2020年四川省内江市中考数学试题及答案

B

A

C

D

内江市二○二○年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷

数学试题

班级： 学号： 姓名： 成绩：

本试卷分为A 卷和B 卷两部分。A 卷1至6页，满分100分；B 卷7至10页，满分60分。全卷满分160分，考试时间120分钟。

题号

A 卷

B 卷

总分

一

二

三

四

五

17 18 19 20 21 26 27 28 得分

A 卷（共100分）

注意事项：

1、答题前，考生务必将将自己的姓名、学号、班级等填写好。

2、答A 卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号。

第Ⅰ卷（选择题 共36分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1、

2

1

的倒数是（ ） A 、2

B 、

2

1 C 、2

1-

D 、2-

2、下列四个数中，最小的数是（ ） A 、0

B 、2020

1

-

C 、5

D 、1-

3、下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）

4、如图，已知直线b a //，?=∠501，则2∠的度数为（ ） A 、?140 B 、?130 C 、?50 D 、?40

1

a

2 b

5、小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）

A 、80，90

B 、90，90

C 、90，85

D 、90，95 6、将直线12--=x y 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ） A 、52--=x y B 、32--=x y C 、12+-=x y D 、32+-=x y 7、如图，在ABC ?中，D 、

E 分别是AB 和AC 的中点，15=BCED S 四边形，则=?ABC S （ ） A 、30 B 、25 C 、22.5 D 、20

8、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，?=∠120AOC ，点B 是⌒

AC 的中点，则D ∠的度数是（ ） A 、?30 B 、?40 C 、?50 D 、?60 9、如图，点A 是反比例函数x

k

y =

图象上的一点，过点A 作x AC ⊥轴，垂足为点C ，D 为AC 的中点，若AOD ?的面积为1，则k 的值为（ ）

A 、

34 B 、3

8

C 、3

D 、4

10、我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托。折回索子却量竿，却比竿子短一托。”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺。设绳索长x 尺。则符合题意的方程是（ ）

A 、

()552

1

--=x x B 、

()552

1

++=x x C 、()552--=x x D 、()552++=x x

11、如图，矩形ABCD 中，BD 为对角线，将矩形ABCD 沿BE 、BF 所在直线折叠，使点A 落在BD 上的点M 处，点C 落在BD 上的点N 处，连结EF .已知43==BC AB ，，则EF 的长为（ ）

A 、3

B 、5

第7题图

E

B

C

D A

第8题图

O

B

C

D

A

O

x

y

C D

A M

N

F E

B

C

D

A

C 、

6

13

5 D 、13 12、在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线22++=t tx y （0>t ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t 的取值范围是（ ）

A 、

221<≤t B 、12

1

≤

1

≤≤t 且1≠t

内江市二○二○年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷

数学试题

第Ⅱ卷（非选择题 共64分）

注意事项：

1、第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上。

2、答题前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、在函数4

21

-=

x y 中，自变量x 的取值范围是 ； 14、2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成。根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7亿台，其中7亿用科学记数法表示为 ；

15、已知关于x 的一元二次方程()033122

=++-mx x m 有一实数根为1-，则该方程的另一个实

数根为 ；

16、如图，在矩形ABCD 中，10=BC ，?=∠30ABD ，若点M 、N 分别是线段DB 、AB 上的两个动点，则MN AM +的最小值为 .

三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17、（本小题满分7分） 计算：()01

31260sin 4|2|21-+-?+--??

? ?

?-

-π

M

N B

C

D

A

等级

人数

B

8

7 6 5 4 3 2 1 0

A

C

D

m % B

A C D 15%

18、（本小题满分9分）

如图，点C 、E 、F 、B 在同一条直线上，点A 、D 在BC 异侧，CD AB //，DF AE =，D A ∠=∠. （1）求证：CD AB =；

（2）若CF AB =，?=∠40B ，求D ∠的度数。

19、（本小题满分9分）

我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图。请你根据统计图解答下列问题。

（1）成绩为“B 等级”的学生人数有 名；

（2）在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中m 的值为 ； （3）学校决定从本次比赛获得“A 等级”的学生只能怪，选出2名去参加市中学生知识竞赛。已知“A 等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率。

D

F B

C

E

A

20、（本小题满分9分）

为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理。如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东?

60方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东?

30方向上。

（1）求B处到灯塔P的距离；

（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？

30°B P

A 60°

21、（本小题满分10分）

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，BC

OD⊥于点D，过点C作⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE.

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）设OE交⊙O于点F，若3

4

2=

=BC

DF，，求线段EF的长；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积。

E

B

C

A

O

D

F

A 3

x

y

第24题图

B O A 2 A 1 A

l

B 2

B 1 x

y

第25题图

O

内江市二○二○年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷

数学试题

B 卷（共60分）

注意事项：加试卷共4页，请将答案直接填写在试卷上。

四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。） 22、分解因式：__________________1224=--b b ； 23、若数a 使关于x 的分式方程

3112=-+-+x

a

x x 的解为非负数，且使关于y 的不等式组()??

?

??<--≥+--02121331

4

3a y y y 的解集为0≤y ，则符合条件的所有整数a 的积为 ； 24、如图，在平面直角坐标系中，点A （-2，0），直线3

3

33:+=

x y l 与x 轴交于点B ，以AB 为边作1ABA ?，过点1A 作x B A //11轴，交直线l 于点1B ，以11B A 为边作等边211A B A ?，过点2A 作

x B A //22轴，交直线l 于点2B ，以22B A 为边作等边322A B A ?，以此类推……，则点2020A 的纵坐标

是 ；

25、已知抛物线x x y 421+-=（如图）和直线b x y +=22.我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为1y 和2y .若21y y ≠，取1y 和2y 中较大者为M ；若21y y =，记21y y M ==.①当

2=x 时，M 的最大值为4；②当3-=b 时，使2y M >的x 的取值范围是31<<-x ；③当5-=b 时，

11=x ，32=x ；④当1≥b 时，M 随x 的增大而增大。

使3=M 的x 的值是上述结论正确的是 ；

（填写所有正确结论的序号）

五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）

26、我们知道，任意一个正整数x 都可以进行这样的分解：n m x ?=（m ，n 是正整数，且n m ≤），在x 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称n m ?是x 的最佳分解。并规定：()n

m

x f =

. 例如：18可以分解成181?，92?或63?，因为3629118->->-，所以63?是18的最佳分解，所以()2

16318==

f . （1）填空：()________6=f ；()_________9=f ；

（2）一个两位正整数t （b a t +=10，91≤≤≤b a ，a ，b 为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求()t f 的最大值；

（3）填空：①()_____________75322=???f ；②()_____________75323=???f ；

③()_____________75324=???f ；④()_____________75325=???f .

27、如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），连结BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转?90到BQ ，连结QP 交BC 于点E ，QP 延长线与边AD 交于点F .

（1）连结CQ ，求证：CQ AP =； （2）若AC AP 4

1

=

，求BC CE :的值； （3）求证：EQ PF =.

C

B D

Q

A

E

P F

28、如图，抛物线c bx ax y ++=2经过A （-1，0）、B （4，0）、C （0，2）三点，点D （x ，y ）为抛物线上第一象限内的一个动点。

（1）求抛物线所对应的函数表达式；

（2）当BCD ?的面积为3时，求点D 的坐标；

（3）过点D 作BC DE ⊥，垂足为点E ，是否存在点D ，使得CDE ?中的某个角等于ABC ∠的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由。

x

y

O

C

B

D

A

参考答案

第Ⅰ卷（选择题 共36分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1-5 ADCBB 6-10 CDADA 11-12 CD

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、2≠x 14、8107? 15、3

1

-

16、15

三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17、（本小题满分7分）

计算：()01

31260sin 4|2|21-+-?+--??

? ??-π

解原式1322

3

422+-?

+-=（5分） 1=（7分）

18、（本小题满分9分） （1）证明：∵CD AB // ∴C B ∠=∠（2分） ∵DF AE =，D A ∠=∠

∴DCF ABE ???（AAS ）（4分） ∴CD AB =（5分） （2）∵CF AB =，CD AB = ∴CF CD =（7分） ∴CFD D ∠=∠ ∵?=∠=∠40B C ∴?=∠70D （9分） 19、（本小题满分9分） 解：（1）5 （2分）

（2）?72 40 （每空2分）

D

F B

C

E

A

开始

男1

男2

女

男2

男1

女

女

男1

男2

（3）列树状图如下：

（8分） 故()3

2

64==

女生被选中P （9分） 20、（本小题满分9分）

解：（1）由题意得：?=∠30PAB ，?=∠120ABP ，60=AB （海里）（2分） ∴PAB ABP PAB APB ∠=?=∠-∠-?=∠30180（3分） ∴60==AB BP （海里）

答：B 处到灯塔P 的距离为60海里。（4分） （2）海监船继续向正东方向航行是安全的（5分） 理由如下：如图所示，过点P 作AB PD ⊥于点D 在PBD Rt ?中，PB

PD

PBD =

∠sin ∴3302

3

6060sin 60sin =?

=?=∠=PBD PB PD （8分） 509.5173.130>=?≈

∴海监船继续向东方向航行是安全的。（9分） 21、（本小题满分10分） （1）证明：连结OC ∵CE 是⊙O 的切线 ∴?=∠90OCE （1分） ∵BC OD ⊥

∴BD CD =，即OD 垂直平分BC ∴EB EC =

又∵OE OE =，OC OB = ∴OBE OCE ???（SSS ）（3分） ∴?=∠=∠90OCE OBE ∴BE OB ⊥

∴BE 是⊙O 的切线（4分） （2）设⊙O 的半径为r ∵342==BC DF ， ∴2-=r OD ，32==CD BD 在OBD Rt ?中，222OB BD OD =+

30°

B P

A

60°

D

E

B

C

A O

D F

∴()()

22

2322r r =+-，解得4=r （5分）

∴2=OD

在BOD Rt ?中，32

3

2tan ===

∠OD BD BOD ∴?=∠60BOD ∴?=∠30OEB ∴82==OB OE （6分）

∴448=-=-=OF OE EF （7分） （3）∵?=∠60BOD ∴?=∠=∠1202BOD BOC

∴360

412032821222

??-

???=-=-=?πBOC

OBE BOC OBEC S S S S S 扇形扇形四边形阴影（9分） π3

16

316-

=（10分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。）

22、()()()2232-++b b b 23、40 24、

()

122

32020

- 25、②、④

五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 26、解：（1）

3

2

1 （4分） （2）由题意得：新数a b t +='10

∴()()()5491010=-=+-+=-'a b b a a b t t ∴6+=a b （6分）

∵91≤≤≤b a ，a ，b 为正整数

∴满足条件的数有：17，28，39（7分）

∴()17117=

f ，()7428=f ，()13

339=f ∴()x f 的最大值为7

4

（8分）

（3）①2120；②1514；③2120；④15

14

（12分）

27、（1）证明：∵线段BP 绕点B 顺时针旋转?90到BQ ∴BQ BP =，?=∠90PBQ （1分） ∵四边形ABCD 是正方形 ∴CB AB =，?=∠90ABC

∴ABC PBQ ∠=∠ ∴CBQ ABP ∠=∠

∴CBQ ABP ???（SAS ）（3分） ∴CQ AP =（4分）

（2）∵四边形ABCD 是正方形，AC AP 4

1

=

∴AB AC AP 4241==

，AB AC CP 4

2343== （5分） 由（1）知：?=∠45BPE ∴?=∠+∠135CPE APB ∵?=∠=∠45PCE PAB ∴?=∠+∠135CEP CPE ∴CEP APB ∠=∠

∴ABP ?∽CPE ? （6分） ∴

CP

AB

CE AP =

∴AB AB CE AB

4

2

342=

∴BC AB CE 8

383==

∴BC CE :的值为8

3

（8分）

（3）证明：如图所示，过点G 作AC QG //交BC 于点G

则?=∠=∠45PCE EGQ

由（1）知：EGQ PAB GCQ ∠=?=∠=∠45 ∴GQ CQ = （9分） ∵CQ AP =

∴GQ AP =（10分）

∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线 ∴CB AB =，?=∠90ABC ∴EGQ FAP ∠=?=∠45，BC AD // ∴GEQ AFP ∠=∠ ∴GEQ AFP ??? （AAS ） ∴EQ PF =（12分）

28、解：（1）由题意设：()()()041≠-+=a x x a y ∵抛物线经过A （-1，0）、B （4，0）、C （0，2）三点

C

B

D

Q

A

E

P

F G

C x

y

O

B

D

A

∴2

1-

=a ∴抛物线所对应的函数表达式为：22

3

212++-

=x x y （3分） （2）如图1，过点D 作y DH //轴交BC 于点H

易求得直线BC 所对应的函数表达式为：22

1

+-=x y 设点D （m ，223212++-m m ），则点H （m ，221

+-m ）

∴m m DH 22

1

2+-=

∴m m m m S BCD 422142122+-=??

?

??+-??=

?（5分） ∵3=?BCD S

∴342=+-m m ，解得：11=m ，32=m ∴点D 的坐标为（1，3）或（3，2）（7分）

（3）存在点D ，使得CDE ?中的某个角等于ABC ∠的2倍（8分） 理由如下：如图2所示，过点D 作BC DE ⊥于点E ①若ABC DCE ∠=∠2，延长DC 交x 轴于点F ∵ABC DCE ∠=∠2，CFB ABC DCE ∠+∠=∠ ∴CBF CFB ∠=∠ ∵B （4，0） ∴F （-4，0）

∴直线DF 所对应的函数表达式为：22

1

+=x y

由???

????+=++-=221223212x y x x y 解得：???==2011y x 或???==3222y x

∵点D 在第一象限

∴点D 的横坐标为2（9分） ②若ABC CDE ∠=∠2

则过点D 作x MD //轴交y 轴于点N ，交BC 的延长线于点M 设点D （n ，223212++-

n n ）

，则n ND =，n n NC 2

3

212+-= ∵A （-1，0）、B （4，0）、C （0，2） ∴5=AC ，52=BC ，5=AB

x

y

O

C B

D

A

H

图 1

D

x

y

O C

B

A

E F

图 2

D

E P x

y O

C B

A

M

N

∴222AB BC AC =+

∴ABC ?是直角三角形（10分） 取AB 的中点P ，连结CP

∴P （

23

，0） ∴BP AB CP ==2

1

∴ABC CPO ∠=∠2 ∴3

4

tan tan ==

∠=∠OP CO CPO CDE 在CDE Rt ?中，设k CE 4=，k DE 3= 在MDE Rt ?中，2

1

tan tan ==∠=∠=BC AC ABC M ME DE ∴k ME 6=

∴k MC 2=，k MD 53= 在MCN Rt ?中，

2

1

tan tan ==∠=∠=BC AC ABC M MN CN ∴k NC 552=

，k MN 5

54= ∴k MN MD ND 5

5

11=

-= ∴k k

NC ND n n n 5

5255

1123212==+- 解得：01=n （舍去），1129

2=n

综上所述，点D 的横坐标为2或11

29

（12分）