数学认知结构

良好的数学认知结构的特征

数学认知结构是数学知识结构在学习者头脑里的反映，它是学习者在学习的过程中逐步积累起来的在数学方面的观念系统。这些观念可能包括三种类型：一是基本观念（言语信息或表象信息），它是学习者通过学习一些数学概念和数学命题之后形成的；二是数学具体方法的观念，它是学习者在运用基本观念来解决问题的过程中形成的；三是数学问题解决策略的观念。

就一个具体的新知识的学习而言，根据美国教育心理学家奥苏贝尔的观点可知，良好的数学认知结构有三个特征：一是可利用性，即在学习者原有的数学认知结构中有适当的起同化作用的观念可以利用；二是可辨别性，即新知识与学习者原有的数学认知结构中的相关观念是可辨别的；三是稳定性，即同化新知识的原有的观念是清晰和稳定的。

从数学问题解决的角度来考察，良好的数学认知结构的特征包括以下四个方面：

1．足够多的观念

现代认知心理学关于“专家系统”的研究表明，在某个领域内善于解决问题的专家必须具备上万个知识组块，没有这些专门的知识，专家就不能解决该领域内的技术问题。在许多专门领域，如工程学、计算机程序、社会科学、阅读理解、物理、数学和医疗诊断等，将“专家”和“新手”作比较，都证明了解决问题的能力取决于个人所获得的有关知识的多少及其组织结构。根据笔者长期从事数学竞赛辅导工作的经验，绝大多数IMO选手，除了具备一定的数学天赋之外，他们必需系统接受过各种专题知识的训练。在各种专家的辅导下，他们的认知结构中积累了丰富的专门知识。例如，在IMO中的数论这一专题中，我们要求选手掌握的基本概念、原理达到五十余条。与新手相比，专家解决自己领域内的问题时较为出色，在不熟悉的领域，专家通常并不比新手好，因为他在那一领域内的观念不够多。和IMO选手相比，绝大部分数学博士导师就是一个“新手”，这就是为什么一个数学博士导师解不了IMO问题的原因。

2．具备稳定而又灵活的产生式

足够多的观念仅仅是问题解决的必要条件。也就是说，你头脑中的知识越多，并不意味着你解决问题的能力越强。甚至问题解决者已具备了解决某一问题所需的全部知识，但却解决不了这个问题。例如，有的问题解决者在解决一个问题时，百思而不得其解。但经旁人一指点，即刻恍然大悟。这说明他的认知结构中已具备了解决这个问题所必需的概念、性质和定理等知识。一些新教师经常向笔者“诉苦”，自己备课十分认真，课也讲得头头是道，学生对知识的提问反应也不错，可一到自己作业和考试就不行。也就是说，恍然大悟的问题解决者与不能独立作业（尤其

是非模仿的作业）的学生，他们失败的原因不是缺乏所需的具体知识观念，而是缺乏与具体知识相对应的稳定的产生式。

文[1]指出：学习者在学习的过程中，其头脑里逐步贮存了一系列以“如果…，那么…” 的形式表示的规则，这种规则称为产生式（Production）；产生式是一种“条件→活动”规则，简记为C→A，只要条件信息一出现，活动就会自动产生。这里所说的活动不仅是外显的行为反应，还包括内隐的心理活动或心理运算。

例如，如果学生一识别出三角形ABC是直角三角形，他就能作出反应：斜边的平方等于两条直角边的平方之和，那么，我们就说该学生已习得了这个产生式。假如被试是在被主试问到什么是勾股定理的情形下复述出勾股定理，我们不能肯定被试已习得这个产生式，因为他可能仅仅是从长时记忆中检索出勾股定理的言语信息，并没有学会将其应用于实际情境。学生是否习得产生式，关键是看他在问题情境中识别出条件信息后能否作出活动。尚未习得勾股定理产生式的学生当然不能解决与勾股定理相关的问题,尽管他脑中贮存有勾股定理的言语观念。

“条件→活动”式的产生式对解决一些简单的由已知到结论的问题有效，但对一些复杂的问题则不然。因为，有许多产生式的条件信息是完全一样的，换句话说，由问题情境中的同一条件信息可以引发许多活动。这样，如果解决一个问题需要好几个产生式，而每一个产生式的条件信息又可以引发几个活动，那么，问题解决者将面对几何级数般增长的解题思路而不知如何选择。因此，除了“条件→活动”这样的正向产生式之外，问题解决者的认知结构中还应该具备逆向产生式。逆向产生式是以“要…，就要…”的形式表示的规则。其含义是，在当前情境之下，要使目标得以实现，就要具备什么条件。例如，在不同的图形背景下证明两条线段相等的逆向产生式可能有：“要AB=AC，就要∠B=∠C”、“ 要AB=CD，就要ΔABC≌ΔCDA”、“ 要AB=CD，就要弧AB=弧CD”、“ 要AB=CD，就要AB=EF= CD”、“ 要AB=CD，就要AB∶EF=CD∶EF”等等。

除了正向产生式和逆向产生式之外，良好的数学认知结构中还应该有一些与正向产生式的数学模式对应的变形产生式。所谓变形产生式是这样一种双反应产生式，即：学习者事先已习得某一产生式C→A，只要一出现与产生式C→A相关的信息，学习者立刻检索出与产生式C→A对应的数学模式，然后根据目标信息对这一数学模式进行变形。例如，某学习者习得了有关匀速运动的产生式“知道速度和时间→路程=速度×时间”，他还可以得出变形产生式“出现速度、时间、路程这些部分信息→ 检索出数学模式：路程=速度×时间→ 变形”。

3．层次分明的观念网络结构

解决问题的思路探索过程实质上由一连串的产生式构成。在问题解决者具备相关稳定的产生式的前提下，如何从问题情境中识别出相关信息并与众多的产生式中的条件信息相匹配是成功解

决问题的关键。我们在前面已经指出，某一领域内善于解决问题的专家的认知结构中有上万个知识块。这些知识块不仅是具体知识的观念，而且大多数是产生式。因此，如果这些数以万计的产生式组织得不好，那么问题解决者是很难从中检索出与问题情境相匹配的条件信息。就好比一座图书馆，如果里面的书籍杂乱无章，乱堆乱放，那么，要找一本书时就会困难重重。反之，如果里面的书籍存放有序，类别分明，那么查找就很容易。所以，除了具备足够多的观念和稳定而又灵活的产生式之外，要建构良好的数学认知结构，学习者还必须对所习得的知识信息进行加工整理，使之形成一个个的知识组块，并对这些知识组块再进行组织、分类和概括，使之形成一个有层次有条理的知识网络结构，这样，就可以提高信息的检索效率。

4．一定的问题解决策略的观念

某一问题领域内的专家解决问题的能力之所以比新手强，主要的原因之一是专家的认知结构中有着比新手多得多的问题解决策略的观念。因此，良好的数学认知结构必须包括一定的问题解决策略的观念。如表征问题的策略、波利亚的策略、奥加涅相的策略、舍费尔德的策略[3]、化陌生为熟悉的观念、化繁为简的观念、特殊与一般的互化的观念、正难则反的观念、顺推与逆推之结合的观念、动静之转化的观念等等。这种观念的形成不是一蹴而就的，要靠长期的学习、反思和总结。