角平分线的几种辅助线作法与三种模型
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一、角平分线的三种“模型”
模型一:角平分线+平行线→等腰三角形
如图1,过∠AOB平分线OC上的一点P,作PE∥O B,交OA于点
E,则EO=EP.
A A A
E P C E
C
D F
E P
O B B C O F
B
图1 图2 图
3
例1 如图2,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F,过F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E.求证:BD+EC=DE.
模型二:角平分线+垂线→等腰三角形
如图3,过∠AOB平分线OC上的一点P,作
EF⊥OC,交OA于点E,交OB于点F,则OE=OF,PE=PF.
例2 如图4,BD是∠ABC的平分线,
AD⊥BD,垂足为D,求证:∠BAD=∠DAC+∠C.
模型三:角平分线+翻折→全等三角形
在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,沿角平分线AD将△ABD往右
边折叠就得到如图5的图形.此时有:△ABD≌△AB /D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边,或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.
D A
E A P
/ B C
D B / B C
图5 图6
例3 如图6,点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.
求证:PB+PC>AB+AC.
二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法
一、已知角平分线,构造三角形
1、如图所示,在△ABC 中,∠ABC=3∠C ,AD 是∠BAC 的平分线,BE ⊥AD 于F 。
求证:1
()2
BE AC AB =- 2、在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,CE ⊥AD 于E .求证:∠ACE=∠B+∠
ECD .
二、已知一个点到角的一边的距
2
1F E
D
C
B
A
N
P
E
D
C
B
A A
B
D
C
E F
图
离,过这个点作另一边的垂线段
1、如图所示,∠1=∠2,P 为BN 上的一点,并且PD ⊥BC 于D ,AB +BC=2BD 。
求证:∠BAP +∠BCP=180°。
三、已知角平分线和其上面的一点,过这一点作角的两边的垂线段
1、如图所示,在△ABC 中,PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线,求证:∠1=∠2
2、2、 如图2,AB ∥CD ,E 为AD 上一点,且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD .
求证:AE=ED 3、(四(2))
四、以角的平分线为对称轴构造对称图形
例1 如图1,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,∠C=2∠B . 求证:AB=AC+CD .
2、例题:如图2,BC >AB ,BD 平分∠ABC ,且∠A+∠C=1800, 求证:AD=DC .
五、利用角的平分线构造等腰三
角形
G
2
1
P
F
E
C
B
A
A
G C
H
D
E
F
图2
B
B A
C
D
E
图1
A
B
D
E C
B
A C
D
E 图
1、如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,DE⊥BD于D,交BC于点E.
1BE.
求证:CD=
2