二次型ppt课件

这样的问题,不仅在几何中出现,在数学的其它分支以及
物理、力学和网络计算中也常遇到.我们将这类问题一般
化,讨论 n个变量的二次齐次多项式的化简问题.
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6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵
定义6.1 n元变量x1,x2, ,xn的二次齐次多项式
f(x1,x2, ,xn ) a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 2a1n x1xn a22x22 2a23x2 x3 2a2n x2 xn ann xn2
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例2、已知二次型
f (x1, x2, x3) 5x12 5x22 cx32 2x1x2 6x1x3 6x2x3
的秩为2，求参数 c
5 1 3 1 5 3 1 5 3
解:
A 1
5
3
0
24
12
0
2
1
3 3 c 0 12 c 9 0 0 c 3
c3
练习：已知三元二次型
第6章 二次型
在解析几何中,为了研究二次曲线(1) ax2 bxy cy 2 1
x xcos ysin
的几何性质,可以选择适当的坐标变换
y
xsin
y c os
,
将方程(1)化为不含 x, y混合项的标准型(2) ax2 cy2 1
在二次曲面的研究中,也有类似的问题.
(1)的左边是一个二次齐次多项式.从代数的观点看,将(1)化 为标准型(2)的过程,就是通过变量的线性代换化简一个二 次齐次多项式,使之只含平方项.
因此,研究二次型的性质,就是研究对称矩阵 A 的性质. 我们把对称阵 A 的秩, 称做二次型 f 的秩.
例1 设 f (x1, x2 , x3 , x4 ) 2x12 x1x2 2x1x3 4x2 x4 x32 5x42
2
1 2
1
0
1
则它对应的矩阵为 A 2
0
0
2
1 0 1 0
0 2 0 5
即寻找矩阵C，使B =CTA C 为对角阵.
为此,引出合同矩阵的概念.
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定义6.2 对矩阵A和B, 如果存在可逆矩阵C ，使得 B= Fra Baidu bibliotekTA C， 就称矩阵A 相合(或合同)于B （记作A ≃ B)。
矩阵的相合关系是一种等价关系，具有以下性质： (1) 自反性， A Mn(F), A ≃ A； (2) 对称性， A, B Mn(F), 若A ≃ B, 则 B ≃ A；
aii=bii (i=1, 2, , n)
再取 x 为向量 eij = (0, ,1, ,1, ,0)T (第 i, j个分量为1,其余为0)，代入上式得
aij=bij (ij)
所以 A=B
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由此可见,二次型与矩阵之间存在一一对应的关系,即任给一 个二次型,唯一地确定一个对称阵;反之,任给一个对称阵,唯一 确定一个二次型.
an1xn x1 an2 xn x2 ann xn2
n
xi (ai1x1 ai2 x2 ain xn )
i 1
n
n
xi aij x j
i1 j 1
nn
aij xi x j
i1 j1
3
nn
nn
f
aij xi x j xi aij x j
i1 j 1
i1 j1
化二次型为标准形共有三种方法：正交变换法，配方法和 初等变换法.
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6.2.1 正交变换法
定理6.1（主轴定理） 对于任一个n元二次型 f(x1,x2, ,xn)= xTAx ，
存在正交变换都x =Qy (Q为正交阵)，
使得QTAQ= diag( 1, 2, , n) (定理5.12),
故 f() 在基B1和B2 下对应的矩阵分别是A和 B = C TA C.
yT(CTA C)y 是 y1,y2, ,yn 的一个二次型.
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一般地,将二次型化为标准型的过程:
x Cy
f (x1, x2 , , xn ) x T Ax y TC T ACy d1 y12 d2 y22 dn yn2
次型 f 对应的矩阵.
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若 A, B都 是实对称矩阵, 且对应的二次型 相同，即
nn
xT Ax
aij xi x j
i1 j 1
则 A=B
nn
bij xi x j x T Bx
i1 j 1
证 先取x为单位向量 ei = (0, ,1, ,0)T (第i个分量为1, 其余为 0)，代入上式得
a11x1 a12 x2 a1n xn
[x1, x2,
,
xn
]a21x1
a22
x2
a2n
xn
an1x1 an2 x2
ann
xn
a11 a12
[x1,
x2 ,
,
xn
]a21
a22
an1
an2
a1n x1
a2
n
x2
xT
Ax
ann
xn
其中 x=(x1,x2, ,xn)TRn， A=(aij)nn 是实对称矩阵,称为二
如果n维向量在两组基B1={1,2, ,n}和 B2 ={1,2, ,n}
下的坐标向量分别
x=(x1, x2, , xn)T 和 y=(y1, y2, , yn)T
又
(1, 2, , n)=(1, 2, , n) C
则
x=C y
f() = x TA x = yT(C TA C)y , B = C TA C
f xT Ax A矩阵的特征值为2，3，0, 且
其中对应于特征值2，3的特征向量分别为
，
1
1
1 1,2 1
0
1
求此二次型的表达式.
(提示:不同特征值对应的特征向量正交.再利
用特征向量的定义,可以求出矩阵A )
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f (α) xT Ax 可以看成向量 α 的坐标 x1, x2, , xn 的二次齐次函数。
(3) 传递性， A, B, C Mn(F), 若A ≃ B, B ≃ C，则
A≃C。
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6.2 化二次型为标准形
nn
aij xi x j
i1 j1 xCy
xTAx yTCTACy C 0
d1 y12 d2 y22 dn yn2
二次型化为不含混合项只含平方项的二次型，这种二次型 称其为标准形.
叫做数域F上的n 元二次型（简称二次型）.其中系数 aij是 数域F 中的数，实数域上的二次型简称实二次型.
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如果令aji = aij (1i<jn) ，则上式可以表示为
f (x1, x2 , , xn ) a11x12 a12 x1x2 a1n x1xn
a21x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn