浙江大学概率论与数理统计第三章习题
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第三章习题
1. 在一个箱子中装有12只开关,其中2只是次品,在其中取两次,每次 任取一只,考虑两种试验:(1)放回抽样;(2)不放回抽样.我ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定义随机 变量X,Y如下: 0, 若第一次取出的是正品, 0, 若第二次取出的是正品, X Y 1, 若第一次取出的是次品; 1, 若第二次取出的是次品. 试分别就(1),(2)两种情况,写出X和Y的联合分布律.
解 设事件Ak表示“第k次取出的是正 品” (1),k=1,2. 放回抽样 10 10 25 P{X=0,Y=0}=P(A1A2) =P(A1)P(A2) 12 12 36
10 2 12 12 2 10 P{X=1,Y=0}=P(A1A2) =P(A1)P(A2) 12 12 2 2 P{X=1,Y=1}=P(A1A2) =P(A1)P(A2) 12 12
12 11 66
12 11 66 2 10 10 P{X=1,Y=0}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) 12 11 66 2 1 1 P{X=1,Y=1}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) 12 11 66
X和Y的联合分布律列表如下 (1) Y X 0 1 P{Y=j}
0 1 25/36 5/36 5/6 5/36 1/36 1/6 1/6 1
X和Y的边缘分布如下所示 (2) Y X 0 1 P{Y=j}
0 1 45/66 10/66 5/6 10/66 1/66 1/6 1/6 1
P{X=i} 5/6
P{X=i} 5/6
16(1)问第1题中的随机变量X和Y是否相互独立?(需说明理由) 解 (1)P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}对(X,Y)所有可能取值 (i,j)( i ,j =0,1)都成立,故放回抽样X和Y相互独立. (2) P{X=1,Y=0}=10/66 P{X=1}P{Y=0}=(1/6)(5/6)=5/36 故不放回抽样X和Y不相互独立.
k (6 x y ),0 x 2,2 y 4 3. 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f ( x, y ) 0, 其它
(1)y<2,-<x<,或x<0,-<y<时,F(x,y)=0 . 2 (x,y) 2 x y1 (2)0x<2,2y<4时, F ( x, y ) 0 dx2 (6 x y )dy x x 2 2 8 2 1 x y 1 0 (6 y xy 2 x 10)dx ( 2 x 2 x 2 y 12 xy xy 2 20 x ) 8 2 16 (x,y) (4) y y (3) 2 y1 (x,y) 4 (3) x2,2y<4时, F ( x , y ) 0 dx 2 (6 x y )dy 4 8 2 2 2 1 2 y 1 0 (6 y xy 2 x 10)dx (10 y y 2 16) x x 2 2 8 2 8 4 x1 总之 (4)0x<2,y4时,F ( x, y ) 2 dy0 (6 x y )dx 8 2 1 4 x 1 0, y 2, x 或x 0, y 2 [( 6 y ) x ]dy (6 x x 2 ) ( 2 x 2 x 2 y 12 xy xy 2 20 x ) / 16,0 x 2,2 y 4 8 2 8
P{X=0,Y=1}=P(A1A2) =P(A1)P(A2)
5 36 5 36 1 36
10 9 45 (2)不放回抽样 P{X=0,Y=0}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1)
P{X=0,Y=1}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) 10 2 10
(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1,5}; (4)求P{X+Y4}. 2 4 解 (1)由归一性 1 f ( x, y )dxdy k 0 dx2 (6 x y )dy y (4) (5) y2 4 2 2 2 8k k 0 (6 y xy ) 2 dx k 0 (6 2 x )dx k(6 x x 2 ) 0 4 2 (2) (3) 故 k=1/8. 2 1 3 1 31 (2) P{X<1,Y<3} f ( x , y )dxdy 0 dx 2 (6 x y )dy (1) 8 2 x 2 2 1 1 y 3 1 17 1 7 x 1 3 y 0 (6 y xy ) 2 dx 0 ( 2 x )dx ( x ) 0 8 2 8 2 8 2 2 8 4 1.5 1.5 41 (3)P{X<1,5} f ( x , y )dxdy 0 dx 2 (6 x y )dy 2 D x+y=4 8 G 1 1 1 .5 2 1.5 27 4 4 y x 2 0 (6 2 x )dx (6 x x ) 0 dy ( 6 x y ) / 8 dx 8 8 32 2 0 2 4 x 1 1 (6 x y )dy (4)P{X+Y4}= f ( x , y )dxdy (6 x y )dxdy 0 dx 2 8 G: x y 4 D8 3 1 x 2 1 2 y 2 4 x 1 2 x2 2 2 0 (6 y xy ) 2 dx 0 (6 4 x )dx (6 x 2 x ) 0 8 6 3 8 2 8 2
1. 在一个箱子中装有12只开关,其中2只是次品,在其中取两次,每次 任取一只,考虑两种试验:(1)放回抽样;(2)不放回抽样.我ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定义随机 变量X,Y如下: 0, 若第一次取出的是正品, 0, 若第二次取出的是正品, X Y 1, 若第一次取出的是次品; 1, 若第二次取出的是次品. 试分别就(1),(2)两种情况,写出X和Y的联合分布律.
解 设事件Ak表示“第k次取出的是正 品” (1),k=1,2. 放回抽样 10 10 25 P{X=0,Y=0}=P(A1A2) =P(A1)P(A2) 12 12 36
10 2 12 12 2 10 P{X=1,Y=0}=P(A1A2) =P(A1)P(A2) 12 12 2 2 P{X=1,Y=1}=P(A1A2) =P(A1)P(A2) 12 12
12 11 66
12 11 66 2 10 10 P{X=1,Y=0}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) 12 11 66 2 1 1 P{X=1,Y=1}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) 12 11 66
X和Y的联合分布律列表如下 (1) Y X 0 1 P{Y=j}
0 1 25/36 5/36 5/6 5/36 1/36 1/6 1/6 1
X和Y的边缘分布如下所示 (2) Y X 0 1 P{Y=j}
0 1 45/66 10/66 5/6 10/66 1/66 1/6 1/6 1
P{X=i} 5/6
P{X=i} 5/6
16(1)问第1题中的随机变量X和Y是否相互独立?(需说明理由) 解 (1)P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}对(X,Y)所有可能取值 (i,j)( i ,j =0,1)都成立,故放回抽样X和Y相互独立. (2) P{X=1,Y=0}=10/66 P{X=1}P{Y=0}=(1/6)(5/6)=5/36 故不放回抽样X和Y不相互独立.
k (6 x y ),0 x 2,2 y 4 3. 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f ( x, y ) 0, 其它
(1)y<2,-<x<,或x<0,-<y<时,F(x,y)=0 . 2 (x,y) 2 x y1 (2)0x<2,2y<4时, F ( x, y ) 0 dx2 (6 x y )dy x x 2 2 8 2 1 x y 1 0 (6 y xy 2 x 10)dx ( 2 x 2 x 2 y 12 xy xy 2 20 x ) 8 2 16 (x,y) (4) y y (3) 2 y1 (x,y) 4 (3) x2,2y<4时, F ( x , y ) 0 dx 2 (6 x y )dy 4 8 2 2 2 1 2 y 1 0 (6 y xy 2 x 10)dx (10 y y 2 16) x x 2 2 8 2 8 4 x1 总之 (4)0x<2,y4时,F ( x, y ) 2 dy0 (6 x y )dx 8 2 1 4 x 1 0, y 2, x 或x 0, y 2 [( 6 y ) x ]dy (6 x x 2 ) ( 2 x 2 x 2 y 12 xy xy 2 20 x ) / 16,0 x 2,2 y 4 8 2 8
P{X=0,Y=1}=P(A1A2) =P(A1)P(A2)
5 36 5 36 1 36
10 9 45 (2)不放回抽样 P{X=0,Y=0}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1)
P{X=0,Y=1}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) 10 2 10
(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1,5}; (4)求P{X+Y4}. 2 4 解 (1)由归一性 1 f ( x, y )dxdy k 0 dx2 (6 x y )dy y (4) (5) y2 4 2 2 2 8k k 0 (6 y xy ) 2 dx k 0 (6 2 x )dx k(6 x x 2 ) 0 4 2 (2) (3) 故 k=1/8. 2 1 3 1 31 (2) P{X<1,Y<3} f ( x , y )dxdy 0 dx 2 (6 x y )dy (1) 8 2 x 2 2 1 1 y 3 1 17 1 7 x 1 3 y 0 (6 y xy ) 2 dx 0 ( 2 x )dx ( x ) 0 8 2 8 2 8 2 2 8 4 1.5 1.5 41 (3)P{X<1,5} f ( x , y )dxdy 0 dx 2 (6 x y )dy 2 D x+y=4 8 G 1 1 1 .5 2 1.5 27 4 4 y x 2 0 (6 2 x )dx (6 x x ) 0 dy ( 6 x y ) / 8 dx 8 8 32 2 0 2 4 x 1 1 (6 x y )dy (4)P{X+Y4}= f ( x , y )dxdy (6 x y )dxdy 0 dx 2 8 G: x y 4 D8 3 1 x 2 1 2 y 2 4 x 1 2 x2 2 2 0 (6 y xy ) 2 dx 0 (6 4 x )dx (6 x 2 x ) 0 8 6 3 8 2 8 2