人教版数学九年级上册 24.1.4 圆周角定理 课程教学设计

圆周角定理教学设计

教学目标：

(一)知识与技能：

1.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论。

2.准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算。

(二)过程与方法：

1. 通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系发展学生合情推

理和演绎推理的能力。

2. 经历探究同弧或等弧所对圆周角与圆心角的关系的过程,进一步

体会分类讨论、转化的思想方法。

3. 通过引导学生添加合理的辅助线,培养学生探究问题的兴趣。

(三)情感与价值观：

1.经过探索圆周角定理的过程,发展学生的数学思考能力。

2.通过积极引导,帮助学生有意识主动探究,并能在探究中获得成功的体验。

重点难点：

1.教学重点：圆周角定理、圆周角定理的推导.

2.教学难点：圆周角定理分三种情况逐一证明

教学过程：

活动1 【导入】温故知新复习之前讲的圆的性质,垂径定理和圆心角定理,然后引入今天学习圆的又一性质圆心角定理。

活动2【讲授】圆周角的概念师:出示PPT,请同学们思考图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点?

生:①顶点都在圆周上;②两边都与圆相交。

师:评价并鼓励学生的总结给出肯定,我们把顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。(教师出示圆周角的定义,并强调定义的两个要点。)

【设计意图】:让学生经历观察、分析、得出圆周角定义,理解圆周角概念。

师：请同学们完成教科书88 页,练习1

【设计意图】为了使学生更加容易地掌握概念,教科书并排地呈现正例和反例,可以有利于学生对本质属性与非本质属性进行比较.

活动3探究圆周角定理

师: 请同学们自己画出一条弧BC以及它所对的圆心角和圆周角,并用量角器分别测量他们的度数,回答∠ACB 和∠AOB 有怎样的数量关系?并请同学回答,你得出了什么结论? (留出足够时间供同学们自己画图、探讨,并归纳出结论)

生: ∠ACB=1/2∠AOB 教师引导学生用语言归纳出: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

师: 引导学生画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC的几种位置关系?并用师:圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上;圆心在圆周角的内部;圆心在圆周角的外部.

活动4圆周角定理的证明

师: 要得出一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,那么以上述三种情况我们都必须要证明。我们先选择其中的第一种情况进行证明。那么如何证明呢? (学生先独立思考, 然后在同伴间悄悄交流自己的思路.)

生: 由同圆半径相等可知,OC=OB,所以∠C=∠B,根据定理“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得,∠AOB=∠C+∠B=2∠C,即同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半. 师:证明得非常好,给予鼓励!

师: 当圆心在圆周角的一边上的时候,圆周角∠ACB的边AC部分就是⊙O的直径,因此给证明思路的寻找带来了不少方便,当圆心不在圆周角的边上时,比如在角的内部,又该如何证明呢? (学生开始对第二种情况观察,分析,交流……)

生: 连接AO 并延长交⊙O 于点D,可以转化为第一种情况的证明,即,如果作过点C的直径CD,那么,由(1)中的结论可知: ∠ACD= ∠AOD,∠BCD= ∠BOD,两式相加即可得到∠ACB= ∠AOB. 师:很好!请同学们在学案上写出这种情况下的证明过程,之后完成最后一种情况的证明,同伴之间交流自己的证明思路. (各小组学生思考交流后一种情况的证明思路,完成证明过程.教师做思路和规范性点评.)

【设计意图】在本段的教学中,注意突出图形性质的探究过程,重视学生主体地位的落实,通过观察度量、实验操作、图形变换、合情推理来探索图形的性质,从而让学生学会分析问题和解决问题的方法.另外,教学时尽可能地从数学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符号

语言”进行描述,以强化对数学知识的学习与理解,加强数学语言的运用与表达.

师: 通过上面的证明,我们得到:同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.其实,等弧的情况下该命题也是成立的。

活动5圆周角定理的推论

1. 思考:一条弧所对的圆周角之间有什么关系?同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系?

(学生先独立思考, 然后请一位同学来回答.) 学生一:因为∠BAC= 1/2∠BOC,∠BDC= 1/2∠BOC,∠BAC= ∠BDC. 教师:回答的非常好,给予鼓励。教师引导学生,共同得出结论: 同弧或等弧所对的圆周角相等.

2. 思考:半圆(或直径)所对的圆周角有什么特殊性?

(学生先独立思考, 然后请一位同学来回答.) 学生二:因为∠BCA= 1/2∠BOA,∠BOA= 180°,∠BCA=90°. 教师:回答的非常好,给予鼓励。反过来,请同学继续思考:90°的圆周角所对的弦又有什么特殊性呢? 教师引导学生,共同得出结论: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.

活动6 【例题及练习】圆周角定理的运用如图,⊙O 的直径AB 为10 cm,弦AC 为 6 cm,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D,求BC,AD,BD 的长。

(学生先独立思考, 然后教师给予详细讲解及做PPT练习.)

活动7课堂小结

(1)本节课学习了哪些主要内容?

(2)我们是怎样探究圆周角定理的?在证明过程中用到了哪些思想方法?

【设计意图】:通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法,将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结,有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感.