圆的切线和切线长练习题
初三数学切线长定理练习题
初三数学切线长定理练习题在初中数学中，学习切线是一个重要的内容，而切线的长度计算更是基础中的基础。
接下来，本文将为同学们提供一些切线长定理的练习题，帮助大家巩固和应用相关知识。
题目一：求切线长已知一个圆的半径为5cm，切线与半径的夹角为60°，求切线的长解题思路：根据数学知识，切线长定理表达式为：切线长 = 2 * 半径 * sin(夹角/2)。
其中sin函数需要转化为角度制进行计算。
解题步骤：1. 将给定的夹角60°转化为弧度制。
60° = π/3。
2. 代入切线长定理进行计算。
切线长= 2 * 5cm * sin(π/6)≈ 2 * 5cm * 0.5= 5cm。
因此，切线的长为5cm。
题目二：求切线长已知一个半径为8cm的圆，切线与半径的夹角为45°，求切线的长度。
解题思路：同样利用切线长定理，求解切线的长度。
解题步骤：1. 将给定的夹角45°转化为弧度制。
45° = π/4。
2. 代入切线长定理进行计算。
切线长= 2 * 8cm * sin(π/8)≈ 2 * 8cm * 0.383≈ 6.128cm。
因此，切线的长约为6.128cm。
题目三：已知切线长在一个半径为10cm的圆上，有一条长为12cm的切线，求切点与圆心连线和切线的夹角。
解题思路：由切线长定理的逆运算可得，夹角 = 2 * arcsin(切线长/2 * 半径)。
其中，arcsin函数结果需要转化为角度制。
解题步骤：1. 代入已知数据进行计算。
夹角 = 2 * arcsin(12cm/(2 * 10cm))≈ 2 * arcsin(0.6)≈ 73.74°。
因此，切点与圆心连线和切线的夹角约为73.74°。
通过以上练习题的解答，我们可以巩固切线长定理的应用，提高解题能力。
在实际问题中，我们常常需要用到切线长定理，因此熟练掌握此定理对于数学学习和实际运用都非常重要。
3.7 切线长定理(练习)(解析版)
第三章 圆第七节 切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（ ）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（ ）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（ ）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（ ）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。
圆的切线练习题
圆的切线练习题一、选择题1. 已知圆的半径为5，点P到圆心的距离为10，则点P与圆的位置关系是（）。
A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外2. 圆的切线与圆相切于点A，若切线与圆心的距离为6，则圆的半径是（）。
A. 3B. 6C. 12D. 9二、填空题1. 若圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，当d等于r时，点P与圆的位置关系是________。
2. 已知圆的切线在圆上与点A相切，若切线与圆心的距离为d，圆的半径为r，则切线与圆心的距离d等于________。
三、计算题1. 已知圆的半径为7，圆上一点A的坐标为(3,4)，求过点A的圆的切线方程。
2. 圆心坐标为(0,0)，半径为5，求过点(3,3)的圆的切线方程。
四、证明题1. 证明：圆的切线垂直于经过切点的半径。
2. 证明：若两圆相切于点A，且两圆的半径分别为r1和r2，点P在两圆的公共切线上，且PA=PB，则PA=PB=r1+r2。
五、应用题1. 一个圆的半径为10，圆心在原点(0,0)，求过点(6,8)的圆的切线方程。
2. 已知两圆外切，圆心分别为O1(-3,0)和O2(3,0)，半径分别为5和3，求两圆的公共切线方程。
六、综合题1. 在平面直角坐标系中，圆C的圆心在(1,2)，半径为3。
点A的坐标为(4,0)，求过点A的圆C的切线方程。
2. 圆心在(2,3)的圆与x轴相切，求圆的半径，并求出切点坐标。
七、探索题1. 探索：若圆的半径为定值，当圆上一点到圆心的距离逐渐增大时，过该点的圆的切线数量会如何变化？2. 探索：若两圆相切，且已知一圆的半径和两圆心的距离，如何求另一圆的半径？八、开放性问题1. 若圆的切线与圆心构成一个直角三角形，求切线的长度与圆的半径之间的关系。
2. 设想一个实际问题，其中涉及到圆的切线，并尝试构建一个数学模型来解决这个问题。
请注意，以上题目仅为示例，具体题目应根据实际教学大纲和学生水平进行适当调整。
中考数学专项练习圆的切线长定理(含解析)
中考数学专项练习圆的切线长定理（含解析）一、单选题1.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O 是它的内切圆，小明预备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A.12cm B.7cm C.6cm D.随直线MN的变化而变化2.下列说法正确的是()A.过任意一点总能够作圆的两条切线 B.圆的切线长确实是圆的切线的长度C.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D.过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径3.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB 于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2 ，则线段AB的长是（）A.B.3C. 2D. 34.如图,圆和四边形ABCD的四条边都相切,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为()A.5B.52C.54D.565.如图，PA，PB，CD与⊙O相切于点为A，B，E，若PA=7，则△P CD的周长为（）A.7B.14C.10.5D.106.如图，PA,PB切⊙O于点A,B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA,PB 于C,D两点，则△PCD的周长是（）A.8B.18C.16D.147.如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB= 6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A.9B.1C. 3D. 28.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则那个等腰梯形的上底与下底长的和为（）A.4B.8C.12D.169.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm ，小明预备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（）A.20cmB.15cmC.10cm D.随直线MN的变化而变化二、填空题10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于________．11.PA、PB分别切⊙O于点A、B，若PA=3cm，那么PB=________cm．12.如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形A BCD的周长为________．13.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是________cm．14.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD 是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是________．15.如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，假如AB=5，AC=3，则BD的长为________．16.如图，一圆外切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为________．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】切线长定理【解析】【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC=17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC=5cm，∴BD+CE=BC=5cm，则AD+AE=7cm，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=7（cm）．故选：B．【分析】利用切线长定理得出BC=BD+EC，DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．2.【答案】C【考点】切线长定理【解析】【解答】解：A、过圆外任意一点总能够作圆的两条切线，过圆上一点只能做圆的一条切线，过圆内一点不能做圆的切线；故A错误，不符合题意；B、圆的切线长确实是，过圆外一点引圆的一条切线，这点到切点之间的线段的长度确实是圆的切线长；故B错误，不符合题意；C、依照切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；故C是正确的符合题意；D、过圆外一点所画的圆的切线长取决于点离圆的距离等，故不一定大于圆的半径；故D错误，不符合题意；故答案为：C。
初三数学 圆的切线长定理测试题
初三数学检测（2）满分：100班级__________ 姓名__________ 考号___________一、填空题(每题5分)1.如图，PA切⊙O于点A，若∠APO=30°，OP=2，则⊙O半径是_________ 2．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为______3. 点O是△ABC的内心，∠BOC为130°，则∠A的度数为________4. 正五边形的一个中心角的度数是________5. 如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，•2cm•为半径作⊙M，•当OM=______cm时，⊙M与OA相切．6. 如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于_________7. AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是__________8. 已知：如图，AB为⊙O直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E，要使DE是⊙O的切线，•那么图中的角应满足的条件为_______（只需填一个条件）9.一个三角形的三边长分别为3cm,4cm,4cm，其内切圆半径为0.5cm，则这个三角形的面积为____________10.如图，AB、AC分别与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B，C的动点，则∠BPC的度数是_______11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为________12.ΔABC中，AB=6，BC=8，AC=12，⊙O与ΔABC三边AB，BC，CA分别切于D、E、，F，则AD=13. 如图，已知⊙O 的半径为5cm ，两弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝8cm，CE:ED＝4:9，则圆心到弦CD的距离为________．14如图，⊙O的直径为10弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是．15. 如图1，PA，PB切⊙O于A，B,点 C、E分别在PA、PB上，且CE切⊙O于D，若PA=5cm ，则ΔPCE周长为；·ABCDEOA BO16. 如图，CD 切⊙O 于B ，CO 的延长线交⊙O 于A ， 若∠C=36°，则∠ABD 的度数是___________ 三、解答题(每题10分)17.如图4，ΔABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，DE ⊥AC 于E 。
圆的切线练习题
圆的切线练习题圆是基础几何学中的重要概念之一，掌握圆的性质和相关定理对于解决与圆有关的问题非常重要。
其中，在求解圆的切线问题时，可以遵循一定的方法和步骤。
本文将介绍一些常见的圆的切线练习题，以帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
题目一：求过给定点的切线已知圆O的半径为r，圆心为C，给定一点A在圆外。
请问如何求解过点A的圆O的切线？解析：连接圆心C和点A，得到斜率为k的直线。
利用勾股定理可以得到斜边CA的长度为√(r^2+k^2)。
由于切线与半径的垂直，因此切线段与半径长相等。
所以，切线段的长度也是√(r^2+k^2)。
因此，可以通过先求解直线CA的斜率k，然后计算切线段长度来求解过点A的圆的切线。
题目二：求圆的切线方程已知圆O的半径为r，圆心为C，给定过圆上一点A的切线。
请问如何求解通过点A的切线的方程？解析：切线与半径的垂直，因此可以利用斜率来求解切线的方程。
先求解直线CA的斜率k，然后通过斜率和点A的坐标来确定切线的方程。
设点A的坐标为(x1, y1)，圆心C的坐标为(x0, y0)，则切线的斜率为k = -(x1 - x0)/(y1 - y0)。
由切线与点A的坐标可以确定方程为(y - y1) = k(x - x1)。
题目三：求两圆的外切线已知圆O1的半径为r1，圆心为C1，圆O2的半径为r2，圆心为C2。
请问如何求解这两个圆的外切线段的长度？解析：连接两个圆心C1和C2，得到直线L。
根据勾股定理可以求得直线L的长度为d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)，其中(x1, y1)和(x2,y2)分别为圆心C1和C2的坐标。
由于切线与圆心到切点的线段相等（切点为两圆的外切点），所以外切线段的长度等于d - r1 - r2。
题目四：切线和半径的关系已知圆O的半径为r，圆心为C，给定过圆上一点A的切线。
设切线与半径的交点为点B，请问切线AB与半径OC之间存在什么关系？解析：根据圆的性质，切线与半径的垂直。
初三数学圆的切线练习题
初三数学圆的切线练习题圆的切线是数学中的一个基本概念，对于初三学生来说，掌握圆的切线的性质和求解方法十分重要。
下面将给出几道关于圆的切线的练习题，帮助初三学生更好地理解和掌握圆的切线的知识。
题1：已知圆C的半径为r，点A是圆上的一个定点，过点A作圆C的一条切线，切线与圆C的切点为B。
设点M是切点B关于点A的对称点，连接AM。
证明：AM的中垂线与BM重合。
解析：首先，我们可以明确题目中给出的条件：一条过点A的切线与圆C的切点为B。
根据切线的性质，切线与半径所构成的角是直角。
因此，在三角形ABO（O为圆C的圆心）中，BO与AO垂直。
由于点M是切点B关于点A的对称点，所以AM与AB互相垂直。
因此，AM的中垂线与BM重合，即AM的中垂线也与AO重合。
题2：已知圆C的半径为r，点P是圆外一点，用直尺和铅笔求圆C的切线。
解析：根据圆的性质，过一点外一点的切线只有两条。
为了求得切线，我们可以使用以下的方法：步骤1：用直尺连接点P和圆心O，并延长直线PO交圆C于点A。
步骤2：以点O为圆心，OP为半径画一个圆，与圆C交于点B和点C。
步骤3：连接点P与点B，并延长线段PB。
步骤4：线段PB即为所求的切线。
题3：已知圆C内接于正方形ABCD，正方形的边长为a，求圆C 的半径和正方形边长的关系。
解析：首先，由于圆C内接于正方形ABCD，所以图形的中心点O 即为圆心。
连接圆心O与圆上的任意一点，得到半径r。
连接正方形的对角线，则线段一半的长度为圆C的半径r。
由于线段的长度等于正方形的边长的一半，所以有r = a/2。
题4：已知直径为20cm的圆C，过圆心O作一条与圆C相交于点A和点B的直径为d的弦。
求弦AB的长度。
解析：根据题意可知，弦AB的长度等于圆C的直径d的长度。
由于直径为20cm，所以弦AB的长度也为20cm。
题5：已知点A在圆C上，圆C的半径为r。
点A与圆心O之间的距离为d。
若点A到切点B的距离为m，求切线的长度。
切线长定理练习题
切线长定理练习题切线长定理练习题切线长定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一个圆与其切线之间的关系。
通过理解和应用这个定理，我们可以解决许多与圆相关的问题。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固对切线长定理的理解。
练习题1：已知一个圆的半径为5 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为12 cm。
求切线的长度。
解答：根据切线长定理，切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。
即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 12^2 - 5^2切线长的平方 = 144 - 25切线长的平方 = 119切线长≈ √119 ≈ 10.92 cm所以，切线的长度约为10.92 cm。
练习题2：已知一个圆的直径为10 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为8 cm。
求切线的长度。
解答：由于切线长定理中给出的是切点到圆心的距离，而我们已知的是直径，所以我们需要先求得圆的半径。
圆的半径等于直径的一半，即5 cm。
接下来，我们可以使用切线长定理来求解切线的长度。
切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。
即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 8^2 - 5^2切线长的平方 = 64 - 25切线长的平方 = 39切线长≈ √39 ≈ 6.24 cm所以，切线的长度约为6.24 cm。
练习题3：已知一个圆的半径为7 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为10 cm。
求切线的长度。
解答：同样地，我们可以使用切线长定理来解决这个问题。
切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。
即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 10^2 - 7^2切线长的平方 = 100 - 49切线长的平方 = 51切线长≈ √51 ≈ 7.14 cm所以，切线的长度约为7.14 cm。
新教材切线长定理练习题
3切线长定理习题1、如图，PA,PB,分别切⊙O于点A,B,∠P=70°，∠C等于。
1.在△ABC中，AB=5cm BC=7cm AC=8cm,⊙O与BC、AC、 AB分别相切于 D、 E 、F，那么 AF=_____, BD=_______ 、CF=________2.PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=60º，PA=4，那么⊙O的半径为。
4．如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，那么∠ACB=〔〕．A．60°B．75°C．105°D．120°(1) (2)5．圆外一点P，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，假设∠ACB=a，那么∠APB=〔〕A．180°-a B．90°-a C．90°+a D．180°-2a6．如图2，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，•PA=7cm，那么△PCD的周长等于_________．7．：如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作大圆的弦AB切小圆于C点，大圆的弦AD切小圆于E点．求证：(1)AB=AD； (2)DE=BC．8.如图，PA，PB为⊙O的切线，A、B是切点，OP与⊙O交于C，∠APB=60°，求证：OC=PC9、如图在△ABC中，圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数。
FEIBACPBCAOBCDP OBACPOABCD E O123BA C DPO 10．如下图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A 的度数．BA ED O11.：Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，过D 作⊙O 的切线DE ，交BC于E ，求证：BE=CE ．12．如图，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线，分别相交于C 、D ，•PA=7cm ，求△PCD 的周长．13．：如图，在三角形ABC 中，内切圆O 与△ABC 的三边分别切于D ，E ，F 三点，∠DFE=56°，求∠A 得度数。
04.1 圆的切线与切线长习题与答案
圆的切线1 一、切线切线长定理中的基本图形：如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，则有：(1)两个等腰三角形(,)；(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB 和∠AOB)；(3)三个垂直关系(OA PA, OB , OP AB)。
1．遇到有切线时常添加过切点的半径（连结圆心和切点）。
(图1)图1 图2 图32．遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。
(图2) （2）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。
(图3)图4 图53.弦切角是与圆有关的其中的一种角,当条件是切线时,往往找弦切角,看弦切角所对的弧,再找弧所对的圆周角得两角相等。
(图1)4．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
(图4)遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点。
(图5)一、圆中有切线，常作过切点的半径（有点，过圆心作切线的垂线）例1.如图，已知MN为⊙O的直径，AP是⊙O的切线，P为切点，点A在MN的延长线上，若 PA=PM，求∠A的度数。
解：连结OP，设∠A的度数为x。
∵PA=PM，∴∠M=∠A，同理可得∠OPM=∠M，∴∠POA=∠OPM+∠M=2∠M=2∠A=2x。
又∵AP切⊙O于点P，∴AP⊥OP，∴∠A+∠POA=90°，即x+2x=90°，解之得x=30°，∴∠A=30°。
例2：如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B.求证：PB是⊙O的切线.证明：连接OA、OB.∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°.∵OA=OB，AB⊥OP，∴∠AOP=∠BOP.又∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP.∴∠OPB=∠OAP=90°.∴PB是⊙O的切线.ABCDEPO例3.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上的一点,AD 和过C 点的切线垂直,垂足为D ，求证∠1=∠2。
中考数学知识点过关培优训练：切线长定理(圆)(解析版)
中考数学知识点过关培优训练：切线长定理（圆）一．选择题1．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（）A．6B．3C．6 D．32．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（）A．32°B．48°C．60°D．66°3．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．224．如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠PAE+∠PBE的度数为（）A．50°B．62°C．66°D．70°5．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（）A．4 B．3 C．2 D．16．已知⊙O1和⊙O2外切于M，AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，A，B为切点，若MA＝4cm，MB＝3cm，则M到AB的距离是（）A． cm B． cm C． cm D． cm7．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．108．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（）A．13 B．12 C．11 D．109．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cmC．6cm D．随直线MN的变化而变化10．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2，则线段AB的长是（）A．B．3 C．2D．3二．填空题11．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径为6cm，OP的长为10cm，则△PDE 的周长是．12．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB 于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为．13．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为．14．如图，PA、PB切⊙O于A、B，点C在上，DE切⊙O于C，交PA、PB于D、E，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，则△PDE的周长是．15．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝cm．16．如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别切于L、M、N、P，且AB＝10cm，CD＝5cm，则四边形ABCD周长为cm．17．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于．18．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB 均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是．19．已知：PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA＝15cm，那么△PEF周长是cm．若∠P＝50°，那么∠EOF＝．20．如图所示，⊙D的半径为3，A是圆D外一点且AD＝5，AB，AC分别与⊙D相切于点B，C．G是劣弧BC上任意一点，过G作⊙D的切线，交AB于点E，交AC于点F．（1）△AEF的周长是；（2）当G为线段AD与⊙D的交点时，连结CD，则五边形DBE FC的面积是．三．解答题21．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．22．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．23．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．（1）求证：OQ＝PQ；（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．24．如图，∠APB＝52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA＝6．（1）求△PDE的周长；（2）求∠DOE的度数．25．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB 于D．（1）若PA＝6，求△PCD的周长．（2）若∠P＝50°求∠DOC．26．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA＝8cm，求：△PEF的周长．参考答案1．解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，∴∠OAB＝60°，在Rt△ABO中，OB＝AB tan∠OAB＝3，∴光盘的直径为6，故选：A．2．解：∵CA、CD是⊙O的切线，∴CA＝CD，∵∠ACD＝48°，∴∠CAD＝∠CDA＝66°，∵CA⊥AB，AB是直径，∴∠ADB＝∠CAB＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∠CAD+∠DAB＝90°，∴∠DBA＝∠CAD＝66°，故选：D．3．解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD＝PC+AC+DB+PD＝PA+PB＝10+10＝20．故选：C ．4．解：∵PA 、PB 、CD 分别切⊙O 于A 、B 、E ，CD 交PA 、PB 于C 、D 两点，∴CE ＝CA ，DE ＝DB ，∴∠CAE ＝∠CEA ，∠DEB ＝∠DBE ，∴∠PCD ＝∠CAE +∠CEA ＝2∠CAE ，∠PDC ＝∠DEB +∠DBE ＝2∠DBE ，∴∠CAE ＝∠PCD ，∠DBE ＝∠PDC ，即∠PAE ＝∠PCD ，∠PBE ＝∠PDC ，∵∠P ＝40°，∴∠PAE +∠PBE ＝∠PCD +∠PDC ＝（∠PCD +∠PDC ）＝（180°﹣∠P ）＝70°． 故选：D ．5．解：∵AC 、AP 为⊙O 的切线，∴AC ＝AP ＝3，∵BP 、BD 为⊙O 的切线，∴BP ＝BD ，∴BD ＝PB ＝AB ﹣AP ＝5﹣3＝2．故选：C ．6．解：如图，∵AB 是⊙O 1和⊙O 2的外公切线，∴∠O 1AB ＝∠O 2BA ＝90°，∵O 1A ＝O 1M ，O 2B ＝O 2M ，∴∠O 1AM ＝∠O 1MA ，∠O 2BM ＝∠O 2MB ，∴∠BAM +∠AMO 1＝90°，∠ABM +∠BMO 2＝90°，∴∠AMB ＝∠BMO 2+∠AMO 1＝90°，∴AM ⊥BM ，∵MA ＝4cm ，MB ＝3cm ，∴由勾股定理得，AB ＝5cm ，由三角形的面积公式，M 到AB 的距离是＝cm ，故选：B ．7．解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，∴PA＝P B，同理可得：CA＝CE，DE＝DB．∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，∴△PCD的周长＝10，故选：D．8．解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，BE＝BF，CG＝CF，∴∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝10，∴BE+CG＝10（cm）．故选：D．9．解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故选：B．10．解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB，∵△PCD的周长等于3，∴PA+PB＝2，∴PA＝PB＝，链接PA和AO，∵⊙O的半径为1，∴tan∠APO＝＝＝，∴∠APO＝30°，∴∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴AB＝PA＝PB＝．故选：A．二．填空题（共10小题）11．解：连接OA．∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，∴BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，OA⊥AP．在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AP＝8，∴△PDE的周长为2AP＝16．故选答案为16cm．12．解：∵PA、PB切⊙O于A、B，∴PA＝PB＝5；同理，可得：EC＝CA，DE＝DB；∴△PDC的周长＝PC+CE+DE+DP＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝2PA＝10．即△PCD的周长是10．13．解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故答案为：44．14．解：连接OA、OB，如下图所示：∵PA、PB为圆的两条切线，∴由切线长定理可得：PA＝PB，同理可知：DA＝DC，EC＝EB；∵OA⊥PA，OA＝5，PO＝13，∴由勾股定理得：PA＝12，∴PA＝PB＝12；∵△PDE的周长＝PD+DC+CE+PE，DA＝DC，EC＝EB；∴△PDE的周长＝PD+DA+PE+EB＝PA+PB＝24，故此题应该填24cm．15．解：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA＝PB；同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝PA+PB＝10（cm）；∴PA＝PB＝5cm，故答案为：5．16．解：∵四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别切于L、M、N、P，∴AP＝AL，BM＝BL，CM＝CN，DN＝DP，∴AL+BL+DN+CN＝AP+BM+DP+CM，即AB+CD＝AD+BC，∵AB＝10cm，CD＝5cm，∴AB+CD＝AD+BC＝15cm，∴四边形ABCD的周长为30cm．故答案为30．17．解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，∴∠APO＝∠BPO＝∠APB，∠PAO＝90°∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°，∵PO＝2，∴AO＝1．故答案为：1．18．解：根据切线长定理，得AD＝AE，BC＝BE，所以梯形的周长是5×2+4＝14，故答案为：14．19．解：∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，∴PA＝PB＝15cm，ED＝EA，FD＝DB，∴PE+EF+PF＝PE+ED+PF+FD＝PA+PB＝30（cm）即△PEF周长是30cm；∵PA、PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，而∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°；连OD，如图，∴∠ODE＝∠ODF＝90°，易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝∠AOB＝65°，则∠EOF＝65°．20．解：（1）如图1所示：连接ED，DG，FD，CD，∵AB，AC分别与⊙D相切于点B，C，∴AB＝AC，∠ABD＝∠ACD＝90°，∵⊙D的半径为3，A是圆D外一点且AD＝5，∴AB＝＝4，∵过G作⊙D的切线，交AB于点E，交AC于点F，∴BE＝EG，FG＝FC，则△AEF的周长是：AE+EG+FG+AF＝AB+AC＝8．故答案为：8；（2）如图2，AG＝AD﹣DG＝5﹣3＝2．∵在△AEG和△ADB中，∠ABD＝∠AGD＝90°，∠BAD＝∠EAG，∴△AEG∽△ADB，∴＝，即＝，∴EG＝，∴EF＝2EG＝3，∴S△AEF＝EF•AG＝×3×2＝3．又∵S四边形ABDC ＝2S△ABD＝AB•BD＝3×4＝12，∴S五边形DBEFC＝12﹣3＝9．故答案是：9．三．解答题（共6小题）21．解：根据切线的性质得：∠PAC＝90°，所以∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，根据切线长定理得PA＝PB，所以∠PAB＝∠PBA＝70°，所以∠P＝180°﹣70°×2＝40°．22．解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，∴三角形PDE的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，即PA的长为6；（2）∵∠P＝60°，∴∠PCE+∠PDE＝120°，∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，∵CA，CE是圆O的切线，∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；同理：∠ODE＝∠CDB，∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，∴∠COD＝180﹣120°＝60°．23．（1）证明：连接OP．∵PA、PC分别与⊙O相切于点A， C，∴PA＝PC，OA⊥PA，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OPA≌△OPC（SSS），∴∠AOP＝∠POC，∵QP⊥PA，∴QP∥BA，∴∠QPO＝∠AOP，∴∠QOP＝∠QPO，∴OQ＝PQ．（2）设OA＝r．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OB∥QD，∴∠QDC＝∠B，∵∠OCB＝∠QCD，∴∠QCD＝∠QDC，∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，∴OC＝DP＝r，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，∴（6+r）2＝62+（2r）2，r＝4或0（舍弃），∴OP＝＝4，∵OB＝PD，OB∥PD，∴四边形OBDP是平行四边形，∴BD＝OP＝4．24．解：（1）∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，∴DA＝DF，EB＝EF，PA＝PB＝6，∴DE＝DA+EB，∴PE+PD+DE＝PA+PB＝12，即△PDE的周长为12；（2）连接OF，∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE＝∠FOE＝∠BOF，∠FOD＝∠AOD＝∠AOF，∵∠APB＝52°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°，∴∠DOE＝∠FOE+∠FOD＝（∠BOF+∠AOF）＝∠BOA＝64°．25．解：（1）连接OE，∵PA、PB与圆O相切，∴PA＝PB＝6，同理可得：AC＝CE，BD＝DE，△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12；（2）∵PA PB与圆O相切，∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，在Rt△AOC和Rt△EOC中，，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC＝∠COE，同理：∠DOE＝∠BOD，∴∠COD＝∠AOB＝65°．26．解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，∴PA＝PB，EA＝EQ，FB＝FQ，∵PA＝8cm，∴△PEF的周长为：PE+EF+PF＝PA+PB＝8+8＝16（cm）．。
切线长定理练习题
切线长定理练习题切线长定理，又称垂径定理，是几何学中的一条重要定理。
它描述了一个圆和一条切线之间的关系。
在本篇文章中，我们将探讨一些切线长定理的练习题，帮助读者更好地理解和应用这一定理。
练习题一：已知一个圆的半径为r，切线与半径的长度为x，求切线的长度。
解答一：根据切线长定理，切线的长度等于圆的半径和切线与半径的长度的乘积的平方根。
因此，我们可以得出以下公式：切线长= √(r * x)练习题二：一个圆的半径为5cm，切线与半径的长度为12cm，求切线的长度。
解答二：根据练习题一的公式，我们可以得出：切线长= √(5 * 12) = √60 ≈ 7.746cm练习题三：一个圆的半径为10cm，切线的长度为15cm，求切线与半径的长度。
解答三：我们可以反过来使用切线长定理的公式来求切线与半径的长度。
将已知的切线长度和圆的半径代入公式，得到以下方程：15 = √(10 * x)对方程两边进行平方，解得：225 = 10 * x因此，切线与半径的长度为22.5cm。
练习题四：一个圆的半径为8cm，切线与半径的长度为6cm，求切线的长度和切线与半径的长度的乘积。
解答四：根据切线长定理的公式，我们可以得到切线的长度：切线长= √(8 * 6) = √48 ≈ 6.93cm而切线与半径的长度的乘积可以计算得出：切线与半径的长度的乘积 = 6 * 8 = 48练习题五：一个圆的半径为r，切线与半径的长度为x，切线的长度为y，求y 与x的关系。
解答五：根据切线长定理的公式，我们可以得到：切线长= √(r * x)将切线长用y表示，则得到以下方程：y = √(r * x)对方程两边进行平方，整理得到：y² = r * x通过此方程，我们可以得出y与x的关系。
总结：通过练习题的探讨，我们进一步理解了切线长定理的应用。
切线长定理在几何学中具有重要的意义，它不仅有助于解决实际问题，也可以帮助我们更好地理解圆和切线之间的关系。
初二圆切线练习题
初二圆切线练习题在初二数学学习中，圆和切线是一个重要的概念。
理解圆与切线的关系对于解决相关的练习题至关重要。
本文将介绍一些初二圆切线的练习题，希望能够帮助同学们巩固并提高自己的数学能力。
1. 题目一：已知一条圆的半径为5cm，切线与圆的交点到圆心的距离为4cm，求切线的长度。
解答：根据题目描述，我们可以画出一个示意图。
假设圆心为O，切点为A，切线上的一点为B。
连接OB，OA，OB与切线的交点为C。
由于OC与切线垂直，所以OC是切线的高。
我们可以利用勾股定理来求解该题。
根据题目中的信息，可得到以下关系式：OA² = OC² + AC²OA² = OC² + (AO - OC)²OA² = OC² + AO² - 2AO×OC + OC²OA² = 2OC² - 2AO×OC + AO²又因为OC是切线的高，所以OC = 4cm。
将OC替代为4，即可得到：OA² = 2×4² - 2×5×4 + 5²OA² = 32 - 40 + 25OA² = 17因此，OA = √17，切线的长度为√17cm。
2. 题目二：已知A、B两点在圆的外部，并且切线AB与连线OA的夹角为60度，其中O为圆心，OA的长度为8cm，圆的半径为5cm。
求切线AB的长度。
解答：同样地，我们先画出一个示意图，其中圆心为O，切点为C，切线上的一点为D。
连接OC，OD，AD，BD。
根据题目中的信息，我们可以得到以下关系式：OD = OA - CDOD = 8 - OCOD = 8 - 5OD = 3从图中我们可以发现△ACO为等边三角形，所以∠OAC = ∠OCA= ∠AOC = 60度。
同理可得∠OCB = ∠OBC = ∠BOC = 60度。
(完整版)切线长定理练习题
切线长定理练习题一、选择题1.下列说法中，不正确的是( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．184. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个4题图5题图6题图5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( )C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( )A．21 B．20 C．19 D．18二、填空题6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．6题图7题图8题图7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．三、解答题9. 如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．10. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o，求弦AB的长．PBAO11. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．12．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC 的长．13．已知：如图，△ABC 三边BC =a ，CA =b ，AB =c ，它的内切圆O 的半径长为r ．求△ABC 的面积S ．14. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o ，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ，AD=4 cm ． (1)求⊙O 的直径BE 的长； (2)计算△ABC 的面积．15．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C =90°．(1)若AC =12cm ，BC =9cm ，求⊙O 的半径r ； (2)若AC =b ，BC =a ，AB =c ，求⊙O 的半径r ．四、体验中考16.（2011年安徽）△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ）A ．120°B ．125°C ．135°D ．150°17.（2011年绵阳）一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60︒，则OP =( ) A ．50 cm B ．253cm C ．3350cm D ．503cm 18. (2011年甘肃定西)如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．17题图 18题图 19题图19. （2011年湖南怀化）如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，参考答案◆随堂检测1. C2. B (提示：②④错误)3. 760（提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520∴∠DIF=1040∵D、F是切点∴DI ⊥AB,IF⊥AC∴∠ADI=∠AFI=900∴∠A=1800-1040=760）4. 52 (提示：AB+CD=AD+BC)5. 1150(提示：∵∠A=500∴∠ABC+∠ACB=1300∵OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=650∴∠BOC=1800-650=1150)◆课下作业1. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=821218⨯+⨯=）2. C3. D4. 解：∵AD,AE 切于⊙O 于D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF 切于⊙O 于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE∴C △ABC =AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=405. 解：连接BC ∵PA,PB 切⊙O 于A,B ∴PA=PB ∵∠P=600 ∴△ABC 是正三角形 ∵∠PAB=600∵PA 是⊙O 切线 ∴CA ⊥AP ∴∠CAP=900 ∴∠CAB=300 ∵直径AC ∴∠ABC=900∴cos300=ABAC∴AB=6. 解：（1）∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ．即∠OAP ＝∠OBP ＝90° ∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°．（2）如图①，连结OP∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30°又∵在Rt △OAP 中，OA ＝3， ∠APO ＝30°∴AP ＝tan 30OA°＝7. 解：（1）连接OD ∴OD ⊥AC ∴△ODA 是Rt △解之得：r=3 ∴BE=6(2) ∵∠ABC=900 ∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 ∵CD 切⊙O 于D ∴CB=CD 令CB=x∴AC=x+4，BC=4，AB=x ，AB=8 ∵2228(4)x x +=+ ∴6x = ∴S △ABC =186242⨯⨯= ●体验中考 1. C2. A （提示：∠MPN=600可得∠OPM=300 可得OP=2OM=50）3.3（提示：连接OB ，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos ∠AOB=cos ∠35=OBOA AO=）4. ∠P=600。
圆的切线试题专项训练
圆的切线试题专项训练一．选择题（共6小题）1．已知OA平分∠BOC，P是OA上一点，以P为圆心的⊙P与OC相切，则⊙P与OB的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定2．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确的个数为（） A.4 B.3 C.2 D.1 3．如图，线段AB是⊙O的直径，⊙O交线段BC于D，且D是BC中点，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（）①CE•CA=CD•CB；②∠EDA=∠B；③OA=1/2AC；④DE是⊙O的切线；⑤AD2=AE•AB．A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切． A.4 B.8 C.4 或6 D.4 或85．如图，直线AC∥BD，⊙O与AC和BD分别相切于点A和点B．点M和点N分别是AC 和BD上的动点，MN沿AC和BD平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（）A．直线AC和BD的距离为2 B．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切C．若MN与⊙O相切，则AM= D．MN=6．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC．①若∠A=90°，AB+CD=BC，则以AD为直径的圆与BC 相切；②若∠A=90°，当以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆也与AD相切；③若以AD为直径的圆与BC相切，则AB+CD=BC；④若以AD为直径的圆与BC相切，则以BC 为直径的圆与AD相切．以上判断正确的个数有（） A.1 B.2 C.3 D.47.如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O 的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（）8．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB 的延长线于E，则sin∠E的值为（）A.1/2 B.3/2 C. 2 D.39.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（）A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°二．填空题1.如图，等腰△ABC中，∠ACB=90°，I为△ABC的内心，AI的延长线交BC于E．若IE=1，则AI= .2．三角形的内切圆（1）定义：与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心叫三角形的．（2）三角形的内心是三角形的交点，它到三角形的距离相等，都等于该三角形．（3）如图，若△ABC的三边分别为AB=c，BC=a，AC=b，其内切圆⊙O分别切BC、CA、AB于D、E、F．则AF=AE= ，BD=BF= ，CD=CE= ．∠BOC与∠A 的关系是，∠EDF与∠A的关系是△ABC的面积S与内切圆半径r的关系是（4）直角三角形的外接圆半径等于，内切圆半径等于．3.如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧AB上的一动点（不与点A、B重合），点F是弧BC上的一点，连接OE，OF，分别与交AB，BC于点G，H，且∠EOF＝90°，连接GH，有下列结论：①弧AE＝弧BF；②△OGH是等腰直角三角形；③四边形OGBH 的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+2√2.其中正确的是 .（把你认为正确结论的序号都填上）4．如图，已知AB是⊙O的直径，AD、BD是半圆的弦，∠PDA=∠PBD，∠BDE=60°，若PD=√3 ，则PA的长为5．如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．过点A作直线AB 的垂线交BD的延长线于点E，且AB=√5 ，BD=2，则线段AE的长为.6．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC上的中点，O是线段AD上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O交AC于点E，EF⊥BC于点F，则EF ⊙O的切线．（填“是”或“不是”）7．如图，△ACD内接于⊙O，CB垂直于过点D的切线，垂足为B，如果BC=3，sin∠A=3/4，那么⊙O的半径为8．如图，矩形ABCD中，AB=2√3 ，AD=2，以AB为弦在矩形内部画一条120°的弧，过点C 作直线CE，与弧ＡＢ切于点F，与AD边交于点E，那么DE的长是9．如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则阴影部分的面积为三．解答题1．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为1，求正方形ABCD的边长．2．如图：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长，与BC相交于点E．（1）若BC=，CD=1，求⊙O的半径；（2）取BE的中点F，连接DF，求证：DF是⊙O的切线．3．如图，已知AB是OD的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点E是⊙O上一点，点D 是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，连接OD、BE，且OD∥BE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD=l，BC=4，求直径AB的长．4．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）已知PA= 3，∠ACB=60°，求⊙O的半径．5．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．（1）证明PA是⊙O 的切线；（2）求点B的坐标．6．如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）若BC=6，AD：FD=1：2，求⊙O的半径的长．7．如图，AB是⊙O的直径，CA是⊙O的切线，在⊙O上取点D，连接CD，使得AC=DC，延长CD交直线AB于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）作AF⊥CD于点F，交⊙O于点G，若⊙O的半径是6cm，ED=8cm，求GF的长．8．如图，PB为⊙0的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O 上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为45°或135°；（2）连接AC，BC，当点C 在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．10．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P 出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）已知⊙O 为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．12．如图，点A，B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0）．（1）试写出点A、B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？13．已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合．（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图1），AF= 2/3，求DE的长；（2）如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G（如图2），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．14．如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，四边形APQD为矩形；（2）如图，如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切．15．如图，AB是半圆O的直径，AC⊥AB，CD切半圆于点D，BF⊥AB，交AD的延长线于F，交CD的延长线于E．（1）若∠C=80°，求∠F的度数；（2）求证：BE=EF；（3）若AC=6，BE=4，求AB的长．16．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB和AC的延长线于E、F．（1）求证：FE⊥AB；（2）当AE=6，sin∠CFD=3/5 时，求EB 的长．17．已知，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．（1）如图①，AB=10，AD=2，求AC的长；（2）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C，G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求AD/AC 的值．18．如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD的延长线的垂线PQ，垂足为C．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为2，若过点O 作OE⊥AD，垂足为E，OE=√3 ，求弦AD的长．19．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）．20．已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC交AD于点E．经过B、E两点的⊙O交AB于点F，交BC于点G，BF恰为⊙O的直径．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若BC=4，cos C＝1/3 ，求⊙O的半径长．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE．（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若AD=4，AE=4√2 ，求BC的长．22．如图，⊙D交y轴于A、B，交x轴于C，过点C的直线：y=-2 √2x-8与y轴交于P．（1）求证：PC是⊙D的切线；（2）判断在直线PC上是否存在点E，使得S△EOP=4S△CDO，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当直线PC绕点P转动时，与劣弧AC 交于点F（不与A、C重合），连接OF，设PF=m，OF=n，求m、n之间满足的函数关系式，并写出自变量n的取值范围．。
中考数学复习专项训练--圆的切线证明及圆内长度计算(含解析)
中考数学复习专项训练--圆的切线证明及圆内长度计算（含解析）一、综合题（共23题；共245分）1.（2021·肇源模拟）已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）求证：．（3）若PD=4，，求直径AB的长．2.（2021·南山模拟）如图，内接于，AB为直径，作交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作线段CE，交DF于点E且．（1）求证：直线CE是的切线；（2）如果，，求弦AC的长．3.（2021·光明模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O，D分别在AB，AC上，CD＝CB，⊙O 经过点B，D，弦DF⊥AB于点E，连接BF．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若∠C＝60°，BF＝3，求DF的长．4.（2021·三水模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，＝，求CD的长．5.（2021·陕西模拟）如图，在⨀中，AB为⨀的直径，C为⨀上一点，P是的中点，过点P作AC 的垂线，交AC的延长线于点D.（1）求证：DP是⨀的切线；（2）若AC=5，,求AP的长.6.（2021·武汉模拟）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径.（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝6，cosC＝时，求⊙O的半径.7.（2021·铁东模拟）如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．（1）求证：DC与⊙O相切；（2）若⊙O半径为4，，求AC的长．8.（2021九下·江阴期中）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO 交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB.（1）求证：PB是⊙O的切线.（2）若PB＝3，tan∠PDB＝，求⊙O的半径.9.（2021九下·叙州期中）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O 的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OD的长；（3）求线段BM的长．10.（2021·兰州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，交AC，AB分别于D，E两点，连接BD，且∠A＝∠CBD.（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若CD＝1，BC＝2，求⊙O的半径.11.（2021·白银模拟）如图，在菱形ABCD中，P为对角线AC上一点，AB与经过A、P、D三点的⊙O相切于点A.（1）求证：AP＝DP；（2）若AC＝8，tan∠BAC＝，求⊙O的半径.12.（2021·越城模拟）△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于D，交BC于E（BE＞EC），过点D作⊙O 的切线DF，交AB的延长线于F.（1）求证：DF∥BC；（2）连接OF，若tan∠BAC＝，BD＝，DF＝8，求OF的长.13.（2021·越城模拟）如图，已知与相切于点A，直线与相离，于点B，且与交于点的延长线交直线于点C.（1）求证：；（2）若的半径为3，求线段的长.14.（2021·长宁模拟）如图，是的直径，.（1）求证：是的切线；（2）若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值.15.（2021·郫都模拟）如图，中，.以AB为直径作，与AC相交于点D，连接BD.点E为上一点，且，连接EO并延长交CB的延长线于点F.（1）求证：；（2）求证：CE是的切线；（3）若，求AC的长.16.（2021·东台模拟）如图，以为直径作半圆O，C是半圆上一点，的平分线交于点E，D为延长线上一点，且.（1）求证：为的切线；（2）若，求的长.17.（2021·开江模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F.（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若DH＝9，sinC＝，求直径AB的长.18.（2021·淮安模拟）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P.点C 在OP上，且BC＝PC.（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA＝3，AB＝2，求BP的长.19.（2021·咸宁模拟）如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，点D是上一点，连接AE并延长至点C，使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，AD=1，BD=3，求AF的长.20.（2021·黄冈模拟）如图，是的直径，切于点，，的延长线交于点.（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长.21.（2021九下·咸宁月考）如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC⊥AD于F，交⊙O于点E，∠BED=∠C.（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若OA=6，AC=8，求tan∠B的值.22.（2021·邹城模拟）如图，为⊙O的直径，弦于点M，过B点作，交的延长线于点E，连接．（1）求证：为⊙O的切线；（2）如果，求⊙O的直径．23.（2021·门头沟模拟）如图，AB是的直径，C是上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，FD上有一点E，．（1）求证：CE是的切线；（2）如果，，求AB的长．参考答案一、综合题1.【答案】（1）证明：连接OD，OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∵AB⊥CD，AB是直径，∴= ，∴∠DOP=∠COP，在△DOP和△COP中，，∴△DOP≌△COP（SAS），∴∠PDO=∠PCO=90°，∵D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠PDO=90°，∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠A=∠PDB，∵∠BPD=∠BPD，∴△PDB∽△PAD，∴，∴；（3）解：∵DC⊥AB，∴∠ADB=∠DMB=90°，∴∠A+∠DBM=90°，∠CDB+∠DBM=90°，∴∠A=∠CDB，∵，∴，∵△PDB∽△PAD，∴∵PD=4，∴PB=2，PA=8，∴AB=8-2=6．【解析】【分析】（1）连接OD、OC，证△PDO≌△PCO，得出∠PDO=∠PCO=90°，根据切线的判定推出即可；（2）求出∠A=∠ADO=∠PDB，根据相似三角形的判定推出△PDB∽△PAD，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案；（3）根据相似得出比例式，求得PA、PB的值，利用AB=PA-PB即可求出答案．2.【答案】（1）证明：连接，，，，，，，，，，，，，是的切线；（2）解：在中，，，，，，，，，，，在中，，在和中，，，，，即，．【解析】【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出，则，则可得出结论；（2）先根据勾股定理求出，，的长，证明，得出比例线段即可求出的长．3.【答案】（1）证明：连接OD，OC，如图：∵CD＝CB，OD＝OB，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥AC，∴AC是⊙O的切线．（2）解：在四边形OBCD中，∠ODC＝∠OBC＝90°．∵∠BCD＝60°，∴∠BOD＝120°，∴∠F＝∠BOD＝60°．∵DF⊥AB，∴EF＝BFcos60°＝3× ＝，∴DF＝2EF＝3．【解析】【分析】（1）连接OD，OC，根据“SSS”可得△OBC≌△ODC，进而可得结论；（2）根据圆周角性质可得∠F＝60°，再利用60°角的余弦可得EF的长，进而可得DF．4.【答案】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA＝＝tan∠BCE＝＝，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴＝＝，∵AD＝8，∴CD＝4．【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．5.【答案】（1）证明：连接OP；∵OP=OA;∴∠1=∠2；又∵P为的中点；∴∴∠1=∠3；∴∠3=∠2；∴OP∥DA；∵∠D=90°；∴∠OPD=90°；又∵OP为⨀O半径；∴DP为⨀O的切线（2）解：连接BC，交于OP于点G；∵AB是圆O的直径；∴∠ACB为直角；∵∴sin∠ABC=AC=5,则AB=13,半径为由勾股定理的BC= ，那么CG=6又∵四边形DCGP为矩形；∴GP=DC=6.5-2.5=4∴AD=5+4=9;在Rt△ADP中，AP=【解析】【分析】（1）连接OP，根据等腰三角形的性质及弧、圆周角的关系，可求出∠3=∠2，从而得出OP∥DA，利用平行线的性质得出∠OPD=90°，根据切线的判定定理即证；（2）连接BC，交于OP于点G，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，=sin∠ABC=，从而求出AB=13，半径OB=，利用勾股定理求出BC=12，即得CG=6，根据矩形的性质，得出GP=DC=PO-OG=4，继而得出AD=AC+CD=9，在Rt△ADP中，利用勾股定理求出AP的长即可.6.【答案】（1）证明：连接OM，∵OB=OM，∴∠OBM=∠OMB，∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∴AE⊥BC，即∠AEB=90°，∵BM平分∠ABC，∴∠OBM=∠MBE，即∠OMB=∠MBE，∴OM∥BC，∴∠AMO=∠AEB=90°，∴AE与⊙O相切（2）解：∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∴BE=CE，AE⊥BC，∵BC=6，cosC＝= ，∴BE=CE=3，AB=AC=9，∵OM∥BE，∴△AOM∽△ABE，∴，设半径为r，则，解得：r= ，即⊙O的半径为【解析】【分析】（1）连接OM，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可得∠OBM=∠OMB=∠MBE，利用平行线的判定可证OM∥BC，可得∠AMO=∠AEB=90°，根据切线的判定定理即证；（2）利用等腰三角形三线合一的性质得出BE=CE，AE⊥BC，由cosC＝=，求出BE=CE=3，AB=AC=9，根据平行线可证△AOM∽△ABE，可得，设半径为r，则，求出r值即可.7.【答案】（1）证明：连接OC，如图1所示：∵DE⊥OA，∴∠HED＝90°，∴∠H＋∠D＝90°，∵∠BOC＝2∠A，∠D＝2∠A，∴∠BOC＝∠D，∴∠H＋∠BOC＝90°，∴∠OCH＝90°，∴DC⊥OC，∴DC与⊙O相切；（2）解：作AG⊥CD于G，如图2所示：则AG∥OC，∵DC⊥OC，∴∠OCH＝90°，∵∠BOC＝∠D，OC＝4，∴cos∠BOC＝＝，∴OH＝OC＝5，∴AH＝OA＋OH＝4＋5＝9，CH＝＝＝3，∵AG∥OC，∴△OCH∽△AGH，∴＝＝＝，∴AG＝OC＝，GH＝CH＝，∴CG＝GH﹣CH＝﹣3＝，∴AC＝＝＝．【解析】【分析】（1）连接OC，由圆周角定理和已知条件得出∠BOC＝∠D，证出∠OCH＝90°，得出DC⊥OC，即可得出结论；（2）作AG⊥CD于G，则AG∥OC，由三角函数定义求出OH＝OC＝5，得出AH＝OA＋OH＝9，由勾股定理得出CH＝＝3，证△OCH∽△AGH，求出AG＝OC＝，GH＝CH＝，得出CG＝GH﹣CH＝，再由勾股定理即可得出答案．8.【答案】（1）证明：，，，，，半径，是的切线.（2）解：如图，连接，，.和是的切线，，，设的半径是，则，切于点，，，，.【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理可证得∠E=∠PBO，利用垂直的定义可证得∠E=∠PBO=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论.（2）连接OC，利用解直角三角形求出BD的长，利用勾股定理求出PD的长；再利用切线长定理可求出PC的长；设圆的半径为r，利用切线的性质证明△OCD是直角三角形，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值.9.【答案】（1）证明：∵OA= OD，∴∠A=∠ABD= 30°，∴∠A=∠ADO= 30°，∴∠DOB=∠A+∠ADO=60°,∴∠ODB= 180° -∠DOB-∠B = 90°，∵OD是半径，∴BD是⊙O 的切线；（2）解：)∵∠ODB= 90°，∠DBC= 30°,∴ OD=OB，∵OC = OD，∴BC=OC=1，∴⊙O的半径OD的长为1；（3）解：∵OD= 1，∴DE= 2，BD=，∴ BE==，∵BD是⊙O 的切线，BE是⊙O 的割线，∴BD2=BM·BE，.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ADO= 30°，求出∠DOB= 60°，再求出∠ODB = 90°，根据切线的判定推出即可；(2)根据直角三角形的性质得到OD=OB，即可得到结论；(3)解直角三角形得到DE=2，BD=，根据勾股定理得到BE==，根据切割线定理即可得到结论.10.【答案】（1）证明：连结DO、DE，∵AE为直径，∴∠ADE=90°∵∠C＝90°，∴∠ADE=∠C＝90°，∴DE∥CB，∴∠EDB=∠DBC，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠A＝∠CBD，∴∠A＝∠CBD=∠ADO=∠EDB，∵∠ODB=∠EDB+∠ODE=∠ADO+∠ODE=∠ADE=90°，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠CBD，∠DCB=∠BCA，∴△DCB∽△BCA，∴，∵CD＝1，BC＝2，∴，∵DE∥CB，∴∠AED=∠ABC，∠ADE=∠ACB=90°，∴△ADE∽△ACB，∴，∵AD=AC-CD=4-1=3，∴，∴，在Rt△ADE中，∴.【解析】【分析】（1）连接OD、DE，由AE为直径，可得∠ADE=90°，结合∠C=90°，可得DE∥CB，可证∠A＝∠CBD=∠ADO=∠EDB，通过计算∠ODB=∠ADE=90°即可得出结论；（2）先证△DCB∽△BCA，可得比列，求出，再证△ADE∽△ACB，可得比列，求出，在Rt△ADE中由勾股定理算出AE ，进而由即可得到结果.11.【答案】（1）证明：连接DP、OP、OA，OP交AD于E，如图1∵直线AB与⊙O相切，∴OA⊥AB，∴∠BAC+∠OAP=90°，∵OP=OA，∴∠OAP=∠OPA，∴∠BAC+∠OPA=90°，∵四边形ABCD为菱形，∴∠BAC=∠DAC，∴∠DAC+∠OPA=90°，∴OP⊥AD，∴，∴AP=PD（2）解：连接BD，交AC于点F，如图2，∵四边形ABCD为菱形，∴DB与AC互相垂直平分，∵AC=8，tan∠BAC=tan∠DAC= ，∴AF=4，tan∠DAC= ，∴DF=2，∴AD= ，∴AE= ，在Rt△PAE中，tan∠DAC= ，∴PE= ，设⊙O的半径为R，则OE=R- ，OA=R，在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，∴R2=（R- ）2+（）2，∴R= ，即⊙O的半径为.【解析】【分析】（1）连接DP、OP、OA，OP交AD于E，由切线性质可得∠BAC+∠OAP=90°，由菱形的性质可得∠BAC=∠DAC，即∠DAC+∠OPA=90°，由垂径定理可得结果；（2）连接BD，交AC于点F，由菱形的性质可得DB与AC互相垂直平分，可得AF=4，tan∠DAC=，DF=2，根据勾股定理可得AD，即可得AE，由正切值可得PE，根据垂径定理和勾股定理可得半径.12.【答案】（1）证明：连接OD，∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴OD⊥BC，∴DF∥BC；（2）解：连接OB，∵，∴∠BOD＝∠BAC，由（1）知OD⊥BC，∴tan∠BOD＝，∵tan∠BAC＝2 ，∴，设ON＝x，BN＝2 x，由勾股定理得：OB＝3x，∴OD＝3x，∴DN＝3x﹣x＝2x，Rt△BDN中，BN2+DN2＝BD2，∴，解得x＝2或﹣2（舍），∴OB＝OD＝3x＝6，Rt△OFD中，由勾股定理得：OF＝＝＝10.【解析】【分析】（1）根据切线的性质得：OD⊥DF，由角平分线得∠BAD＝∠CAD，则所对的弧相等，由垂径定理得：OD⊥BC，从而得结论；（2）先得∠BOD＝∠BAC，根据tan∠BOD＝，设ON＝x，BN＝，利用勾股定理解决问题.13.【答案】（1）证明：如图，连接OA，∵AB与⊙O相切，∴∠OAB=90°，∴∠OAP+∠BAC=90°，∵OB⊥l，∴∠BCA+∠BPC=90°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=∠BPC，∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC（2）解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，则∠APD=90°，∵OB=5，OP=3，∴PB=2，∴BC=AB= ，在Rt△PBC中，PC= ，∵∠DAP=∠CPB，∠APD=∠PBC=90°，∴△DAP∽△PBC，∴，即，解得：AP=【解析】【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAB=90°，根据等腰三角形的性质、对顶角相等得到∠BAC=∠BCA，根据等腰三角形的判定定理证明结论；（2）连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，根据勾股定理求出BC，PC，证明△DAP∽△PBC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.14.【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC，∴∠BAC=∠ADC=90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线（2）解：∵BD=5，CD=4，∴BC=9，∵△ADC∽△BAC（已证），∴，即AC2=BC×CD=36，解得：AC=6，在Rt△ACD中，AD= ，∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，∴CA=CF=6，∴DF=CA-CD=2，在Rt△AFD中，AF=【解析】【分析】（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=900，从而可判断AC是⊙O的切线;（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，从而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长.15.【答案】（1）证明：∵AB为的直径，，，，又，（2）证明：在和中，，，，，∴CE是的切线（3）解：，，，，，，，设，在中，，，，，【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得出，根据相似三角形的判定方法可得出结论；（2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；（3）由相似三角形的性质得出，求出，由勾股定理求出OF的长，求出，则可得出答案.16.【答案】（1）证明：∵为的直径，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴为的切线（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到∠C=∠AEB=90°，求得∠D=∠AFD，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBF，求得∠DAB=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠CBF=∠CAE=∠EBA，解直角三角形即可得到结论.17.【答案】（1）证明：连接OC，∵D 是的中点，∴∠AOD＝∠COD∵OA＝OC，∴OE⊥AC，即∠AFE＝90°，∴∠E+∠EAF＝90°∵∠AOE＝2∠ACD，∠CAE＝2∠ACD，∴∠CAE＝∠AOE∴∠E+∠AOE＝90°，∴∠EAO＝90°∴AE是⊙O的切线（2）解：∵∠ACD＝∠B∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠ACD，∴，∴由勾股定理得：∵∠ACD＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD∴△DFH～△CFD∴∴∴设OA＝OD＝x，∴∵AF2+OF2＝OA2∴，解得：x＝10∴OA＝10∴直径AB的长为20.【解析】【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理可证得∠AOD＝∠COD，利用等腰三角形的性质可证得∠AFE＝90°，可推出∠E+∠EAF＝90°；再利用圆周角定理可证得∠AOE＝2∠ACD，∠CAE＝2∠ACD，可推出∠CAE=∠AOE，由此可证得∠E+∠AOE＝90°，利用三角形的内角和定理可求出∠EAO=90°；然后利用切线的判定定理可证得结论.（2）利用已知条件易证∠ODB＝∠ACD，利用解直角三角形可求出HF的长，利用勾股定理求出DF的长；再证明△DFH～△CFD，利用相似三角形的对应边成比例可求出CF的长，设OA＝OD＝x，用含x的代数式表示出OF的长；然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，继而可求出直径AB的长.18.【答案】（1）解：直线BC是⊙O的切线，证明：连接OB.∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，又∵BC=PC，∴∠P=∠CBP，∵OP⊥AD，∴∠A+∠P=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，∴∠OBC=180°-（∠OBA+∠CBP）=90°，∵点B在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（2）解：如图，连接DB.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴Rt△ABD∽Rt△AOP，∴，即，AP=9，∴BP=AP-BA=9-2=7.【解析】【分析】（1）连接OB，由等边对等角可得∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由∠A+∠P=90°，可得∠OBC=180°-（∠OBA+∠CBP）=90°，可得结果；（2）连接DB，由直径所对的圆周角是直角可得∠ABD=90°，可得Rt△ABD∽Rt△AOP，根据相似三角形对应边成比例可得结果.19.【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴∠EAB+∠EBA＝90°，∵∠CBE＝∠BDE，∠BDE＝∠EAB，∴∠EAB＝∠CBE，∴∠EBA+∠CBE＝90°，即∠ABC＝90°，∴CB⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线.（2）解：在Rt△ABD中，.∵BD平分∠ABE，∴∠ABD＝∠DBE，∵∠DAF＝∠DBE，∴∠DAF＝∠ABD.∵∠ADB＝∠ADF，∴△ADF∽△BDA.∴，即∴.【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，根据角的和差以及圆周角定理、等量代换可得∠ABC＝90°可得结果；（2）由勾股定理可得AB，根据角平分线定义和圆周角定理可得△ADF∽△BDA，根据相似三角形对应边成比例可得结果.20.【答案】（1）证明：连接，∵，∴，，∵，∴，∴，在与中，，∴.∴，∵切于点，∴，∴，∴，∴直线是的切线.（2）解：∵，∴，设，，由（1）证得，∴，∵，∴即∴，Rt△ADO中根据勾股定理可得：即，解得：r=1，∴.【解析】【分析】（1）连接OD，由平行线的性质以及等腰三角形的性质可推出∠1=∠2，从而可以利用SAS证明△DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，然后由切线的性质可得∠ODB=90°，据此证明即可；（2）由平行线的性质可得∠DEO=∠2，进而求得tan∠DEO=，设OC=r，则BC=r，由全等三角形的性质可得BD=BC=r，然后利用平行线分线段成比例求出AD的值，接下来由勾股定理可求得r的值，进而得到AO的值.21.【答案】（1）证明：根据圆周角的性质得：∠BED=∠BAD，∵∠BED=∠C，∴∠BAD=∠C，∵OC⊥AD，∴∠C+∠CAF=90°，∴∠BAD+∠CAF=90°，即：∠OAC=90°，且OA为半径，∴AC为⊙O的切线；（2）解：在Rt△OAC中，∵OA=6，AC=8，∴OC=10，∵，∴，根据垂径定理可知，∴，∴，根据圆周角的性质得：∠B=∠ADE，∴，∴.【解析】【分析】（1）根据圆周角的性质得：∠BED=∠BAD，进而推出∠BAD=∠C，得到∠OAC=90°，据此证明即可；（2）首先由勾股定理可得OC=10，然后根据三角形的面积公式求出AF的值，根据垂径定理可得DF=AF=，由勾股定理求出OF的值，进而得到EF的值，根据圆周角的性质得：∠B=∠ADE，据此求解即可.22.【答案】（1）证明：，，．又为直径，为⊙O的切线；（2）解：为直径，，．∵弧BC=弧CD．，．．∴⊙O的直径．【解析】【分析】（1）先求出AB⊥BE，再根据AB为直径，进行求解即可；（2）先求出CM=3，再求出BM的值，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
圆的习题训练与切线有关的圆中求线段长
直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.
⑴求证：CD为⊙O的切线
⑵若 BE 3 ，求 BF 的值
AB 5
DF
A
D
O F
B
EC
D
C
A
B
O
5如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线 交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F. （1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想； （2）若AB=6，AD=5，求AF的长.
E D
C F
பைடு நூலகம்
A
B
6△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于C点，弧 = ，过C作AF的垂线，垂足为M， MC的延长线交BP于D. （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求 EF 的值。
. 若BF=2，BD= 10，求⊙O的半径
C
A
OF
BE
D
3如图，AB是⊙O的直径，且AD平分∠ CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线交于点E，与AB 的延长线相交于点F. （1）求证：EF与⊙O相切 （2）若AB=6,AD=4 2，求EF的长
E C
D
A
O
BF
4如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC. （1）图中∠ OCD=____,理由是 ____________________________________ （2）⊙O的半径为3，AC=4，求CD的长.
1如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠ CAD，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E. （1）求证：BD=BE; （2）若DE=2，BD= 5，求CE的长.
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练习题
1、过圆上一点可以作圆的_______条切线；过圆外一点可以作圆的________条切线；过_____点不存在圆的切线。
2、等腰直角三角形ABC 的腰长为5cm ，D 为斜边AB 的中点，则以D 为圆心，以______cm 为半径的圆经过A 、 B 、C ；以D 为圆心，以_______cm 为半径的圆与直线AC 、BC 相切。
当半径_______cm 时，⊙D 和直线AB 、BC 、AC 都相交。
3、已知圆中最大的弦长为8，一条直线与此圆相交，设圆心到直线的距离为d ，则d 的取值范围为______。
4、在射线OA 上取一点P ，使OP=4cm ，以P 为圆心作直径为4cm 的圆，若⊙P 与射线OB 相交，则锐角AOB 的取值范围为_________。
5、Rt △ABC 的斜边AB 为4，直角边AC=2，若AB 与⊙C 相切，则⊙C 的半径为___________。
6、PA 切⊙O 于A 点，PO 交⊙O 于B ，OB=PB=1，则PA 等于______________。
7、⊙O 的两条切线L 1∥L 2，⊙O 的半径为4，则L 1与L 2的距离为____________。
8、在直角坐标系中，⊙M 的圆心坐标为(m ，0)，半径是2，如果⊙M 与y 轴所在的直线相切，那m 等于______，若⊙M 与y 轴所在的直线相交，那么m 的取值范围是__________。
9、OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点(O 除外)，若以P 为圆心的⊙P 与OC 相离，那么⊙P 与OB 的位置关系是（ ）
A 、相离
B 、相切
C 、相交
D 、相交或相切
10、菱形对角线交于O 点，以O 为圆心，O 到菱形一边的距离为半径的⊙O 与其他边的位置关系是（ ）
A 、相交
B 、相离
C 、相切
D 、无法确定
11、以三角形一边为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（ ）
A 、锐角三角形
B 、钝角三角形
C 、直角三角形
D 、等边三角形
12、平面直角坐标系中有点A （3，4），以A 为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y =－x 与⊙A 的位置关系是（ ）
A 、相离
B 、相切
C 、相交
D 、以上情况都有可能
13、已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则以B 为圆
心，以6为半径的圆与直线AC 的位置关系是_____。
A 、相切
B 、相交
C 、相离
D 、不能确定
14、如图7.8—11，在⊙O 中,AB 为直径,AD 为弦,过B 点的切
线与AD 的延长线交于C,且AD=DC,则sinACO 等于__________.
15、在Rt △ABC 中，∠C=90°，Rt △ABC 的外接圆半径为52
，且周长为12，则它的内切圆半径为_______
16、直线AB 与x 轴，y 轴分别交与点A 和点B ，已知OA=4，且OA 、OB 的长是关于x 的方程x 2-mx+12=0的两个根，以OB 为直径的⊙M 与AB 交于C ，连接CM 并延长交x 轴于N
（1） 求直线AB 的解析式
（2） 求线段AC 的长
（3） 求证：NC 2=N O ·NA
（4） 若点D 为OA 的中点，试判断CD 与⊙M 的位置关系。
1、①任意一个三角形都只有一个外接圆②三角形的外心是三角形三边中线的交点
③三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等④三角形的外心到三角形三边距离相等，以上命题正确的个数是（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。
若直线l与⊙O有公共点，则r与d的关系是（）
A．d=r B.d＜r C.d≥r D.d≤r
3、已知⊙O的半径为8cm，圆心O到直线l的距离为d.
（1）若l与⊙O 相切，则d=______cm
（2）若d=10cm，则⊙O 与l的位置关系是______;
（3）若点A在l上，且OA=8cm，则⊙O 与l的公共点是______个。
4、PA切⊙O于点A，⊙O的半径为6cm，∠APO=30°，则PA=______
5、在△ABC中，AB=4，以A为圆心，2 为半径画圆，若此圆与直线BC相切，则∠B=_____；若∠B=30°，则此圆与直线BC的位置关系是______；
6、⊙O的半径为5，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=90°，则PA=______,AB=______
7、在△ABC中，∠A=40°，点I是内心,则∠BIC=______,若O是△ABC的外心,则∠BOC=______
8、已知，等边三角形ABC的内切圆的面积为9 ，则△ABC的边长为______
9、AF是⊙O的直径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，DE⊥OB，垂足为E。
求证：1）D是AB的中点
2）DE是⊙C的切线
3）若连接BF，试说明B E·BF=2A D·ED。