第4章-4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程

dy (t ) 6 y (t ) x(t ) 2 dt dt 输入 x(t ) (t )，初始条件 y(0 ) 1、y(0 ) 0, 用拉普拉斯 变换求响应 y (t )。 5
d 2 y (t )
解
dy(t ) L[ ] sY (s) y(0 ) sY (s) 1 dt d 2 y (t ) L[ ] s 2Y ( s) sy (0 ) y (0 ) s 2Y ( s) s dt 2
若系统的初始状态不为零，在对y (t )的各阶导数项取拉氏变换时， 还要计入初始状态。以二阶系统为例，设微分方程为 a2 y(t ) a1 y (t ) a0 y (t ) b2 x(t ) b1 x(t ) b0 x (t )
输入x(t )为因果信号，系统的初始状态y (0 )与y(0 )已知。 对式两端取拉氏变换，有 a2 s 2Y ( s ) sy (0 ) y(0 ) a1 sY ( s ) y (0 ) a0Y ( s ) (b2 s 2 b1s b0 ) X ( s )
2 2 sy (0 ) y(0 ) 2.5 y(0 ) 1 Yb ( s) 3 3 s 2 2.5s 1 ( s 0.5)( s 2) s 0.5 s 2
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程 零状态响应和零输入响应
4 1 X ( s) 1 1 3 3 Ya ( s ) 2 s 2.5s 1 s ( s 0.5)( s 2) s s 0.5 s 2
1 4 ya (t ) 1 e0.5t e2t (t ) 3 3
2 2 sy (0 ) y(0 ) 2.5 y(0 ) 1 Yb ( s) 3 3 s 2 2.5s 1 ( s 0.5)( s 2) s 0.5 s 2
L h(t ) sH ( s )
方程右端的拉氏变换L (t ) s， 则 ( s 2 5s 6) H ( s ) s
H (s)
L h(t ) s 2 H ( s)
s s s 2 5s 6 ( s 2)( s 3) 2 3 s2 s3
s 2Y (s) s 5[sY wenku.baidu.coms) 1] 6Y (s) 1
4 3 s 5 1 Y (s) 2 s2 s3 s 5s 6 (s 2)(s 3)
s 5 1
y (t ) 4e
2t
3e
3t
仅适合于 t 0 的时间范围
2 0.5t 1 2t y (t ) 1 e e (t ) 3 3
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
如果本例要求单独给出零状态响应和零输入响应，由式，
X ( s) sy(0 ) y(0 ) 2.5 y(0 ) Y ( s) s 2 2.5s 1
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程 例4 27 已知系统的微分方程为y(t ) 2.5 y(t ) y (t ) x(t )
输入x(t ) (t )，初始状态y (0 ) 0，y(0 ) 1，求y (t )。
解：对微分方程两端取拉氏变换，有 s 2Y ( s ) sy (0 ) y(0 ) 2.5 sY ( s) y (0 ) Y ( s) X ( s)
2 0.5t 2 2t yb (t ) e e (t ) 3 3
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
作业： 4-9；4-10
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
例4 26 已知系统的微分方程为 y(t ) 5 y(t ) 6 y (t ) x(t )
利用拉氏变换求该系统的冲激响应h(t )。
解：h(t )满足的微分方程为 h(t ) 5h(t ) 6h(t ) (t ) 对方程两端取拉氏变换，设L h(t ) H ( s )，由于h(t )为因果信号，故
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
s s H (s) 2 s 5s 6 ( s 2)( s 3) 2 3 s2 s3
取H ( s )逆变换得冲激响应 h(t ) (2e 2t 3e3t ) (t )
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
信号与系统分析
第4章
复频域分析
请同学们写出下列单边拉普拉斯变换的公式
单边拉普拉斯变换表
第4章
4.4利用拉普拉斯变换 求解线性微分方程
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
应用拉普拉斯变换求解微分方程
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) x(t )
对线性微分方程两端取拉氏变换，输入x(t)和输出y(t)分别变换为 X(s)和Y(s),由于X(s)和Y(s)间只是代数关系，从中可方便地求出Y(s)， Y(s)经逆变换后就是输出y(t)。 把拉氏变换应用于初值微分方程问题，不需要专门求解t=0+ 初始值， 也不需要分别求解零输入响应与零状态响应，分析过程相对简单。
b2 s 2 b1s b0 sa2 y (0 ) a2 y(0 ) a1 y (0 ) Y (s) X (s) 2 a2 s a1s a0 a2 s 2 a1s a0
应用拉普拉斯变换求解微分方程 第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程 例 已知系统的微分方程为
X ( s) sy(0 ) y(0 ) 2.5 y(0 ) Y ( s) s 2 2.5s 1
根据已知输入，X ( s ) 1/ s，则 1 1 s 1 Y (s) 2 s s 2.5s 1 s ( s 0.5)( s 2)
2 1 1 3 3 Y ( s) s s 0.5 s 2