大学物理基础 光的衍射

f
用平行光垂直 照射在光栅上， 相邻两条光线 的光程差
b a d
k


f
( a b) sin d sin
光栅方程
( a b) sin k ( k 0,1,2) 加强
二、主极大条纹
x f tg
b a d
k
当 角很小时

f
o x
例 在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距120 cm ，设夜间人眼 瞳孔直径为5.0 mm ，入射光波为 550 nm。 求 人在离汽车多远的地方，眼睛恰能分辨这两盏灯？ 解 设人离车的距离为 S 时，恰能分辨这两盏灯。 由题意有
D 5.0 mm 550 nm 眼睛的最小分辨角为 δ 1.22 取 d S δ D d Dd 5.0 103 1.20 S 8.94 103 m 1.22 1.22 550 109 d 120 cm
S
[ C ]
3.波长 500 nm 的单色光垂直照射到宽 度 a = 0.25 mm 的单缝上，单缝后面放置 一凸透镜， 在凸透镜的焦平面上放置一屏 幕，用以观测衍射条纹，今测得屏幕上中 央明条纹一侧第三个暗条纹和另一侧第三 个暗条纹的暗条纹之间的距离 d =12 mm 为，则透镜的焦距 f 为：
sin tg
由光栅方程
P
( a b) sin k ( k 0,1,2) 加强
kf x a b
( k 0,1,2)
明纹
例：分光计作光栅实验，用波长 = 632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300 mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
A C
a

f

L
o x
B
P
分割成偶数个半波带， P 点为暗纹。
分割成奇数个半波带， P 点为明纹。
二、加强减弱条件
A C
a

f

L
o x
B
P
单缝衍射方程
2 a sin 2k 1） （ 2
2k

( k 1,2) 减弱 ( k 1,2) 加强
三、明纹暗纹位置
由a sin (2k ) / 2可知
当k 3时，可分成2k 6个半波带。
例：在夫琅和费单缝衍射中，对于给定的 入射光，当缝宽度变小时，除中央亮纹的 中心位置不变外，各级衍射条纹。
(A) 对应的衍射角变小； (B) 对应的衍射角变大； (C) 对应的衍射角也不变； (D) 光强也不变。
x 2 f

a
2 0.5
0.5 10
5 10
7 3
1.0 10 m
3
1.0mm
(2)根据单缝衍射的明纹公式：
a sin 2k 1) / 2 (1) （
在衍射角较小的条件下 x sin tg (2) f
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝， 相当于多光束干涉，光栅形成的光谱线， 尖锐、明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
2.光栅常数
透光缝宽度 a
b a d
k
不透光缝宽度 b 光栅常数
d a b
一、光栅方程 两两相邻光线的光程差都相同。如果 在某个方向上，相邻两光线光程差为 k， 则所有光线在该方向上都满足加强条件。
夫琅禾费集工艺家和理论家的才干于一身，把理论与丰 富的实践经验结合起来，对光学和光谱学作出了重要贡献。 1814年他用自己改进的分光系统，发现并研究了太阳光谱中 的暗线（现称为夫琅禾费谱线），利用衍射原理测出了它们 的波长。他设计和制造了消色差透镜，首创用牛顿环方法检 查光学表面加工精度及透镜形状，对应用光学的发展起了重 要的影响。他所制造的大型折射望远镜等光学仪器负有盛名。 他发表了平行光单缝及多缝衍射的研究成果（后人称之为夫 琅禾费衍射），做了光谱分辨率的实验，第一个定量地研究 了衍射光栅，用其测量了光的波长，以后又给出了光栅方程。
D
2
f
d
d 2 2.44 f D
D 越大 越小，衍射 现象越不显著。

光学仪器分辨率 一般光学仪器成像，可以看成圆孔衍 射。由于衍射现象，会使图像边缘变得模 糊不清，使图像分辨率下降。
2.瑞利判据 •两个点光源相距较远，能分辨。
S1 S2
0
两点光源靠近 •两爱里斑中心距离为爱里斑的半径时， 恰能分辨----瑞利判据。
x0 2 f tan1 2 f1 2 f λ a l0
4.相邻条纹间距 •相邻暗纹间距
( k 1)f kf f l0 x x k1 x k a a a 2 [2( k 1) 1]f (2k 1)f x x k1 x k 2a 2a f l0 2 a
-2
-1
0 I
1
2
光栅衍射 光强曲线
单缝衍射 轮廓线
4 8
-8
-4
0
1 I I0
2
1
பைடு நூலகம்
只考虑单缝衍射强度分布
0
1
2k
1 I I0
6
3 只考虑双缝干涉强度分布 0 3
6k
I I0 1
1
双缝光栅强度分布 1 0
k
3.缺级条件 光栅衍射加强条件： ( a b) sin k 单缝衍射减弱条件:
观察者
δ
S
d =120 cm
13.8 光栅衍射及光栅光谱 13.8.1 衍射光栅 大量等宽等间距的平行狭缝(或反 射面)构成的光学元件。 从工作原理分
衍射光栅 (透射光栅) 反射光栅 (闪耀光栅)
衍射光栅 1.光栅制作 •机制光栅 在玻璃片上刻划出一系列 平行等距的划痕刻过的地方 不透光，未刻地方透光。 •全息光栅 通过全息照相，将激光产生 的干涉条纹在干板上曝光， 经显影定影制成全息光栅。
B
1 2 3
I
2. 明纹位置
A C
a

f

o x
3 2 1
2 1
1 2
I
P L f x 2k 1） （ 2a 3f 两条，对称分布屏幕中央两侧。 x1 2a 其它各级明纹也两条，对称分布。
随着衍射角 的增大，明条纹的强度减少。
B
1 2 3
3.中央明纹宽度
中央明纹线宽度
惠更斯原理只能解释波的衍射，不能给出波的强度。
菲涅耳原理----从同一波面上发出的 子波是相干波，波传播到某一点的光强为 各个子波在观察点的干涉叠加。 菲涅耳在惠更斯原理基础上加以补充， 提出子波相干叠加的概念。
波在前进过程中 引起前方某点的总振 动，为面 S 上各面 元 dS 所产生子波在 P 点引起分振动的叠 加。
联立(1)和(2)式得： 1 k ax / f 2 3 3 7 0.5 10 1.5 10 /(0.5 5 10 ) 1 / 2
ax / f 3
暗纹条件 k’=3
2 .5
a sin ax / f 2k ' * / 2
所以p点所在的位置为第三级 暗纹，
A C
a

f

L
o
x
B
P
在屏幕上某点 P 距屏幕中心 o 点为 x， 对应该点的衍射角为 ，AB 点两条光线 的光程差为 。
13.7.1半波带法 一、半波带法 A C ① ② a
B L
f
o x

P
用 / 2 分割 ，过等分点作 BC 的平行线， 等分点将 AB 等分----将单缝分割成数个半 波带。
S1 S2
0
d/2
恰能分辨 此时两爱里斑重叠部分的光强为一个光斑 中心最大值的 80％。
两点光源继续靠近 0 不能分辨
S1 S2
0
3.光学仪器分辨率 最小分辨角的倒数
1
0
光学仪器的最小分辨角越小，分辨率就越 高。
4.最小分辨角 0
S1 S2
物体之 间间距
0
(A) 2m (D) 0.2m
(B) 1m (E) 0.1m kf x a
(C) 0.5m [ B ]
13.7.2 夫琅禾费圆孔衍射
平行光 经过圆孔， 照射在屏幕 上形成圆孔 衍射。
D
d
f
1.爱里斑
第一级暗环直径 d 为爱里斑直径。 镜头直径 D 。
爱里斑 对透镜中心 张角由理论 推导可知:
振幅
dS A r
n
dS
S
r
P
与 有关。
例：根据惠更斯-菲涅耳原理，若已知光在 某时刻的波阵面为 S，则 S 的前方某点 P 的光强度决定于波阵面 S 上所在面积元发 出的子波各自传到 P 点的 （A）振动振幅之和； （B）光强之和； （C）振动振幅之和的平方； （D）振动的相干叠加。
[ D ]
例：若有一波长为 500nm 的单色平行 光，垂直入射到缝宽 a =0.5mm 的单缝上， 缝后有一焦距 f = 50 cm 透镜。（书252） 试求： （1）屏上中央明纹的宽度; （2）若在屏上 P 点观察到一明纹， op=1.5mm 问 P 点处是第几级明纹，对 P 点而言狭缝处波面可分成几个半波带？ 解：(1) 两个第一级暗纹中心间的距离即为 中央明纹的宽度
a sin 2k

2
[ B ]
例：在如图所示的单缝夫琅和费衍射实验 装置中，S 为单缝，L 为透镜，C 放在 L 的焦平面处的屏幕。当把单缝 S垂直于透 镜光轴稍微向上平移时，屏幕上的衍射图 样。 (A)向上平移； (B) 向下平移； (C)不动； (D)条纹间距变大。 L C
•相邻明纹间距
除中央明纹以外，衍射条纹平行等距。
•条纹间距 四、讨论
x
f
a
1.波长越长，缝宽越小,条纹宽度越宽。若以白光入射，
则在中央明纹两侧出现由紫到红的衍射条纹
2.
a
x
衍射现象明显。
衍射现象不明显。 x a a 只一条明纹，光沿直线传播
3. 缝位置变化不影响条纹位置分布。
A C
a

f

o x
P L x ftg f sin ， 角很小 kf ( k 1,2) 暗纹 a x f 2k 1） （ ( k 1,2) 明纹 2a 中央明纹 0
B
1. 暗纹位置
A C
a

f

o x
3 2 1
P L kf x a f x1 两条，对称分布屏幕中央两侧。 a 其它各级暗纹也两条，对称分布。
菲涅耳与夫琅禾费衍射
1.菲涅耳衍射----发散光的衍射
S
观察比较方便，但定量计算却很复杂。
2.夫琅禾费单缝衍射----平行光的衍射
L1
S
L2
o
计算比较简单。
13.7 单缝夫琅禾费衍射
夫琅禾费 (Joseph von Fraunhofer 1787—1826) 夫琅禾费是德国物理学家。1787 年3月6日生于斯特劳宾，父亲是玻璃 工匠，夫琅禾费幼年当学徒，后来自 学了数学和光学。1806年开始在光学 作坊当光学机工，1818年任经理， 1823年担任慕尼黑科学院物理陈列馆 馆长和慕尼黑大学教授，慕尼黑科学 院院士。夫琅禾费自学成才，一生勤 奋刻苦，终身未婚，1826年6月7日因 肺结核在慕尼黑逝世。
13.6 惠更斯--菲涅耳原理
13.6.1 光的衍射现象
光在传播过程中遇到障碍物，光波会 绕过障碍物继续传播。
如果波长与障碍物相当，衍射现象最明显。
10
10
5
5
0
0
-5
-5
-10
-10 -10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
圆孔衍射现象
13.6.2 惠更斯--菲涅耳原理
惠更斯原理----波在媒质中传播到的各 点，都可看成新的子波源。
d/2
由
d l
'
d 2.44 f D
d /2 0 1.22 f D
恰能分辨 瑞利判据
物体与小孔间距
D 光学仪器分辨率
D 0 1.22 1
0 1.22

•光学镜头直径越大，分辨率越高。
一般天文望远镜的口径都很大，世界 上最大的天文望远镜在智利，直径16米， 由4片透镜组成。
取 kmax 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1， ， ， ， ， ，。 0 1 2 3 4 5
三、谱线的缺级 1. 光栅衍射是单缝衍射与多光束干涉合 成的结果，光栅中各主极大受到单缝衍射 光强的调制。 I
单
2.当光栅明纹 处恰满足单缝 衍射暗纹条件， 该处光强为 0 ，出现缺级。
解：在分光计上观 察谱线，最大衍射 角为 90°,
d
( a b) sin k
kmax ( a b) sin 90

o x

f
P

kmax
( a b) sin 90
3 1 10 9 300 632.8 10
5 .3