二次型ppt课件
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63二次型的规范型.ppt
第六章 二次型
中南财经政法大学信息系
一、 概念的引入
设
f x12 9x22 4x32 (标准型)
y1 x1
令
y2
3x2
y3 x3
z1 x1
令
z2
3x2
z3 2x3
f y12 y22 4 y32 f z12 z22 z32
所以, 二次型的标准型不唯一.
二、惯性定理
推论 :两个实对称矩阵合同的充要条件为它们的秩 和正负惯性指数相等.
例２
1
3
1
A 2 B 2 C 3
1
1
4
则 A与C合同,A与B不合同.
例３ 判断下列对称矩阵是否合同
1 2 0 1 0 0 A 2 1 0, B 0 2 0
0 0 1 0 0 1
解：
1 2 0
z3
则
f
z12
z
2 2
z32 .
所作的线性变换为
1 0
0
x1 1 3
x2 x3
2 2
3 3
2 5 15
0
2 4 5
45 45 45
3 0
0
1 18 0
0
z1 z2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 18
z3
1 9 2 9
2 9
2 3 10 1 3 10
0
1 5 9 z1
2 5 12
9 9
z2 z3
x1
即
1 2
y1
x2
1 8
1 8
y2
2 y3
y2 y3
x3 y3
且 有 f y12 y22 y32 .
。
中南财经政法大学信息系
一、 概念的引入
设
f x12 9x22 4x32 (标准型)
y1 x1
令
y2
3x2
y3 x3
z1 x1
令
z2
3x2
z3 2x3
f y12 y22 4 y32 f z12 z22 z32
所以, 二次型的标准型不唯一.
二、惯性定理
推论 :两个实对称矩阵合同的充要条件为它们的秩 和正负惯性指数相等.
例２
1
3
1
A 2 B 2 C 3
1
1
4
则 A与C合同,A与B不合同.
例３ 判断下列对称矩阵是否合同
1 2 0 1 0 0 A 2 1 0, B 0 2 0
0 0 1 0 0 1
解：
1 2 0
z3
则
f
z12
z
2 2
z32 .
所作的线性变换为
1 0
0
x1 1 3
x2 x3
2 2
3 3
2 5 15
0
2 4 5
45 45 45
3 0
0
1 18 0
0
z1 z2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 18
z3
1 9 2 9
2 9
2 3 10 1 3 10
0
1 5 9 z1
2 5 12
9 9
z2 z3
x1
即
1 2
y1
x2
1 8
1 8
y2
2 y3
y2 y3
x3 y3
且 有 f y12 y22 y32 .
。
第5章(二次型)线性代数及其应用.ppt
x2 ,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
1
0
1 2 3
0 3 2
x1 x2 x3
1
2
1 0 0 x1
(2)
f
(
x1
,
x2
,
x3
)
x1
,
x2
,
x3
0
1
0
x2
0 0 4 x3
问题： 如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线
令 Q (q1, q2 , q3 ) 0
0 1
1 2
1 2
0
则正交变换x＝Qy将二次型化为标准形
f 0 y12 2 y22 2 y32 .
正交变换是线性变换中的特殊一类，它具有 保持向量的内积、长度不变等优点，即若x＝Qy为 正交变换，则
[Qx1,Qx2 ] (Qx1)T Qx2 x1TQTQx2 x1T x2 [ x1, x2 ]
1 1
(iii)将所求特征向量正交化、单位化
因1 分别 与2，3正交,故只需将 2，3 正交化.
正交化
取1 1 , 2 2
3
3
3
,
2
,
2
2
2
1
1 1
2 2
1 0 1
线性代数ppt 第五章 二次型
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n , a nn
x =
x1 x2 , xn
则 二 次 型 可 记 作 f = xT Ax, 其 中 A为 对 称 矩 阵 .
(3)
此时A 此时A称为二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵A 的矩阵, 称为对称矩阵A 对应的二次型. 对应的二次型. 对矩阵A的秩叫做二次型 的秩 二次型f的秩 二次型 的秩. f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2 )=3x +3x +2x
k1 0 TAP = P … 0
0 k2 … 0
… … … …
0 0 … kn
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
三. 矩阵的合同 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 记为: A B. 可逆矩阵 使得P 矩阵P 记为: 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. An与Bn合同(congruent): 合同(congruent):
(1) 反身性: A A; 反身性: A; (2) 对称性: A B B A; 对称性: (3) 传递性: A B, B C A C. 传递性:
定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同. 定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
作业 P151 1. (B) 1(1), (3); 2
本章主要内容 (1) 二次型矩阵表示 (2) 标准二次型,规范二次型 标准二次型, 二次型 (3) 将二次型化为标准形 (4)二次型的正定型的判定—主要是利用顺序 (4)二次型的正定型的判定 主要是利用顺序 二次型的正定型的判定— 主子式判定 主子式判定 作业: 作业: P152 7(1); 20(1)
线性代数课件--第6章.二次型
2 1/ 2 1 0
A 1 / 2
0
0
2
1 0 1 0
0
2
0
5
一个二次型xTAx也可看成n维向量α的一个函数,即
f (α) xTAx
其中x=(x1, x2, … , xn)T是α在Rn的一组基下的坐标向量。
6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵
二次型的矩阵表示
所以二次型xTAx是向量α的n个坐标的二次齐次函数。 因此二次型作为n维向量α的函数，它的矩阵是与一组
6.2 化二次型为标准形
正交变换法 我们在5.3节讲过，对于任一个n阶实对称阵A，一定存 在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=Λ。由于Q-1=QT，所以有
QTAQ=diag(λ1, λ2, …, λn) 因此，对于任一个二次型f(x1, x2, … , xn)=xTAx，有下面 的重要定理。
6.2 化二次型为标准形
正定二次型和正定矩阵 定理：若A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价： 1）xTAx是正定二次型（或A是正定矩阵） 2）A的正惯性指数为n，即A合同与I 3）存在可逆矩阵P，使得A=PTP 4）A的n个特征值λ1, λ2, …, λn全大于零
6.4 正定二次型和正定矩阵
正定二次型和正定矩阵 定理：若二次型xTAx正定，则 1）A的主对角元aij>0 (i=1,2,…,n) 2）A的行列式|A|>0
f(x1, x2, … , xn)=xTAx=xTBx 则必有A=B。因此，二次型和它的矩阵是相互唯一确定 的。 所以，研究二次型的性质转化为研究A所具有的性质。
6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵
二次型的矩阵表示
例1：设f(x1, x2, x3, x4)=2x12+x1x2+2x1x3+4x2x4+x32+5x42， 则它的矩阵为
线性代数 第五章二次型PPT课件
an1
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
高等代数讲义ppt第五章二次型
顺序主子式全大于零。
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
第五章二次型--精品PPT课件
设 f (x1…xn) = X’AX是K上n元二次型, 做非退 化线性替换X=CY, 其中C是K上的n阶可逆 阵. 则 f ( x1…xn ) = Y’C’YCY = g( y1…yn ).
定义: A , B∈Kn×n , A与B称为合同的,如果存 在n阶可逆阵C, 使B = C’AC.
注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系. 注 2: 若A与B合同, A’= A, 则B’=B.
p=n.
f (x1 … xn)是半正定型
f (x1 … xn)的正惯性指数
p=r ≤ n.
f (x1 … xn)是负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数q=n.
f (x1 … xn)是半负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数
q=r ≤ n.
正定二次型与正定矩阵_3
定理: A’ =A∈Rn×n, 则下列条件等价: (1).A是正定阵. (2).对任意0≠X∈Rn×1, 有X’AX > 0. (3).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得P’AP = In. (4).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得A = P’P. (5).A的正惯性指数p = n. (6).A的所有主子式 > 0. (7).A的所有顺序主子式 > 0. (8).A的所有特征值 > 0.
注 2 : R上n阶对称阵，按合同关系分类共有
(n+1)(n+2)/2类
正定二次型与正定矩阵_1
设f (x1 … xn)是R上n元二次型,如果对
(a1,a2,…,an)≠0，恒有：
(1).f (a1 … an) > 0, 则称 f (x1 … xn)是正定二次型. (2).f (a1 … an)≥0,则称 f (x1 … xn)是半正定二次型. (3) .f (a1 … an) < 0,则称 f (x1 … xn)是负定二次型. (4) . f (a1 … an)≤0, 则称 f (x1 … xn)是半负定二次型.
定义: A , B∈Kn×n , A与B称为合同的,如果存 在n阶可逆阵C, 使B = C’AC.
注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系. 注 2: 若A与B合同, A’= A, 则B’=B.
p=n.
f (x1 … xn)是半正定型
f (x1 … xn)的正惯性指数
p=r ≤ n.
f (x1 … xn)是负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数q=n.
f (x1 … xn)是半负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数
q=r ≤ n.
正定二次型与正定矩阵_3
定理: A’ =A∈Rn×n, 则下列条件等价: (1).A是正定阵. (2).对任意0≠X∈Rn×1, 有X’AX > 0. (3).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得P’AP = In. (4).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得A = P’P. (5).A的正惯性指数p = n. (6).A的所有主子式 > 0. (7).A的所有顺序主子式 > 0. (8).A的所有特征值 > 0.
注 2 : R上n阶对称阵，按合同关系分类共有
(n+1)(n+2)/2类
正定二次型与正定矩阵_1
设f (x1 … xn)是R上n元二次型,如果对
(a1,a2,…,an)≠0，恒有：
(1).f (a1 … an) > 0, 则称 f (x1 … xn)是正定二次型. (2).f (a1 … an)≥0,则称 f (x1 … xn)是半正定二次型. (3) .f (a1 … an) < 0,则称 f (x1 … xn)是负定二次型. (4) . f (a1 … an)≤0, 则称 f (x1 … xn)是半负定二次型.
第九章二次型掌握二次型及其矩阵的定义.ppt
X PY
2020-6-7
谢谢阅读
11
3、定义： 若矩阵P非奇异（可逆，非退化），
则称变量的线性变换X PY是非奇异的 （可逆的，非退化的）
注： X PY 是非奇异的 矩阵P可逆
P 0
2020-6-7
谢谢阅读
12
4、分析： f ( x1, x2,..., xn ) X AX
非奇异X PY
bij yi y j .
i2 j2
2020-6-7
谢谢阅读
22
nn
由归纳假设，对
bij yi y j 有非退化线性替换
i2 j2
z2 c22 y2 c23 y3 L c2n yn
z3 c32 y2 c33 y3 L c3n LLLLLLLLLL
zn cn2 y2 cn3 y3 L cnn
j2
j2
n
nn
a11( a111a1 j x j )2
aij xi x j
j2
i2 j2
配方 法
n
n
nn
a11[ x1 ( a111a1 j x j )]2 a111( a1 j x j )2
aij xi x j
j2
j2
i2 j2
n
nn
a11[ x1 ( a111a1 j x j )]2
（这表明二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
2020-6-7
正因为如此，讨论二次型时矩 阵是一个有力的工具.
谢谢阅读
8
3、例题: 1）求下列二次型的矩阵
f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x1x2 x1x3
f ( x1, x2 ) ( x1, x2 )
第九章 二次型-掌握二次型及其矩阵的定义.ppt
3、性质: 若A与B合同, 则秩A = 秩B
谢谢你的观看
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15
4、比较：合同，相似
A与B合同 存在可逆矩阵P可使PAP B 秩A=秩B
A与B相似 存在可逆矩阵P可使P1AP B 秩A=秩B AB fA(x) fB (x) 特征值相同
谢谢你的观看
y1 y2 yn
,
它是非退化的，
nn
且使 f ( x1, x2 , , xn ) a11 y12
bij yi y j .
i2 j2
谢谢你的观看
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22
nn
由归纳假设，对
bij yi y j 有非退化线性替换
i2 j2
z2 c22 y2 c23 y3
x1
y1－
n
a111a1 j y j
令
j2
y2 x2
或
j2
x2 y2
yn xn
xn yn
即,
x1
1
x2 xn
0 0
a12 a11 1 0
0
a1n a11 0
1
ii）二次型与它的矩阵相互唯一确定
（这表明二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
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正因为如此，讨论二次型时 矩阵是一个有力的工具.
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8
3、例题: 1）求下列二次型的矩阵
f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x1x2 x1x3
二次型的基本概念ppt课件
x2 ,
x3 )
( x1 ,
x2 ,
x3
)
2
1
0
3 5
5 2
x1 x2 x3
1
2
2
8
1 －1 3
例3
设A
3
3
－1
，则X
T
AX
是一个
6 2 －1
二次型。
解：实际上，我们只需要判断X T AX是否 是一个二次齐次多项式。
9
1 －1 3 xΒιβλιοθήκη ( x1x2x3
)T
3
3
－1
15
X CY
证明：f ( x1 , x2 ,L, xn ) X T AX (CY )T A(CY ) Y T (CT AC )Y，
令B CT AC， 由于BT (C T AC )T C T AT (C T )T C T AC B 以及C可逆，所以，B是对称矩阵。
L
ann xn
4
a11 a12 L a1n
x1
令A
a21 M
a22 M
L M
a2n M
,
X
x2 M
an1
an2
L
ann
xn
则
f ( x1, x2 ,L, xn ) X T AX , A AT ................(6.2) 称(6.2)式为二次型f ( x1, x2 ,L, xn )的矩阵表示， 对称矩阵A为f 的矩阵，A的秩为f 的秩。
a11 x1 a12 x2 L a1n xn
(
x1 ,
x2
,L,
xn
)
a21 x1
a22
x2 M
《二次型及其标准型》PPT课件
2x22 5x32 6x2 x3
去掉配方后多出来的项
2x22 5x32 6x2 x3
第二十三页，共49页。
x1
x2
x3
2
x2 2
4
x2 3
4x2
x3
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
y3 x3
x1 x2
y1 y2
其中一组变量(biànliàng)可以写成另外一组变量(biànliàng)的线性 组合，即有：
x1 c11 y1 c12 y2
x2
c21 y1
c22 y2
xn cn1 y1 cn2 y2
c1n yn c2n yn
cnn yn
（6.3）
第九页，共49页。
则称上式为由 x1, x2 , 到, xn
项，而含有交叉项 x，1 x为2 了利用上面配方时所用
的方法，先作可逆线性变换：
x1 x2
y1 y1
y2
x3
y3
（6.6）
第二十六页，共49页。
f x1, x2 , x3 y1 y1 y2 y1 y3 y1 y2 y3
y12 y1 y2 2 y1 y3 y2 y3
第三十一页，共49页。
思考题
P155例6.4（试用不同(bù tónɡ)的变换）
化二次型
f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
为标准形,并写出所作的可逆线性变换 .
第三十二页，共49页。
思考题解答(jiědá)
解 由于所给二次型不含平方项,故令
x1 x2
第六页，共49页。
例1
第六章 二次型-PPT课件
一、二次型的定义
在高中数学课程中我们就学习过圆锥曲线，比如椭圆、 双曲线、抛物线等，从代数上看，它们的方程分别为
f(x ,y ) a x 2 2 b y 2 2 1 , f(x ,y ) x y 1 ,
实际上，它们是高等数学课程中学习过的 k 2的
二元 k 次齐次函数，即有 f( tx ,ty ) tk f(x ,y ) , t R
yT
3 0
0 7
y
因此得到椭圆的标准形
3y127y22 48
% ex6105.m h=ezplot('5*x1^2-4*x1*x2+5*x2^2-48'),hold on % 绘出二次型的几何图形，这里为椭圆 set(h,{‘Color’},{‘r’}); %颜色为红色 set(h,{'LineWidth'},{2}); %线宽为2 axis square; grid on; %产生正方形坐标轴，加上网格
x 1 ( a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 n x n ) x 2 ( a 2 1 x 1 a 2 2 x 2 a 2 3 x 3 a 2 n x n ) x n ( a n 1 x 1 a n 2 x 2 a n n x n )
[x1,x2,
a11x1 a12x2 ,xn]a21x1 a22x2
得 A 的特征值为 1 4 ,2 1 ,3 2 .
对于 1 4 ，解 (A1I)x0 ， 有
2 2 0 1 1 0 A4I2 3 2 0 1 2
0 2 4 0 0 0
可得特征向量
2
1
2
.
1
对于 2 1 ，解 (A2I)x0 ， 有
1 2 0 AI2 0 2
在高中数学课程中我们就学习过圆锥曲线，比如椭圆、 双曲线、抛物线等，从代数上看，它们的方程分别为
f(x ,y ) a x 2 2 b y 2 2 1 , f(x ,y ) x y 1 ,
实际上，它们是高等数学课程中学习过的 k 2的
二元 k 次齐次函数，即有 f( tx ,ty ) tk f(x ,y ) , t R
yT
3 0
0 7
y
因此得到椭圆的标准形
3y127y22 48
% ex6105.m h=ezplot('5*x1^2-4*x1*x2+5*x2^2-48'),hold on % 绘出二次型的几何图形，这里为椭圆 set(h,{‘Color’},{‘r’}); %颜色为红色 set(h,{'LineWidth'},{2}); %线宽为2 axis square; grid on; %产生正方形坐标轴，加上网格
x 1 ( a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 n x n ) x 2 ( a 2 1 x 1 a 2 2 x 2 a 2 3 x 3 a 2 n x n ) x n ( a n 1 x 1 a n 2 x 2 a n n x n )
[x1,x2,
a11x1 a12x2 ,xn]a21x1 a22x2
得 A 的特征值为 1 4 ,2 1 ,3 2 .
对于 1 4 ，解 (A1I)x0 ， 有
2 2 0 1 1 0 A4I2 3 2 0 1 2
0 2 4 0 0 0
可得特征向量
2
1
2
.
1
对于 2 1 ，解 (A2I)x0 ， 有
1 2 0 AI2 0 2
二次型ppt课件
j 行，就可以把第一行第 j 列和第 j 来自第1列位置的元素变成零。
惠州学院数学系
这相当于用
T1
j
(
a1 j a11
)
右乘A，用
T j1(
a1 j a11
)
T1
j (
a1 j a11
)
左乘A。这样，总可以选取初等矩阵 E 1 , E 2 , , E s , 使得
a11 0 0
E s E2 E1 AE1 E2 E s
惠州学院数学系
定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分 条件是它们的矩阵合同。
等价的二次型具有相同的秩。
定理9.1.4 令 A ( a ij ) 是数域F上的一个n阶对称矩
阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得
c1
0
P A P
c2
0
cn
即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合
9.1 二次型和对称矩阵
一.内容分布 9.1.1 二次型及矩阵 9.1.2 线性变换 9.1.3 矩阵的合同 9.1.4 二次型的标准形
二.教学目的 1.掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2.理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形
三.重点难点: 合同、线性变换、二次型的标准形
惠州学院数学系
为二次型 q ( x 1 , x 2 , , x n ) 的矩阵。因为 a ij a ji ,
所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘
法，（2）式可以写成
（3）
x1
q(
x1
,
x2
,
,
xn
)
(
x1
,
x2
,
惠州学院数学系
这相当于用
T1
j
(
a1 j a11
)
右乘A，用
T j1(
a1 j a11
)
T1
j (
a1 j a11
)
左乘A。这样，总可以选取初等矩阵 E 1 , E 2 , , E s , 使得
a11 0 0
E s E2 E1 AE1 E2 E s
惠州学院数学系
定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分 条件是它们的矩阵合同。
等价的二次型具有相同的秩。
定理9.1.4 令 A ( a ij ) 是数域F上的一个n阶对称矩
阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得
c1
0
P A P
c2
0
cn
即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合
9.1 二次型和对称矩阵
一.内容分布 9.1.1 二次型及矩阵 9.1.2 线性变换 9.1.3 矩阵的合同 9.1.4 二次型的标准形
二.教学目的 1.掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2.理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形
三.重点难点: 合同、线性变换、二次型的标准形
惠州学院数学系
为二次型 q ( x 1 , x 2 , , x n ) 的矩阵。因为 a ij a ji ,
所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘
法，（2）式可以写成
（3）
x1
q(
x1
,
x2
,
,
xn
)
(
x1
,
x2
,
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aii=bii (i=1, 2, , n)
再取 x 为向量 eij = (0, ,1, ,1, ,0)T (第 i, j个分量为1,其余为0)，代入上式得
aij=bij (ij)
所以 A=B
5
由此可见,二次型与矩阵之间存在一一对应的关系,即任给一 个二次型,唯一地确定一个对称阵;反之,任给一个对称阵,唯一 确定一个二次型.
化二次型为标准形共有三种方法：正交变换法，配方法和 初等变换法.
11
6.2.1 正交变换法
定理6.1（主轴定理） 对于任一个n元二次型 f(x1,x2, ,xn)= xTAx ，
存在正交变换都x =Qy (Q为正交阵)，
使得QTAQ= diag( 1, 2, , n) (定理5.12),
f xT Ax A矩阵的特征值为2，3，0, 且
其中对应于特征值2，3的特征向量分别为
，
1
1
1 1,2 1
0
1
求此二次型的表达式.
(提示:不同特征值对应的特征向量正交.再利
用特征向量的定义,可以求出矩阵A )
7
f (α) xT Ax 可以看成向量 α 的坐标 x1, x2, , xn 的二次齐次函数。
第6章 二次型
在解析几何中,为了研究二次曲线(1) ax2 bxy cy 2 1
x xcos ysin
的几何性质,可以选择适当的坐标变换
y
xsin
y c os
,
将方程(1)化为不含 x, y混合项的标准型(2) ax2 cy2 1
在二次曲面的研究中,也有类似的问题.
(1)的左边是一个二次齐次多项式.从代数的观点看,将(1)化 为标准型(2)的过程,就是通过变量的线性代换化简一个二 次齐次多项式,使之只含平方项.
次型 f 对应的矩阵.
4
若 A, B都 是实对称矩阵, 且对应的二次型 相同，即
nn
xT Ax
aij xi x j
i1 j 1
则 A=B
nn
bij xi x j x T Bx
i1 j 1
证 先取x为单位向量 ei = (0, ,1, ,0)T (第i个分量为1, 其余为 0)，代入上式得
这样的问题,不仅在几何中出现,在数学的其它分支以及
物理、力学和网络计算中也常遇到.我们将这类问题一般
化,讨论 n个变量的二次齐次多项式的化简问题.
1
6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵
定义6.1 n元变量x1,x2, ,xn的二次齐次多项式
f(x1,x2, ,xn ) a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 2a1n x1xn a22x22 2a23x2 x3 2a2n x2 xn ann xn2
即寻找矩阵C，使B =CTA C 为对角阵.
为此,引出合同矩阵的概念.
9
定义6.2 对矩阵A和B, 如果存在可逆矩阵C ，使得 B= CTA C， 就称矩阵A 相合(或合同)于B （记作A ≃ B)。
矩阵的相合关系是一种等价关系，具有以下性质： (1) 自反性， A Mn(F), A ≃ A； (2) 对称性， A, B Mn(F), 若A ≃ B, 则 B ≃ A；
6
例2、已知二次型
f (x1, x2, x3) 5x12 5x22 cx32 2x1x2 6x1x3 6x2x3
的秩为2，求参数 c
5 1 3 1 5 3 1 5 3
解:
A 1
5
3
0
24
12
0
2
1
3 3 c 0 12 c 9 0 0 c 3
c3
练习：已知三元二次型
因此,研究二次型的性质,就是研究对称矩阵 A 的性质. 我们把对称阵 A 的秩, 称做二次型 f 的秩.
例1 设 f (x1, x2 , x3 , x4 ) 2x12 x1x2 2x1x3 4x2 x4 x32 5x42
2
1 2
1
0
1
则它对应的矩阵为 A 2
0
0
2
1 0 1 0
0 2 0 5
如果n维向量在两组基B1={1,2, ,n}和 B2 ={1,2, ,n}
下的坐标向量分别
x=(x1, x2, , xn)T 和 y=(y1, y2, , yn)T
又
(1, 2, , n)=(1, 2, , n) C
则
x=C y
f() = x TA x = yT(C TA C)y , B = C TA C
故 f() 在基B1和B2 下对应的矩阵分别是A和 B = C TA C.
yT(CTA C)y 是 y1,y2, ,yn 的一个二次型.
8
一般地,将二次型化为标准型的过程:
x Cy
f (x1, x2 , , xn ) x T Ax y TC T ACy d1 y12 d2 y22 dn yn2
(3) 传递性， A, B, C Mn(F), 若A ≃ B, B ≃ C，则
A≃C。
10
6.2 化二次型为标准形
nn
aij xi x j
i1 j1 xCy
xTAx yTCTACy C 0
d1 y12 d2 y22 dn yn2
二次型化为不含混合项只含平方项的二次型，这种二次型 称其为标准形.
a11x1 a12 x2 a1n xn
[x1, x2,
,
xn
]a21x1
a22
x2
a2n
xn
an1x1 an2 x2
ann
xn
a11 a12
[x1,
x2 ,
,
xn
]a21
a22
an1
an2
a1n x1
a2
n
x2
1,x2, ,xn)TRn， A=(aij)nn 是实对称矩阵,称为二
an1xn x1 an2 xn x2 ann xn2
n
xi (ai1x1 ai2 x2 ain xn )
i 1
n
n
xi aij x j
i1 j 1
nn
aij xi x j
i1 j1
3
nn
nn
f
aij xi x j xi aij x j
i1 j 1
i1 j1
叫做数域F上的n 元二次型（简称二次型）.其中系数 aij是 数域F 中的数，实数域上的二次型简称实二次型.
2
如果令aji = aij (1i<jn) ，则上式可以表示为
f (x1, x2 , , xn ) a11x12 a12 x1x2 a1n x1xn
a21x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn