§1.1.1变化率问题教学设计
1.1.1平均变化率
1.1.1 平均变化率【教学目标】1. 理解函数的平均变化率2. 能求出函数在某一区间上的平均变化率 【重点难点】重点：函数在某一区间上的平均变化率 难点：平均变化率的几何意义 【教学过程】 一、问题导学假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)．问题1：若旅游者从A 点爬到B 点，则自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？问题2：如何用Δx 和Δy 来刻画山路的陡峭程度？问题3：试想Δy Δx ＝y 1－y 0x 1－x 0的几何意义是什么？问题4：从A 到B ，从A 到C ，两者的Δy Δx 相同吗？ΔyΔx 的值与山路的陡峭程度有什么关系？二、新知自解1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为 .2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． 归纳总结：在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在[x 1，x 2]上有意义；(2)在式子f x 2 －f x 1 x 2－x 1中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0.(3)在平均变化率中，当x 1取定值后，x 2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x 2取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．三、问题探究1、求函数在某区间的平均变化率【例1】(1)求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率；(2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率．【规律总结】求函数平均变化率的步骤为： 第一步：求自变量的改变量x 2－x 1；第二步：求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)；第三步：求平均变化率f x 2 －f x 1x 2－x 1.【对点练1】（1）函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率是________．（2）如图是函数y ＝f (x )的图象，则：①函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为______； ②函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 2.实际问题中的平均变化率【例2】物体的运动方程为S ＝t ＋1(位移单位：m ；时间单位：s )，求物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度．【规律总结】平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．【对点练2】（3）圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________．（4）在F1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系S＝10t＋5t2，则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？3、函数平均变化率的应用【例3】甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人的速度哪个大？【规律总结】平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢．【对点练3】（5）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系是．（6）A、B两机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中W1(t)、W2(t)分别表示A、B两机关的用电量与时间第t天的关系，则下列说法一定正确的是________．(填序号)①两机关节能效果一样好；②A机关比B机关节能效果好；③A机关在[0，t0]上的用电平均变化率比B机关在[0，t0]上的用电平均变化率大；④A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大．四、课堂小结1．求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差．(2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点． 2．平均变化率的几何意义(1)平均变化率f x 2 －f x 1 x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．五、课堂跟踪练习1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1,1.1]上的平均变化率为________． 2．函数f (x )＝2x ＋4在区间[a ，b ]上的平均变化率为________．3．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值：4.如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则在0到t 0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在t 0到t 1范围内甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”、“大于”或“小于”)．5．函数y ＝x 3＋2在区间[1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________. 6．已知函数f (x )＝2x 2＋1.求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率．7．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．。
1.1.1 变化率问题
1.1.1 变化率问题教学任务：1. 理解平均变化的概念2. 了解平均变化率的几何意义3. 会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点平均变化率的概念教学难点函数在某点处附近的平均变化率教学过程问题1 （教材P2）气球膨胀率问题思考：当气球容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？问题2（教材P3）高台跳水问题平均变化率问题：xx f x x f x x x f x f x y x x x x x x f x f y x x x x f y )()()()()()(),(12122111212-∆+=--=∆∆∆+∆-=∆-=∆=）则平均变化率为替代可用的一个增量，看作对于，（，若设对于函数思考：的几何意义是什么？的图像，平均变化率观察函数1212)()()(x x x f x f x y x f --=∆∆ .))(())(()(2211两点的割线的斜率，，，上的点它是曲线x f x x f x x f y =例题分析：.)21()21()(.12=∆∆∆+-∆+---+-=xy y x B A x x x f 则，，及附近一点，的图像上的一点已知函数例..202附近的平均变化率在求例x x x y ==练习.)33(312中相应的而平均速度为，，则在时间）质点运动规律为（t t s ∆++=.443)(22附近的平均变化率在的规律作直线运动，求）物体按（s t t t s ++=.1.0)11()1,1()(33割线的斜率时当，做曲线的割线，求出，和上两点）过曲线（=∆∆+∆+==xyxQPxxfy小结（1）平均变化率的概念（2）函数在某点处附近的平均变化率作业《习案》作业一。
高中数学新人教版A版精品教案《1.1.1 变化率问题》
《变化率》教学设计教材版本：普通高中数学教材人教A版《选修2-2》“变化率”，一、教学内容分析导数是微积分的核心概念之一，是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有效的工具。
教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安排，采用“逼近”的方法，从数形结合的角度定义导数，使导数概念的建立形象、直观而又容易理解，突出了导数概念的本质。
平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。
从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。
在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。
基于上述分析，我将本节课的教学重点确定为：理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。
在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解瞬时变化率的内涵二、学生情况分析（一）、学生已有的认知基础1、学生具备了一定的函数知识，可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式，求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值。
并能从图像中看出函数变化的快与慢。
2、学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念，比较容易理解可以用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速度。
（二）可能存在的认知困难1、“吹气球”与“高台跳水”是学生非常熟悉的生活实例，如何从具体实例中抽象出共同的数学本质，能够用“平均变化率”对生活中的变化快慢现象进行合理的数学解释是本节课教学的关键，也是难点所在。
2、利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象，需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学数学语言表达问题的能力。
2023年秋《变化率问题》教学设计
《变化率问题》教学设计一、本节内容分析本节的主要知识内容是平均变化率、导数及导数的几何意义,在众多变化率问题中,教材选择了物理中的高台跳水运动的速度问题和几何学中圆锥曲线的抛物线问题,这两类问题来自不同的学科领域,把生活中直观感受的变化率转化为数学中可以度量的变化率,解决问题时都采用由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.对学生来说,一个是生活中的物理问题,一个是熟悉的数学问题,这样的设计既可以引起学生的学习兴趣,又可以减少因背景复杂而形成对数学知识的干扰.学生学会先求函数的导数,继而求函数在某点处的切线的斜率与切线的方法,通过实际问题的引入加深对几何意义的理解和应用,使学生自然的接受新知识的教授.本节内容是高中数学的主要内容,也是高考考查的热点,本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析在学习本节内容之前,学生已经学习了速度问题和抛物线问题,知识的引入比较简单直接,所以本节引入难度不是很大,但是大部分学生对极限含义的理解有一定的困难,导数概念的本质是极限,本教材没有介绍极限形式化定义及相关知识,而是通过列表计算,直观把握函数变化趋势,在此过程中学生可以很好的理解并建立导数的概念.本部分知识涉及大量的计算和相关符号,对于学生的计算能力和符号的正确运用的考查也是很关键的.学情补充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备【任务专题设计】1.变化率问题2.导数的概念3.导数的几何意义【教学目标设计】1.了解平均变化率的概念.2.利用学生对瞬时速度的理解,逐步达到对导数概念和基本方法的直观准确的理解.3.理解导数的几何意义,体会导数在刻画函数性质中的作用.【教学策略设计】学生体验用平均速度逼近瞬时速度,割线斜率逼近切线斜率,这是求瞬时速度,求切线斜率的重要方法,也是建立导数概念的重要支持,学生在高中数学学习过程中对“观察、分析、归纳、概括、抽象”的概念建立过程有了较多的体会和认知.教学中利用预设问题激发学生思考,问题的设置体现由特殊到一般的认知规律;在学生充分经历瞬时速度的计算和切线斜率的计算过程后,引导学生归纳概括导数概念,强化学生数学抽象核心素养的形成;通过割线逼近切线,割线斜率逼近切线斜率的过程,引导学生借助直观想象理解导数的几何意义.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________ 【教学重点难点】重点:1.了解函数的变化率、平均变化率.2.理解瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数概念.3.理解导数的几何意义及“数形结合、以直代曲”的思想方法.难点:1.通过大量实例,使学生学会用数学的度量来描述平均变化率,体会函数的内涵与思想.2.准确理解导数概念,体会极限思想.3.发现、理解并应用导数的几何意义.【教学材料准备】1.常规材料:计算器、多媒体课件、____________________________________________2.其他材料:________________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:同学们,我们都进行过这样的运动—爬山,请回答下面的问题:问题1:在爬山的过程中,感觉平缓的山好攀登,还是陡峭的山好攀登呢?问题2:想想什么原因呢?请同学们做个简单图形来分析.问题3:对比分析两个一样高度的山,一个平缓,一个陡峭,那么两者的区别在哪里?【师生共同讨论为什么陡峭的山攀登感觉更累.学生独立做出图形】师:这都是日常生活中的例子,我们找出了问题关键,导致不同感觉的原因是因为在相同条件下,变化率大小不同.【设计意图】通过登山运动,教师引入本课所学变化率问题,提升学生的探究兴趣.教学精讲探究1 瞬时速度【情境设置】高台跳水在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:S )存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢?(1)如何计算00.5t ≤≤和12t ≤≤的平均速度? (2)如何计算运动员在48049t ≤≤这段时间里的平均速度? 师:运动员从起跳到入水的过程中,在上升阶段运动得越来越慢,在下降阶段运动得越来越快,我们可以把整个运动时间段分成许多小段,用运动员在每段时间内的平均速度v 近似地描述他的运动状态.【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】 生:(1)在00.5t ≤≤这段时间里,(0.5)(0)2.35(m /s)0.50h h v -==-;在12t ≤≤这段时间里,(2)(1)9.9(m /s)21h h v -==--.(2)根据函数2() 4.9 4.811h t t t =-++的图象,结合图形可知,48(0)49h h ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以48(0)490(m /s)48049h h v ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-.师:根据上述的解答过程,总结一下,在12t t t ≤≤这段时间内的运动员平均速度v 如何表示? 生:()()()2112214.9 4.8h t h t v t t t t -==-++-.【以学定教】通过类比师生对登山问题的研究,学习高台跳水问题,强化所学知识,提高对概念的认知. 【概括理解能力】通过教师提醒函数能够代表很多问题,提醒学生概念上需要注意的点,引导学生敢于总结,规范语言,概括出题目条件,培养学生概括理解的能力.师:探究思考以下问题:【情境设置】高台跳水1.运动员在这段时间内是静止的吗?2.你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以启发和肯定】 生:虽然运动员在48049t ≤≤这段时间里的平均速度为0m /s ,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.【自主学习】学生自主解决实际问题,教师继续设疑,使学生逐步建立知识体系和认知,增强了学生学习的主动性.师:为了精确刻画运动员的运动状态,需要引入瞬时速度的概念. 【要点知识】瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.设物体运动的路程与时间的关系是()S S t =,当t ∆趋近于0时,函数()S t 在0t 到0t t +∆之间的平均变化率()()00s t t s t s t t+∆-∆=∆∆趋近于常数,我们把这个常数称为运动物体在0t 时刻的瞬时速度.【概括理解能力】通过引入概念,使学生充分理解函数变化率的概念和计算顺序,加深对概念的运用能力. 师:瞬时速度与平均速度有什么关系?你能利用这种关系求运动员在1s t =的瞬时速度吗? 师:设运动员0t 时刻附近某一时间段内的平均速度是v ,可以想象,如果不断缩短这一时间段的长度,那么v 将越来越趋近于运动员在0t 时刻的瞬时速度.为了求运动员在1t =时的瞬时速度,我们在1t =之后或之前,任意取一个时刻1,t t +∆∆是时间改变量,可以是正值,也可以是负值,但不为0.当0t ∆>时,1t +∆在1之后;当0t ∆<时,1t +∆在1之前.当0t ∆>时,把运动员在时间段[1,1]t +∆内近似看成做匀速直线运动,计算时间段[1,1]t +∆内的平均速度v ,用平均速度v 近似表示运动员在1t =时的瞬时速度.当0t ∆<时,在时间段[1,1]t +∆内可作类似处理.为了提高近似表示的精准度,我们不断缩短时间间隔,得到如下表格.【学生以小组为单位,列好表格,准备好计算器】【以学定教】引出瞬时速度与平均速度有什么关系的问题,激发学生好奇心和学习动力,充分调动学生的积极性.师:当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势?生:当t ∆趋近于0时,即无论t 从小于1的一边,还是从大于1的一边趋近于1时,平均速度v 都趋近于一个确定的值5-.师:从物理的角度看,时间||t ∆间隔无限变小时,平均速度v 就无限趋近于1t =时的瞬时速度,因此,运动员在1t =时的瞬时速度是5m /s -.为了表述方便,我们用0(1)(1)lim 5t h t h t∆→+∆-=-∆,表示“当1,t t =∆趋近于0时,平均速度v 趋近于定值5-”.师:你能求出运动员在2t =时的瞬时速度吗?如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻0t 的瞬时速度.【分组讨论,思考,组内合作完成】师:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.小结一下:【要点知识】对瞬时速度的理解1.计算瞬时速度必须先求出平均速度sv t∆=∆,再对平均速度取极限.2.t ∆趋近于0,是指时间间隔越来越小,能小于任意小的时间间隔,即||t ∆要多小就有多小,其含义是可以小到任何预先给定的正数,但t ∆始终不能为零.【设情境 巧激趣】利用学生的活动和熟悉的例题,教师创设物理情境根据问题引导学生从物理学角度理解数学问题.探究2 抛物线的切线的斜率 【情境设置】抛物线切线斜率的探究如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么这条直线与这个圆相切,对于一般的曲线C ,如何定义它的切线呢?下面我们以抛物线2()f x x =为例进行研究.你认为应该如何定义抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线?0P 附近的点?师:与研究瞬时速度类似,为了研究抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线,我们通常在点0(1,1)P 的附近任取一点()2,P x x ,考察抛物线2()f x x =的割线0P 的变化情况.【推测解释能力】教师通过具体问题引导,提醒学生概念上需要注意的关键点,引导学生重视概念本身,加深理解.【情境设置】抛物线切线斜率的探究()2,P x x 沿着2()f x x =趋近于0(1,1)P 时,割线0P P 有什么变化趋势?生:我们发现,当点P 无限趋近于点0P 时,割线0P P 无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线0P T 称为抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线.【以学论教】教师类比研究瞬时速度,来进行抛物线的切线的斜率的探究,巩固旧知,加强对新知的理解,体现以学论教.师:从上述切线的定义可见,抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线0P T 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系.记1x x ∆=-,则点P 的坐标是()21,(1)x x +∆+∆.于是,割线0P P 的斜率2()(1)(1)121(1)1f x f x k x x x -+∆-===∆+-+∆-.我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0P T 的斜率0k ,并且可以通过不断缩短横坐标||x ∆来提高近似表示的精确度,得到如下表格.【学生以小组为单位,列好表格,准备好计算器】师:在表格中当x ∆无限趋近于0时,割线的斜率趋近于多少?生:当x ∆无限趋近于0时,即无论x 从小于1的一边,还是从大于1的一边无限趋近于1时,割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2.【活动学习】学生分组列表,用计算器来计算割线的斜率,提高学生的计算能力,体现活动学习. 【要点知识】抛物线切线斜率的探究事实上,由(1)(1)2f x f k x x+∆-==∆+∆可以直接看出,当x ∆无限趋近于0时,2x ∆+无限趋近于2.我们把2叫做“当x ∆无限趋近于0时,(1)(1)f x f k x+∆-=∆的极限”,记为(1)(1)lim2x f x f x∆→+∆-=∆.从几何图形上看,当横坐标||x ∆无限变小时,点P 无限趋近于点0P ,于是割线0P P 无限趋近于点0P 处的切线0P T ,这时,割线0P P 的斜率k 无限趋近于点0P 处的切线0P T 的斜率0k ,因此,切线0P T 的斜率02k =.【设活动 深探究】通过探究抛物线切线的斜率,经探究得出切线斜率的特点,提高学生的活动学习能力. 【课堂小结】变化率问题1.理解并掌握函数变化率的几何意义和概念.2.准确运用数学符号正确地表达函数变化率. 【设计意图】通过课堂总结,让学生对变化率问题有深刻理解,对下节课导数的学习起到了铺垫作用.培养学生的概括理解能力.教学评价本部分学习注重以学生为主体,每一个知识的引入和发现都学生自己得出,课堂上教师给予学生充足的思考空间,保证学生书写过程清楚,表达正确,尽量正确使用规范的符号语言.本节课学习从源头上说明导数的意义,让学生充分理解导数知识来源于生活.【设计意图】通过动手实践,学生经历探究导数的几何意义的建构过程,从而准确理解导数的几何意义,应用大量实例,使学生体会思想方法和应用的广泛.培养了学生的概括理解,分析计算能力和数学运算、逻辑推理核心素养.应用所学知识,完成下面各题:1.求函数2()f x x =在1,2,3x =附近的平均变化率,取x ∆都为13,哪一点附近平均变化率最大?解析:直接代入公式()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆计算平均变化率,比较大小即可.在1x =附近的平均变化率为21(1)(1)(1)12f x f x k x x x +∆-+∆-===+∆∆∆;在2x =附近的平均变化率为222(2)(2)(2)24f x f x k x x x +∆-+∆-===+∆∆∆;在3x =附近的平均变化率为223(3)(3)(3)36f x f x k x x x+∆-+∆-===+∆∆∆.若13x ∆=,则123171131192,4,6333333k k k =+==+==+=.由于123,k k k <<∴在3x =附近的平均变化率最大.2.两个学校开展节能活动,活动开始后两学校的用电量1()W t 、2()W t 与时间t (天)的关系如图所示,则一定有( )A.1W 比2W 节能效果好.B.1W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率比2W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率大.C.两学校节能效果一样好.D.1W 与2W 自节能以来用电量总是一样大.解析:由图象可知,对任意的()100,t t ∈,曲线1()W W t =在1t t =处的切线比曲线2()W W t =在1t t =处的切线要“陡”,所以,1W 比2W 节能效果好,A 正确,C 错误;由图象可知,()()1012020(0)(0)W t W W t W t t --<,则1W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率比2W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率要小,B 选项错误;由于曲线1()W W t =和曲线2()W W t =不重合,D 选项错误.答案:A3.已知22()3f x x =-,若1()3f a '=,则a 的值等于( ) A.14- B.14 C.49- D.34解析:本题只需根据导数的定义可得2220002242()()4243333()lim lim lim 333x x x x x x x x x f x x x x x x x x ∆→∆→∆→⎛⎫-+∆---∆-∆ ⎪⎛⎫⎝⎭'===--∆=- ⎪+∆-∆⎝⎭, 因此41()33f a a '=-=,则14a =-. 答案:A4.曲线223y x x =-+在点(1,6)A -处的切线方程是________.解析:本题利用导数的几何意义求曲线切线的步骤解题.因为223y x x =-+,切点为(1,6)A -,所以斜率2100(1)2(1)3(123)lim lim (4)x x x x x k y x x=-∆→∆→-+∆--+∆+-++='==∆-=∆4-,所以切线方程为64(1)y x -=-+,即420x y +-=.答案:420x y +-=【分析计算能力】根据所学平均变化率的知识,分析具体数据,让学生自主的计算,提高对概念的理解和运用.【综合问题解决能力】学生在理解导数概念的基础上进行审题,强化导数几何意义,提高综合问题解决能力.教学反思本节课在正确理解函数平均变化率的问题和导数的概念等知识的基础上,研究导数的几何意义,由于新教材涉及极限,尽量采用形象直观的方式,提高学生的动手能力,注重多媒体的使用和数形结合思想的应用,使学生深刻体会导数的几何意义和“以直代曲”的思想,即在利用导数几何意义研究具体实际问题时,某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替,从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的,并通过对例题的研究,让学生体验导数与切线斜率的关系,并感受导数应用的广泛性,应提供学生多实践,多练习的机会,提高计算能力和概念的认知能力.【以学定教】启发并引导学生理解函数变化率、导数的概念和几何意义,熟练掌握导数概念的表示方法和利用导数几何意义求切线的解题步骤,提高综合问题的解决能力.【以学论教】通过教师引导学生阅读教材,归纳探究,解决有关导数问题,课堂上教师采用活动学习、意义学习的策略,使得学生掌握导数概念及其几何意义,达到较好的学习效果.。
高中数学选修1-1《变化率问题》教案
人教版选修1-1第三章导数及其应用P72—74t (d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)C (34, 33.4)T (℃)210教材分析本节课是导数的起始课，教材从变化率问题开始，引入平均变化率的概念，并用平均变化率探求瞬时变化率，然后，从数学上给予变化率在数量上的精确描述，即导数。
这样处理符合学生的认知规律，使学生的导数学习有了生长点，因此函数平均变化率教学的成败，直接决定导数概念的学习与理解。
二、教学目标分析1、知识与技能：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
2、过程与方法：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。
3、情感态度与价值观：体会平均变化率的思想及内涵，使学生逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法，培养学生互相合作的风格以及勇于探究、积极思考的学习精神。
三、重点与难点分析:根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：重点：平均变化率的实际意义和数学意义难点：平均变化率概念的理解和运用四、学情分析1、有利因素：高二学生个性活泼、思维活跃、积极性高，已具有对数学问题进行合理探究的意志与能力。
2、不利因素：学生两极分化开始形成，学生个体差异比较明显。
五、教法学法根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法：探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。
遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。
依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。
六、教学过程设计（一）创设情景、激发热情[情境1]：法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。
变化率与导数教学设计(共7篇)
变化率与导数教学设计（共7篇）第1篇：1.1变化率与导数教学设计教案教学准备1. 教学目标知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.2. 教学重点/难点【教学重点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.3. 教学用具多媒体4. 标签变化率与导数教学过程课堂小结课后习题第2篇：1.1变化率与导数教学设计教案教学准备1. 教学目标（1）理解平均变化率的概念.（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.（3）理解导数的概念（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.2. 教学重点/难点教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解教学难点：会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数3. 教学用具多媒体、板书4. 标签教学过程一、创设情景、引入课题【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。
【板演/PPT】【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 【板演/PPT】让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
【设计意图】自然进入课题内容。
二、新知探究 [1]变化率问题【合作探究】探究1 气球膨胀率【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么【板演/PPT】【活动】【分析】当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 解析：探究2 高台跳水【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? （请计算）【板演/PPT】【生】学生举手回答【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。
变化率问题教学设计(广水市一中数学组 王伟)
高中数学选修2-2 第一章导数及其应用§1.1.1变化率问题广水市一中王伟 2012年04月15日一.教材分析（一）教学内容解析本节内容是高中数学（选修2-2）第一章第一节变化率与导数中的第一课时变化率问题。
通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。
（二）教材的地位和作用平均变化率是个核心概念，它在本章占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。
在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。
（三）教材的处理在教材的处理上，做到了“尊重”与“超越”的平衡。
教学的实践证明，对教材的彻底反叛和完全盲从都不利于学生的发展和教学目标的全面实现。
用教材教，不能简单地把教学目标锁定在完成教材上。
在这节课的开始时，抓住学生的心理，利用姚明的身高曲线问题，将学生轻松带入课堂，通过气球的膨胀率和位移的变化率，采用类比的方式得到一般函数平均变化率的概念，最后通过例题帮助学生理解平均变化率的概念，并总结出函数平均变化率的求法和步骤，进而完成本节课的教学目标。
（四）教学重难点诊断分析本模块中导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的。
引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会函数的思想内涵。
根据以上分析，本节课教学重点：1、通过平均膨胀率与平均速度两个实例，从特殊到一般，让学生经历平均变化率概念的形成过程。
2、理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间的平均变化率。
教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。
这里通过气球的膨胀率和平均速度（即位移的变化率），采用类比的方式得到一般函数的平均变化率。
二.学情分析本节课的教学对象是高二年级的理科生，在物理中，学生已经学过平均速度、瞬时速度、加速度等概念这些都直接和间接地涉及到平均变化率的思想，这些都有利于本节课的顺利进行。
高中数学1.1.1_2变化率与导数优秀教案
§1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学习目标 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法(重点).3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数(难点).知识点1函数的平均变化率1.平均变化率的概念设函数y＝f(x)，x1，x2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f〔x2〕－f〔x1〕x2－x1表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量〞，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1).于是，平均变化率可以表示为Δy Δx.2.求平均变化率求函数y＝f(x)在[x1，x2]上平均变化率的步骤如下：(1)求自变量的增量Δx＝x2－x1；(2)求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)求平均变化率ΔyΔx＝f〔x2〕－f〔x1〕x2－x1＝f〔x1＋Δx〕－f〔x1〕Δx.【预习评价】1.如何正确理解Δx ，Δy?提示 Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，假设Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零. 2.平均变化率的几何意义是什么？ 提示 如下图：y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化〞，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化〞，⎪⎪⎪⎪⎪⎪Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭〞，反之亦然.平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，假设函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则f 〔x 2〕－f 〔x 1〕x 2－x 1＝k AB .知识点2 瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v －，即v －＝Δs Δt ＝s 〔t 0＋Δt 〕－s 〔t 0〕Δt.物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s 〔t 0＋Δt 〕－s 〔t 0〕Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝0lim t ∆→ΔsΔt＝limt ∆→s 〔t 0＋Δt 〕－s 〔t 0〕Δt .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率.【预习评价】瞬时变化率的实质是什么？提示 其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢. 知识点3 导数的概念 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f 〔x 0＋Δx 〕－f 〔x 0〕Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f 〔x 0＋Δx 〕－f 〔x 0〕Δx.【预习评价】1.函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为________. 解析 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝1＋Δx －1，∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1， ∴f ′(1)＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→11＋Δx ＋1＝12.答案 122.设f (x )在x 0处可导，假设0lim x ∆→ f 〔x 0＋3Δx 〕－f 〔x 0〕Δx ＝A ，则f ′(x 0)＝________.解析 0lim x ∆→ f 〔x 0＋3Δx 〕－f 〔x 0〕Δx＝3 30lim x ∆→f 〔x 0＋3Δx 〕－f 〔x 0〕3Δx ＝3f ′(x 0)＝A .故f ′(x 0)＝13A . 答案 13A题型一 求平均变化率【例1】 求函数y ＝f (x )＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝12时该函数的平均变化率.解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f 〔x 0＋Δx 〕－f 〔x 0〕Δx ＝[2〔x 0＋Δx 〕2＋3]－〔2x 20＋3〕Δx＝4x 0Δx ＋2〔Δx 〕2Δx＝4x 0＋2Δx .当x 0＝2，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×2＋2×12＝9.规律方法 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1). (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f 〔x 2〕－f 〔x 1〕x 2－x 1.【训练1】 (1)如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2解析 Δy Δx ＝f 〔3〕－f 〔1〕3－1＝1－32＝－1.答案 B(2)过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1，0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值.解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率ΔyΔx . ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx ＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1. 题型二 求实际问题中的瞬时速度【例2】 一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s). (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度.解 (1)初速度v 0＝0lim t ∆→ s 〔Δt 〕－s 〔0〕Δt ＝0lim t ∆→ 3Δt －〔Δt 〕2Δt＝0lim t ∆→ (3－Δt )＝3，即物体的初速度为3 m/s. (2)v 瞬＝0lim t ∆→ s 〔2＋Δt 〕－s 〔2〕Δt＝0lim t ∆→ 3〔2＋Δt 〕－〔2＋Δt 〕2－〔3×2－4〕Δt＝0lim t ∆→ －〔Δt 〕2－ΔtΔt＝0lim t ∆→ (－Δt －1)＝－1，即此物体在t ＝2时的瞬时速度大小为1 m/s ，方向与初速度方向相反.(3)v －＝s 〔2〕－s 〔0〕2－0＝6－4－02＝1，即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.规律方法 做变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt 趋近于0，指时间间隔Δt 越来越小，但不能为0，Δt ，Δs 在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.【训练2】 一物体做自由落体运动，下落的高度的表达式为s ＝12gt 2，其中g 为重力加速度，g ≈9.8米/平方秒(s 的单位：米).(1)求t 从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度； (2)求t ＝3秒时的瞬时速度.解 (1)当t 在区间[3，3.1]上时，Δt ＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝12g 2－12g ·32≈2.989(米).v －1＝ΔsΔt≈错误!＝29.89(米/秒).同理，当t在区间[3，3.01]上时，v －2≈29.449(米/秒)，当t 在区间[3，3.001]上时，v 3≈29.404 9(米/秒)，当t 在区间[3，3.000 1]上时，v －4≈29.400 49(米/秒). (2)ΔsΔt ＝s 〔3＋Δt 〕－s 〔3〕Δt ＝12g 〔3＋Δt 〕2－12g ·32Δt＝12g (6＋Δt )，lim t ∆→Δs Δt ＝0lim t ∆→ 12g (6＋Δt )＝3g ≈29.4(米/秒). 所以t .题型三 求函数在某点处的导数【例3】 求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数.解 Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋Δx 1＋Δx ， ΔyΔx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx， ∴0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→ (1＋11＋Δx)＝2， 从而y ′|x ＝1＝2.规律方法 求函数在x ＝x 0处的导数的步骤： (1)求函数值的增量，Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率，Δy Δx ＝f 〔x 0＋Δx 〕－f 〔x 0〕Δx ；(3)取极限，f ′(x 0)＝0lim x ∆→ ΔyΔx .【训练3】 求函数y ＝4x 2在x ＝2处的导数. 解 ∵Δy ＝4〔Δx ＋2〕2－422 ＝4〔Δx ＋2〕2－1＝－〔Δx 〕2＋4Δx 〔Δx ＋2〕2， ∴ΔyΔx ＝－Δx ＋4〔Δx ＋2〕2，∴0lim x ∆→ ΔyΔx ＝－0lim x ∆→ Δx ＋4〔Δx ＋2〕2＝－1.课堂达标1.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx 应满足( ) A.Δx ＞0 B.Δx ＜0C.Δx ≠0D.Δx 可为任意实数解析 因平均变化率为ΔyΔx ，故Δx ≠0. 答案 C2.沿直线运动的物体从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么0lim t ∆→ ΔsΔt 为( )A.从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度B.t 时刻物体的瞬时速度C.当时间为Δt 时物体的速度D.从时间t 到t ＋Δt 时位移的平均变化率解析 v －＝Δs Δt ，而0lim t ∆→ ΔsΔt 则为t 时刻物体的瞬时速度.答案 B3.函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx ，1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A.4 B.4x C.4＋2ΔxD.4＋2(Δx )2解析 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝2(Δx )2＋4Δx ，∴ΔyΔx ＝2Δx ＋4. 答案 C4.如下图，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是__________.解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f 〔x 2〕－f 〔x 1〕x 2－x 1，f 〔x 3〕－f 〔x 2〕x 3－x 2，f 〔x 4〕－f 〔x 3〕x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4].答案[x3，x4]5.函数f(x)＝1x，则f′(1)＝__________.解析f′(1)＝limx∆→f〔1＋Δx〕－f〔1〕Δx＝limx∆→11＋Δx－1Δx＝limx∆→－11＋Δx〔1＋1＋Δx〕＝－12.答案－12课堂小结1.求平均变化率的步骤：(1)求Δy，Δx.(2)求ΔyΔx.2.求瞬时速度的一般步骤：(1)求Δs及Δt.(2)求ΔsΔt.(3)求0limt∆→ΔsΔt.3.利用定义求函数f(x)在x＝x0处的导数：(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).(2)求ΔyΔx.(3)y′|x＝x0＝0limx∆→f〔x0＋Δx〕－f〔x0〕Δx.根底过关1.函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为()A.－6B.Δx－6C.－2D.Δx－2解析设y＝f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，Δy＝f(－2＋Δx)－f(－2)＝(－2＋Δx－1)2－(－2－1)2＝(－3＋Δx)2－9＝(Δx)2－6Δx，所以ΔyΔx＝Δx－6，所以函数y＝x2－2x ＋1在x＝－2附近的平均变化率为Δx－6.答案 B2.一质点运动的方程为s＝5－3t2，假设该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()A.－3B.3C.6D.－6解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t ＝1时的瞬时速度为s ′＝0lim x ∆→ (－3Δt －6)＝－6. 答案 D3.设函数f (x )＝ax ＋3，假设f ′(1)＝3，则a 等于( ) A.2 B.－2 C.3D.－3解析 ∵f ′(1)＝0lim x ∆→ f 〔1＋Δx 〕－f 〔1〕Δx＝0lim x ∆→ a 〔Δx ＋1〕＋3－〔a ＋3〕Δx ＝a ，又f ′(1)＝3，∴a ＝3. 答案 C4.函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数值的增量Δy ＝________.解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13.答案 135.如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为________.解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得. 答案 －4.8 m/s6.求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数. 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2〔Δx 〕2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝0lim x ∆→ (2Δx ＋16)＝16. 7.假设函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值.解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c＝a (Δx )2＋2a Δx ，∴f ′(1)＝0lim x ∆→ f 〔1＋Δx 〕－f 〔1〕Δx ＝0lim x ∆→ a 〔Δx 〕2＋2a Δx Δx ＝0lim x ∆→ (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2， ∴a ＝1.能力提升8.设函数f (x )可导，则0lim x ∆→ f 〔1＋3Δx 〕－f 〔1〕3Δx等于( ) A.f ′(1) B.3f ′(1)C.13f ′(1)D.f ′(3) 解析 0lim x ∆→ f 〔1＋3Δx 〕－f 〔1〕3Δx ＝0lim x ∆→ f 〔1＋3Δx 〕－f 〔1〕3Δx ＝f ′(1). 答案 A9.函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A.k 1>k 2B.k 1<k 2C.k 1＝k 2D.不确定解析 由定义可知k 1＝2x 0＋Δx ，k 2＝2x 0－Δx ，因为Δx 可正、可负但不可为0， 所以k 1与k 2大小不确定.应选D.答案 D10.设函数f (x )在x ＝3处可导，且f ′(3)＝－2，f (3)＝2，则3lim x → 2x －3f 〔x 〕x －3的值为________.解析 3lim x → 2x －3f 〔x 〕x －3＝3lim x → 2x －2×3－3[f 〔x 〕－f 〔3〕]x －3 ＝3lim x → 2x －6x －3－33lim x → f 〔x 〕－f 〔3〕x －3＝2－3f ′(3)＝8. 答案 811.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动.如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2×10－3 s ，则子弹射出枪口时的瞬时速度为__________m/s.解析 运动方程为s ＝12at 2. ∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴v ＝0lim t ∆→ Δs Δt ＝at 0. 又∵a ＝5×105 m/s 2，t 0×10－3 s ，∴v ＝at 0＝8×102＝800(m/s).答案 80012.假设一物体运动的位移s 与时间t 的关系如下：(位移单位：m ，时间单位：s) s ＝⎩⎨⎧3t 2＋2，t ≥3，29＋3〔t －3〕2，0≤t <3.求：(1)物体在t ∈[3，5]上的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度.解 (1)∵物体在t ∈[3，5]上的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]上的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3，5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24，∴物体在t ∈[3，5]上的平均速度为24 m/s.(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度.∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[〔0＋Δt 〕－3]2－29－3〔0－3〕2Δt＝3Δt －18， ∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为0lim t ∆→ Δs Δt ＝0lim t ∆→ (3Δt －18)＝－18，即物体的初速度v 0为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率.∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[〔1＋Δt 〕－3]2－29－3〔1－3〕2Δt＝3Δt －12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为0lim t ∆→ Δs Δt ＝0lim t ∆→ (3Δt －12)＝－12，即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.创新突破13.试比拟正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率哪一个大.解 当自变量从0变到Δx 时，函数的平均变化率为k 1＝sin Δx －sin 0Δx＝sin Δx Δx . 当自变量从π2变到Δx ＋π2时，函数的平均变化率为k 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋Δx －sin π2Δx ＝cos Δx －1Δx. 由于是在x ＝0和x ＝π2的附近的平均变化率，可知Δx 较小，但Δx 既可正，又可负.当Δx ＞0时，k 1＞0，k 2＜0，此时有k 1＞k 2.当Δx ＜0时，k 1－k 2＝sin Δx Δx －cos Δx －1Δx＝sin Δx －cos Δx ＋1Δx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx －π4＋1Δx. ∵Δx ＜0，∴Δx －π4＜－π4，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫Δx －π4＜－22， 从而有2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx －π4＜－1， 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx －π4＋1＜0， ∴k 1－k 2＞0，即k 1＞k 2.综上可知，正弦函数y ＝sin x 在x ＝0附近的平均变化率大于在x ＝π2附近的平均变化率.。
高中数学《变化率问题》公开课优秀教学设计
《变化率问题》教学设计教材版本：普通高中数学教材人教A版《选修2-2》“1.1.1变化率问题”，一、教学内容分析导数是微积分的核心概念之一，是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有效的工具。
教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安排，采用“逼近”的方法，从数形结合的角度定义导数，使导数概念的建立形象、直观而又容易理解，突出了导数概念的本质。
平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。
从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。
在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。
基于上述分析，我将本节课的教学重点确定为：理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。
二、学生情况分析（一）、学生已有的认知基础1、学生具备了一定的函数知识，可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式，求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值。
并能从图像中看出函数变化的快与慢。
2、学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念，比较容易理解可以用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速度。
（二）可能存在的认知困难1、“吹气球”与“高台跳水”是学生非常熟悉的生活实例，如何从具体实例中抽象出共同的数学本质，能够用“平均变化率”对生活中的变化快慢现象进行合理的数学解释是本节课教学的关键，也是难点所在。
2、利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象，需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学数学语言表达问题的能力。
对高中生而言，抽象概括能力和应用数学语言的能力还有待进一步的提高。
教学设计5：1.1.1变化率问题
说教学设计《平均变化率》大家好，我说课的题目是《平均变化率》，我将从教材、目标、教法、教学过程和评价反馈分析五个方面进行陈述。
一、教材分析《导数及其应用》在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的，它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。
新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式。
而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法，分别从代数上的减小区间长度,使区间长度逼近于一个点和几何上的减小割线两点间的距离,使割线逐渐逼近于切线,这两个数形结合的角度定义导数.这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，最重要的是能够突出了导数概念的本质。
而我今天说课的内容《平均变化率》又是《导数及其应用》的第一课时，对下一步瞬时变化率和导数概念的形成起到重要的奠基作用。
二、目标分析在讲课的过程中，我们要让学生有一个经历、体会、运用、感受的过程。
于是，我将本堂课的教学目标定为：（1）知识与技能目标要求学生能通过大量实例直观感知、构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解平均变化率的实际意义和数学意义.为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
（2）过程与方法目标通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；（3）情感、态度、价值观感受数学模型在刻画客观世界中的作用，进一步领会变量数学的思想方法，提高能力。
根据课标要求，结合实际情况，我确定平均变化率的概念及其形成过程为教学重点，通过实例理解平均变化率的实际意义和数学意义是本节课的难点。
三、教法分析启发式教学与探究式学习相结合。
通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。
1.1变化率与导数第1课时 精品教案
1.1变化率与导数【课题】：1.1.1变化率问题【学情分析】：吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，但平均变化率及其符号表示对于学生而言还是新内容。
【教学目标】：（1）知识目标：○1感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。
体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
○2理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
（2）情感目标：让学生充分体会到生活中处处有数学。
（3）能力目标：提高学生学习能力与探究能力、归纳表达能力。
【教学重点】：正确理解平均变化率.【教学难点】：平均变化率的概念。
【课前准备】：powerpoint【教学过程设计】：(基础题)1.物体自由落体的运动方程是:()212S t gt =,求１s 到２s 时的平均速度． 解：21314.72S S g m -== ,211t t s -=, 则()212114.7/S S v m s t t -==-2.水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积 （单位：3cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率。
注：(10)(0)100V V --3.已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。
4.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。
t t V 1.025)(-⨯=(难题) 5.思考：（1）课本P4思考题（2）在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h （t ）=－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在65049t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：○1运动员在这段时间里是静止的吗？ ○2你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 答案: ○1不是. ○2不能客观描述运动员的运动状态.T(月)3912。
1.1.1变化率问题 学案-精选学习文档
1. 1.1变化率问题 课前预习学案预习目标：“变化率问题”，课本中的问题1,2。
知道平均变化率的定义。
预习内容： 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_____________ 问题2 高台跳水在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________ 问题3 平均变化率已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x ___________.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=___________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f __________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标 1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.hto学习重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 学习难点：平均变化率的概念.学习过程一：问题提出问题1气球膨胀率问题：气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________. 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________.⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? ___________.问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系___________.）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，___________.； 在21≤≤t 这段时间里，___________. 探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以___________.虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）计算和思考，展开讨论；（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态； 二平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化h to率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xf x y ___________. 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么? （1） 一起讨论、分析，得出结果；（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x 2-x 1；②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)；③求平均变化率2121()()f x f x f x x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x 2= x 1+Δx ； ③Δf=Δy=y 2-y 1； 三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：例2．求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
1.1.1变化率问题学案理科
题目:§1.1.1变化率问题【学习目标】（1）通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.（2）会求函数在指定区间上的平均变化率.（3）能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题.【重点、难点】重点：函数在指定区间上的平均变化率难点：利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题【使用说明、学法指导】1、先通读教材勾画出本节内容的基本知识，再完成教材助读设置的问题，依据发现的问题，然后再读教材或查阅资料，解决问题。
2、独立完成，限时15分钟。
变化率问题【课前预习案】1、复习回顾：设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，直线AB 与x 轴的倾斜角为θ，直线的斜率为k .则有k = ,k = ,它刻画了直线的陡峭程度。
2、教材助读：（1）函数平均变化率的概念：我们把式子 称为函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率.习惯上用x 表示21x x -,即 ,21()()y f x f x =-.平均变化率可以表示为 y x =（x 是一个整体符号，而不是和x 相乘）增量并一定都是正值,也可以是负值,还可以是0.（2）观察函数y=f (x )的图象直线AB【升华】 1. 平均变化率的几何意义就是函数()y f x =图像上两点111,()P x f x ()， 222,()P x f x ()所在直线的2.求函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率的步骤:①求自变量的增量=x ②求函数值的增量=y③求平均变化率y x =f (x 1)变化率问题【课堂探究案】1、在高台跳水问题中（2() 4.9 6.510h t t t =-++），计算运动员在65049t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考下列问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？2、求函数2x y =在区间[]x x x ∆+00,的平均变化率，并求出当1.0=∆x 时的平均 变化率.【当堂训练】1在求平均变化率中，自变量的增量x ∆ （ ）A ．0>∆x B. 0<∆x C. 0=∆x D. 0≠∆x2.一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ）A ．－4B ．－8C ．6D ．－63、已知质点按照规律t t s 422+=（距离单位：m ，时间单位：s ）运动，求：（1）质点开始运动后3秒内的平均速度；（2）质点在2秒到3秒内的平均速度。
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§1.1.1变化率问题
教学目标：
1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33
4)(r r V π= ⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π
V V r = 分析: 3
43)(π
V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-
气球的平均膨胀率为
)/(62.00
1)
0()1(L dm r r ≈--
⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-
气球的平均膨胀率为)/(16.01
2)
1()2(L dm r r ≈--
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?
1
212)
()(V V V r V r --
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.
如何用运动员在某
些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v
在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)
0()5.0(s m h h v =--=
；
在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)
1()2(s m h h v -=--=
探究：计算运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49
65
(
h h =， 所以)/(0049
65)0()4965
(
m s h h v =--=
， 虽然运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运
动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子
1
212)
()(x x x f x f --表示,
称为函数f (x )从x 1到x 2的平均
变化率
2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3． 则平均变化率为
=
∆∆=∆∆x
f
x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=
∆∆x
f
1212)()(x x x f x f --
直线AB
三．典例分析
例1．已知函数f (x )=x x +-2
的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点
)2,1(y x B ∆+-∆+-,则
=∆∆x y
． 解：)1()1(22
x x y ∆+-+∆+--=∆+-，
∴x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2
x y =在0x x =附近的平均变化率。
解：2
02
0)(x x x y -∆+=∆，所以x
x x x x y ∆-∆+=∆∆2
020)( x x x
x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022
所以2
x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02
四．课堂练习
1．质点运动规律为32
+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率. 3.过曲线y =f (x )=x 3上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率. 五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业
253t
∆+。