2017年第22届华杯赛(小高组)决赛模拟试题(1)-T版
2017年第22届华杯赛初赛试题
总分第二十二届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题（小学高年级组）（时间2016年12月10日10：00～11：00）一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
）1.两个有限小数的整数部分分别是 7 和 10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（ ）种可能的取值．（A ）16（B ）17（C ）18（D ）19解析：设这两个有限小数为A 、B ，则7×10=70<AB<8×11=88，很明显，积的整数部分可以是70-87的整数，所以这两个有限小数的积的整数部分有87-70+1=18种。
答案选C 。
2.小明家距学校，乘地铁需要 30 分钟，乘公交车需要 50 分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了 40 分钟到达学校，其中换乘过程用了 6 分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（ ）分钟．（A ）6（B ）8（C ）10（D ）12解析：方法一：单位“1”和假设法，设小明家距学校的路程为“1”，乘地铁的速度为301，乘公交车速度为501，40-6=34分钟，假设全程都做地铁，能走301×34=1517，所以坐公交车用了（1517-1）÷（301-501）=10分钟。
方法二：设数法和假设法，设小明家距学校的路程为[30，50]=150m ，乘地铁的速度为150÷50=3m/min ，乘公交车速度为150÷30=5m/min ，40-6=34分钟，假设全程都做地铁，能走5301×34=170m ，所以坐公交车用了（170-150）÷（5-3）=10分钟。
方法三：时间比和比例。
同一段路程，乘地铁和乘公交车时间比为3:5，全程乘地铁需要30分钟，有一段乘公交车则用40-6=34分钟，所以乘公交车的那段路比乘地铁多用34-30=4分钟，所以坐公交车用了4÷（5-3）×5=10分钟。
2017年第22届华杯总决赛小高组一试及详解
么甲第 10 次到达山顶前，有 2 次（第 3 次和第 9 次）当甲到达山顶时，乙正爬向
山顶，且距离山脚 5 处（小于 1 ）．
18
3
（法 2）： v甲上 : v乙上 : v甲下 : v乙下 6 : 5 : 6 1.5 : 5 1.5 =12 :10 :18 :15
易求： t甲上 : t乙上 : t甲下 : t乙下 15 :18 :10 :12
20174 20172 12 2 20162 2
20174 20174 2 20172 1 20162 2
2 20172 20162 1
2 2017 2016 2017 2016 1
2 4033 1 8065
2017kb b 2016kb 2016k kb b 2016k
k 1b 2016k
匠人之心 精致教学 5
当
k
1 时，无解．当
k
1
时，
b
2016k
k 1
．
k 1,k 1 ， b 是整数，所以 k 1 是 2016 的因数．
2016 25 32 7
20174 20162 20172 2 2017 3 20174 20162 20172 2 2017 12 2
20174 20162 2017 12 20162 2 20174 2017 1 2017 12 20162 2
即 a 与 b 有 36 种不同的数值． 综上所述，有 36 种不同的方法．
6. 甲、乙锻炼身体，从山脚爬到山顶，再从山顶跑回山脚，来回往返不断运动．己知甲、 乙下山速度都是上山速度的 1.5 倍，甲的速度与乙的速度之比是 6 : 5 ．两人同时从山脚 开始爬山，经过一段时间后，甲第 10 次到达山顶．问：在此之前，甲在山顶上有多少 次看到乙正爬向山顶，且此时乙距离山顶尚有多于从山脚到山顶路程的三分之二？
第22届华杯赛总决赛全部四组题目
总决赛试题 小中组一试一、填空题（共3题，每题10分）1. 计算：2017201820192020220182019⨯+⨯-⨯⨯=_________.2. 若干枚白色棋子成直线摆放，将其中一些棋子染成红色，使未染成的白色棋子被隔成9部分，其中有2部分棋子数量相同，而同样被白色棋子隔开的各部分的红色棋子数均不相同，则棋子总数的最小值为_________.3. 把1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入33⨯的九宫格中，使得每行、每列的三个数的和都相等，中心位置可能填的数共有_________个.二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 如图，大、小正方形的边长分别为4和1，且各边均水平或竖直放置，求四边形ADFG和BHEC 的面积之和.5. 将一个数的各位数字倒序后所得的数称为原数的倒序数.2017具有这样的性质：将2017及其倒序数7102相加，所得和9119的各位数字都是奇数.能否找到这样的五位数，使它与其倒序数的和的各位数字都是奇数？若能，请给出一个例子；若不能，请说明理由.6. 一副扑克牌去掉大小王后还有52张，如果把J ，Q ，K ，A 分别当作11，12，13，1点，问最多取出多少张牌，可使得取出的牌中任意两张牌的点数之和是合数？BA总决赛试题 小中组二试一、填空题（共3题，每题10分）1. 2017的倍数中，各个数字不同的五位数最大为_________.2. 长方形甲与乙的边长都是大于1的自然数，如图拼成一个“L 形”.已知“L 形”的面积是432，甲的面积为133，那么“L 形”的周长为_________.3. 同时满足下列两个条件的四位数共有_________个.（1）该数的各位数字只能是2，3，4，5中的数，数字允许重复； （2）该数能被组成它的各位数字整除.二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 将1，2，3，4，5，6，7，8分成两组，若第一组数的乘积恰为第二组数的乘积的整数倍，则最小为多少倍？5. 能否将1个正方形恰好分割成2017个互不重叠的小正方形，使得这2017个小正方形一共只有2种不同的大小？若能，请给出一个例子；若不能，请说明理由.bc6.下图是用9个相同的小正三角形拼成的图案，小正三角形的顶点称为格点.以格点为顶点，一组对边平行但不相等，另一组对边相等的四边形，称为“贝贝梯形”.（1）图中共有多少个“贝贝梯形”？（2）在格点处写下自然数1，2，3，4，…，8，9，10，每个格点写1个数字，不同格点所写的数字不同，将每一个“贝贝梯形”的四个顶点处的数字求和，再将这些和相加，结果最大是多少？总决赛试题 小高组一试一、填空题（共3题，每题10分）1. 计算：()422201720162017220173-⨯+⨯+=_________.2. 不超过100的所有质数的乘积，减去不超过100的所有个位数字为3和7的质数的乘积，所得差的个位数字为_________.3. 运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名；比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是_________.二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 能够将1到2017这2017个自然数分为若干组，使得每组中的最大数都等于该组其余数的和吗？如果能，请举一例；如果不能，请说明理由. 5. 把20172016表示成两个形式均为1n n+的分数相乘（其中n 是不为零的自然数），问有多少种不同的方法？（b d a c ⨯与d bc a⨯视为相同方法）6. 甲、乙锻炼身体，从山脚爬到山顶，再从山顶跑回山脚，来回往返不断运动.已知甲、乙下山速度都是上山速度的1.5倍，甲的速度与乙的速度之比是6:5.两人同时从山脚开始爬山，经过一段时间后，甲第10次到达山顶.问：在此之前，甲在山顶上有多少次看到乙正爬向山顶，且此时乙距离山顶尚有多于从山脚到山顶路程的三分之二？总决赛试题 小高组二试一、填空题（共3题，每题10分）1. 某小镇上有若干辆共享单车，如果小镇人口少1人，则平均200人共享一辆单车，如果单车减少2俩，小镇共享一辆单车的平均人数仍为整数，则小镇最多有_________人.2. 恰有1513个不超过m 的正整数n 使得1234n n n n +++的个位数字为0，则自然数m =_________.3. 下图中的L 型立体称为“构件”，可切割成为4个单位正方体.用4个“构件”连结组合成一个长方体，如果经旋转及翻转后，连结成的两个长方体宽、长、高相同，并且连结方式相同，可视为相同的长方体，否则是不同的长方体，则可连结出_______种一条棱长为1的不同的长方体，总共可以连结出_______种不同的长方体.二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 从1，2，3，4，…，2017中，最多能选出多少个数，在这些数中，不存在三个数a ，b ，c 满足a b c +=？5. 下图中，ABCD 是长为3，宽为1的长方形，BE EG GC ==，2AH HD =，AC 、AG 、BH 、EH 交成阴影四边形PNQM .求四边形PNQM 的面积.6. 在等差数列1，4，7，10，13，16，…的前500项中，有多少个是完全平方数？总决赛试题 初一组一试一、填空题（共3题，每题10分）1. 计算：22222222221223344520162017---+---+--=_________.2. 某班30名同学在旅游途中看到一个商店的广告：酸奶一瓶5元，两瓶9元；冰激凌一支6元，两只10元.每人选择酸奶或者冰激凌中的一种，用最省钱的方式购买，一共花了140元.那么，他们一共至多买了_____瓶酸奶，至少买了_____瓶酸奶.3. 如图，在三角形ABC 中，D 、E 分别在边BC 、AC 上，AB AC =，AD AE =，18CDE ∠=︒，则BAD ∠=_________.二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 是否存在数c 满足：对任意的有理数a ，b ，都有a b +，a b -，1b -三个值中最大值大于等于c ？如果存在这样的c ，请给出一个具体数值，并求c 的最大值；如果不存在，请说明理由.5. 一个立方体是由27个棱长为1个单位的小正方体构成的.一只蚂蚁从A 沿着立方体表面的小正方体的边爬到B ，最短路径长是多少个单位？最短路径有多少种不同的走法？ 6. []a 表示不超过a 的最大整数，求满足条件12235x x x x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦的所有x 的值的和.AD总决赛试题 初一组二试一、填空题（共3题，每题10分）1. 一个四位数abcd 是完全平方数，并且满足()5104910c d a b ++=+，则这个四位数是_____或_____.2. 把500枚鸡蛋装到分别能装17枚和27枚两种规格的盒子中出售，刚好装完无剩余，则17枚规格的盒子装了_____盒，27枚规格的盒子装了_____盒.3. 在一条线段有n 个等分点，从n 个等分点中任选10个点，中间必有两个点，能把原线段分成3段，这3段能构成三角形，则n 的最大值是_________.二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程） 4. 求方程2432426760x y y y y -+-+-=的全部整数解.5. E 、F 分别是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的中点，EF 分别交边AD 、BC 于点P 和Q .已知7APPD=，求BQ QC 的值.6. 将1，2，3，4，5，6，7这7个数打乱次序排列成一行，1a ，2a ， (7)并作部分和，11S a =，212S a a =+，…，1j j j S S a -=+，2,3,,7j =.使得7个部分和中至少有1个是3的倍数的排列方法有多少种？A总决赛试题 初二组一试一、填空题（共3题，每题10分） 1. 若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，则()()()111abca b c ---的最大值为_________.2. 将正数x 四舍五入到个位得到整数n ，若42017x n -=，那么x =_________.3.已知1p =+，那么23331p p p++=_________.二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 在边长为1的正方形中（含边上）至多放置多少个点，可使得这些点之间的所有距离都不小于0.5？5. 下图中，四边形ABCD 是矩形，()12ABr r BC=<<.四边形AEFG 是正方形，顶点G 在边CD 上，边EF 通过点B .求:BF EF .6. 早上8点，快、慢两车同时从A 站出发，慢车环行全程一次用43分钟，回到A 站休息5分钟；快车环行全程一次用37分钟，回到A 站休息4分钟.如此往返行驶.问：22点以前，两车同时到达A 站几次？快车在A 站休息时慢车达到的情况有几次？（8点整，两车出发时不计）.FA总决赛试题 初二组二试二、填空题（共3题，每题10分）1. 设多项式()p x 的各项系数都是非负整数，且()16p =，()332p =，则()2p 的所有可能值为_________.2.已知a =105173a a a +-=+_________.3.()12k k +能被n 整除的最小正整数k 记为()F n ，例如，()54F =.若()9F x =，则x =_______.若()9F y =，则y =_______.二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 从1，2，…，50这50个数中任选n 个不同的数，其中一定有三个的比为2:3:7.求n的最小值.5. 如图，以长为4厘米的线段AB 的中点O 为圆心和2厘米为半径画圆，交AB 的中垂线于点E .再以A 、B 为圆心和4厘米为半径分别画圆弧交AE 于C ，交BE 于D .最后以E 为圆心和DE 为半径画圆弧DC .请确定“下弦月形”ADCBEA （图中阴影部分）的面积是多少平方厘米.（答案中圆周率用π表示）6. 将1，2，3，4，5，6，7这7个数打乱次序排列成一行，1a ，2a ， (7)并作部分和，11S a =，212S a a =+，…，1j j j S S a -=+，2,3,,7j =.使得7个部分和中至少有1个是3的倍数的排列方法有多少种？。
2017年第22届华杯赛(小高组)决赛模拟试题(1)-T版
2017年第22届华杯赛决赛模拟试题（1）（小学高年级组）（时间：90分钟，满分：150分）一、填空题。
（每小题10分，共80分）1.2016年1月24日，“华罗庚金杯中外少年数学精英趣味对抗赛”在美国开赛，2016年7月18日，“华罗庚金杯少年数学邀请赛30周年纪念大会”召开，已知2016年1月24日是星期日，2016年7月18日是星期 。
【难度】★★【考点】周期问题【答案】一【解析】注意2016年是闰年。
1月25日至1月31日共31-25+1=7（天）；2月至6月共29+31+30+31+30=151（天）；7月1日至7月18日共18天。
故20166年1月25至7月18日共7+151+18=176（天）。
176÷7=25……1，故2016年1月24日之后第176天为星期一。
2.计算：=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--1541212322211%2532394475.0 。
【难度】★★【考点】计算 【答案】92 【解析】原式 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-15412123212124196394443 = ⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-154125351419743 = ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-1543241973 =15641920⨯⨯ = 923.如图，将侧面积是314平方厘米的圆柱体，切拼成一个近似长方体，表面积比原来增加厘米。
（π取3.14）【难度】★★【考点】几何【答案】100【解析】设圆柱体高为h,底面积的半径为r.则2πrh=314,rh=50.增加面积为2rh=100（平方厘米）。
4.仅使用加、减、乘、除、括弧，可由4个4运算得到3。
例如（4 + 4 + 4）÷4 = 3。
请你另给一种运算算式。
【难度】★★【考点】巧填运算符号【答案】（4×4 - 4）÷4 = 3【解析】三个4很容易得到3，即4-4÷4=3.将除以4看成乘以1/4，利用乘法分配率可将3个4变成4个4，即4-4÷4=（4×4-4）除以4.5.将自然数从1开始，按图所表示的规律排列。
2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组B卷)
2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）++…+=．2．（10分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时甲乙两车的速度比为5：4．出发后不久，甲车发生爆胎，停车更换轮胎后继续前进，并且将速度提高20%，结果在出发后3小时，与乙车相遇在AB两地中点，相遇后，乙车继续往前行驶，而甲车掉头行驶，当甲车回到A地时，乙车恰好到达甲车爆胎的位置，那么甲车更换轮胎用了分钟．3．（10分）在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．4．（10分）小于1000的自然数中，有个数的数字组成中最多有两个不同的数字．5．（10分）如图，△ABC的面积为100平方厘米，△ABD的面积为72平方厘米．M 为CD边的中点，∠MHB=90°，已知AB=20厘米，则MH的长度为厘米．6．（10分）一列数a1、a2…，a n…，记S（a i）为a i的所有数字之和，如S（22）=2+2=4，若a1=2017，a2=22，a n=S（a n﹣1）+S（a n﹣2），那么a2017等于．7．（10分）一个两位数，其数字和是它的约数，数字差（较大数减去较小数）也是它的约数，这样的两位数的个数共有个．8．（10分）如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有种．二、解答下列各题（每小题10分，共40分）9．（10分）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成m个交点，则m有多少个不同的数值？10．（10分）求能被7整除且各位数字均为奇数，各位数字和为2017的最大正整数．11．（10分）从1001，1002，1003，1004，1005，1006，1007，1008，1009中任意选出四个数，使它们的和为偶数，则共有多少种不同的选法．12．（10分）使不为最简分数的三位数n之和等于多少．三、解答下列各题（每小题15分，共30分）13．（15分）一个正六边形被剖分成6个小三角形，如图，在这些小三角形的7个顶点处填上7个不同的整数，能否找到一个填法，使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列，如果可以，请给出一种填法；如果不可以，请说明理由．14．（15分）7×7的方格黑白染色，如果黑格比白格少的列的个数为m，黑格比白格多的行的个数为n，求m+n的最大值．2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）++…+=2034144．【分析】观察一下，首先把分子的两个分数变换一下形式，变成两个分数的乘积，恰好能和分母约分，这样就把原来的繁杂的分数变成简单的整数加减运算．【解答】解：===2×（2+4+6+8+ (2016)=2×=2018×1008=2034144【点评】本题考查了分数的拆项运算知识，本题突破点：把分子拆分成两个分数的乘积形式，从而和分母约分2．（10分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时甲乙两车的速度比为5：4．出发后不久，甲车发生爆胎，停车更换轮胎后继续前进，并且将速度提高20%，结果在出发后3小时，与乙车相遇在AB两地中点，相遇后，乙车继续往前行驶，而甲车掉头行驶，当甲车回到A地时，乙车恰好到达甲车爆胎的位置，那么甲车更换轮胎用了52分钟．【分析】首先分析后半程冲中点到A的过程，求出两人的速度比就可知道路程比，找到爆胎位置．然后再根据原来的速度比求出正常行驶的时间减去爆胎前的时间．最后根据甲前后两次的速度比求出时间比做差即可．【解答】解：依题意可知：甲乙两车的后来速度比：5（1+20%）：4=3：2，甲回来走3份乙走两份路程．得知甲车爆胎的位置是AC的处．如果不爆胎的甲行驶的时间和速度成反比：设甲行驶的时间为x则有：4：5=x：3，x=甲在行驶AC的爆胎位置到中点的正常时间为：×==（小时）；甲乙爆胎前后的速度比为：5：5（1+20%）=5：6；路程一定时间和速度成反比：设爆胎后到中点的时间为y则有：6：5=：y，y=；修车时间为：3﹣×=（小时）=52（分）故答案为：52分【点评】本题考查对比例应用题的理解和运用，关键是根据不变量判断正反比，找到甲原来不受影响的时间，再和后面的进行比较做差即可，问题解决．3．（10分）在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有10种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．【分析】可以分情况讨论，四个顶点的位值一样，正中间的一个方格一个位值，剩下的四个方格位值相同，故可以分次三种情况分别计算不同的摆放方法．【解答】解：根据分析，份三种情况：①当正中间即E处放一颗棋子，然后另一颗棋子放在外围任意一个位置，除去对称性因素，有2种不同的摆放方法，即AE、BE；②当两颗棋子都不在正中间E处时，而其中有一颗在顶点处时，有4种不同摆法，即AB、AF、AH、AD；③当两颗棋子都在顶点处时，有2种不同摆法，即AC、AI；④当两颗棋子都在除顶点和正中间之外的4个方格中，有2种不同摆法，即BD、BH．综上，共有：2+4+2+2=10种不同摆放方法．【点评】本题考查了排列组合，突破点是：分情况讨论，根据不同的位置求出总的不同摆放方法．4．（10分）小于1000的自然数中，有352个数的数字组成中最多有两个不同的数字．【分析】可以先求出有三个同数字的数的个数，再用总数1000减去后就是符合题意“数字组成中最多有两个不同的数字”的个数．【解答】解：根据分析，小于1000的自然数中，有三个不同数字的数有：9×9×8=648个，则最多有两个不同数字的数有：1000﹣648=352个．故答案是：352．【点评】本题考查了数的问题，突破点是：先求有三个不同数字的数的个数，用总数减去即可．5．（10分）如图，△ABC的面积为100平方厘米，△ABD的面积为72平方厘米．M 为CD边的中点，∠MHB=90°，已知AB=20厘米，则MH的长度为8.6厘米．【分析】可以利用面积公式分别求出△ABC、△ABD的高，而已知AB=20厘米，再利用MH的中位线性质求出MH的长度．【解答】解：根据分析，过D，C分别作DE⊥AB交AB于E，CF⊥AB交AB于F，如图：△ABD的面积=72=，∴DE=7.2厘米，△ABC的面积=100=，∴CF=10厘米；又∵MH==×（7.2+10）=8.6厘米．故答案是：8.6．【点评】本题考查了三角形面积，本题突破点是：利用三角形面积公式先求出高，再利用中位线的关系求出MH的长．6．（10分）一列数a1、a2…，a n…，记S（a i）为a i的所有数字之和，如S（22）=2+2=4，若a1=2017，a2=22，a n=S（a n﹣1）+S（a n﹣2），那么a2017等于10．【分析】首先要分析清楚S（a i）的含义，即a i是一个自然数，S（a i）表示a i的数字和，再根据a n的递推式列出数据并找出规律．【解答】解：S（a i）表示自然数a i的数字和，又a n=S（a n﹣1）+S（a n﹣2），在下表中列出n=1，2，3，4，…时的a n和S（a n），由上表可以得出：a4=a28=9，S（a4）=S（a28）=9；a5=a29=14，S（a5）=S（a29）=5；…可以得到规律：当i≥4时，a i=a i+24，S（a i）=S（a i+24），2017﹣3=2014，2014÷24=83…22，所以：a2017=a3+22=a25=10．【点评】本题重点是弄清楚S（a i）的含义，通过地推找到规律，再进行求解．7．（10分）一个两位数，其数字和是它的约数，数字差（较大数减去较小数）也是它的约数，这样的两位数的个数共有19个．【分析】首先看所有的10的倍数都是满足条件的，再找出尾数不为0的满足条件的数字即可，数字不多枚举法解决．【解答】解：枚举法：（1）尾数为0的有：10，20，30，40，50，60，70，80，90．（2）尾数不为0 的有：12，21，24，36，42，45，48，54，63，84．故答案为：19【点评】本题是考察因数和倍数的关系，同时关键是在枚举过程中按照顺序，可以是数字和也可以是首位数字的大小，问题解决．8．（10分）如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有4种．【分析】显然，只有两种情况，分别讨论，相邻两个字互换，以及顺时针移动一个位值，或逆时针移动一个位值，最后可以求得总的不同的摆放方法．【解答】解：根据分析，分两类情况：①按顺序移动一个位置，顺时针移动一个位置，有1种不同摆放方法，逆时针移动一个位置，有1种不同摆放方法；②相邻两个位置互换，则共有：2种不同的摆放方法．综上，共有：1+1+2=4种不同摆放方法．故答案是：4．【点评】本题考查排列组合，突破点是：分情况讨论，相邻两个字互换，以及顺时针移动一个位值，或逆时针移动一个位值，最后求和．二、解答下列各题（每小题10分，共40分）9．（10分）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成m个交点，则m有多少个不同的数值？【分析】分情况讨论m的值，有5条直线平行、4条直线平行，三条直线平行，两条直线平行，0条直线平行，五条直线交于一点，四条直线共点，三条直线共点，分别求得m的数值．【解答】解：根据分析，①若5条直线互相平行，则形成的交点为0，故m为0；②若有4条直线互相平行，则交点个数m=4；③若有三条直线互相平行，则m=5，6，7；④若有两条直线互相平行，则m=5，6，7，8，9；⑤若没有直线平行，则m=1，5，6，7，8，9，10．综上，m的可能取值有：0、1、4、5、6、7、8、9、10共9种不同的数值．故答案是：9．【点评】本题考查了组合图形的计数，本题突破点是：分类讨论，确定m的取值的种类．10．（10分）求能被7整除且各位数字均为奇数，各位数字和为2017的最大正整数．【分析】要使整数最大，且每一位数字都是奇数，必须保证整数的位数足够多，且含有尽量多的1；据此分析解答即可．【解答】解：要使整数最大，且每一位数字都是奇数，必须保证整数的位数足够多，且含有尽量多的1．根据能被7整除的数的特征可得，111111是每个数位均为1且能被7整除的最小数．又有：2017=6×336+1=6×335+7当有336个111111组成时，因为所有数字之和要是2017，首位数字只能是1，不能被7整除；当有335个111111组成时，前面还需要加上一个正整数，使得它各位数字之和等于7，且这个数最大．满足这个条件的最大整数是13111．说明：我们可以用以下方法，构造一个能被7整除且除了首位数之外，其余数字均为1的数列如下：21，490+21=511，700+511=1211，5600+511=6111，7000+6111=13111，35000+6111=41111，70000+41111=111111，70000+41111=111111，我们注意到，7000+6111=13111是能被7整除且各位数字之和等于7 的最大正整数．所以，各位数字和为2017 的最大正整数13111…11，其中1的个数是335×6+4=2014，即．答：能被7整除且各位数字均为奇数，各位数字和为2017的最大正整数是．【点评】本题关键是根据能被7整除的数的特征得到由数字“1”组成的最小数是111111；难点是寻找同时满足数字和是7的最大整数是13111．11．（10分）从1001，1002，1003，1004，1005，1006，1007，1008，1009中任意选出四个数，使它们的和为偶数，则共有多少种不同的选法．【分析】首先分析如果结果是偶数可以分为0，2，4个奇数，把每一种结果加起来即可．【解答】解：依题意可知：根据四个数的结果是偶数．那么必定是0个奇数，2个奇数或者是4个奇数．在1001，1002，1003，1004，1005，1006，1007，1008，1009奇数的个数为5个，偶数的个数为4个．当0个奇数时有一种情况．当是2个奇数2个偶数时是=60种．当选择4个奇数时有5种．60+5+1=66（种）答：共有66种选择方法．【点评】本题考查对奇偶性的理解和综合运用，同时关键是分类中的排列组合．问题解决．12．（10分）使不为最简分数的三位数n之和等于多少．【分析】不为最简，表明（5n+1，3n+2）=a≠1，根据辗转相除原理有1≠a|（5n+1）×3﹣（3n+2）×5即=1≠a|7，则a只能等于7，我们可以用5n+1尝试来锁定答案，一次尝试可知5n+1=1或6或11或16或21，因为21=3×7，所以5n+1=21时7|5n+1成立，此时n为最小值，且为4，其它值即可顺次找出，只需要将4递加7即可，题中让我们求的是符合条件的三位数，那么最小为102，最大为998，此后利用等差数列求和即可．【解答】解：不为最简，表明（5n+1，3n+2）=a≠1，根据辗转相除原理有1≠a|（5n+1）×3﹣（3n+2）×5即=1≠a|7，则a只能等于7，一次尝试可知5n+1=1或6或11或16或21，因为21=3×7，所以5n+1=21时7|5n+1成立，此时n为最小值，且为4，将4递加7即可，符合条件的三位数，那么最小为102，最大为998，102+109+116+…+998=（102+998）×129÷2=70950答：使不为最简分数的三位数n之和等于70950．【点评】考查了辗转相除原理，等差数列求和公式，关键是得到符合条件的三位数，最小为102，最大为998．三、解答下列各题（每小题15分，共30分）13．（15分）一个正六边形被剖分成6个小三角形，如图，在这些小三角形的7个顶点处填上7个不同的整数，能否找到一个填法，使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列，如果可以，请给出一种填法；如果不可以，请说明理由．【分析】首先分析最小数字的位置，可以放在圆心出也可以放在外边，两种情况分析即可．【解答】解：依题意可知：分两种情况讨论：假设将最小数放在中心位置，我们只能在外圈顺时针依次从小到达放数字．但是只能满足五个三角形，最后一个三角形无法满足条件．假设将最小的数字放在外圈，然后在周边顺时针依次从小到大放数字，如果想要五个三角形都满足条件，则中心位置必须放大数字，但这样的话，最后一个又不能满足条件．综上所述：不能找到一个填法，使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列．【点评】本题是对凑数谜的理解和运用，关键问题是找最小数字的位置．问题解决．14．（15分）7×7的方格黑白染色，如果黑格比白格少的列的个数为m，黑格比白格多的行的个数为n，求m+n的最大值．【分析】在m取最大值的条件下n尽量取最大值可使m+n的值最大．【解答】解：根据分析，1≤黑格和白格的行数≤7；1≤列数≤7，当m=7时，可以设7列之中黑格个数为3，则黑格总数为：3×7=21．然后，可以把21个黑格在1﹣5行之中每行放4个，第6行放1个，第7行不放．这样就有5行中黑格数量超过白格，所以n=5，从而使得m+n=12为最大．如下图1所示：当m=6时，可以设6列之中黑格个数均为3，其余一列黑格个数为7，这样黑格总数为3×6+7=25．然后，我们使得1﹣6行黑格个数为4个，最后一行只有1个．这样就有6行中黑格数列超过白格，所以n=6，从而使得m+n=12，如图2所示：当m≤5时，m+n≤12．综上，m+n的最大值为12．故答案是：12．【点评】本题考查了最大与最小，本题突破点是：在行数和列数的最小与最大的范围内，确定最大值．。
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篇章专练
Work seriously
it is 3 most important thing for an animal to be good at getting food.Some animals like to eat 4 their right hand， but some animals just use their left hand instead.That’s 5 the animals are left-handed or right-handed.The scientists have discovered that the male cats and dogs are almost left-handed， while the female cats and dogs are right-handed 6 they work differently in their daily lives.Of course，
句子专练
Work seriously
5.如果是那样的话，我就不去参加聚会了。 _I_n_t_h_a_t_c_a_s_e_，__I_w__o_n_’t__g_o_t_o_t_h_e__p_a_rt_y_._____
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4 篇章专练
篇章专练
Work seriously
四、篇章专练 Passage 1
话题19 自然
动物和植物
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词汇专练 短语专练 句子专练 篇章专练
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词汇专练
词汇专练
Work seriously
一、词汇专练 (pet， different， animal， smart， habit) ●用括号里的单词的适当形式填空，每词只能用 一次。 1.I think I should read more because it will make me__s_m_a_r_t_e_r___. 2.The best way is to change your eating__h_a_b_it_（__s_）__ to a low- sugar and highfibre diet.
a2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(武汉赛区)决赛试卷(小高组)
2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉赛区）决赛试卷（小高组）一、填空题1．计算：2017÷2019+＝．2．如图，圆周上有12个点，将圆周12等分．以这些等分点为四个顶点的矩形共有个．3．如图，已知ABCDEFGHI为正九边形，那么∠DIG＝度．4．在黑板上按照从小到大的顺序写出所有能被17或20整除的非零自然数；17，20，34，40，51，60，…那么这列数中排在第289位的数是．5．甲农场有鸡、鸭共625只，乙农场有鸡、鸭共748只．其中乙农场的鸡比甲农场多24%，甲农场的鸭比乙农场少15%，那么乙农场有鸡只．6．已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有个约数．7．甲乙两人进行10公里赛跑，甲跑完全程用了50分钟，此时乙离终点还差500米．为了给乙一次机会，两人约定，第二次赛跑时甲退后500米起跑．假设两次跑步两人速度都不变，则第二次跑步第一个人到达终点时，另一人离终点还差米．8．对于两位数n，A、B、C、D四人有以下的对话：A：“n能被24整除．”B：“n能被33整除．”C：“n能被62整除．”D：“n的各位数字之和为15．”其中只有2人的话是正确的，那么n的取值为．二、解答下列各题9．一个四位数，它本身是一个完全平方数，由它前两位数字及后两位数字组成的两个两位数也都是完全平方数．那么这个四位数是多少？10．盒子里有4枚白色棋子和2枚黑色棋子，菲菲分若干次拿走所有棋子，每次至少拿走一枚，共有多少种不同拿法？11．熙熙军团的胸章是如图所示的正八边形图案，已知正八边形的边长为18，那么阴影部分的面积是多少？12．一个机关锁如图所示，锁上共有八卦和太极共九个按键，依次按下其中四个按键后（按键按下便不可再按），若与正确按法一致则开锁，若不一致则机关重置至初始状态．已知在太极按下之前不可连续按下正对的两个卦象键（例如图中的乾、坤或兑、艮），且正确按法只有一种，那么打开这个机关锁至多需要试多少次？三、解答下列各题13．（15分）已知一个长方体的长、宽、高的比为4：3：2，用平面切割，切割面为六边形（如图所示），已知所有这样的六边形的周长最小为36，求这个长方体的表面积．14．（15分）如图，A、B、C分别是某学校的北门、西门和东门，从测量地图上看，线段AD、AE、DE均为公路，B、C分别在AD、AE上，DC、BE交于P点，△PBC、△PBD、△PCE的面积分别为73000平方米、163000平方米和694000平方米，小叶和小峰步行速度相同．一日，他们放学后同时从北门出发，小叶先跑后走，小峰一直步行，当小叶用3分钟跑到西门时，小峰恰好步行到东门，小叶继续用8分钟跑到D处，然后沿DE 步行与从东门到E再往D走的小峰会合，第二天按相同出行方式，如果小峰想在DE路段的中点处于小叶会合，需要比小叶提前多少分钟出发？2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉赛区）决赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、填空题1．计算：2017÷2019+＝1．【分析】先把带分数化成假分数，然后把分子变形进行简算即可．【解答】解：2017÷2019+＝÷+＝÷+＝÷+＝+＝1故答案为：1．2．如图，圆周上有12个点，将圆周12等分．以这些等分点为四个顶点的矩形共有15个．【分析】12个等分点是6条直径的端点，以这些等分点为顶点的矩形，一定以其中两条直径为对角线，所以共有＝15个矩形，据此解答即可．【解答】解：12个等分点是6条直径的端点，共有：＝＝15（个）答：以这些等分点为四个顶点的矩形共有15个．故答案为：15．3．如图，已知ABCDEFGHI为正九边形，那么∠DIG＝60°度．【分析】可以利用九边形的内角和，以及三角形的内角和，作辅助线，连接正九边形的中心，则OI＝OD＝OG，从而可以求得∠DIG的度数．【解答】解：根据分析，如图，O为正九边形中心，则OI＝OD＝OG，∠DIG＝∠DIO+∠OIG＝＝∠DOG＝×（360°÷9×3）＝60°故答案是：60°．4．在黑板上按照从小到大的顺序写出所有能被17或20整除的非零自然数；17，20，34，40，51，60，…那么这列数中排在第289位的数是2737．【分析】先根据17和20的公倍数，算出数列的周期，再算出每个周期有多少个数，即可求出第289位数是多少【解答】解：根据分析，17和20的倍数交替出现，17和20的最小公倍数为340，易知，1～340为一个周期，每个周期中列出了17+20﹣1个数，289＝36×8+1∴数列中第289个数是：340×8+17＝2737故答案为：27375．甲农场有鸡、鸭共625只，乙农场有鸡、鸭共748只．其中乙农场的鸡比甲农场多24%，甲农场的鸭比乙农场少15%，那么乙农场有鸡248只．【分析】根据“乙农场的鸡比甲农场多24%，”可得：甲农场的鸡是乙农场的鸡的1÷（1+24%）＝；根据“甲农场的鸭比乙农场少15%”可得：甲农场的鸭是乙农场的鸭的1﹣15%＝；假设甲农场的鸡鸭都是乙农场的鸡鸭的，则多算了（748×﹣625），对应着分率也多了鸡的（﹣），由此用除法解答即可求出乙农场的鸡的只数．【解答】解：1÷（1+24%）＝1﹣15%＝（748×﹣625）÷（﹣）＝10.8÷＝248（只）答：乙农场有鸡248只．故答案为：248．6．已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有30个约数．【分析】n有10个约数，而2n有20个约数，按约数和定理，得知n的分解式中不含有2，3n有15个约数，假设3n的分解式中不含有3，则3n的约数应该是（1+1）×10＝20个，则n的分解式中含有一个3，6n分成2×3×n，再根据约数和定理，可以求得约数的个数．【解答】解：根据分析，n有10个约数，2n有20个约数，按约数和定理，又∵，∴n的质因数分解式中含有0个2；设n＝3a m x，又∵，∴n的质因数分解式中含有一个3，根据约数和定理，得n的约数和为：（a+1）（x+1）＝10，解得：a＝1，x＝4，此时n＝3×m4；故6n＝2×3×n＝2×3×3×m4＝2×32×m4，其约数和为：（1+1）×（2+1）（4+1）＝2×3×5＝30，故答案是：30．7．甲乙两人进行10公里赛跑，甲跑完全程用了50分钟，此时乙离终点还差500米．为了给乙一次机会，两人约定，第二次赛跑时甲退后500米起跑．假设两次跑步两人速度都不变，则第二次跑步第一个人到达终点时，另一人离终点还差25米．【分析】首先找到不变量是时间，两人两次赛跑的时间是相同的，路程是成比例关系．【解答】解：依题意可知：当甲跑全程10公里时即10000米，乙跑全程的10000﹣500＝9500米，两人跑的时间相同，路程成比例关系．即10000：9500＝20：19＝（10000+500）：9975．当甲跑完10500米时，乙跑9975米．还差10000﹣9975＝25（米）故答案为：258．对于两位数n，A、B、C、D四人有以下的对话：A：“n能被24整除．”B：“n能被33整除．”C：“n能被62整除．”D：“n的各位数字之和为15．”其中只有2人的话是正确的，那么n的取值为96．【分析】四个人只有两个人的话是正确的，B、C的话都要求n的数字和是9的倍数，与的D的话矛盾，从四个人的话中找到共同点和不同的，以及矛盾的点，即可判断谁的话是正确的．【解答】解：根据分析，B、C的话都要求n的数字和是9的倍数，而C要求n的数字之和为15，若D正确，则B、C错误，所以A正确，n＝24×3＝96若D错误，则24和33、62和33、24和62的最小公倍数均大于100，矛盾综上所述，n的取值为96故答案为：96．二、解答下列各题9．一个四位数，它本身是一个完全平方数，由它前两位数字及后两位数字组成的两个两位数也都是完全平方数．那么这个四位数是多少？【分析】可以先假设这个四位数为，分两半，前两位和后两位，再根据完全平方数的性质，可以在两位数里缩小范围，最后分别确定这两个两位数．【解答】解：根据分析，设这个四位数为＝n2，∵前两位是完全平方数，故≥16，∴n≥41，又∵，均为完全平方数，∴后两位≥2n﹣1≥2×41﹣1＝81，∴＝81，＝16，此四位数为1681，故答案是：1681．10．盒子里有4枚白色棋子和2枚黑色棋子，菲菲分若干次拿走所有棋子，每次至少拿走一枚，共有多少种不同拿法？【分析】可以将将白棋看作列，黑棋看作行，则每次拿走若干棋子后，转化为左、下某一个点的情况，然后构造图，最后求得不同的拿法．【解答】解：根据分析，如图将白棋看作列，黑棋看作行，则每次拿走若干棋子后，转化为左、下某一个点的情况，所以构造如图：每个格点上标的数等于这点左、下所有格点各数之和，所以4枚白棋2枚黑棋共有208种不同拿法．故答案是：208．11．熙熙军团的胸章是如图所示的正八边形图案，已知正八边形的边长为18，那么阴影部分的面积是多少？【分析】按题意，将图等积变形，将阴影部分的面积转化为求其它三角形的面积，最后转化为S阴影＝4S△ABO＝＝182＝324．【解答】解：根据分析，如图，S阴影＝2S△ABO+2S△COD，显然S△COE＝S△COD＝S△BOA，故：S阴影＝4S△ABO＝＝182＝324故答案是：324．12．一个机关锁如图所示，锁上共有八卦和太极共九个按键，依次按下其中四个按键后（按键按下便不可再按），若与正确按法一致则开锁，若不一致则机关重置至初始状态．已知在太极按下之前不可连续按下正对的两个卦象键（例如图中的乾、坤或兑、艮），且正确按法只有一种，那么打开这个机关锁至多需要试多少次？【分析】从九个按键中依此按4个，有9×8×7＝3024（种），其中前两次相对的有8×1×7×6＝336（种），中间两次相对且第一步不是太极的有8×6×1×6＝288（种），末两次相对，前两部不相对且部署太极的有8×6×4×1＝192（种），最后求和．【解答】解：根据分析，从九个按键中依此按4个，有9×8×7＝3024（种）；其中前两次相对的有8×1×7×6＝336（种）；中间两次相对且第一步不是太极的有8×6×1×6＝288（种）；末两次相对，前两步不相对且不是太极的有8×6×4×1＝192（种）；所以所有可以按的方法有：3024﹣336﹣288﹣192＝2208（种）．即至多需要试2208次．故答案是：2208．三、解答下列各题13．（15分）已知一个长方体的长、宽、高的比为4：3：2，用平面切割，切割面为六边形（如图所示），已知所有这样的六边形的周长最小为36，求这个长方体的表面积．【分析】按题意，长方体的长、宽、高的比为4：3：2，而六边形周长最小，则六边形的六条边在展开图上应构成一条线段，此时可以求出长方体的长、宽、高，表面积也即可求得．【解答】解：根据分析，长方体展开图如下图：（AB与CE是同一条棱，P与Q是同一点）所以周长最小时，六边形的六条边在展开图上应构成一条线段，所以长方体表面积为：2×（长×宽+长×高+宽×高）＝2×（2×3+3×4+4×2）×[（）2÷2]＝416，故答案是：416．14．（15分）如图，A、B、C分别是某学校的北门、西门和东门，从测量地图上看，线段AD、AE、DE均为公路，B、C分别在AD、AE上，DC、BE交于P点，△PBC、△PBD、△PCE的面积分别为73000平方米、163000平方米和694000平方米，小叶和小峰步行速度相同．一日，他们放学后同时从北门出发，小叶先跑后走，小峰一直步行，当小叶用3分钟跑到西门时，小峰恰好步行到东门，小叶继续用8分钟跑到D处，然后沿DE 步行与从东门到E再往D走的小峰会合，第二天按相同出行方式，如果小峰想在DE路段的中点处于小叶会合，需要比小叶提前多少分钟出发？【分析】首先分析各个线段之间的比例关系，找到两段距离的路程之间的关系，做差即可．【解答】解：依题意可知：＝，＝＝•＝×＝；所以小峰走CE需要26分钟，如果小峰想在DE路段的中点处和小叶会和，此时需要小叶提前26﹣8＝18（分）．答：如果小峰想在DE路段的中点处于小叶会合，需要比小叶提前18分钟．。
第22届华杯决赛必做60题(附答案详解)
华杯决赛冲刺全真模拟（一）一、填空题12 4+0.25 2⨯ 0.5 １．计算： 3 1 +1 2= 2 - 2 - 4 2 5 5２．当时间为 5 点 8 分时, 钟表面上的时针与分针成度的角.３．哥哥和弟弟各买了若干个苹果，哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果, 咱俩的苹果个数一样多”，弟弟想了想，对哥哥说：“若我给你一个苹果, 你的苹果数将是我的 2 倍”, 则哥哥与弟弟共买了 个苹果４．右图中， AB= AD , ∠ DBC =21 ︒，∠ ACB =39︒，则∠ ABC=度。
５．已知抽水机甲和抽水机乙的工作效率比是 3:4，如两台抽水机同时抽取某水池，15 小时抽干水池. 现在，乙抽水机抽水 9 小时后关闭，再将甲抽水机打开，要抽干水池还需要小时.６．一个长方体，棱长都是整数厘米，所有棱长之和是88 厘米，问这个长方体总的侧面积最大是平方厘米。
【解答】长方体的三条棱长为88÷4=22 厘米，若使长方体的表面积最大，则三条棱长也要尽量接近，当三条棱长分别为8、7、7 厘米时，表面积取最大值322 平方厘米。
二、解答下列各题（要求写出详细过程）７．现有甲、乙、丙三个容量相同的水池. 一台A 型水泵单独向甲水池注水, 一台B 型水泵单独向乙水池注水, 一台A 型和一台B 型水泵一起向丙水池注水. 已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4 个小时, 注满甲水池比注满乙水池所需时间多5 个小时, 则注满丙水池的三分之二需要多少个小时？８．已知C 地为A, B 两地的中点. 上午7 点整，甲车从A 出发向B 行进，乙车和丙车3分别从B 和 C 出发向A 行进. 甲车和丙车相遇时，乙车恰好走完全程的，上午108点丙车到达A 地，10 点30 分当乙车走到A 地时，甲车距离B 地还有84 千米，那么A 和B 两地距离是多少千米？９．有三个农场在一条公路边, 分别在下图所示的A, B 和 C 处. A 处农场年产小麦50 吨,B 处农场年产小麦10 吨,C 处农场年产小麦60 吨. 要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦. 假设运费从A 到C 方向是每吨每千米1.5 元, 从C 到A 方向是每吨每千米1 元. 问仓库应该建在何处才能使运费最低？１０．用八块棱长为1 cm 的小正方块堆成一立体, 其俯视图如右图所示, 问共有多少种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）。
(完整word版)2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组b卷)
2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B 卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）1111113352015201711111111123345201520162017---++⋯+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ． 2．（10分）甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，出发时甲乙两车的速度比为5:4．出发后不久，甲车发生爆胎，停车更换轮胎后继续前进，并且将速度提高20%，结果在出发后3小时，与乙车相遇在AB 两地中点，相遇后，乙车继续往前行驶，而甲车掉头行驶，当甲车回到A 地时，乙车恰好到达甲车爆胎的位置，那么甲车更换轮胎用了 分钟．3．（10分）在33⨯的网格中（每个格子是个11⨯的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有 种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．4．（10分）小于1000的自然数中，有 个数的数字组成中最多有两个不同的数字． 5．（10分）如图，ABC ∆的面积为100平方厘米，ABD ∆的面积为72平方厘米．M 为CD 边的中点，90MHB ∠=︒，已知20AB =厘米，则MH 的长度为 厘米．6．（10分）一列数1a 、2a ⋯，n a ⋯，记()i S a 为i a 的所有数字之和，如(22)224S =+=，若12017a =，222a =，12()()n n n a S a S a --=+，那么2017a 等于 ．7．（10分）一个两位数，其数字和是它的约数，数字差（较大数减去较小数）也是它的约数，这样的两位数的个数共有 个．8．（10分）如图，六边形的六个顶点分别标志为A ，B ，C ，D ，E ，F ．开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A ，B ，C ，D ，E ，F 顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有种．二、解答下列各题（每小题10分，共40分）9．（10分）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成m个交点，则m有多少个不同的数值？10．（10分）求能被7整除且各位数字均为奇数，各位数字和为2017的最大正整数．11．（10分）从1001，1002，1003，1004，1005，1006，1007，1008，1009中任意选出四个数，使它们的和为偶数，则共有多少种不同的选法．12．（10分）使3251nn++不为最简分数的三位数n之和等于多少．三、解答下列各题（每小题15分，共30分）13．（15分）一个正六边形被剖分成6个小三角形，如图，在这些小三角形的7个顶点处填上7个不同的整数，能否找到一个填法，使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列，如果可以，请给出一种填法；如果不可以，请说明理由．14．（15分）77⨯的方格黑白染色，如果黑格比白格少的列的个数为m，黑格比白格多的行的个数为n，求m n+的最大值．2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）1111113352015201711111111123345201520162017---++⋯+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 2034144 ． 【分析】观察一下，首先把分子的两个分数变换一下形式，变成两个分数的乘积，恰好能和分母约分，这样就把原来的繁杂的分数变成简单的整数加减运算．【解答】解：1111113352015201711111111123345201520162017---++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 31532017201513352015201711111111123345201520162017---⨯⨯⨯=++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯111122221335572015201711111111132354576201520172016⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 2(24682016)=⨯++++⋯+ (22016)2016222+=⨯⨯20181008=⨯ 2034144=【点评】本题考查了分数的拆项运算知识，本题突破点：把分子拆分成两个分数的乘积形式，从而和分母约分2．（10分）甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，出发时甲乙两车的速度比为5:4．出发后不久，甲车发生爆胎，停车更换轮胎后继续前进，并且将速度提高20%，结果在出发后3小时，与乙车相遇在AB 两地中点，相遇后，乙车继续往前行驶，而甲车掉头行驶，当甲车回到A 地时，乙车恰好到达甲车爆胎的位置，那么甲车更换轮胎用了 52 分钟．【分析】首先分析后半程冲中点到A的过程，求出两人的速度比就可知道路程比，找到爆胎位置．然后再根据原来的速度比求出正常行驶的时间减去爆胎前的时间．最后根据甲前后两次的速度比求出时间比做差即可．【解答】解：依题意可知：甲乙两车的后来速度比：5(120%):43:2+=，甲回来走3份乙走两份路程．得知甲车爆胎的位置是AC的13处．如果不爆胎的甲行驶的时间和速度成反比：设甲行驶的时间为x则有：4:5:3x=，125 x=甲在行驶AC的爆胎位置到中点的正常时间为：121248(1)53155⨯-==（小时）；甲乙爆胎前后的速度比为：5:5(120%)5:6+=；路程一定时间和速度成反比：设爆胎后到中点的时间为y则有：86:5:5y=，43y=；修车时间为：121413353315-⨯-=（小时）13605215⨯=（分)故答案为：52分【点评】本题考查对比例应用题的理解和运用，关键是根据不变量判断正反比，找到甲原来不受影响的时间，再和后面的进行比较做差即可，问题解决．3．（10分）在33⨯的网格中（每个格子是个11⨯的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有10种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．【分析】可以分情况讨论，四个顶点的位值一样，正中间的一个方格一个位值，剩下的四个方格位值相同，故可以分次三种情况分别计算不同的摆放方法．【解答】解：根据分析，份三种情况：①当正中间即E处放一颗棋子，然后另一颗棋子放在外围任意一个位置，除去对称性因素，有2种不同的摆放方法，即AE 、BE ；②当两颗棋子都不在正中间E 处时，而其中有一颗在顶点处时，有4种不同摆法，即AB 、AF 、AH 、AD ；③当两颗棋子都在顶点处时，有2种不同摆法，即AC 、AI ；④当两颗棋子都在除顶点和正中间之外的4个方格中，有2种不同摆法，即BD 、BH ．综上，共有：242210+++=种不同摆放方法．【点评】本题考查了排列组合，突破点是：分情况讨论，根据不同的位置求出总的不同摆放方法．4．（10分）小于1000的自然数中，有 352 个数的数字组成中最多有两个不同的数字． 【分析】可以先求出有三个同数字的数的个数，再用总数1000减去后就是符合题意“数字组成中最多有两个不同的数字”的个数．【解答】解：根据分析，小于1000的自然数中，有三个不同数字的数有：998648⨯⨯=个， 则最多有两个不同数字的数有：1000648352-=个． 故答案是：352．【点评】本题考查了数的问题，突破点是：先求有三个不同数字的数的个数，用总数减去即可．5．（10分）如图，ABC ∆的面积为100平方厘米，ABD ∆的面积为72平方厘米．M 为CD 边的中点，90MHB ∠=︒，已知20AB =厘米，则MH 的长度为 8.6 厘米．【分析】可以利用面积公式分别求出ABC ∆、ABD ∆的高，而已知20AB =厘米，再利用MH 的中位线性质求出MH 的长度．【解答】解：根据分析，过D ，C 分别作DE AB ⊥交AB 于E ，CF AB ⊥交AB 于F ，如图：ABD ∆的面积11722022DE AB DE ==⨯⨯=⨯⨯，7.2DE ∴=厘米，ABC ∆的面积111002022CF AB CF ==⨯⨯=⨯⨯，10CF ∴=厘米；又11()(7.210)8.622MH DE CF =⨯+=⨯+=厘米．故答案是：8.6．【点评】本题考查了三角形面积，本题突破点是：利用三角形面积公式先求出高，再利用中位线的关系求出MH 的长．6．（10分）一列数1a 、2a ⋯，n a ⋯，记()i S a 为i a 的所有数字之和，如(22)224S =+=，若12017a =，222a =，12()()n n n a S a S a --=+，那么2017a 等于 10 ．【分析】首先要分析清楚()i S a 的含义，即i a 是一个自然数，()i S a 表示i a 的数字和，再根据n a 的递推式列出数据并找出规律．【解答】解：()i S a 表示自然数i a 的数字和，又12()()n n n a S a S a --=+，在下表中列出1n =，2，3，4，⋯时的n a 和()n S a ，nn a ()n S a1 2017 102 22 43 145 4 9 9 5 14 56 14 57 10 1 866由上表可以得出：4289a a ==，428()()9S a S a ==；52914a a ==，529()()5S a S a ==；⋯可以得到规律：当4i 时，24i i a a +=，24()()i i S a S a +=， 201732014-=，2014248322÷=⋯，所以：20173222510a a a +===．【点评】本题重点是弄清楚()i S a 的含义，通过地推找到规律，再进行求解．7．（10分）一个两位数，其数字和是它的约数，数字差（较大数减去较小数）也是它的约数，这样的两位数的个数共有 19 个．【分析】首先看所有的10的倍数都是满足条件的，再找出尾数不为0的满足条件的数字即可，数字不多枚举法解决． 【解答】解：枚举法：（1）尾数为0的有：10，20，30，40，50，60，70，80，90． （2）尾数不为0 的有：12，21，24，36，42，45，48，54，63，84． 故答案为：19【点评】本题是考察因数和倍数的关系，同时关键是在枚举过程中按照顺序，可以是数字和也可以是首位数字的大小，问题解决．8．（10分）如图，六边形的六个顶点分别标志为A ，B ，C ，D ，E ，F ．开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A ，B ，C ，D ，E ，F 顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有 4 种．【分析】显然，只有两种情况，分别讨论，相邻两个字互换，以及顺时针移动一个位值，或逆时针移动一个位值，最后可以求得总的不同的摆放方法． 【解答】解：根据分析，分两类情况：①按顺序移动一个位置，顺时针移动一个位置，有1种不同摆放方法，逆时针移动一个位置，有1种不同摆放方法；②相邻两个位置互换，则共有：2种不同的摆放方法．综上，共有：1124++=种不同摆放方法．故答案是：4．【点评】本题考查排列组合，突破点是：分情况讨论，相邻两个字互换，以及顺时针移动一个位值，或逆时针移动一个位值，最后求和．二、解答下列各题（每小题10分，共40分）9．（10分）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成m个交点，则m有多少个不同的数值？【分析】分情况讨论m的值，有5条直线平行、4条直线平行，三条直线平行，两条直线平行，0条直线平行，五条直线交于一点，四条直线共点，三条直线共点，分别求得m的数值．【解答】解：根据分析，①若5条直线互相平行，则形成的交点为0，故m为0；②若有4条直线互相平行，则交点个数4m=；③若有三条直线互相平行，则5m=，6，7；④若有两条直线互相平行，则5m=，6，7，8，9；⑤若没有直线平行，则1m=，5，6，7，8，9，10．综上，m的可能取值有：0、1、4、5、6、7、8、9、10共9种不同的数值．故答案是：9．【点评】本题考查了组合图形的计数，本题突破点是：分类讨论，确定m的取值的种类．10．（10分）求能被7整除且各位数字均为奇数，各位数字和为2017的最大正整数．【分析】要使整数最大，且每一位数字都是奇数，必须保证整数的位数足够多，且含有尽量多的1；据此分析解答即可．【解答】解：要使整数最大，且每一位数字都是奇数，必须保证整数的位数足够多，且含有尽量多的1．根据能被7整除的数的特征可得，111111是每个数位均为1且能被7整除的最小数． 又有：20176336163357=⨯+=⨯+当有336个111111组成时，因为所有数字之和要是2017，首位数字只能是1，不能被7整除；当有335个111111组成时，前面还需要加上一个正整数，使得它各位数字之和等于7，且这个数最大．满足这个条件的最大整数是13111．说明：我们可以用以下方法，构造一个能被7整除且除了首位数之外，其余数字均为1的数列如下： 21，49021511+=， 7005111211+=， 56005116111+=， 7000611113111+=， 35000611141111+=， 7000041111111111+=， 7000041111111111+=，我们注意到，7000611113111+=是能被7整除且各位数字之和等于7 的最大正整数． 所以，各位数字和为 2017 的最大正整数1311111⋯，其中1的个数是335642014⨯+=，即201311311111⋯个．答：能被7整除且各位数字均为奇数，各位数字和为2017的最大正整数是201311311111⋯个．【点评】本题关键是根据能被7整除的数的特征得到由数字“1”组成的最小数是111111；难点是寻找同时满足数字和是7的最大整数是13111．11．（10分）从1001，1002，1003，1004，1005，1006，1007，1008，1009中任意选出四个数，使它们的和为偶数，则共有多少种不同的选法．【分析】首先分析如果结果是偶数可以分为0，2，4个奇数，把每一种结果加起来即可． 【解答】解：依题意可知：根据四个数的结果是偶数．那么必定是0个奇数，2个奇数或者是4个奇数．在1001，1002，1003，1004，1005，1006，1007，1008，1009奇数的个数为5个，偶数的个数为4个．当0个奇数时有一种情况．当是2个奇数2个偶数时是225460C C=种．当选择4个奇数时有5种．605166++=（种)答：共有66种选择方法．【点评】本题考查对奇偶性的理解和综合运用，同时关键是分类中的排列组合．问题解决．12．（10分）使3251nn++不为最简分数的三位数n之和等于多少．【分析】3251nn++不为最简，表明(51,32)1n n a++=≠，根据辗转相除原理有1|(51)3(32)5a n n≠+⨯-+⨯即1|7a=≠，则a只能等于7，我们可以用51n+尝试来锁定答案，一次尝试可知511n+=或6或11或16或21，因为2137=⨯，所以5121n+=时7|51n+成立，此时n为最小值，且为4，其它值即可顺次找出，只需要将4递加7即可，题中让我们求的是符合条件的三位数，那么最小为102，最大为998，此后利用等差数列求和即可．【解答】解：3251nn++不为最简，表明(51,32)1n n a++=≠，根据辗转相除原理有1|(51)3(32)5a n n≠+⨯-+⨯即1|7a=≠，则a只能等于7，一次尝试可知511n+=或6或11或16或21，因为2137=⨯，所以5121n+=时7|51n+成立，此时n为最小值，且为4，将4递加7即可，符合条件的三位数，那么最小为102，最大为998，102109116998+++⋯+(102998)1292=+⨯÷70950=答：使3251nn++不为最简分数的三位数n之和等于70950．【点评】考查了辗转相除原理，等差数列求和公式，关键是得到符合条件的三位数，最小为102，最大为998．三、解答下列各题（每小题15分，共30分）13．（15分）一个正六边形被剖分成6个小三角形，如图，在这些小三角形的7个顶点处填上7个不同的整数，能否找到一个填法，使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列，如果可以，请给出一种填法；如果不可以，请说明理由．【分析】首先分析最小数字的位置，可以放在圆心出也可以放在外边，两种情况分析即可．【解答】解：依题意可知：分两种情况讨论：假设将最小数放在中心位置，我们只能在外圈顺时针依次从小到达放数字．但是只能满足五个三角形，最后一个三角形无法满足条件．假设将最小的数字放在外圈，然后在周边顺时针依次从小到大放数字，如果想要五个三角形都满足条件，则中心位置必须放大数字，但这样的话，最后一个又不能满足条件．综上所述：不能找到一个填法，使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列．【点评】本题是对凑数谜的理解和运用，关键问题是找最小数字的位置．问题解决．14．（15分）77⨯的方格黑白染色，如果黑格比白格少的列的个数为m，黑格比白格多的+的最大值．行的个数为n，求m n+的值最大．【分析】在m取最大值的条件下n尽量取最大值可使m n【解答】解：根据分析，1黑格和白格的行数7；1列数7，当7⨯=．然后，可以把21个m=时，可以设7列之中黑格个数为3，则黑格总数为：3721黑格在15-行之中每行放4个，第6行放1个，第7行不放．这样就有5行中黑格数量超过白格，所以5+=为最大．如下图1所示：m nn=，从而使得12当6m =时，可以设6列之中黑格个数均为3，其余一列黑格个数为7，这样黑格总数为36725⨯+=．然后，我们使得16-行黑格个数为4个，最后一行只有1个．这样就有6行中黑格数列超过白格，所以6n =，从而使得12m n +=，如图2所示：当5m 时，12m n +．综上，m n +的最大值为12．故答案是：12．【点评】本题考查了最大与最小，本题突破点是：在行数和列数的最小与最大的范围内，确定最大值．。
第二十二届华杯赛试题(2017)
第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（2017）一、选择题（每小题10分，共60分。
）1．两个小三角形不重叠放置可以拼成一个大三角形，那么这个大三角形不可能由( )拼成。
A.两个锐角蔓角形 B．两个直角三角形 C.两个钝角三角形D．-个锐角三角形和一个钝角三角形2．从1～10这10个整数中，至少取( )个数，才能保证其中有2个数的和等于10。
A.4 B．5 C．6 D．73．小明行李箱锁的密码是由2个数字8与5构成的三位数。
某次旅行，小明忘记了密码，他最少要试( )次，才能确保打开箱子。
A．9 B．8 C．7 D．64．猎豹跑一步长为2米，狐狸跑一步长为1米。
猎豹跑2步的时间狐狸跑3步。
猎豹距离狐狸30米，则猎豹跑( )米可追上狐狸。
A. 90 B．105 C．120 D．1355．题图中的八边形是将大长方形纸片剪去一个小长方形得到的，则至少需要知道( )条线段的长度，才可以计算出这个八边形的周长。
A. 4B. 4C. 5D. 106．一个数串219A，从第4个数字开始，每个数字都是前面3个数字和的个位数。
下面有4个四位数：1113、2226、2125、2215，其中共有( )个不出现在该数串中。
A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题10分，满分40分。
）7．计算1000-257-84-43-16=____。
8．已知动车的速度是普快的两倍，动车的速度提高25%即达到高铁的速度，高铁与普快的平均速度比特快快15千米／时，动车与普快的平均速度比特快慢10千米／时，则高铁和普快列车的速度分别是千米／时和千米／时。
9．《火星救援》中，马克不幸没有跟上其他5名航天员飞回地球，独自留在了火星，马克必须想办法生存，等待救援。
马克的居住舱内留有每名航天员5天的食品和50千克的非饮用水，还有一个足够大的菜园，马克计划用来种植土豆，30天后每平方米可以收获2.5千克，但是需要灌溉4千克的水。
马克每天需要吃1.875千克土豆，才可以维持生存，则食品和土豆可供马克最多支撑天。
第二十二届“华杯赛”决赛小高组试题A详细解答
第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(小学高年级组)详细解答【解】：∵201711=183+411∴[201711×3] = [183×3+411×3]= 183×3+1类似地，可知：[201711×4]= 183×4+1；[201711×5]= 183×5+1[201711×6]= 183×6+2；[201711×7]= 183×7+2；[201711×8]= 183×8+2∴原式= 183×[3+4+5+6+7+8]+1+1+1+2+2+2=6048【答】：所求值为6048。
【解】：假设原来四个整数分别为a,b,c,d,则按照题意所求的四个数的表达式分别为：a+b+c3+d,a+b+d3+ca+c+d3+b,b+c+d3+a∵a+b+c3+d+a+b+d3+c+a+c+d3+b+b+c+d3+a=3（a+b+c+d）3+(a+b+c+d)=2(a+b+c+d)∴a+b+c+d=12×(8+12+1023+913)=12×(20+20) =20【答】：原来给定的4个整数的和为20。
【解】：分三种情形，共有10种不同摆法，如下图：（1）两个点都在第一行；（2）两个点不在同一行但相邻；（3）两个点不在同一行且不相邻；【答】：共有10种不同的摆放方法。
【解】：设甲的速度为V甲，乙的速度为V乙，AB两地距离为SAB，BC两地距离为SBC 根据题意可知：V甲=80÷2=40 (千米/小时) ，甲原来的速度的2倍为80(千米/小时) 所以，BC两地距离：SBC=2×80=160 (千米)又，乙从B地到C地花了2.5小时，所以，乙的速度为：V乙=SBC÷2.5=160÷2.5=64(千米/小时)【答】：乙的速度为64 千米/小时。
2017年华杯赛初赛小高组1题
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1、两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个 有限小数的积的整数部分有多少种可能的取值？
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1、两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个 有限小数的积的整数部分有多少种可能的取值？
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1、两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个 有限小数的积的整数部分有多少种可能的取值？
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70Βιβλιοθήκη 1、两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个 有限小数的积的整数部分有多少种可能的取值？
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1、两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个 有限小数的积的整数部分有多少种可能的取值？
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1、两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个 有限小数的积的整数部分有多少种可能的取值？
1、两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个 有限小数的积的整数部分有多少种可能的取值？
1、两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个 有限小数的积的整数部分有多少种可能的取值？
2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组)(1)
2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）一、填空题（每小题10 分，共 80 分）1．（ 10 分）在 2017 个自然数中至少有一个两位数，而且其中任意两个数至少有一个三位数，则这 2017 个数中有个三位数．2．（ 10 分）如图（ 1）所示，一个棋子从 A 到 B 只能沿着横平竖直的路线在网格中行走，给定棋子的一条路线，将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方，在某一行中经过的格子数标在该行的左方．如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的，那么图中x 代表的数字为．3 ．（ 10分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[10.2]＝10．则[]+[]+[]+[]+[]+[] 等于．4．（ 10 分）盒子里有一些黑球和白球，如果将黑球数量变成原来的 5 倍，总球数将会变成原来的 2 倍．如果将白球数量变成原来的 5 倍，总球数将会变成原来的倍．5．（ 10 分）能被自己的数字之和整除的两位数中，奇数共有个．6．（ 10 分）如图，将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形，最后剩下一个长方形．正方形边长和三角形直角边长都是整数．若剪去部分的总面积为40 平方厘米，则长方形的面积是平方厘米．7．（10 分）小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场．从家到商店距离是500 米，用了 7 分钟；从商店到游乐场以80 米 /分钟的速度要走8 分钟；从游乐场到学校的距离是 300 米，走的速度是60 米 / 分钟．那么小龙从家到学校的平均速度是米/分钟．8．（ 10 分）亚瑟王在王宫中召见 6 名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有 2 个朋友．他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友．亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）．二、简答题（每小题15 分，共 60 分）9．（ 15 分）如图所示，两个边长为 6 的正方形ABFE 和 CDEF 拼成长方形ABCD ．G 为 DE 的中点．连接BG 交 EF 于 H ．求图中五边形CDGHF 的面积．10．（ 15 分）乌龟和兔子进行1000 米赛跑，兔子速度是乌龟速度的 5 倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10 米．求兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？11．（15 分）如图，一个边长为 3 的正六边形被 3 组平行于其边的直线分割成边长为 1 的 54个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个？12．（15 分）将 1 至 9 填入图的网格中．要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，字的整数倍．已知左右格子已经填有数字 4 和 5，问：标有字母 x 的格子所填的数字最大是多少？2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10 分，共 80 分）1．（ 10 分）在 2017 个自然数中至少有一个两位数，而且其中任意两个数至少有一个三位数，则这 2017 个数中有2016 个三位数．【分析】按题意， 2017 个自然数中至少有一个两位数，而任意两个数至少有一个三位数，则可知，两位数的个数不能大于2，若有 2 个或 2 个以上的两位数，则取出的两个有可能都是两位数，与题意不符，故只能有 1 个两位数，不难求得三位数的个数．【解答】解：根据分析， 2017个自然数中至少有一个两位数，而任意两个数至少有一个三位数，则可知，两位数的个数不能大于2，若有 2 个或 2 个以上的两位数，则取出的两个有可能都是两位数，与题意不符，故只能有 1 个两位数，而三位数的个数即为：2017﹣ 1＝ 2016 个．故答案是： 2016．2．（ 10 分）如图（ 1）所示，一个棋子从 A 到 B 只能沿着横平竖直的路线在网格中行走，给定棋子的一条路线，将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方，在某一行中经过的格子数标在该行的左方．如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的，那么图中 x 代表的数字为2．【分析】首先分析题意，然后枚举出一种符合题意的画法即可．【解答】解：依题意可知：路线如图所示：x＝ 2 满足条件．故答案为： 23 ．（ 10分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[10.2]＝10．则[]+[]+[]+[]+[]+[] 等于6048．【分析】本题考察高斯取整．观察式子可知首位两项，[] 内的数相加等于2017，又因为当x 不是整数时， [x]+[2017 ﹣ x] ＝ 2016，故两两相加，可以得到答案．【解答】解：因为2017 和11 是质数，所以[] 内的数据都不是整数，则 []+[]＝ 2017﹣ 1＝ 2016，同理可得 []+[] ＝ 2016，[]+[]＝ 2016，所以原式＝ 2016+2016+2016 ＝ 6048．故填： 60484．（ 10 分）盒子里有一些黑球和白球，如果将黑球数量变成原来的 5 倍，总球数将会变成原来的 2 倍．如果将白球数量变成原来的 5 倍，总球数将会变成原来的 4 倍．【分析】将黑球数量变成原来的 5 倍，总球数将会变成原来的 2 倍，黑球数增加 4 倍，总球数增加 1 倍，也就是黑球个数的 4 倍就是总球数，那么白球的个数是黑球个数的4﹣ 1＝3 倍；把黑球数看成 1 份，白球数就是 5 份，总球数就是 4 份；再根据白球数变成原来的 5 倍，也就是增加 4 倍，即增加3× 4＝ 12 份，这总球数就是12+4＝16 份，用 16份除以原来的 4 份，即可求出总球数变成原来的几倍．【解答】解：把黑球看成 1 份，则白球是 3 份，总球数是 4 份；当白球变成原来的 5 倍，就是增加 4 倍，即增加 3× 4＝12 份（12+4）÷ 4＝ 4可以画图如下：答：总球数将会变成原来的 4 倍．故答案为：4．5．（ 10 分）能被自己的数字之和整除的两位数中，奇数共有 5 个．【分析】显然，奇数只能被奇数整除，故这个奇数的数字之和一定为奇数，因这个两位数个位上为奇数，故十位上只能是偶数，从而得知此奇数十位上只能是1、3、 5、 7、 9，而且此奇数不能是质数，故要排除掉质数，从而最后确定奇数的个数．【解答】解：根据分析，符合题意的奇数十位上只能是：2、4、6、8，再排除掉质数后，只剩下： 21、 25、 27、 45、 49、 63、65、 69、81、 85、 87，一一检验，排除掉25、49、65、 69、 85、 87，故符合题意的奇数为： 21、 27、 45、63、 81，共 5 个．故答案是：5．6．（ 10 分）如图，将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形，最后剩下一个长方形．正方形边长和三角形直角边长都是整数．若剪去部分的总面积为40 平方厘米，则长方形的面积是24平方厘米．【分析】因剪去的两个大等腰直角三角形可组成一个正方形，两个小等腰直角三角形可组成一个小正方形，可设大等腰三角形的直角边为a，小等腰三角形的直角边为b，则根据题意可知22＝ 40，又因正方形边长和三角形直角边长都是整数，可根据22a+b 2 +6＝ 40知大等腰三角形的直角边和小等腰直角三角形的直角边是多少，进而可求出原正方形的边长，再用原正方形的面积减去40 可求出长方形的面积是多少，据此解答．【解答】解；设大等腰三角形的直角边为a，小等腰三角形的直角边为b22a +b ＝ 40222 +6＝ 40可知大等腰直角三角形的直角边是 6 厘米，小等腰直角三角形的直角边是 2 厘米原正方形的面积：（6+2 ）×（ 6+2）＝8×8＝ 64（平方厘米）64﹣ 40＝ 24（平方厘米）答：长方形的面积是24 平方厘米．故答案为： 24．7．（10 分）小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场．从家到商店距离是500 米，用了 7 分钟；从商店到游乐场以80 米 /分钟的速度要走8 分钟；从游乐场到学校的距离是 300 米，走的速度是60 米 /分钟．那么小龙从家到学校的平均速度是72米/分钟．【分析】首先根据：路程＝速度×时间，用从商店到游乐场的速度乘用的时间，求出从商店到游乐场的路程是多少，进而求出小龙从家到学校的路程是多少；然后根据：时间＝路程÷速度，用从游乐场到学校的距离除以小龙走的速度，求出从游乐场到学校用的时间是多少；最后用小龙从家到学校的路程除以用的时间，求出小龙从家到学校的平均速度是多少即可．【解答】解：（ 500+80 × 8+300）÷（ 7+8+300 ÷ 60）＝（ 500+640+300 ）÷（ 7+8+5）＝1440÷ 20＝72（米 / 分钟）答：小龙从家到学校的平均速度是72 米 /分钟．故答案为： 72．8．（ 10 分）亚瑟王在王宫中召见 6 名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有 2 个朋友．他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友．亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有6种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）．【分析】首先根据题目要求旋转相同的算同一种方法，因此可只考虑其中一个人排在第一位的情况，然后根据题目条件进行后续排序即可．【解答】解：为方便起见，分别用数字1、 2、 3、 4、5、 6 代表 6 个人，则 1 的朋友为 2和 6，即和 1 相邻的只能是3， 4， 5．由于旋转相同的算同一种方法，可以只考虑以 1 开始的排序方法，由于是一个圆圈，则第二位和最后一位只能从3， 4， 5 中选，那么以 1 为基准可排的座位顺序为：（ 1）若第二位选3，则第三位选5或 6，①若第三位选 5，则第四位只能选2，还剩下 4 和 6，由于最后一位只能是3， 4，5，则第五位选 6，第六位选 4，即 1， 3， 5， 2，6， 4；②若第三位选 6，还剩下2， 4，5，若第四位选 2，则剩下 4 和 5，相邻，不符合题意，且 6 和 5 相邻，因此第四位选 4，则第五位选2，第六位选5，即 1， 3，5， 2， 6， 4；（ 2）若第二位选4，可同样推理，得到两种排序，即1，4，6，2，5，3 和 1，4，2，6，3， 5，（ 3）若第二位选5，可同样推理，得到两种排序，即 1，5，2，4，6，3，和 1，5，3，6，2， 4．共计 6种．故答案为： 6．二、简答题（每小题15 分，共 60 分）9．（ 15 分）如图所示，两个边长为 6 的正方形 ABFE 和 CDEF 拼成长方形 ABCD ．G 为 DE 的中点．连接 BG 交 EF 于 H ．求图中五边形CDGHF 的面积．【分析】 G 为 DE 的中点，所以EG＝ 6÷ 2＝ 3，因 EG：AG＝ EH： AB，可求出EH 的长度，再根据三角形的面积公式可求出三角形EHG 的面积，用正方形的面积减去它的面积，就是阴影部分的面积，据此解答．【解答】解： G 为 DE 的中点EG＝ 6÷ 2＝ 3EG： AG＝ EH ：AB3：（ 6+3）＝ EH ： 63： 9＝ EH： 69EH＝3× 6EH ＝26× 6﹣3× 2÷ 2＝36﹣3＝33答：图中五边形CDGHF 的面积是33．10．（ 15 分）乌龟和兔子进行1000 米赛跑，兔子速度是乌龟速度的 5 倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10 米．求兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？【分析】首先把兔子全程先考虑不睡时跑的总路程为990 米，乌龟跑了多远，剩余的路程就是兔子睡觉时乌龟跑的路程．【解答】解：首先根据兔子的速度是乌龟的 5 倍可知，兔子跑的路程是乌龟的 5 倍．当他们都不休息时兔子跑全程的1000﹣ 10＝ 990（米）；乌龟跑的路程是990÷ 5＝198（米）；兔子睡觉乌龟继续跑的路程为：1000﹣ 198＝ 802（米）答：兔子睡觉期间乌龟跑了802 米．个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个？【分析】观察图形，数出正六边形的个数，可以分类计数，分边长为 1 的正六边形、边长为 2 的正六边形、边长为 3 的正六边形，再加起来即可．【解答】解：根据分析，边长为 1 的正六边形个数有：19 个；边长为 2 的正六边形个数：7 个；边长为 3 的正六边形个数： 1 个，另外，如图，两种类型的正六边形的个数为：7+2＝9 个正六边形的总个数为：19+7+1+9 ＝36 个．故答案是： 36．12．（15 分）将 1 至 9 填入图的网格中．要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍．已知左右格子已经填有数字 4 和 5，问：标有字母 x 的格子所填的数字最大是多少？【分析】按题意， 1 至 9 的数字中，填入 4 和 5 之外，只剩下7 个数，可以先求出7 个数的和，即为36，中间的x 只可能是3， 6， 9，故一一检验，即可得知x 的值．【解答】解：根据分析，1+2+3+6+7+8+9 ＝ 36，填入的 x 是其它五个数的因数，故x 只能是 3、 6、 9，若 x＝ 9，则，不能每个数的周围的数字之和是该格子中所填数字的整数倍；x＝ 6 时，如图所示，易知x＝ 6 符合题意．故答案是： 6．第 11 页（共 11 页）。
2017年第22届华杯赛(小高组)决赛模拟试题(1)-T版综述
2017年第22届华杯赛决赛模拟试题（1）（小学高年级组）（时间：90分钟，满分：150分）一、填空题。
（每小题10分，共80分）1.2016年1月24日，“华罗庚金杯中外少年数学精英趣味对抗赛”在美国开赛，2016年7月18日，“华罗庚金杯少年数学邀请赛30周年纪念大会”召开，已知2016年1月24日是星期日，2016年7月18日是星期 。
【难度】★★【考点】周期问题【答案】一【解析】注意2016年是闰年。
1月25日至1月31日共31-25+1=7（天）；2月至6月共29+31+30+31+30=151（天）；7月1日至7月18日共18天。
故20166年1月25至7月18日共7+151+18=176（天）。
176÷7=25……1，故2016年1月24日之后第176天为星期一。
2.计算：=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--1541212322211%2532394475.0 。
【难度】★★【考点】计算 【答案】92 【解析】原式 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-15412123212124196394443 = ⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-154125351419743 = ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-1543241973 =15641920⨯⨯ = 92 3.如图，将侧面积是314平方厘米的圆柱体，切拼成一个近似长方体，表面积比原来增加 厘米。
（π取3.14）【难度】★★【考点】几何【答案】100【解析】设圆柱体高为h,底面积的半径为r.则2πrh=314,rh=50.增加面积为2rh=100（平方厘米）。
4.仅使用加、减、乘、除、括弧，可由4个4运算得到3。
例如（4 + 4 + 4）÷4 = 3。
请你另给一种运算算式。
【难度】★★【考点】巧填运算符号【答案】（4×4 - 4）÷4 = 3【解析】三个4很容易得到3，即4-4÷4=3.将除以4看成乘以1/4，利用乘法分配率可将3个4变成4个4，即4-4÷4=（4×4-4）除以4.5.将自然数从1开始，按图所表示的规律排列。
2017年第22届华杯赛初赛模拟试题(1)(小高组)(唐涛)-T版
名师堂学校“阶梯数学”出品2017年第22届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛模拟试题（1）（小学高年级组）一、选择题。
（每小题10分，四个选项仅有一个结论正确，请将正确答案的字母填在圆括号内）1.把一个正方形纸片如图所示折叠，然后剪去黑色部分，最后展开后的图案如图（ ）所示。
【考点】图形的展开与折叠【难度】★【答案】B【解析】解法1：实际操作即可；解法2：倒推。
2.由两根8厘米、一根5厘米的小棒可以搭成一个三角形，这个三角形是（ ）三角形。
A.等腰锐角B.等腰直角C.等腰钝角D.等边【考点】三角形分类【难度】★【答案】A【解析】三根8厘米的小棒可以搭成一个等边三角形，是一个锐角三角形；把其中一根8厘米的小棒换成5厘米后是一个等腰三角形，顶角由60度变小，还是锐角，所以是等腰锐角三角形。
(D)(C)(B)(A)3.已知下面4个图中的正方形边长都是1，那么图中阴影部分的面积最大的是（ ）。
【考点】圆与组合图形面积【难度】★★【答案】A【解析】图A 的面积：41×π×12×2 – 12 = 21π – 1 ≈ 0.57； 图B 的面积：12 -（21π - 1）= 2 - 21π ≈ 0.43； 图C 的面积：12 – π×221⎪⎭⎫ ⎝⎛ = 1 - 41π ≈ 0.215； 图D 的面积：12 – π×221⎪⎭⎫ ⎝⎛ = 1 - 41π ≈ 0.215； 所以，图A 的面积最大。
4.用红和黄两种颜色给立方体的6个面染色，要求每个表面必须染色，且染色后经过适当旋转或翻滚着色相同则认为是相同的染色方式，那么共有（ ）种不同的染色方式。
A.6B.8C.9D.10【考点】染色计数【难度】★★★【答案】D【解析】用1种颜色染色，有红、黄2种方式；用2种颜色染色，再分类统计：（1）仅1个面是红色，有1种；（2）仅2个面是红色，有相对和相邻，2种；（3）仅3个面是红色，有共边和共顶点，2种；（4）仅4个面是红色，即有2个面是黄色，黄色有相对和相邻，2种；（5）仅5个面是红色，即有1个面是黄色，1种；一共：2 +（1 + 2 + 2 + 2 + 1）= 10（种）5.将1—9填入如图所示的六边形网格中，每个格子填一个数，要求每个格子周围格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍，中间的格子填的数是6，它周围格子里的数字之和是（ ）。
第22届华杯赛小学高年级组初赛试题及答案解析
第22届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）一、选择题（每小题10分，共60分。
以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
）1、两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（）种可能的取值。
A、16B、17C、18D、192、小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟。
某天小明因故先乘地铁，再乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（）分钟。
A、6B、8C、10D、123、将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成下图，长方形ABCD内部空白部分的面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米。
A、14B、16C、18D、204、请在上图中每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立，那么乘积是（）。
A、2986B、2858C、2672D、27545、在序列20170……中，从第5个数字开始，每个数字都是前面4个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去，那么从第5个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（）。
A、8615B、2016C、4023D、20176、从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（）种填法使得方框中话是正确的。
A、1B、2C、3D、4二、填空题（每小题10分，满分40分）7、若1532÷ 2.254553923741A⎛⎫⎪⎪⎪⨯⎪⎪⎪⎝⎭—＋＝＋，那么A的值是。
8、下图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1—5这五个不同的数字，将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有种情况使得这五个和恰为五个连续自然数。
9、上图中，ABCD是平行四边形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE 的交点为H，四边形EFGH的面积是15平方厘米，则ABCD的面积是平方厘米。
10、若2017,1029和725除以d的余数均为r，那么d—r的最大值是。
2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷(小高组)
2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组）一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）1．（10分）两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（）种可能的取值．A．16 B．17 C．18 D．192．（10分）小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（）分钟．A．6 B．8 C．10 D．123．（10分）将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成如图，长方形ABCD 内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米．A．14 B．16 C．18 D．204．（10分）请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（）A．2986 B．2858 C．2672 D．27545．（10分）在序列20170…中，从第5 个数字开始，每个数字都是前面4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（）A．8615 B．2016 C．4023 D．20176．（10分）从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（）种填法使得方框中话是正确的．这句话里有（）个数大于1，有（）个数大于2，有（）个数大于3，有（）个数大于4．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题10分，共40分）7．（10分）若[﹣]×÷+2.25=4，那么A 的值是．8．（10分）如图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1﹣5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9．（10分）如图中，ABCD是平行四边形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE的交点为H，AC和BD的交点为G，四边形EHGF的面积是15平方厘米，则ABCD的面积是平方厘米．10．（10分）若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d﹣r的最大值是．2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）1．（10分）两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（）种可能的取值．A．16 B．17 C．18 D．19【分析】两个小数的整数部分分别是7和10，那么这两个小数的积的整数部分最小是7×10=70；这两个小数的积的整数部分最大不超过8×11=88，所以，这两个小数的积的整数部分在70与88之间，包括70，单不包括88，共有18种可能，据此解答．【解答】解：根据题意与分析：这两个小数的积的整数部分最小是7×10=70；这两个小数的积的整数部分最大不超过8×11=88；所以，这两个小数的积的整数部分在70与88之间，包括70，但不包括88，共有：88﹣70=18种可能；答：这两个有限小数的积的整数部分有18种可能的取值．故选：C．【点评】本题关键是求出这两个小数的积的整数部分的取值范围，然后再进一步解答．2．（10分）小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（）分钟．A．6 B．8 C．10 D．12【分析】总共用时是40，去掉换乘6分钟．40﹣6=34分钟．地铁是30分钟，客车是50分钟，实际是34分钟，根据时间差，比例份数法即可．【解答】解：乘车时间是40﹣6=34分，假设全是地铁是30分钟，时间差是34﹣30=4分钟，需要调整到公交推迟4分钟，地铁和公交的时间比是3：5，设地铁时间是3份，公交是5份时间，4÷（5﹣3）=2，公交时间为5×2=10分钟．故选：C．【点评】工程问题结合比例关系是常见的典型问题，份数法是奥数中常见的思想，很多题型都可以用．求出单位份数量即可解决问题．3．（10分）将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成如图，长方形ABCD 内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米．A．14 B．16 C．18 D．20【分析】设把中间最小的空白长方形的面积看作单位1=ab，那么与它相邻的阴影部分的面积就是2a×2b﹣ab=3ab=3，同理，相邻的空白部分的面积就是5ab=5，依此规律，面积依次下去为7，9，11，则空白部分的面积总和是1+5+9=15，而实际空白部分面积总和是10平方厘米，可得单位1的实际面积是10÷15=（平方厘米）；同理，那么阴影部分面积总和是：3+7+11=21，然后进一步解答即可．【解答】解：设把中间最小的空白长方形的面积看作单位1=ab，那么与它相邻的阴影部分的面积就是2a×2b﹣ab=3ab=3，同理，相邻的空白部分的面积就是5ab=5，依此规律，面积依次下去为7，9，11，则空白部分的面积总和是1+5+9=15，而实际空白部分面积总和是10平方厘米，可得单位1的实际面积是10÷15=（平方厘米）；那么阴影部分面积总和是：3+7+11=21，则实际面积是：21×=14（平方厘米）；答：阴影部分面积总和是14平方厘米．故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，关键是通过方程思想，确定一个标准，然后把要求的量统一到这个标准下再解答．4．（10分）请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（）A．2986 B．2858 C．2672 D．2754【分析】根据特殊情况入手，结果中的数字2如果有进位那么0上边只能是9，根据910多除以7得130多，7前面只能是1，与数字0矛盾，那么就是没有进位．根据已知数字进行分析没有矛盾的就是符合题意的．【解答】解：首先根据结果中的首位数字是2，如果有进位那么0上边只能是9，根据910多除以7得130多，7前面只能是1，与数字0矛盾那么乘数中的三位数的首位只能是1或者2，因为乘数中有7而且结果是三位数，那么乘数中三位数首位只能是1．那么已知数字7前面只能是2，根据已知数字0再推出乘数三位数中的十位数字是0．再根据乘数中的数字7与三位数相乘有1的进位，尾数只能是2．所以是102×27=2754．故选：D．【点评】根据特殊情况来分析，竖式的问题多用于排除法，有多种情况的枚举出来根据已知数字进行推理，同时不要忘记有进位的情况，问题解决．5．（10分）在序列20170…中，从第5 个数字开始，每个数字都是前面4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（）A．8615 B．2016 C．4023 D．2017【分析】分析结果中的奇数偶数的性质，如果四个数字中出现一个奇数，那么下一个数字的结果一定是奇数，则2个奇数加两个偶数结果就是偶数．分析枚举找到规律即可．【解答】解：枚举法0170的数字和是8下一个数字就是8．1708的数字和是16下一个数字就是6．7086的数字和是21下一个数字就是1．0861的数字和是15下一个数字是5．8615的数字和是20下一个数字是0．6150的数字和为12下一个数字就是2．20170861502…规律总结：查看数字中奇数的个数，奇数一出现就是2个．故选：B【点评】本题的考点也是数字问题中的奇数偶数连接的问题，数字中有一个奇数那么数字和一定是奇数，所以数字和一定是两个奇数连在一起的，B选项中只有1个奇数两边都是偶数不符合题意．C选项中奇数在后可以再接一个奇数．问题解决．6．（10分）从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（）种填法使得方框中话是正确的．这句话里有（）个数大于1，有（）个数大于2，有（）个数大于3，有（）个数大于4．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先考虑共4个空的数字不相同而且还有1，2，3，4一共是8个数字，如果有0和1，那么至少大于1的数字还有5个，大于4的数字最多是4个，最少是1个，根据这些条件进行枚举筛选．【解答】解：依题意可知：设有a个数是大于1的，有b个数是大于2的，有c个数是大于3的，有d个数是大于4的．因为1，2，3，4各有一个，还有4个空，那么有a＞b＞c＞d．且a≥5，1≤d ≤4①若d=4，那么在这8个数字中需要有4个数字大于4，目前只有a，b，c是大于4的不满足条件．②若d=3时，那么在这8个数中需要有3个数是大于4的，a，b，c都是大于4的满足条件．则大于3的数字共个4．与c＞4矛盾③若d=2时，则a，b大于4，c不大于4，c则是取3或者4，分析a，b，c，d 依次是7，5，3，2或者7，5，4，2④若d=1时，则a是大于4的，b，c是不大于4的，由3，4，a都是大于2的，所以b≥3，则大于2的数共4个，所以b=4，此时大于3的数有a，b，4此时c ≥3，那么大于2的数字共5个，矛盾故选：B【点评】本题的突破口首先是a，d的范围，缩小了枚举的范围，根据题意枚举出来进行筛选，找出矛盾的即可排除，问题解决．二、填空题（每小题10分，共40分）7．（10分）若[﹣]×÷+2.25=4，那么A 的值是4．【分析】先把繁分数化简，求出关于未知数A的方程，然后根据等式的性质解方程即可．【解答】解：[﹣]×÷+2.25=4[﹣]×÷+2.25=4[﹣]×÷=[﹣]×=﹣=×﹣==+=24=6AA=4故答案为：4．【点评】本题考查了繁分数的化简和解方程的综合应用，注意计算要准确，否则容易出错．8．（10分）如图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1﹣5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有10种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．【分析】根据“每条线段两端点上的数字和恰为5个连续自然数”可以看出这5个和比原来1、2、3、4、5要大些；五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）=30，原来5个自然数的和是：1+2+3+4+5=15，新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：30﹣15=15，平均每个多15÷5=3，则新的5个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即4、5、6、7、8；然后结合最小和最大的自然数即可确定每个顶点处有几种选值，再确定共有几种情况．【解答】解：五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）=30，原来5个自然数的和是：1+2+3+4+5=15，新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：30﹣15=15，平均每个多15÷5=3，则新的5个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即4、5、6、7、8；观察这新的5个连续自然数，最小的自然数4只能是4=1+3，最大的自然数8只能是5+3，并且2与1，4与5不能组合，这样就有如下组合：因为每个顶点有2种不同的选值，所以共有2×5=10种；答：共有10种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．故答案为：10．【点评】此题重点考查学生的数字分析与组合能力，关键是确定一个顶点有几种选值．9．（10分）如图中，ABCD是平行四边形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE的交点为H，AC和BD的交点为G，四边形EHGF的面积是15平方厘米，则ABCD的面积是180平方厘米．【分析】如图，连接EG，，根据三角形的面积和底的正比关系，判断出S△BDE 、S△DEF、S△BGH与S四边形ABCD的关系，推出S四边形EHGF与S四边形ABCD的关系，再根据四边形EHGF的面积是15平方厘米，求出ABCD的面积是多少即可．【解答】解：如图，连接EG，，因为E为CD的中点，所以DE=CD，所以S△BDE =S△ADE=S四边形ABCD；因为AC和BD的交点为G，所以G为AC的中点，因为E为CD的中点，所以EG∥AD，且=，所以==，所以S△DEF =S△ADE=S四边形ABCD；因为EG∥AD，且AD∥BC，所以EG∥BC，=，所以==，所以S △BGH =S △BCG =S 四边形ABCD ；所以S 四边形EHGF =S △BDE ﹣S △DEF ﹣S △BGH =S 四边形ABCD ， 所以S 四边形ABCD =S 四边形EHGF ×12=15×12=180（平方厘米）答：ABCD 的面积是180平方厘米．故答案为：180．【点评】此题主要考查了三角形的面积和底的正比关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出S △BDE 、S △DEF 、S △BGH 与S 四边形ABCD 的关系．10．（10分）若2017，1029与725除以d 的余数均为r ，那么d ﹣r 的最大值是 35 ．【分析】根据题意可得，2017﹣r ，1029﹣r ，725﹣r ，均能被d 整除，则（2017﹣r ）﹣（1029﹣r ），（2017﹣r ）﹣（725﹣r ），（1029﹣r ）﹣（725﹣r ），这三个数也能被d 整除，即988，1292，304均能被d 整除，不难得出，三个数的最大公因数是76，即d 的值可能是：76，38，19，4，2，1（被1除余数可看成0）；然后分别用725除以d 的可能值，求出d ﹣r 的值，选取d ﹣r 的最大值即可．【解答】解：根据题意可得，2017﹣r ，1029﹣r ，725﹣r ，均能被d 整除，则（2017﹣r ）﹣（1029﹣r ），（2017﹣r ）﹣（725﹣r ），（1029﹣r ）﹣（725﹣r ），这三个数也能被d 整除，即988，1292，304均能被d 整除，988=2×2×19×131292=2×2×19×17304=2×2×2×2×19所以三个数的最大公因数是：2×2×19=76，d 为76的因数，即d 的值可能是：76，38，19，4，2，1（被1除余数可看成0）， 当d=76时，此时：725÷76=9…41，即r=41，即此时d ﹣r=76﹣41=35；当d=38时，此时：725÷38=19…3，即r=3，即此时d ﹣r=38﹣3=35；当d=19时，此时：725÷19=38…3，即r=3，即此时d ﹣r=19﹣3=16；当d=4时，此时：725÷4=182…1，即r=1，即此时d ﹣r=4﹣1=3；当d=2时，此时：725÷2=362…1，即r=1，即此时d ﹣r=2﹣1=1；当d=1时，此时：725÷1=725，即r=0，即此时d ﹣r=1﹣0=1；则，d﹣r的最大值是35．故答案为：35．【点评】本题考查了同余定理的灵活应用，关键是求出除数d的取值范围．。
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2017年第22届华杯赛决赛模拟试题（1）（小学高年级组）（时间：90分钟，满分：150分）一、填空题。
（每小题10分，共80分）1.2016年1月24日，“华罗庚金杯中外少年数学精英趣味对抗赛”在美国开赛，2016年7月18日，“华罗庚金杯少年数学邀请赛30周年纪念大会”召开，已知2016年1月24日是星期日，2016年7月18日是星期 。
【难度】★★【考点】周期问题【答案】一【解析】注意2016年是闰年。
1月25日至1月31日共31-25+1=7（天）；2月至6月共29+31+30+31+30=151（天）；7月1日至7月18日共18天。
故20166年1月25至7月18日共7+151+18=176（天）。
176÷7=25……1，故2016年1月24日之后第176天为星期一。
2.计算：=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--1541212322211%2532394475.0 。
【难度】★★【考点】计算 【答案】92 【解析】原式 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-15412123212124196394443 = ⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-154125351419743 = ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-1543241973 =15641920⨯⨯ = 92 3.如图，将侧面积是314平方厘米的圆柱体，切拼成一个近似长方体，表面积比原来增加 厘米。
（π取3.14）【难度】★★【考点】几何【答案】100【解析】设圆柱体高为h,底面积的半径为r.则2πrh=314,rh=50.增加面积为2rh=100（平方厘米）。
4.仅使用加、减、乘、除、括弧，可由4个4运算得到3。
例如（4 + 4 + 4）÷4 = 3。
请你另给一种运算算式。
【难度】★★【考点】巧填运算符号【答案】（4×4 - 4）÷4 = 3【解析】三个4很容易得到3，即4-4÷4=3.将除以4看成乘以1/4，利用乘法分配率可将3个4变成4个4，即4-4÷4=（4×4-4）除以4.5.将自然数从1开始，按图所表示的规律排列。
规定图中第m行第n列的位置记作（m，n），如自然数8的位置是（2，3），则自然数2016的位置是。
【难度】★★★【考点】数列与数表【答案】（1，65）【解析】第1斜行有1个数：1；第2斜行有2个数：2；……；第k斜行有k个数；前k行共有1 + 2 + 3 + … + k =()21+kk（个）数；前65斜行共有26463⨯= 2016（个）数；其中最大的2016位于斜行最上方，位置是（1，65）。
6.三个连续自然数，从小到大分别是7，11，13的倍数，这三个数的和最小为。
【难度】★★★★【考点】余数问题【答案】2376【解析】设三个数中最大为13N，则三个连续自然数是13N－2，13N－1，且13N＝7m+2＝11n＋1. （1）对于13N＝7m＋2，N＝5＋7k；（2）对于13×（5+7k）＝11n＋1，65+13×7k＝13 ×7k=12n+1，65+11×8k+3k=11n+1，10+3k=11×(n-8k-5)+1,3k=11 ×(n-8k-7)-9,k=8+11m,N=5+7k=5+7×（8+11m）=7×11m+61.所以，13N=13×61+7×11×13m=793+7×11×13m.这三个数的和最小为791 + 792 + 793 = 2376。
7.由几个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数至多是个。
【难度】★★★【考点】立体空间【答案】10【解析】该几何体共三层。
下层至多6个小正方体，中层至多三个，上层恰为1个。
故搭成这个几何体的小正方体的个数至多是10个。
8.如图，一个正方形街道网络示意图，4名同学的居住地点在图中用黑点表示，图中每条小街道的长度相同，他们4人要沿着街道走到某一个十字路口集合。
存在个集合地点，使得4人所走的路程之和最小。
【难度】★★★【考点】最短路线【答案】16【解析】4名同学集合的过程即水平方向向上到达同一列，竖直方向向上到达同一行.水平方向上看，应集合与C 点所在列与D点所在列（含）；竖直方向上看，应集合于B点所在行与C点所在行之间（含）.上述区域中，共有4×4＝16（个）十字路口。
二、简答题。
（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9.有一个1000×2016的方格表，在方格表的左下角方格中方有一枚棋子，甲、乙轮流移动棋子，两人每次可将棋子向右移动任意多格或者向下移动任意多格（不允许移出方格表，也不允许不移动）。
如果是甲先移动，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？说明理由【难度】★★★★【考点】游戏策略【答案】甲必胜。
【解析】甲有必胜策略。
甲的必胜策略如下，第一步向上移动1016步；然后甲一直按照如下策略移动：若乙向上移动n步，则甲向左移动n步，则甲向右移动m步；则甲向上移动m布；必胜理由如下：1000×2016的方格表，从左下角方格开始移动，当且仅当一共向右移动999步且向上移动2015步后，接下来的移动者无法移动棋子，输掉比赛。
故甲向上移动2015 – 999 = 1016步后，还可以向右移动99步，向上移动999步。
接下来，按照甲选择的移动策略，每次乙、甲移动后，还可以向右、向上移动的步数始终减少量相同。
经过若干次的移动后，还可以向右、向上移动的步数将同时变为0，且此时轮到乙移动棋子，由于乙已无法移动棋子，故乙输掉比赛，甲胜。
10.如图，左图是一个长为24厘米、宽为3厘米的长方形和一个正方形，长方形从正方形的左边平移到右边，右图是平移过程中它们重叠部分面积与时间的部分关系图。
（1）长方形和正方形的重叠部分面积可以是40平方厘米吗？如果可以，此时长方形平移了多长时间？如果不可以，请说明理由。
（2）将上一问中间重叠部分面积改为30平方厘米，结果又如何？【难度】★★★【考点】图形操作【答案】不可以；可以。
【解析】（1）长方形的平均移速尾12÷2÷3 = 2(厘米/秒)；6秒时，重叠面积达到最大值，尾2×6×3 = 36（平方厘米）。
故重叠面积不可以为40平方厘米。
（2）重叠面积尚未达到最大值之前，可以为30平方厘米，此时长方形平移了30÷3÷2 = 5（秒）重叠面积达到了最大值之后，当长方形逐步离开正方形时，也可以为30平方厘米，此时长方形平移了[24 + (36÷3 - 30÷3)]÷2 = 13（秒）11.在下面四个括号中填入数字使得下述陈述正确：“这句话里有（）个数大于1，有（）个数大于2，有（）个数大于3，有（）个数大于4”。
问：有多少种填法？并给出每种填法。
【难度】★★★★【考点】数论计数【答案】2种【解析】有两种解法。
设这句话里有a 个数大于1，有b 个数大于2，有c 个数大于3，有d 个数大于4；注意1，2，3，4中有3个数大于1，有两个数大于2，有1个数大于3，有0个数大于4；故至少有4个数大于1，至多还有3个数大于4，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥≥≥03152647d c b a ；b 是大于1的数，a 是大于3的数，调整左边不等式组；所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥≥≥03253657d c b a ；C 是大于1的数，b 是大于2的数，a 是大于4的数，调整左边不等式组；所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥≥≥13254667d c b a ；C 是大于1的数，b 是大于3的数，a 是大于5的数，调整左边不等式组； 所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥≥≥13354667d c b a ；C 是大于2的数，b 是大于3的数，a 是大于5的数，调整左边不等式组； 所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥≥≥13355667d c b a ； C 不可能是5，得到：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥≥≥≥=234567d c b a ，b 不可能是6，得到：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥≥==23457d c b a ；经检验，a = 7，b = 5，c = 3或4，d = 2符合题意；所以，共有2种填法可使得该句话正确的。
12.按照如下的方式构成一张三角形表：如图所示，第一行依次写下数1，2，3，4，5，在第一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数的和，得到上面的一行（比下面的一行少一个数），依次类推，最后一行只有一个数，那么最后一行的数位48。
若第一行依次写上数1，2，3，4，…，20，则最后一行的数为多少？【难度】★★★★【考点】数列与数表【答案】5502024【解析】最后一行的数为5502024由图可知，若某一行是等差数列，则其上面的第一行也是等差数列，从而上面的每一行均为等差数列；由图可知，若某行是等差数列，则将该等差数列去掉首尾两项之后发每一项乘以4，即为该行上面的第二行；1，2，3，4，……，20上面的第一行为3，5，7，9，……39，共19个数，其正中间的一个数为（3+39）÷2=21.再往上两行，该行共17个数，正中间为21×4；再往上两行，该行共15个数，正中间为21×42；再往上两行，该行共13个数，正中间为21×43；……；再往上两行至最后一行，该行共一个数，为21×49= 5505024。
三、详答题。
（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13.有A、B两个港口，A在B上游120千米处，甲乙两船分别从A、B同时出发，都向上航行。
甲船出发时，有一物品掉落水中浮在水面，随水漂流往下游，甲船航行一段时间后调头加快速度追落水的物品，当甲船追上落水物品时，恰好和乙船相遇。
已知甲船调头前的速度等于水速，调头后的速度为水速的4倍。
乙船航行速度始终为水速的2倍。
当甲船调头时，甲船已航行多少千米？【难度】★★★★【考点】行船问题【答案】24千米【解析】设水速为v，则掉头前，甲船与掉落物品的分开速度为v + v = 2v；掉头后，甲船与掉落物品的靠近速度为4v – v = 3v；又两者分开的距离，即为两者靠近的距离；故两者分开的时间：两者靠近的时间 = 3：2，分别设为3t，2t，则掉落物品与乙船的路程之和尾v.5t + 2v.5t = 120，所以v.t = 8（千米）当甲船掉头时，甲船已航行v.3t = 24（千米）14.能否从连续自然数0，1，2，3，…，17，18中选出10个不同的数填入如图的圆圈中，使得由线段直接连接的两个相邻圆圈中的数之差（大数减小数）互不相同？如果能，有多少种不同的填法？如果不能，请说明理由。