人教版七年级上册数学 几何图形初步单元测试题(Word版 含解析)
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一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．如图，已知：点
不在同一条直线，
.
（1）求证：
.
（2）如图②，
分别为
的平分线所在直线，试探究 与
的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有
，直线
交于点 ，
，
请直接写出
________.
【答案】 （1）证明：过点 C 作
，则
，
∵ ∴ ∴
（2）解：过点 Q 作
，则
，
∵
，
∴
∵
分别为
∴
∴ ∵ ∴
的平分线所在直线
（3）:1:2:2 【解析】【解答】解：（3）∵
∴
∴
∵
∴
∵ ∴ ∴
∴
∴
.
故答案为：
.
【分析】（1）过点 C 作
点Q作
，则
，则
，再利用平行线的性质求解即可；（2）过
，再利用平行线的性质以及角平分线的性质得出
，再结合（1）的结论即可得出答案；（3）由（2）的结论可
（2）如图 2，∠ BEF 与∠ EFD 的角平分线交于点 P，EP 与 CD 交于点 G，点 H 是 MN 上一 点，且 GH⊥EG，求证：PF∥ GH；
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 PH，K 是 GH 上一点使∠ PHK=∠ HPK，作 PQ 平分 ∠ EPK，问∠ HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
而
同理： ∴ ∴
（2）解：∠ AOD 与∠ BOC 的大小关系为： 量关系为： （3）解： 理由如下：∵
∠ AOB 与∠ DOC 存在的数 仍然成立.
又∵
∴
【解析】【分析】（1）先计算出
再根据
（ 2 ） 根 据 (1) 中 得 出 的 度 数 直 接 写 出 结 论 即 可 . （ 3 ） 根 据
(平角定义)∴ ∠ ACD=
又∵ CF 平分∠ ACD ， ∴
(角平分线定义)
∴ ∠ ECF=
（2）证明：∵ CG⊥CF，
∴
.
∴
又∵
）
∴
∵
∴
(等角的余角相等）
即 CG 平分∠ OCD
（3）解：结论：当∠ O=60°时 ，CD 平分∠ OCF ． 当∠ O=60°时 ∵ DE//OB， ∴ ∠ DCO=∠ O=60°. ∴ ∠ ACD=120°. 又 ∵ CF 平分∠ ACD ∴ ∠ DCF=60°， ∴
【答案】 （1）解：AB∥ CD.理由如下：
如图 1， ∵ ∠ 1 与∠ 2 互补， ∴ ∠ 1+∠ 2=180°． 又∵ ∠ 1=∠ AEF ， ∠ 2=∠ CFE ， ∴ ∠ AEF+∠ CFE=180°， ∴ AB∥ CD；
（2）证明：如图 2，由（1）知，AB∥ CD ， ∴ ∠ BEF+∠ EFD=180°． 又∵ ∠ BEF 与∠ EFD 的角平分线交于点 P ， ∴ ∠ FEP+∠ EFP= （∠ BEF+∠ EFD）=90°， ∴ ∠ EPF=90°， 即 EG⊥PF ． ∵ GH⊥EG ， ∴ PF∥ GH；
即可得到
利用周角定义得
∠ AOB+∠ COD+∠ AOC+∠ BOD=360°，而∠ AOC=∠ BOD=90°，即可得到∠ AOB+∠ DOC=180°．
3．如图 1，直线 MN 与直线 AB、CD 分别交于点 E、F，∠ 1 与∠ 2 互补．
（1）试判断直线 AB 与直线 CD 的位置关系，并说明理由；
（3）解：∠ HPQ 的大小不发生变化，理由如下： 如图 3，∵ ∠ 1=∠ 2，
∴ ∠ 3=2∠ 2． 又∵ GH⊥EG ， ∴ ∠ 4=90°-∠ 3=90°-2∠ 2． ∴ ∠ EPK=180°-∠ 4=90°+2∠ 2． ∵ PQ 平分∠ EPK ， ∴ ∠ QPK= ∠ EPK=45°+∠ 2． ∴ ∠ HPQ=∠ QPK-∠ 2=45°， ∴ ∠ HPQ 的大小不发生变化，一直是 45°．
5．如图①，△ ABC 的角平分线 BD，CE 相交于点 P.
（1）若∠ O＝40°，求∠ ECF 的度数；
（2）试说明 CG 平分∠ OCD；
（3）当∠ O 为多少度时，CD 平分∠ OCF？并说明理由．
【答案】 （1）解：∵ DE//OB ，∴ ∠ O=∠ ACE，（两直线平行，同位角相等）
∵ ∠ O =40°，
∴ ∠ ACE =40°，∵ ∠ ACD+∠ ACE=
得出
பைடு நூலகம்
，又因为
，因此
，联立即可求
出两角的度数，再结合（1）的结论可得出
的度数，再求答案即可.
2．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点 O
（1）如图①，若∠ AOB=155°，求∠ AOD、∠ BOC、∠ DOC 的度数. （2）如图①，你发现∠ AOD 与∠ BOC 的大小有何关系？∠ AOB 与∠ DOC 有何关系？直接 写出你发现的结论. （3）如图②，当△ AOC 与△ BOD 没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成 立，请说明理由. 【答案】 （1）解：∵
【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠ AEF、∠ CFE 互 补，所以易证 AB∥ CD； （2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得 ∠ EPF=90°，即 EG⊥PF ， 故结合已知条件 GH⊥EG ， 易证 PF∥ GH； （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠ 4=90°-∠ 3=90°-2∠ 2；然后由邻补角 的定义、角平分线的定义推知∠ QPK= ∠ EPK=45°+∠ 2；最后根据图形中的角与角间的和差 关系求得∠ HPQ 的大小不变，是定值 45°． 4．如图，点 C 在∠ AOB 的边 OA 上，过点 C 的直线 DE∥ OB ， CF 平分∠ ACD ， CG⊥CF 于 C.
即 CD 平分∠ OCF 【解析】【分析】（1）根据平行线“两直线平行，同位角相等”，求得∠ ACE＝40°，根据平 角的定义以及 CF 平分∠ ACD ，可得到∠ ACF＝70°，然后求出∠ ECF 的度数； （2）根据∠ DCG＋∠ DCF＝90°，∠ GCO＋∠ FCA＝90°，以及∠ ACF＝∠ DCF，可得到∠ GCO ＝∠ GCD，即可证明 CG 平分∠ OCD； （3）根据两直线平行，内错角相等得出∠ DCO＝∠ O＝60°，根据角平分线可得到∠ DCF＝ 60°，以此可得∠ DCO＝∠ DCF，即 CD 平分∠ OCF．
1．如图，已知：点
不在同一条直线，
.
（1）求证：
.
（2）如图②，
分别为
的平分线所在直线，试探究 与
的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有
，直线
交于点 ，
，
请直接写出
________.
【答案】 （1）证明：过点 C 作
，则
，
∵ ∴ ∴
（2）解：过点 Q 作
，则
，
∵
，
∴
∵
分别为
∴
∴ ∵ ∴
的平分线所在直线
（3）:1:2:2 【解析】【解答】解：（3）∵
∴
∴
∵
∴
∵ ∴ ∴
∴
∴
.
故答案为：
.
【分析】（1）过点 C 作
点Q作
，则
，则
，再利用平行线的性质求解即可；（2）过
，再利用平行线的性质以及角平分线的性质得出
，再结合（1）的结论即可得出答案；（3）由（2）的结论可
（2）如图 2，∠ BEF 与∠ EFD 的角平分线交于点 P，EP 与 CD 交于点 G，点 H 是 MN 上一 点，且 GH⊥EG，求证：PF∥ GH；
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 PH，K 是 GH 上一点使∠ PHK=∠ HPK，作 PQ 平分 ∠ EPK，问∠ HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
而
同理： ∴ ∴
（2）解：∠ AOD 与∠ BOC 的大小关系为： 量关系为： （3）解： 理由如下：∵
∠ AOB 与∠ DOC 存在的数 仍然成立.
又∵
∴
【解析】【分析】（1）先计算出
再根据
（ 2 ） 根 据 (1) 中 得 出 的 度 数 直 接 写 出 结 论 即 可 . （ 3 ） 根 据
(平角定义)∴ ∠ ACD=
又∵ CF 平分∠ ACD ， ∴
(角平分线定义)
∴ ∠ ECF=
（2）证明：∵ CG⊥CF，
∴
.
∴
又∵
）
∴
∵
∴
(等角的余角相等）
即 CG 平分∠ OCD
（3）解：结论：当∠ O=60°时 ，CD 平分∠ OCF ． 当∠ O=60°时 ∵ DE//OB， ∴ ∠ DCO=∠ O=60°. ∴ ∠ ACD=120°. 又 ∵ CF 平分∠ ACD ∴ ∠ DCF=60°， ∴
【答案】 （1）解：AB∥ CD.理由如下：
如图 1， ∵ ∠ 1 与∠ 2 互补， ∴ ∠ 1+∠ 2=180°． 又∵ ∠ 1=∠ AEF ， ∠ 2=∠ CFE ， ∴ ∠ AEF+∠ CFE=180°， ∴ AB∥ CD；
（2）证明：如图 2，由（1）知，AB∥ CD ， ∴ ∠ BEF+∠ EFD=180°． 又∵ ∠ BEF 与∠ EFD 的角平分线交于点 P ， ∴ ∠ FEP+∠ EFP= （∠ BEF+∠ EFD）=90°， ∴ ∠ EPF=90°， 即 EG⊥PF ． ∵ GH⊥EG ， ∴ PF∥ GH；
即可得到
利用周角定义得
∠ AOB+∠ COD+∠ AOC+∠ BOD=360°，而∠ AOC=∠ BOD=90°，即可得到∠ AOB+∠ DOC=180°．
3．如图 1，直线 MN 与直线 AB、CD 分别交于点 E、F，∠ 1 与∠ 2 互补．
（1）试判断直线 AB 与直线 CD 的位置关系，并说明理由；
（3）解：∠ HPQ 的大小不发生变化，理由如下： 如图 3，∵ ∠ 1=∠ 2，
∴ ∠ 3=2∠ 2． 又∵ GH⊥EG ， ∴ ∠ 4=90°-∠ 3=90°-2∠ 2． ∴ ∠ EPK=180°-∠ 4=90°+2∠ 2． ∵ PQ 平分∠ EPK ， ∴ ∠ QPK= ∠ EPK=45°+∠ 2． ∴ ∠ HPQ=∠ QPK-∠ 2=45°， ∴ ∠ HPQ 的大小不发生变化，一直是 45°．
5．如图①，△ ABC 的角平分线 BD，CE 相交于点 P.
（1）若∠ O＝40°，求∠ ECF 的度数；
（2）试说明 CG 平分∠ OCD；
（3）当∠ O 为多少度时，CD 平分∠ OCF？并说明理由．
【答案】 （1）解：∵ DE//OB ，∴ ∠ O=∠ ACE，（两直线平行，同位角相等）
∵ ∠ O =40°，
∴ ∠ ACE =40°，∵ ∠ ACD+∠ ACE=
得出
பைடு நூலகம்
，又因为
，因此
，联立即可求
出两角的度数，再结合（1）的结论可得出
的度数，再求答案即可.
2．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点 O
（1）如图①，若∠ AOB=155°，求∠ AOD、∠ BOC、∠ DOC 的度数. （2）如图①，你发现∠ AOD 与∠ BOC 的大小有何关系？∠ AOB 与∠ DOC 有何关系？直接 写出你发现的结论. （3）如图②，当△ AOC 与△ BOD 没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成 立，请说明理由. 【答案】 （1）解：∵
【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠ AEF、∠ CFE 互 补，所以易证 AB∥ CD； （2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得 ∠ EPF=90°，即 EG⊥PF ， 故结合已知条件 GH⊥EG ， 易证 PF∥ GH； （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠ 4=90°-∠ 3=90°-2∠ 2；然后由邻补角 的定义、角平分线的定义推知∠ QPK= ∠ EPK=45°+∠ 2；最后根据图形中的角与角间的和差 关系求得∠ HPQ 的大小不变，是定值 45°． 4．如图，点 C 在∠ AOB 的边 OA 上，过点 C 的直线 DE∥ OB ， CF 平分∠ ACD ， CG⊥CF 于 C.
即 CD 平分∠ OCF 【解析】【分析】（1）根据平行线“两直线平行，同位角相等”，求得∠ ACE＝40°，根据平 角的定义以及 CF 平分∠ ACD ，可得到∠ ACF＝70°，然后求出∠ ECF 的度数； （2）根据∠ DCG＋∠ DCF＝90°，∠ GCO＋∠ FCA＝90°，以及∠ ACF＝∠ DCF，可得到∠ GCO ＝∠ GCD，即可证明 CG 平分∠ OCD； （3）根据两直线平行，内错角相等得出∠ DCO＝∠ O＝60°，根据角平分线可得到∠ DCF＝ 60°，以此可得∠ DCO＝∠ DCF，即 CD 平分∠ OCF．