四川省内江市2019-2020学年高一上学期期末数学试题

绝密★启用前四川省内江市2019-2020学年高一上学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}2,3,4B =，则()UA B ⋃等于（ ）A ．{}2B ．{}5C ．{}1,2,3,4D ．{}1,3,4,52．cos690︒=（ ） A ．12B ．12-C D ． 3．已知函数24,2()13,2xx x f x x ->⎧=⎨+⎩，则((1))=f f （ ） A ．82B ．17-C ．4D ．14．已知扇形的弧长是2，面积是4，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．12B ．32 C ．52D ．45．已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数6．已知α是第三象限的角，若1tan 2α=，则cos α= A ．5-B C D ．7．已知0.920200.9log 2020,2020,0.9a b c ===，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．若α是三角形的一个内角，且1sin sin(2)25παπα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，则tan α的值是（ ） A ．34-B ．43-C ．34-或43- D ．不存在9．已知11232f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭且()6f m =，则m 的值为（ ） A ．32-B ．32C ．14D ．14-10．已知函数()2log xa f x a x =+（0a >且1a ≠）在[1,2]上的最大值与最小值之和为3log 22a +，则a 的值为（ ） A ．12B ．14C ．2D ．411．已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．2π B ．3π C ．6π D ．12π12．对于函数()f x ，()g x ，设{|()0}x f x α∈=，{|()0}x g x β∈=，若存在,αβ，使得||2αβ-，则称(),()f x g x 互为“零点相邻函数”.若2()3x f x e x -=+-与2()2g x x ax a =---互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是（ ）A ．142,5⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．142,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．14(,2),5⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭D ．14(,2],5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．计算：01322log 8277⎛⎫--+= ⎪⎝⎭_______. 14．函数()ln 3y x =-___________. 15．已知角α的终边经过点(8,)P m ，且3sin 5α=，则m =________. 16．函数2,0()2sin 2,06x x f x x x ππ-⎧⎪=⎨⎛⎫+<< ⎪⎪⎝⎭⎩，若方程()f x a =恰有3个不同的实数解，记为1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围是_____. 三、解答题17．已知全集U =R ，集合{|2324}A x x =--，{|3}B x m x m =+. （1）当1m =时，求AB 与UAB ；（2）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围.18．已知函数3sin cos tan()22()cos()sin(3)x x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-，且1()3f α=. （1）求2sin cos sin 2cos αααα-+的值；（2）求222sin sin cos cos αααα--的值. 19．已知函数1()21xf x a =-+. （1）利用函数单调性的定义证明：对任意实数a ，函数()f x 是其定义域上的增函数； （2）试确定实数a 的值，使()f x 为奇函数，并用函数奇偶性的定义加以证明. 20．资中血橙，是四川省内江市资中县特产，中国国家地理标志产品.资中血橙果实于次年1月成熟，果形整齐端庄，色泽鲜丽，果大皮薄，肉质脆嫩化渣，汁多味浓，紫红色，有玫瑰香味，无核，品质极优，其维生素C 是其他橙类的两倍.某水果批发商每箱进价为40元，假设每箱售价不低于50元且不高于55元.市场调査发现，每箱血橙的销售价格与日均销售量之间的关系如下表所示：………○…………订…在※※装※※订※※线※※内※※答………○…………订…（1）求平均每天的销售量y （箱）与销售单价x （元/箱）()x N ∈之间的函数解析式； （2）求平均每天的销售利润w （元）与销售单价x （元/箱）()x N ∈之间的函数解析式；（3）当每箱血橙的售价为多少元时，该水果批发商可以获得最大利润？最大利润是多少？21．设函数()Asin()f x x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，且0,0,0A ωϕπ>><<）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式和单调减区间； （2）若不等式()2f x m -≤在50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围. 22．已知函数()a f x x 图象经过点(4,2)，函数2()[()]()4g x f x mf x =++.（1）求函数()f x 的解析式；（2）是否存在实数m ，使得()g x 在[1,16]x ∈上的最小值为3？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下若存在实数a ，使得不等式()()g x af x 在[1,16]x ∈时能成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．B 【解析】试题分析：{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}2,3,4B =，所以{}1,2,3,4A B ⋃=，所以(){}5UA B ⋃=，选B.考点：集合的基本运算 2．C 【解析】 【分析】根据诱导公式化为特殊锐角，即可求解. 【详解】00cos 690cos(30)cos30︒=-==故选:C. 【点睛】本题考查诱导公式求特殊角的三角函数值，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】从内向外求出函数值，即可求解. 【详解】((1))(4)4f f f ==.故选:C. 【点睛】本题考查复合函数值，考查分段函数的理解，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】扇形的弧长是2，面积是4，求出半径，由弧长公式，即可求解.设扇形的半径为r ，圆心角为α， 依题意142,42S r r ==⋅⋅∴=， 2142α==. 故选:A. 【点睛】本题考查扇形的弧长、面积公式，属于基础题. 5．A 【解析】分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xxx xxx f x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xxy ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数。

故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题. 6．D 【解析】 【分析】根据α是第三象限的角得cos 0α<，利用同角三角函数的基本关系，求得cos α的值. 【详解】因为α是第三象限的角，所以cos 0α<，因为1tan 2α=，所以22sin cos 1,sin 1,cos 2αααα⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得：cos α= D.本题考查余弦函数在第三象限的符号及同角三角函数的基本关系，即已知tan α值，求cos α的值. 7．A 【解析】 【分析】,,a b c 三数与0,1比较大小，即可求解.【详解】0.90.9log 2020log 10,0a <=∴<， 900.202202001,1b >=∴>， 002200.91,00.109c <=∴<<<，a cb ∴<<.故选:A. 【点睛】本题考查应用函数的单调性比数的大小，要注意特殊数的运用，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】 由诱导公式1sin sin(2)25παπα⎛⎫+++=⎪⎝⎭化为1sin cos 5αα+= ， 平方求出sin cos αα，结合已知进一步判断角α范围，判断sin cos αα-符号，求出2(sin cos )αα- ，然后开方，进而求出sin cos αα-的值，与1sin cos 5αα+=联立，求出sin ,cos αα，即可求解. 【详解】1sin sin(2)sin cos 25παπααα⎛⎫+++=+= ⎪⎝⎭，平方得112sin cos 25αα+=，242sin cos 25αα=-，α是三角形的一个内角，sin 0,cos 0αα∴><，249sin cos 0,(sin cos )12sin cos 25αααααα∴->-=-=， 71sin cos sin +cos =55αααα∴-=，，434sin ,cos ,tan 553ααα==-∴=-.故选:B 【点睛】本题考查诱导公式化简，考查同角间的三角函数关系求值，要注意sin cos ,sin cos αααα+，sin cos αα-三者关系，知一求三，属于中档题.9．D 【解析】 【分析】 令11,2+22m x x m =-=代入11232f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，求出()f m ，再由()6f m =，即可求出结果. 【详解】 令11,222m x x m =-=+，则()4+7f m m =， 1()647,4f m m m ==+∴=-.故选:D. 【点睛】本题考查由复合函数的解析式求函解析式，常用的方法有：换元法、拼凑法、待定系数法、解方程法，注意解题方法的积累，属于基础题. 10．A 【解析】 【分析】2,log ,(0x a y a y x a ==>且1a ≠）有相同的单调性，()2log xa f x a x =+（0a >且1a ≠）在[1,2]有单调性，最值在区间端点上，可得3(1)(2)log 22a f f +=+，解关于a 的方程，即可得出结论.有指数函数和对数函数的性质可知，()2log x a f x a x =+（0a >且1a ≠）在[1,2]有单调性，依题意，2(1)(2)223log 22log 2a a f f a a +=+++=， 整理得24430a a +-=，解得12a =或32a =-（舍去）.故选:A. 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查函数的最值，属于基础题. 11．C 【解析】 【分析】根据平移关系得出()cos 223g x x πϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，由已知()g x 为偶函数，可得 2()3k k Z πϕπ-+=∈，求出ϕ ，结合0ϕ>，即可求出结论.【详解】函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移(0)ϕϕ>个 单位长度后得到函数()cos 223g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()g x 的图像关于y 轴对称，即()g x 为偶函数，所以2()3k k Z πϕπ-+=∈，解得()26k k Z ππϕ=-+∈， 0,ϕϕ>的最小值为6π.故选:C. 【点睛】本题考查三角函数图像变换关系，并考查变换后函数的性质，应用函数奇偶性求参数范围，属于中档题. 12．B【分析】由已知可得()f x 在R 上为增函数，且(2)0f =，从而判断()f x 只有唯一零点2，由题意可得()g x 在[0,4]至少有一零点，令()0g x =，分离参数可得22,[0,4]1x a x x -=∈+，令22(),[0,4],1x h x x y a x -=∈=+，转化为()h x 与y a =在[0,4]有交点，化简1()11h x x x =--+，由一次函数和反比例函数的单调性可知(),[1,4]h x x ∈为增函数，所以可得14()[2,]5h x ∈-，从而得到a 的取值范围.【详解】(2)0f =，且()f x 在R 上为增函数，所以()f x 只有唯一零点2， (),()f x g x 是“零点相邻函数”，()g x 在[0,4]至少有一零点，由2()20g x x ax a =---=，所以22,[0,4]1x a x x -=∈+，设22(),[0,4],1x h x x y a x -=∈=+，()h x 与y a =在[0,4]有交点，222(1)2(1)11()1,[0,4]111x x x h x x x x x x -+-+-===--∈+++，一次函数和反比例函数的单调性可知(),[1,4]h x x ∈为增函数， 所以14()[2,]5h x ∈-，要使()h x 与y a =在[0,4]有交点， 需1425a -<<，即为a 的取值范围. 故选:B. 【点睛】本题以新定义为背景，考查函数的零点以及零点存在的范围，解题的关键是分离参数构造新函数，转化为参数与新函数的图像、值域关系，属于较难题. 13．5 【解析】【分析】根据对数的运算公式以及分数指数幂的运算法则，即可求解.【详解】113333222log 827log 21(3)57⎛⎫--+=-+= ⎪⎝⎭. 故答案为:5.【点睛】本题考查对数以及分数指数幂的运算，熟记计算公式是解题的关键，属于基础题.14．[)2,3【解析】分析：利用对数函数的定义域，指数函数的单调性解不等式组即可的得结果.详解：要使函数()ln 3y x =-+3023240x x x ->⎧⇒≤<⎨-≥⎩，故答案为[)2,3.点睛：求定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出. 15．6【解析】【分析】 由3sin ,05m α==>，解方程，即可得出结论. 【详解】3sin ,05m α==>，整理得236,6m m =∴=. 故答案为:6.【点睛】本题考查三角函数的定义，要注意判断参数的取值范围，属于基础题.16．1,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】做出函数的图像，根据图像判断出三个零点关系以及范围，将问题转化为以其中一个零点为自变量的函数值，即可求得结论.【详解】做出函数图像如下图所示：()f x a =恰有3个不同的实数解，12a ∴<<，不妨设123x x x <<，110x -<<，23,x x 关于直线6x π=对称，233x x π∴+=，1231(1,)333x x x x πππ∴++=+∈-. 故答案为:1,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数零点和的取值范围，考查函数的图像以及函数的性质，解题的关键要利用函数的对称性求出部分零点和，属于中档题.17．（1）{|12}A B x x ⋂=,{|2U A B x x ⋃=或4}x >；（2）[1,0]-.【解析】【分析】（1）化简集合A ，当1m =-时，求出集合B ，求出U C B ，即可求出结论；（2）A B B ⋃=得出A B ⊆，可得集合B 端点范围，求解关于m 的不等式，即可得到m 的取值范围.【详解】（1）解：由已知，得{|02}A x x =≤≤，当1m =时，{|14}B x x =，故{|12}A B x x ⋂=.{|1U B x x =<或4}x >，{|2U A B x x ⋃=或4}x >.（2）∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，032m m ⎧⎨+⎩，解得10m -≤≤ 实数m 的取值范围为[1,0]-【点睛】本题考查集合间的运算，考查集合的关系求参数，属于基础题.18．（1）17-（2）1- 【解析】【分析】（1）用诱导公式化简函数可得()tan f x x =，由已知得1tan 3α=，2sin cos sin 2cos αααα-+分子分母同除以cos α，化为tan α，即可求解；（2）将所求的式子除以221sin cos αα=+，构造关于sin ,cos αα齐二次分式，分子分母同除以2cos α，化为tan α，即可求解；【详解】（1）cos sin (tan )()tan cos sin x x x f x x x x-==- ∵1()3f α=，∴1tan 3α=2sin cos 2tan 1sin 2cos tan 2αααααα--=++121131723⨯-==-+ （2）2222222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos αααααααααα----=+ 2211212tan tan 19311tan 119ααα⨯----===-++ 【点睛】本题考查诱导公式化简函数，考查关于sin ,cos αα齐次分式的求值，化弦为切是关键，属于基础题.19．（1）证明见解析（2）12a =，证明见解析 【解析】【分析】（1）任取12,x x R ∈，设12x x <，将()()12,f x f x 做差，通分，因式分解，判断各因式的符号，即可得证；（2）函数的定义域为R ，利用奇函数的必要条件(0)0f =，求出a ，求出(),()f x f x -整理化简，即可证明结论.【详解】（1）由已知，函数()f x 的定义域为R ，任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()1212112121x x f x f x a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()122112112221212121x x x x x x -=-=++++ ∵12x x <，∴1222x x <，∴12220x x -<，又1210x +>，2210x +>∴()()120f x f x -<，∴()()12f x f x <.∴()f x 在其定义域R 上是增函数.（2）要使()f x 是定义域为R 的奇函数.则(0)0f =，得12a =，此时()21()221x x f x -=+ 下面用定义证明()f x 为奇函数∵()()()211221()()221212221x x x x x x f x f x ------===-=-+++ ∴()f x 为奇函数.【点睛】本题考查函数的单调性的证明，考查利用函数的奇偶性求参数，并用奇偶性定义证明，属于基础题.20．（1）3240(5055,)y x x x N =-+∈（2）233609600(5055,)w x x x x N =-+-∈（3）当每箱血橙售价为55元时，该水果批发商可以获得最大利润，最大利润是1125元.【解析】【分析】（1）由图表得出售价与销售量的关系，即每箱销售价格提高1元，则日均销售量减少3箱， 从而求出函数解析式；（2）每箱的利润40x -乘以（1）中的销售量，即可求出利润函数解析式；（3）将（2）中的利润函数配方，结合自变量的范围，利用函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由表可知，每箱销售价格提高1元，则日均销售量减少3箱，所以903(50)y x =--，即3240(5055,)y x x x N =-+∈（2）由题意，知2(40)(3240)33609600(5055,)w x x x x x x N =--+=-+-∈（3）∵22336096003(60)1200w x x x =-+-=--+∴当5055,x x N ∈时，w 为增函数当55x =时，w 取最大值，且最大值为1125答：当每箱血橙售价为55元时，该水果批发商可以获得最大利润，最大利润是1125元.【点睛】本题考查函数应用问题，认真审题，将实际问题转化为数学模型，考查二次函数的最值，属于中档题.21．（1）()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z （2）2,)-+∞ 【解析】【分析】（1）有最高点的纵坐标得A =出关于,ωϕ的关系式，求解，即可求出解析式，用整体替换正弦函数的单调减区间，即可求出()f x 单调递减区间；（2）()2f x m -≤在50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，转化为()2f x m +在50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 只需max 50,12()2,f x m x π≤+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，利用整体思想结合正弦函数的值域，即可求解. 【详解】（1）根据图象得A = 由五点作图法知6211212ππωϕπωϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得26ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩所以函数的解析式()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 由3222262k x k πππππ+++，得2,63k x k k Z ππππ++∈ 故函数()f x 的单调减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z （2）由题意()2f x m +在50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立 所以当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，max 2()m f x +由50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2,66x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当262x ππ+=，即6x π=时，()f x∴22m+，故m 的取值范围是2,)-+∞【点睛】 本题考查由图像求解析式，利用特殊点坐标与五点画法中点的关系求参数，考查函数的性质，考查恒成立问题，等价转化为求函数的最值，属于中档题.22．（1）()f x =2）存在，且2m =-（3）(,3]-∞ 【解析】【分析】（1）将(4,2)代入()a f x x ，求出12α=；（2）由已知得()4g x x =+，假设存在符合条件的实数m ，令t =，得出[1,4]t ∈，2()()4,[1,4]g x t t mt t ϕ==++∈，根据对称轴2m x =-与区间[1,4]的关系，分类讨论求出()t ϕ的最小值且等于3，求解关于m 的方程，即可求出结论；（3）()()g x af x 在[1,16]x ∈时能成立，()0f x >，转化为()()g x a f x 对[1,16]x ∈能成立，令()()()g x h x f x =，[1,16]x ∈，则max ()a h x ，[1,16]x ∈，()2h x =-，令t =.，[1,4]t ∈，4()()2,[1,4]h x t t t tω==+-∈，用函数的单调性定义可证 ()t ω在[1,2]上为减函数，在[2,4]上为增函数，()t ω在[1,4]的最大值为max{(1),(4)}ωω 求出(1),(4)ωω，即可得出结论.【详解】 （1）∵函数()a f x x 图象经过点(4,2)， ∴42a =，∴12a =∴函数()f x 的解析式()f x =（2）由（1）知()4g x x =++，假设存在符合条件的实数m .令t =.∵[1,16]x ∈，∴[1,4]t ∈，∴2()()4,[1,4]g x t t mt t ϕ==++∈. ①当12m -≤，即2m -时，()t ϕ在[1,4]上为增函数， ∴当1t =时，()t ϕ有最小值(1)5m ϕ=+，∴53m +=，即2m =-，符合条件. ②当142m <-<即82m -<<-时， ()t ϕ在1,2m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在,42m ⎛⎤- ⎥⎝⎦上为增函数 ∴当2m t =-时，()t ϕ有最小值2424m m ϕ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭. ∴2434m -+=，即2m =±（舍）. ③当42m -，即8m ≤-时，()t ϕ在[1,4]上为减函数 ∴4t =时，()t ϕ有最小值(4)204m ϕ=+，∴2043m +=，174m =-（舍）. ∴综上所述，存在实数m 使得()g x 的最小值为3，且2m =-.（3）∵[1,16]x ∈时，()0f x > ∴原问题转化为()()g x a f x 对[1,16]x ∈能成立 令()()()g x h x f x =，[1,16]x ∈，则max ()a h x由（2）知()4g x x =-，∴()()2()g x h x f x ===-令t =.∵[1,16]x ∈，∴[1,4]t ∈， 则4()()2,[1,4]h x t t t tω==+-∈,设1212t t ≤<≤， 121212121212()(4)44()()t t t t t t t t t t t t ωω---=+--= 12121212,0,04t t t t t t ≤<≤-<<<，1212()()0,()()t t t t ωωωω->>，()t ω在[1,2]上为减函数，同理在[2,4]上为增函数∴()t ω在[1,4]的最大值为max{(1),(4)}ωω∵(1)(4)3ωω==，∴()t ω在[1,4]t ∈上的最大值为3即()h x 在[1,16]x ∈上的最大值为3∴3a ≤，即a 的取值范围是(,3]-∞.【点睛】本题考查二次函数的最值，考查分类讨论思想，解题的关键是对m 的范围正确分段，考查不等式能成立问题，分离参数，等价转化为参数与函数的最值关系，属于较难题.。