点到直线的距离和两直线的距离
第二章 点到直线的距离(第三课时) 两条平行直线间的距离
课堂小结
1.知识清单： (1)两条平行线间的距离. (2)两条平行线间的距离最值问题. 2.方法归纳：数形结合法、解方程(组)法. 3.常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x， y的系数分别对应相同.
随堂演练
1.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为
A.1
√B. 2
C. 3
D.2
跟踪训练3 已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平 行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_x_＋__2_y_－__3_＝__0_.
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距 离最大. 因为A(1,1)，B(0，－1). 所以 kAB＝－01－－11＝2， 所以两条平行直线的斜率为－12， 所以直线 l1 的方程为 y－1＝－12(x－1)，
(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
解 由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直. 而 kAB＝26－ －－ －13＝13， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
反思感悟 应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”， 从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运 动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变 化范围.
解得c＝11或c＝－9.
三、平行直线间的距离的最值问题
例3 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着 A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围；
两点间的距离及点到直线的距离
Part
05
距离在物理中的应用
重力场中的距离
重力场中两点间的距离
在重力场中，两点间的最短距离是通过连接这两点的直线段来确定的。重力场中的距离与地球的质量和物体的质 量有关。
重力加速度
在重力场中，物体受到地球的引力作用，产生加速度，这个加速度被称为重力加速度。重力加速度的大小与地球 的质量和物体的高度有关。
点到直线的距离
点到直线的距离是指点到直线上的任意一点的最短距离。在确定一个点相对于一条直线 的位置时，这个距离是非常重要的。
图形分析
三角形分析
在三角形中，通过测量各边和各边之间的距离，可以分析三角形的形状和大小。 例如，海伦公式用于计算三角形的面积。
圆的分析
在圆中，通过测量圆心到圆上任一点的距离（半径），可以分析圆的大小和位 置。此外，圆上两点间的最大和最小距离分别是直径和弦。
举例说明
假设在二维平面中，点A的坐标为(0, 0)，点B的坐标为(4, 3)，则两点间的距离为：d = sqrt(4^2 + 3^2) = 5。
假设在三维空间中，点A的坐标为(0, 0, 0)，点B的坐标为(4, 3, 6)，则两点间的距离为： d = sqrt(4^2 + 3^2 + 6^2) = 7。
Part
03
距离的性质
非负性
STEP 01
STEP 02
STEP 03
这一性质是距离定义的基 本要求，确保了距离的度 量具有实际意义。
当且仅当两点重合时，距 离d为0。
两点间的距离总是非负的， 即两点间的距离d满足d ≥ 0。
三角不等式
对于任意三点A、B、 C，有AB ≤ AC + CB。
平面上两点间的距离和点到直线的距离公式
平面上两点间的距离和点到直线的距离公式平面几何是几何学中的一个重要分支，它研究了平面上点、直线、圆等的性质和相互关系。
在平面上，我们经常需要计算两点之间的距离以及点到直线的距离，这些计算方法在实际生活中有着很广泛的应用。
下面我们将分别介绍两点间的距离和点到直线的距离的计算公式。
首先，考虑两点间的距离。
假设平面上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们想要计算这两个点之间的距离d。
根据勾股定理，我们知道两点之间的距离可以通过点与坐标轴的距离的平方和来计算，即：d=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]。
这个公式的理解非常直观，我们可以将两点之间的直线看作是直角三角形的斜边，而点与坐标轴的距离就是直角三角形的两个直角边的长度。
因此，我们可以通过计算两个直角边的长度，然后应用勾股定理来求解斜边的长度，即两点之间的距离。
接下来，我们来讨论点到直线的距离的计算方法。
给定平面上一条直线L和一点C(x0,y0)，我们想要计算点C到直线L的距离d。
为了方便计算，我们需要确定直线L的方程。
在平面几何中，常见的直线方程形式有一般式、斜截式和点斜式。
这里我们以一般式方程为例，一般式方程的形式为Ax+By+C=0，其中A、B和C是常数。
点到直线的距离的计算方法有多种，下面我们介绍其中的一种方法，即点到直线的投影方法。
我们可以将问题转化为求点C到直线L的垂直投影点D，然后计算点C到点D的距离d。
首先，我们可以利用点斜式确定直线L的斜率k。
假设直线L经过点P(x1, y1)，斜率为k，则直线L的点斜式方程为y - y1 = k(x - x1)。
进一步化简，我们得到直线L的一般式方程Ax + By + C = 0，其中A =-k，B = 1，C = kx1 - y1接下来，我们需要求点C到直线L的垂直投影点D(xd, yd)的坐标。
根据垂直投影的性质，我们知道点D在直线L上，且点CD垂直于直线L。
因此，点D与直线L的斜率之积为-1，即k * kd = -1、由此，我们可以得到点D的坐标：xd = (B^2 * x0 - A * B * y0 - A * C) / (A^2 + B^2)yd = (A * B * x0 - A * A * y0 - B * C) / (A^2 + B^2)最后，我们可以计算点C到点D的距离d，即：d = √[(x0 - xd)^2 + (y0 - yd)^2]这个公式可以通过将点C到点D的距离看作直角三角形的斜边来进行解释。
点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳
点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳【知识梳理】点到直线的距离与两条平行线间的距离题型一、点到直线的距离【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A .2 B ．2－ 2 C .2－1D .2＋12．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．题型二、两平行线间的距离【例2】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．题型三、距离的综合应用【例3】求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．【对点训练】4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．5. 已知A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点M(-4,2)且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分,求此两部分面积的比.题型四距离最值问题例4.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A.B.C.3 D.6例5.已知x+y-3=0,则的最小值为.例6.已知直线l1过A(3,0),直线l2过B(0,4),且l1∥l2,用d表示l1与l2间的距离,则d的取值范围是.【练习反馈】1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B. 3C．2 D. 52．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1 B. 2C. 3 D．23．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳参考答案【例1】[解] (1)185.(2) 8.(3) 1.【对点训练】 1．选C 2．答案：3【例2】设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋－2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 【对点训练】 3．104【例3】[解]当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. 【对点训练】4．x ＝2或4x －3y －10＝0. 5.两部分的面积之比为. 例4.答案:C 例5.答案:例6.答案:(0,5] 【练习反馈】1．选D 2．选B 3．12 4．答案：－3或1735．解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y2－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得|BC |＝－3－2＋－2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高，d ＝|－1－2×3＋3|12＋－2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4， 即△ABC 的面积为4.。
点到直线的距离两条平行直线间的距离
2．对两平行直线间的距离公式的理解 (1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可 以利用公式． (2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式， 且 x，y 的系数对应相等． (3)当两直线都与 x 轴(或 y 轴)垂直时， 可利用数形结合来解决．
典例剖析 题型一 点到直线的距离 【例 1】 求点 P0(－1,2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0. 思路点拨： 利用点到直线的距离公式， 对于特殊直线也可数形 结合．
题型二 两条平行线间的距离 【例 2】 求与直线 2x－y－1＝0 平行，且与直线 2x－y－1 距 离为 2 的直线方程．
思路点拨：本题可从两方面考虑： ①可利用两点间的距离公式求解； ②可利用两直线的距离公式求解．
解： 法一： 由已知， 可设所求的直线方程为 2x－y＋C＝0(C≠－1)， |C－－1| |C＋1| 则它到直线 2x－y－1＝0 的距离 d＝ 2 ＝2， 2＝ 5 2 ＋－1 ∴|C＋1|＝2 5，C＝± 2 5－1， ∴所求直线的方程为 2x－y＋2 5－1＝0 或 2x－y－2 5－1＝ 0.
【答案】B
3．在过点 A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为 ____________．
【答案】2x＋y－5＝0
4．若直线 l 与直线 l1：5x－12y＋6＝0 平行，且 l 与 l1 的距离 为 2，则 l 的方程为____________．
【答案】5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0
要点阐释 1．应用点到直线的距离公式应注意的问题 (1)直线方程应为一般式， 若给出其他形式， 应先化成一般式再 用公式．例如求 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离，应先把直线方 |kx0－y0＋b| 程化为 kx－y＋b＝0，得 d＝ . 2 k ＋1 (2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用， 故应用公式时不必判定点 P 与直线 l 的位置关系． (3)直线方程 Ax＋By＋C＝0 中 A＝0 或 B＝0 时，公式也成立， 也可以用下列方法求点到直线的距离： ①P(x0，y0)到 x＝a 的距离 d＝|a－x0|； ②P(x0，y0)到 y＝b 的距离 d＝|b－y0|.
点到直线的距离与两条平行直线间的距离
y
O
l1:2x-7y+8=0
l2: P(3,0)
2x-7y-6=0 x
两平行线间的 距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于53
d
22 (7)2
53 53
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P
l1
任意两条平行直线都 可以写成如下形式：
d
y0
P0 (x0,y0)
R
By0 A
C
,
y0
O
x0
x
1
2 | P0S || P0R |
1 d | SR | 2
点到直线距离公式
y S
Q l : Ax By C 0
d R
P0 (x0,y0)
O
x
d | Ax0 By0 C |
A2 B2
注意： 化为一般式．
例1 求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
2 1 1 2 10
d
2 5
22 12
y
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2) O
d 2 (1) 5
3
3
x l:3x=2
用公式验证，结果怎样?？
练习
▪ P108 练习 1，2
P107 例6
解：设AB边上的高为h
S 1 | AB | h 2
y 3 A (1,3)
| AB | (3 1)2 (1 3)2 2 2
2
k AB
31 13
1
AB的方程为
1h
B (3,1)
y 3 1(x 1)
点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离(人教A版2019选修一高二数学
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由
A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
[方法技巧]
光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点
距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点 A(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，y)，
yx－－yx00·(－AB )＝－1AB≠0
可由方程组 A·x＋x0＋B·y＋y0＋C＝0
2
2
求得．
(2)常用对称的特例有： ①A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； ②B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； ③C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； ④D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； ⑤P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； ⑥Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
[方法技巧] 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直 接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 x＝a 或 y＝b，求点到它 们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d＝ |x0－a|或 d＝|y0－b|.
解析：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝ 0，
则由点到直线的距离公式知： d＝|3×3－2＋1－－01＋2 m|＝|m－103|＝35 10. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 答案：3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
点到直线的距离公式两条平行直线间的距离
点到直线的距离公式两条平行直线间的距离要计算点到直线的距离，我们需要知道直线的方程以及点的坐标。
一般来说，直线的方程可以用一般式（Ax + By + C = 0）或截距式（y = mx + b）表示。
点的坐标通常以（x，y）的形式给出。
我们以一般式为例来介绍如何计算点到直线的距离。
假设我们有一个直线的一般式方程为Ax+By+C=0，点的坐标为（x0，y0）。
要计算这个点到直线的距离，我们可以使用以下公式：距离=，Ax0+By0+C，/√(A²+B²)下面我们来详细解释这个公式。
首先，我们可以通过将点的坐标代入直线方程得到：Ax0+By0+C=0根据这个等式，我们可以得到点在直线上的投影点(xp，yp)：xp = x0 - (A(Ax0 + By0 + C) / (A² + B²))yp = y0 - (B(Ax0 + By0 + C) / (A² + B²))接下来，我们可以计算这两个点之间的距离。
使用两点间距离公式：距离= √((xp - x0)² + (yp - y0)²)代入xp和yp的值，我们可以得到：距离=√((x0-(A(Ax0+By0+C)/(A²+B²))-x0)²+(y0-(B(Ax0+By0+C)/(A²+B²))-y0)²)化简这个表达式，我们可以得到：距离= √((A²(x0 - xp)² + B²(y0 - yp)²) / (A² + B²))因为xp和yp是点到直线上的投影点，所以(x0 - xp)是点到投影点的水平距离，(y0 - yp)是点到投影点的垂直距离。
因此，我们可以将上述公式进一步简化为：距离= √((A²(x0 - xp)² + B²(y0 - yp)²) / (A² + B²))最后，我们可以再次替换xp和yp的值，将它们表示为点的坐标和直线方程：距离=√((A²(x0-(x0-(A(Ax0+By0+C)/(A²+B²))))²+(B²(y0-(y0-(B(Ax0+By0+C)/(A²+B²))))²)/(A²+B²))进一步简化，我们可以得到最终的公式：距离=，Ax0+By0+C，/√(A²+B²)这就是点到直线的距离公式。
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
点到直线的距离
1:实例中的第(1)中点与直线什 么关系,你能求出点到直线的距离吗?
第(1)小题中点在直线外,过 A 作 x,y 轴平
行线交 l1 于 B、C 两点,点 A 到直线 l1 的距离 |AD|=
AB AC 2 5 BC 5
平面上任意一点 P0(x0,y0)到直线
l:Ax+By+C=0 的距离为 d=
10 ].…………………………(8 分)
法二 如图所示,
显然有 0<d≤|AB|,……………………(3 分)
而|AB|=
(6 3) (2 1)
2
2
=3
10 ,
故所求的 d 的变化范围为 (0,3
10 ].………………(8 分)
(2)由图可知,当 d 取最大值时,两直线垂直于 AB. 而 kAB
2 2
=3,
解之得 C=45 或 C=-33, 故所求直线方程为 5x-12y+45=0 或 5x-12y-33=0.
法二 设所求直线方程为 5x-12y+c=0,
1 在直线 5x-12y+6=0 上取一点 P 0, , 2
则 P 到直线 5x-12y+c=0 的距离为
1 12 c 2 5 (12)
2:直线 l1:x-2y-1=0 与直线 l2:2x-4y+3=0 之间的距离等于 .
解析:l2 方程可化为 x-2y+ 3 =0,显然 l1∥l2, 2
1
因此两直线 l1,l2 间的距离为
3 2
=
2 2 1 2
5. 2
答案:
5 2
求点到直线的距离
点到直线的距离、两条平行直线间的距离 知识点总结及典例
3.5点到直线的距离、两条平行直线间的距离基础知识梳理1.点),(000y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离:2200||B A C By Ax d +++=;2.两条平行之间距离：（1）在一条直线上取一点，求该点到另一条直线的距离；（2）两平行直线01=++C By Ax 与02=++C By Ax 的距离为：2221||B A C C d +-=.习题巩固一、选择题1．点A (－1,2)到直线3y ＝－2的距离是( )A ．4B ．1C ．83D ．132．直线x ＋6＝0与x －7＝0之间的距离为( )A ．1B ．13C ．6D ．73．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 为( )A ． 2B ．2－2C ．2－1D ．2＋1二、填空题4．点P (1,2)到直线y ＝x －3的距离是________；到直线y ＝－1的距离是________；到直线x ＝3的距离是________．5．两平行线3x －2y －15＝0与3x －2y ＋11＝0的距离为_______．6．已知直线l 1：x ＋y －1＝0，l 2：x ＋y ＋a ＝0，且两直线间的距离为2，则a ＝________．三、解答题7.求过点P (0,2)且与点A (1,1)，B (－3,1)等距离的直线l 的方程．8．求过点A (－1,2)且到原点的距离等于22的直线方程．9. 直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2且l 1与l 2的距离为5，求直线l 1与l 2的方程．10．求与直线3x－4y－2＝0平行且距离为2的直线方程．11.已知直线l过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截的线段中点M在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程．12．（1）已知直线l：x＋2y－3＝0，求与l平行且距离为1的直线方程．（2）求垂直于直线x－3y＋1＝0且到原点的距离等于5的直线方程．13.已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，求直线l的方程．14．点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|的最小值．。
点到直线的距离、两条平行直线间的距离
0 A B
2 2
0,
【知识点拨】 1.对点到直线的距离的三点说明 (1)点到直线的距离的本质:其本质是点与直线上任意一点连 线长度的最小值,可用最小值的方法求出. (2)从几何特征上分析:点到直线的距离是点与过该点且垂直 于已知直线的直线与已知直线的交点间的距离 .
(3)点到直线的距离的几种特殊情况 ①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; ②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; ③点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a(a≠0)的距离d=|y0-a|; ④点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|.
解得k=-7或k=-1.
故直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.
【拓展提升】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式. (2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用. (3)直线方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直线 是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
2. 求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离.
3、求点P0（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离.
两条平行直线间的距离： 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 y l1 线间的公垂线段的长. P l2 Q x o 两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
2.对两条平行直线间的距离的理解 (1)这个距离与所选点的位置无关,但一般要选取特殊的点(如 与坐标轴的交点). (2)两条平行直线间的距离是分别在两条直线上的两点间的距 离的最小值.
高二数学点到直线的距离、两条直线的位置关系(学生版)
学科教师辅导讲义年 级： 高二 辅导科目： 数学 课时数：课 题 点到直线的距离及两条直线的位置关系教学目的1、 会求点到直线的位置关系；2、 熟练掌握判断两直线平行、垂直放入的方法。
教学内容 【知识梳理】1、点到直线的距离公式点),(00y x P 到直线:0l ax by c ++=的距离为：0022ax by cd a b ++=+（220a b +≠） 0022ax by ca b δ++=+在直线同侧的所有点，δ的符号是相同的，在直线异侧的所有点，δ的符号是相反的，2、平面两直线的位置关系⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩平行斜交相交垂直 一般地，设两条直线的方程分别为 1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）…… ①2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）……②（1）两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系：a.1l 与2l 相交⇔方程组(Ⅰ)有唯一解⇔0≠D 即1221b a b a ≠；b.1l 与2l 平行⇔方程组(Ⅰ)无解⇔0=D 且y x D D ,中至少有一个不为零；c.1l 与2l 重合⇔方程组(Ⅰ)有无穷多解⇔0===y x D D D 。
注：02211==b a b a D 时，1l 与2l 平行或重合，即02211==b a b a D 是1l 与2l 平行的必要非充分条件。
换言之，2112b a b a =1l ∥2l ;若两条直线不重合，则1221b a b a =⇔1l //2l（2）当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系。
（3）两直线的夹角公式为：121222221122cos a a b b a b a b θ+=+⋅+例5、求过点P（1，1）且被两平行直线3x－4y－13 = 0与3x－4y＋7 = 0截得线段的长为4 2 的直线方程。
变式练习：已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，直角边BC在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程.例6、设直线方程为（2m＋1）x＋（3m－2）y－18m＋5 = 0，求证：不论m为何值时，所给的直线经过一定点。
点到直线的距离,两平行直线的距离
点到直线的距离，两平行直线的距离【学习目标】1. 了解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离.【重难点】重点：点到直线距离公式；两平行线距离公式难点：直线距离公式的推导自主学习案【知识梳理】1. 点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax + By + C = 0的距离公式为________________2. 两条平行直线间的距离的求法：转化为求点到直线的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，就是这两条平行直线间的距离3. 两平行线间的距离公式：两平行线间的距离d ，已知1l ：Ax + By + C 1= 0 2l ：Ax + By + C 2= 0 则d= _________________【预习自测】1. 原点到直线02623=-+y x 的距离是______________.2. 点)2,1(0-P )到直线l ：23=x 的距离是_____，点)2,1(0-P )到直线l ：23=y 的距离是____。
3. 平行直线1l ：0872=+-y x ，2l ：0172=+-y x 的距离为_____________。
【合作探究】例1 已知点A (1，3)，B (3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC 的面积.例2．求过点M(–2， 1)且与A(–7，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程.例3：若两条平行直线1l ：ax ＋2y ＋2＝0 ，2l ：3x －y ＋d ＝0的距离为10， 求a 与d 的值.例4. 等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x + 3y – 6 = 0上，顶点A 的坐标是(1，–2).求边AB 、AC 所在直线方程.【当堂检测】1、点)5,0(到直线x y 2=的距离是（ ） A. 25 B. 5 C. 23 D. 25 2.若点),3(a 到直线043=-+y x 的距离是1，则a 的值是___________3、已知直线1l ：0323=-+y x 和直线2l ：016=++my x 互相平行，求它们之间的距离。
两点间的距离及点到直线的距离
$d = frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{sqrt{A^2 + B^2}}$
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转换关系
在某些情况下，两点间距离和点到直线距离之间 可以通过特定的公式进行转换，例如在求解点到 直线的最短距离时。
应用场景
几何计算
在几何学中，两点间距离 和点到直线距离是基本概 念，广泛应用于各种几何 问题的求解。
特殊情况处理
对于一些特殊情况，如垂直或平行线段的距离计 算，可能需要采用特殊的方法或公式来处理。
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两点间距离及点到直线距离的 几何意义
两点间距离的几何意义
两点间距离是连接这两点的线段的长度。
两点间距离的几何意义在几何学中非常重要，它 是测量两点之间的真实距离的基础。
在解决实际问题时，两点间距离的概念经常被用 来计算两点之间的最短路径、物体运动轨迹等。
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例如，在解决几何图形面积和体积问题时，需要利用两点间距
离和点到直线的距离来计算相关参数。
在物理学中，这些概念也经常被用来描述物体运动轨迹、力的
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方向和大小等。
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两点间距离及点到直线距离的 实例分析
实例一：求地球上两点的最短航线
总结词：大圆距离
详细描述：地球上两点之间的最短航线是大圆距离，即经过地球大圆（地球上两 点与地心连线所形成的最大圆）的航线。这是由于地球是一个近似于球体的天体 ，大圆距离是实际飞行中最短的航线。
实例二：求点到直线的最短距离
总结词：垂线距离
详细描述：点到直线的最短距离是通过该点的垂线与直线的交点之间的距离。这个距离也被称为垂线距离，它是点到直线上 的所有连线中最短的。
平面上两点间的距离和点到直线的距离公式
平面上两点间的距离和点到直线的距离公式在平面上，假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们可以使用勾股定理来计算这两个点之间的距离。
勾股定理表述为：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
根据这个定理，我们可以得出两个点之间的距离公式：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，d表示两点之间的距离。
点到直线的距离公式：在平面上，假设有一条直线L，以及一个点P(x,y)不在直线上。
我们可以使用点到直线的距离公式来计算点P到直线L的距离。
点到直线的距离可以表示为该点到直线上的垂直线段的长度。
为了计算点P到直线L的距离，我们可以通过以下步骤进行：1.首先，我们需要确定直线的方程。
直线可以用一般式方程Ax+By+C=0来表示，其中A、B和C是常数。
2.然后，我们可以使用以下公式来计算点P到直线L的距离：d=，Ax+By+C，/√(A²+B²)其中，d表示点P到直线L的距离，Ax+By+C，表示点P带入直线方程后的结果的绝对值，√(A²+B²)是直线方程中A和B的平方和的平方根。
这个公式的推导过程可以通过垂直距离的性质证明。
假设直线L的方程是Ax+By+C=0，点P的坐标是(x,y)，以及点Q是直线L上离点P最近的点。
我们可以通过求点P和点Q的连线与直线L的交点来找到点Q的坐标。
然后，我们可以证明向量PQ与直线L的法向量是垂直的。
根据向量的性质，我们可以得出以下等式：(A,B)·(x-xQ,y-yQ)=0化简上述等式得到：Ax-AxQ+By-ByQ=0其中，(A,B)表示直线L的法向量，(xQ,yQ)表示点Q的坐标。
最后，我们可以得出以下等式：Ax+By=AxQ+ByQ将点P的坐标代入上述等式得到：Ax+By=AxP+ByP进一步化简得到：Ax+By+C，=，AxP+ByP+C因此，点P到直线L的距离可以表示为：d=，Ax+By+C，/√(A²+B²)这就是点到直线的距离公式。
点到直线的距离、两条平行直线间的距离 课件
[规律方法] 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为 0，公式仍然适用． (3)直线方程 Ax＋By＋C＝0 中，A＝0 或 B＝0 公式也成立，但由于直线 是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
2．本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？ [解] 由3x＋x－3yy－＋37＝＝00， 可得交点坐标为15，－152，又正方形中心为 P(－1,0)． ∴由两点式方程得对角线方程为：－y1－52－0 0＝15x＋＋11，即 2x＋y＋2＝0.
由x3＋x－3yy－－53＝＝00， 可得正方形另一顶点坐标为75，65，又正方形中心为 P(－1,0)，
2．原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离是( )
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
D [d＝ |1－2＋5|22＝ 5.选 D.]
3．已知直线 l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则 l1，l2 之间的距离为( )
A．1
B． 2
C． 3 D．2
B
[依题意
d＝|1－12＋－112|＝
2＝ 2
2.选 B.]
2．上述问题中，当 d 取最大值时，请求出两条直线的方程． [提示] 由上图可知，当 d 取最大值时，两直线与 AB 垂直． 而 kAB＝26－ －－ －13＝13， ∴所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－3(x＋3)， 即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
＝0 的距离 d＝_____A_2_＋__B_2____
|C1－C2| 的距离 d＝___A_2_＋__B_2___
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点到直线的距离和两直线的距离
【学习目标】1.掌握点到直线的距离公式
2.掌握两平行线的距离公式
3.进一步研究对称问题
【学习过程】
反馈练习
1.已知点)3,(a A 与点)33,3(+a B 的距离为5，则=a .
2.已知动点P 的坐标为))(1,(R x x x ∈-，则动点P 到原点的最小值等于 .
3.求点)2,1(A 关于直线033=+-y x 的对称点.
4.求直线01=++y x 关于直线033=+-y x 对称的直线方程.
活动一、新课预习
1．已知点),,(00y x P 直线),0,0(0:≠≠=++B A C By Ax l 求出点P 到直线l 的距离.
在上述问题中，若0=A 或0=B 结果又如何？
2. 如何求两平行线),,(00212:21:1C C B A C By Ax l C By Ax l ≠=++=++不同时为零与
间的距离？
活动二、简单应用
1.求点)2,1(-P 到下列直线的距离：
（1）;0102=-+y x （2）23=x
2..若点)2,2(-到直线043=++c y x 的距离为3，求c 的值.
3.求两条平行线06430143=--=--y x y x 与之间的距离.
活动三、课堂活动
例1.求两条平行直线0962043=-+=-+y x y x 与之间的距离.
例2.求与直线06125:1=+-y x l 平行且与直线1l 的距离为2的直线的方程.
例3.已知两平行直线,01586:,0543:21=-+=++y x l y x l 求与21l l 和的距离相等的直
线l 的方程.
小结：点),(00y x P 到直线),(0:不同时为零B A C By Ax l =++的距离为 . 两平行线),,(002121C C B A C By Ax C By Ax ≠=++=++不同时为零与间的距
离为 .用此公式时应注意： .
活动四、思考
1.已知),2,6(),3,1(N M -点P 在x 轴上，且使PN PM +取最小值，求点P 的坐标.
2.已知),2,6(),4,1(N M --点P 在x 轴上，且使PN PM -取最大值，求点P 的坐标.
小结：若点N M ,在直线l 同侧，如何找出直线l 上使得PN PM +取最小值的点P ?
若点N M ,在直线l 异侧，如何找出直线l 上使得PN PM -取最大值的点P ?
自我检测：
1. 求下列点P 到直线l 的距离：
（1）;02543:),2,3(=-+-y x l P （2）.053:),1,2(=+-y l P
2. 求下列两条直线之间的距离：
（1）02125=--y x 与;015125=+-y x （2）0546=+-y x 与.23x y =
3.直线l 经过原点，且点)0,5(M 到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程.
4.求与直线012=++y x 的距离为
55的直线方程.
5.已知点),2,5(),3,1(-N M 在x 轴上取一点P ，使得PN PM -最大，求P 点的坐标.。