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球,试求:(1) 最小号码是3的概率;(2) 最大号码是3的概率。
解 本题是无放回模式,样本点总数56?=n .
(ⅰ) 最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只,且有一次抽到3,因而有利
样本点数为32?,所求概率为 5
1
5632=??.
(ⅱ) 最大号码为3,只能从1,2,3号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为22?,
所求概率为 15
2
5622=??.
4.一个盒子中装有6只晶体管,其中有2只是不合格品,现在作不放回抽样,接连取2次,每次取1只,试求下列事件的概率:
(1) 2只都合格;
(2) 1只合格,1只不合格; (3) 至少有1只合格。
解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为C B A ,,,则
522562342624)(=????=???
? ?????? ??=A P 15856224261214)(=???=???
?
?????? ?????? ??=B P
注意到B A C =,且A 与B 互斥,因而由概率的可加性知
15
14
15852)()()(=+=+=B P A P C P
5.掷两颗骰子,求下列事件的概率:
(1) 点数之和为7;(2) 点数之和不超过5;(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为C B A ,,,样本点总数26=n (ⅰ)A 含样本点)2,5(),5,2(,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)
61
6
6)(2==∴A P
(ⅱ)B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
185
6
10)(2==∴B P
(ⅲ)C 含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。
2
13618)(==
∴C P 6.把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去,假设每间宿舍最多可住8人,试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解 记求概率的事件为A ,样本点总数为35,而有利A 的样本点数为345??,所以 2512
5
345)(3
=??=A P . 7.总经理的五位秘书中有两位精通英语,今偶遇其中的三位,求下列事件的概率: (1) 事件A :“其中恰有一位精通英语”; (2) 事件B :“其中恰有二位精通英语”;
(3) 事件C :“其中有人精通英语”。
解 样本点总数为???
?
??35
(1) 53106345!332352312)(==????=???
?
?????? ?????? ??=
A P ; (2) 103345!33351322)(=???=???
?
?????? ?????? ??=
B P ; (3) 因B A
C =,且A 与B 互斥,因而
10
9
10353)()()(=+=+=B P A P C P .
8.设一质点一定落在xOy 平面内由x
解 记求概率的事件为A ,则A S
为图中阴影部分,而2/1||=Ω,
1859521322121||2
=?=??? ??-=A S 最后由几何概型的概率计算公式可得
952/118/5||||)(==Ω=A S A P . 9.(见前面问答题2. 3)
10.已知B A ?,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求
(1))(A P ,)(B P ;(2))(B A P ;(3))(AB P ;(4))(),(B A P A B P ;(5))(B A P . 解 (1)6.04.01)(1)(=-=-=A P A P ,4.06.01)(1)(=-=-=B P B P ; (2)6.0)()()()()()()()(==-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P ; (3)4.0)()(==A P AB P ;
(4)0)()()(==-=φP B A P A B P , 4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ; (5).2.04.06.0)()(=-=-=A B P B A P
11.设B A ,是两个事件,已知5.0)(=A P ,7.0)(=B P ,8.0)(=B A P ,试求)(B A P -及).(A B P - 解 注意到 )()()()(AB P B P A P B A P -+= ,因而)()()(B P A P AB P += )(B A P -4.08.07.05.0=-+=. 于是,)()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=- 1.04.05.0=-=;3.04.07.0)()()()(=-=-=-=-AB P B P AB B P A B P .
习题三解答
1.已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ,随机事件B 的概率6.0)(=B P ,条件概率8.0)|(=A B P ,试求)(AB P 及)(B A P .
解 4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P
)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-==
3.04.06.05.01=+--=
图2.3
2.一批零件共100个,次品率为10%,从中不放回取三次(每次取一个),求第三次才取得正品的概率。
解 1078
9
989981989910090910=
?=????=p . 3.某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项投资都做的概率为0.19
(1) 已知他已投入基金,再购买股票的概率是多少? (2) 已知他已购买股票,再投入基金的概率是多少?
解 记=A {基金},=B {股票},则19.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P
(1) .327.058.019
.0)()()|(===
A P A
B P A B P (2) 678.028
.019
.0)()()|(===
B P AB P B A P . 4.给定5.0)(=A P ,3.0)(=B P ,15.0)(=AB P ,验证下面四个等式:
),()|(),()|(A P B A P A P B A P == )()|(B P A B P =,).()|(B P A B P = 解 )(2
1
3.015.0)()()|(A P B P AB P B A P ====
)(5.07.035
.07.015.05.0)(1)()()()()|(A P B P AB P A P B P B A P B A P ===-=--==
)(3.05
.015
.0)()()|(B P A P AB P A B P ====
)(5
.015
.05.015.03.0)(1)()()()()|(B P A P AB P B P A P B A P A B P ==-=--==
5.有朋自远方来,他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火车,迟到的概率是0.25,若坐船,迟到的概率是0.3,若坐汽车,迟到的概率是0.1,若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。
解 =B {迟到},=1A {坐火车},=2A {坐船},=3A {坐汽车},=4A {乘飞机},则 4
1
==i i BA B ,
且按题意
25.0)|(1=A B P ,3.0)|(2=A B P ,1.0)|(3=A B P ,0)|(4=A B P .
由全概率公式有:
∑==?+?+?==4
1145.01.01.03.02.025.03.0)|()()(i i i A B P A P B P
6.已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8只红球,6只白球。求下列事件的概率: (1) 随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球; (2) 合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球。
解 (1) 记=B {该球是红球},=1A {取自甲袋},=2A {取自乙袋},已知10/6)|(1=A B P ,14/8)|(2=A B P ,所以
70
41
1482110621)|()()|()()(2211=?+?=+=A B P A P A B P A P B P
(2) 12
72414)(==
B P 7.某工厂有甲、乙、丙三个车间,生产同一产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求该厂产品的次品率。
解 02.04.004.035.005.025.0?+?+??
%45.30345.0008.00140.00125.0==++=
8.发报台分别以概率0.6,0.4发出""?和""-,由于通信受到干扰,当发出""?时,分别以概率0.8和0.2收到""?和""-,同样,当发出信号""-时,分别以0.9和0.1的概率收到""-和""?。求(1) 收到信号""?的概率;(2) 当收到""?时,发出""?的概率。
解 记 =B {收到信号""?},=A {发出信号""?} (1) )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=
52.004.048.01.04.08.06.0=+=?+?=
(2) 13
12
52.08.06.0)()|()()|(=?==B P A B P A P B A P .
9.设某工厂有C B A ,,三个车间,生产同一螺钉,各个车间的产量分别占总产量的25%,35%,40%,各个车间成品中次品的百分比分别为5%,4%,2%,如从该厂产品中抽取一件,得到的是次品,求它依次是车间C B A ,,生产的概率。
解 为方便计,记事件C B A ,,为C B A ,,车间生产的产品,事件=D {次品},因此 )|()()|()()|()()(C D P C P B D P B P A D P A P D P ++= 02.04.004.035.005.025.0?+?+?= 0345.0008.0014.00125.0=++=
362.00345.005
.025.0)()|()()|(=?==D P A D P A P D A P
406.00345.004
.035.0)()|()()|(=?==D P B D P B P D B P
232.00345
.002
.04.0)()|()()|(=?==D P C D P C P D C P
10.设A 与B 独立,且q B P p A P ==)(,)(,求下列事件的概率:)(B A P ,)(B A P ,)(B A P . 解 pq q p B P A P B P A P B A P -+=-+=)()()()()(
pq q q p q p B P A P B P A P B A P +-=---+=-+=1)1(1)()()()()( pq B P A P AB P B A P -=-==1)()(1)()(
11.已知B A ,独立,且)()(,9/1)(B A P B A P B A P ==,求)(),(B P A P . 解 因)()(B A P B A P =,由独立性有
)()()()(B P A P B P A P =
从而 )()()()()()(B P A P B P B P A P A P -=- 导致 )()(B P A P =
再由 9/1)(=B A P ,有 2))(1())(1))((1()()(9/1A P B P A P B P A P -=--== 所以 3/1)(1=-A P 。最后得到 .3/2)()(==A P B P
12.甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次,命中率分别为1/3,1/2,2/3,求目标被命中的概率。
解 记 =B {命中目标},=1A {甲命中},=2A {乙命中},=3A {丙命中},则 3
1==i i A B ,因
而
.98
9113121321)()()(11)(32131=-=??-=-=???
? ??-==A P A P A P A P B P i i 13.设六个相同的元件,如下图所示那样安置在线路中,设每个元件不通达的概率为p ,求这
解 记 =A {通达},
=i A {元件i 通达},6,5,4,3,2,1=i
则 654321A A A A A A A =, 所以
)()()()(654321A A P A A P A A P A P ++=
)()()()(654321652165434321A A A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P +---
642)1()1(3)1(3p p p -+---=
14.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立,试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
解 0512.0)8.0()2.0(352
3=???
? ??=p .
15.灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
解 104.0096.0008
.0)2.0(8.023)2.0(332
3=+=?????
? ??+???? ??=p . 16.设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19/27,求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P .
解 记=i A {A 在第i 次试验中出现},.3,2,1=i )(A P p =
依假设 3
32131)1(1)(12719p A A A P A P i i --=-=???
? ??== 所以, 27
8
)1(3=-p , 此即 3/1=p .
17.加工一零件共需经过3道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率。
解 注意到,加工零件为次品,当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 =i A {第i 道工序为次品},.3,2,1=i 则次品率
097.090307.0195.097.098.01)()()(132131≈-=??-=-=???
? ??==A P A P A P A P p i i
18.三个人独立破译一密码,他们能独立译出的概率分别为0.25,0.35,0.4. 求此密码被译出的概率。
解 记 =A {译出密码}, =i A {第i 人译出},.3,2,1=i 则 7075
.02925.016.065.075.01)()()(1)(32131=-=??-=-=???
?
??==A P A P A P A P A P i i 19.将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次,恰有5次出现正面的概率是多少?有4次至6次出现正面的概率是多少?
解 (1) 256632151010
=??
? ?????? ?? ; (2) 106
42110??
? ?????? ??∑=k k .
20.某宾馆大楼有4部电梯,通过调查,知道在某时刻T ,各电梯正在运行的概率均为0.75,求:
(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率; (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率; (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。
解 (1) 256
255
)25.0(1)75.01(144=-=--
图3.1
(2) 1282741436)25.0()75.0(242
2
2
2=??? ?????? ???=???? ?? (3) 2568143)75.0(4
4=??
? ??=
习题四解答
1. 下列给出的数列,哪些是随机变量的分布律,并说明理由。
(1)5,4,3,2,1,0,15==i i
p i ;
(2)()3,2,1,0,652=-=i i p i ; (3)5,4,3,2,41
==i p i ;
(4)5,4,3,2,1,25
1
=+=i i p i 。
解 要说明题中给出的数列,是否是随机变量的分布律,只要验证i p 是否满足下列二个条件:其一条件为 ,2,1,0=≥i p i ,其二条件为1=∑i
i p 。
依据上面的说明可得(1)中的数列为随机变量的分布律;(2)中的数列不是随机变量的分布律,
因为064
6953<-=-=p ;
(3)中的数列为随机变量的分布律;(4)中的数列不是随机变量的分布律,这是因为∑=≠=5
1
12520
i i p 。 2. 试确定常数c ,使()()4,3,2,1,0,2
===i c
i X P i 成为某个随机变量X 的分布律,并求:()2≤X P ;
??? ??<<252
1
X P 。
解 要使i c 2成为某个随机变量的分布律,必须有124
=∑=i i c ,由此解得3116
=c ;
(2) ()()()()2102=+=+==≤X P X P X P X P
3128
412113116=??? ??++=
(3)()()21252
1
=+==??? ??< 3. 一口袋中有6个球,在这6个球上分别标有-3,-3,1,1,1,2这样的数字。从这袋中任取一球,设各个球被取到的可能性相同,求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数。 解 X 可能取的值为-3,1,2,且()()()6 1 2,211, 13=====-=X P X P X P ,即X 的分布律为 X 的分布函数 0 3- ()()x X P x F ≤== 3 1 13<≤-x 6 5 21<≤x 1 2≥x 4. 一袋中有5个乒乓球,编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个,以X 表示取出的3个球中最大号码,写出X 的分布律和分布函数。 解 依题意X 可能取到的值为3,4,5,事件{}3=X 表示随机取出的3个球的最大号码为3, 则另两个球的只能为1号,2号,即()1013513=??? ? ??= =X P ;事件{}4=X 表示随机取出的3个球的最大号码为4,因此另外2个球可在1、2、3号球中任选,此时()103352314=??? ? ?????? ???= =X P ;同理可得()106352415=??? ? ?????? ???= =X P 。 X 的分布律为 X 的分布函数为 0 3 ()=x F 101 43<≤x 10 4 54<≤x 1 5≥x 5. 在相同条件下独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,求击中目标的次数X 的分布律。 解 依题意X 服从参数6.0,5==p n 的二项分布,因此,其分布律 ()5,,1,0,4.06.055 =??? ? ??==-k k k X P k k , 6. 从一批含有到的可能性相等。在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律。 (1) 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品; (2) 每次取出的产品都不放回这批产品中; (3) 每次取出一件产品后总是放回一件正品。 解 (1)设事件 ,2,1,=i A i 表示第i 次抽到的产品为正品,依题意, ,,,1n A A 相互独立,且 () ,2,1,13 10 == i A P i 而 ()()()() () ,2,1,13 10 1331 1 111=? ? ? ??====---k A P A P A P A A A P k X P k k k k k 即X 服从参数13 10 = p 的几何分布。 (2)由于每次取出的产品不再放回,因此,X 可能取到的值为1,2,3,4, ()()()(). 286 1 10111213101234,143511121310233,26512131032,13101=??????===????===??=== =X P X P X P X P X 的分布律为 (3)X 可能取到的值为1()()()(). 2197 6 1313131234,21977213131312233,1693313131132,13101=????===????===??=== =X P X P X P X P 所求X 的分布律为 7. 设随机变量()p B X ,6~,已知()()51===X P X P ,求p 与()2=X P 的值。 解 由于()p B X ,6~,因此()()6,,1,0,1666 =-??? ? ??==-k p p k X P k k 。 由此可算得 ()()()(),165,16155p p X P p p X P -==-== 即 ()(),161655p p p p -=- 解得2 1=p ; 此时,()64 1521!25621212626 2 62 =??? ????=? ? ? ????? ?????? ??==-X P 。 8. 掷一枚均匀的硬币4次,设随机变量X 表示出现国徽的次数,求X 的分布函数。 解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为21,因此X 服从2 1,4==p n 的二项分布,即 ()4,3,2,1,0,212144=? ? ? ????? ?????? ??==-k k k X P k k 由此可得X 的分布函数 0, 0 161 , 10<≤x ()=x F 165 , 21<≤x 1611 , 32<≤x 16 15 , 43<≤x 1, 4≥x 9. X 服从参数4=λ的泊松分布,问在月初进货时,要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要? 解 设至少要进n 件物品,由题意n 应满足 ()(),99.0,99.01≥≤<-≤n X P n X P 即 ()99.0! 4110 4<=-≤∑ -=-n k k e k n X P ()99.0!40 4 ≥=≤∑=-n k k e k n X P 查泊松分布表可求得 9=n 。 10. 有一汽车站有大量汽车通过,每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在某天该段时间内有1000辆汽车通过,求事故次数不少于2的概率。 解 设X 为1000辆汽车中出事故的次数,依题意,X 服从0001.0,1000==p n 的二项分布,即()0001.0,1000~B X ,由于n 较大,p 较小,因此也可以近似地认为X 服从1.00001.01000=?==np λ的泊松分布,即()1.0~P X ,所求概率为 ()()() . 004679.0090484.0904837.01! 11.0!01.0110121 .011.00=--=--≈=-=-=≥--e e X P X P X P 11. 某试验的成功概率为0.75,失败概率为0.25,若以X 表示试验者获得首次成功所进行的试验次数,写出X 的分布律。 解 设事件i A 表示第i 次试验成功,则()75.0=i A P ,且 ,,,1n A A 相互独立。随机变量X 取k 意味着前1-k 次试验未成功,但第k 次试验成功,因此有 ()()()()()75.025.011111---====k k k k k A P A P A P A A A P k X P 12. ()=x f x 2, A x <<0 0, 其他, 试求:(1)常数A ;(2)X 的分布函数。 解 (1)()x f 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件,其一为()0≥x f ;其二为 ()?+∞∞-=1dx x f ,因此有?=A xdx 012,解得1±=A ,其中1-=A 舍去,即取1=A 。 (2)分布函数 ()()()?∞-=≤=x dx x f x X P x F = ??????+++∞-∞-∞-x x x dx xdx dx xdx dx dx 10 1 000020200 1 100 ≥<≤ = 1 02x 1 100 ≥<≤ 13. 设随机变量X 的密度函数为()+∞<<-∞=-x Ae x f x ,,求:(1)系数A ;(2)()10< X 的分布函数。 解 (1)系数A 必须满足?+∞ ∞--=1dx Ae x ,由于x e -为偶函数,所以 ???+∞∞-+∞+∞---===12200dx Ae dx Ae dx Ae x x x 解得2 1=A ; (2)()() 1101012 1 2 1 21 10----===<?e dx e dx e X P x x ; (3)()()?∞ -=x dx x f x F = ???-∞--∞--+x x x x x dx e dx e dx e 00212121 ≥ = ???-∞-∞-+x x x x x dx e dx e dx e 00212121 00≥ = () x x e e --+121 2121 00≥ = x x e e --2 1121 00≥ 14. 证明:函数 ()=x f 0 22c x e c x - <≥x x (c 为正的常数) 为某个随机变量X 的密度函数。 证 由于()0≥x f ,且()120 22 0222 2 2 =-=??? ? ? ?- -==+∞ - ∞ +- ∞ +∞-∞+∞-- ???c x c x c x e c x d e dx e c x dx x f , 因此()x f 满足密度函数的二个条件,由此可得()x f 为某个随机变量的密度函数。 15. 求出与密度函数 ()=x f 025.05.0x e 2 200 >≤<≤x x x 对应的分布函数()x F 的表达式。 解 当0≤x 时,()()??∞-∞-===x x x x e dx e dx x f x F 5.05.0 当20≤ 025.05.025.05.0x dx dx e dx x f x F x x x 当2>x 时,()15.05.0025.05.00 22 0=+=++=???∞-x x dx dx dx e x F 综合有 ()=x F , 1,25.05.0, 5.0x e x + .2;20;0≥≤≤≤x x x 16. 设随机变量X 在()6,1上服从均匀分布,求方程012=++Xt t 有实根的概率。 解 X 的密度函数为 ()=x f ,5 1 61< 方程012=++Xt t 有实根的充分必要条件为042≥-X ,即42≥X ,因此所求得概率为 () ()()()?=+=≥+-≤=≥-≤=≥6225 451 022224dx X P X P X X P X P 或。 17. 设某药品的有效期X 以天计,其概率密度为 ()=x f () ,10020000 3 +x 0>x ; 0, 其他. 求:(1) X 的分布函数;(2) 至少有200天有效期的概率。 解 (1) ()()?∞-=x dx x f x F = (),10020000, 003 dx x x ?+ .0;0≥ = (), 10010000 1, 02 +- x . 0;0≥ (2)()()()()91 10020010000 11200120012002 =??? ? ? ?+--=-=≤-=>F X P X P 。 18. 设随机变量X 的分布函数为 ()=x F (),11, 0x e x -+- >≤x x 求X 的密度函数,并计算()1≤X P 和()2>X P 。 解 由分布函数()x F 与密度函数()x f 的关系,可得在()x f 的一切连续点处有()()x F x f '=,因此 ()=x f , 0, x xe - 其他0>x 所求概率()()()11211111---=+-==≤e e F X P ; ()()()()() 223211121212--=+--=-=≤-=>e e F X P X P 。 19. 设随机变量X 的分布函数为()+∞<<-∞+=x x B A x F ,arctan ,求(1) 常数B A ,;(2)()1 解:(1)要使()x F 成为随机变量X 的分布函数,必须满足()()1lim ,0lim ==+∞ →-∞→x F x F x x ,即 ()()1 a r c t a n lim 0arctan lim =+=++∞ →-∞→x B A x B A x x 计算后得 1 20 2 =+ =- B A B A π π 解得 π 121= = B A 另外,可验证当π1,21= =B A 时,()x x F arctan 1 21π +=也满足分布函数其余的几条性质。 (2) ()()()()11111--=<<-= ()?? ????-+-+= 1arctan 1211arctan 121ππ 2 4141πππππ=??? ??-?-?= (3)X 的密度函数 ()()() +∞<<-∞+= '=x x x F x f ,11 2 π。 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(单位:min )服从5 1 =λ的指数分布,其密度函数 为()=x f 0 ,515 x e - 其他0>x ,某顾客在窗口等待服务,若超过10min ,他就离开。 (1)设某顾客某天去银行,求他未等到服务就离开的概率; (2)设某顾客一个月要去银行五次,求他五次中至多有一次未等到服务的概率。 解 (1)设随机变量X 表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间,依题意X 服从5 1=λ的指数分布,且顾客等待时间超过10min 就离开,因此,顾客未等到服务就离开的概率为 ()?∞ +--==≥10 25 5 110e dx e X P x ; (2)设Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数,则Y 服从2,5-==e p n 的二项分布,所求概率为 ()()() ()() () ()() 4 2 24 225 20 2141115105101-------+=-??? ? ??+-??? ? ??==+==≤e e e e e e Y P Y P Y P 21. 设X 服从()1,0N ,借助于标准正态分布的分布函数表计算:(1)()2.2 ()176>X P ;(3)()78.0- 解 查正态分布表可得 (1)()()9861.02.22.2=Φ= (2)()()()0392.09608.0176.1176.1176.1=-=Φ-=≤-=>X P X P ; (3)()()()2177.07823.0178.0178.078.0=-=Φ-=-Φ=- ()()()()8788 .019394.02155.1255.1155.1=-?=-Φ=Φ--Φ= (5) ()()()[]15.2215.215.2-Φ-=≤-=>X P X P ()()0124.09938.0125.222=-=Φ-=。 22. 设X 服从()16,1-N ,借助于标准正态分布的分布函数表计算:(1)()44.2 ()5.1->X P ;(3)()8.2- 解 当()2,~σμN X 时,()?? ? ??-Φ-??? ??-Φ=≤≤σμσμa b b X a P ,借助于该性质,再查标准正态分布函 数表可求得 (1)()()8051.086.04144.244.2=Φ=??? ??+Φ= ? ??+-Φ-=->X P ()()()5498.0125.0125.011=Φ=Φ--=; (3)()()()3264.06736.0145.0145.0418.28.2=-=Φ-=-Φ=?? ? ??+-Φ=- (4)()()()75.025.14144144-Φ-Φ=?? ? ??+-Φ-??? ??+Φ= (5)()()()175.041541225-Φ-Φ=?? ? ??+-Φ-??? ??+Φ=<<-X P ()()9321.018413.07734.01175.0=+-=+Φ-Φ=; (6)()()()??? ?????? ??+Φ-??? ? ?+Φ-=≤≤-=≤--=>-410412*********X P X P X P ()()8253.05987.07724.0125.075.01=+-=Φ+Φ-=。 23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布()01.0,05.2N ,合格品的规格规定为2.02±,求该厂滚珠的合格率。 解 所求得概率为 ()()()()()927 .09938.019332.05.215.15.25.11.005.28.11.005.22.22.022.02=+-=Φ+-Φ=-Φ-Φ=? ? ? ??-Φ-??? ??-Φ=+≤≤-X P 24. 某人上班所需的时间()100,30~N X (单位:min )已知上班时间为8:30,他每天7:50出 门,求:(1)某天迟到的概率;(2)一周(以5天计)最多迟到一次的概率。 解 (1)由题意知某人路上所花时间超过40分钟,他就迟到了,因此所求概率为 ()()1587.08413.0111103040140=-=Φ-=?? ? ??-Φ-=>X P ; (2)记Y 为5天中某人迟到的次数,则Y 服从1587.0,5==p n 的二项分布,5天中最多迟到一 次的概率为 ()()()()8192.08413.01587.0158413.01587.01514 50=???? ? ??+????? ??=≤Y P 。 《概率论与数理统计》练习题7答案7 考试时间:120分钟 题目部分,(卷面共有22题,100分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(10小题,共30分) 1、设随机事件A 、B 互斥,(), (),P A P P B q ==则()P A B =( )。 A 、q B 、1q - C 、 p D 、1p - 答案:D 2、某类灯泡使用时数在500小时以上的概率为0.5,从中任取3个灯泡使用,则在使用500小时之后无一损坏的概率为:( )。 A 、 18 B 、2 8 C 、38 D 、 4 8 答案:A 3、设ξ的分布函数为1()F x ,η的分布函数为2()F x ,而12()()()F x aF x bF x =-是某随机 变量ζ的分布函数,则, a b 可取( )。 A 、32, 55a b = =- B 、2 3a b == C 、13 , 22a b =-= D 、13 , 22 a b ==- 答案:A 4、设随机变量ξ,η相互独立,其分布律为: 则下列各式正确的是( )。 A 、{}1P ξη== B 、{}14 P ξη== C 、{}12 P ξη== D 、{}0P ξη== 答案:C ^^ 5、两个随机变量的协方差为cov(,)ξη=( )。 A 、() () 2 2 E E E ηηξξ-- B 、()()E E E E ξξηη-- C 、()()2 2 E E E ξηξη-? D 、()E E E ξηξη-? 答案:D 6、设随机变量ξ在11,22?? -???? 上服从均匀分布sin ηπξ=的数学期望是( )。 A 、0 B 、1 C 、 1π D 、2π 答案:A 7、设12100,,,ξξξ???服从同一分布,它们的数学期望和方差均是2,那么 104n i i P n ξ=?? <<≥???? ∑( )。 A 、 12 B 、212n n - C 、12n D 、1 n 答案:B 8、设12, , , n X X X 是来自正态总体2(, )N μσ的样本( )。 A 、2 11~(,)n i i X X N n μσ==∑ B 、2 11()~(0, )n i X N n n σμ=-∑ C 、22 2111()~(1)n i i X n n μχσ=?--∑ D 、22 21 11()~()n i i X X n n χσ=?-∑ 答案:B 9、样本12(,, , )n X X X ,2n >,取自总体ξ,E μξ=,2D σξ=,则有( )。 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为,则2Y X =的分布律是 . 2101 1811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 ,03()2,342 0, kx x x f x x ≤??=-≤≤????其它 (1)确定常数k ; (2)求X 的分布函数()F x ; (3)求 712P X ??<≤??? ?. 四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为 \012 10.10.20.1 2 0.10.2 Y X a 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么? 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为 (),01,2,12,0,.x x f x x x ≤?=-≤≤??? 其他 求()(),E X D X 一、填空题(每小题3分,共30分) 统计与概率经典例题(含答案及解析) 1.(本题8分)为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况,在一次数学检测中,从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查,并将调查结果绘制成如下图表: ⑴表中a和b所表示的数分别为:a= .,b= .; ⑵请在图中补全频数分布直方图; ⑶如果把成绩在70分以上(含70分)定为合格,那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名? 2.为鼓励创业,市政府制定了小型企业的优惠政策,许多小型企业应运而生,某镇统 计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量,并将结果绘制成如下两种不完整的统计图: (1)某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家.请将折线统计图补充完整; (2)该镇今年3月新注册的小型企业中,只有2家是餐饮企业,现从3月新注册的小 型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况,请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率. 3.(12分)一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球,小球除颜 色外完全相同,为估计该口袋中四种颜色的小球数量,每次从口袋中随机摸出一球记下 颜色并放回,重复多次试验,汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图. 根据以上信息解答下列问题: (1)求实验总次数,并补全条形统计图; (2)扇形统计图中,摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度? (3)已知该口袋中有10个红球,请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量.4.(本题10分)某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况,从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况,将统计结果列出如下的表格,并绘制成如图所示的扇形统计图,其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%. 类别科普类教辅类文艺类其他册数(本)128 80 m 48 (1)求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数; (2)该校2014年八年级有500名学生,请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本? 5.(10分)将如图所示的版面数字分别是1,2,3,4的四张扑克牌背面朝上,洗匀后放在桌面上(“A”看做是“1”)。 (1)从中随机抽出一张牌,牌面数字是偶数的概率是;(3分) (2)从中随机抽出两张牌,两张牌面数字的和是5的概率是;(3分)(3)先从中随机抽出一张牌,将牌面数字作为十位上的数字,然后将该牌放回并重新洗匀,再随机抽取一张,将牌面数字作为个位上的数字,请用画树形图的方法求组成的 概率论与数理统计 一、填空题 1.已知()()() ,5.0,4.0,3.0===B A P B P A P 则() =B A B P ( 0.25 ) 2.已知在10只产品中有2只次品,在其中任取一只,作不放回抽样,则两只都是正品的概率为( 28/45 ) 3.理论上,泊松分布是作为二项分布的极限引入的。即当n →0,p →∞,且np →λ(常数 )时,有关系式lim ∞ →n C m n p m m n q -=e m m λ λ-! 成立。 4.三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,则三人中至少有一人能将此密码译出的概率是( 0.6 ) 5.若事件A,B 为任意事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P( AB ). 6.写出随机变量X 服从参数为λ(正常数)的泊松分布的概率公式 {}==k X P ( ! k e k λ λ-) 7.当随机变量R.V. ξ~N (μ,σ2 )时,有P{a<ξ≤b}=(F (b )-F (a )) 8.写出样本k 阶中心矩公式=k B ( () ∑==-n i k i k X X n 1 ,3,2,1 ) 9.已知()()(),2 1 ,31,41=== B A P A B P A P 则()=B A P ( 1/3 ) 10.设第一只盒子中装有3只蓝球,2只绿球,2只白球;第二只盒子中装有2只蓝球,3只绿球,4只白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球,则至少有一只蓝球的概率是( 5/9 ) 11.已知在10只产品中有2只次品,在其中任取一只,作不放回抽样,则正品次品各有一只的概率为( 16/45 ) 二、判断题 1、 对立事件一定是互斥事件。( ) 2、 明天下雨是随机事件。( ) 3、 若事件A 和事件B 相互独立,则P(AB)=P(A)+P(B). ( ) 4、 设随机变量X 的概率密度为a, 则E (X +1)=1 。( ) 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是( D )。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和,则X =3的概率为( C ) A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击,设射击的命中率为0.2,独立射击100次,则至少击中9次的概率为( B ) A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ,则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N (0,1),常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。( C ) A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ,则其概率密度为( A ) A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本, 下列哪一项是μ的无偏估计( A ) A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为( C ) (A )0 (B )3/8 (C )5/8 (D )-3/8 题目答案的红色部分为更正部分,请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1,理2)如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( B ) A .14 B . π8 C .12 D . π 4 2.(2017课标3,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是( A ) A .月接待游客量逐月增加 B .年接待游客量逐年增加 C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D .各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 3.(2017课标2,理13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则D X = 。 4.(2016年全国I 理14)5(2)x x + 的展开式中,x 3的系数是 10 .(用数字填写答案) 5.(2016年全国I 理14)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) (A )13 (B )12 (C )23 (D )3 4 5.(2016年全国2理10)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对()11,x y , ()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )(A ) 4n m (B )2n m (C )4m n (D )2m n 6.(2016年全国3理4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ,B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.(15年新课标1理10)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是( ). (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数,则等式( )成 立. (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数,则对任意b a <,有 X a P <(≤=)b ( ). (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是( ). 作业2(修改2008-10) 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件:①三个事件都发生 ____________ ;__②_ A 、B 发生,C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件,则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.) 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件,则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ,事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 , 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件,则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ;_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_(_ABC ,A B C ;A B C ) 6、 A B ___________ ;__ A B ___________ ;__A B ___________ 。_(_ B A , A B , A B ) 7、 设事件 A 、B 、C ,将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示:(1)三个事件都发生表示为: _______ ;_(_ 2)三 个 事件不都发生表示为: ________ ;_(_ 3)三个事件中至少有一个事件发生表示为: _____ 。_(_ ABC , A B C , A B C ) 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件: A 、B 出现、C 不出现 ;至少有一 个 事 件 出 现 ; 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 ( ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ) 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时,事件 ________ 发_生_ 。( A B ) 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 , 乙 种 产 品 滞 销 ”, 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。(甲种产品滞销或乙种产品畅销) 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件,用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”(i 1,2,3) ,试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件: 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称事件 B _____ 事_件 A 。(包含) 13、 若 A 为不可能事件,则 P (A )= ;其逆命题成立否 。(0,不成立) 14、 设A、B为两个事件, P (A )=0 .5, P (A -B )=0.2,则 P (A B ) 。(0.7) 15、 设P A 0.4,P A B 0.7,若 A, B 互不相容,则P B ______________ ;_若 A, B 相互独立,则P B _______ 。_(_0.3, 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ;__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件,则这三个事件都发生为 _______________ 。_(__A_BC , ABC , A B C ) ;三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC )。 ;三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。( A B C , ABC , AB BC AC ) 三个元件都正常工作 ;恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。( A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3) 《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间:120分钟 题目部分,(卷面共有22题,100分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(10小题,共30分) 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票,则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案:D 2、如果,A B 为任意事件,下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容,则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立,则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容,则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案:B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?,则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案:A 4、设,ξη相互独立,并服从区间[0,1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0,2]上的均匀分布, B 、ζξη=-服从[- 1,1]上的均匀分布, C 、{,}Max ζξη=服从[0,1]上的均匀分布, D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案:D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案:B 6、设1ξ,2ξ都服从区间[0,2]上的均匀分布,则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案:B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=,则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案:D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本,其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ,则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案:A 9、在参数的区间估计中,给定了置信度,则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定; B 、将由有关随机变量的分布唯一确定; C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取; D 、可以任意规定。 答案:C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β,则必有( )。 概率统计重修复习题型 填空题: 1. 已知P (A )=0.4,P (B )=0.6,P (AB ) =0.2,则P (A ∪B )= 。 2. 已知P (A )=0.3,P (B )=0.5,P (A ∪B )=0.7,则=)(A B P 。 3. 已知P (A )=0.5,P (B )=0.4,P (A ∪B )=0.7,则=-)(B A P 。 4. 已知P (B )=0.1,则P (B ) = 。 5. 从5双鞋子中选取4只,这4只鞋中恰有两支配成一双的概率为 。 6. 一袋中有20个乒乓球,其中8个是黄球,12个是白球. 今有2人依次随机 地从袋中各取一球,取后不放回。则第二个人取得黄球的概率是 。 7. 有6支笔,其中2支蓝笔,4支红笔. 今有3人依次随机地从中各取一支笔, 取后不放回。则第三个人取得红笔的概率是 。 8. 已知随机变量X 的密度为,其他?? ?<<=, 01 0,)(x x a x f 则a = 。 9. 设X 是连续型随机变量,则P {X = 5} = 。 10. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f += π,+∞<<∞-x ,则Y = 2X 的概 率密度为 。 11. 设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(,)f x y ,则X Y +的概率密度函数()X Y f z += 。 12. 设随机变量 X 与Y 相互独立,且 X 的分布函数为F (x ), Y 的分布函数为 G (x ),则 Z = max{ X ,Y }的分布函数为 。 13. 设随机变量 X 与Y 相互独立,且 X 的概率密度函数为f (x ), Y 的概率密度 函数为g (y ),则X 与Y 的联合概率密度函数(,)f x y = 。 14. 设随机变量X 服从指数分布,且=)(X D 0.2,则=)(X E 。 15. 设随机变量X 服从泊松分布,且=)(X D 0.3,则=)(X E 。 16. 设~U(1,5),X -则=)(X E ,()D X = 。 17. 设~b(5,0.1),X ~π(2),Y 且,X Y 相互独立,则()E XY = 。 18. 设),5,2(~),4,3(~N Y N X 且,2),(-=Y X Cov 则=-)32(Y X D 。 19. 设),5,2(~),4,3(~N Y N X 且,2),(-=Y X Cov 则相关系数为 。 已知二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 ,; ,, 010104),(y x xy y x f 则X 与Y 相互独立 【解:由二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 , ; ,, 010104),(y x xy y x f 可得两个边缘密度函数分别为: ?? ?<<==?∞+∞ -其他。, ; , 0102),()(x x dy y x f x f X ?? ?<<==? ∞ +∞ -其他。 , ; , 0102),()(y y dx y x f y f Y 从而可得)()(),(y f x f y x f Y X ?=,所以X 与Y 相互独立。 ■12、设二维随机变量(X , Y ) ~4,01,01 (,)0,xy x y f x y <<<=?? 其它,求 (1) X 的边缘密度函数()X f x ; (2)概率()P Y X ≥; ■13、某供电站供应该地区1000户居民的用电,各户用电相对独立,已知每户日用电量(单位:度)服从[6,12]上的均匀分布,求这1000户居民日用电量超过9100度的概率。 ■14、在次品率为0.3的一大批产品中任取400件,利用中心极限定理计算取得的400件产品中次品数在110与125之间的概率。 ■15、一大批种子的良种率为0.9,从中任取500粒,求良种数超过460粒的概率。 ■12、【解:(1)当01x ≤≤时,1 ()(,)42,X f x f x y dy xydy x +∞ -∞ = ==? ? 故2,01 ()0,X x x f x others ≤≤?=? ? 当01y ≤≤时,1 ()(,)42,Y f y f x y dx xydx y +∞ -∞ = ==? ? 故2,01 ()0,Y y y f y others ≤≤?=?? (2)因为(,)()()X Y f x y f x f y = 故X 与Y 是相互独立 (3)2 1 1 000()440.52 x x P X Y dx xydy x dx >===??? ()1()0.5P Y X P X Y ≥=->=】 <概率论>试题 一、填空题 1.设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1)A 、B 、C 至少有一个发生 2)A 、B 、C 中恰有一个发生 3)A 、B 、C 不多于一个发生 2.设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8。则P(B )A U = 3.若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ~2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80 81 ,则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ,4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成,二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 《概率论与数理统计》试题(1) 一 、 判断题(本题共15分,每小题3分。正确打“√”,错误打“×”) ⑴ 对任意事件A 和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布,则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 ( ) ⑸ 样本方差2n S = n 1 21 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 ( ) 二 、(20分)设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,将下列事件用A 、B 、C 表示出来 (1)仅A 发生,B 、C 都不发生; (2),,A B C 中至少有两个发生; (3),,A B C 中不多于两个发生; (4),,A B C 中恰有两个发生; (5),,A B C 中至多有一个发生。 三、(15分) 把长为a 的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率. 四、(10分) 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2Y X =的分布列. 五、(10分)设随机变量X 具有密度函数||1 ()2 x f x e -= ,∞< x <∞, 求X 的数学期望和方差. 六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、(15分)设12,,,n X X X 是来自几何分布 1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<, 的样本,试求未知参数p 的极大似然估计. 《概率论与数理统计》试题(1)评分标准 一 ⑴ ×;⑵ ×;⑶ √;⑷ √;⑸ ×。 二 解 (1)ABC (2)AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ; (3)A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ; (4)ABC ABC ABC ; (5)AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC 每小题4分; 三 解 设A =‘三段可构成三角形’,又三段的长分别为,,x y a x y --,则0,0,0x a y a x y a <<<<<+<,不等式构成平面域S .------------------------------------5分 A 发生0,0,22 2 a a a x y x y a ?<<<<<+< 不等式确定S 的子域A , 分 所以 1 ()4 A P A = =的面积S 的面积 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中 随机地取一个球,求取到红球的概率。 概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间:120分钟 题目部分,(卷面共有22题,100分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(10小题,共30分) 1、A 、B 任意二事件,则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案:D 2、设袋中有6个球,其中有2个红球,4个白球,随机地等可能地作无放回抽样,连 续抽两次,则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球,第二次抽得红球, 答案:B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ? =≤?≥? ( )。 A 、是某一离散型随机变量的分布函数。 B 、是某一连续型随机变量的分布函数。 C 、既不是连续型也不是离散型随机变量的分布函数。 D 、不可能为某一随机变量的分布函数。 答案:D 4、设ξ,η相互独立,且都服从相同的01-分布,即则下列结论正确的是( )。 A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案:D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立,且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =,又 12,,, ,n c k k k ,为1n +个任意常数,则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案:C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案:D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数),那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案:B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本, 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ - 概率统计试题及答案(本科完整版) 一、 填空题(每题2分,共20分) 1、记三事件为A ,B ,C . 则用A ,B ,C 及其运算关系可将事件,“A ,B ,C 中只有一个发生”表示为 . 2、匣中有2个白球,3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么,白球比红球早出现的概率是 2/5 。 3、已知P(A)=0.3,P (B )=0.5,当A ,B 相互独立时,06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__?==。 4、一袋中有9个红球1个白球,现有10名同学依次从袋中摸出一球(不放回),则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。 5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布,则对 a c b <<以及任意的正数0 e >,必有概率 {} P c x c e <<+ = ?+?-? -?+>?-?e ,c e b b a b c ,c e b b a 6、设X 服从正态分布2 (,)N μσ,则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) . 7、设1128363 X B EX DX ~n,p ),n __,p __==(且=,=,则 8、袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以X 表示取出3只球中 ABC ABC ABC U U 2,3,则: P ( A 1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.2 , P ( A 3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得 ()()()()()123123109080850612P A A A P A P A P A ....=??=??= ()()()12312321101020150997P A A A P A A A ....??=-=-??= ()() ()()()()1231231231231231231231233010808509020850908015090808500680153010806120941 P A A A A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A A A .................=+++=??+??+??+??=+++=U U U 2、甲袋中有n 只白球、m 只红球;乙袋中有N 只白球、M 只红球。今从甲袋任取一球放入乙袋后,再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少? 解:以W 甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”,R 甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”, W 乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”, 则 所 求 概率为 ()()()() P W P W W R W P W W P R W ==+U 乙甲乙甲乙甲乙甲乙 ()( ) ()( ) P W P W W P R P W R =+甲乙甲甲乙甲 11 111111111 n m N N n m N M n m N M C C C C C C C C +++++++=?+? 1.盒中有同类产品10件,其中一级品4件,甲先从盒中任意取2件,乙再从剩下的产品中任意取2件。 (1).求乙取出的2件都不是一级品的概率; (2).求在乙取出的2件都不是一级品的条件下,甲取到的2件都是一级品的概率。 2. 某种仪器由三个部件组装而成,假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8,0.7和0.9。已知:如果三个部件都是优质品,则组装后的仪器一定合格;如果有一个部件不是优质品,则组装后的仪器不合格率为0.2;如果有两个部件不是优质品,则仪器的不合格率为0.6;如果三件都不是优质品,则仪器的不合格率为0.9。 (1)求仪器的不合格率; (2)如果已发现一台仪器不合格,问它有几个部件不是优质品的概率最大。 3. 设随机变量X 的分布函数为 ?????>≤≤<=1 1100,0)(2 x x ax x x F 求 (1). 常数a ;(2). X 的概率密度函数;(3). )7.03.0(< 求(1)边缘概率密度(),()X Y f x f y ; (2)(1)P X Y +<; (3)Z X Y =+的概率密度()Z f z . 6. 设2)(=X E ,4)(=Y E ,4)(=X D ,9)(=Y D ,5.0=ρXY ,求 (1)32322-+-=Y XY X U 的数学期望; (2)53+-=Y X V 的方差。 7. 罐中有5个红球,2个白球,无回放地每次取一球,直到取到红球为止,设X 表示抽取次数,求(1)X 的分布列,(2)()E X 8. 设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为: ???-<<<<=其它, 0)1(20,10,1),(x y x y x f 求: (1)关于X 和Y 的边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ; (2))(X E 和)(X D ; (3)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ; (4)Z =X +Y 的概率密度函数)(z f Z 。 9. 假设本班同学身高服从方差为144的正态分布,随机选取25名同学测得身高数据,算得170x cm =,是否可以认为本班同学的平均身高μ为175cm 。(0.9750.975(24) 2.0639, 1.96t u ==) 10. 设总体X 的概率密度函数为 ???<<+θ=θ其它, 010,)1()(x x x f 其中1->θ为未知参数,n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本。 (1)求θ的矩估计量M θ?; (2)求θ的极大似然估计量MLE θ?; (3)若给出来自该总体的一个样本1-e ,2-e ,2-e ,1-e ,3-e ,3-e ,2-e ,2-e ,求概率}2.0{概率统计练习题答案
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