三元均值不等式求最值及绝对值不等式
三元均值不等式的证明与应用
三元均值不等式的证明与应用1.三元均值不等式的证明：设a、b、c为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式的表述，我们要证明以下不等式成立：（a+b+c）/3 ≥ √(abc)证明：我们可以先将不等式两边平方得到以下等价不等式：(a+b+c)²/9 ≥ abc展开得到：(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)/9 ≥ abc化简得到：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc ≥ 9abc将不等式两边减去2ab、2ac和2bc，得到：a²-2ab+b² +c²-2ac+a² +c²-2bc+b² ≥ 5abc化简得到：(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 5abc不等式左边是三个数的平方和，而右边是它们的积，由于三个非负实数的平方和≥它们的积，因此不等式成立。
2.三元均值不等式的应用：（1）证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均值：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a+b)/2 ≥ √(ab)化简得到：a+b ≥ 2√(ab)这就证明了两个数的平均值大于等于它们的几何平均值。
（2）证明两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a²+b²)/2 ≥ ab化简得到：a²+b² ≥ 2ab这就证明了两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积。
（3）求证函数的不等式：设f(x)为一个定义在[a,b]上的连续函数，并且f(x)在[a,b]上不恒为0。
那么根据三元均值不等式可得：∫[a,b]f(x)dx / (b-a) ≥ √(∫[a,b]f²(x)dx / (b-a))这个不等式可以用于证明函数的平均值大于等于它的均方根。
用均值不等式求最值的方法和技巧 完美
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a= b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
3、用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值。
(故当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5)4、条件最值问题。
例4、已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。
解法一：（利用均值不等式）2x y +8116()(2)10x y x y x y y x =++=++1018≥+=,当且仅当81116x y x yyx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18。
解法二：（消元法）由811x y+=得8x y x =-，由00088xy x x x >⇒>>⇒>-又则2x y +22(8)1616162(8)108888x x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++----1018≥=。
当且仅当1688x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。
均值不等式求最值
利用均值不等式求最值的方法均值不等式a b ab a b +≥>>200(，，当且仅当a ＝b 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑 1. 凑系数例1. 当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。
解析：由04<<x 知，820->x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2828x x +-=()为定值，故只需将y x x =-()82凑上一个系数即可。
y x x x x x x =-=-≤+-=()[()]()821228212282282· 当且仅当282x x =-，即x ＝2时取等号。
所以当x ＝2时，y x x =-()82的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项 例2. 已知x <54，求函数f x x x ()=-+-42145的最大值。
解析：由题意知450x -<，首先要调整符号，又()42145x x --·不是定值，故需对42x -进行凑项才能得到定值。
∵x x <->54540，∴f x x x x x()()=-+-=--+-+42145541543≤---+=-+=2541543231()x x·当且仅当54154-=-x x，即x =1时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离例3. 求y x x x x =+++-271011()≠的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
y x x x x x x x x =+++=+++++=++++227101151411415()()()当x +>10，即x >-1时 y x x ≥+++=214159()·（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
三元均值不等式求最值及绝对值不等式
三元均值不等式求最值及绝对值不等式第一篇：三元均值不等式求最值及绝对值不等式三元均值不等式求最值三元均值不等式：例1、求函数y=2x 23+,(x>0)的最大值 x例2、求函数y=x21-x2(0<x<1)的最大值。
例3、已知0<x<1，求函数y=-x3-x2+x+1的最大值。
例4、已知0<x<2，求函数y=6x4-x2的最大值。
练习：1、求函数y=2x2、x>0时，求y=3、求函数y=4、若0<x<1, 求y=x5、若a>b>0，求证：a+42()4+,(x∈R+)的最小值。
x6+3x2的最小值。
xax(a-2x)2,(0<x<)的最大值。
2(1-x2)的最大值。
1的最小值。
b(a-b)绝对值不等式例1、证明（1）例2、证明例3、证明例4、已知例5、已知练习：1、已知2、已知（2）a+b≥a-b a+b≥a+b，a-b≤a-b≤a+b。
a-b≤a-c+b-c。
ccx-a<,y-b<，求证(x+y)-(a+b)<c.22aax<,y<.求证：2x-3y<a。
46ccA-a<,B-b<.求证：(A-B)-(a-b)<c。
22ccx-a<,y-b<.求证：2x-3y-2a+3b<c。
46解含绝对值不等式例1、解不等式3x-1<x+2。
例2、解不等式3x-1>2-x。
例3、解不等式例4、解不等式例5、不等式练习： 1、3-2x223、x-2x-4<14、x-1>x+2.2x+1+3x-2≥5。
x-2+x-1≥5。
x-1+x+3>a，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。
≤x+4.2、x+1≥2-x.5、7、x+x-2≥46、x-1+x+3≥6.x+x+1<28、x-x-4>2.课后练习1．解下列不等式：1（2）1<3x+4<7 212（3）2x-4<x+1（4）x-2x<x2（1）2-3x≤2．解不等式：（1）3．解不等式：（1）4．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式条件？5．已知（1）6．已知 7．已知 2x-1<x-1（2）x+2>1 x-1x+1+x+2>3（2）x+2-x-1+3>0.x-4+x-3333（2）A+B-C)-(a+b-c)<s.(A+B+C)-(a+b+c)<s；x<a,y<a.求证：xy<a.x<ch,y>c>0.求证：x<h.ya+bab≤+.8．求证1+a+b1+a1+b9．已知a<1,b<1.求证：a+b<1.1+ab210．若α,β为任意实数，c为正数，求证：α+β122≤(1+c)α+(1+)β.c2（α+β2≤α+β+2αβ，而αβ=cα⋅2212β≤ccα+2212βc）第二篇：均值不等式求最值的类型及技巧均值不等式求最值的类型及技巧贵州顶效经济开发区中学代敏均值不等式a+b≥ab(a>0,b>0，当且仅当a=b时取等号）是一个重要的不等式，是求函数最2值的一个重要工具，也是高考中常考的一个重要知识点。
均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=〞号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=〞号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=〞号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=〞号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正〞、二“定〞、三“等〞；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积〞的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=〞。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和〞的形式，变为“积〞的形式，然后利用隐含的“定和〞关系，求“积〞的最大值。
例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。
解：()()2242214122x x y x x x =-=•••-。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即6x =时，上式取“=〞。
用均值不等式求最值的类型及方法
用均值不等式求最值的类型及方法均值不等式是数学中一种重要的不等式，它的适用范围十分广泛，可以用于求最值。
均值不等式可以有效地帮助我们找出变量的最大值或最小值，在工程和科学方面都有着广泛的应用。
均值不等式包含不同的类型，其中常用的有欧几里德均值不等式，黎曼均值不等式，拉格朗日均值不等式等。
这些形式的均值不等式可以求解各种复杂的变量最值问题，提供了关于变量最大值或最小值的重要依据。
例如，欧几里德均值不等式的表达式为：S = (x1 + x2 + ... + xn)/n (x1 x2...× xn)^1/n，其中x1，x2，...，xn是n个实数，S 表示均值。
欧几里德均值不等式表明，当x1，x2，...，xn的乘积大于均值的n次方时，变量x1，x2，...，xn中至少有一个大于均值，此时可求出变量x1，x2，...，xn中的最大值。
除了欧几里德均值不等式，黎曼均值不等式也是一种常用的均值不等式。
它的表达式为：S = (x1+ x2 + ... + xn)/n (x1 x2...×xn)^1/n，其中x1，x2，...，xn是n个实数，S表示均值。
与欧几里德均值不等式相比，黎曼均值不等式需要计算变量的平方和。
当x1，x2，...，xn的乘积大于均值的n次方时，变量x1，x2，...，xn中至少有一个大于均值，此时可求出变量x1，x2，...，xn中的最大值。
此外，拉格朗日均值不等式也是一种常用的均值不等式，其表达式为：S = (x1^m+ x2^m + ... + xn^m)/n (x1 x2...× xn)^1/n，其中x1，x2，...，xn是n个实数，m是一个正整数，S表示均值。
拉格朗日均值不等式需要计算变量的m次方和。
当x1，x2， (x)的乘积大于均值的n次方时，变量x1，x2，...，xn中至少有一个大于均值，此时可求出变量x1，x2，...，xn中的最大值。
用均值不等式求最值的类型及方法
高三理应培优用均值不等式求最值的类型及 解题技巧)均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重 要知识点。
要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。
一、几个重要的均值不等式① a 1 2 b 2 2ab ab a b (a 、b R)，当且仅当 a = b 时， “ =号”成立；2a b 2a b(a 、b R )，当且仅当 a = b 时， “ =号”成立；333③ a 3 b 3 c 3 3abc abc a b c (a 、3b 、c R )，当且仅当 a = b = c 时, “ =号”成立；②熟悉一个重要的不等式链： 211 ab三、用均值不等式求最值的常见类型与解题技巧 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。
1例 1、求函数 y x 2 (x 1) 的最小值。
2(x 1)21 1 x 1 x 1 1技巧 1：凑项)解： y x 2 (x 1) (x 1) 2 1(x 1) 2 1(x 1)2(x 1)2 2(x 1)22 2 2(x 1)2④a b c 33 abcabc3a b c(a 、 b 、c R ) ,当且仅当 a = b = c 时, “ =号”成立 .注： ①注意运用均值不等式求最值时的条件：正”、二 “定”、三 “等”； 二、函数 f(x) ax b (a 、 xb 0) 图象及性质(1)函数 f(x) ax ba 、x b 0 图象如图：(2)函数 f(x) ax b a 、x b 0 性质：①值域：( , 2 ab] [2 ab, ) ；，［②单调递增区间：(b, ) ；单调递减区间： (0,，［,0) .②a b 2 ab abab a b 22 ab。
2x 1 1当且仅当 x 1 1 2 (x 1)即 x 2时，“= ”号成立，故此函数最小值是 2 2(x 1)2评析： 利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
均值不等式求最值的十种方法
v1.0 可编辑可修改用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。
解：()()2242214122x x y x x x =-=•••-。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即x =时，上式取“=”。
均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式2 . 2®a2 +b2> lab <^> ab < ° +(a. b e /?),当且仅当a = b时，号成立:2S + ZP)注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：②熟悉一个重要的不等式链：-A-<v^<—<丄+丄2a b一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号、升慕等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点, 均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例1⑴当0 <4时，求y = x(8-2x)的最大值。
(2)已知0vxvl,求函数y = -疋一/+兀+1的最大值。
解:y = -x2(x + l) + (x + l) = (x + l)(l-x2) = (x + l)2(l-x)当且仅当¥ = l — x，即x = |时，上式取“二”。
故儿琢°评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系, 求“积”的最大值。
例2 求函数y = x2>J\-x2 (0<x<\)的最大值。
27当且仅当斗=(1 —/),即x = £时，上式取“二”。
故儿瘁=半。
2 3 9② a + b> 2y[cib <=> ab <(a、beRJ当且仅当&二b时，“日号成立:③ / + + c' »3abc 0 abc < -_"十"3/ d+/? + C、< 3 >(A)a + b + c>3y/abc <^> abc<(a、b、cer),当且仅当a二b二c时，“才号成立:(a、b、cwRT•当且仅当a = b = c时，“〜‘号成立.一“正”、二“定”、三“等”;=4•凹・斗1_归2 2x+i A+i 厶x y〒+〒+(宀)33227评注：将函数式中根号外的正变量移进根号的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件例3已知0vx<2,求函数y = 6x（4-x2）的最大值。
均值不等式求最值的十种方法
均值不等式求最值的十种方法用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a ba ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立；②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c ba 当且仅当a =b =c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba112+2a b ab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y xx x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max3227y=。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。
解：()()2242214122x x y x x x =-=•••-因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当()2212x x =-，即6x =时，上式取“=”。
用三元均值不等式求物理最值
用三元均值不等式求物理最值
三元均值不等式，简称AM-GM不等式，它可以帮助我们非常快捷地求物理最值。
AM-GM不等式：给定N个非负实数a1，a2，…，aN，其和大于等于任意N阶的几何平均数的N次方的和。
即：a1+a2+...+aN≥N√a1a2 ⋯aN，等号表示当且仅当各项取等值时成立。
此Polya早在1917年就提出了AM-GM不等式，但当时他却没有对这个不等式进行任何证明，而是把它当作事实来看待。
在物理学中，AM-GM不等式常被用来找出某一变量的最值，因为不等式的两边可以被相等，因此可以用来找到具有最值的变量。
即，当要求一组N实数的最值时，如果AM-GM 不等式得到等号，就一定是最值。
例如：求解使得 x*y*z = 8 的最值，可知此题等同于
x+y+z=? 的最值
根据 AM-GM 不等式，可知上式有最值时，此题即得出解：
x+y+z=8，x=y=z=2.
所以，求解使得 x*y*z = 8 的最值，其最值为x=y=z=2.
因此可以看出，AM-GM不等式可以用来求物理的最值，对于求解最值问题，它有非常大的用处。
总之，AM-GM不等式实用性强，具有重要的科学价值，是一个重要的数学定理。
它可以帮助我们快速准确地求物理最值，在实际应用中，AM-GM不等式可帮助我们更好地求解复杂的物理问题，为科学研究节省更多的时间和精力。
均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时，“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等";② 熟悉一个重要的不等式链:ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数,拼凑定和，求积的最大值。
例１ （1) 当时,求(82)y x x =-的最大值.(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值.解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-,即13x =时，上式取“=".故max 3227y =。
评注:通过因式分解,将函数解析式由“和"的形式,变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积"的最大值。
例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。
解:()()2242214122x x y x x x =-=•••-。
三元均值不等式公式四个
三元均值不等式公式四个
三元均值不等式是指对于三个非负实数a、b、c，有以下四种均值不等式：
1.算术平均数大于等于几何平均数：
(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)
解释：算术平均数是三个数的和除以3，几何平均数是三个数的乘积的1/3次方根。
这个不等式表明，算术平均数大于等于几何平均数。
2.几何平均数大于等于调和平均数：
(abc)^(1/3)≥3/(1/a+1/b+1/c)
解释：调和平均数是三个数的倒数的平均数，这个不等式表明，几何平均数大于等于调和平均数。
3.平方平均数大于等于算数平均数：
[(a^2+b^2+c^2)/3]^(1/2)≥(a+b+c)/3
解释：平方平均数是三个数的平方和的平均数的1/2次方根，这个不等式表明，平方平均数大于等于算数平均数。
4.立方平均数大于等于平方平均数：
[(a^3+b^3+c^3)/3]^(1/3)≥[(a^2+b^2+c^2)/3]^(1/2)
解释：立方平均数是三个数的立方和的平均数的1/3次方根，这个不等式表明，立方平均数大于等于平方平均数。
这些不等式在数学证明和应用中都有广泛的应用，比如在概率论、统计学和自然科学中都有应用。
用均值不等式求最值的方法和技巧
用均值不等式求最值的方法和技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
利用均值不等式求最值的技巧
利用均值不等式求最值的技巧
利用均值不等式求最值的技巧是一种常用的数学技巧，它可以帮助我们在解决数学问题时给出一个最优解。
均值不等式是一个基本的数学定理，它表明任何一个序列的平均值大于或等于它的最小值。
因此，可以利用这个定理来求解最大值或最小值。
首先，要使用均值不等式求最值，我们需要确定问题中的变量。
通常情况下，均值不等式求最大值或最小值时，有两个变量：最大值x和最小值y。
确定变量之后，我们需要根据题目给出的信息确定均值不等式的右侧。
对于求最大值的情况，右侧的值将是最小值y；而求最小值的情况下，右侧的值将是最大值x。
接下来，需要计算左侧的值，也就是均值。
计算均值的方法是：将所有数字相加，然后除以总数。
有时，问题中会给出一些数字，我们也可以将它们相加再除以总数算出均值。
有时，问题中会给出一些表达式，我们可以将它们计算出来，再把结果相加得出均值。
接下来，我们可以将左右两边的值代入均值不等式，解出最大值x或最小值y。
如果题目中有多个变量，我们可以分别解出每个变量，然后将它们带入原来的数学表达式，求出最终的最大值和最小值。
最后，要注意的是，均值不等式只能求出最大值或最小值，而不能求出其他值。
因此，在使用均值不等式求最值的时候，要确保问题中的变量正确，并且计算出来的均值也是正确的。
总之，利用均值不等式求最值的技巧是一种有效的数学技巧，能够帮助我们解决许多有关最大值和最小值的问题，提高我们解决问题的效率。
三元均值不等式求最值及绝对值不等式
三元均值不等式求最值三元均值不等式：例1、求函数)0(,322>+=x xxy 的最大值例2、求函数)01y x x =<<的最大值。
例3、 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
例4、已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
练习：1、求函数)(,422+∈+=R x x xy 的最小值。
2、0>x 时，求236x x y +=的最小值。
3、求函数)20(,)2(2a x x a x y <<-=的最大值。
4、若10<<x , 求)1(24x xy -=的最大值。
5、若0>>b a ，求证：)(1b a b a -+的最小值。
绝对值不等式例1、证明（1）b a b a +≥+，（2）b a b a -≥+例2、证明b a b a b a +≤-≤-。
例3、证明c b c a b a -+-≤-。
例4、已知2,2c b y c a x <-<-，求证.)()(c b a y x <+-+例5、已知.6,4a y a x <<求证：a y x <-32。
练习：1、已知.2,2c b B c a A <-<-求证：c b a B A <---)()(。
2、已知.6,4c b y c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。
解含绝对值不等式例1、解不等式213+<-x x 。
例2、解不等式x x ->-213。
例3、解不等式52312≥-++x x 。
例4、解不等式512≥-+-x x 。
例5、不等式31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。
练习：1、423+≤-x x. 2、x x -≥+21.3、1422<--x x4、212+>-x x .5、42≥-+x x 6、.631≥++-x x7、21<++x x 8、.24>--x x课后练习1．解下列不等式：（1）2132≤-x （2） 1743<+<x （3）142+<-x x （4）x x x 2122<-2．解不等式：（1）112-<-x x （2）112>-+x x3．解不等式：（1）321>+++x x （2）.0312>+--+x x4．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式34-+-x x <a 有解，a 要满足什么条件？5．已知.3,3,3s c C s b B s a A <-<-<-求证： （1）s c b a C B A <++-++)()(；（2）.)()s c b a C B A <-+--+6．已知.,a y a x <<求证：.a xy <7．已知.0,>><c y ch x 求证：.h yx < 8．求证.111bb a a b a b a +++≤+++ 9．已知.1,1<<b a 求证：.11<++abb a 10．若βα,为任意实数，c 为正数，求证：.)11()1(222βαβαcc +++≤+ （βαβαβα2222++≤+，而2112222βαβαβαc c c c +≤⋅=）。
【NO.124】三元函数不等式最值问题
【NO.124】三元函数不等式最值问题
这种求最值的计算方法非常重要。
两种方法都需要掌握学习。
方法一是典型的齐次化问题，方法二是变更主元。
事实上，很多问题都可以利用变更主元来进行解决多元函数的最值问题。
当然了，几何意义也是我们解决这些问题的重要思考角度。
这个问题很具有代表性。
这样的三次函数也是各大考试的常考点。
这个地方的z的取值范围求法同样是变更主元来进行思考的。
类似的问题同样在历年高考试题中出现过，比如说，2014年辽宁高考试题。
解析过程也是相当的复杂。
你有没有好的方法呢？这个题
目其实有三种方法可以解决。
下面的柯西是一种方法，还有两种方法，但是复杂，计算量庞大。
看到没有，这个地方用到了柯西不等式。
柯西不等式也是我们求最值的重要方法。
柯西不等式的作用是非常大的，很多问题也是都可以利用它来解决。
以前的文章有过具体的分析，可以具体看看
【NO.75】柯西不等式（你要知道哦）
这个题目想当年，粗错率是相当高的。
当然了，将一些问题转化成线性规划问题也是经常的一个思路，这里不再进行赘述。
最后和大家唠嗑几句。
学数学，要有信心。
不要因为难，就去抵触。
这样只会恶性循环。
你要越挫越勇，就像那句话说的那样，数学虐我千百遍，我待数学如初恋。
只有有这样的精神，才能学好数学。
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三元均值不等式求最值
三元均值不等式：
例1、求函数)0(,322>+=x x
x
y 的最大值
例2、求函数)01y x x =<<的最大值。
例3、 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
例4、已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
练习：
1、求函数)(,422+∈+=R x x x
y 的最小值。
2、0>x 时，求236x x y +=
的最小值。
3、求函数)20(,)2(2a x x a x y <<-=
的最大值。
4、若10<<x , 求)1(24x x
y -=的最大值。
5、若0>>b a ，求证：)
(1b a b a -+的最小值。
绝对值不等式
例1、证明（1）
b a b a +≥+，（2）b a b a -≥+
例2、证明
b a b a b a +≤-≤-。
例3、证明
c b c a b a -+-≤-。
例4、已知
2,2c b y c a x <-<-，求证.)()(c b a y x <+-+
例5、已知
.6,4a y a x <<求证：a y x <-32。
练习：
1、已知
.2,2c b B c a A <-<-求证：c b a B A <---)()(。
2、已知
.6
,4c b y c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。
解含绝对值不等式
例1、解不等式213+<-x x 。
例2、解不等式x x ->-213。
例3、解不等式
52312≥-++x x 。
例4、解不等式
512≥-+-x x 。
例5、不等式
31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。
练习：
1、423+≤-x x
. 2、x x -≥+21.
3、1422<--x x
4、212+>-x x .
5、
42≥-+x x 6、.631≥++-x x
7、
21<++x x 8、.24>--x x
课后练习
1．解下列不等式：
（1）2
132≤
-x （2） 1743<+<x （3）142+<-x x （4）x x x 2122<-
2．解不等式：（1）
112-<-x x （2）112>-+x x
3．解不等式：（1）
321>+++x x （2）.0312>+--+x x
4．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式
34-+-x x <a 有解，a 要满足什么条件？
5．已知
.3,3,3s c C s b B s a A <-<-<-求证： （1）
s c b a C B A <++-++)()(；（2）.)()s c b a C B A <-+--+
6．已知
.,a y a x <<求证：.a xy <
7．已知
.0,>><c y ch x 求证：.h y
x < 8．求证.111b
b a a b a b a +++≤+++ 9．已知.1,1<<b a 求证：.11<++ab
b a 10．若βα,为任意实数，
c 为正数，求证：.)11()1(222βαβαc
c +++≤+ （βαβαβα2222++≤+，而2112222βαβαβαc c c c +≤⋅=）。