24.1.4圆周角教案

24.1.4 圆周角

教学目标：

1.知识与技能：理解圆周角的概念，掌握圆周角定理，并会通过它进行证明和计算。

2.过程与方法：经历圆周角定理的发现、探究与证明，使学生感悟分类讨论的数学思想，体会数学知识的一般形成过程。

3.情感态度：通过学生自主探究圆周角的概念及定理，合作交流的学习过程，体验实现自身价值的愉悦和数学的应用。

教学重点：圆周角定理的理解与应用。

教学难点：运用分类讨论思想证明圆周角的定理。

教学过程：

一、情境导入

（课件展示海洋馆图片）在海洋馆里，人们可以通过圆弧形玻璃窗观看其中的海洋动物.

问题1如图，AB为圆弧形玻璃窗，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻

璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？

问题2如果同学丙，丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB) 和同学乙的视角相同吗？

（相同，2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB）

二、探索新知

1.圆周角的定义

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

探究1判别下列各图形中的角是不是圆周角.

归纳总结圆周角必须具备的两个条件：（1）顶点在圆上；（2）两边都要圆相交.

2.圆周角定理

探究2 分别量一下图中AB所对的两个圆周角的度数，比较一下，再变动点C在圆周上的位置，圆周角的度数有没有变化？你能发现什么规律？再分别量

出图中AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？

归纳总结在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.

动手操作学生先动手画圆周角，将

圆对折，使折痕经过圆心和圆周角的顶点，再相互交流，比较探究圆心与圆周角的位置关系，并请学生代表上讲台展示交流成果，教师再利电脑动画展示圆心与圆周角可能具有的不同的位置关系，并由学生归纳圆心与圆周角具有的三种不同的位置关系.

（1）圆心在圆周角的一边上.

（2）圆心在圆周角的内角.

（3）圆心在圆周角的外部.

分析第（1）种情况：

圆心在∠BAC 的一条边上.

12OA OC A C A BOC BOC A C =⇒∠=∠⎫⇒∠=∠⎬∠=∠+∠⎭

． 归纳总结

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

注意 （1）定理运用的条件是“同圆或等圆中”，而且必须是“同弧或等弧”；（2）若将定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不一定成立了，因为一条弧所对的圆周角有两种情况，它们一般不相等，而是互补.

3.圆周角定理的推论

议一议 （1）特殊的弧——半圆，它所对的圆周角是多少度？

（2）如果一条弧所对的圆周角是直角，那么这条弧所对的圆心角是多少度？

归纳总结

圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

4.圆内接四边形

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.

探究 圆内接四边形的角之间有何关系？

如图，连接OB ，OD .∵∠A 所对的弧为BCD ,∠C 所对的弧为BAD ，

又BCD 和BAD 所对的圆心角的和是周角，∴∠A +∠C =3602

°=180°.同理 ∠B +∠D =180°.

由此可知圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.

三、掌握新知

例1 如图，圆O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分

线交圆O 于D .求BC ，AD ，BD 的长.

分析：根据直径所对的角是90°，判断出△ABC 和△ABD 是直角三角形，根据圆周角∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，判断出△ADB 为等腰

直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．

解：∵AB 是直径，∴∠ACB =∠ADB

=90°

.

在Rt △ABC 中，222AB AC BC

=+，AB =10cm ，AC =6cm ， ∴2222210664BC AB AC =-=-=.

∴BC =64=8（cm ）.又CD 平分∠ACB ，

∴∠ACD =∠BCD ，∴A D DB =.∴AD =BD . 又在Rt △ABD 中，222AD BD AB +=，∴22210AD BD +=.∴AD =BD =1002=52cm. 例2 如图，AB 为圆O 的直径，点C ，D 在圆O 上，∠AOD =30°，求∠BCD 的度数. 分析：先根据等腰三角形的性质得到∠A =∠ADO ，再根据三角形内角和

定理计算出∠A =75°，然后根据圆的内接四边形的性质求∠BCD 的度数． 解：∵OD =OA ，∴∠A =∠ADO ．∵∠AOD =30°，

∴∠A =12

（180°-30°）=75°．∵∠A +∠BCD =180°， ∴∠BCD =180°-75°=105°．

四、巩固练习

1.如图，∠A =50°，∠AOC =60°，BD 是⊙O 的直径，则∠AEB 等于

（ ）

A.70°

B.110°

C.90°

D.120°.

2.如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 都在⊙O 上，∠C =30°，AB=2，则⊙O 的

半径是多少？

答案：1.B

2.连接OA ，OB .

∵∠C =30°，∴∠AOB =60°.

又OA =OB ，∴△AOB 是等边三角形.

∴OA =OB =AB =2，即半径为2.

五、归纳小结

本节课所学的知识点有哪些？常见的辅助线有哪些？