指数函数和对数函数

第七讲: 指数函数和对数函数

知能目标

1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质.

2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质.

3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

综合脉络

1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络

2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据):

0a (N log

b N a

a

b

>=⇔=且)1a ≠

指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表:

3. 指数函数,对数函数是高考重点之一

指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a ＞0, f (x)＝

x

x

e

a a

e

-

是R 上的奇函数.

(1) 求a 的值;

(2) 试判断f (x )的反函数f －1

(x)的奇偶性与单调性.

例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax

(log 2

a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在,

说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由.

例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log

x

a 1

log

2

a

12

a

⋅

的值域为]0 ,8

1[-

, 求a 的值.

(二) 专题测试与练习: 一. 选择题

1. 设0x >且) (0,b a, ,1b a x x ∞+∈<<, 则a 、b 的大小关系是 ( ) A. 1a b << B. 1b a << C. a b 1<< D. b a 1<<

2. 如果1a 0<<, 那么下列不等式中正确的是 ( )

A. 21

31

)a 1()a 1(->- B. )a 1(log

)

a 1(+- C. 2

3)a 1()a 1(+>- D. 1)a 1()a 1(>-+

3. 已知x 1是方程3x lg x =+的一个根, 2x 是方程310x x =+的一个根, 那么21x x +的值 是 ( ) A. 6 B. 3 C. 2 D. 1

4. ,0z log log log y log log log x log log log 324243432===则z y x ++的值为 ( )

A. 50

B. 58

C. 89

D. 111

5. 当1a >时, 在同一坐标系中, 函数x a y -=与=y x log

a

的图象是图中的 ( )

6. 若函数)x (f 与=)x (g x

) 2

1

(的图象关于直线x y =对称, 则)x 4(f 2

-的单调递增区间是( )

A. ]2 ,2(-

B. ) ,0[∞+

C. )2 ,0[

D. ]0 ,(-∞

二. 填空题

7. 已知522x

x

=+-, 则=+-x

x

88 .

8. 若函数=y 2x log 2+的反函数定义域为),3(∞+ , 则此函数的定义域为 .

9. 已知=y )ax 3(log a -在]2 ,0[上是x 的减函数, 则a 的取值范围是 .

10.函数=)x (f )1a ,0a (a x

≠>在]2 ,1[上的最大值比最小值大2

a , 则a 的值为 .

三. 解答题

11. 设 1x 0 <<, 试比较|)x 1(log a -|与|)x 1(log a +|的大小.

12. 已知函数12x )x (f -=的反函数为)x (f 1-, )1x 3(log )x (g 4+=.

(1) 若≤-)x (f 1)x (g ，求x 的取值范围D;

(2) 设函数)x (f

21)x (g )x (H 1

--

=，当∈x D 时, 求函数)x (H 的值域.

13. 已知常数1a >, 变数x 、y 有关系3y log

x log

a log 3x

a

x

=-+.

(1)若t a x =)0t ( ≠, 试以a 、t 表示y ;

(2)若t 在) ,1[∞+内变化时, y 有最小值8, 求此时a 和x 的值各为多少?

14. 已知函数=)x (f ,329x x ⋅-判断f (x)是否有反函数? 若有, 求出反函数; 若没有, 怎么改变

定义域后就有反函数了?

指数函数和对数函数解答

(一) 典型例题

例1 (1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a

10)0(f >=⇒=-⇒=,

(2) =-⇒∈++=--)x (f

)R x (24x x ln

)x (f

1

2

1

=-=++

-2

4x x ln

2

=++

2

4x x ln

2

)x (f 1

--, ∴)x (f

1

-为奇函数.

用定义法可证)x (f 1-为单调增函数. (也可用原函数证明) 例2 设x ax

)x (u 2

-=, 对称轴a

21x =

.

(1) 当1a >时, 1a 0)2(u 2a 21

>⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧>≤;

(2) 当1a 0<<时, 81a 00

)4(u 4a 21

≤<⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧>≥. 综上所述: 1a >

例3 由≤+6

x

2a

a

4

x 2

x a

a

+++0)a a )(a a

()1a ,0a (4

x

2x

≤--⇒≠>

]4,2[x ∈⇒

由y ＝)ax (log

x

a 1

log

2

a

12

a

⋅8

1)2

3x (log 2

1y 2

a

-

+=

⇒

⇒-

∈]0,8

1[y 1x log

208

1)2

3x (log

218

1a

2

a

-≤≤-⇒≤-+≤-

, ,4x 2≤≤

① 当1a >时, 为x log a

单调增函数, 22log

a

-≥∴且∅⇒-≤14log

a

② 当1a 0<<时, 为x log a

单调减函数, 12log a

-≤∴且.2

1a 24log a

=

⇒-≥

(二) 专题测试与练习 一. 选择题