数理统计优秀课件

样本
X1,
X2,…,
Xn
的
r
阶矩为
Br
1 n
n i1
X
r i
令
r
(1 , 2
,,
k
)
1 n
n i1
X
r i
r 1,2,,k
—— 含未知参数 1,2, ,k 的方程组
7-12
解方程组 , 得 k 个统计量：
ˆ1( X1, X 2 , , X n ) ˆk ( X1, X 2 , , X n )
它们的估计值或取值范围就是参数估计 的内容.
点估计 区间估计
参数估计的类型
点估计 —— 估计未知参数的值
区间估计—— 估计未知参数的取值范围， 并使此范围包含未知参数 真值的概率为给定的值.
7-5
§10.1 点估计方法
点估计的思想方法
设总体X 的分布函数的形式已知, 但含有
一个或多个未知参数：1,2, ,k
ˆ
2 矩
1 n
n i1
X
2 i
X
2
例 设总体 X ~ E(), X1, X2,…, Xn为总体的 样本, 求 的矩法估计量.
解 E(X) 1/ , 令 X 1/ .
故
矩 1/ X.
7-14
例 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机
抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时)
1050, 1100, 1080, 1120, 1200
nA p p n
7-9
矩法
用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的 方法 估计量, 建立含有待估参数的方程,
从而解出待估参数
一般, 不论总体服从什么分布, 总体期望 与方差 2 存在, 则它们的矩估计X
ˆ 2
1 n
n i1
(Xi
X )2
Sn2
7-10
事实上，按矩法原理，令
X
1 n
n i1
Xi
A2
1 n
n i1
X
2 i
E(X
2)
ˆ X
ˆ 2 E(X 2 ) E2 (X ) A2 ˆ 2
1 n
n i1
X
2 i
X
2
1 n
n i1
(Xi
X )2
Sn2
7-11
设待估计的参数为 1,2,,k
设总体的 r 阶矩存在，记为
E( X r ) r (1,2 ,,k )
未知参数
1, ,k
的矩估计量
代入一组样本值得 k 个数:
1 ˆ1(x1, x2, , xn ) k ˆk (x1, x2, , xn )
未知参数
1, ,k
的矩估计值
7-13
例 设总体 X ~ N ( , 2 ), X1, X2,…, Xn为 总体的样本, 求 , 2 的矩法估计量.
解 ˆ矩 X
解 由于 E(X ) a b , D(X ) (b a)2
2
12
E(X 2)
D(X )
E2(X)
(b a)2 12
a
2
b
2
令
ab X
2
(b a)2 12
a
2
b
2
A2
1 n
n i1
X
2 i
7-16
解得
aˆ矩 X 3(A2 X 2)
X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
1)
x dx 1
原点矩
由矩法,
0
X 1
2
总体矩
样本矩
2
从中解得 ˆ 2X 1, 即为 的矩估计.
1 X
7-17
极大似然估计法
思想方法：一次试验就出现的 事件有较大的概率
例如: 有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球
现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球, 结果所取得的球是白球.
ˆ1(x1, x2 ,, xn ) ˆ2 (x1, x2 ,, xn )
数值
ˆk (x1, x2 ,, xn )
称数 1 ,ˆk为未知参数 1, 对应统计量 为未知参数 1,
,k 的估计值 ,k 的估计量
7-7
三种常用的点估计方法
频率替换法
利用事件A 在 n 次试验中发生的频率
nA / n 作为事件A 发生的概率 p 的估计量
1250, 1040, 1130, 1300, 1200
试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均
寿命及寿命分布的方差.
解
E(X )
x
1 10
10 i1
xi
1147(h)
D(X )
ˆ 2
1 10
10 i1
xi2
x2
6821(h2 ) .
7-15
例 设总体 X ~ U (a, b), a, b 未知, 求参数 a, b 的 矩法估计量.
数理统计
统计 推断
DE 基本 问题
参数估 计问题
7-2
点估计 区间估 计
假设检 验问题
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量.
当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计.
例如，X ~N ( , 2), 若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出
对于不同的 p , L (p)不同, 见右下图
7-19
Lp
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
p
pˆ0.2 0.4 0.6 0.8 1
现经过一次试验，事件
( X1 x1, X 2 x2,, X n xn )
问: 所取的球来自哪一箱？ 答: 第一箱.
在总体类型已知条件下使用的一种参 数估计方法 .
它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 , 然而，这个方法常归功于 英国统计学家费歇 .
费歇在1922年重新发现了 这一方法，并首先研究了这 种方法的一些性质 .
Gauss Fisher
7-18
例 设总体 X 服从0-1分布,且P (X = 1) = p, 用极大似然法求 p 的估计值.
,
bˆ矩 X 3( A2 X 2 )
X
3 n
n i1
(Xi
X
)2
.
例 设总体X的概率密度为
( 1)x , 0 x 1
f (x)
0,
其它
其中 1
是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
解:
数学期望
是一阶
1
E(X
( 1)
)
1
1
x( 0
x 1dx
设 X1, X2,…, Xn为总体的一个样本 构造 k 个统计量：
1( X1, X 2 ,, X n ) 2 ( X1, X 2 ,, X n )
随机变量
k ( X1, X 2 ,, X n )
7-6
并建立k个方程。
当测得样本值(x1, x2,…, xn)时,代入上述 方程组，即可得到 k 个数：
解 总体 X 的概率分布为
P( X x) px (1 p)1x , x 0,1
设 x1, x2,…, xn为总体样本X1, X2,…, Xn 的样本值,
则 P( X1 x1, X 2 x2,, X n xn )
n
n
xi
n xi
p i1 (1 p) i1 L( p) xi 0,1,i 1,2,,n