数学认知结构
建构良好的数学认知结构的教学策略
建构良好的数学认知结构的教学策略
构建良好的数学认知结构的教学策略就是要让学生把数学知识体系看成结构化的知识视图，建立正确的认知环境，让学生掌握数学知识的正确思维。
在这其中，老师的教学策略起着十分重要的作用。
以下是一些有关构建良好的数学认知结构的教学策略：
1. 把握整体知识结构：要让学生把握整个数学知识体系，了解总体结构，能够把章节内容分类重组，明确知识之间的关联，形成规律性的学习视图，运用合理的教学手段，让学生学得快、会得牢。
2. 强化信息连贯性：要采用熟练的理论知识，有条理的、有逻辑的，信息连贯以及内在联结，增强学生间接学习数学知识的能力，系统化学习，使学生更深入了解数学。
3. 先把教学内容分解：及时充分细致地介绍知识点、让学生有时间吸收，逐步补充缺失的专用术语、让学生形成全貌概念，培养学生从这些知识点组成整体结构的能力。
4. 利用各类教学实物：灵活的教学实物不仅方便学生的理解，也有效激发学生的想象力，让学生在运用材料期间明确数学观念，达到更具体的目的。
5. 注重思维能力的培养：教师应该注重学生对数学问题的思考，使学生培养一定的数学推理能力，分析问题，综合数学公式，用范式加以
分析问题，用各种算法学习解决问题等。
6. 紧扣学习情境：重点突出实际情境或者以实际情境为主，以数学知识解决实际问题，使学生学会如何把熟知的、适切的数学知识运用到实际情境之中去。
7. 协助体会知识间的联系：加强对学习中的联系的体会，让学生能够把学习的环节联系起来，做到既突出细节又重谈整体，使学生把专业技能和分析能力结合起来，把专业技能发挥到极致。
儿童数学认知结构的发展与教育
儿童数学认知结构的发展与教育数学是一门重要的学科，它不仅是科学研究的基础，也是人类社会发展的重要支撑。
而儿童的数学认知结构的发展与教育则是数学教育中的重要问题。
本文将从儿童数学认知结构的发展和教育两个方面进行探讨。
儿童数学认知结构的发展儿童的数学认知结构是指儿童在数学学习中所形成的数学概念、数学思维和数学方法等方面的认知结构。
儿童的数学认知结构的发展是一个渐进的过程，需要经过多个阶段。
在幼儿期，儿童开始接触数学，他们通过感官经验来认识数学概念，如数量、形状、大小等。
在学龄前期，儿童开始学习基本的数学概念，如数字、加减法等。
在小学阶段，儿童开始学习更加复杂的数学概念，如乘除法、分数、小数等。
在中学阶段，儿童开始学习更加抽象的数学概念，如代数、几何等。
儿童数学认知结构的教育儿童数学认知结构的教育是指教师在教学中如何引导儿童形成正确的数学认知结构。
教师应该根据儿童的认知发展阶段，采用不同的教学方法和策略。
在幼儿园阶段，教师应该注重儿童的感官经验，通过游戏、实物等方式来引导儿童认识数学概念。
在学龄前期，教师应该注重培养儿童的数学思维能力，通过启发式教学等方式来引导儿童学习数学。
在小学阶段，教师应该注重巩固基础知识，通过练习等方式来提高儿童的数学能力。
在中学阶段，教师应该注重培养儿童的抽象思维能力，通过解决实际问题等方式来提高儿童的数学能力。
儿童数学认知结构的发展与教育是数学教育中的重要问题。
教师应该根据儿童的认知发展阶段，采用不同的教学方法和策略，来引导儿童形成正确的数学认知结构。
只有这样，才能够培养出具有数学思维能力和创新能力的人才。
数学认知结构
例1 ：关于等差数列的定义． 数列{an}是等差数列，当且仅当an+1–an = d，其中d 为常
数，n N ，n≥1． 数列{an}是等差数列，当且仅当an+1–an = an–an–1，
n N ，n≥2．
数列{an}是等差数列，当且仅当an = a1+(n–1) d，其中d
充要条件”的广义命题域：
设两直线 l1 : A1x B1y C1 0
l2 : A2x B2 y C2 0 ，则
l1 // l2
A1 A2来自B1B.2
C1 C2
2.命题系
如果一组命题A1，A2⋯An 存在推出关系（广义抽 象）： A1 A2 An ， 则称为一条命题链，记为
作者将数学理解解释为对知识的正确、完整、合理的表征。 根据对知识的分类对数学理解作出解释如下：
（1）对陈述性知识的理解 陈述性知识以命题、表象和线性排序3种形式作为基本
表征单位，人的知识表征往往组合了这三种形式而形成对知 识的综合表征图式。CPFS结构准确地描述了这种综合表征图 式，对数学陈述性知识的理解是：知识的基本单元表征→形 成命题网络→获得图式。
他将数学认知结构的特点归纳为8点（见书48面）。
刘斌认为，数学认知结构是学习者头脑中的数学知识结 构，即数学知识结构通过内化在学习者头脑中所形成的观 念的内容和组织。数学认知结构包括横、纵两个方面。
李士锜指出，数学认知结构在形式上看做是由结点和 联线组成的复杂的网络。
结点是结构中的元素或对象，联线是元素间存在的稳 定关系。最基本的形式有3种：线性结构，树型结构和网 络结构。
③命题网络中各节点的关系是等价关系。“等价”是指 两个概念的命题具有相同的真值，或两个概念可以互相推 出。
数学认知结构范文
数学认知结构范文数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的科学，是我们对自然界、社会现象和抽象概念的理解和表达的工具。
数学是一门在人类文明发展过程中逐渐形成的学科，具有广泛的应用和深远的影响。
它涵盖了众多的分支和学科，如代数、几何、数论、概率论、统计学等，在不同的数学分支中，我们可以看到一种具有层次关系的认知结构。
数学的认知结构可以用层次结构来概括，从基础到高级依次有：基础概念与操作、数与代数、几何与空间、函数与分析以及应用数学。
基础概念与操作是数学认知结构的基础层次，它包括数字、加减乘除等基本概念与运算。
数字是数学的基本单位，它以一定的方式代表了数量。
数学中的基本运算是对数字进行加减乘除的操作，这些操作是数学运算的基础。
数与代数是数学的核心概念，它是对数量的抽象和推理的过程。
数是用来表示、计算和比较数量的概念，它可以是整数、有理数或无理数。
代数是一种通过符号和变量来表示数的一般性质和关系的数学分支，它使用代数式和方程式来描述和解决实际问题。
几何与空间是研究形状、结构和空间关系的数学分支。
几何通过点、线、面等基本元素和它们的属性来描述物体的形状和尺寸，通过几何推理和证明来探索几何关系。
空间是物体存在的地方，它的概念是在几何的基础上发展起来的，空间的研究使我们能够理解物体的位置、方向和运动。
函数与分析是数学中的高级概念和技术，它研究数的变化规律和数学对象的特性。
函数描述了一个变量与另一个变量之间的关系，它可以用数学表达式或图形来表示，函数的研究让我们能够理解和预测各种现象和过程。
分析是对函数和数列的研究，它通过极限、连续性、微分和积分等概念和方法来探索函数和数列的性质。
应用数学是数学在实际问题中的应用，它将数学理论和方法应用到其他学科和实际问题中。
应用数学的研究范围广泛，包括物理学、工程学、经济学、计算机科学等领域，它通过建立数学模型和使用数学工具来解决实际问题。
数学的认知结构是逐步建立和发展的，每个层次都依赖于前一个层次的知识和技巧。
良好的数学认知结构的特征
良好的数学认知结构的特征作者：杨丽丽来源：《办公室业务》2009年第05期数学认知结构是数学知识结构在学习者头脑里的反映，它是学习者在学习的过程中逐步积累起来的在数学方面的观念系统。
这些观念可能包括三种类型：一是基本观念(言语信息或表象信息)，它是学习者通过学习一些数学概念和数学命题之后形成的；二是数学具体方法的观念，它是学习者在运用基本观念来解决问题的过程中形成的：三是数学问题解决策略的观念。
就一个具体的新知识的学习而言，根据美国教育心理学家奥苏贝尔的观点可知，良好的数学认知结构有三个特征；一是可利用性，即在学习者原有的数学认知结构中有适当的起同化作用的观念可以利用；二是可辨别性，即新知识与学习者原有的数学认知结构中的相关观念是可辨别的：三足稳定性，即同化新知识的原有的观念是清晰和稳定的。
从数学问题解决的角度宋考察，良好的数学认知结构的特征包括以下四个方面：1.足够多的观念现代认知心理学关于“专家系统”的研究表明，在某个领域内善于解决问题的专家必须具备上万个知识组块，没有这些专门的知识，专家就不能解决该领域内的技术问题。
在许多专门领域，如工程学、计算机程序、社会科学、阅读理解、物理、数学和医疗诊断等，将“专家”和“新手”作比较，都证明了解决问题的能力取决于个人所获得的有关知识的多少及其组织结构。
根据笔者长期从事数学竞赛辅导工作的经验，绝人多数IMO选手，除了具备一定的数学天赋之外，他们必需系统接受过各种专题知识的训练。
在各种专家的辅导下，他们的认知结构中积累了丰富的专门知识。
2.具备稳定而又灵活的产生式足够多的观念仅仅是问题解决的必要条件。
也就是说，你头脑中的知识越多，并不意味着你解决问题的能力越强。
甚至问题解决者己具备了解决某一问题所需的全部知识，但却解决不了这个问题。
一些新教师经常向笔者“诉苦”，自己备课十分认真，课也讲得头头是道，学生对知识的提问反应也不错，可一让学生自己作业和考试就不行。
有关数学认知结构的探讨
有关数学认知结构的探讨摘要：现代认知心理学研究告诉我们，学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程，在这个过程中学生在老师的指导下把教材知识结构转化成自己的数学认知结构。
简单地讲，数学认知结构就是学生头脑里获得的数学知识结构，那是一种经过学生主观改造后的数学知识结构，它是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物，其内容包括数学知识和这些数学知识在头脑里的组织方式与特征。
学生的数学认知结构是在后天的学习活动中逐步形成和发展起来的，由于不同主体对知识内容的理解和组织方式不同，所以数学认知结aq构是有个体差异的。
一、数学认知结构的基本特点1．数学认知结构是学生已有数学知识在头脑里的组织形式。
从学生构建数学认知结构的过程和方式来看，他们都是以原有知识为基础对新的数学知识进行加工改造或者适当调整自己的数学认知结构，然后按照一定的方式将所要学习的新知识内化到头脑里，使新旧内容融为一体，形成相应的数学认知结构，并通过这种形式把所学数学知识储存下来的。
2．数学认知结构是一个多层次的组织系统。
数学认知结构是一个相对的概念，它的内容是一个多层次的庞大系统。
既可以是大到包括整个小学数学知识系统在内的数学认知结构，也可以是小到由一个概念或命题组成的数学认知结构。
数学认知结构的层次性主要是由数学知识结构内部的层次性和逻辑系统性决定的，原则上数学知识有怎样的分类，学生的数学认知结构就有怎样的划分。
3．数学认知结构是一个不断发展变化的动态结构。
由于学生的数学认知结构是在后天的学习活动中逐步形成和发展起来的，所以它又是一个不断发展变化的动态结构，其动态性主要表现在以下几个方面。
一是数学认知结构的建立要经历一个逐步巩固的发展过程。
二是学生头脑里的数学认知结构经过不断分化逐步趋于精确。
学习初期学生头脑里形成的数学认知结构是笼统的，甚至是模糊的，随着认知活动的不断深入，他们头脑里的数学知识经过不断分化才能形成比较精确的数学认知结构。
构建认知结构 教好高中数学
构建认知结构教好高中数学摘要：学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程，在这个过程中学生在教师的指导下把教材知识结构转化成自己的数学认知结构。
数学认知结构是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物，是学生已有数学知识在头脑中的组织形式，是不断发展变化的动态结构，是多层次的组织系统。
教师要遵循认知过程的规律、灵活运用多种教育教学方法、贯彻数学认知结构理论，才可以顺利地、成功地提高学生的数学素养，构建学生的数学认知结构。
关键词：高中数学；构建；认知；能力数学学习的过程，是数学知识认知的过程，也是学生在教师的引导下，将数学知识转化成带有主观意识的数学认知结构的过程。
何谓数学认知结构？数学认知结构，就是学生头脑中的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点组成的具有内部规律的整体结构。
由于数学认知结构与主观意识相结合，因此不同学生的认知结构存在差异，有各自的特点。
在进行教学时，教师要针对不同的教学内容，依据学生认知结构水平和心理特点，通过观察、动手操作、归纳、比较、交流、探究和反思等活动，使学生在亲历知识形成的过程中，进一步发展和丰富认知结构。
数学认知的构建常体现在以下三个方面：一、理论方面数学理论知识主要包含数学概念、定理、公式。
从根本上说，数学知识来源于现实生活，是具体事物的抽象。
不同的数学知识具有不同的特征，再加上学生自身的认知差异，所以，有的学生宜选择通过接受方式来构建；有的宜选择通过探究学习方式进行构建。
接受知识方式构建有两层含义：一是指有的内容不易探究、发现，需要教师在课堂教学中加以呈现；二是指学生对于有些内容的理解有限，在不能完全理解的情况下，要先接受下来，进行相应的训练，并在以后的学习中再逐步加深理解。
数学知识具有以下特征：1.知识的超验性和经验性。
数学是研究抽象对象的产物，在日常生活经验上有远近之别，如立体几何中的图形与生活关系密切，学生可以在自己的经验基础上探究并构建起这些数学知识。
数学认知结构名词解释
数学认知结构名词解释数学认知结构，听起来是不是有点高深莫测？别担心，咱们就像聊聊天一样，把这话题捋顺了。
数学认知结构就像是咱们大脑里的一个小工厂，把各种数学知识整整齐齐地摆放在那儿。
想象一下，你的脑袋里有一个巨大的书架，上面放着不同类型的书。
有些是基础的加减乘除，有些是复杂的几何或代数，甚至还有那些让人抓狂的微积分。
可想而知，这些书如果乱七八糟，找起来就像大海捞针。
可一旦整齐划一，哇，效率瞬间提升，真是事半功倍，爽得不得了！咱们聊聊这认知结构是怎么形成的。
就像种树一样，知识是一颗小种子，随着时间的推移，它会慢慢发芽、成长，最后变成参天大树。
最开始的时候，可能只是记住了一些简单的算式，后来渐渐地开始理解这些算式背后的道理。
这样一步一步地深入，到了你就能像数星星一样，轻松自在地解各种数学题。
别小看这过程，真是个“磨刀不误砍柴工”的好例子。
数学认知结构还有个特别的地方，就是它的灵活性。
就像我们换衣服一样，天气热的时候穿短袖，冷的时候穿厚外套。
数学也是如此，根据不同的情况，我们会选择不同的解题方法。
有时候一道题目可能有好几种解法，你可以选择最适合自己的那个。
别忘了，数学不只是死记硬背，而是理解和灵活运用。
每个人的认知结构都不一样，这就像咱们每个人的口味，都喜欢不同的菜。
有人爱吃辣，有人偏爱清淡，这可真是各有千秋。
再来谈谈这些认知结构对学习的影响。
认知结构就像是一张地图，指引着我们在知识的海洋中航行。
如果这张地图清晰明了，方向感就特别强，不容易迷路。
可是如果这地图模糊不清，那可就惨了。
学习数学时，若是能把知识点理清楚，连带着解题思路也变得顺畅。
就像我们走路，知道该往左拐还是右转，心里有数，走起来当然轻松。
还记得我小时候学数学时，那真是一波三折。
每次看到那些图形啊，公式啊，脑袋里就一片混乱。
可后来随着认知结构的不断完善，那些最初的困惑都烟消云散了。
我发现，许多问题其实并没有想象中那么复杂。
就像把难啃的骨头剁成小块，慢慢来，总能吃得下。
数学认知结构-精选学习文档
数学认知结构一、数学认知结构的概念现代认知心理学研究告诉我们，学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程，在这个过程中学生在老师的指导下把教材知识结构转化成自己的数学认知结构。
“所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组成的一个具有内部规律的整体结构”。
①简单地讲，数学认知结构就是学生头脑里获得的数学知识结构，只不过是一种经过学生主观改造后的数学知识结构，它是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物，其内容包括数学知识和这些数学知识在头脑里的组织方式与特征。
如有关分数的意义及四则运算的认知结构，一方面要反映分数的概念和性质、分数四则运算的意义及运算法则等知识内容，另一方面更要体现学生在头脑里对这些知识内容的接收、编码、储存、提取等一系列活动的组织方式。
学生的数学认知结构是在后天的学习活动中逐步形成和发展起来的，由于不同主体对知识内容的理解和组织方式不同，所以数学认知结构是有个体差异的。
二、数学认知结构与数学知识结构的区别数学认知结构和数学知识结构是两个不同的概念，它们之间既有密切的内在联系，又在严格的区别。
两者的联系主要反映为学生的数学认知结构是由教材中的数学知识结构转化而来的，数学知识结构是数学认知结构赖以形成的物质基础和客观依据、两者的区别主要表现在以下几个方面：l．概念的内涵不同。
数学知识结构是由数学概念和命题构成的数学知识体系，它以最简约、最概括的方式反映了人类对世界数量关系和空间形式的认识成果，是科学真理的客观反映。
而数学认知结构是一种经过学生主观改造的数学知识结构，它是数学知识结构与儿童心理结构高度融合的结果，其内容既反映了数学知识的客观性，又体现了认知主体的主观性。
2．信息的表达方式不同。
数学知识结构和数学认知结构都是表达信息的，但两者在信息表达的方式上却有着明显的区别。
教材中的数学知识结构是用文字和符号详尽表达有关世界数量关系和空间形式认识成果的信息的。
良好数学认知结构形成论文
浅议良好数学认知结构的形成一、形成良好数学认知结构的教学原则学生良好的数学认知结构，是在教师的引导下，在原有认知结构的基础上逐步建构而形成的，为此，它必须遵循一定的教学原则和过程，运用有效的教学操作系统。
1 整体性原则。
奥苏伯尔指出：学生的认知结构是从教材的知识结构中转化出来的，在中学数学教学中要求注重知识之间的结构性归纳，还要对体现出的数学思想方法进行总结，整体性原则强调系统内各个部分的协调，使系统形成具有一定结构的有机体，充分发挥整体功能，以达到整体目标，2 相互间联系、转化原则。
数学学习过程是一个数学认知的过程，即新知识和学生原有数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程，通过相互间联系、转化原则，把不熟悉、不规范、复杂的问题联系起来，转化为熟悉、规范甚至模式化、简单化、类化的问题，历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧，例如实数x、y满足x≥1，y≥1且（logax）2+（logay）2=loga（ax2）+loga（ax2），当a>1时，求loga（xy）的取值范围，分析：题中所涉及的logax、logay都可以看成一个复杂的变量，所以设u=logax、v=logay（其中u≥0、v≥0），则原题转化为：已知u≥0、v≥0且（u—1）2+（v—1）2=22.求u+v的取值范围。
3 层次递进原则。
数学知识按其自身发展规律由浅入深、由简单到复杂逐层递进的发展和完善起来，在数学教学中，应该注重培养学生合理的知识链、能力链，使学生的数学认知结构由低到高有层次的建构，并且进行归纳，区别其异同，使知识更加条理化、脉络化，如数系是由自然数到整数，然后到有理数、实数、复数，每一步都反映了人们认识事物的内在客观规律。
二、形成良好数学认知结构的建构1 创设问题情境，激发认知冲突。
通过创设一定的真实问题情境，构建适当的认知差，引起学生的认知冲突，激起学生探求新知识的动机。
数学认知结构
中．各知识点（概念、命题）处于一定位置，知识点之间具有 等值抽象关系、或强抽象关系、或弱抽象关系、或广义抽象关 系．②网络中各知识点之间的连结包含着数学方法，即“连线 集”为一个“方法系统”．
为常数，n N n≥2．
数列{an}是等差数列，当且仅当an = am+(n–m) d，其中d 为常数，n，m N ，n≥1． ……
一个概念C 的所有等价定义的图式，叫做概念C 的概念 域．具体地说，其含义是： ① 概念域是个体对数学概念的一种心理表征。
②概念域是指某个概念的一些等价定义在头脑中形成的 命题网络和表象。
显 认知结构的可辨别性和稳定性 ;
第二，CPFS结构有助于知识贮存和提取 ; 第三，CPFS结构融知识与方法于一体。
3. CPFS结构与数学理解的关系
基于行为主义、现代认知心理学、派里和基兰的研究，数 学理解的本质认识可概括为：①对数学概念、规则或方法的 理解，指个体建立了关于这些观念的内部网络 ②数学理解 的水平具有层次性，个体的差异往往表现为理解水平的差异 ③数学理解是一个动态过程，是认知结构的建构和知识意义 的建构过程。
如果一组概念C1，C2，⋯，Cn 存在关系：
C1 R1 C2 R2⋯Rn– 1Cn
（*）
其中Ri（i=1，2，⋯，n-1）表示强抽象、弱抽象、广义抽象 这3 种数学关系中的任意一种，那么称（*）为一条概念链，
记为 w ={C1，C2，⋯，Cn }．如果2 条概念链的交集非空， 则称这2 条链相交．如果m 条概念链中至少有一条与其余的
={A1 ,A2,⋯，An}．如果m 条命题链中的每一条都至少与其
数学知识结构和数学认知结构的关系
数学知识结构和数学认知结构的关系一、引言数学作为一门既古老又现代的学科，其知识结构和认知结构一直是数学教学与研究的重要话题。
数学知识结构是指数学中各个概念、定理、方法之间的关系和组织方式，而数学认知结构则是指学生对数学知识的理解和运用的方式。
本文将从数学知识结构和数学认知结构的关系出发，探讨二者之间的相互影响与互动。
二、数学知识结构的特点数学知识结构具有以下几个特点：1. 层次性：数学知识结构呈现出明确的层次关系，从基础的概念和定理逐步推演出更加复杂的结论。
2. 逻辑性：数学知识结构严谨且逻辑清晰，各个概念和定理之间有明确的推理关系，形成了一个严密的逻辑体系。
3. 统一性：数学知识结构中的各个部分相互联系，相互依赖，形成了一个有机的整体。
4. 抽象性：数学知识结构中的概念和定理往往是抽象的，可以应用于不同的数学领域和实际问题中。
三、数学认知结构的形成数学认知结构是学生对数学知识的理解和运用方式，其形成受到多种因素的影响：1. 学习经验：学生在学习数学过程中的经验和方法，会对其数学认知结构产生重要影响。
不同的学习方法和策略会导致不同的数学认知结构。
2. 教学环境：教师的教学方式和教学环境对学生的数学认知结构有着重要的影响。
良好的教学环境可以激发学生的兴趣和积极性，促进其数学认知结构的形成。
3. 思维方式：学生的思维方式也会影响其数学认知结构的形成。
一些学生可能更偏向于逻辑思维，而另一些学生可能更偏向于几何思维，这将直接影响其数学认知结构的特点。
4. 学习动机：学生的学习动机和态度也会对其数学认知结构的形成产生影响。
积极主动的学习态度和高度的学习动机有助于学生更好地理解和应用数学知识。
四、数学知识结构与数学认知结构的关系数学知识结构和数学认知结构是相互影响和相互促进的关系。
具体而言，数学知识结构对数学认知结构的形成起着重要的指导作用：1. 数学知识结构为学生提供了一个有序的学习框架，帮助他们理解数学知识的层次和逻辑关系。
数学教学中如何建构良好的认知结构
数学教学中如何建构良好的认知结构数学教学的本质是：学生在教师的引导下能动地建构数学认知结构，并使自己得到全面发展的过程。
数学教学的根本任务就是要造就学生良好的数学认知结构，以满足后继的需要，最终提高学生的问题解决能力。
那么，在数学教学中如何帮助学生建构良好的数学认知结构呢？这是值得广大的数学教师和教育研究人员去探讨的问题。
在此，本文提出建构良好的数学认知结构的四条教学策略。
1 熟悉学生原有的数学认知结构有意义学习的条件表明，要使学生有效地接纳新知识，学习者认知结构中必须具备适当的观念。
因此，要发展学生良好的数学认知结构，教师首先必须熟悉学生原有的数学认知结构，这样才能知道选择教什么和怎样教。
例如，在进行“反正弦函数”的教学时，教师可以通过提问、作业、测验、个别谈话等方式去了解学生是否已经具备相关的观念，比如他们是如何理解函数与反函数的，是否真正领悟了函数的本质，正弦函数的概念和性质掌握得如何，等等。
当教师对学生的数学认知结构有了全面而又细致的认识之后，就可以通过适当的教学手段帮助学生建构那些缺少的观念，明晰那些模糊的观念，强化其稳定性。
2 创设良好的问题情境有意义学习的条件之一是学习者必须具有有意义学习的心向，即学习者积极主动地把符号所代表的新知识与他的认知结构中原有的适当观念加以联系的倾向性。
要使学习者具有这种“心向”，教师就要创设良好的问题情境。
良好的问题情境应具备以下条件：①让学生明白自己将要学到什么或将要具备什么能力。
这是使学生自觉参与学习的最好“诱惑”。
②能造成认知冲突。
这样就可以打破学生的心理平衡，激发学生弥补“心理缺口”的动力。
③问题情境是学生熟悉的。
最好是从学生熟悉的生活情境和生产实际这些角度去创设问题情境，这样才能保证学生有相关的观念来理解问题，也才有可能使学生主动积极地建构他们的数学认知结构。
例如，为了使学生理解数轴的意义，教师可以通过“线珠模型”（即一条线上穿着一串小珠子，每一颗珠子的位置对应着一个数）或“水平放置的温度计模型”来创设问题情境。
第一专题：数学认知结构详解
什么是元认知？
元认知（metacognition)：关于认知的认知. 是主体对自身认知活动的认知。它包括 1.元认知知识：有关认知的知识，即个 体关于自己的认知能力、认知策略的知识. 2.元认知体验：伴随着认知活动的认知 体验或情感体验。包括意识到的、能表达的 和模糊的、表达不清的体验.
3.元认知监控：个体对自身学习过程的 有效监视、控制和调节.
(2)形成的过程不同 数学知识结构是人类数学历史发展的产 物，是数学成果的积累、概括与总结，其过 程往往需要数百年甚至更长的时间； 数学认知结构则主要是学习者在学习数学 知识结构的过程中逐步积累起来的,可以在较 短的时间内完成.
（3）数学知识结构是对客观世界在数学方面 的反映，具有准确的科学性、严谨的逻辑性 和完备的系统性,它是客观的,不以个人的意 志为转移； 数学认知结构则是学习者对数学知识结 构的主观反映，有鲜明的个人特色.
2.原理图式
原理图式由一些反映原理属性的观念组成。 原理图式中观念的多少、观念的准确与 否、观念的深刻程度是反映原理理解水平的 重要因素。 勾股定理的各种图式……
勾股定理的各种图式： 低级的图式： 言语图式…… 符号图式…… 图形图式…… 高级的图式： 产生式…… 结构图式……
3.认知策略图式
学生学习时是如何表征的？
1993年Brown等（PME17）对学生进行数学推 理时所利用的意象问题报告了研究结果，归纳 出学生常用的五种意象： 具体意象 记忆意象 动觉意象 动态意象 模型意象
具体意象是指思维中的图像（视觉形象） 在思维中以视觉再现公 式、框图、算法等。 动觉意象表现为一种肌肉活动。动作操作 动态意象是在心理上出现移动的视觉意象。 如图形的平移，旋转等。
Davis认为，记忆中存贮的信息的形式有三种 既不排斥、也不包含的可能性： （1）信息以语言文字、命题的方式存贮； （2）信息以图画的方式存贮； （3）信息的存贮既不是词句形式，也不是图 画形式。 Poincare（1988）认为存在两种思维类型： “逻辑主义者”的思维方式和“直觉主义者” 的思维方式。 在学生中也有类似的差别，一种人偏爱用 “解析学”方式处理问题，另一类人偏爱用 “几何学”方式来处理。
数学认知结构与数学学习的一般过程
数学认知结构与数学学习的一般过程
数学学习的一般过程包括准备阶段、学习阶段和巩固阶段。
准备阶段
是指在开始学习数学之前对数学知识和学习方法进行准备。
这个阶段包括
了对数学基本概念的预习和了解，对学习目标和任务的明确等。
学习阶段
是指个体在实际的学习中，通过教师指导和课堂学习来掌握数学知识和方法。
在这个阶段，个体需要通过听课、做题等方式来获取和理解数学知识。
巩固阶段是指在学习完成后对所学数学知识进行巩固和运用。
在这个阶段，个体需要进行复习和练习，加深对所学数学知识的理解和掌握，并将其运
用到实际问题中。
在数学学习的具体过程中，还有一些学习策略和方法可以帮助个体更
好地学习数学。
首先是理解做题思路，学会归纳总结数学方法和规律，从
而更好地解决问题。
其次是培养数学思维，注重培养逻辑思维能力和创造
性思维能力，通过思考和推理来加深对数学知识的理解。
另外，合理安排
学习时间，加强数学练习的系统性和连续性，通过大量的练习来提高数学
运算和解题能力。
此外，还可以与同学、老师进行交流和讨论，通过交流
来增进对数学知识的理解。
同时，还需要培养对数学学习的兴趣和动力，
激发个体对数学的学习热情和主动性，从而更好地掌握和应用数学知识。
总之，数学认知结构是数学学习的基础，它是个体对数学知识和思维
的组织和构建。
而数学学习的一般过程包括准备阶段、学习阶段和巩固阶段，通过合理的学习策略和方法来达到对数学知识的掌握和运用。
数学认知结构对数学成绩的影响
教 师 教 学 的 本 质 是 帮 助 学 生 学 好 知 识 ， 怎 样 而 在 数学 教 学 中确 定 良好 的 数 学 认 知 结 构 是 很 多教 师 需 要探 讨 的 问题 。 数学认知结构的概念 数学认知结 构即人头 脑 中的数学 知识 结构 ， 是 指 学 生 在 数 学 学 习 中对 数 学 概 念 的 网 络 化 联 系 ， 数 学 命 题 之 间 的关 系 ， 学 技 能 的 操 作 系统 以及 数 学 数 思 想 和方 法 加 以 个人 的组 织 和 构 建 的头 脑 中 的数 学 知识结构 。人们往往会把数学认 知结构和数学知识 结 构 相 混淆 ， 实 它 们 是 两 个 完 全 不 同 的概 念 。两 其 者 的联 系 主 要 反 映 为 学生 的 数 学 认 知 结 构 是 由教 材 中 的数 学 知 识 结 构 转 化 而 来 ， 学 知 识 结 构 是 数 学 数 认 知结 构赖 以形 成 的物 质 基 础 和 客 观 依 据 。 换 一 句 话 讲 ， 生 把 数 学 知 识 结 构 经 过 自己 的大 脑 处 理 加 学 工 ， 将 之 转 化 为 主 要 以 语 义 的 方 式 概 括 的 简 约 的 并 表达信息 ， 以直 觉 的 方 式 将 信 息 存 在 脑 海 里 ， 便 形 这 成 了数 学 认 知 结 构 。 因为 经 过 处 理 的信 息 不 一 定 是 正 确 的 ， 以要 确 立 良好 的 数 学 认 知 结 构 才 能 有 效 所 地 提 高 学 生 的学 习成 绩 。 二 、 定 良好 的 数 学 认 知 结 构 的方 法 确 １激 发 学生 学 习数 学 的兴 趣 ． 学 生 学 习数 学 是 一 种 有 意 识 的 行 动 ， 要 激 励 ， 需 增加他们去学 习数学 的内部动力 ， 而达 到学 习 目 从 的 ， 这 种 内 部 动 力 产 生 于 学 习 需 要 ， 有 当 学 生 有 而 只 了学习数学 的需要和愿望 ， 才会 出现一种激励 、 推动 自己去 学 习 数 学 的 心 理 力 量 ， 样 就 能 在 原 来 的 基 这 础 上 提 高 自己 的数 学 成 绩 。 ２ 熟 悉 学 生 原 有 的 数 学认 知 结 构 ． 要 发 展 良好 的数 学 认 知 结 构 ， 师 首 先 必 须 熟 教 悉 学 生 原 有 的 数 学 认 知 结 构 ， 样 ， 能 知道 选 择 教 这 才 什 么 和 怎 样 教 ， 俗 地讲 对 于 不 同 的学 生 ， 法 是 不 通 教 样 的 。那 怎 样 了解 学 生 原 有 的认 知结 构 呢 ？ 我 们 可 以 通 过 提 问 、 业 、 验 、 别 谈 话 去 了 解 学 生 是 作 测 个 否 已 经 具 备 相 关 的 观 念 ， 教 师 对 学 生 的认 知 结 构 当 有 了 全 面 而 又 细 致 的 认 识 之 后 ， 可 以 通 过 适 当 的 就 教学手段帮助学生构 建那些 缺少 的观 念 、 糊 的观 模 念 ， 化其稳定性 。 强
良好的数学认知结构的特征
浅议良好的数学认知结构的特征摘要教师在教学过程中怎样引导学生积极投身于数学认知结构的建构这一创造性学习过程，是教学实践中感觉到困难但却必须解决的重要问题。
其特征为广阔性、有序性、具备稳定而又灵活的产生式、层次分明的观念网络结构、一定的问题解决策略的观念。
本文着重阐述具备稳定而又灵活的产生式。
关键词数学认知结构特征稳定而灵活数学教学的目的不只是学习现存知识，其最重要的目的是将习得的知识迁移到新情境中去，也就是要学生学会创造性地解决问题。
从实际教学出发，笔者认为：从数学问题解决的角度来考察，良好的数学认知结构的特征包括以下五个方面：一、广阔性良好的数学认知结构的广阔性是通过量和质两方面描述的。
量是指知识面广、基础好。
这里的知识面包括数学专业知识、数学观念和经验教训三种成分。
比如某些大学生而言，如果只注重专业知识的学习，从不参加社会实践活动，数学观念和经验教训相对缺乏，就会造成认知结构成分的不均衡发展，就可能遭到市场经济社会的淘汰。
质是指高质量的知识结构。
高质量是指能灵活运用知识，对其理解程度深。
换个角度说，高质量就是高抽象性，高浓缩度，学生掌握的度越高，越容易迁移运用到其他领域，以便生成新知识。
二、有序性良好数学认知结构的有序性表现在学生条理性的掌握知识间的相互联系，以及对知识认识的整体性把握。
对学习一个新知识而言，既要掌握好它的内涵，也要把握好它的外延，才能使学习者形成稳定且清晰的认知。
良好数学认知结构的有序性反映了学生的知识网络结构。
如果学生在解决问题时能迅速检索出与问题相对应的信息，就能迅速解之，反之，则大海捞针，困难重重。
因此学生的数学认知结构除了具备广阔性之外，还应具备有序性，形成有条理的网络结构，提高解题能力。
三、具备稳定而又灵活的产生式1.产生式的内涵良好数学认知结构的广阔性和有序性仅仅是问题解决的必要条件。
也就是说，你头脑中的知识越多，拥有越稳定且清晰的认知，也并不意味着你解决问题的能力越强。
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良好的数学认知结构的特征
数学认知结构是数学知识结构在学习者头脑里的反映，它是学习者在学习的过程中逐步积累起来的在数学方面的观念系统。
这些观念可能包括三种类型：一是基本观念（言语信息或表象信息），它是学习者通过学习一些数学概念和数学命题之后形成的；二是数学具体方法的观念，它是学习者在运用基本观念来解决问题的过程中形成的；三是数学问题解决策略的观念。
就一个具体的新知识的学习而言，根据美国教育心理学家奥苏贝尔的观点可知，良好的数学认知结构有三个特征：一是可利用性，即在学习者原有的数学认知结构中有适当的起同化作用的观念可以利用；二是可辨别性，即新知识与学习者原有的数学认知结构中的相关观念是可辨别的；三是稳定性，即同化新知识的原有的观念是清晰和稳定的。
从数学问题解决的角度来考察，良好的数学认知结构的特征包括以下四个方面：
1．足够多的观念
现代认知心理学关于“专家系统”的研究表明，在某个领域内善于解决问题的专家必须具备上万个知识组块，没有这些专门的知识，专家就不能解决该领域内的技术问题。
在许多专门领域，如工程学、计算机程序、社会科学、阅读理解、物理、数学和医疗诊断等，将“专家”和“新手”作比较，都证明了解决问题的能力取决于个人所获得的有关知识的多少及其组织结构。
根据笔者长期从事数学竞赛辅导工作的经验，绝大多数IMO选手，除了具备一定的数学天赋之外，他们必需系统接受过各种专题知识的训练。
在各种专家的辅导下，他们的认知结构中积累了丰富的专门知识。
例如，在IMO中的数论这一专题中，我们要求选手掌握的基本概念、原理达到五十余条。
与新手相比，专家解决自己领域内的问题时较为出色，在不熟悉的领域，专家通常并不比新手好，因为他在那一领域内的观念不够多。
和IMO选手相比，绝大部分数学博士导师就是一个“新手”，这就是为什么一个数学博士导师解不了IMO问题的原因。
2．具备稳定而又灵活的产生式
足够多的观念仅仅是问题解决的必要条件。
也就是说，你头脑中的知识越多，并不意味着你解决问题的能力越强。
甚至问题解决者已具备了解决某一问题所需的全部知识，但却解决不了这个问题。
例如，有的问题解决者在解决一个问题时，百思而不得其解。
但经旁人一指点，即刻恍然大悟。
这说明他的认知结构中已具备了解决这个问题所必需的概念、性质和定理等知识。
一些新教师经常向笔者“诉苦”，自己备课十分认真，课也讲得头头是道，学生对知识的提问反应也不错，可一到自己作业和考试就不行。
也就是说，恍然大悟的问题解决者与不能独立作业（尤其
是非模仿的作业）的学生，他们失败的原因不是缺乏所需的具体知识观念，而是缺乏与具体知识相对应的稳定的产生式。
文[1]指出：学习者在学习的过程中，其头脑里逐步贮存了一系列以“如果…，那么…” 的形式表示的规则，这种规则称为产生式（Production）；产生式是一种“条件→活动”规则，简记为C→A，只要条件信息一出现，活动就会自动产生。
这里所说的活动不仅是外显的行为反应，还包括内隐的心理活动或心理运算。
例如，如果学生一识别出三角形ABC是直角三角形，他就能作出反应：斜边的平方等于两条直角边的平方之和，那么，我们就说该学生已习得了这个产生式。
假如被试是在被主试问到什么是勾股定理的情形下复述出勾股定理，我们不能肯定被试已习得这个产生式，因为他可能仅仅是从长时记忆中检索出勾股定理的言语信息，并没有学会将其应用于实际情境。
学生是否习得产生式，关键是看他在问题情境中识别出条件信息后能否作出活动。
尚未习得勾股定理产生式的学生当然不能解决与勾股定理相关的问题,尽管他脑中贮存有勾股定理的言语观念。
“条件→活动”式的产生式对解决一些简单的由已知到结论的问题有效，但对一些复杂的问题则不然。
因为，有许多产生式的条件信息是完全一样的，换句话说，由问题情境中的同一条件信息可以引发许多活动。
这样，如果解决一个问题需要好几个产生式，而每一个产生式的条件信息又可以引发几个活动，那么，问题解决者将面对几何级数般增长的解题思路而不知如何选择。
因此，除了“条件→活动”这样的正向产生式之外，问题解决者的认知结构中还应该具备逆向产生式。
逆向产生式是以“要…，就要…”的形式表示的规则。
其含义是，在当前情境之下，要使目标得以实现，就要具备什么条件。
例如，在不同的图形背景下证明两条线段相等的逆向产生式可能有：“要AB=AC，就要∠B=∠C”、“ 要AB=CD，就要ΔABC≌ΔCDA”、“ 要AB=CD，就要弧AB=弧CD”、“ 要AB=CD，就要AB=EF= CD”、“ 要AB=CD，就要AB∶EF=CD∶EF”等等。
除了正向产生式和逆向产生式之外，良好的数学认知结构中还应该有一些与正向产生式的数学模式对应的变形产生式。
所谓变形产生式是这样一种双反应产生式，即：学习者事先已习得某一产生式C→A，只要一出现与产生式C→A相关的信息，学习者立刻检索出与产生式C→A对应的数学模式，然后根据目标信息对这一数学模式进行变形。
例如，某学习者习得了有关匀速运动的产生式“知道速度和时间→路程=速度×时间”，他还可以得出变形产生式“出现速度、时间、路程这些部分信息→ 检索出数学模式：路程=速度×时间→ 变形”。
3．层次分明的观念网络结构
解决问题的思路探索过程实质上由一连串的产生式构成。
在问题解决者具备相关稳定的产生式的前提下，如何从问题情境中识别出相关信息并与众多的产生式中的条件信息相匹配是成功解
决问题的关键。
我们在前面已经指出，某一领域内善于解决问题的专家的认知结构中有上万个知识块。
这些知识块不仅是具体知识的观念，而且大多数是产生式。
因此，如果这些数以万计的产生式组织得不好，那么问题解决者是很难从中检索出与问题情境相匹配的条件信息。
就好比一座图书馆，如果里面的书籍杂乱无章，乱堆乱放，那么，要找一本书时就会困难重重。
反之，如果里面的书籍存放有序，类别分明，那么查找就很容易。
所以，除了具备足够多的观念和稳定而又灵活的产生式之外，要建构良好的数学认知结构，学习者还必须对所习得的知识信息进行加工整理，使之形成一个个的知识组块，并对这些知识组块再进行组织、分类和概括，使之形成一个有层次有条理的知识网络结构，这样，就可以提高信息的检索效率。
4．一定的问题解决策略的观念
某一问题领域内的专家解决问题的能力之所以比新手强，主要的原因之一是专家的认知结构中有着比新手多得多的问题解决策略的观念。
因此，良好的数学认知结构必须包括一定的问题解决策略的观念。
如表征问题的策略、波利亚的策略、奥加涅相的策略、舍费尔德的策略[3]、化陌生为熟悉的观念、化繁为简的观念、特殊与一般的互化的观念、正难则反的观念、顺推与逆推之结合的观念、动静之转化的观念等等。
这种观念的形成不是一蹴而就的，要靠长期的学习、反思和总结。