竺子民——物理光学习题解答

1

） 。
证： （1）无源空间中，若场满足麦克斯韦方程组，则满足波动方程 E
2
2 E 0 。仅 t 2
随时间变化的场无空间变量， E 0 。
2
而
2 E 2 E0 sin t 不恒为 0。因此无法满足波动方程，不满足麦克斯韦方程组。 2 t
2 Ex E y Ex2 E y cos sin 2 ，其中 2 1 证：对于任意一个椭圆方程 2 2 2 a1 a2 a1a2
这是一个斜椭圆，取适当的坐标系，可以将其转化为
x2 y 2 1 ，也可以表示为 a 2 b2
x a cos y b sin
根据上述麦克斯韦方程组，有
H E t H t t
由 H H H 可得：
2
2 H ， H 0 t 2
2 H
2 H 0 t 2

ˆ 0 sin t （2）当 E t , z xE
2

z 时， c
z 2 E z 2 2 E E sin 0 t c ， t 2 E0 sin t c
H E t E H J t E H 0
根据上述麦克斯韦方程组，有
E J H J 2E t E 2 t t t t
综上，任何一个椭圆偏振光可分解为一对旋向相反，振幅不等的圆偏振光。 如果入射光的电场强度矢量 2.15 一个平面线偏光从空气中入射到 r 4 ， r 1 的介质上， 与入射面的夹角为 45 ，问： （1）入射角 i 为何值时，反射光中只有垂直分量？ （2）此时反射率 R 等于多少？ 解： （1） n1 1 ， n2
r r 2 当反射光中只有垂直分量时，入射角为布儒斯特角，有：
tan i
n2 2 ， i 64.43 n1
（2）由 n1 sin 1 n2 sin 2 ， 1 i 64.43 ，解得， 2 26.56 。
Rs rs
2
n cos 1 n2 cos 2 1 36% n1 cos 1 n2 cos 2 Rs 18% 2
2 E 满足波动方程 E 2 0 ，则 E t , z 可满足麦克斯韦方程组。 t
2
1.5 推导磁场波动方程式 H
2
2 H 0 t 2
解：在无源空间中，麦克斯韦方程组可写为
H E t H E t E 0 H 0
物理光学习题解答
说明： 本资料是 2010～2011 学年度第一学期光电学院中法 0801～0803 班的物理光学作业题， 配套书籍为竺子民主编、华中科技大学出版社 2009 年出版的《物理光学》 。助教刘昊在任课 老师王英的指导下从同学们的作业中选取优秀的解法， 综合整理成为习题解答， 因此这也是 各位同学的功劳。 本解答对于大部分的题目只做方向上的引导， 列出公式， 而略过具体计算。 ，在 如果同学们有任何疑问或发现解答错误，请发邮件至jy02760419@（刘昊） 此先行感谢。 1.2 写出存在电荷 和电流密度 J 的介质中的 E 和 H 的波动方程。 解：麦克斯韦方程组可写为


sin t 2
合光波 E Re 2a exp j kx Nhomakorabea
sin t 2a sin kx sin t 2
2.14 证明任何一个椭圆偏振光可分解为一对旋向相反，振幅不等的圆偏振光。
E
由 E E E 可得：
2
2 E
J 2 E 2 t t
根据麦克斯韦方程组有
H E 2 H t H J J J 2 t t t
H E
r 0 H 1 1 r ，又由题干知， E 30 r 0 377
解得， r 16
k v k
c
r
108 rad s
2.7 在正常色散区， k 1 ，证明当 0 时，式（2.3.11）可近似为柯西公式。 证明： k 1 ， 0 时
2 1 n
Nq 2 Nq 2 1 0 m02 0 m 02 2
1
2 1 1 0
2
可以看成 n 项求和，
Nq 2 2 1 n 0 m02
Nq 2 2 2 2n 1 1 2 0 m02 0 0 2 1 1 0
则合振幅表达式为 E 18cos 33.69 2 10 t V m
15


2.10 如图 2.4.3 所示，有 N 个振幅同为 A0 的光波叠加，相邻相幅矢量之间的夹角为 ，利 用相幅矢量加法求合振动的振幅 A。 解：取第一个光波方向为标准方向，记为 A0 则

1 e in A A0 A0 e i A0 e 2i A0 e N 1i A0 1 e i 1 e in A0 A A A0 1 e i
1 cos n sin 2 n 2 1 cos sin 2
2
A0
1 cos n A0 1 cos sin 2
sin
n 2
2.11 两个偏振方向相同的光波分别为 E1 a cos kx t 和 E2 a cos kx t ，利用 复数形式求合光波。 解：两个光波的复数形式为 E1 a exp j kx t ， E2 a exp kx t 合光波的复数形式为 E E1 E2 2a exp j kx
2 2 ab 2 ab x y 1 p 1 2 2 时， 满足上述情况， 则两个圆为 解得， 当 2 a b 2 q a b 2 x2 y2 2 2
逆时针方向 顺时针方向
假设存在两个方向相反的圆偏振光
x1 p cos x x1 x2 x2 q cos 和 ，使得 ， y y y y q sin 1 2 y1 p sin 2
则椭圆可有这两个相反的圆偏振光叠加而成。
2.2 空气中均匀平面光波的电场强度振幅 E0 为 800V/m，沿 x 方向偏振，z 方向传播，波长 为 0.6 m ，求： （1）光波的频率 f （2）周期 T （3）波数 k （4）磁场强度振幅 H 解： （1 ） f （2） T （3） k
c

5 1014 Hz
1 2 1015 s f 2
486.1nm 时，带入柯西公式，得 n=1.52195 dn 2B 3 7.2574 105 nm 1 d
2.9 两 个 振 动 方 向 相 同 的 单 色 波 在 空 间 某 点 的 振 动 分 别 为 E1 a1 cos 1 t 和
E2 a2 cos 2 t ， 若 2 1015 Hz ， a1 15V m ， a2 10V m ， 1 0 和
2
R Rs sin 2 R p cos 2 ，由 R p 0 和 45 得， R sin 2 45 Rs
2.18 已知全反射时，第二介质中的电场强度矢量为：
ˆ 2 exp( z ) exp E2 yA j k 2 x x t
2 4


2.8 一光学材料对 435.8nm 和 546.1nm 波长的折射率分别为 1.52626 和 1.51829， 确定柯西公 式中的常数 A 和 B，并计算该材料对 486.1nm 波长的折射率和色散率 dn 解：柯西公式近似为 n A
d
。
B
2
带入题中数据，解得 A=1.50413，B=4.16806×103nm2
由 H H H 可得：
2
2 H J
2 H 0 t 2
2 J 2 E E 2 t t 综上，波动方程为 2 2 H J H 0 t 2
1.3 证明：在无源自由空间中
ˆ 0 sin t ，不满足麦克斯韦方程组； （1）仅随时间变化的场，如 E t xE
ˆ 0 sin t （2）同时随时间和空间变化的场，如 E t , z xE
组（式中， c


z ，可满足麦克斯韦方程 c
2 4 2 4
1
1
Nq 2 Nq 2 2 1 Nq 2 2 1 1 0 m02 0 m02 0 2 0 m02 0 4 2 1 Nq 2 2 1 2 0 m02 0 4 0 B C 2 A 2 4 则近似为柯西形式 n Nq 2 Nq 2 1 0 m02 0 m02

1.047 107 rad m
（4） H
E 2.12 A m

4y 4y ˆ 10 cos t ， H x t 3 3
ˆ 300 cos 2.5 均匀绝缘介质中的光场为 E z
求： （1）时间角频率 （2）介质的相对介电常数 r 解：