高中数学导数及其应用知识点总结及练习教案学生
导数及其应用知识点总结
导数及其应用知识点总结导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。
在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。
一、导数的定义1.函数在其中一点的导数：函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h2.函数的导函数：函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。
二、导数的计算法则1.常数法则：对于常数k，有：(k)'=0。
2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。
3.基本初等函数法则：对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。
4.乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。
5.商数法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^26.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。
三、导数与函数性质的关系1.导函数与函数的单调性：若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。
2.导函数与函数的极值：若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。
3.导函数与函数的凹凸性：函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题
第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、引言在高中数学课程中，导数是一个非常重要的概念。
本教案旨在介绍导数及其应用，帮助学生理解导数的概念和基本性质，并学习如何在实际问题中运用导数进行分析和计算。
二、导数的概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率，即函数值随自变量变化而变化的快慢程度。
2. 导数的几何意义：导数等于函数曲线在某一点切线的斜率。
3. 导数的符号表示：通常用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
三、导数的基本性质1. 常数的导数为0：若f(x) = a（a为常数），则f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 和差的导数：若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
4. 乘积的导数：若f(x) = u(x)v(x)，则f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
5. 商的导数：若f(x) = u(x)/v(x)，则f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] /v(x)^2。
四、导数的应用1. 切线和法线：导数可以用于求函数曲线在某一点的切线和法线方程。
2. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数的极值，并求出极值点和极值。
3. 函数图像的画法：导数可以提供函数图像的一些特征，如拐点、极值、单调性等。
4. 物理问题中的应用：导数可以帮助解决一些物理问题，如速度、加速度等。
五、教学活动1. 导数的计算练习：通过给出具体函数的表达式，让学生计算其导数。
2. 导数在几何中的应用：通过给出函数的图像，让学生判断函数的增减性、拐点、极值等。
3. 实际问题解析：将一些实际问题转化为数学模型，并运用导数进行分析和求解。
六、教学反思通过本教案的讲解和练习，学生应能掌握导数的概念和基本性质，具备运用导数进行实际问题分析和计算的能力。
高中数学导数的应用教案
高中数学导数的应用教案
教学目标：学生能够理解导数的概念，掌握导数在实际问题中的应用，并能够运用导数解决相关问题。
教学重点和难点：掌握导数在实际问题中的应用。
教学准备：教师准备课件、实例题目，学生准备笔记本、笔。
教学过程：
一、导入（10分钟）
通过一个生活实例引入导数的概念，让学生初步了解导数在实际中的意义。
二、概念讲解（15分钟）
1. 温故导数的定义和性质；
2. 导数的应用领域；
3. 导数在实际问题中的意义和作用。
三、实例分析（20分钟）
教师通过实例问题，引导学生运用导数进行问题求解，如最值问题、速度问题等。
四、练习（15分钟）
让学生在课堂上进行练习题目，加深对导数应用的理解。
五、总结（10分钟）
通过讨论和总结，让学生掌握导数在实际问题中的应用方法，并复习导数的相关概念。
六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生巩固所学知识。
教学反思：
通过实例讲解和练习，能够有效帮助学生掌握导数在实际问题中的应用方法。
同时，通过讨论和总结，可以使学生更深入地理解导数的概念和性质。
高中数学备课教案导数的基本运算与性质总结
高中数学备课教案导数的基本运算与性质总结高中数学备课教案导数的基本运算与性质总结在高中数学中，导数是一个非常重要的概念。
它不仅是微积分的基础，也在很多数学问题的解决中起到了关键作用。
本文将对导数的基本运算与性质进行总结，以帮助教师更好地备课和授课。
一、导数的定义导数的定义是一个极限的概念，表示函数在某一点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，其在x=a处的导数表示为f'(a)，它的定义如下：f'(a) = lim┬(x→a)〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗其中lim代表极限运算。
根据这个定义，我们可以推导出导数的基本运算法则和性质。
二、导数的基本运算法则1. 常数法则：如果c是一个常数，那么对于任意函数f(x)，有(cf)'=cf'(x)。
即常数倍的函数的导数是常数倍的导数。
2. 和差法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，那么它们的和差也是可导的，且有(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)。
即求和差函数的导数等于各自函数的导数的和差。
3. 乘法法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，那么它们的乘积也是可导的，且有(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
即求乘积函数的导数等于一个函数乘以另一个函数的导数再加上一个函数乘以另一个函数的导数。
4. 商法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，且g(x)≠0，那么商函数也是可导的，且有(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2。
即求商函数的导数等于分子函数的导数乘以分母函数再减去分子函数乘以分母函数的导数再除以分母函数的平方。
5. 复合函数法则：如果y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，那么复合函数y=f(g(x))也是可导的，且有(dy)/(dx) = (dy)/(du) * (du)/(dx) = f'(u)*g'(x)。
高中数学导数及其应用教案
高中数学导数及其应用教案教学目标：1. 理解导数的定义和性质，能够计算常见函数的导数。
2. 掌握导数在函数求极限、判定函数的增减性和凹凸性等方面的应用。
3. 能够解决实际问题中的优化和相关性问题。
教学内容：1. 导数的定义和性质2. 基本函数的导数3. 高阶导数4. 函数的导数应用：求极限、判定增减性和凹凸性5. 优化问题和相关性问题的求解教学流程：1. 导数的定义和基本性质的介绍（15分钟）- 导数的定义- 导数的性质：线性性、乘积法则、商法则、链式法则2. 基本函数的导数计算（20分钟）- 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数计算- 三角函数的导数计算3. 高阶导数和导数的应用（25分钟）- 高阶导数的定义和计算- 导数在函数的极限、增减性和凹凸性判定中的应用4. 优化问题和相关性问题的解决（20分钟）- 优化问题的定义和解决方法- 相关性问题的建模和解决方法教学方法：1. 讲解导数的定义和性质，引导学生理解概念并掌握基本计算方法。
2. 练习基本函数的导数计算，帮助学生巩固知识。
3. 引导学生理解高阶导数和导数在函数中的应用，培养学生应用知识解决问题的能力。
4. 练习优化问题和相关性问题，让学生通过实际问题感受导数在解决问题中的作用。
教学评估：1. 布置作业，巩固学生对导数的理解和应用能力。
2. 定期组织小测验，检验学生对导数相关知识的掌握程度。
3. 课堂中提问和讨论，评估学生对导数的理解程度。
教学资源：1. PowerPoint课件：导数的定义和基本性质、基本函数的导数计算、高阶导数和导数的应用、优化问题和相关性问题的解决。
2. 习题册：导数相关习题，巩固学生对导数的掌握。
教学反思与总结：教师在教学导数及其应用过程中，要注意引导学生理解概念、掌握计算方法，并注重培养学生的问题解决能力。
通过多种教学方法，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。
及时总结分析教学过程中出现的问题和不足，不断完善教学内容和方法，提升教学质量。
导数相关知识点的教案与总结
一、导数的基本概念导数是微积分学中的重点内容之一，是求解函数的变化率的工具，也是研究函数性质的基础。
在初等数学中，导数通常通过极限的概念定义。
如果函数在某一点的导数存在，在其附近一定有着很好的局部近似性质，即函数在该点附近的变化率与该点处的导数值接近。
因此，导数的定义在理论上非常重要，也有着广泛的应用价值。
二、导数的计算规则为了求得导数，我们常常需要运用一些计算规则。
下面，我们将介绍导数的常见计算规则及其应用。
1.常数函数的导数如果函数 f(x) = c，其中 c 是一个常数，则它的导函数为f’(x) = 0。
这个结论的含义是显然的：常数函数的图像是一条常直线，它在每一点上的切线斜率都是0。
2.幂函数的导数假设函数f(x) = xⁿ，则其导函数为f’(x) = n*x^(n-1)。
对于幂函数，我们可以利用求导公式来求出它的导数。
关键在于运用幂函数的化简公式，将xⁿ 转化为 e^(n*ln(x))，然后求导。
3.指数函数的导数如果函数 f(x) = e^x，则其导函数为f’(x) = e^x。
指数函数的导数可以直接由其定义 e^x 得出，不需要运用复杂的求导公式。
4.对数函数的导数如果函数f(x) = logₐx，则其导函数为f’(x) = 1/(x*ln(a))。
对数函数的导数比较难推导，需要利用极限的定义来进行证明。
5.三角函数的导数如果函数 f(x) = sinx，则其导函数为f’(x) = cosx。
如果函数 f(x) = cosx，则其导函数为f’(x) = -sinx。
如果函数 f(x) = tanx，则其导函数为f’(x) = sec²x。
三角函数的导数是高中数学中的重要内容，它们的导数公式需要通过差商和泰勒公式的展开来求出。
6.复合函数的导数如果 y = f(g(x)) 为复合函数，则 y 对 x 的导数为y’ = f’(g(x)) * g’(x)。
复合函数的导数计算过程比较复杂，一般需要运用链式法则和求导公式等技巧。
高中导数应用总结教案设计
高中导数应用总结教案设计教案标题：高中导数应用总结教案设计教案目标：1. 理解导数的概念及其在实际问题中的应用。
2. 掌握常见导数应用的计算方法。
3. 运用导数解决实际问题，提高数学建模能力。
教材：高中数学教材教学时长：2课时教学步骤：第一课时：1. 导入（5分钟）通过提问，复习导数的概念和一阶导数的计算方法，引发学生对导数应用的兴趣。
2. 导数应用的分类总结（10分钟）介绍导数应用的主要分类，如极值与最值问题、曲线图的分析、实际问题的数学建模等，并通过实例简要解释每种应用的特点。
3. 极值与最值问题（25分钟）3.1 例题讲解：通过一个具体函数的极值问题，引导学生运用导数求解极值，解释求解过程及方法。
3.2 练习：提供一些极值问题，让学生利用导数计算方法求解，鼓励学生进行思考和讨论。
4. 曲线图的分析（15分钟）4.1 例题讲解：选择一个具体的函数图像，分析其极值、拐点等特性，通过导数的概念与性质解释图像的特点。
4.2 练习：给出几个函数图像，要求学生通过导数的相关知识进行分析，预测其特性，并用导数计算方法求解。
第二课时：1. 实际问题的数学建模（10分钟）1.1 例题讲解：给出一个实际问题，如最优化问题或速度与加速度问题，引导学生提取关键信息，建立数学模型，并利用导数求解。
1.2 练习：提供几个实际问题，要求学生独立思考建立模型，并运用导数求解问题。
2. 教学总结与归纳（10分钟）对本节课所学导数应用的相关知识进行总结，归纳每种应用的特点、求解方法及注意事项，使学生对导数应用有更清晰的认识。
3. 拓展联系（10分钟）为了激发学生的学习兴趣，提供一些更具挑战性的导数应用问题，让有能力的学生尝试解决，引导全班进行讨论和思考。
4. 课堂评价（5分钟）通过课堂练习和讨论，评价学生对导数应用的掌握情况和解题能力。
教学资源和评价方式：资源：- 高中数学教材- 例题和练习题- 实际问题案例评价方式：- 课堂练习的答案和讨论- 学生的课堂参与度- 学生对实际问题建模的能力教学实施注意事项：1. 补充合适的例题和练习题，以提高学生运用导数解决实际问题的能力。
导数专题及其应用教案
导数专题及其应用教案教案标题：导数专题及其应用教案教案目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 熟悉导数在实际问题中的应用。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法；2. 导数在函数图像、极值和曲线的切线方程中的应用。
教学难点：1. 理解导数的概念和意义；2. 运用导数解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、计算工具；2. 学生准备：教材、笔记、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，提问学生对导数的理解；2. 通过一个简单的例子，引导学生思考导数的意义。
二、导数的定义和计算方法（15分钟）1. 介绍导数的定义和符号表示；2. 讲解导数的计算方法，包括用极限定义导数和使用导数公式计算导数；3. 通过示例演示导数的计算过程。
三、导数在函数图像中的应用（15分钟）1. 讲解导数与函数图像的关系，包括导数与函数的增减性、极值和拐点；2. 指导学生根据导数的正负判断函数的增减性，并绘制函数图像；3. 引导学生通过导数的零点判断函数的极值和拐点，并绘制函数图像。
四、导数在曲线的切线方程中的应用（15分钟）1. 引入导数与曲线的切线方程的关系；2. 讲解切线方程的一般形式和求解步骤；3. 指导学生根据导数和给定点求解曲线的切线方程，并进行实际问题的应用练习。
五、导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍导数在实际问题中的应用领域，如物理、经济等；2. 提供一些实际问题，引导学生运用导数解决问题；3. 学生个别或小组完成导数应用问题的解答和讨论。
六、总结（5分钟）1. 简要回顾导数的概念和计算方法；2. 强调导数在实际问题中的应用；3. 鼓励学生继续深入学习导数的相关知识。
教学延伸：1. 提供更多的导数计算练习题，巩固学生的计算能力；2. 引导学生在实际生活中寻找更多导数的应用案例，并进行讨论和分享。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现；2. 学生完成课后作业，包括导数计算和应用题目；3. 学生进行小组或个人报告，展示导数在实际问题中的应用案例。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.4知识点总结含同步练习题及答案
1 1 1 25 ． + +⋯+ < n+1 n+2 2n 36
即
2n 1 1 1 1 n + +⋯+ <∫ dx = ln x| 2 n = ln 2n − ln n = ln 2， n+1 n+2 2n x n
因为ln 2 ≈ 0.6931 ， 25 ≈ 0.6944 ，所以ln 2 < 25 ．所以
3 1
π 2 dx；（3）∫ 0 2 (sin x − cos x)dx． x
∫
(1 + x + x2 ) = ∫
3 1
1 2 3 1 x | 1 + x3 | 3 1 2 3 1 1 = (3 − 1) + (3 2 − 1 2 ) + (3 3 − 1 3 ) 2 3 44 = . 3 = x| 3 1 +
∑ f (ξi )Δx = ∑
i =1 i =1 n n
b−a f (ξi )， n
当 n → ∞ 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分（definite integral），记作 ∫ ab f (x)dx，即
∫
b a
f (x)dx = lim ∑
∫
b a
f (x)dx = F (x)| b a = F (b) − F (a).
例题： 利用定积分定义计算： （1）∫ 1 (1 + x)dx；（2）∫ 0 xdx． 解：（1）因为 f (x) = 1 + x 在区间 [1, 2] 上连续，将区间 [1, 2] 分成 n 等份，则每个区间的
高二数学导数模块知识点总结(3篇)
高二数学导数模块知识点总结（3篇）高二数学导数模块知识点总结（精选3篇）高二数学导数模块知识点总结篇1导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作：2、导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①=f/(_0)表示过曲线=f(_)上P(_0,f(_0))切线斜率。
V=s/(t)表示即时速度。
a=v/(t)表示加速度。
3、常见函数的导数公式:4、导数的四则运算法则：5、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。
当函数=f(_)的自变量_在一点_0上产生一个增量Δ_时，函数输出值的增量Δ与自变量增量Δ_的比值在Δ_趋于0时的极限a如果存在，a即为在_0处的导数，记作f(_0)或df(_0)/d_。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
导数及其应用教案
导数及其应用教案导数及其应用教案一、教学目标：1. 了解导数的定义和性质；2. 掌握导数的计算方法；3. 了解导数的应用领域及其作用。
二、教学内容：1. 导数的定义和性质；2. 导数的计算方法；3. 导数在函数图像研究中的应用；4. 导数在物理、经济等领域的应用。
三、教学过程：1. 导入导数的概念，引出导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。
给出导数的定义：若函数在点a处的导数存在，则称函数在点a处可导，记为f'(a)。
2. 介绍导数的计算方法：a. 用导数定义法计算：根据导数的定义，利用极限运算求出导数；b. 用基本导数公式计算：介绍常见函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等；c. 用导数运算法则计算：介绍导数的四则运算法则，包括常数倍、和差、积、商。
3. 导数在函数图像研究中的应用：a. 求函数的增减区间：根据函数的导数求出函数的增减性和极值点；b. 求函数的凹凸区间和拐点：根据函数的导数求出函数的凹凸性和拐点。
4. 导数在物理、经济等领域的应用：a. 导数表示速度和加速度：介绍物理学中速度和加速度的概念，并利用导数计算速度和加速度；b. 导数表示边际效应和弹性：介绍经济学中边际效应和弹性的概念，并利用导数计算边际效应和弹性。
5. 总结导数的应用：导数在数学、物理、经济等领域中都有广泛的应用，帮助我们研究函数的性质、分析物体的运动和评估经济的效益等。
四、教学方法：1. 讲授导数的定义和性质，引导学生思考导数的计算方法；2. 结合例题和实际问题，让学生动手计算导数和应用导数；3. 培养学生的分析和解决问题的能力，引导学生思考导数的实际应用。
五、教学评价：1. 练习题：布置一些导数计算和应用题目，要求学生独立完成；2. 口头回答问题：提问学生导数的定义和应用，检查学生对导数的理解程度；3. 个案分析：根据学生的学习情况，进行个别辅导和评价。
六、板书设计：导数的概念：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。
高二数学导数的定义及其几何意义的应用例题+方法总结+课后作业
导数的概念及几何意义知识点一、导数的概念1． 导数的概念设函数=()y f x ，当自变量x 从0x 变1x 时，函数值从()0f x 变到()1f x ，函数值关于x 的平均变化率为()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆， 当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，记作 ()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000lim lim＝注意：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度．（3）增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数． （4）0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近． （5）函数=()y f x 在0x 点的导数还可以用符号0'|x x y =表示．知识点二、导数的几何意义已知点00(,)P x y 是曲线=()y f x 上一定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是曲线=()y f x 上的()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）动点，我们知道平均变化率yx∆∆表示割线PQ 的斜率．如图所示：当点Q 无限接近于点P ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．注意：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点P 处的切线：点P 在曲线上，在点P 处作曲线的切线（P 是切点），此时数量唯一．②曲线经过点P 处的切线：点P 位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P 作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P 即可），数量不唯一．（3）直线与曲线相切⎫直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l 2与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．知识点三、导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．题型一、导数定义的应用例1． 用导数的定义，求函数()y f x==x =1处的导数．【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下： （1）求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； （2）求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； （3）求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．【变式1】已知函数()2=f x x x -+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy，()'1=f - ．【变式2】求函数 2()3f x x =在x =1处的导数．【变式3】求函数()2f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2． 已知函数()24f x x=，求()f x '．【变式1】求函数y =在(0,)+∞内的导函数． 【变式2】已知()f x =，求'()f x ，'(2)f ．例3（1）若0'()2f x =，则000()()lim2k f x k f x k→--=________．()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim 1x f f x x →-+=-【变式1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1( ；（2）=-+xf x f )1()21( ．【变式2】若0'()f x a = （1）求()()xx f x x f x ∆-∆-→∆000lim的值；（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值．【变式3】设函数()f x 在点x 0处可导，则000()()lim2h f x h f x h h→+--=________．题型二、求曲线的切线方程方法总结：1.求曲线()y f x =在0x x =处切线的步骤：（1）先求()0'f x ，即曲线()y f x =在))((00x f x P ，处切线的斜率． （2）再求()0f x ，则切线过点()()00x f x ，；（2）最后由点斜式写出直线方程：()000=()()y f x f x x x '--．特别的，如果()y f x =在点00(())x f x ，处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：0x x =． 2.求曲线()f x 经过点()00P x y ，的切线方程的一般步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）验证点P 是否在曲线上：计算()0f x ，观察()00=f x y 是否成立； （3）分类讨论：①若()00=f x y ，则P 是切点，切线唯一，方程为()000=()()y f x f x x x '--： ②若()00f x y ≠，则P 不是切点，求切点：设切点坐标为()()a f a ，，则切线方程()=()()y f a f a x a '--，代入点()00P x y ，坐标，求出a 的值（注意0a x ≠），可得切线方程．例4．求曲线21y x =+在点()12P ，处的切线方程．【变式】求曲线215y x x=++上一点2x =处的切线方程．例5．求曲线()3f x x =经过点(1,1)P 的切线方程．例6.过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( )A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0【变式1】 已知函数3()3f x x x =-，过点(2,2)作函数图象的切线． 求切线方程．【变式2】已知曲线1y x=． （1）求曲线过点()10A ，的切线方程； （2）求满足斜率为13-的曲线的切线方程．【变式3】设函数32()2f x x ax bx a =+++，2()32g x x x =-+（其中x ∈R ，,a b 为常数）．已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2，0）处有相同的切线l ．求,a b 的值，并写出切线l 的方程．题型三、导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为()120155T t t =++，其中()T t 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．计算()2T '，并解释它的实际意义．【变式1】设一个物体的运动方程是：2021)(at t v t s +=，其中0v 是初速度（单位：m ），t 是时间（单位：s ）．求：2s t =时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）．课后作业1.若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或72.已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是3.设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a=A. 0B.1C.2D.34.若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=5.若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是6.在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b=7.设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2(1+ln2) 8.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 9.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 110.已知点P 在曲线y=14x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是。
高中数学导数及其应用知识点总结及练习教案-学生
不等式 恒成立的充要条件是 ；
不等式 恒成立的充要条件是 。
（2）证明不等式 可转化为证明 ，或利用函数 的单调性，转化为证明 。
5.导数在实际生活中的应用：
实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。
学生的接受程度：5 4 3 2 1 ______________________________
学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般积极□不积极□___________________________
学生上次作业完成情况：优□良□中□差□存在问题_____________________________
17．设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线 的对称点，.求
(Ⅰ)求点 的坐标；
(Ⅱ)求动点 的轨迹方程.
18.已知函数
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若关于 的方程 有三个不同的实根，求实数 的取值范围.
19．已知
（1）当 时，求函数的单调区间。
4.导数的几何意义：
函数 在 处的导数就是曲线 在点 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：
（1）求出 在x0处的导数，即为曲线 在点 处的切线的斜率；
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 。
当点 不在 上时，求经过点P的 的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线 在点 处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为 。
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…
正负
0
正负
0
正负
单调性
单调性
单调性
（4）检查 的符号并由表格判断极值。
3.求函数的最大值与最小值：
如果函数 在定义域I内存在 ，使得对任意的 ，总有 ，则称 为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。
求函数 在区间 上的最大值和最小值的步骤：
（1）求 在区间 上的极值；
（3） ；
（4） 。
3.简单复合函数的导数：
若 ，则 ，即 。
三、导数的应用
1.求函数的单调性：
利用导数求函数单调性的基本方法：设函数 在区间 内可导，
（1）如果恒 ，则函数 在区间 上为增函数；
（2）如果恒 ，则函数 在区间 上为减函数；
（3）如果恒 ，则函数 在区间 上为常数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数 的定义域；②求导数 ；
5．若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为（）
A． B． C． D．
6．曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
8．已知二次函数 的导数为 ， ，对于任意实数 都有 ，则 的最小值为（）
(3)如果函数 在区间 上为常数函数,则 恒成立。
2.求函数的极值：
设函数 在 及其附近有定义，如果对 附近的所有的点都有 （或 ），则称 是函数 的极小值（或极大值）。
可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：
（1）确定函数 的定义域；（2）求导数 ；（3）求方程 的全部实根， ，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时， 和 值的变化情况：
（2）当 时，讨论函数的单调增区间。
（3）是否存在负实数 ，使 ，函数有最小值－3？
20．已知函数 ， ，其中 ．
（1）若 是函数 的极值点，求实数 的值；
（2）若对任意的 （ 为自然对数的底数）都有 ≥ 成立，求实数 的取值范围．
课后作业
练习题
学生成长记录
本节课教学计划完成情况：照常完成□提前完成□延后完成□____________________________
（2）将第一步中求得的极值与 比较，得到 在区间 上的最大值与最小值。
4.解决不等式的有关问题：
（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。
的值域是 时，
不等式 恒成立的充要条件是 ，即 ；
不等式 恒成立的充要条件是 ，即 。
的值域是 时，
不等式 恒成立的充要条件是 ；
不等式 恒成立的充要条件是 。
3.求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量 ；（2）求平均变化率： ；（3）取极限，当 无限趋近与0时， 无限趋近与一个常数A，则 .
4.导数的几何意义：
函数 在 处的导数就是曲线 在点 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：
（1）求出 在x0处的导数，即为曲线 在点 处的切线的斜率；
三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）
15．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大最大体积是多少
16．设函数 在 及 时Βιβλιοθήκη 得极值．（1）求a、b的值；
（2）若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围．
17．设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线 的对称点，.求
(Ⅰ)求点 的坐标；
(Ⅱ)求动点 的轨迹方程.
18.已知函数
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若关于 的方程 有三个不同的实根，求实数 的取值范围.
19．已知
（1）当 时，求函数的单调区间。
12．已知函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ，则 ＿＿．
13．点P在曲线 上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为 ，则 的取值范围是
14．已知函数 (1)若函数在 总是单调函数，则 的取值范围是.(2)若函数在 上总是单调函数，则 的取值范围.
（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数 的取值范围是.
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数
教学重点、难点
掌握导数的概念和求法。
掌握利用导数研究函数的单调性及导数的应用。
教学过程
知识点复习
【知识点梳理】
一、导数的概念和几何意义
1.函数的平均变化率：函数 在区间 上的平均变化率为： 。
即：
注1：其中 是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2.导数的定义：设函数 在区间 上有定义， ，若 无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称函数 在 处可导，并称该常数A为函数 在 处的导数，记作 。函数 在 处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
注意：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
A． B． C． D．
9．设 在 内单调递增， ，则 是 的（ ）
Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件
10．函数 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）
（A） y
（B）
（C）
（D） O1234x
二．填空题（本大题共4小题，共20分）
11．函数 的单调递增区间是＿＿＿＿．
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 。
当点 不在 上时，求经过点P的 的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线 在点 处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为 。
5.导数的物理意义：
质点做直线运动的位移S是时间t的函数 ，则 表示瞬时速度， 表示瞬时加速度。
二、导数的运算
1.常见函数的导数：
（1） (k,b为常数)；（2） (C为常数)；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） （α为常数）；
（9） ；（10） ；
（11） ；（12） ；
（13） ；（14） 。
2.函数的和、差、积、商的导数(若 ， 均可导)：
（1） ；
（2） （C为常数）；
备注
签字时间
教学组长审批
教学主任审批
③解不等式 ，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式 ，解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：
设函数 在区间 内可导，
(1)如果函数 在区间 上为增函数,则 (其中使 的 值不构成区间)；
(2)如果函数 在区间 上为减函数,则 (其中使 的 值不构成区间)；
高中数学导数及其应用知识点总结及练习教案学生
教师：学生：时间：_2016_年__月日段第__次课
教师
学生姓名
上课日期
月日
学科
数学
年级
高二
教材版本
人教版
类型
知识讲解：√考题讲解：√
本人课时统计
第（）课时
共（）课时
学案主题
《导数及其应用》复习
课时数量
第（）课时
授课时段
教学目标
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
（2）证明不等式 可转化为证明 ，或利用函数 的单调性，转化为证明 。
5.导数在实际生活中的应用：
实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。
《导数及其应用》单元测试题
（满分：150分时间：120分钟）
学生的接受程度：54321______________________________
学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般积极□不积极□___________________________
学生上次作业完成情况：优□良□中□差□存在问题_____________________________
学管师（班主任）_______________________________________________________________
一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）
1．函数 的导数是（）
(A) (B) (C) (D)
2．函数 的一个单调递增区间是（）
(A) (B) (C) (D)
3．已知对任意实数 ，有 ，且 时， ，则 时（）
A． B．
C． D．
4．若函数 在 内有极小值，则（）
（A） （B） （C） （D）