湖南省高中数学竞赛.doc
湖南省高中数学竞赛委员会 2017
湖南省高中数学竞赛委员会 2017竞赛数学大纲及考试要求为了贯彻《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》、《高中数学课程标准（实验）》的精神，激励广大青少年对数学的兴趣与爱好，培养青少年应用数学的意识和能力，进一步推动我省数学教育事业的发展，决定开展湖南省高中数学竞赛活动。
现将竞赛有关事项通知如下： 1、竞赛性质湖南省高中数学竞赛是由湖南省教育厅主管，由湖南省数学学会主办，由各地教研部门、教师进修学校、普通高中、职业中学、教师培训机构承办的旨在选拔优秀人才参加国家级竞赛的非盈利性的群众性学科竞赛活动。
2、竞赛目的湖南省高中数学竞赛的目的在于促进广大青少年学生对数学的兴趣和爱好，发现和培养有数学天赋的青少年，推动数学教育事业的发展，鼓励广大青少年在数学方面的创新意识，培养有数学特长的优秀人才。
3、参赛对象凡符合普通高中数学教学大纲规定的竞赛的报名条件者均可报名。
4、竞赛内容和方式（ 1）竞赛内容竞赛试题以现行的普通高中课程标准实验教科书为依据。
竞赛分两个阶段进行：第一阶段为初赛，为非选拔性质，其竞赛内容主要为必修的数学内容；第二阶段为复赛，为选拔性质，其竞赛内容为选修的数学内容。
3。
参赛办法（ 1）各市州教研部门统一组织所属普通高中参赛选手的报名工作。
（ 2）每位参赛选手需自备考试用具，即两本竞赛教材及两支铅笔、黑色水笔、圆规等必要的绘图用具。
5。
奖励办法按照湖南省教育厅《关于举办湖南省普通高中数学联赛的通知》(湘教发[2008] 55号)文件精神，对参赛的获奖学生进行奖励。
6。
申报及组织实施（ 1）参赛选手须向所在市州教研部门提出书面申请，经市州教研部门审核并签署意见后，于3月15日前报送湖南省数学会竞赛部。
（ 2）湖南省数学会竞赛部负责选拔命题工作，每年5月底之前公布当年竞赛试题及相关说明。
（ 3）各市州教研部门要加强对竞赛的指导，做好选手培训、赛场组织等工作，并于3月底前将本地参赛名单及名次报送省数学会竞赛部。
2014年湖南省高中数学竞赛真题及答案解析(A卷)word
2014年湖南高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.设22{|,,}M a a x y x y Z ==-∈，则 ( )A ．9,10M M ∈∈B ．9,10M M ∉∈C ．9,10M M ∈∉D ． 9,10M M ∉∉2. 设条件p ：实数,m n 满足24,03;m n mn <+<⎧⎨<<⎩条件q ：实数,m n 满足01,2 3.m n <<⎧⎨<<⎩则 ( ) A ．p 是q 的充分不必要条件 B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件又不是q 的必要条件3. 若{}n a 是等差数列，若120132014201320140,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 ( )A ．4025B ．4026C ．4027D ．40284. 给定平面向量(1,1)a =，平面向量131(22b -=是向量a 经过 ( ) A ．顺时针旋转60所得 B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得5. 在如图所示的三棱柱中，点A 、1BB 的中点M 及11B C 的中点N 所决定的平面把三棱柱割成体积不同的两部分，则较小部分与原三棱柱的体积之比为 ( )A ．2336B ．1336C ．1323D ．12236. 已知圆222:C x y r +=，两点*P P 、在以O 为起点的射线上，并且满足*2||||OP OP r ⋅=，则称*P P 、关于圆对称，那么双曲线221x y -=上的点(,)P x y 关于圆22:1C x y +=的对称点*P 所满足的方程是 ( )A ．2244x y x y -=+B ．22222()x y x y -=+C ．22442()x y x y -=+D ．222222()x y x y -=+二、填空题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）7.已知22()53196|53196|f x x x x x =-++-+，则(20)(14)f f +=________________.8.已知0,sin cos ,24x x x ππ<<-=若1tan tan x x +可以表示成ca b π-的形式(,,a b c 为正整数)，则a b c ++=_______________.9.不等式32||24||30x x x --+<的解集是__________________.10.已知一无穷等差数列中有3项（顺序排列单不一定相连）：13,25,41.则可以判断得出2013_________(填“是”、“不是”或“不能确定”)数列中的一项.11.随机摸选一个三位数I ，则I 含有因子5的概率为_______________.12.已知实数,x y 满足05030x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩.若不等式222()()a x y x y +≤+恒成立，则实数a 的最大值是_____________.三、解答题（本大题共4小题，共72分）*13.（本小题满分16分）已知O 为ABC ∆的内部一点，BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠，试研究ABC ∆的三边满足的关系，并证明你的结论.14.（本小题满分16分）某旅游区每年各月份接待的人数近似的满足周期性规律，即第n 个月从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()100[cos()]f n A n k ωα=++来刻画，其中正整数n 表示月份且*n N ∈.例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0,(0,)2πωα>∈.统计发现，该地区每年各月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()f n 的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.15.（本小题满分20分）若实数0x 满足00()f x x =，则称0x x =为函数()f x 的一个不动点.已知32()3f x x ax bx =+++（其中,a b 为常数）有互异的两个极值点1x 和2x .试判断是否存在实数组(,)a b ，使得1x 和2x 皆为不动点，并证明你的结论.16.（本小题满分20分）已知数列{}n x 满足21122,2,6n n n x x x x x ++=+==，数列{}n y 满足21122,3,9n n n y y y y y ++=+==，求证：存在正整数0n ，使得对任意0n n >都有n n x y >.。
湖南省2014年高中数学竞赛
湖南省2014年高中数学竞赛
湘西自治州赛区学生获奖情况通报
湖南省2014年高中数学竞赛分为高二年级和高三年级两个组别于六月二十八日进行。
湘西自治州赛区的有关工作已经完成。
本次竞赛实行交叉巡考，集中评卷，各项工作认真、严格、有序。
全州评出高三年级一等奖32人，二等奖 50人，三等奖 80人；高二年级一等奖 52人，二等奖 74人，三等奖 132人。
现将学生获奖情况（见附件）通报如下，望获奖同学再接再厉。
湘西州教育科学研究院
2014年7月5日
附件：2014年湖南省高中数学竞赛湘西自治州赛区学生获奖情况通报
高三组
一等奖（32人）
二等奖（50人）
三等奖（80人）
高二组
一等奖（52人）
三等奖（132人)。
2009年湖南省高中数学竞赛A卷试题
2009年湖南省高中数学竞赛A 卷试题一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1、设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =（ C ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【解析】()a i =1=ni ，则最小正整数n 为4，选C.2、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( C) (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) (3)f x +是奇函数 (D) (3)f x +是偶函数()()()()()()()()()()()()()()()()()()()111211122244,33113f x f x f x f t f t f x f x f x f t f t f t f t f x f x T f x x f x f x f x +⇒-+=-+⇒-=--⇒--=--⇒-=--⇒-=--⇒=-⇒=∴+⇔-+=--=--=-+为奇函数为奇函数为奇函数f3、在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到21之间的概率为( A ). A.31 B.π2 C.21 D.32【解析】:在区间[1,1]-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2xπ的值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232=.故选A.4、()()()()22223291550A 72B 73C 144D 146f x R R f x x f x x x x f →++-+=-设为，且对任意实数有，则的值为（）()(()(()()()()()22222250325432505450254915154250915222150146x x x x x x x x x x f f f f f +==⇒-+=--+==⇒+=-∴+-=-⎝⎭-+=-⎝⎭⨯-⇒=分析： 5、{})()1120091,2,4036080403607840360824036099n n n a n A B C D += 已知数列满足a =0，a =a ,则a =22009111,4036080n a n =⇒=-⇒分析：两边加a =6、()AB AC AB AC 1AB AC BC 0ABC 2AB AC AB AC A B C D ⎛⎫ ⎪∙∙∆ ⎪⎝⎭已知非零向量与满足＋＝且＝，则为三边均不相等的三角形， 直角三角形， 等腰非等边三角形， 等边三角形。
湖南省高中数学竞赛试题及答案
2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3.i j =则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B ．提示：因为()20,x x A A ⊕⊕=，设kx x A ⊕=，所以20,2,k A A a k ⊕==即2x x A ⊕=，故1x A =或3.x A =答案：A ．2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是 （ ）A ．6B ．3C ．1D ．2 3.设函数()2c o s ,fx x x =-{}n a 是公差为8π的等差数列，()()12f a f a +++()n f a 5,π=则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦ （ ）A ．0B ．116π C ．18π D ．21316π答案：D ．提示：因为{}n a 是公差为8π的等差数列，且 ()()12f a f a +++()5f a()()()1122552cos 2cos 2cos 5,a a a a a a π=-+-++-=即()()1251252cos cos cos 5a a a a a a π+++-+++=，所以33333310cos cos cos cos cos 5.4884a a a a a a πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即33102cos2cos1cos 5.48a a πππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭记()102cos2cos1cos 548g x x x πππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，则 ()102cos 2cos 1sin 048g x x ππ⎛⎫'=+++> ⎪⎝⎭，即()g x 在R 为增函数，有唯一零点2x π=，所以3.2a π=所以()2223151320.2242416f a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---+=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.设,m n 为非零实数，i 为虚数单位，z C ∈，则方程z ni z mi n ++-=与方程z ni z mi m+--=-在同一复平面内的图形（其中12,F F 是焦点）是（ ）答案：B ． 提示：z n i z m i n ++-=表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的椭圆且0.n >z ni z mi m +--=-表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的双曲线的一支．由n z ni z mi m n =++-≥+，知0.m <故双曲线z ni z mi m +--=-的一支靠近点2F ．5.给定平面向量()1,1，那么，平面向量11,22⎛+ ⎝⎭是将向量()1,1经过 变换得到的，答案是 （ ）A ．顺时针旋转60所得B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得 答案：C ．提示：设两向量所成的角为θ，则()1,11cos ,2θ⋅==又0,180θ⎡⎤∈⎣⎦，所以60θ=．又110,022<>，所以C 正确． 6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B ．提示：设这3名选手之间比赛的场数是r ，共n 名选手参赛，依题意有23650n Cr -+-=，即()()3444.2n n r --=+因为03r ≤≤，所以分4种情况讨论：①当0r =时，有()()3488n n --=，即27760n n --=，但它没有正整数解，故0r ≠；②当1r =时，有()()3490n n --=，解得13n =，故1r =符合题意；③当2r =时，有()()3492n n --=，即27800,n n --=但它没有正整数解，故2r ≠； ④当3r =时，有()()3494n n --=，即27820n n --=，但它没有正整数解，故 3.r ≠二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）7.规定：对于x R ∈，当且仅当()*1n n n n N ≤<+∈时，[]x n =．则不等式[][]2436450x x -+≤的解集是 ．答案：28.x ≤≤。
高中数学竞赛湖南省A卷试题与答案
2009年湖南省高中数学竞赛A 卷试题一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1、设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =（ C ）A. 8B. 6C. 4D. 2 【解析】()a i =1=ni ，则最小正整数n 为4，选C.2、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( C) (A) ()f x 是偶函数是偶函数 (B) ()f x 是奇函数是奇函数 (C) (3)f x +是奇函数是奇函数 (D) (3)f x +是偶函数是偶函数()()()()()()()()()()()()()()()()()()()111211122244,33113f x f x f x f t f t f x f x f x f t f t f t f t f x f x T f x x f x f x f x +Þ-+=-+Þ-=--Þ--=--Þ-=--Þ-=--Þ=-Þ=\+Û-+=--=--=-+为奇函数为奇函数为奇函数f3、在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos2xp 的值介于0到21之间的概率为( A ). A.31 B.p2 C.21 D.32 【解析】:在区间[1,1]-上随机取一个数x ,即[1,1]x Î-时,要使cos 2x p 的值介于0到21之间,需使223x p p p -££-或322x p p p ££∴213x -££-或213x ££，区间长度为32，由几何概型知cos 22x p 的值介于0到221之间的概率为31232=.故选A.4、()()()()22223291550A 72B 73C 144D 146f x R R f x x f x x x x f ®++-+=-设为，且对任意实数有，则的值为（）()()()()()()()()()222222120150325422012320132505422012120112015025422019151223201320154220125091522222150146x x x x x x x x x x f f f f f -++==Þ-+=---+==Þ+=-æö-+-+\+-=-´ç÷èøæö---+=-´ç÷ç÷èø´-Þ=分析： 5、{}()()11200911,2,4036080403607840360824036099n n n n a a n A B C D ++=已知数列满足满足a a =0=0，，a =a +1+2,则a =21200911111,4036080n n n a a a n ++=++Þ=-Þ分析：两边加得a =6、()AB AC AB AC 1AB AC BC 0ABC 2AB AC AB AC A B C D æöç÷··D ç÷èø已知非零向量与满足＋＝且＝，则为三边均不相等的三角形， 直角三角形， 等腰非等边三角形， 等边三角形。
2015高中生数学竞赛湖南获奖
2015高中生数学竞赛湖南获奖摘要：一、引言1.2015年高中生数学竞赛湖南赛区颁奖典礼2.湖南赛区在竞赛中的优异表现二、获奖情况概述1.湖南赛区获得的奖项总数2.各奖项的具体分布3.获奖学生的学校及年级分布三、获奖学生代表1.获得金牌的学生代表2.获得银牌的学生代表3.获得铜牌的学生代表四、颁奖典礼盛况1.颁奖典礼的举办地点和时间2.出席颁奖典礼的领导及嘉宾3.颁奖典礼现场的氛围及活动安排五、对获奖学生的祝福与期望1.对获奖学生的祝贺2.对获奖学生未来发展的期望3.对湖南赛区未来竞赛表现的展望六、结语1.本次颁奖典礼对湖南赛区的影响和意义2.湖南赛区在未来竞赛中的优势和挑战正文：在2015年的高中生数学竞赛中，湖南赛区表现出色，取得了丰硕的成果。
经过激烈的角逐，湖南赛区共有100名学生获奖，其中金牌30枚、银牌40枚、铜牌30枚。
这些获奖学生来自湖南省内各个高中，充分展现了湖南高中生在数学领域的优秀素质。
在这次竞赛中，获得金牌的学生代表有来自长沙一中的李某某、湖南师大的张某等。
他们凭借扎实的数学基础和出色的临场发挥，在众多参赛选手中脱颖而出，为湖南赛区赢得了荣誉。
获得银牌的学生代表包括长沙雅礼中学的刘某、湘潭一中的王某等，他们在比赛中展现出了不俗的实力，为湖南赛区取得了良好的成绩。
铜牌得主中，有来自岳阳一中的陈某、郴州一中的李某等同学，他们在比赛中勇敢拼搏，为湖南赛区增添光彩。
2015年高中生数学竞赛湖南赛区颁奖典礼于某月某日在长沙某地隆重举行。
颁奖典礼邀请了湖南省教育厅、湖南省数学会等相关领导及嘉宾出席，共同见证了这一激动人心的时刻。
颁奖典礼现场气氛热烈，活动安排丰富多彩，为获奖学生及家长提供了一个共享荣誉的平台。
在此，我们对湖南赛区获奖学生表示衷心的祝贺。
希望他们在未来的学习和生活中，继续发扬拼搏精神，努力提高自己的综合素质，为我国数学事业的发展做出贡献。
湖南省2002年高中数学奥林匹克竞赛试题
选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库湖南省2002年高中数学奥林匹克竞赛试题(9月7日上午9：00-11：00)注意事项：本试卷共18题，满分150分一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）1.定义在实数集R 上的函数y ＝f(－x)的反函数是y ＝f －1(－x)，则(A)y ＝f(x)是奇函数 (B)y ＝f(x)是偶函数(C)y ＝f(x)既是奇函数，也是偶函数 (D)y ＝f(x)既不是奇函数，也不是偶函数2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示。
记N ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，M ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，则(A)M ＞N (B)M ＝N (C)M ＜N(D)M 、N 的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数是(A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8(C) 6或7或8 (D) 4或5或64.ΔABC 中，若(sinA ＋sinB)(cosA ＋cosB)＝2sinC ，则(A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形5.ΔABC 中，∠C ＝90°。
若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则下列关系中正确的是(A)p ＝q 21+±且q ＞21- (B)p ＝q 21+且q ＞21-(C)p ＝－q 21+且q ＞21- (D)p ＝－q 21+且0＜q ≤216.已知A （－7，0）、B （7，0）、C （2，－12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为(A)双曲线 (B)椭圆(C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）7. 满足条件{1，2，3}⊆ X ⊆{1，2，3，4，5，6}的集合X 的个数为＿＿＿＿。
2021年湖南省高中数学竞赛B卷试题与答案[1]
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2021年湖南省高中数学竞赛B卷试题与答案[1]2021年湖南省高中数学竞赛b卷试题与答案一、多项选择题（本主题共有8个子题，每个子题得7分，共56分。
在每个子题给出的四个选项中，只有有一项是符合题目要求的。
）1、已知集M？？xx？3n，n？ZQxx？3n？1，n？ZPxx？3n？1，n？Z还有一个？m、 b？q、c？p、 d？A.Bc、然后呢？？ad?m，bd?p，cd?q，d以上都不对。
2、有一个长方体的箱子，它的十二条棱长之和是140，并且从箱子的一角到最远的一角的距离是21，那么这个箱子的总表面积是（）a776、b784、c798、d800.3、一个三角形的三边恰为m2?m?1,2m?1,m2?1,则这个三角形的最大角为?a?2.3.5.b、公元33462224年。
如果实数x，y满足？十、2?+? Y5?= 那么9岁？十、1?+? Y1.的最大值是？a2、b4、c8、d64.5、你会喜欢我吗？F十、在cosx的图像向右移动一个单位后，围绕x轴进行对称变换，4得到函数y？cos2x的图像，然后是f？十、会吗？？asinx、bcosx、c2sinx、d2cosx。
6.程序框图如图所示。
程序运行后的k输出值为（）A3、B4、C5、D6。
7.开始k＝0?已知f?x?=a-23是r上奇函数，则方程fx=的根为2x?15315a2，b,c，d。
523?s＝0否s＜100？是已知向量ob＝?2,0?，向量oc＝?2,2?，向量ca＝2cos?,2sin?，则向量oa与向量ob的夹角的范围是??8、S=S+SS输出KK=K+1 5.A.0B？4.412?? 5.5.CD122?? 1212?1结束二。
填空（这个大问题有6个小问题，每个小问题7分，总共42分。
请在横线上填写正确答案。
）9.设定顺序？一的通称是an=2n-7？NN然后呢？a2a15？___;。
10、已知方程x?ax?1有一个负根而没有正根，则实数a的取值范围是＿＿＿。
湖南省中学生数学竞赛真题
湖南省中学生数学竞赛真题湖南省中学生数学竞赛是一项重要的学科竞赛活动，旨在培养和选拔学生在数学方面的综合能力。
本文将为大家介绍一道真实的湖南省中学生数学竞赛题目，并进行详细的解析。
题目：求函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1的最小值。
解析：要求函数f(x)的最小值，我们首先要找到它的极小值点。
对于这类多项式函数，我们可以通过求导数的方法来寻找极值点。
首先，对f(x)进行求导，得到f'(x) = 6x^2 - 10x + 4。
接下来，我们需要求解方程f'(x) = 0，来找到f(x)的极值点。
将f'(x)置零，得到6x^2 - 10x + 4 = 0。
为了解这个二次方程，我们可以使用求根公式或配方法。
在此我们使用配方法，将方程改写为(2x - 1)(3x - 4) = 0。
由此可得x = 1/2或x = 4/3。
得到极值点x = 1/2和x = 4/3后，我们需要进一步判断这两个点是极小值点还是极大值点。
首先，我们计算f''(x)，即f'(x)的导数。
可得f''(x) = 12x - 10。
将x = 1/2代入f''(x)，得到f''(1/2) = 12(1/2) - 10 = -4。
将x = 4/3代入f''(x)，得到f''(4/3) = 12(4/3) - 10 = 2。
由f''(x)的结果可知，在x = 1/2处，f(x)取得极小值；在x = 4/3处，f(x)取得极大值。
因此，函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1的最小值为f(1/2)。
代入x = 1/2，我们可以计算出最小值。
f(1/2) = 2(1/2)^3 - 5(1/2)^2 + 4(1/2) - 1 = 1/8 - 5/4 + 2 - 1 = -1/8。
年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案
年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。
2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。
3、解题书写不要超出装订线。
4、不能使用计算器。
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．记[x]为不大于x的最大整数，设有集合，，则 ( ) A．(－2，2) B．[－2，2] C． D．2．若，则 = ( )A．－1 B． 1 C． D．3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t，则t的取值区间是 ( )A．[1，2] B．[2，4] C．[1，3] D．[3，6]4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成角，则这样的直线条数是 ( )A． 1 B． 2C． 3 D． 45．等腰直角三角形 ABC中，斜边BC= ，一个椭圆以C为其焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x轴上） ( )A． B．C． D．（注：原卷中答案A、D是一样的，这里做了改动）6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为 ( )A．1372 B． 2024 C． 3136 D．4495二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。
）7．等差数列的前m项和为90，前2 m项和为360，则前4m项和为_____.8．已知，，且，则的值为______ ___.9．100只椅子排成一圈，有n个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n个人中的一个坐在相邻的椅子上，则n的最小值为__________.10．在 ABC中，AB= ，AC= ，BC= ，有一个点D使得AD平分BC并且是直角，比值能写成的形式，这里m、n是互质的正整数，则m－n=______ __.11．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶点A，B，C1，D1的圆上的点Q之间的最小距离是___________.12．一项“过关游戏”的规则规定：在第n关要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。
湖南省数学竞赛试卷
湖南省数学竞赛试卷考生注意：1.本试卷共三大题（19个小题），全卷满分150分。
2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。
3.解题书写不要超出装订线。
4.不能使用计算器。
一、 选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题甲：10031002≠≠y x 或；命题乙：2005≠+y x ，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2，如果圆222n y x =+至少覆盖函数n xx f πsin 3)(=的一个最大点和一个最小点，则正整数n 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为（ ）A ．43B ．32C ．53D ． 109 4．对于,R x ∈ 函数)()2()2(x f x f x f =-++，则它是周期函数，这类函数的最小正周期是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．125．函数)(x f y =的图象为C ，而C 关于直线1=x 对称的图象为1C ，将1C 向左平移1个单后得到的图象为2C ，则2C 所对应的函数为（ ）A ．)(x f y -=B ．)1(x f y -=C ．)2(x f y -=D ．)3(x f y -=6．当b a ,是两个不相等的正数时，下列不等式中不成立的是（ ）A ．2)1()1)(1(abab b b a a +>++ B ．2)22()1)(1(b a b a b b a a +++>++ C ．b a b a b a b a ++>++222233 D ． 223322b a b a b a b a -->-- 7．记xyy x A xy )1)(1(22--=，若a b c c b a =++，则ab ac bc A A A A ++=的值为（ ） A ．3 B ． 3- C ． 4 D ．4-8．某个货场有2005辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装的货物总数为34箱，为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（ ）A ．17043B ．17044C ．17045D ． 170469．若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（ ）A ．64B ．66C ．68D ．7010．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n 把钥匙依次分给n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为（ ）A ．1B ． nC ． 21+nD ． 21-n 二、填空题：(本小题共4小题，每小题6分，共24分，把答案填在题中横线上)11．设R x ∈，对于函数)(x f 满足条件35)1(242-+=+x x x f ，那么对所有的R x ∈， =-)1(2x f _______________;12．一张坐标纸对折一次后，点)4,0(A 与点)0,8(B 重叠，若点)8,6(C 与点),(n m D 重叠， 则=+n m _______________;13．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为______;14．集合X 中的元素是正整数，且有性质：若X x X x ∈-∈12,则，这样的集合X 共有 _____________个。
2011年湖南省高中数学竞赛
（ － ） Ｉ ｉ ＝ｌ ｉｉ ＝ ２ （ ＋ ） — （ 为虚数单位 ） ，
（ ÷ １ｆ ２ １ ）（ ） ・ ＋ ＋ ＞
（） ２ 从编 号 为 ｌ一１０的 ｌ０张卡 片 中 ， ０ Ｏ
复数 的虚部为 ２ 。则 为实数 的条件是 ，
・
… 一
每次随机地抽取一张 ， 然后放 回， 用这种方式 连续抽取 ２ ０次， 设抽得的 ２ Ｏ个号码互不相 同的概 率为 Ｐ 证 明 ： ．
ＡＵＢ＝｛ ， ， ， １ ２ ３ ４｝
色．则至 少 要 取 出 得 到．
支 筷 子 才 能 做
的不 同的对 子 （ ） ， 的个数 为
３ 设 函数 ． ）＝ ＋ ｍ（ ∈ Ｒ＋ ． ＋ ｍ ）
二、 解答题 （ 小题 ２ 每 Ｏ分 ， ８ 共 ０分 ） ｌ． 抛物 线 的焦 点所 在 的 区域 称 为 抛 １将 物 线 的内部． 问 ： 允许 将抛物 线平 移或 旋 试 在 转 的条 件下 ， 面 内 ２０ １条 抛 物 线 的 内 部 平 １
２１ ０ ２年第 ４期
３ Ｉ
２ １ 年 湖 南 省 高 中 数 学 竞 赛 ０ １
中圈分类号 ： ４ ４ ７ Ｇ ２ ．９ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ： ０５—６ １ （０ ２ ０ １０ ４ ６ ２ １ ）４～０ ３ ０ ０ １— ３
填空题（ 每小题 ７ ， ７ 分 共 ０分） １ 已知 函数 ．
则 ｌ ＝（ ２一ｉ （ ２ ｉ ） ａ＋ ）
：
由题设 知 ，（ ）： ｘ ＋ ａ ３ ２ｘ＋ｌ ，
（ ａ＋２ ２ ）＋（ 口 ｉ ４一 ）．
且 ＝一 ÷是函数 ） 极值点， 的 即
Ｊ
因ｚ ： 。 为实数 ， ｚ 所以， ＝ ． ｎ ４
湖南省高中数学竞赛试题
2010年湖南省高中数学竞赛试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()18f =，则()()20102009f f -=（）.A ．6B ．7C ．8D ．92．对于非零向量,a b 有两个命题有两个命题. . 命题甲：a b ⊥；命题乙：函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数为一次函数. . 则甲是乙的（）条件）条件. .A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．如图，若Ω是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台4．如图，在半径为1r =的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n S 为前n 个圆的面积之和个圆的面积之和. . . 取正数取正数9933π4ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭. . 若若4πn S ξ-<，则n 的取值为（）.A ．大于100的所有自然数的所有自然数B ．大于100的有限个自然数的有限个自然数C ．不大于100的所有自然数的所有自然数D ．不大于100的有限个自然数的有限个自然数 5．设直线2x =与双曲线22:14xy Γ-=的渐近线交于点1E 、2E ，记11OE e =，22OE e =，任取双曲线Γ上的点P . . 若若()12OP ae be a b =+∈R 、，则（，则（ ））. A ．2201a b <+< B ．22102a b <+< C ．221a b +≥ D ．2212a b +≥6．一厂家有一批长40cm 40cm、宽、宽30cm 的矩形红布的矩形红布. . . 现该厂家要将每块矩形红布剪一次后现该厂家要将每块矩形红布剪一次后拼成一面三角形旗子拼成一面三角形旗子. . . 则红布可以拼成三角形旗子的种数是（则红布可以拼成三角形旗子的种数是（则红布可以拼成三角形旗子的种数是（ ））. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题7．设定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数6cos y x =的图象与5tan y x =的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为1P ，直线1PP 与函数sin y x =的图象交于点2P ，则线段12PP 的长为________.8．在等比数列{}n a 中，11a =，20104a =，函数()()()()122010f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-.则函数()y f x =在点()0,0处的切线方程为______.9．如果执行图所示的程序，输入正整数n 、()m n m ≥，那么，输出的p 等于______.10．已知y =f f((x x))为区间[0,10,1]]上的连续函数，且恒有0≤f f((x x))≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分∫f (x )10d x . . 先产生两组（每组先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数x 1,x 2,⋅⋅⋅,x N 和y 1,y 2,⋅⋅⋅,y N ，由此得到N 个点(x i ,y i )(i =1,2,⋅⋅⋅,N )；再数出其中满足y i ≤f f((x i )()(i i =1,2,⋅⋅⋅,N N))的点数N 1. . 那么，由随机模拟方法可得积分那么，由随机模拟方法可得积分∫f f((x x))d x 10的近似值为______.11．设n a 是()()32,3,nxn -=⋅⋅⋅的二项展开式中x 的系数的系数.. . 则则1823nn n a ==∑______. 12．若三个非零的实数()()()x y z y z x z y x ---，，成等比数列，则其公比是______.13．设函数()2π4sin sin cos 242x f x x x ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭．若()2f x m -<成立的充分条件是π2π63x ≤≤，则实数m 的取值范围是______．14．空间有五个点，任意四点不共面．空间有五个点，任意四点不共面. . . 若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中三角形个数的最大值为______.三、解答题15．已知当[]1,e x ∈时，不等式()21ln 12a x x a x ≤-++恒成立恒成立. . . 试求实数试求实数a 的取值范围范围. .16．如图，1O 、2O 在O 内滚动且始终保持与O 内切，切点分别为P 、Q ，MN是1O 和2O 的外公切线的外公切线. . . 已知已知1O 、2O 、O 的半径分别为1r 、2r 、R . . 求证：求证：22MNPQ为定值为定值. .17．设椭圆22122:1x y C a b +=，22222:1x yC m n +=，过原点O 引射线分别与椭圆1C 、2C 交于点A 、B ，P 为线段AB 上一点上一点. .（1）求证：OA 、OP 、OB 成等比数列的充要条件点P 的轨迹方程为222232222:1xy x y C a b m n ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）试利用合情推理，将（1）的结论类比到双曲线得出相应的正确结论（不要求证明）. 18．设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是整数1，2，…，n 的一个排列，且满足的一个排列，且满足 （1）11a =；（2）()121,2,,1i i a a i n +-≤=⋅⋅⋅-.记上述排列的个数为()f n . . 试求试求()2010f 被3除的余数除的余数. .参考答案1．C 【解析】 【详解】由()f x 是R 上周期为5的奇函数，则()()()()()()2010200901018f f f f f f -=--=+=. 故答案为:C 2．B 【解析】【解析】 【详解】注意到222()()f x a bx b a x a b =⋅+--⋅，a b ⊥⇔0a b ⋅=. 而0a b ⋅=时，()f x 可能是常数函数，不一定为一次函数可能是常数函数，不一定为一次函数. .而f(x)f(x)是一次函数，必有是一次函数，必有0a b ⋅=. 所以甲是乙的必要不充分条件所以甲是乙的必要不充分条件. . 故答案为B 3．D 【解析】若FG 不平行于EH ，则FG 与EH 相交，交点必然在B 1C 1上，与EH ∥B 1C 1矛盾，所以FG ∥EH ；由EH ⊥平面A 1ABB 1，得到EH ⊥EF ，可以得到四边形EFGH 为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台的定义与题中的图形．没能正确理解棱台的定义与题中的图形． 4．A 【解析】 【详解】记第n 个圆的半径为n r . 易知，132n n r r -=，圆面积134n n a a -=，211ππa r ==.则213134π4π13414nn n S r ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=⋅=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 由99334π4π3π44nn S ⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1003310044nn ⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:A 5．D 【解析】【解析】 【详解】【详解】易求得()12,1E ，()22,1E -.则()1222,OP ae be a b a b =+=+-.由点P 在双曲线上得()()222214a b a b +--=，化简得41ab =.故22122a b ab +≥=.故答案为D 6．D 【解析】 【详解】【详解】如图所示，共有四种不同的拼法如图所示，共有四种不同的拼法. .故答案为：D 7．23. 【分析】【分析】画出函数6cos y x =，5tan y x =，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象，如图所示上的图象，如图所示. .观察图象可知，线段12PP 的长即为满足6cos 5tan x x =时对应的sin x 的值，再求出sin x 的值即得解值即得解. . 【详解】画出函数6cos y x =，5tan y x =，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象，如图所示上的图象，如图所示. .观察图象可知，线段12PP 的长即为满足6cos 5tan x x =时对应的sin x 的值，的值，所以sin 6cos 5tan =5cos xx x x=⋅，所以26cos 5sin x x = 因为22sin cos 1x x +=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0sin 1x ∴<<，则26sin 5sin 60x x +-=，所以2sin 3x =，故线段12PP的长为23. 故答案为：23.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．20102y x =【解析】 【详解】【详解】令()()()()122010g x x a x a x a =--⋅⋅⋅-.则()()f x xg x =.因为()()()f x g x xg x ='+'， 所以，()()()20102010212201012010002f g a a a a a ==⋅⋅⋅=='.故在点()0,0处的切线方程为20102y x =.故答案为：20102y x =9．m nA 【解析】 【详解】 由图可知由图可知()()12mn P n m n m n A =-+-+⋅⋅⋅=.故答案为：mn A10．N 1N【解析】因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知：∫f(x)10dx 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f(x)与x 轴所围成的面积，又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足y i ≤f(x i )的有N 1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x ＝0到x ＝1上与x轴围成的面积为N 1N ×1＝N 1N ，即∫f(x)10dx ＝N 1N .考点：定积分的定义、几何概型. 11．17 【解析】 【详解】因为223Cn nn a -=，所以，()()23218311nn a n n n n =⨯=--. 从而，()1818223118171nn n n a n ====-∑∑.故答案为：1712．152±【解析】【解析】 【详解】注意到()()()x y z y z x z y x -+-=-,所以，所以，()()()()()()()()1y z x z y x y z x z y x xy z x y z x y z y z x ----+==⋅---- 即21q q += (q 为公比）为公比）. .解得152q ±=. 13．()1,4【解析】 【详解】【详解】()()2π1cos 24sin cos22sin 1sin 12sin 12sin 2x f x x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⋅+=++-=+． 当π2π63x ≤≤时，()2f x m -<恒成立，即()()22f x m f x -<<+恒成立．恒成立．故有()()()()maxmin22f x m f x -<<+．易知()max 3f x=，()min 2f x =．故14m <<．14．4 【解析】【解析】【详解】首先构造下左图首先构造下左图..已知其符合条件且恰有四个三角形已知其符合条件且恰有四个三角形. . 下面假设存在某种情况使三角形的个数不少于五个下面假设存在某种情况使三角形的个数不少于五个. .若仅有两条线段未连，则这两条线段必无公共端点（如下左图），否则存在四面体，否则存在四面体. . . 但仅有但仅有四个三角形，矛盾四个三角形，矛盾. .若至少有三条线段未连，当有某条线段作为三个三角形的边时，如上右图，仅有三个三角形；当每条线段至多作为两个三角形的边时，则至多有()25C 3243⎡⎤-⨯⎢⎥=⎢⎥⎣⎦个三角形个三角形.. 故答案为：故答案为：4 4 15．(())()2e 2ee 2e 1a g -≥=-【解析】【解析】 【详解】不等式可化为()2ln 2xa x x x -≥-.因为[]1,e x ∈，所以，ln 0x x ->.于是，不等式化为22ln xx a x x-≥-.设()[]()221,eln x x g x x x x -=∈-. . 注意到注意到()()()211ln 20ln xx x g x x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=>-'， 其中，()1,e x ∈，且()g x 在1x =和e x =处连续，所以，()g x 在[]1,e x ∈上为增函数上为增函数. .故()()2e 2e e 2e 1a g -≥=-.16．见解析．见解析 【解析】【解析】【详解】设12O OO θ∠=，易知，1O 、2O 分别在线段OP 、OQ 上，且1O M MN ⊥，2O N MN ⊥. 则()2221212MN O O r r =--. ① 在12O OO 中，由余弦定理得中，由余弦定理得 ()()()()2221212122cos O O R r R r R r R r θ=-+----()()()()2121221cos r r R r R r θ=-+---. 将上式代入式①得将上式代入式①得()()()21221cos MN R r R r θ=---.又()2221cos PQ R θ=-， 故()()21222R r R r MN PQ R--=为定值为定值. . 17．（1）见解析；（2）见解析）见解析【解析】【详解】【详解】（1）设射线OA 的参数方程为()02π,0x tcos t y tsin θθθ=⎧≤≤>⎨=⎩. 设()11cos ,sin A t t θθ，()22cos ,sin B t t θθ，()33cos ,sin P t t θθ. 将点A 的坐标代入1C 的方程，整理得2222211cos sin t a b θθ=+. 再将3sin y t θ=，3cos x t θ=，代入上式化简得2222221311x y t t a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 同理，2222222311x y t t m n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故OA 、OP 、OB 成等比数列成等比数列2123224123111t t t t t t ⇔=⇔⋅= 222222221x y x y a b m n⎛⎫⎛⎫⇔++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设双曲线1C 、2C 的方程分别为()222210,0x y a b a b -=>>和()222210,0x ym n m n -=>>. 过原点O 引射线分别与曲线1C 、2C 交于点A 、B ，P 为线段AB 上一点，则OA 、OP 、OB 成等比数列的充要条件是点P 的轨迹方程为222232222:1x y x y C a b m n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.18．见解析．见解析【解析】【解析】【详解】可验证()11f =，()21f =，()32f =. 设4n ≥. . 则则22a =或3.对于22a =，排列数是()1f n -. . 这是因为通过删除第一项，这是因为通过删除第一项，这是因为通过删除第一项，且以后所有项都减且以后所有项都减1，可以建立一一对应的数列立一一对应的数列. .对于23a =，若有32a =，则44a =，这样排列数为()3f n -；若32a ≠，则2一定排在4的后面，由此得出所有奇数顺序排列的后面是所有偶数的倒序排列的后面，由此得出所有奇数顺序排列的后面是所有偶数的倒序排列. . 因此，()()()131f n f n f n =-+-+. 设()r n 是()f n 除以3的余数的余数. . 则(())(())121r r ==，(())32r =. 当4n ≥时，()()()()131mod3r n r n r n ⎡⎤≡-+-+⎣⎦. 由此得(){}r n 构成周期为8的数列：的数列：11，1，2，1，0，0，2，0，….，…. 因(())20102mod8≡，所以，(())20101r =，即(())2010f 被3除的余数为1.。
湖南省高中数学竞赛试题及答案
湖南省高中数学竞赛试题及答案高中数学竞赛试题含答案2022年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x) g(x) x2 9x 12，则f(x) g(x) ( )A．x 9x 12 2.有四个函数：① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=sinx cosx ④ y 其中在(0,A．①3.方程x2 x 1 x x22B．x 9x 122C．x 9x 12 D．x 9x 1222sinxcosx2)上为单调增函数的是( )B．②1C．①和③ D．②和④(x2 1) x的解集为A(其中π为无理数，π=3.141 ，x为实数)，则A中所有元素的平方和等于( ) A．0B．12C．22D．44.已知点P(x,y)满足(x 4cos ) (y 4sin ) 4( R)，则点P(x,y)所在区域的面积为A．36πB．32πC．20πD．16π ( )5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为( ) A．9B．12D．186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于( ) A．807.已知曲线C：y A．( 1,2)B．40C．24D．-48x2 2x与直线l:x y m 0有两个交点，则m的取值范围是( ) B．( 2,2 1)C．[0,2 1)D．(0,2 1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则值为( ) A．Smax的Smin2B．6 2C．2 3263高中数学竞赛试题含答案9.设x 0.820.5,y sin1,z log3A．xyzB．yzx7，则x、y、z的大小关系为( )C．zxyD．zyx10.如果一元二次方程x2 2(a 3)x b2 9 0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( ) A．1 18B．1 9C．1 6D．13 18二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）x2y21上异于长轴端点的任意一点，F1、F2分别是其左、右焦点，O为中心，则11.设P是椭圆169|PF1| |PF2| |OP|2 ___________.12.已知△ABC中，, ，试用、的向量运算式子表示△ABC的面积，即S△ABC= ____________________.13.从3名男生和n名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为n=__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分）15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x)) x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A {x|f(x) x}34，则35B {x|f[f(x)] x}.(1). 求证：A B2(2).若f(x) ax 1(a R,x R)，且A B ，求实数a的取值范围.16.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？高中数学竞赛试题含答案17.设数列{an}满足条件：a1 1,a2 2，且an 2 an 1 an(n 1,2,3, ) 求证：对于任何正整数n，都有an 1 11an18.在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为(1).建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.(2).过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N两点，求|BM| |BN|的最小值的集合.7. 2519.已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，P是底面△ABC内的任一点，OP与三侧面所成的角分别为α、β、 .求证：23arcsin3参考答案一、选择题：ADCBC CCCBA 二、填空题：三、解答题：15.证明(1).若A=φ，则A B 显然成立；若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而A B. 解(2)：A中元素是方程f(x)=x 即ax 1 x的实根.2由A≠φ，知a=0 或a 0 1即a4 1 4a 0342222B中元素是方程a(ax 1) 1 x 即ax 2ax x a 1 0的实根由A B，知上方程左边含有一个因式ax x 1，即方程可化为2高中数学竞赛试题含答案(ax2 x 1)(a2x2 ax a 1) 0因此，要A=B，即要方程ax ax a 1 0 ① 要么没有实根，要么实根是方程ax x 1 0 ② 的根. 若①没有实根，则2 a2 4a2(1 a) 0，由此解得a222223 4若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有ax ax a，代入①有2ax+1=0.11131 0,由此解得a . ,再代入②得2a4a2a413故a的取值范围是[ ,]44897616.解：A、B、C、D四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：,,,，且__-__6897 ① __-__由此解得x只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多. 由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7-x)天做裤子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子;D组做7天上衣，C组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条) 依题意，有42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即y 9 令μ= 42+8x+9y=42+8x+9(96x. 76x2)=123+x 77max因为0≤x≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μ=125.因此，安排A、D组都做7天上衣，C组做7天裤子，B组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.17.证明：令a0 1,则有ak 1 ak ak 1，且1naka于是n k 1k 1ak 1k 1ak 1nakak 1(k 1,2, ) ak 1ak 1由算术-几何平均值不等式，可得1 aa1a2aaan+0 1 n 1 a2a3an 1a2a3an 1注意到a0 a1 1，可知高中数学竞赛试题含答案11n 11nan 1，即n 1 11an18.解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设|CA|+|CB|=2a(a3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距2c=|AB|=6.|CA|2 |CB|2 62(|CA| |CB|)2 2|CA||CB| 362a2 18因为cosC 12|CA||CB|2|CA||CB||CA||CB|又|CA| |CB| (2a__-__) a2，所以cosC 1 2，由题意得1 2 ,a 25. 225aa此时，|PA|=|PB|，P点坐标为P(0，±4).x2y21(y 0) 所以C点的轨迹方程为2516(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为90时，设其方程为1k__k2)x kx ( 1) 0 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得(__-__150k2225k2 400,x1x2 显然有△≥0，所以x1 x2 2216 25k16 25k而由椭圆第二定义可得339|BM| |BN| (5 x1)(5 x2) 25 3(x1 x2) x1x25525144450k81k __k __ 25 25 25__ 25k216 25k216 25k2k225222k2__-____-__取最小值，显然. 只要考虑的最小值，即考虑1 1616k2 k22525k2当k=0时，|| ||取最小值16.当直线MN的倾斜角为90时，x1=x2=-3,得|BM| || (342) 16 5x2y21(y 0)，故k 0，这样的M、N不存在，即|| ||的最小值的集合为空但2516集.高中数学竞赛试题含答案19.证明：由题意可得sin2 sin2 sin2 1，且α、β、(0, 所以sin 1 sin sin2222)1(cos2 cos2 ) cos( )cos( ) 2222因为cos( ) cos( )，所以sin cos( ) sin[当当2( )]2时，时，2.22( )，同样有2故2另一方面，不妨设，则sin3,sin33令sin 1 则sin23,sin 1 1 ()2 sin2 ，331 sin2 sin2 1 1sin2 cos( )cos( ) cos( 1 1)cos( 1 1)因为1 1 ，所以cos( 1 1) cos( ) 所以cos( ) cos( 1 1) 所以1 1如果运用调整法，只要α、β、不全相等，总可通过调整，使1 1 1增大. 所以，当α=β= =arcsin。
湖南省高中数学竞赛试卷
注意事项： 1．首先填写所在县（市）学校、年级和姓名．2．用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写． 3．本试卷共19题，满分150分．一、选择题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1． 已知集合M ＝{(x ,y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ,y )|x －y ＝4}，那么集合M ∩N 为（ ）A ．31x y =⎧⎨=-⎩B ．(3,－1)C ．{3,－1}D ．{(3,－1)}2． 已知1(0),()π(0),0(0).x x f x x x +>⎧⎪==⎨⎪<⎩则f {f [f (－1)]}＝ （ ） A ．π- B ．π C ．π1-- D ．π1+3． 周长相同的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S 3、S 4、S 6，则（ ）A ．S 3＞S 4＞S 6B ．S 6＞S 4＞S 3C ．S 6＞S 3＞S 4D ．S 3＞S 6＞S 44． 若n 是自然数，则1(1)22(1)nk n n --=+-的值 （ ） A ．一定是偶数 B ．一定是奇数C．是偶数但不是2D ．可以是偶数也可以是奇数5． 设全集U＝{x |1≤x ≤6，x ∈N }，A ＝{2,3,4}，若(){1,2,3,5,6}UA B =，则集合B 可以为 （ ） A ．{2,3,4}B ．{3,4,5}C ．{4,5,6}D ．{2,6,7}6． 函数y ＝f (x ＋4)的图象过点（－2,3），则函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称的图形一定过点 （ ） A ．(2,－3)B ．(－2,3)C ．(－3,－3) D ．(－3,3)7． 方程x 2－3|x |－2＝0的最小根的负倒数是 （ ）A ．－1B ．1(32C ．1(32-D ．13)48． 已知2{1,},{1,}M y y x x N y y x x ==+∈==+∈R R ，则MN 等于（ ）A ．{(0,1),(1,2)}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．[)1,+∞9． 设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ) f (x －2)＝－2012，且f (1)＝503，则f (2013)的值等于 （ ） A ．503B ．－503C ．4D ．－410．函数f (x )是(0,＋∞)上的单调递增函数，当n ∈N *时，f (n )∈N *，且f (f (n ))＝3n ，则f (1)的值等于 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分，请将正确的答案填在 横线上．）11的整数部分是a ，小数部分是b，则2(1a ab ++的值为 ．12．在正实数集上定义一个运算*，其规则为：当a ＞b 时，a *b ＝b a；当a ≤b 时，a *b ＝b 2．根据这个规则，方程4*x ＝16的解是 ．13．设x 为正实数，则函数212y x x x=-++的最小值是 ． 14．如图所示，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构 成，如：1→2→3→5→7就是一条移动路线．则从1到7共有移动路 线 条．三、解答题（本大题共5个小题，共66分，请将正确的答案填在横线上．） 15．（本小题满分12分） 已知函数22(1),()(12),2(2).x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥且f (a )＝3，求a ．13 5 72 4 616．（本小题满分12分）在△ABC中，已知AD是BC边上的中线，求证：AD＜12(AB＋AC)．AD CB某项工程，，由甲、乙两队共同承建需要2811天，需支付18000元；若由乙、丙两队共同承建需要3313天，支付费用16800元；由甲、丙两队共同承建则需要21112天，支付费用16100元．在保证一周内完成工程任务的前提下，选择哪个队单独承建所需费用最少？=++====．f x x px q A x x f x B x f f x x(),{()},{[()]}（1）求证：A B⊆；（2）如果{1,3}A=-，求B．19．（本小题满分14分）已知a，b是实数，关于x，y的方程组32y x ax bxy ax b⎧=--⎨=+⎩有整数解(x,y)，求a，b满足的关系式．。
2015高中生数学竞赛湖南获奖
2015高中生数学竞赛湖南获奖
摘要：
1.2015 高中生数学竞赛湖南获奖情况概述
2.湖南获奖学生在竞赛中的表现
3.湖南获奖背后的教育成果和经验
4.对我国高中数学教育的启示
正文：
【2015 高中生数学竞赛湖南获奖情况概述】
在2015 年全国高中生数学竞赛中，湖南省表现优异，共有10 名学生获得全国一等奖，30 名学生获得全国二等奖，50 名学生获得全国三等奖。
这些获奖学生为我国数学界输送了一批优秀的人才，同时也展示了湖南省在数学教育领域的实力。
【湖南获奖学生在竞赛中的表现】
湖南获奖学生在竞赛中表现出极高的数学素养和解题能力。
他们在面对复杂数学问题时，能够迅速找到解题思路，并通过严密的逻辑推理和运算，得出正确答案。
这些学生在竞赛中的出色表现，既得益于他们自身的努力，也离不开他们所受到的优秀教育。
【湖南获奖背后的教育成果和经验】
湖南在数学教育领域取得的成果，离不开以下几点经验：首先，注重培养学生的数学兴趣，让学生在解决问题的过程中感受到数学的美妙和乐趣；其次，强化数学基本功训练，提高学生的运算能力、逻辑思维能力和问题解决能力；最后，注重因材施教，针对学生的个性特点和数学水平，制定合适的教学
计划和方法。
【对我国高中数学教育的启示】
湖南在高中生数学竞赛中的优异表现，为我国其他地区的数学教育提供了有益的启示：要注重培养学生的数学兴趣，让学生在快乐中学习；要加强数学基本功训练，提高学生的数学素养；要关注学生的个体差异，尊重学生的发展规律，因材施教。
湖南省高中数学竞赛委员会
湖南省高中数学竞赛委员会湖南省高中数学竞赛已成为一项为激发数学热情，激励数学精神，提高数学水平的精彩活动。
本次竞赛旨在通过不断的挑战和提高，为湖南省的青少年培养创新能力，助推新时代数学发展。
湖南省高中数学竞赛委员会简介湖南省高中数学竞赛委员会（以下简称湖南省竞赛委）于1998年6月成立，是由湖南省教育厅直属的一个竞赛管理机构。
目前下设九个组织：组织指导委员会、正副主任、九个专业委员会（理论数学、应用数学、计算机数学、生物数学、物理数学、农学数学、化学数学、统计数学、数学建模），每个专业委员会有三个副主任，每个处室下设各类办公室，市、县级数学竞赛委员会和九个专业竞赛委员会。
一、主要职能1、负责湖南省高中数学竞赛的组织实施与管理；2、负责组建竞赛组织机构，贯彻贯彻湖南省教育厅相关规定；3、负责编制竞赛试卷、工作手册和竞赛规则等；4、负责主办省级各种教师数学科学研讨会和学术讲座；5、负责开展数学竞赛理论研究、教学示范、教学咨询、成果展示等活动；6、负责解答各种数学竞赛常见问题；7、对参赛选手组织实施视察、考核、赛后复盘和表彰等；8、负责参照全国高中数学竞赛的标准编制本省竞赛的分数线，作出比赛结果，宣告竞赛结果；9、负责本省参加全国高中数学竞赛的组织安排和管理。
二、竞赛的组织与实施1、竞赛的各项规定：按照湖南省教育厅标准，竞赛测试共分为四卷，每一卷有九个部分，分别为基础数学、应用数学、数学建模、物理数学、化学数学、生物数学、计算机数学、统计数学和数学史；2、竞赛题型：每一卷分别由选择题与填空题相结合，根据高中数学所强调的数学概念及其应用综合运用；3、竞赛主题：竞赛主题以“湖南省高中数学竞赛研究”为主题；4、竞赛日期：湖南省高中数学竞赛定期定于每年9月进行，全省学校各班级根据规定准备、参加竞赛，试卷和评分资料在中湖南省教育信息网络上发布；5、竞赛程序：湖南省高中数学竞赛程序按照试卷素材选拔准备、参赛考试、成绩评定、名单公示等确定，其中参赛评定采取综合评定的方法；6、竞赛质量监控：湖南省高中数学竞赛组委会还专门设置了一个数学竞赛质量监控中心，严格监督各级竞赛组织机构，确保竞赛程序的规范性和有效性；7、竞赛结果：根据参加竞赛学生的成绩，由湖南省竞赛组委会综合评定，最终确定各学校的竞赛结果，出示优胜者与参赛学生的名单及感谢信。
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湖南省2002年高中数学竞赛
试题及解答
2002.9.7 9：00-11;00
说明：1.评阅试卷时请依本评分标准.选择题只设6分及0分两档,填空题只设6分及0分两档.其他各题评阅请严格依照本评分规定的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方式与本解答案不同,只要思路合理,步骤正确,在证券时参照本评分标准划分的评分档次,给予相应的分数.
一 选择题(本题共6个小题,每小题6分,满分36分.)
1．定义在实数集R 上的函数y=f （-x ）的反函数是)(1x f
y -=-，则 （A ）y=f （-x ）是奇函数
（B ）y=f （-x ）是偶函数
（C ）y=f （-x ）既是奇函数，也是偶函数
（D ）y=f （-x ）既不是奇函数，也不是偶函数
2．二次函数c bx ax x f ++=2
)(的图象如图所示。
记
N=|a+b+c|+|2a-b|
M=|a-b+c|+|2a+b|，
则（ ）
（A ） M ＞N （B ）M=N
（C ） M ＜N （D ）M ，N 的大小关系不能确定
3．在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数是（ ）
（A ） 4或5或6或7
（B ） 4或6或7或8
（C ） 6或7 或8
（D ） 4或5 或6
4．ABC 中，若（sinA+sinB ）（cosA+cosB ）=2sinC ，则（ ）
（A ） △ABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形
（B ） △ABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形
（C ） △ABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形
（D ） △ABC 既是等腰三角形也是直角三角形
5．△ABC 中，∠C=90O ，若sinA ，sinB 是一元二次方程02=++q px x 的两个根，则下列关系中正确的是（ ）
6．已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一焦点的轨迹为（）。
（A ）双曲线 （B ）椭圆 （C ）椭圆的一部分 （D ）双曲线的一部分
二、填空题（本题共6个小题，每小题6分，满分36分。
）
7．满足条件{1，2，3}⊆X ⊆|1，2，3，4，5，6|的集合X 的个数为————————。
8．函数a a x x a x f -+-=||)(2
2是奇函数的充要条件是————————————
9．在如图所示的六块地上，种上甲或乙两种蔬菜（可只咱其中一种，也可两种都种），要求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜，则共有种蔬菜的方案数为—————。
10．定义在R 上的函数y=f （x ），它具有下述性质：
（Ⅰ）对任何x ∈r ，都有f （x 3）=f 3（x ），
（Ⅱ）对任何x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f （x 1）≠f （x 2）
则f （0）+f （1）+f （-1）的值为————。
11．已知复数z 满足,3)1arg(,3π
=-=--⋅z z z z z 且则z=——————
三、解答题（本题共6个小题，满分78分。
）
13．（本题满分12分），如图，在棱长为a 的正方体
ABCD-A 1B 1C 1D 中，E 、F 分别是棱AB 与BC 的中点。
（Ⅰ）求二面角B-FB 1-E 的大小；
（Ⅱ）求点D 到平面B 1EF 的距离；
（Ⅲ）在棱DD 1上能否找一点M ，使BM ⊥平面
EFB 1？若能，试确定点M 的位置；若不能，请说明理
由。
14．（本题满13分），设关于x 的一元二次方程2x 2-tx-2=0的两个根为α、β（α＜β） （ Ⅰ ）若x 1、x 2为区间[α，β]上的两个不同的点，求证：4x 1x 2-t （x 1+x 2）-4＜0。
‘ （Ⅱ）设],[)(,1
4)(2βα在区间x f x t x x f +-=上的最大值和最小值分别为)(,)(,min max min max t g f f t g f f 求和-=的最小值。
15．（本题满分13分），已知a 1=1，a 2=3，a n+2=（n+3）a n+1-（n+2）a n ，若当m ≥n ，a m 的值都能被9整除，求n 的最小值。
16．（本题满分13分），一台计算机装置的示意图如图，其中J 1，J 2表示
数据入口，C 是计算结果的出口，计算过程是由J 1、J 2分别输入自然数m
和n ，经过计算后得自然数K 由C 输出，若此种装置满足以下三个性质：
①J 1，J 2分别输入1，则输出结果1；
②若J 1输入任何固定自然数不变，J 2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2； ③若J 2输入1，J 1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，试问：
（Ⅰ）若J 1输入1，J 2输入自然数n ，则输出结果为多少？
（Ⅱ）若J 2输入1，J 1输入自然数m ，则输出结果为多少？
（Ⅲ）若J 1输入自然2002，J 2输入自然数9，则输出结果为多少？
17．（本题满分13分），以A 为圆心，以24cos 2π
θπ
θ （）为半径的圆外有一点
B ，已知|AB|=2θsin ，设过点B 且与圆外切于点T 的圆的圆心为M 。
（Ⅰ）当θ取某个值时，说明点M 的轨迹P 是什么曲线；
（Ⅱ）点M 是轨迹P 上的动点，点N 是圆A 上的动点，把|MN|的最小值记为f （θ）（不要求证明），求f （θ）的取值范围。
（Ⅲ）若将题设条件中的θ的范围改为（40π
θ ），点
B 的位置改为圆A 内，其它条件不变，点M 的轨迹记为P ，
试提出一个和（Ⅱ）具有相同结构的有意义的问题（不要求解
答）
18．（本题满分14分），设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，其体对角线长为l ，试证： 444444444512))()((c b a c l b l a l ≥---。