平均变化率教案及教案说明

平均变化率

江苏省南京外国语学校严青

一、教材：苏教版《普通高中课程标准实验教科书（选修2—2）·数学》第1章。

二、地位和作用：

《导数及其应用》在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的，它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。通过本章的学习，使学生对变量数学的思想方法有新的感悟，促进学生全面认识数学的价值（应用价值、科学价值、文化价值），从而进一步发展学生的数学思维能力。

新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”

的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。

平均变化率是是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。

三、教学目标

✧通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快

慢程度的一种数学模型；

✧理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；

✧感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题

的能力。

四、教学重点平均变化率概念

教学难点平均变化率概念的形成过程

五、教学方法与教学手段

✧启发式教学与探究式学习相结合。通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已

有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。这样学生不会感到突兀，并能进一步感受到数学来源于生活，生活中处处蕴含着数学化的知识，同时可以提高他们学习数学的主观能动性。教师在教学中应遵循五“W”原则（who，what，why，when，how），尤其要关注其中的三个原则,即“谁在学？

为什么要学？怎么学？”

✧利用多媒体辅助教学，突出重点、突破难点，提高教学效率。

5390

53965460

5510

时间相差上证指数

180分钟

六、教学过程

问题情境，感受概念 情境1 GDP “猛增”

胡锦涛同志在党的十七大报告中提出：“增强发展协调性，努力实现经济又好又快发展。转变发展方式取得重大进展，在优化结构、提高效益、降低消耗、保护环境的基础上，人均国内生产总值（GDP ）到2020年比2000年翻两番”。（2000年中国人均GDP 为856美元，2020年约为3500美元．）

尤其令人振奋的是：十六大以来，我国国民经济保持平稳快速发展， 2002年我国人均GDP 首次超过1000美元，达到1100美元，在短短的4年内于2006年又超过2000美元，达到2010美元。我国已经由低收入国家步入了中等收入国家行列，标志着我国在向全面建设小康社会的进程中又迈出了坚实的一步。 时间 x (年) 2000 2002 2006 2020 人均GDP

y (美元)

856

1100

2010

3500

问题1 如何从数学角度刻画2002年至2006年这4年我国人均GDP “猛增”？ 情境2 房价“暴涨”

南京龙江小区近十来年的房价变化如下图所示：

问题2 如何从数学角度刻画房价“暴涨”？

情境3 股指“跳水”

2007年9月25日沪市A 股走势图

30

34

2 A (1, 3.5) B (32, 18.6)

C (34, 33.4)

2

10

T (℃)t 问题3 如何从数学角度刻画股指“跳水”？

情境4 气温“陡升”

现有某市2004年3月和4月某天日最高气温记载如下列图表所示：

时间 t (d) 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 T (℃) 3.5℃

18.6℃

33.4℃

问题4 如何从数学角度刻画气温“陡升”？

✧ 建立模型，形成概念

问题5 用怎样的数学模型刻画函数值变化的快慢程度？

思考1 你能给出函数f (x )在区间[x 1

，x 2

]上平均变化率的定义吗？

定义 函数f (x )在区间[x 1

，x 2

]上平均变化率为

2121

()()

--f x f x x x 。

思考2 平均变化率有怎样的几何意义？

平均变化率的几何意义就是函数f (x )图象上两点(x 1, f (x 1))、(x 2, f (x 2))所在直线

的斜率。

✧ 探究活动，感悟概念

活动1 (1) 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，据此，你能评价甲、乙两人的

经营成果吗？

(2) 甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月

时间挣到2万元，你能评价甲、乙两人的经营成果吗？

活动2 试举出生活中与平均变化率有关的例子。

✧ 例题讲解，运用概念

例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6

个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。

例2 已知函数f (x ) = 2x +1， g (x ) =－2x ，分别计算在区间[－3，－1]、[0，5]上f (x )

及g (x )的平均变化率。

想一想 一次函数y = kx + b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？ 例3 求函数1

y x

=

在区间 00[,]x x x +∆ 0(0)x ≠上的平均变化率。 ✧ 反馈练习，巩固概念

一运动质点的位移S 与时间t 满足S (t )=t 2

，分别计算S (t )在下列区间上的平均变化率。 (位移单位为m,时间单位为s)

(1) [1，3]； (2) [1，2]； (3) [1，1.1]； (4) [1，1.001]； (5) [1，1.0001]； (6) [0.999，1]； (7) [0.99，1]； (8) [0.9，1]。 思考3 如何刻画t =1这一时刻质点运动的快慢程度呢？

✧ 回顾反思，理解概念

定义：函数()f x 在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为2121

()()

f x f x x x --。

七、分层作业 ✧ 必做作业 第7页2，3题

✧

选做作业 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,

气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

✧ 思考作业 一运动质点的位移S 与时间t 满足S (t )=t 2

, 如何刻画t =1这一时刻质点运动的

快

慢程度呢？

(位移单位为m, 时间单位为s)

八、板书设计