角平分线的几种辅助线作法与三种模型

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一、角平分线的三种“模型”

模型一:角平分线+平行线→等腰三角形

如图1,过∠AOB平分线OC上的一点P,作PE∥O B,交OA于点

E,则EO=EP.

A A A

E P C E

C

D F

E P

O B B C O F

B

图1 图2 图

3

例1 如图2,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F,过F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E.求证:BD+EC=DE.

模型二:角平分线+垂线→等腰三角形

如图3,过∠AOB平分线OC上的一点P,作

EF⊥OC,交OA于点E,交OB于点F,则OE=OF,PE=PF.

例2 如图4,BD是∠ABC的平分线,

AD⊥BD,垂足为D,求证:∠BAD=∠DAC+∠C.

模型三:角平分线+翻折→全等三角形

在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,沿角平分线AD将△ABD往右

边折叠就得到如图5的图形.此时有:△ABD≌△AB /D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边,或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.

D A

E A P

/ B C

D B / B C

图5 图6

例3 如图6,点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.

求证:PB+PC>AB+AC.

二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法

一、已知角平分线,构造三角形

1、如图所示,在△ABC 中,∠ABC=3∠C ,AD 是∠BAC 的平分线,BE ⊥AD 于F 。

求证:1

()2

BE AC AB =- 2、在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,CE ⊥AD 于E .求证:∠ACE=∠B+∠

ECD .

二、已知一个点到角的一边的距

2

1F E

D

C

B

A

N

P

E

D

C

B

A A

B

D

C

E F

离,过这个点作另一边的垂线段

1、如图所示,∠1=∠2,P 为BN 上的一点,并且PD ⊥BC 于D ,AB +BC=2BD 。

求证:∠BAP +∠BCP=180°。

三、已知角平分线和其上面的一点,过这一点作角的两边的垂线段

1、如图所示,在△ABC 中,PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线,求证:∠1=∠2

2、2、 如图2,AB ∥CD ,E 为AD 上一点,且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD .

求证:AE=ED 3、(四(2))

四、以角的平分线为对称轴构造对称图形

例1 如图1,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,∠C=2∠B . 求证:AB=AC+CD .

2、例题:如图2,BC >AB ,BD 平分∠ABC ,且∠A+∠C=1800, 求证:AD=DC .

五、利用角的平分线构造等腰三

角形

G

2

1

P

F

E

C

B

A

A

G C

H

D

E

F

图2

B

B A

C

D

E

图1

A

B

D

E C

B

A C

D

E 图

1、如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,DE⊥BD于D,交BC于点E.

1BE.

求证:CD=

2

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