初三奥数题及答案

全国初中数学竞赛试卷

一、选择题（本题共6小题，每小题7分，满分42分。每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里）

1、a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则c b a 10019992++的值是（ ）

A 、1999

B 、2000

C 、2001

D 、不能确定

2、若1≠ab ，且有09201152=++a a 及05200192=++b b ，则b

a 的值是（ ）

A 、59

B 、95

C 、52001-

D 、9

2001

- 3、已知在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠15ABC ，1=BC ，则AC 的长为（ ）

A 、32+

B 、32-

C 、30⋅

D 、23- 4、如图，在ABC ∆中，D 是边AC 上的一点，下面四种情况中，ABD ∆∽ACB ∆不

一定成立的情况是（ ）

A 、BD A

B B

C A

D ⋅=⋅ B 、AC AD AB •=2 C 、ACB ABD ∠=∠ D 、BD AC BC AB •=•

5、①在实数范围内，一元二次方程02

=++c bx ax 的根为a

ac

b b x 242-±-=；②在

ABC ∆中，

若222AB BC AC +，则ABC ∆是锐角三角形；③在ABC ∆和111C B A ∆中，a ，b ，c 分别为ABC ∆的三边，111c b a ，，分别为111C B A ∆的三边，若111c c b b a a ，，，则ABC ∆的面积S 大于111C B A ∆的面积1S 。以上三个命题中，假命题的个数是（ ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3 6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；

②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ）

A 、522.8元

B 、510.4元

C 、560.4元

D 、472.8

二、填空题（每小题7分，共28分）

1、已知点P 在直角坐标系中的坐标为（0，1），O 为坐标原点，︒=∠15QPO ，且

P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为 。

2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P ，则点P 到两圆外公切线的距离为 。

3、已知y x ，是正整数，并且1202322=+=++xy x y x xy y ，，则

=+22y x .

4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 .

三、解答题（共70分）

1、在直角坐标系中有三点A （0，1），B （1，3），C （2，6）；已知直线b ax y +=上横坐标为0、1、2的点分别为D 、E 、F 。试求b a ，的值使得222CF BE AD ++达到最大值。（20分）

2、（1）证明：若x 取任意整数时，二次函数c bx ax y ++=2总取整数值，那么

c b a a ，，-2都是整数；

（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25分）

3、如图，D ，E 是ABC ∆边BC 上的两点，F 是BC 延长线上的一点，CAF DAE ∠=∠. （1）判断ABD ∆的外接圆与AEC ∆的外接圆的位置关系，并证明你的结论； （2）若ABD ∆的外接圆的半径的2倍，6=BC ，4=AB ，求BE 的长。

四、解答题：

1、如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹的锐角为θ，且∠BEG 与∠CFH 都是锐角。已知k EG =， =FH ，四边形EFGH 的面积为S 。

（1）求证：kl

S

2sin =

θ； （2）试用S k ，， 来表示正方形的面积。

A

B C D E F A B

C

D

E

F

G

H

θ

O

2、求所有的正整数a ，b ，c ，使得关于x 的方程0232=+-b ax x ，0232=+-c bx x ，0232=+-a cx x 的所有的根都是正整数。

3、在锐角ABC ∆中，BC AD ⊥，D 为垂足，AC DE ⊥，E 为垂足，AB DF ⊥，F 为垂足。O 为ABC ∆的外心。

求证：（1）AEF ∆∽ABC ∆；（2）EF AO ⊥

4、如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P 。

求证：PS PR PN PM ⋅=⋅

A

l

B

D M

N

P

O C

R S