角平分线的几种辅助线作法与三种模型

一、角平分线的三种“模型”

模型一：角平分线+平行线→等腰三角形

如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥O B，交OA于点E，则EO=EP.

AAA

EPCEC

DFEP

OBBCOFB

图1图2图3

例1 如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE.

模型二：角平分线+垂线→等腰三角形

如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作

EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF，PE=PF.

例2 如图4，BD是∠ABC的平分线，

AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C.

模型三：角平分线+翻折→全等三角形

在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.

D A

E AP

/

BC

DB /BC 图5图6

例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.

求证：PB+PC>AB+AC.

二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法

一、已知角平分线，构造三角形

1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

求证：1()2

BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠

ECD ．

二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段

1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。

求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。

2

1F E

D

C

B

A

N

P

E

D

C

B

A A

B

D

C

E F

图

三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段

1、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠2

2、2、如图2，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．

求证：AE=ED 3、（四（2））

四、以角的平分线为对称轴构造对称图形

例1如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ． 求证：AB=AC+CD ．

2、例题：如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800， 求证：AD=DC ．

五、利用角的平分线构造等腰三角形

1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，

BD 平分 ∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点

E ．

求证：CD=2

1

BE ．

G

2

1

P

F

E

C

B

A

A

G C

H

D

E

F

图2

B A

C

D

E

图1

A

B

D

E

C

B

A C D E 图