2020届福建省泉州市高三上学期单科质量检查数学(理)试题(解析版)

2020届福建省泉州市高三上学期单科质量检查数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}2|0,|1M x x x N x x =-<=>，则（ ）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．M N =R UD ．M N ⋂=∅【答案】D【解析】解一元二次不等式求得集合M ，由此判断出正确选项. 【详解】由()210x x x x -=-<解得01x <<，故{}|01M x x =<<，由于{}|1N x x =>，所以M N ⋂=∅. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的包含关系，考查集合的运算，属于基础题.2．若复数z 满足(1)23z i i -=+，则z =（ ） A ．1522i -- B ．15i 22-+ C ．5122i - D ．5122i + 【答案】A【解析】根据复数的除法运算,求得z .再根据共轭复数的概念即可求得z . 【详解】()123z i i -=+Q ，223(23)(1)253151(1)(1)222i i i i i z i i i i +++++∴====-+--+. 因此，1522z i =--. 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，属于基础题.3．若,x y 满足约束条件203102x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则42z x y =+的最小值为（ ）A ．-17B ．-13C ．163D ．20【答案】B【解析】根据线性约束条件画出可行域，将目标函数化为直线22zy x =-+，由直线的平移即可求得该直线在y 轴截距最小时对应的最优解，代入42z x y =+计算即可. 【详解】,x y 满足约束条件203102x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,由此可得可行域如下图所示:该可行域是一个以1,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(4,2)B ,37,22C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为顶点的三角形区域（包括边界）.目标函数42z x y =+可化为22z y x =-+当动直线22z y x =-+过点37,22C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，z 取得最小值， 此时min 37421322z ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题. 4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面.给出下列四个命题： ①若//,m αββ⊂，则//m α；②若//,m n n α⊂，则//m α； ③若,m αβα⊥⊂，则m β⊥；④若//,m m αβ⊥，则αβ⊥. 其中为真命题的编号是（ ）A ．①②④B ．①③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】由面面平行的性质可判断①；对于②, m 可能在α内；对于③,由面面垂直无法判断线面的位置关系；在平面α内找到直线1m 使得1//m m ,即可判断④ 【详解】①中,若//αβ,则β内任一直线与α平行,①为真命题；②中,若//,m n n α⊂,则m 可能平行于α,也可能在α内,②为假命题；③中,若,m αβα⊥⊂,则m 可能垂直于β,也可能平行于β,也可能与β相交但不垂直,③为假命题；④中,若//m α,则可在α内作一直线1m 使1//m m ,又因为m β⊥,所以1m β⊥,又1m α⊂,则αβ⊥,④为真命题；综上,①④为真命题, 故选:C 【点睛】本题考查线面、面面的空间位置关系的判定,属于基础题 5．函数()2ln f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】首先求出函数的定义域，判定函数的奇偶性及单调性即可得解. 【详解】解：()2ln f x x x =Q 定义域为()(),00,-∞⋃+∞()()()()22ln ln f x x x x xf x ∴-=--=-=-即函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，由0x ≠，()f x 为奇函数，排除B ；又120e ef ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，排除C ； 当0x >时，()2ln 2f x x '=+，令()2ln 20f x x '=+=，解得1ex =， 所以函数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，排除A ； 故选：D 【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是函数的奇偶性，单调性的应用，属于基础题.6．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4，左焦点F 到C 的一条渐近线的距离为3，则C 的方程为（ ）A ．22123x y -=B ．22143x y -= C ．22149x y -=D ．221169x y -= 【答案】C【解析】根据实轴得到a 的值，然后表示出渐近线，表示出焦点到渐近线的方程，得到b ，从而得到C 的方程.【详解】因为实轴长24a =，所以2a =，(),0F c -，由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离相等， 不妨取渐近线为by x a=，即0bx ay -=， 点(),0F c -到渐近线的距离bcd b c===， 所以3b =，所以C 的方程为22149x y -=，故选：C. 【点睛】本题考查点到直线的距离，利用双曲线的几何性质求双曲线的方程，属于简单题.7．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．-1010B ．-1009C ．1009D ．1010【答案】D【解析】根据程序框图,先计算出N 和T 的含义,再根据S N T =-即可求得输出值.或利用等差数列的求和公式求解. 【详解】依题意：得1352019N =+++⋯+,02462018T =++++⋯+.解法一：(10)(32)(54)(20192018)1010S N T =-=-+-+-++-=L , 故选:D. 解法二：(12019)1010101010102N +⨯==⨯,(02018)1010100910102T +⨯==⨯,所以10101010101010091010(10101009)1010S N T =-=⨯-⨯=⨯-=, 故选:D. 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,数列求和公式的应用,属于中档题.8．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有=⨯大吕黄钟太簇()23=⨯大吕黄钟夹钟()23⨯太簇黄钟夹钟等比数列{}n a 中，k a =（ ） A ．11n k n n a a --+⋅ B ．11n k n n a a --+⋅C ．111n k k n a a ---⋅D ．111k n k n a a ---⋅【答案】C【解析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=.故选：C. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.9．已知抛物线E ：28x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，与x 轴交于点C .若A 为线段CF 的中点，则AB =（ ） A ．9 B ．12C ．18D ．72【答案】A【解析】解法一：根据A 为线段CF 的中点，得到A 坐标，从而得到直线AF ，与抛物线联立得到12x x +，从而得到12y y +，利用抛物线焦点弦公式，得到AB 的长；解法二：延长BC 交准线2y =-于D ，过点A 作AM 垂直准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直准线交准线于N ，准线与y 轴交于点H ，由DMA DNB ∆∆∽，得到AM ADBN DB=，得到BF ，再根据3AF AM ==，得到AB 的长. 【详解】依题意得4p =，焦点()0,2F ， 如图，因为A 为线段CF 的中点，所以1A y =，代入抛物线方程得到A x =-所以()A -，解法一：4AF k ==，所以直线AF 的方程为24y x =+，将其代入28x y =，得2160x --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x +=)121212224454444y y x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++=++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12549AB y y p =++=+=， 故选：A.解法二：（几何法）延长BC 交准线2y =-于D ，过点A 作AM 垂直准线交准线于M ， 过点B 作BN 垂直准线交准线于N ，准线与y 轴交于点H ，FDH ∆中原点O 是线段FH 的中点，所以点C 是线段DF 的中点.易得4FH =，3AM AF AC ===，39AD AC ==，设BF BN k ==， 因为DMA DNB ∆∆∽，所以AM ADBN DB=， 即3912k k=+， 解得6k =，因此369AB =+=， 故选：A.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，求抛物线的焦点弦的长，属于中档题. 10．已知log e a π=，ln eb π=，2e lnc π=，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B【解析】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可.【详解】解：因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2e b ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<， 故选：B . 【点睛】本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：40kx y k -+=与曲线29y x =-A ，B 两点，且2AO AB ⋅=u u u r u u u r，则k =（ ）A．3B．22C．1 D．3【答案】C【解析】根据直线方程得到l过定点()4,0P-，过圆心O作OM l⊥于M，由2AO AB⋅=u u u r u u u r，得到2AB=，再利用弦长公式，得到k的值，从而得到答案.【详解】直线40kx y k-+=，即()40k x y++=，所以直线l过定点()4,0P-，曲线29y x=-是圆心为原点，半径3r=的上半圆.过圆心O作OM l⊥于M，即122AO AB AM AB AB AB⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r，所以2AB=，圆心到直线l的距离()222411kdkk==++-，2222422921kAB r dk⎛⎫=-=⨯-=⎪+⎝⎭，解得1k=±，因为曲线29y x=-是上半圆，结合图像可得0k>，所以1k=.故选C.【点睛】本题考查向量的数量积的几何意义，根据弦长求参数的值，考查数形结合的思想，属于中档题.12．已知正三棱柱111ABC A B C-的所有棱长都为3，D是11B C的中点，E是线段1A D上的动点.若三棱锥E ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 表面积的取值范围为（ ） A ．218,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．27316,16ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．273,2116ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[16,21]ππ【答案】D【解析】由题可知,三棱锥E ABC -的外接球的球心O 在上底面等边111A B C ∆的中心1O 与下底面等边ABC ∆的中心2O 的连线的线段12O O 上,设球O 的半径为R ,1O E x =,1O O y =,则222222R OA O A O O ==+且222211R OE O E O O ==+,易得23O A =,则222R x y =+,()()22233R y =+-,可得2126x y =-,代入222R x y =+中,则()2233R y =-+,由x 的范围可得y 的范围,即可得到2R 的范围,进而求得球的表面积的范围 【详解】如图所示,依题意可知,三棱锥E ABC -的外接球的球心O 在上底面等边111A B C ∆的中心1O 与下底面等边ABC ∆的中心2O 的连线的线段12O O 上,连接OA 、OE ,设OA OE R ==,1O E x =,1O O y =；在1Rt OO E ∆中,22211OE O E O O =+得222R x y =+；在2Rt AOO ∆中,2233332O A =⨯=,23OO R =-, 由22222OA O A O O =+得2223)(3)R y =+-；由222R x y =+和2223)(3)R y =+-得22223)(3)y x y +-=+整理得2126x y =-,所以222612(3)3R y y y =-+=-+,又因为03x ≤≤得322y ≤≤； 当2y =时,2R 的最小值为4；当32y =时,2R 的最小值为214；所以22144R ≤≤, 由球O 的表面积24S R π=得1621S ππ≤≤, 故选:D 【点睛】本题考查棱锥的外接球的表面积问题,考查空间想象能力二、填空题13．已知向量(),2a x =v ，()2,1b =v ，且//a b v v ，则a =v______【答案】【解析】根据向量共线的公式求解得4x =,再根据模长公式求解即可. 【详解】由//a b r r 得，1220x ⋅-⨯=，即4x =，所以||a ===r故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的平行公式与模长公式,属于基础题型.14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若120n n a a +-=，593S =，则5a =______. 【答案】3【解析】由题意可知，数列{}n a 是以12为公比的等比数列，利用593S =结合等比数列求和公式可求出1a 的值，然后利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】120n n a a +-=Q ，112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是以12为公比的等比数列， 1551113129311612a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴===-，解得148a =，因此，45111483216a a ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：3. 【点睛】本题考查等比数列中的项的计算，同时也涉及了等比数列的定义以及等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()13f x f x +=；当(]0,1x ∈时，()()ln 2f x x =+，则()()0e f f +-=__________.【答案】9-【解析】由()f x 是定义在R 上的奇函数()()f e f e -=-，()00f =，再依题意求出()f e 即可得解.【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f e f e -=-，()00f =，又23e <<，021e <-<，所以()()()()31929ln 229f e f e f e e =-=-=-+=， 故()()09f f e +-=-. 故答案为：9- 【点睛】本题考查函数值的计算，函数的奇偶性的应用，属于基础题. 16．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在(,)2ππ单调，且在(0,)3π存在极值点，则ω的取值范围为___________ 【答案】413ω<≤【解析】先通过函数()f x 在(0,)3π存在极值点，求出ω的范围，再根据在(,)2ππ单调，求出k 和ω之间的不等关系，再结合已求出的ω的范围，得最终ω的范围. 【详解】解：因为函数()f x 在(0,)3π存在极值点，所以362πππω+>，即1ω>，当,,,26266x x ππωππππωωπ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在(,)2ππ单调，所以3,,()26622k k k N ωπππππωπππ⎛⎫⎛⎫++⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即262362k k ωππππππωππ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得24233k k ω+≤≤+，只能取0k =，即2433ω≤≤， 综上，413ω<≤，故答案为：413ω<≤. 【点睛】本题考查三角函数的单调性和极值问题，关键是要建立关于k 和ω之间的不等关系，是中档题.三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，AE PD ⊥.（1）证明：AE ⊥平面PCD ；（2）若AP AB =，求二面角B PC D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】（1）由PA ⊥平面ABCD 及底面ABCD 是正方形可证得CD ⊥平面PAD ,则CD AE ⊥,又由AE PD ⊥,即可求证；（2）以A 为原点,分别以AB AD AP 、、所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,由（1）可知AE u u u r 为平面PCD 的一个法向量,求得平面PBC 的一个法向量m r,进而利用数量积求解即可【详解】（1）证明:因为PA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , 所以PA CD ⊥,因为底面ABCD 是正方形,所以AD CD ⊥, 又PA AD A ⋂=,所以CD ⊥平面PAD , 因为AE ⊂平面PAD ,所以CD AE ⊥,又因为,AE PD CD PD D ⊥⋂=,,CD PD ⊂平面PCD , 所以AE ⊥平面PCD（2）因为PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为正方形,所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥,以A 为原点,分别以AB AD AP 、、所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -（如图所示）,设1==PA AB ,则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C D P ,因为AE PD ⊥,所以E 为PD 中点,所以110,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭,所以11(1,0,1),(1,1,1),0,,22PB PC AE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,由（1）得110,,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 为平面PCD 的一个法向量,设平面PBC 的一个法向量为(),,m x y z r=,由00PB m PC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v ru u uv r ,即00x z x y z -=⎧⎨+-=⎩,令1x =,则1,0z y ==,所以()1,0,1m =r , 因此112cos ,2122m AE m AE m AE⋅〈〉===⋅⨯u u u r r u u u r ru u u r r , 由图可知二面角B PC D --的大小为钝角, 故二面角B PC D --的余弦值为12- 【点睛】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识,考查空间想象能力及运算能力18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2634n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2211n n n n n a a b a a +++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）31n a n =+（2）()92434n nT n n =++【解析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差可得2211633n n n n n a a a a a --=+--，再对其因式分解，即可得到13n n a a --=，最后根据等差数列的通项公式计算可得. （2）由（1）可得n b 的通项公式，再用分组求和及裂项相消法求和. 【详解】解：（1）当1n =时，2111634S a a =+-，所以14a =或1-（不合，舍去）.因为2634n n n S a a =+-①，所以当2n …时，2111634n n n S a a ---=+-②， 由①－②得2211633n n n n n a a a a a --=+--， 所以()()1130n n n n a a a a --+--=. 又0n a >，所以13n n a a --=.因此{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列. 故()43131n a n n =+-=+.（2）由（1）得()()()()22313433231343134n n n b n n n n +++==+-++++， 所以333333222471031347n T n n =+-++-+++-++L ()333333922477103134434n n n n n n ⎛⎫=+-+-++-=+ ⎪+++⎝⎭L 【点睛】本小题主要考查递推数列、等差数列的通项公式与数列求和等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.19．ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆o的面积为 （1）求AC（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=o ，求DEF ∆面积的最小值.【答案】（1）23;（2）633- 【解析】（1）利用1sin 2ABC AB B S BC =⋅⋅⋅V 求出BC ，再利用余弦定理求AC 即可； （2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，在BDE V 中，利用正弦定理表示出DE ，在CDF V 中，利用正弦定理表示出DF ，再将DEF V 的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值. 【详解】解：（1）因为60,2,B AB ==o所以1133sin 222ABC AB BC B BC B S C =⋅⋅⋅=⨯⨯⋅=V ， 又23ABC S =V ，所以4BC =，由余弦定理得：2222212cos 24224122AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以23AC =；（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，则60CDF θ︒∠=-，在BDE V 中，由正弦定理得：sin sin BD DEBED B=∠，即()23sin 60θ︒=+，所以()3sin 60DE θ︒=+， 在CDF V 中，由正弦定理得：sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得22260,,30B BC AC AB C ︒=∴=+=o ，则()21sin 902DFθ︒+=，所以1cos DF θ=，所以()13sin 24sin 60cos DEFS DE DF EDF θθ︒=⋅⋅⋅∠=+⋅V==当15θ︒=时，()()min sin 2601,6DEP Sθ︒+===-V故DEF V 的面积的最小值为6-【点睛】本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式以及三角函数性质的应用，是中档题.20．已如椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为12，点A ⎭在E 上. （1）求E 的方程：（2）斜率不为0的直线l 经过点1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，且与E 交于P ，Q 两点，试问：是否存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠？若存在，求C 的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1）22143x y +=（2）存在x 轴上的定点()8,0C ，使得PCB QCB ∠=∠【解析】（1）根据椭圆离心率和过的点，得到关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值，从而得到椭圆的方程；（2）设存在定点C ，对称性可知设(),0C m ，根据PCB QCB ∠=∠，得到0PC QC k k +=，即得12120y y x m x m+=--，直线l 的方程为：12x ty =+与椭圆联立，得到12y y +，12y y ，从而得到m 和t 的关系式，根据对t ∈R恒成立，从而得到m 的值.【详解】（1）因为椭圆E 的离心率12e a ==，所以2234a b =①，点A ⎭在椭圆上，所以223314a b +=②， 由①②解得24a =，23b =.故E 的方程为22143x y +=.（2）假设存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠.由对称性可知，点C 必在x 轴上，故可设(),0C m .因为PCB QCB ∠=∠，所以直线PC 与直线QC 的倾斜角互补，因此0PC QC k k +=. 设直线l 的方程为：12x ty =+，()11,P x y ，()22,Q x y 由221,2143x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x ，得()22121612450t y ty ++-=， ()()()()222212412164514418012160t t t t ∆=-⨯+⨯-=+⨯+>，所以t ∈R ，所以122121216t y y t +=-+，122451216y y t =-+， 因为0PC QC k k +=，所以12120y y x m x m+=--， 所以()()12210y x m y x m -+-=，即122111022y ty m y ty m ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 整理得()12121202ty y m y y ⎛⎫+-+=⎪⎝⎭， 所以224511220121621216t t m t t -⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即()219012201216t m t t ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=+. 所以1901202t t m ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，即1901202m t ⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，对t ∈R 恒成立， 即()96120m t -=对t ∈R 恒成立，所以8m =. 所以存在定点()8,0C ，使得PCB QCB ∠=∠.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点问题，属于中档题.21．已知函数()()21e xf x x ax =++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()21e 1xg x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）211em -<…【解析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e xf x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得；（2）依题意可得()()21e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件；当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >，01m <<三种情况讨论可得. 【详解】解：（1）因为()()21xf x x ax e =++，所以()()221e xf x x a x a ⎡⎤=+++⎣⎦'+，即()()()11e xf x a x x =++'+.由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-.①当0a =时，()()21e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-，由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()(),1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()1,1a -+-为减函数. ③当0a <时，()11a -+>-，由()0f x >′得()1x a >-+或1x <-，由()0f x <′得()11x a -<<-+； 所以()f x 在(),1-∞-，()()1,a -++∞为增函数，在()()1,1a --+为减函数. 综上，当0a =时，()f x 在为(),-∞+∞增函数；当0a >时，()f x 在()(),1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()1,1a -+-为减函数；当0a <时，()f x 在(),1-∞-，()()1,a -++∞为增函数，在()()1,1a --+为减函数. （2）因为()()21e 1xg x x mx =+--，所以()()21e x g x m x =+'-，①当0m …时，()0g x '…，()g x 在[)1,-+∞为增函数，所以()g x 在[)1,-+∞至多一个零点.②当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数. 因为()01g m '=-，()00g =.（ⅰ）当1m =时，()00g '=，0x >时，()0g x '>，10x -<<时，()0g x '<； 所以()g x 在[)1,0-为减函数，在[)0,+∞为增函数，()()min 00g x g ==. 故()g x 在[)1,-+∞有且只有一个零点.（ⅱ）当1m >时，()00g '<，()()210m g m e m m '=+->，()00,x m ∃∈，使得()00g x '=，且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数.所以()()000g x g <=，又()()()22221e 1110mg m m m m m =+-->+--=，根据零点存在性定理，()g x 在()0,x m 有且只有一个零点. 又()g x 在[)01,x -上有且只有一个零点0. 故当1m >时，()g x 在[)1,-+∞有两个零点.（ⅲ）当01m <<时，()01g m -'=-<，()00g '>，()01,0x ∃∈-，使得()00g x '=， 且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数. 因为()g x 在()0,x +∞有且只有一个零点0，若()g x 在[)1,-+∞有两个零点，则()g x 在[)01,x -有且只有一个零点.又()()000g x g <=，所以()10g -…即()2110eg m -=+-…，所以21e m -…，即当211em -<…时()g x 在[)1,-+∞有两个零点.综上，m 的取值范围为211em -<…【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养. 22．在同一平面直角坐标系xOy 中，经过伸缩变换2,x x y y ''=⎧⎨=⎩后，曲线221:1C x y +=变为曲线2C .（1）求2C 的参数方程；（2）设()2,1A ，点P 是2C 上的动点，求OAP △面积的最大值，及此时P 的坐标．【答案】（1）2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）)2-或(2 【解析】（1）先利用伸缩变换求得曲线2C 的普通方程，再将普通方程转化为参数方程；（2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，再利用点到直线的距离公式，求得距离的最大值，结合面积的最大值，求得点P 的坐标.【详解】（1）由伸缩变换2,x x y y ''=⎧⎨=⎩得到1,2.x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'……① 将①代入221x y +=，得到221+=12x y ''（），整理得222:+=14x C y ''. 所以2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）． （2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，直线:20OA x y -=，则P 到直线OA的距离为d ==，所以111222OAP S OA d d =⋅==△≤当3π=4α或7π=4α时，OAP △，此时P的坐标为2(2,)2-或2(2,)2-.【点睛】本题考查伸缩变换、曲线普通方程与参数方程的互化、点的参数设法，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，考查运算求解能力.23．已知函数1()||||f x x a xa=++-．（1）证明：()2f x≥；（2）当12a=时，()f x x b+≥，求b的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）1(,]2-∞.【解析】（1）利用绝对值不等式直接进行证明；（2）将函数()f x写成分段函数的形式，作出函数的图象，并观察图象求b的取值范围. 【详解】（1）1111()||||||||||2||||2f x x a x a a aa a a a=++-+=+⋅=≥≥；（2）312,,22151()2=,2,22232,2,2x xf x x x xx x⎧-+≤-⎪⎪⎪=++--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩作出()f x的图象，如图由图，可知()f x x b+≥，当且仅当(2)2f b+≥，解得12b=，故b的取值范围为1(,]2-∞．【点睛】本题考查绝对值不等式的证明、参数取值范围的求解，考查数形结合思想的运用，考查运算求解能力.。