1-1实数

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0到1之间的实数和自然数

0到1之间的实数和自然数

0到1之间的实数和自然数在数学中,实数和自然数是两个基本的概念。

实数是指包括整数、分数和无理数在内的所有数,其范围从负无穷到正无穷。

而自然数则是从1开始的正整数。

实数是数学中最基本的概念之一,它包括了我们日常生活中所使用的所有数。

从0到1的实数范围是一个无限大的区间,其中包括无数个数字。

每个实数都可以用一个无限不循环的小数表示,例如0.5、0.25等。

实数的性质非常丰富,它们可以进行加、减、乘、除等各种运算。

实数还可以用于衡量物体的大小、时间的流逝以及各种数学模型的建立等。

而自然数是最简单的数集,它由1、2、3、4、5等无限个数构成。

自然数最早出现在人类社会的早期,最初是用来计算物品的数量。

随着人类文明的发展,自然数的概念也逐渐扩展,包括了加法、乘法、除法等运算。

自然数的性质也非常有趣,例如两个自然数相加得到的结果还是自然数,两个自然数相乘得到的结果也是自然数。

实数和自然数在数学中有着重要的地位。

它们是数学研究的基础,也是其他数学概念的基础。

在实数和自然数之间,存在着一些有趣的关系。

首先,自然数是实数的一个子集,即自然数是实数的一部分。

其次,实数可以用自然数来表示,例如1可以表示为1/1,2可以表示为2/1,3可以表示为3/1等。

这种表示方法称为分数表示,它可以将实数转化为自然数的形式。

实数和自然数在数学应用中也有着广泛的应用。

在几何学中,实数可以用来表示点的坐标、线段的长度等。

在物理学中,实数可以用来表示物体的质量、速度、时间等。

在经济学中,实数可以用来表示货币的价值、股票的价格等。

实数和自然数的应用领域非常广泛,几乎涉及到了我们生活的方方面面。

实数和自然数是数学中非常重要的概念。

实数是包括0到1之间的所有数的集合,而自然数则是从1开始的正整数集合。

实数和自然数在数学研究和实际应用中都有着重要的地位,它们是其他数学概念的基础。

无论是在几何学、物理学还是经济学等领域,实数和自然数都得到了广泛的应用。

实数(一)教案

实数(一)教案

第二章实数6.实数(一)一、学生起点分析实数是在有理数和勾股定理等知识基础上进行的第二次数系扩张,在教学中注意运用类比方法,使学生明确新旧知识之间的联系,如实数的相反数、倒数、绝对值等概念可完全类比有理数建立,并通过例题和习题来巩固,适当加深对它们的认识。

二、教学任务分析●教材地位及作用在本节之前学生已学习了平方根、立方根,认识了无理数,了解了无理数是客观存在的,从而将有理数扩充到实数范围,使学生对数认识进一步深入。

中学阶段有关数的问题多是在实数范围内进行讨论的,同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的基础。

三、教学目标分析教学目标●知识与技能目标1.了解实数的意义,能对实数按要求进行分类;2.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。

3.了解实数和数轴上的点一一对应,能根据实数在数轴上的位置比较大小。

●过程与方法目标1.通过对实数分类的探究,增强学生的分类意识;2.在利用数轴上的点来表示实数的过程中,将数和图形结合在一起,让学生进一步体会数形结合的思想。

●情感与态度目标1.通过对实数进行分类的练习、进一步领会分类的思想方法;2.在探究利用数轴上的点表示实数的过程中,训练学生多角度思维,培养和发展学生的合作意识。

教学重点2.在实数范围求相反数、倒数和绝对值;3.明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。

教学难点建立实数概念及分类四、教法学法1.教学方法:自主探究—交流—发现2.课前准备:多媒体课件、投影仪、电脑五、教学过程:本节课设计了八个教学环节:第一环节:复习引入新课;第二环节:实数概念;第三环节:实数分类;第四环节:实数相关概念;第五环节:探究——实数与数轴上点之间的对应关系;第六环节:课堂练习;第七环节:课堂小节;第八环节:作业布置。

内容:问题:(1)什么是有理数?有理数怎样分类?(2)什么是无理数?带根号的数都是无理数吗?意图:回顾以前学习过的内容,为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备。

中考数学复习1--实数

中考数学复习1--实数

A.区域1
B.区域2
C.区域3
D.区域4
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中考典例精析
5、实数的运算
目录
9.(2013吉林1题)计算 -2+1 的结果是( B )
A. 1 B. -1 C. 3
D.-3
10.(2015吉林1题)若等式0
符号为( B )
A. +
B. -
C. ×
1 = -1成立,则 内的运算 D.÷
A
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2.数轴
2.(2011吉林)如图,数轴上的A向左移动2个单位长度得到点B, 则点B表示的数是 __-_1____
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考点知识精讲
目录
考点一 实数的分类
1.按定义分类
实数有理数整分数数正负负正零分分整整数数数数有限自限循然小环数数小或数无
正无理数
无理数负无理数无限不循环小数
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=1-n+1 1
=n+n 1)
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A.3 B.-3 C.9 D.-9
答案:A
6.已知a=-a,则数a等于( )
A.0 B.-1 C.1 D.不确定
答案:A
7.如图,数轴上的点A所表示的数是实数a,则点A到原点O的距离
是( )
A.a B.-a C.±a D.-|a|
答案:B
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考点训一练、选择题(每小题考3分,点共60分训) 练
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举一反三
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方法总结: (1)熟练掌握实数的基本概念是解题的关键; (2)对实数进行分类,不能只看表面形式,能化简的应先 化简,根据结果去判断.

第1课时 实数的有关概念

第1课时 实数的有关概念

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类型之二 相反数、倒数和绝对值
(1)[2019·遂宁]-|- 2的值为( B )
A. 2
B.- 2
C.± 2
D.2
(2)[2019·滨州]下列各数中,负数是( B )
A.-(-2)
B.-|-2
C.(-2)2
D.(-2)0
【解析】 ∵-(-2)=2,-|-2=-2,(-2)2=4,(-2)0=1,∴负数是-|-2.
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2.数轴 定义:规定了 原点 、 正方向 和 单位长度 的直线叫做数轴. 大小比较:(1)在数轴上表示的两个数, 右边 的数总比 左边 的数大; (2)正数大于 0;负数 小于 0;正数 大于 一切负数;两个负数比较大小,绝对 值大的反而 小 .
注意:实数与数轴上的点一一对应.
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2.[2019·泰安]在实数|-3.14|,-3,- 3,π中,最小的数是( B )
类型之三 实数的大小比较 [2019·嘉兴]数轴上有两个实数a,b,且a>0,b<0,a+b<0,则四个数a,
b,-a,-b的大小关系为 b<-a<a<-b (用“<”号连接).
【解析】 ∵a>0,b<0,故有a>b,又∵a+b<0,说明a的绝对值小于b的绝对值, 故可得到b<-a<a<-b.
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A.-5
B.-1
C.0
D.1
【解析】 -5<-3<-1<0<1,∴比-3小的数是-5.故选A.
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4.[2019·邵阳]下列各数中,属于无理数的是( C )

第1课 实数

第1课 实数
等;第三类是人为构造的数,如 0.1010010001…(两个“1”之间依次 多一个“0”).
特别关注
1.区分有理数与无理数,不能只看形式,要看化简的结果.有限小数 和无限循环小数都是有理数,只有无限不循环小数才是无理数. 2.-a 不一定是负数,应根据 a 本身的数值进行综合判断.
3 3 【典例 1】 (2015· 内蒙古通辽)在实数 tan 45° , 8, 0, - π, 9, 5 1 - ,sin 60° ,0.3131131113…(两个“3”之间依次多一个“1”)中, 3
用科学记数法表示的数 a× 10n 中,要求 1≤ a<10,且 n 为
整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少 位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值 ≥1 时,n 是自然数;当原数的绝对值<1 时,n 是负整数.
特别关注 对于用科学记数法表示的数 a× 10n, 在判断其精确到
是解题的关键. 【解析】 根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为
a× 10n, 其中 1≤|a|<10, n 为整数. ∴11.4 万=114000=1.14× 105.
【答案】 C
考点四
平方根、算术平方根、立方根、无理数的估算
考点清单
1.平方根:如果一个数 x 的平方等于 a,那么 x 叫作 a 的平 方根,记作± a.
无理数的个数是 A.4
【点评】
( C.2 D.1
)
B. 3
本题主要考查无理数的定义,弄清有理数与无理数的
区别是解题的关键.
3 【解析】 所给实数中, - π, sin 60° , 0. 3131131113…(两个“3” 5 之间依次多一个“1”)这 3 个数是无理数.

初一-实数复习(1)(教师版)

初一-实数复习(1)(教师版)

… … 有理数集合 无理数集合 OACB 题型2:实数的分类【例2-4】实数可分为正实数,零和__负实数__.正实数又可分为_正有理数_和_正无理数__,负实数又可分为_负有理数_和_负无理数__. 【例2-5】下列说法正确的是( D )A.实数包括有理数、无理数和零B.有理数包括正有理数和负有理数C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D.无论是有理数还是无理数都是实数【例2-6】 把下列各数分别填在相应的集合里:,722 1415926.3,7,8-,32,6.0,0,36,3π,⋅⋅⋅313113111.0。

举一反三 把下列各数填在相应的表示集合的大括号内.-6,π,-23,-|-3|,227,-0.4,1.6,6,0,1.101 001 000 1… 整数:{ -6,-|-3|,0 ,…}, 负分数:{ -23,-0.4 ,…}, 无理数:{ π,6,1.101 001 000 1… ,…}.知识点三:实数与数轴实数与数轴数轴定义: 规定了原点,正方向和单位长度的直线叫做数轴,数轴的三要素缺一不可。

实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点,靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0,负数都小于0,两个正数,绝对值较大的那个正数大;两个负数;绝对值大的反而小。

【例3-1】把无理数5在数轴上表示出来。

分析:类比2的表示方法,我们需要构造出长度为5的线段,从而以它为半径画弧,与数轴正半轴的交点就表示5。

解:如图所示,,1,2==AB OA 由勾股定理可知:5=OB ,以原点O 为圆心,以OB 长度为半径画弧,与数轴的正半轴交于点C ,则点C 就表示5。

【例3-2】下列结论正确的是( D ) A.数轴上任一点都表示唯一的有理数 B.数轴上任一点都表示唯一的无理数 C.两个无理数之和一定是无理数D.数轴上任意两点之间还有无数个点【例3-3】比较下列各组实数的大小:(1)4,15 (2)π,1416.3 (3)23,23-- (4)33,22举一反三 若将三个数-3,7,17表示在数轴上,其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是_____7_____.举一反三 如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点O ′,点O ′所对应的数值是____π______.三、课堂练习一、选择题1.下列说法错误的是( )A .实数都可以表示在数轴上B .数轴上的点不全是有理数C .坐标系中的点的坐标都是实数对D .是近似值,无法在数轴上表示准确22.下列说法正确的是( )A .无理数都是无限不循环小数B .无限小数都是无理数C .有理数都是有限小数D .带根号的数都是无理数 3.如果一个数的立方根等于它本身,那么这个数是( )A .±1B .0和1C .0和-1D .0和±14.估计的大小应在( )A .7~8之间B .8.0~8.5之间C .8.5~9.0之间D .9~10之间5.-27的立方根与的算术平方根的和是( )A .0B .6C .6或-12D .0或66.实数和的大小关系是( )A .B .C .D .7.一个正方体水晶砖,体积为100cm 3,它的棱长大约在( )A .4~5cm 之间B .5~6cm 之间C .6~7cm 之间D .7~8cm 之间8.如图,在数轴上表示实数的点可能是( )A .P 点B .Q 点C .M 点D .N 点二、填空题9.__无限不循环小数____叫无理数,__有理数和无理数___统称实数. 10.___实数___与数轴上的点一一对应. 11.把下列各数填入相应的集合:-1、、π、-3.14、、、、. (1)有理数集合{ -1、-3.14、 、 };(2)无理数集合{、π、、 }; 768176.2、227226.2<<226.27<<2276.2<<76.222<<153926-22-7.0&97.0&326-22-②对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。

实数的概念及运算1

实数的概念及运算1

探究提高: 探究提高:实数运算要严格按照法则进 行,对于实数混合,注意符号和顺序是 对于实数混合, 非常重要的. 非常重要的.
知能迁移:计算: 知能迁移 计算: 计算 (1)|-2|-(1+ (1)|-2|-(1+
2 )0 +
4 ;
(2)(- (3-5)- (2)(-2)2-(3-5)-
3). 4 +2×(-3).
实数的概念及运算1 实数的概念及运算1
药惠中学 数学组
基础知识, 基础知识,自主学习
1.实数的分类 1.实数的分类 按实数的定义分类: 按实数的定义分类:
正整数 自然数 整数 零 有理数 负整数 实数 分数 正分数 有限小数或无限循环小数 负分数 正无理数 无理数负无理数无限不循环小数
基础自测
1.(2010·东阳) 3 是 .(2010·东阳) ( B ) 7 A.无理数 B.有理数 A.无理数 B.有理数 C.整数 D.负数 C.整数 D.负数 3 解析: 是分数;分数和整数统称有理数. 解析: 是分数;分数和整数统称有理数. 7
2.(2010·台州)-4的绝对值是 .(2010·台州) A.4 B.-4 .-4 C. 1
2
解析:(1)负整数既是负数,又是整数,这里只有- 符合. 解析:(1)负整数既是负数,又是整数,这里只有-2符合. :(1)负整数既是负数 (2)解析:无理数是无限不循环小数. (2)解析:无理数是无限不循环小数. 解析 不循环小数. 不循环小数. 开不尽方, 开不尽方,是无限
2
题型二 科学记数法与近似值有效数字 例2.(1)2008年9月27日,神舟七号航天员翟志刚完成中 2.(1)2008年 27日 国历史上第一次太空行走,他相对地球行走了5100000 国历史上第一次太空行走,他相对地球行走了5100000 米路程,用科学记数法表示为 米路程, A.51×105米 51× C.5.1×106米 5.1× A.90200 C.3.4×104 3.4× B.5.1×105米 5.1× D.0.51×107米 0.51× ( C ) B.3.450×102 3.450× D.3.4×102 3.4× ( C )

6.3.1实数的概念-人教版七年级数学下册教案

6.3.1实数的概念-人教版七年级数学下册教案
2.在举例说明时,尽量选择与学生们生活密切相关的例子,提高他们对实数学习的兴趣。
3.加强对讨论环节的引导,确保学生们围绕主题展开讨论,提高讨论效果。
4.关注沉默的学生,鼓励他们积极参与讨论,提高他们的自信心。
5.在教学过程中,注意观察学生的反应,及时调整教学方法,以提高教学效果。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“实数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
6.3.1实数的概念-人教版七年级数学下册教案
一、教学内容
本节课选自人教版七年级数学下册第六章第三节,标题为“6.3.1实数的概念”。教学内容主要包括以下三个方面:
1.实数的定义:介绍实数的概念,让学生了解实数是包含有理数和无理数的全体数,是数轴上的所有点对应的数。
2.实数的分类:将有理数和无理数进行分类,并举例说明。有理数包括整数、分数等,无理数如π、√2等。
-实数的精确表示:学生在表示无理数时可能会遇到困难,如何用有限的小数或分数精确表示无理数。
-实数运算的规则:尤其是无理数参与运算时,如何进行合理化简和计算。
-实数在数轴上的定位:在数轴上准确地找到无理数的位置,以及理解无理数与有理数之间的关系。
举例解释:
-对于无理数的理解,可通过π的近似值3.14的由来,说明π是无限不循环的小数,从而引出无理数的概念。
3.增强学生的空间观念:结合数轴,让学生在实际操作中感受实数与数轴的关系,提高空间想象力和直观感知能力。

【一轮复习】2023年中考数真题分点透练-1 实数(含二次根式)

【一轮复习】2023年中考数真题分点透练-1 实数(含二次根式)

第一讲实数(含二次根式)【命题1 实数的分类级正负数意义】1.(2022•巴中)下列各数是负数的是()A.(﹣1)2B.|﹣3|C.﹣(﹣5)D.2.(2022•河池)如果将“收入50元”记作“+50元”,那么“支出20元”记作()A.+20元B.﹣20元C.+30元D.﹣30元3.(2022•日照)在实数,x0(x≠0),cos30°,中,有理数的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个4.(2022•金华)在﹣2,,,2中,是无理数的是()A.﹣2B.C.D.25.(2022•益阳)四个实数﹣,1,2,中,比0小的数是()A.﹣B.1C.2D.【命题点2 相反数、倒数、绝对值】6.(2022•黔西南州)﹣3的绝对值是()A.±3B.3C.﹣3D.7.(2022•盘锦)﹣6的倒数是()A.B.﹣0.6C.D.68.(2022•聊城)实数a的绝对值是,a的值是()A.B.﹣C.±D.±9.(2022•福建)﹣11的相反数是()A.﹣11B.C.D.11【命题点3 数轴】10.(2021•凉山州)下列数轴表示正确的是()A.B.C.D.11.(2021•怀化)数轴上表示数5的点和原点的距离是()A.B.5C.﹣5D.﹣12.(2021•滨州)在数轴上,点A表示﹣2.若从点A出发,沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B,则点B表示的数是()13.(2021•广州)如图,在数轴上,点A、B分别表示a、b,且a+b=0,若AB=6,则点A表示的数为()A.﹣3B.0C.3D.﹣6 14.(2022•台湾)如图数轴上的A、B、C、D四点所表示的数分别为a、b、c、d,且O为原点.根据图中各点的位置判断,下列何者的值最小?()A.|a|B.|b|C.|c|D.|d| 15.(2021•安顺)如图,已知数轴上A,B两点表示的数分别是a,b,则计算|b|﹣|a|正确的是()A.b﹣a B.a﹣b C.a+b D.﹣a﹣b【命题点4 科学计数法】16.(2022•淮安)2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出,今年城镇新增就业目标为11000000人以上.数据11000000用科学记数法表示应为()A.0.11×108B.1.1×107C.11×106D.1.1×106 17.(2022•贵港)据报道:芯片被誉为现代工业的掌上明珠,芯片制造的核心是光刻技术,我国的光刻技术水平已突破到28nm.已知1nm=10﹣9m,则28nm用科学记数法表示是()A.28×10﹣9m B.2.8×10﹣9m C.2.8×10﹣8m D.2.8×10﹣10m 18.(2021•荆门)“绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召,大力推进农村厕所革命,已经累计投资1.012×108元资金.数据1.012×108可表示为()A.10.12亿B.1.012亿C.101.2亿D.1012亿19.(2021•潍坊)第七次全国人口普查数据显示,山东省常住人口约为10152.7万人,将101527000用科学记数法(精确到十万位)表示为()A.1.02×108B.0.102×109C.1.015×108D.0.1015×109【命题点5 实数的大小比较】20.(2022•营口)在,0,﹣1,2这四个实数中,最大的数是()A.0B.﹣1C.2D.21.(2022•吉林)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,则a,b的大小关系为()A.a>b B.a<b C.a=b D.无法确定22.(2022•临沂)比较大小:(填“>”,“<”或“=”).【命题点6 平方根、算术平方根、立方根】23.(2022•攀枝花)2的平方根是()A.2B.±2C.D.24.(2021•济南)9的算术平方根是()25.(2021•通辽)的平方根是()A.±4B.4C.±2D.+2 26.(2022•常州)化简:=.27.(2021•南充)如果x2=4,则x=.28.(2018•广东)一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5,则x=.【命题点7 二次根式及其运算】【类型一二次根式的有关概念及性质】29.(2022•湘西州)要使二次根式有意义,则x的取值范围是()A.x>2B.x<2C.x≤2D.x≥2 30.(2022•广州)代数式有意义时,x应满足的条件为()A.x≠﹣1B.x>﹣1C.x<﹣1D.x≤﹣1 31.(2022•雅安)使有意义的x的取值范围在数轴上表示为()A.B.C.D.32.(2021•桂林)下列根式中,是最简二次根式的是()A.B.C.D.33.(2021•泰州)下列各组二次根式中,化简后是同类二次根式的是()A.与B.与C.与D.与【类型二二次根式的运算】34.(2022•凉山州)化简:=()A.±2B.﹣2C.4D.2 35.(2022•南岸区自主招生)计算+结果正确的是()A.B.3C.3D.536.(2022•青岛)计算(﹣)×的结果是()A.B.1C.D.3 37.(2022•瓯海区校级自主招生)已知点P(x,y)在函数y=的图象上,那么点P应在平面直角坐标系中的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限38.(2022•内蒙古)实数a在数轴上的对应位置如图所示,则+1+|a﹣1|的化简结果是()A.1B.2C.2a D.1﹣2a 39.(2022•衢州)计算()2=.40.(2022•山西)计算:×的结果为.41.(2022•南充)若为整数,x为正整数,则x的值是.42.(2022•荆州)若3﹣的整数部分为a,小数部分为b,则代数式(2+a)•b的值是.43.(2022•天津)计算(+1)(﹣1)的结果等于.44.(2022•遂宁)实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简|a+1|﹣+=.45.(2022•内蒙古)已知x,y是实数,且满足y=++,则的值是.【类型三二次根式的估值】46.(2022•台州)无理数的大小在()A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间47.(2022•重庆)估计×(2+)的值应在()A.10和11之间B.9和10之间C.8和9之间D.7和8之间48.(2022•北碚区自主招生)估计×﹣1的值应在()A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间【命题点8 实数的运算】【类型一有理数的运算】49.(2022•广西)计算:(﹣1+2)×3+22÷(﹣4).50.(2022•杭州)计算:(﹣6)×(﹣■)﹣23.圆圆在做作业时,发现题中有一个数字被墨水污染了.(1)如果被污染的数字是,请计算(﹣6)×(﹣)﹣23.(2)如果计算结果等于6,求被污染的数字.【类型二实数的运算】51.(2022•甘肃)计算:×﹣.52.(2022•河池)计算:|﹣2|﹣3﹣1﹣×+(π﹣5)0.53.(2022•济宁)已知a=2+,b=2﹣,求代数式a2b+ab2的值.答案与解析【命题1 实数的分类级正负数意义】1.(2022•巴中)下列各数是负数的是()A.(﹣1)2B.|﹣3|C.﹣(﹣5)D.【答案】D【解答】解:(﹣1)2=1,是正数,故A选项不符合题意;|﹣3|=3,是正数,故B选项不符合题意;﹣(﹣5)=5,是正数,故C选项不符合题意;,是负数,故D选项符合题意.故选:D.2.(2022•河池)如果将“收入50元”记作“+50元”,那么“支出20元”记作()A.+20元B.﹣20元C.+30元D.﹣30元【答案】B【解答】解:∵收入50元,记作“+50元”.且收入跟支出意义互为相反.∴支出20元,记作“﹣20元”.故选:B.3.(2022•日照)在实数,x0(x≠0),cos30°,中,有理数的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解答】解:在实数,x0(x≠0)=1,cos30°=,=2中,有理数是,x0(x≠0),所以,有理数的个数是2,故选:B.4.(2022•金华)在﹣2,,,2中,是无理数的是()A.﹣2B.C.D.2【答案】C【解答】解:﹣2,,2是有理数,是无理数,故选:C.5.(2022•益阳)四个实数﹣,1,2,中,比0小的数是()A.﹣B.1C.2D.【答案】A【解答】解:根据负数都小于零可得,﹣<0.故选:A.【命题点2 相反数、倒数、绝对值】6.(2022•黔西南州)﹣3的绝对值是()A.±3B.3C.﹣3D.【答案】B【解答】解:﹣3的绝对值:|﹣3|=3,故选:B.7.(2022•盘锦)﹣6的倒数是()A.B.﹣0.6C.D.6【答案】A【解答】解:﹣6的倒数是1÷(﹣6)=.故选:A.8.(2022•聊城)实数a的绝对值是,a的值是()A.B.﹣C.±D.±【答案】D【解答】解:∵|a|=,∴a=±.故选:D.9.(2022•福建)﹣11的相反数是()A.﹣11B.C.D.11【答案】D【解答】解:﹣(﹣11)=11.故选:D【命题点3 数轴】10.(2021•凉山州)下列数轴表示正确的是()A.B.C.D.【答案】D【解答】解:A选项,应该正数在右边,负数在左边,故该选项错误;B选项,负数的大小顺序不对,故该选项错误;C选项,没有原点,故该选项错误;D选项,有原点,正方向,单位长度,故该选项正确;故选:D.11.(2021•怀化)数轴上表示数5的点和原点的距离是()A.B.5C.﹣5D.﹣【答案】B【解答】解:数轴上表示数5的点和原点的距离是5;故选:B.12.(2021•滨州)在数轴上,点A表示﹣2.若从点A出发,沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B,则点B表示的数是()A.﹣6B.﹣4C.2D.4【答案】C【解答】解:由题意可得,点B表示的数为﹣2+4=2,故选:C.13.(2021•广州)如图,在数轴上,点A、B分别表示a、b,且a+b=0,若AB=6,则点A表示的数为()A.﹣3B.0C.3D.﹣6【答案】A【解答】解:∵a+b=0,∴a=﹣b,即a与b互为相反数.又∵AB=6,∴b﹣a=6.∴2b=6.∴b=3.∴a=﹣3,即点A表示的数为﹣3.故选:A14.(2022•台湾)如图数轴上的A、B、C、D四点所表示的数分别为a、b、c、d,且O为原点.根据图中各点的位置判断,下列何者的值最小?()A.|a|B.|b|C.|c|D.|d|【答案】A【解答】解:∵a表示的点A到原点的距离最近,∴|a|最小,故选:A.15.(2021•安顺)如图,已知数轴上A,B两点表示的数分别是a,b,则计算|b|﹣|a|正确的是()A.b﹣a B.a﹣b C.a+b D.﹣a﹣b【答案】C【解答】解:由图可知,a<0,b>0,∴|a|=﹣a,|b|=b,∴|b|﹣|a|=b+a,故选:C.【命题点4 科学计数法】16.(2022•淮安)2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出,今年城镇新增就业目标为11000000人以上.数据11000000用科学记数法表示应为()A.0.11×108B.1.1×107C.11×106D.1.1×106【答案】B【解答】解:11000000=1.1×107.故选:B.17.(2022•贵港)据报道:芯片被誉为现代工业的掌上明珠,芯片制造的核心是光刻技术,我国的光刻技术水平已突破到28nm.已知1nm=10﹣9m,则28nm用科学记数法表示是()A.28×10﹣9m B.2.8×10﹣9m C.2.8×10﹣8m D.2.8×10﹣10m【答案】C【解答】解:因为1nm=10﹣9m,所以28nm=28×10﹣9m=2.8×10﹣8m.故选:C.18.(2021•荆门)“绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召,大力推进农村厕所革命,已经累计投资1.012×108元资金.数据1.012×108可表示为()A.10.12亿B.1.012亿C.101.2亿D.1012亿【答案】B【解答】解:数据1.012×108可表示为:1.012×108=101200000=1.012亿,故选:B.19.(2021•潍坊)第七次全国人口普查数据显示,山东省常住人口约为10152.7万人,将101527000用科学记数法(精确到十万位)表示为()A.1.02×108B.0.102×109C.1.015×108D.0.1015×109【答案】C【解答】解:101 527 000=1.01527×108≈1.015×108.故选:C.【命题点5 实数的大小比较】20.(2022•营口)在,0,﹣1,2这四个实数中,最大的数是()A.0B.﹣1C.2D.【答案】C【解答】解:∵﹣1<0<<2,∴最大的数是2;故选:C.21.(2022•吉林)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,则a,b的大小关系为()A.a>b B.a<b C.a=b D.无法确定【答案】B【解答】解:∵b>0,a<0,∴a<b,故选:B.22.(2022•临沂)比较大小:(填“>”,“<”或“=”).【答案】<【解答】解:∵()2=,()2=,<,∴<,故答案为:<.【命题点6 平方根、算术平方根、立方根】23.(2022•攀枝花)2的平方根是()A.2B.±2C.D.【答案】D【解答】解:因为(±)2=2,所以2的平方根是,故选:D.24.(2021•济南)9的算术平方根是()A.3B.﹣3C.±3D.【答案】A【解答】解:∵32=9,∴9的算术平方根是3.故选:A.25.(2021•通辽)的平方根是()A.±4B.4C.±2D.+2【答案】C【解答】解:=4,±=±2,故选:C.26.(2022•常州)化简:=.【答案】2【解答】解:∵23=8∴=2.故填2.27.(2021•南充)如果x2=4,则x=.【答案】±2【解答】解:x2=4,开平方得x=±2;故答案为:±2.28.(2018•广东)一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5,则x=.【答案】2【解答】解:根据题意知x+1+x﹣5=0,解得:x=2,故答案为:2【命题点7 二次根式及其运算】【类型一二次根式的有关概念及性质】29.(2022•湘西州)要使二次根式有意义,则x的取值范围是()A.x>2B.x<2C.x≤2D.x≥2【答案】D【解答】解:∵3x﹣6≥0,∴x≥2,故选:D.30.(2022•广州)代数式有意义时,x应满足的条件为()A.x≠﹣1B.x>﹣1C.x<﹣1D.x≤﹣1【答案】B【解答】解:代数式有意义时,x+1>0,解得:x>﹣1.故选:B.31.(2022•雅安)使有意义的x的取值范围在数轴上表示为()A.B.C.D.【答案】B【解答】解:∵有意义,∴x﹣2≥0,∴x≥2,故选:B.32.(2021•桂林)下列根式中,是最简二次根式的是()A.B.C.D.【答案】D【解答】解:A.,不是最简二次根式;B.,不是最简二次根式;C.,不是最简二次根式;D.,是最简二次根式.故选:D.33.(2021•泰州)下列各组二次根式中,化简后是同类二次根式的是()A.与B.与C.与D.与【答案】D【解答】解:A、=2和不是同类二次根式,本选项不合题意;B、=2与不是同类二次根式,本选项不合题意;C、与不是同类二次根式,本选项不合题意;D、=5,=3是同类二次根式,本选项符合题意.故选:D.【类型二二次根式的运算】34.(2022•凉山州)化简:=()A.±2B.﹣2C.4D.2【答案】D【解答】解:==2,故选:D.35.(2022•南岸区自主招生)计算+结果正确的是()A.B.3C.3D.5【答案】C【解答】解:+=.故选:C.36.(2022•青岛)计算(﹣)×的结果是()A.B.1C.D.3【答案】B【解答】解:(﹣)×=﹣=﹣=3﹣2=1,故选:B37.(2022•瓯海区校级自主招生)已知点P(x,y)在函数y=的图象上,那么点P应在平面直角坐标系中的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解答】解:∵,∴x<0;又∵x<0,∴,即y>0∴P应在平面直角坐标系中的第二象限.故选:B.38.(2022•内蒙古)实数a在数轴上的对应位置如图所示,则+1+|a﹣1|的化简结果是()A.1B.2C.2a D.1﹣2a【答案】B【解答】解:根据数轴得:0<a<1,∴a>0,a﹣1<0,∴原式=|a|+1+1﹣a=a+1+1﹣a=2.故选:B.39.(2022•衢州)计算()2=.【答案】2【解答】解:原式=2.故答案是2.40.(2022•山西)计算:×的结果为.【答案】3【解答】解:原式==3.故答案为:3.41.(2022•南充)若为整数,x为正整数,则x的值是.【解答】解:∵8﹣x≥0,x为正整数,∴1≤x≤8且x为正整数,∵为整数,∴=0或1或2,当=0时,x=8,当=1时,x=7,当=2时,x=4,综上,x的值是4或7或8,故答案为:4或7或8.【答案】4或7或842.(2022•荆州)若3﹣的整数部分为a,小数部分为b,则代数式(2+a)•b的值是.【答案】2【解答】解:∵1<<2,∴1<3﹣<2,∵若3﹣的整数部分为a,小数部分为b,∴a=1,b=3﹣﹣1=2﹣,∴(2+a)•b=(2+)(2﹣)=2,故答案为:2.43.(2022•天津)计算(+1)(﹣1)的结果等于.【答案】18【解答】解:原式=()2﹣12=19﹣1=18,故答案为:18.44.(2022•遂宁)实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简|a+1|﹣+=.【答案】2【解答】解:由数轴可得,﹣1<a<0,1<b<2,∴a+1>0,b﹣1>0,a﹣b<0,∴|a+1|﹣+=a+1﹣(b﹣1)+(b﹣a)=a+1﹣b+1+b﹣a=2,故答案为:2.45.(2022•内蒙古)已知x,y是实数,且满足y=++,则的值是.【答案】【解答】解:∵y=++,∴x﹣2≥0,2﹣x≥0,∴x=2,y=,则原式=×==,故答案为:【类型三二次根式的估值】46.(2022•台州)无理数的大小在()A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间【答案】B【解答】解:∵4<6<9,∴2<<3.故选:B47.(2022•重庆)估计×(2+)的值应在()A.10和11之间B.9和10之间C.8和9之间D.7和8之间【答案】B【解答】解:原式=+=6+,∵9<15<16,∴3<<4,∴9<6+<10.故选:B.48.(2022•北碚区自主招生)估计×﹣1的值应在()A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间【答案】C【解答】解:×﹣1=﹣1,∵5<<6,∴4<﹣1<5,∴×﹣1的值应在4和5之间.故选:C.【命题点8 实数的运算】【类型一有理数的运算】49.(2022•广西)计算:(﹣1+2)×3+22÷(﹣4).【解答】解:原式=1×3+4÷(﹣4)=3﹣1=2.50.(2022•杭州)计算:(﹣6)×(﹣■)﹣23.圆圆在做作业时,发现题中有一个数字被墨水污染了.(1)如果被污染的数字是,请计算(﹣6)×(﹣)﹣23.(2)如果计算结果等于6,求被污染的数字.【解答】解:(1)(﹣6)×(﹣)﹣23=(﹣6)×﹣8=﹣1﹣8=﹣9;(2)设被污染的数字为x,根据题意得:(﹣6)×(﹣x)﹣23=6,解得:x=3,答:被污染的数字是3.【类型二实数的运算】51.(2022•甘肃)计算:×﹣.【解答】解:原式=﹣2=﹣.52.(2022•河池)计算:|﹣2|﹣3﹣1﹣×+(π﹣5)0.【解答】解:原式=2﹣﹣2+1=.53.(2022•济宁)已知a=2+,b=2﹣,求代数式a2b+ab2的值.【解答】解:∵a=2+,b=2﹣,∴a2b+ab2=ab(a+b)=(2+)(2﹣)(2++2﹣)=(4﹣5)×4=﹣1×4=﹣4.。

1实数

1实数
整数集合:{ 分数集合:{ 有理数集合: 无理数集合:{
3
3-1;3.14;22/7;sin30°;|-3.2|;-0.32· 1· };
3-1;3-27;3.14;22/7;sin30°;tan45°-3;-0.32· ;|-3.2| 1· ;
27 ;tan45°-3 };
;-π;0.100110001…
例 8 三个大圈里各有三个小圈,大圈和小圈里的数字有一 定规律:

1 4



05

4 -5

根据你的发现,说出下图中a、b表示的数.
2 a



7 -32
a=3
b b=9
1.关于数式规律性问题的一般解题思路:
(1)先对给出的特殊数式进行观察、比较; (2)根据观察猜想、归纳出一般规律; (3)用得到的规律去解决其他问题. 2.对数式进行观察的角度及方法: (1)横向观察:看等号左右两边什么不变,什么在变, 以及变化的数字或式子间的关系; (2)纵向观察:将连续的几个式子上下对齐,观察上 下对应位置的式子什么关系,不变,什么在变,以 及变化的数字或式子间的关系
基本概念
6.绝对值
正数的绝对值是它的本身;负数的绝对 值是它的相反数;零的绝对值是零.即实 数的绝对值是非负数. a ( a 0) a 0( a 0) a ( a 0)
几何意义:
表示这个实数的点离开原点的距离.
基本概念
7.倒数: ⑴倒数:1除以一个不等于零的数的商叫做这个 数的倒数.
a 12a 36 b 8 (c 10) 0
试判定△ABC的形状.
直角三角形
17.一跳蚤在一直线上从O点开始,第1次向右跳1

1-1实数 (1)

1-1实数 (1)
2、有理数可以比大小吗? 3、有理数分布在哪里? 4、有理数对哪些运算封闭? 5、有理数是否能够充满整个实轴?
可以证明: 1、 有理数有无穷多个;
2、有理数是全序集;
3、有理数在数轴上是处处稠密的;
4、有理数集合可以形成域;
5、有理数不能充满整个实轴。
下面我们考察:
无理数集
试图回答以下问题:
1、 无理数存在吗?有多少?
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 .
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值 时,对应的函数值总 是只有一个,这种函 W y 数叫做单值函数,否 则叫与多值函数.
( x, y)
x
例如,x y a .
2 2 2
o
x
D
定义: 点集C {( x , y) y f ( x ), x D} 称为
y sec x
余割函数
y csc x
y csc x
5、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
f ( x)
-x
f ( x )
o 奇函数
x
x
4.函数的周期性:
设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在一个不为零的 数l , 使得对于任一 x D, ( x l ) D.且 f ( x l ) f ( x )
恒成立. 则称f ( x )为周 期函数, l称为f ( x )的周期.
2、无理数可以比大小吗? 3、无理数分布在哪里? 4、无理数对哪些运算封闭? 5、无理数是否能够充满整个实轴?

1实数的概念(教师)

1实数的概念(教师)

实数的概念课时目标1. 理解无理数以及实数的概念,并会按要求对实数进行分类;2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质,会表示任意非负数的平方根;3. 理解开平方运算的概念,以及开平方运算与平方运算的关系.知识精要1. 无理数的定义无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义:有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 4. 平方根的定义如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根(或二次方根),即2x a =,那么x 就叫做a 的平方根.5. 平方根的性质与表示(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,就是0本身;负数没有平方根.(2)正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示,其中a 表示a 的正平方根,叫做a 的正平方根,也叫做a 的算术平方根;a -表示a 的负平方根.6. 开平方的定义:求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方.7. 平方与开平方的关系:平方与开平方互为逆运算关系.8. 常见的无理数有三种类型: 第一类:π型:如π,π+2,…; 第二类:根号型:如3,12,24,…; 第三类:小数型:如0.1010010001…. 9. 立方根的定义如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根,也叫做三次方根,记做3a ,读作“三次根号a ”,其中a 叫做被开方数,3叫做根指数. 10. 开立方的定义:求一个数的立方根的运算,叫做开立方. 11. 立方根的性质:任何实数都有唯一确定的立方根. (1)正数的立方根是一个正数; (2)负数的立方根是一个负数; (3)0的立方根是0.12. 开立方与立方的关系:开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数)等于a ,那么这个数叫做a 的n 次方根,当n 为奇数时,这个数为a 的奇次方根;当n 为偶数时,这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数,n 叫做根指数.14. 开n 次方的定义:求一个数a 的n 次方根的运算,叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系:开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质(1)实数a 的奇次方根有且只有一个,用“n a ”表示;(2)正数a 的偶次方根有两个,它们互为相反数,正n 次方根用“n a ”表示; 负n 次方根用“-n a ”表示(a >0,n 是正偶数); (3)负数的偶次方根不存在;(4)0的n 次方根等于0,表示为“00 n ”.热身练习1. 将下列各数填在相应括号内:π, 32, 3.14, ⋅⋅12.0, 327-, 21-, 3333+-, 有理数集合{ 3.14, ⋅⋅12.0, 327-, 3333+-, …}; 整数集合 { 327-, 3333+-, …};正数集合 { π, 32, 3.14, ⋅⋅12.0, …};分数集合 { 3.14, ⋅⋅12.0, …};实数集合 { π, 32, 3.14, ⋅⋅12.0, 327-, 21-, 3333+-,}.2. 判断 (1)无限小数都是无理数 ( × ) (2)无理数都是开方开不尽的数 ( × ) (3)不带根号的数都是有理数 ( × ) (4)带根号的数都是无理数( × )3.(1)35,介于哪两个整数之间? 解:3介于1和2之间,5介于2和3之间.(2)写出一个比-1大的负有理数是 -0.5 ,比-1大的负无理数是22-. 4. 在实数范围内,下列方根是否存在?如果存在,用符号表示这些方根,并求出它的值.(1)-16的四次方根 (2)16的四次方根 (3)-32的五次方根 (4)28-的六次方根 (5)-0.00243的五次方根 (6)2(27)-的六次方根 解:(1)-16没有四次方根 (2)16的四次方根为 ±2 (3)-32的五次方根为2- (4)28-无六次方根 (5)-0.00243的五次方根为-0.3 (6)2(27)-的六次方根为3±5. 求下列各数的平方根 (1)121 (2)649(3)0.0009 (4)361 解:(1)11± (2) 83± (3) 0.03± (4)±196.求下列各数的算术平方根 (1)81 (2)1625(3)289 (4)0.0001 解: (1)9 (2)45(3)17 (4) 0.017.求下列各数的值. (1)21425(2)22135±- (3)2(5) 解: (1)115(2)12± (3)58. 求下列各式的值(1)2(15) (2)2()(0)a a > (3)2()(0)a a -> (4)2(15)- (5)2()(0)a a -> (6)2()a a 是实数解: (1)15 (2)a (3)a (4)15 (5)a (6)a9. 一个正数的两个平方根为2a +1,5-a 求这个数. 解:2a +1+5-a =0解得:a =-6 这个数是121.10. 已知a 的两个平方根,x y 为322x y +=的一组解,求a 的平方根.解:0322x y x y +=⎧⎨+=⎩得22x y =⎧⎨=-⎩故a 的平方根是 2或-2.11. 求下列各数的立方根.(1)-64 (2)343 (3)1918- (4)0.729解:(1)-4 (2)7 (3)92- (4)0.912. 求下列各式的值(1)318-- (2)3911125+ (3)32445200⨯⨯解:(1)12 (2)65(3)6013. 解简单的高次方程(1)16842=-x (2)81)3(42=-x解:6±=x 解:23215-=或x(3)3918x += (4)3(1)27x +=- 解:21=x 解:4-=x(5)60444=-x (6)7645=x解:2±=x 解:519=x精解名题例1 如图,四个同样大小的正方形排列在一起面积和是80,求小正方形的边长. 解:设小正方形的边长为x .8042=x解得52±=xx 是正数52=∴x答:小正方形的边长为52. 例2 用移位法求平方根被开方数的小数点向右(或左)移动两位,它的平方根的小数点相应地向右(向左)移动一位.若5 2.236≈,507.071≈,求下列各式的值.(1) 500 ≈ 22.36 (2)5000-≈-70.71 (3)0.05 ≈ 0.2236 (4)0.5≈ 0.7071注意: 被开方数平方根移动的位数与方向. 第一: 小数点是同向移动;第二: 被开方数移动的位数是平方根移动的位数的2倍.例3 用移位法求立方根被开方数的小数点向右(或左)移动 三 位,它的立方根的小数点相应地向右(向左)移动 一 位.若3333330029.0290002906619.029.0072.329426.19.2,,,求,,-≈≈≈的值. 解:;619.62903≈ 72.30290003-≈-;1426.00029.03≈..巩固练习一、填空1.把下列各数分别填到相应的数集里边-52,3π,2,116-,3.14,0,21-,52,41- 整数集合 { 0 ,41- …}; 无理数集合{3π,2,21-,52, …}; 有理数集合{ -52,116-,3.14,0,41- …}; 2.如果9=x ,那么x = ±9 ;如果92=x ,那么=x ±3 . 3.若一个实数的算术平方根等于它的立方根,则这个数是 1,0 . 4.算术平方根等于它本身的数有 0,1 ,立方根等于本身的数有 ±1,0 . 5. 若3,x x x ==则 0,1 ,若2,x x x =-=则 非正数 . 6.81的平方根是 ±3 , 210-的算术平方根是 0.1 . 7.若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ,则a =-1,这个正数是 9 . 8.21++a 的最小值是 2 ,此时a 的取值是 -1 . 二、选择题1. 下列说法正确的个数是( A )(1)无理数都是实数 (2)实数都是无理数 (3)无限小数都是有理数 (4)带根号的数都是无理数(5)除了π之外不带根号的数都是有理数.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若2x a =,则( D )A.0x >B. 0x ≥C. 0a >D. 0a ≥3.2)3(-的值是( B )A .3-B .3C .9-D .94.设x 、y 为实数,且554-+-+=x x y ,则y x -的值是( A ) A .1 B .9 C .4 D .5 5.如果53-x 有意义,则x 可以取的最小整数为( C ) A .0 B .1 C .2 D .3 6. 若5x -能开偶次方,则x 的取值范围是( C )A .0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤ 7. 若n 为正整数,则211n +-等于( A )A .-1 B.1 C.±1 D.21n + 8. 若正数a 的算术平方根比它本身大,则( A )A.01a <<B.0a >C. 1a <D. 1a >自我测试一、填空1. 把下列各数分别填到相应的数集里边327,2,2π,-3.1415926927,103,34-,72-,0.2010010001-, 1.732,7-有理数{327 ,-3.1415926927, 103, 72-, 1.73 2…} 无理数{2,2π,34-,0.2010010001-,7- …} 非负实数{327, 2,2π ,103,1.732 …}2.()332-= -2 ,()337-= -7 .3.641-的立方根是14.4.-0.001的立方根是 -0.1 ;-1的9次方根是 -1 .5.()=-553 -3 ;363)(-= 9 .二、选择题 1.81的算术平方根是 ( C )A. 9B. ±3C. 3D. -3 2. 下列计算正确的是( D ) A.8282+=+ B.42-=- C.93=± D.2(2)2-=3. 下列各数中,没有平方根的是 ( A ) A .-2 B. 0 C. 13D.24.下列实数317,π-,3.14159 ,8,327-,21中无理数有( A ) A .2个B .3个C .4个D .5个5.下列各式中,无论x 取何实数,都没有意义的是( B ) A .2006x -B .220061x --C .22006x -D .320063x --6.下列各组数中互为相反数的一组是( C ) A .2--与38- B .4-与2(4)-- C .32-与32- D .2-与12三、计算 1、求值(1)49144的平方根; (2)2500- 解:原式= 712± 解:原式=-50 (3) 1600 (4) 719±解:原式=40 解:原式= 43± (5) 0.0036的平方根 (6)2(5)--解:原式= 0.06± 解:原式= -5(7)33(2)-- (8)641-的立方根解:原式= 2 解:原式=14(9)()次方根的531277⎪⎭⎫⎝⎛-; (10) ()次方根;的421.12-解:原式 =-5181解:原式= 1.1±2、解方程(1);272=x (2);0183=-x 解:27±=x 解:21=x(3) ()2512=-x ; (4)()016223=++x .解:64或-=x 解:4x =-。

1.实数及其运算的知识点习题和答案

1.实数及其运算的知识点习题和答案

初中数学实数及其运算的知识点主要包括以下内容:1.实数的定义:①实数包括有理数和无理数。

②有理数是可以表示为两个整数之比的数(整数、小数、分数)。

③无理数是不能表示为两个整数之比的数(如π、√2等)。

2.实数在数轴上的表示:①实数可以在数轴上直观地表示,正数在原点右侧,负数在原点左侧,零在原点。

3.实数的性质:①实数的顺序性:实数可以比较大小。

②实数的封闭性:实数在加减、乘除(除数不为零)运算后仍然得到实数。

③实数的分配律、结合律和交换律:这些性质使得实数的运算符合代数的规则。

4.实数的运算:加法:①同号相加,取相同符号,和的绝对值为两个绝对值之和。

②异号相加,取绝对值较大的数的符号,和的绝对值为两数绝对值的差。

③加法结合律和交换律。

减法:①减去一个数等于加上这个数的相反数。

乘法:①同号相乘得正,异号相乘得负。

②乘法结合律和交换律。

除法:①除以一个数等于乘以这个数的倒数(除数不为零)。

②除法的除数不为零。

5.实数的乘方和开方:①乘方:a^n表示n个a相乘。

②开方:√a表示找到一个数,使得它的平方等于a(非负实数)。

6.实数的乘方根:①立方根:∛a表示找到一个数,使得它的三次方等于a。

②四次方根:∜a表示找到一个数,使得它的四次方等于a。

7.实数的绝对值:①实数a的绝对值记为|a|,表示a与0的距离,总是非负的。

8.实数的运算顺序:①先乘除,后加减。

②如果有括号,先计算括号内的表达式。

9.实数的有理数和无理数的性质:①有理数可以表示为分数,无理数不能。

②无理数包括无限不循环小数。

10.实数的应用:①实数在几何、物理、经济等领域的应用。

练习题知识点1:实数的定义和分类填空题1.实数1.5可以表示为分数______。

2.√9的平方是______。

算数题1.计算:(-2) + 32.计算:2 ×(-4)3.计算:(-3) ÷64.计算:√(16) + √(25)5.计算:(-3)^26.计算:(√2)^27.计算:(-5)^3知识点2:实数在数轴上的表示选择题1.在数轴上,0的右边是______。

相关系数的解释

相关系数的解释

相关系数的解释
相关系数(correlation coefficient)是一种衡量两个变量之间线性相关关系强度和方向的统计量。

其计算结果是一个在-1到1之间的实数,其中,1表示完全正相关,-1表示完全负相关,0表示无线性相关。

具体来说,相关系数被用于衡量两个变量之间的线性相关程度,它可以表示出两个变量之间的紧密程度。

当两个变量之间的相关系数接近于0时,说明这两个变量之间几乎没有线性关系。

当两个变量之间的相关系数为负时,说明它们之间是负相关关系,即一个变量增加时,另一个变量可能会减少。

当两个变量之间的相关系数为正时,说明它们之间是正相关关系,即一个变量增加时,另一个变量也可能会增加。

相关系数的绝对值越大,表示两个变量之间的线性相关程度越强。

一般来说,如果相关系数的绝对值大于0.75,就认为两个变量之间有很强的线性相关关系。

需要注意的是,虽然相关系数可以衡量两个变量之间的线性相关程度,但它不能确定这种关系是否真实或因果关系。

因此,在使用相关系数时,需要结合其他统计方法和实际数据进行综合分析。

实数概念初探:初中一年级数学教案

实数概念初探:初中一年级数学教案

我的数学老师在上课的时候,常常强调数学作为一门科学,是需要严谨性的,而严谨性最重要的一点就是明确概念。

掌握数学概念,这一环节就显得特别重要了。

而作为数学的基础——实数,更是需要我们在初中就进行深入的理解。

一、实数概念1. 实数的定义实数用R表示,是数学中最基本的数系。

实数包括有理数和无理数两大部分。

有理数是可以表示为分数的数,无理数则是不能表示为分数的数。

比如,R中存在的无理数有$\sqrt{2}$,$\pi$等。

2. 实数的分类实数可以分为正实数、负实数和零。

其中,正实数用一个加号"+"表示,如3+, 负实数用一个减号"-"表示,如-3,零则用数字"0"表示。

3. 实数的性质1)实数的加法具有交换律、结合律和分配律。

2)实数的乘法具有交换律、结合律和分配律。

3)实数的加法和乘法遵循"相反数相加为零"和"倒数乘以自己等于1"的规则。

二、选择合适的数集在数学中,有时候需要在一定范围内进行操作。

而这个范围内的数,就需要用到相应的数集。

在实数中,有时还需要区分出有理数、整数、正数、负数等数集。

1. 有理数与无理数有理数源于有理,是指可以写成两个整数之比的数(即分数),而不能写成这种形式的数则称为无理数。

比如$\pi$、$\sqrt{2}$等。

2. 整数整数是指正整数、负整数和零三部分组成的数,用Z表示。

其中正负整数分别用"+""-"表示,0则用数字0表示。

3. 正数和负数正数指大于0的数,负数指小于0的数。

其中正数用"+"表示,负数用"-"表示。

三、实数的应用实数的概念在中学数学中有广泛的应用,特别是在代数中。

以下两个例子说明实数在代数中的应用。

1. 解直线方程比如,给定直线方程y=2x+1,在坐标系中,可以通过这个方程画出一条直线。

1.1.01实数的概念

1.1.01实数的概念

1.1.01实数的概念【知识要点】一、实数的概念:1.有理数:可以写成p /q 的形式的重要特征,其中p 、q 是互质的整数。

2.无理数:要抓住“无限不循环”这一实质。

常见有四类:开不尽的方根;特定结构的数;特定意义的数;某些三角函数。

注意:判断实数的类型不能仅凭表面上的感觉,要根据循环性进行判断。

二、实数的三宝:1.数轴:三要素是 、 、 ;实数和数轴上的点是 关系。

2.相反数:(1)a 的相反数是 ;(2)a 、b 互反⇔a +b = ;(3) a 、b 互反⇔a 、b 在数轴上的点 。

倒数:(1)a (a ≠0)的倒数是 ;(2)a 、b 互倒⇔ab = ;(3)0无倒数,a 与a 的倒数符号 。

3.绝对值:(1)代数意义: ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=000<=>a a a a ,因此,实数的绝对值是一个 数。

(2)几何意义:从数轴上看,|a |就是表示a 的点到 的距离。

注意:去绝对值符号(化简)时,必须要对符号里面的数进行数性(正、负)分析。

三、实数的比较:1.在数轴上,右边的数总比左边的数大。

2.正数大于0;负数小于0;正数大于一切负数;两个负数绝对值大的反而小。

【典型例题】1.相反数等于本身的数是 ,倒数等于本身的数是 ,绝对值等于本身的数是 ,绝对值等于相反数的数是 ,绝对值等于倒数的数是 ,1.平方等于本身的数是 ,平方根等于本身的数是 ,算术平方根等于本身的数是 ,立方等于本身的数是 ,立方根等于本身的数是 ,平方根等于算术平方根的数是 ,立方根等于倒数的数是 。

2.实数a 、b 在数轴上的对应位置如图所示,且b a 。

化简:a b b a a --+-3.若333)43(,)43(,)43(--=-=-=c b a ,比较a 、b 、c 的大小。

4.已知a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,m 的绝对值是1,求2m cd m b a +-+的值。

【课后练习】1.在下列各组中, 表示互为相反意义的量。

sin各角度的值

sin各角度的值

sin各角度的值
sin函数是三角函数中的一种,可以用来求角度的正弦值,它的值是介于-1到1之间的实数。

在不同的数学领域和应用中,sin 函数的值有着不同的角度和含义。

在数学中,sin函数的输入参数是弧度制的角度,其中0度对应的弧度值为0,90度对应的弧度值为π/2,180度对应的弧度值为π,270度对应的弧度值为3π/2,360度对应的弧度值为2π。

在这些角度值下,sin函数的值分别为0、1、0、-1、0。

在物理学中,sin函数的值表示物体在运动中的加速度。

例如,一个物体做谐振运动时,其加速度的大小与sin函数的值成正比。

在工程学中,sin函数的值通常用来表示电信号的变化。

例如,当用正弦波信号来传输信息时,信号的振幅和频率就是通过sin函数来描述的。

在计算机科学中,sin函数是一种常见的数学库函数,可以用来计算角度的正弦值。

通过计算机生成的图像和动画中,sin函数也常常被用来表示物体的运动和变化。

总之,sin函数在不同的领域和应用中有着不同的角度和含义,但它的基本特性却始终如一。

了解sin函数的值和含义,可以帮助我们更好地理解并应用它。

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6、实数具有连续性(完备性)
实数集R与数轴上的点有着一一对应关系。
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a < b + e ,则a b.
证明 用反证法 .假若结论不成立, 则根据实数的有序性
有 a > b. 令 e a b 则 e 为正数且 a b + e , 这与假设 a < b + e矛盾 . 从而必有 a b.
有理数集合Q:关于加、减、乘、除四则运算都封闭。 有理数集合Q具有“稠密性”。
有理数集合Q虽然具有稠密性,但在坐标轴上留有“空隙”。
1、运算性质
实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则 运算是封闭的,即任意两个实数的和、差、积、 商(除数不为0)仍然是实数。
2、顺序性质
实数集是有序的,即任意两个实数 a、b 必满
注意:对任何实数x, 有
x0 x1 x2 L ,
x0 x1 x2 L
命题1 设 x a0.a1a2 , y b0.b1b2 为两个实数,则
x > y 存在非负整数 n , 使得 xn > yn 其中xn表示x的n位不足近似,yn表示y的n位过剩近似.
例1 设x, y为实数,证明: 存在有理数r满足 : x < r < y.
对负有限小数(包括负整数)y,先将- y表示成无限小 数,再在无限小数前加负号.如: -8=-7.999…
2.两个实数的大小关系
1)定义1
给定两个非负实数
x a0 .a1a2 L an L , y b0 .b1b2 L bn L , 其中 a0 , b0为非负整数 , ak , bk (k 1,2,L)为整数 ,0 ak 9,0 bk 9. 若有 ak bk , k 1,2,L , 则称 x与y相等 ,记为 x y;
二. 绝对值与不等式
绝对值定义:
|
a
|
a a
, ,
a0 a<0
从数轴上看的绝对值就是到原点的距离:
-a
a
0
绝对值的一些主要性质
1. | a | | a | 0 当且仅当 a 0 时 | a | 0
2 . -|a| a |a|
3. |a|< h -h < a < h ; | a | h h a h , h > 0 4. a b a b a + b
5. | ab || a | | b |
6. a | a | , b 0 b |b|
性质4(三角不等式)的证明:
由性质2
-|a| a |a|, -|b| b |b|
两式相加
-(|a|+|b|) a+b |a|+|b|
由性质 3 上式等价于 |a+b||a|+|b|
把上式的 b 换成 -b 得 |a-b||a|+|b|
若 a0 > b0或存在非负整数 l, 使得 ak bk (k 1,2L l )而al +1 > bl +1
则称 x大于 y或y小于 x,分别记为 x > y或y < x.
说明: 自然规定任何非负实数大于任何负实数
2) 通过有限小数比较大小的等价条件
定义2 设 x a0 .a1a2 an 为非负实数.
证明 由于x <
y, 故存在非负整数
n,使得 x n
< yn.令r

1 (xn
2
+
yn )
则r为有理数,且有 x xn < r < yn y,即得x < r < y.
实数的主要性质
数系的扩充历史:
自然数集合N:关于加法和乘法封闭,但关于减法不封闭。
整数集合Z:关于加法,减法和乘法封闭,关于除法不封闭。 整数集合Z具有“离散性”。
第一章 实数集与函数
Real numbers and functions
§1 实数 §2 数集 确界原理 §3 函数的概念 §4 具有某些特性的函数
1.1 实数
一 .实数及其性质 二. 绝对Βιβλιοθήκη 与不等式一 . 实数及其性质:
数学分析的中心任务是用极限的方法研究实函数。 1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义.
名词术语:
数学分析 mathematical analysis
函数
function
实数集
system of real numbers
有理数
rational number
无理数
irrational number
整数
integer
内容小结
1. 实数的定义及其性质 2. 绝对值与不等式
第一次作业
P4习题 1,3,4,5。
称有理数 xn a0 .a1a2 an
为实数x的n位不足近似,而有理数
xn

xn
+1 10 n
称为x的n位过剩近似,n=0, 1, 2, ….
对于负实数 x a0.a1a2 an ,
其n位不足近似和n位过剩近似分别规定为
xn
a0 .a1a2 an
1 10n

xn a0 .a1a2 an




有理数:分数 q ( p, q为整数且q 0)或有限小数和无限循环小数。 p
无理数:用无限不循环小数表示.
若规定: a0.a1a2 an a0.a1a2 (an 1)99 9
则有限十进小数都能表示成无限循环小数.
对正整数 x a0,记为 x a0 1.999
足下述三个关系之一:
a < b, a b, a > b.
3 、实数的大小关系具有传递性。即
a > b,b > c a > c.
4、实数具有阿基米德性(Archimedes Property)
对任何a,b R,若b > a > 0, 则存在正整数n,使得na > b.
5、实数具有稠密性 任何两个不相等的实数之间必有另一个实数, 且既有有理数,也有无理数。
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