数理统计课件-精

则称随机变量F U/m 服从自由度为(m, n) V/n
的F分布，记作F~F(m, n)
2. F分布的概率密度函数:
(
y)
[(m n) (m 2)(n
2](m n)m 2)(1 my
y2 (m 2)-1 n)(mn) 2
,
y
0,
0
, 其它.
3. 性质: 若F~F(m, n), 则 1 ~F(n, m).
定理: 设X1, X2, …, Xn是来自总体X的一个样
本, 并设总体二阶矩存在,EX=,DX=2,则有
EX , D( X ) 2
n
ES
2 n
2 (n
2).
§6.2 统计分布与抽样分布
统计量T(X1,X2,…,Xn)的分布称为抽样分布。
一、统计中常用的分布:
(一)χ2--分布
1.
定
义
:
F
4. F - 分布的上分位点:
对于给定的 , 0 1, 称满足条件: P{F Fα (m, n)}
P{ 2 2 (n)}
f ( y)dy
2 (n)
的点2 (n)为 2 (n)分布的上分位点.
f(y)
0
2
(n)
y
(二) t-分布:
1.定义 : 设X~N(0,1), Y ~ 2 (n), 并且X, Y 相互独立,
则称T X Y/n服从自由度为n的t 分布,
记作T~t(n)。
2. t(n)分布的概率密度函数为：
样本及抽样分布
§6.1 基本概念 一、总体: 在统计学中, 我们把所研究的全部元素组成 的集合称作母体或总体, 总体中的每一个元素 称为个体。 我们只研究感兴趣的某个或者几个指标(记
为X)，因此把这些指标的分布称为总体的分
布，记为X～F(x)。
二、样本:
设总体X具有分布函数F(x),若X1, X2,…,Xn是 具有分布函数F(x)的相互独立的随机向量，则 称其为总体F（或总体X）的简单随机样本, 简称样本, 它们的观察值x1,x2, …, xn称为样本 观察值, 又称为X的n个独立的观察值。
四、 常用的统计量:
1. 样本均值
X 1 n
n
Xi;
i1
2.
样本方差
S2
1 n -1
n i1
(Xi
X
2
);
3. 样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
,k
1, 2,;
4. 样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i1
(Xi
X )k
,
k
2, 3,.
注：1.它们的观察值为x
1 n
n i 1
xi,仍称为样本
三、统计量: 设X1, X2, …, Xn是来自总体X的一个样本,
g(X1, X2, …, Xn)是一个与总体分布中未知参数 无关的样本的连续函数，则称g(X1,X2,…,Xn)为 统计量。
统计量是样本的函数,它是一个随机变量，
如果x1, x2, …, xn是样本观察值, 则g(x1, x2, …, xn) 是统计量g(X1, X2, …, Xn)的一个观察值.
3)
若X具有概率
密
度f
(
x),
则X
1,
X
2
,
X
的
n
n
联合概率密度为f *(x1, x2, xn ) f (xi ) i1
例1：X~U(0,θ), X1, X2, …, Xn是来自X的样本，
求（X1, X2, …, Xn）的联合密度函数。
例2：X ~ P( X x) p x (1 p)1x , x 0,1 ( X1, X 2 ,, X n )为 来 自X的 样 本 ， 求样本的联合分布律。
分布具有可加性，定义中X1,X2,,Xn 独立
n
同服从N (0,1)，所以 2＝
i 1
X
2 i
~
( n 2
,
1) 2
分布的概率密度为:
f
( x)
βα Γ (α)
x e α-1 －x ,
x
0,
0 , 其它.
比较 2 (n)的密度可知： 2 (n)分布就是 n , 1
22
的分布,即 2 (n) (n / 2,1/2).
X
1
,
X
2
,,
X
的
n
联
合
分
布
函
数为:
n
F* (x1, x2, xn ) F (xi ) i 1
2) 若总体X是离散型随机变量，其分布律为
px=P(X=x) , x=x1,x2,…
则样本X1, X2, …, Xn的联合分布:
n
P( X1 y1,, X n yn ) P( X i yi ) i 1 其中yi x1, x2,;(i 1,2,, n)
3. 2(n)分布的性质：
(1) 2 (n)具有可加性：
若12
~
2 (m),
2 2
~
2 (n),
并且12 ,
2独
2
立,
有
12
2 2
~
2(m
n).
(2) 若 2 ~ 2 (n), 则有E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
4. 2分布的上分位点:
对于给定的正数 , 0 1, 称满足条件
f (t)
Γ ( n 1) 2
(1
t2
- n1
)2
,
-
t
.
πn Γ ( n ) n
2
说明
利用Γ函数的性质可得lim f (t)
1
-t2
e 2,
n
2
即当n充分大时, 有t-分布近似N (0,1)分布.
3. t(n)分布的上分位点:
对于给定的 , 0 1, 称满足条件:
P{t tα (n)}
设X1
,
X
2
,
,
X
来
n
自
总
体N
(0,
1)的样
本
，
则称统计量 2
X12
X
2 2
X
2 n
服
从
自
由
度
为n的 2分布, 记作 2 ~ 2 (n).
定理： 2 (n)的概率密度为
1
2
Γ
(n
2)
n 1 - y
y2 e 2,
y 0, .
0,
y 0,
2. 分布与2(n)分布的关系：
由第二章知：若X ~ N (0,1), 则X 2 ~ Γ (1 , 1). 22
f (t)dt α
tα (n)
的点tα (n)为t(n)分布的上分位点。
f(t)
t
0 t (n)
4.由t分布的上分位点的定义及密度函数f (t)
的对称性知t1-α (n) -tα (n).
5. t分布的上分位点可由附表4查出, 在n 45时,
tα (n) Zα .
(三) F分布:
1.定义：设U~ 2 (m)，V~ 2 (n)，且U，V独立，
均值,
s2
1 n 1
n
(x i
i 1
x)2 , 称为样本方差,
2.当 k
1时,
A1
X,当k
2时, B2
n 1 S2, n
当样本容量很大时, B2 S 2.
3.若总体X的k阶矩E(X k ) k 存在,
P
则当n 时, Ak k .
4.样本的联合分布：
1) 若X~F(x), X1, X 2 ,, X n为F的一个样本, 则