概率4.3 k阶矩
大学数学概率篇之随机变量的数字特征——协方差与相关系数概要
解得
Cov( X ,Y ) b0 D( X )
a0 E (Y ) b0 E ( X )
特别地， 当 X与 Y 独立时，有 cov( X ,Y ) 0. 完
二、协方差的性质 1. 协方差的基本性质
(1) cov( X , X ) D( X ); (2) cov( X ,Y ) cov(Y , X ); (3) cov( aX , bY ) ab cov( X ,Y ), 其中 a , b 是 常数； (4) cov(C , X ) 0, C 为任意常数； (5) cov( X1 X 2 ,Y ) cov( X1 ,Y ) cov( X 2 ,Y ); (6) 当 X 与 Y 相互独立， 则 cov( X ,Y ) 0.
X 与 Y 不相关.
例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X, 不难求得，
Cov(X,Y)=0，
（请课下自行验证）
因而 =0， 即X和Y不相关 .
但Y与X有严格的函数关系，
即X和Y不独立 .
性质3. 若 D( X ) 0, D(Y ) 0, 则
XY 1
i 1 i 1 n n 1 i j n
cov( X , X
i
j
);
② 若 X 1 , X 2 ,, X n 两两独立， 则有
D( X i ) D( X i );
i 1 i 1
n
n
③ 可以证明： 若 X ,Y 的方差存在，则协方差
《概率论》第4章矩、协方差矩阵
为 k l 阶混合中心矩
E假(定X )其中各数学1 阶期原望点都矩存在
D“矩(X”) 是来自于2物阶理中学心中矩力矩的概念
Cov(X y,Y )
2 阶混合中心矩
y f (x)
O
x d第x 四章 随机x变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
2/8
对于二维r.v ( X1,，X记2 )
c11 E[( X1 E( X1))2 ] D( X1) c12 E[(X1 E(X1))(X2 E(X2 ))] Cov(X1, X 2 )
7/8
(X1, X2 ,L , Xn ) ~ N(,C) X1, X2,, Xn 的任一线性
组合 l1X1 l2 X2 ln Xn 服从一维正态分布 正态r.v的线性变换不变性：设
(X1, X2 ,, Xn ) ~ N(,C) 令
Y1 a11 X1 a12 X2 a1n Xn
Y2
§4 矩、协方差矩阵
1/8
对于 r.v X ,Y , 称
E( X k ) ( k 1, 2,)
为 k阶原点矩，简称 k阶矩 .称
E[( X E( X ))k ] ( k 2,3,)
为 k阶中心矩 .称
E( X kY l ) (k,l 1, 2,)
为 k l 阶混合矩 .称
E[( X E(X ))k (Y E(Y ))l ] (k,l 1, 2,)
)e2 xp2{
12(x(X1)1( y)2TC21)(X
(y
)}2
2 2
)2
]}
与一维记再正记C态Xr.vcc12密11xyf度c(c,1x222)函数比11211较2, e2则xp{122(x2
)
2
}
k介原点矩及中心距
在数学的概率领域中有一类数字特征叫矩.(X^k为X的k次方)
k介原点矩：
对于正整数k,如果E|X^k|<无穷,称Vk＝E(X^k) 为随机变量X的k阶原点矩.X的数学期望是X的一阶原点矩,即E(x)=v1.
k阶矩定义：设X为随机变量,c为常数,k为正整数,如果E[|X-c|^c]<无穷大,则称E[（X-c）^k]为X关于点c的k阶矩.
c=0时,称其为X的k阶原点矩；
c=E[X]时,称为k阶中心矩.
二阶中心距，也叫作方差，它告诉我们一个随机变量在它均值附近波动的大小，方差越大,波动性越大。
方差也相当于机械运动中以重心为转轴的转动惯量。
(The moment of inertia.)
三阶中心距告诉我们一个随机密度函数向左或向右偏斜的程度。
在均值不为零的情况下，原点距只有纯数学意义。
A1,一阶原点矩就是 E(X),即样本均值。
A2,二阶原点矩就是 E(X^2)即样本平方均值。
Ak,K阶原点矩就是 E(X^k)即样本K次方的均值。
用样本的K阶矩代替总体的K阶矩来估计总体中未知参数的方法。
用已知样本的X的一阶矩和二阶矩来估计分布律，分布函数，概率函数或者数字特征中的某个未知参数a的值，此即矩估计法。
大概步骤如下
1 根据分布律或者分布函数，概率函数，计算EX或者EX2,其中含有未知参数a
2 令样本的一阶矩A1等于EX（二阶矩A2等于EX^2)
3 由2得到
a的表达式子，此式子中含有A1(A2,...),而A1,A2表达式如上(1),(2)，（3）所示.
该含有 A1,A2,..Ak的表达式称为估计量，如果把样本具体值带入，即可得a的估计值。
原点矩和中心矩
k阶原点距和k阶中心距各是说明什么数字特征在数学的概率领域中有一类数字特征叫矩.(X^k为X的k次方)原点矩：对于正整数k,如果E|X^k|<无穷,称Vk＝E(X^k) 为随机变量X的k阶原点矩.X的数学期望是X的一阶原点矩,即E(x)=v1.k阶矩定义：设X为随机变量,c为常数,k为正整数,如果E[|X-c|^c]<无穷大,则称E[（X -c）^k]为X关于点c的k阶矩.c=0时,称其为X的k阶原点矩；c=E[X]时,称为k阶中心矩.原点矩顾名思义，是随机变量到原点的距离（这里假设原点即为零点）。
中心矩则类似于方差，先要得出样本的期望即均值，然后计算出随机变量到样本均值的一种距离，与方差不同的是，这里所说的距离不再是平方就能构建出来的，而是k次方。
这也就不难理解为什么原点矩和中心矩不是距离的“距”，而是矩阵的“矩”了。
仅凭本人目前的所学，我认为通过随机试验得出的各种结果虽然都假定为实值单值函数，但它们完全有可能是空间分布，即不在一个平面上。
那么这是的距离就类似于一个向量的模了，于是在空间的范围内也能比较出大小来了。
我们都知道方差源于勾股定理，这就不难理解原点矩和中心矩了。
还能联想到力学中的力矩也是“矩”，而不是“距”。
力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。
力矩也是矢量，它等于力乘力臂。
由此可见数学和物理关系非同一般！二阶中心距，也叫作方差，它告诉我们一个随机变量在它均值附近波动的大小，方差越大,波动性越大。
方差也相当于机械运动中以重心为转轴的转动惯量。
(The moment of iner tia.)三阶中心距告诉我们一个随机密度函数向左或向右偏斜的程度。
在均值不为零的情况下，原点距只有纯数学意义。
A1,一阶矩就是 E(X),即样本均值。
具体说来就是A1=(西格玛Xi)/n ----（1）A2,二阶矩就是 E(X^2)即样本平方均值 ,具体说来就是 A2=(西格玛Xi^2)/n-----(2)Ak,K阶矩就是 E(X^k)即样本K次方的均值,具体说来就是 Ak=(西格玛Xi^k)/n，-----(3)用样本的K阶矩代替总体的K阶矩来估计总体中未知参数的方法。
复合泊松分布的三阶中心矩_概述说明以及解释
复合泊松分布的三阶中心矩概述说明以及解释1. 引言1.1 概述复合泊松分布是一种在统计学中常用的概率分布模型，它可以用来描述在特定单位时间或空间内发生事件的数量。
与传统的泊松分布不同，复合泊松分布允许事件发生率随时间或空间发生位置的变化而变化。
这使得复合泊松分布在实际问题中具有更广泛的应用范围和更好的拟合能力。
本文将针对复合泊松分布的三阶中心矩进行概述、说明和解释。
三阶中心矩是概率论和统计学中用于衡量概率分布形态偏斜程度的重要指标。
通过研究复合泊松分布的三阶中心矩，我们可以深入了解该分布的形态及其与其他相关变量之间的关系。
1.2 文章结构本文按照以下结构展开：引言部分主要介绍了文章背景、复合泊松分布以及三阶中心矩的意义；接下来，在“复合泊松分布的三阶中心矩概述”部分，我们将简要介绍复合泊松分布及其基本特征，并详细讨论三阶中心矩的定义和其在概率分布分析中的意义；之后，在“解释复合泊松分布的三阶中心矩公式”部分，我们将推导复合泊松分布的三阶中心矩公式，并给出数学解释及相关证明；接下来，在“影响复合泊松分布三阶中心矩的因素分析”部分，我们将探讨参数、样本规模以及其他相关因素对复合泊松分布三阶中心矩的影响；最后，在“结论与展望”部分，我们将总结复合泊松分布的三阶中心矩特征及其应用价值，并提出未来相关研究方向的展望和建议。
1.3 目的本文旨在全面介绍和解释复合泊松分布的三阶中心矩，并深入探讨影响其结果的因素。
通过对该主题进行详细说明，读者可以更好地理解复合泊松分布、三阶中心矩及其相互关系，并为实际应用提供参考。
在理论方面，本文将为进一步探索概率论与统计学领域提供基础知识；在实践方面，本文所提供的分析方法和结果可以应用于相关领域的数据研究与决策分析中。
最终，我们希望本文能对读者在统计学、概率论和其他相关领域的研究和应用工作中提供有价值的参考。
2. 复合泊松分布的三阶中心矩概述2.1 复合泊松分布简介复合泊松分布是一种重要的数学统计模型，广泛应用于各种领域，如通信网络、金融风险评估等。
概率论与数理统计第四章
)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布
概率论第四章随机变量的数字特征第4节矩和协方差矩阵
特别，若 X ~ N 0， 1 , 则
E X n
n 1!!
0
n为偶数 n为奇数 ,
n 4时， EX 4 3.
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练习一下
• 已知随机变量的X和Y的联合分布为
Y X
-2
0
1
-1
0.30
0.12
0.18
1
0.10
0.18
0.12
求X和Y的协差矩阵.
0.96 0.24
0.24 1 .65
DX
所以，
E X n nE Y n
n yn fY
y dy
n
y
n
e
y2 2
dy
2
⑴．当 n为奇数时，由于被积函 数是奇函数，所以
E X n 0 ．
返回主目5 录
第四章 随机变量的数字特征
(2)．当n为偶数时，由于被积函 数是偶函数，所以
EX n
2 n
y
n
e
y2 2
E X n
n
22
n
n
1
n
1
n
22
n
n
1
n
3
n
3
2 2 2 2 2
n
22
n
n
1
n
3
1
1
22
2 2
n
22
n
n 1!!
n
22
n n 1!!
返回主目7 录
第四章 随机变量的数字特征
因而，
§5 矩
E X n
n n 1!!
0
n为偶数 n为奇数
其中，
135 n n为奇数 n!! 2 4 6 n n为偶数
概率论与数理统计(协方差及相关系数、矩)
实验步骤： 实验步骤： (1) 整理数据如图 所示． 整理数据如图4-5所示 所示．
图4-5 整理数据
(2) 计算边缘概率 计算边缘概率P{X = xi}和P{Y = yj} 和 在单元格G2中输入公式 ： 在单元格 中输入公式： = SUM(B2:F2)， 并将 中输入公式 ， 其复制到单元格区域G3:G6 其复制到单元格区域 在单元格B7中输入公式： 在单元格 中输入公式：=SUM(B2:B6)，并将其 中输入公式 ， 复制到单元格区域C7:F7 复制到单元格区域 (3) 计算期望 计算期望E(XY) 首先在单元格B9中输入公式： 首先在单元格 中输入公式： 中输入公式 =MMULT(B1:F1,B2:F6)， ，
−
π
∫ πcos zdz = 0, ∫ πsin z cos zdz = 0
−
1 E ( XY ) = 2π
π
因而Cov(X，Y) = 0，ρXY = 0． ， 因而 ， ． 不相关， 相关系数ρXY = 0，说明随机变量 与Y不相关， ，说明随机变量X与 不相关 但是， 所以X与 不独立 不独立． 但是，由于 X 2 + Y 2 = 1 ，所以 与Y不独立．
Cov ( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = 19 / 400,
所以
ρ XY =
Cov( X , Y ) 19 / 400 133 = = = 0.87 D( X ) D(Y ) 153 / 2800 153
4.3.2 相关系数 下面不加证明地给出相关系数的两条性质： 下面不加证明地给出相关系数的两条性质： (1) |ρXY | ≤ 1； ； 的充要条件是， (2) |ρXY | = 1的充要条件是，存在常数 ，b，使 的充要条件是 存在常数a， P{Y = aX + b} = 1． ． 定义4.6 若ρXY = 0，称X与Y不相关．0 < ρXY ≤ 1，称 定义 ， 与 不相关． ， 不相关 X与Y正相关，– 1 ≤ ρXY < 0，称X与Y负相关． 正相关， 负相关． 与 正相关 ， 与 负相关 事实上,相关系数 事实上 相关系数ρXY是X与Y线性关系强弱的一个 与 线性关系强弱的一个 度量,X与 的线性关系程度随着 的线性关系程度随着| 的减小而减弱, 度量 与Y的线性关系程度随着 ρXY|的减小而减弱 的减小而减弱 的线性关系最强， 时 与 的线性关系最强 当|ρXY| = 1时X与Y的线性关系最强， 的不存在线性关系， 当ρXY = 0时，意味 与Y的不存在线性关系，即X 时 意味X与 的不存在线性关系 不相关. 与Y不相关 不相关
概率论与数理统计电子教案：c4_3 协方差.相关系数与矩
3）C是非负定矩阵；
4）ci2j cii c jj , i, j 1,2,..., n
2020/8/27
4
协方差、相关系数、矩
二. 相关系数
定义：设二维随机变量X,Y的D(X)>0,D(Y)>0
称
XY
covX ,Y DX DY
为随机变量X与Y的相关系数。
注：1）ρXY是一无量纲的量。
a1a2 a1a2
XY
证明
相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关程度 的数字特征.
2020/8/27
6
协方差、相关系数、矩
定义：设随机变量X,Y的相关系数存在
1）ρXY＝1 称 X,Y正相关. 2）ρXY＝－1 称 X,Y负相关. 3）ρXY＝0 称 X,Y不相关.
注：ρXY＝0仅说明X,Y之间没有线性关系，但可以 有其他非线性关系. 参见书上P116 例4.4.4.
2） XY
E
X
EX DX
Y
E
Y
D Y
E X * Y * cov X * ,Y *
2020/8/27
5
协方差、相关系数、矩
性质：设随机变量X,Y的相关系数ρ存在，则
1） |ρ|1
证明
2） |ρ|＝1
X与Y依概率为1线性相关。即
, 0 s .t PY X 1
证明
3）若＝a 1X+b1 , = a 2Y+b2 则
PY X 1
证明：" " 必要性 1时 由1）有
D X Y 0 E X Y 0
由 方 差 的 性 质4） 得
P X Y E X Y 1 即
P X Y 0 1
PY －
正态分布的四阶原点矩
正态分布是一种常见的概率分布，常用来描述一组数据的分布情况。
正态分布的概率密度函数为：
f(x)=1/(σ*sqrt(2π))exp(-((x-μ)^2)/(2σ^2))
在这里，μ表示正态分布的均值，σ表示正态分布的标准差，sqrt表示平方根。
正态分布具有如下的四阶原点矩：
1.二阶原点矩：μ^2
2.三阶原点矩：μ^3
3.四阶原点矩：μ^4+3σ^4
在这里，μ表示正态分布的均值，σ表示正态分布的标准差。
正态分布的四阶原点矩可以用来描述正态分布的分布形态，例如分布的偏度和峰度。
偏度是指分布的偏斜程度，峰度是指分布的集中程度。
正态分布的偏度为0，峰度为3。
正态分布的四阶原点矩可以用来计算正态分布的偏度和峰度，公式分别为：
偏度：(μ^3)/(σ^3)
峰度：(μ^4)/(σ^4)
正态分布的四阶原点矩还可以用来求解一些问题，例如：
1.求解统计数据的分布情况：可以通过计算正态分布的四阶原点矩来求解统计数据的分布情况。
2.求解统计数据的变异系数：可以通过计算正态分布的四阶原点矩来求解统计数据的变异系数。
混合韦伯分布的四阶矩解析方法
韦伯分布是一种常用的概率分布，通常用来描述极值分布。
它的概率密度函数可以写成如下形式：\[ f(x;\alpha, \beta) = \frac{\alpha}{\beta}(\frac{x}{\beta})^{\alpha-1}e^{-(\frac{x}{\beta})^\alpha} \]其中，$\alpha$ 和 $\beta$ 是两个形状参数。
韦伯分布具有很好的数学性质，可以很容易地计算其各阶矩。
然而，有时实际情况可能并不完全符合韦伯分布的假设。
在这种情况下，我们可能需要考虑到混合韦伯分布，即将多个韦伯分布进行混合以适应实际数据的情况。
混合韦伯分布可以写成如下形式：\[ f(x) = \sum_{i=1}^{n} w_i f(x;\alpha_i, \beta_i) \]其中，$w_i$ 是混合系数，$\alpha_i$ 和 $\beta_i$ 是第 $i$ 个分量的参数。
对于混合韦伯分布，我们需要考虑如何计算其各阶矩，特别是四阶矩。
在这篇文章中，我们将讨论混合韦伯分布的四阶矩解析方法。
我们将首先介绍混合韦伯分布的定义和性质，然后介绍计算各阶矩的一般方法，最后给出计算混合韦伯分布四阶矩的具体步骤。
混合韦伯分布的定义和性质混合韦伯分布是指将多个韦伯分布进行线性组合而得到的分布。
在实际应用中，我们可能会发现数据不完全符合单一的韦伯分布，而是由多个韦伯分布组合而成。
这种情况下，我们可以采用混合韦伯分布来更好地描述数据的概率分布特性。
混合韦伯分布的概率密度函数可以写成如下形式：\[ f(x) = \sum_{i=1}^{n} w_i f(x;\alpha_i, \beta_i) \]其中，$w_i$ 是混合系数，表示第 $i$ 个韦伯分布在混合中的比例；$f(x;\alpha_i,\beta_i)$ 是第 $i$ 个韦伯分布的概率密度函数，$\alpha_i$ 和 $\beta_i$ 分别是该分布的形状参数。
概率4.3 k阶矩
概率论
设 X 和 Y 是随机变量，若
E( X Y )
k
L
k,L=1,2,…
存在，
称它为 X 和 Y 的 k+L 阶混合（原点）矩.
若 E{[ X E ( X )]k [Y E (Y )]L} 存在，
称它为X 和 Y 的 k+L 阶混合中心矩. 可见， 协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.
概率论
第3节
原点矩 中心矩
k阶矩
小结 布置作业
概率论
一、 原点矩
定义
中心矩
设X和Y是随机变量，若
E ( X k ), k 1,2,
存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩
若 E{[ X E ( X )]k }, k 2,3,
存在，称它为X的k阶中心矩
可见，均值 E（X）是X一阶原点矩，方差D（X）
概率论
四、小结
在这一节中我们学习了随机变量的原点矩
和中心矩以及协方差矩阵 .
一般地 , 维随机变量的分布是不知道的 , 或者太复杂 , 以至于在数学上不易处理 , 因此 在实际中协方差矩阵就显得重要了 .
概率论
五、 布置作业
《概率论与数理统计》作业（四） 一、填空题第1小题 二、选择题第1、2小题 三、解答题第1、2、3、4小题
标准正态总体k阶原点矩及方差计算
标准正态总体k阶原点矩及方差计算摘要：随机变量X的k阶原点矩E（X）和方差D（X）都是概率统计中随机变量的非常重要的数字特征，E（X）是X的取值以概率为权的加权平均，D（X）描述的是X相对于E（X）的偏离程度的指标，而标准正态分布是随机变量最常见的分布之一，因此关于标准正态总体的E（X）和D（X）的计算很有参考价值。
关键词：标准正态总体 k阶原点矩方差Γ函数问题：设总体X服从N（0，1），计算E（X）和D（X），k为正整数.一、E（X）的计算X:N（0，1），则X的密度函数f（x）=e.E（X）=xf（x）dx=xedx.显然，当k为奇数时，上式中的被积函数为奇函数，故上式中的定积分为零.因此，当k为奇数时，E（X）=0.当k为偶数时，上式中的被积函数为偶函数.因此 E（X）=2xedx=xedx.上式可以利用Γ函数来计算，下面先介绍一下关于Γ函数的知识.定义：Γ（s）=exdx（s＞0）.因此Γ（1）=edx=edx=-ed（-x）=-［e］=1.性质1：递推公式Γ（s+1）=sΓ（s）（证明略）由递推公式，得Γ（2）=Γ（1）=1!Γ（3）=2Γ（2）=2!Γ（4）=3Γ（3）=3!……一般的，对任何正整数n，有Γ（n+1）=n!.性质2：余元公式Γ（s）Γ（1-s）=（0＜s＜1）（证明略）当s=时，由余元公式可得Γ=.性质3：eudu=Γ证明：在Γ（s）=exdx中，利用第二类换元积分法，令x=u，则dx=d（u）=2udu；由x=u得u=因此当x=0时，u=0;当x→+∞时，u→+∞.于是Γ（s）=e（u）2udu=2eudu.再令2s-1=t或s=，得Γ=2eudu.即eudu=Γ.证毕.现在计算k为偶数时的E（X）.首先E（X）=xedx.利用第二类换元积分法，令x=u，得E（X）=uedu.由性质3，得E（X）=Γ.由递推公式，得E（X）=Γ=1.再来E（X）=xedx令x=u，得E（X）=uedx由性质3，得E（X）=Γ由递推公式，得E（X）=Γ=Γ=3再看一个E（X）=xedx令x=u，得E（X）=uedx由性质3，得E（X）=Γ由递推公式，得E（X）=Γ=Γ=Γ=15.我们发现，E（X）=1=1!!=（2-1）!!，E（X）=3=1×3=3!!=（4-1）!!，E（X）=15=1×3×5=5!!=（6-1）!!.因此作猜想:当k为偶数时，E（X）=（k-1）!!.现在用数学归纳法来证明此猜想.证明:假设当k为偶数时，E（X）=（k-1）!!， E（X）=xedx.令x=u，得E（X）=uedu，由性质3，得E（X）=Γ.E（X）=xedx，令x=u，得E（X）=uedu，由性质3，得E（X）=Γ，由递推公式，得E（X）=（k+1）Γ=（k+1）E（X）=（k+1）（k-1）!!=（k+1）!!.证毕.结论：若X服从N（0，1），则E（X）=0当k为奇数（k-1）!! 当k为偶数.二、D（X）的计算根据方差的计算公式D（X）=E（X）-（E（X））和上面的结论得：D（X）=E（X）-（E（X））=（2k-1）!! k为奇数（2k-1）!!-（（k-1）!!） k为偶数.结论：若X服从N（0，1），则D（X）=（2k-1）!! k为奇数（2k-1）!!-（（k-1）!!） k为偶数.参考文献：［1］同济大学数学教研室主编.高等数学（第四版上册）.高等教育出版社.本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文。
样本k阶中心矩
样本k阶中心矩样本k阶中心矩（sample kth central moment）是一种统计量，它可以用来描述一组数据的分布特征。
它是指对一组数据进行平方、立方、四次方等操作后再求平均数，并将这些平均数依次称为样本的第二、三、四……阶中心矩。
公式表示为：μ_k = 1/n ∑(x_i - x)^k其中，μ_k 表示样本的第k阶中心矩，n 表示样本中数据的个数，x_i 表示样本中的第i个数据，x表示样本的平均数。
样本k阶中心矩可以帮助我们更加全面地了解数据的分布情况，并且与样本的均值（mean）、方差（variance）、偏度（skewness）和峰度（kurtosis）有关。
例如，样本的第二阶中心矩（μ_2）可以用来计算样本的方差，样本的第三阶中心矩（μ_3）可以用来计算样本的偏度，样本的第四阶中心矩（μ_4）可以用来计算样本的峰度。
例如，设样本的平均数为x，样本的方差为σ^2，则有：σ^2 = 1/n ∑(x_i - x)^2 = μ_2样本的偏度（skewness）可以用以下公式计算：η_3 = (μ_3 / σ^3) = (1/n ∑(x_i - x)^3) / σ^3样本的峰度（kurtosis）可以用以下公式计算：η_4 = (μ_4 / σ^4) - 3 = (1/n ∑(x_i - x)^4) / σ^4 - 3其中，η_3 表示样本的偏度，η_4 表示样本的峰度。
通常，当样本的偏度η_3大于0时，表示样本的分布呈正偏态分布；当样本的偏度η_3小于0时，表示样本的分布呈负偏态分布；当样本的偏度η_3等于0时，表示样本的分布呈正态分布。
当样本的峰度η_4大于3时，表示样本的分布呈高峰度分布；当样本的峰度η_4小于3时，表示样本的分布呈低峰度分布；当样本的峰度η_4等于3时，表示样本的分布呈正态分布。
总结一下，样本k阶中心矩是一种用来描述数据分布特征的统计量，它与样本的均值、方差、偏度和峰度有关，可以帮助我们更加全面地了解数据的分布情况。
44 原点矩和中心矩
则方程x2+ x+1=0有实根的概率是 。
4．设随机事件A，B互不相容，且已知P(A)=p1,
P(B)=p2， 0<p1+p2<1，则 P( AB )
。
5. 若随机变量~N(5，4)，且P{ <a}=0.9，则a=
(已知（1.28）=0.8997)。
6. 已知随机变量X的概率密度 函数为
(1)E(1)E()E()14 (2)D(1)D() D()(1)2D()2Co(v,) Co(v,) D() D() 6
691213
(3) E(2)D()E()216 117
E(2)1,3E( )Co (,v)E()E()4 E()2E(2)2E( )E(2)22
求 P (1 .23 )P ,(4 )P ,(||2 ).
( 已 ( 0 . 1 ) 知 0 . 5, 3 ( 1 ) 0 9 . 8, 8 4 ( 1 . 5 ) 1 0 . 9 3 , 3 ( 0 . 5 ) 3 0 . 6 2 ) 9
5. 某仪器装有四只独立工作的同型号电气元件，其寿
0
x0
且E =3/5。
F(x)
a
x 1
1b 2
x2
0 x1 x 1
求（1）系数a，b；（2）随机变量的密度函数；
（3）E 2，D 。
9．设随机变量( ，)的联合概率密度为
f(x,y) 1, 0,
yx, 0x1, 其.它
试求：E ，E ，Cov(，)。
t3dt0
二、综和举例
例一设随机变(量 ,) ~(1,2,12,22, ),其中
1
1,
2
2,12
对数正态分布的矩
对数正态分布的矩矩的定义在概率论中，矩是对随机变量的数学特征进行描述的一种方法。
对于一个随机变量X，它的k阶矩被定义为E(X^k)，其中E表示期望值。
一阶矩也被称为期望值，二阶矩也被称为方差。
对数正态分布对数正态分布是指随机变量取对数后呈现正态分布的概率分布。
它通常用来描述一些非负实数随机变量，如收入、股票价格等。
对数正态分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (x * σ * sqrt(2π)) * exp(-(ln(x)-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ和σ是正常分布的均值和标准差，x是随机变量。
对数正态分布的一阶矩对于一个服从对数正态分布的随机变量X，它的一阶矩E(X)可以通过以下公式计算：E(X) = exp(μ + σ^2/2)其中exp表示自然指数函数。
这个公式表明了当μ和σ固定时，X取值的平均水平。
当μ增加时，X取值得平均水平也会相应地增加；当σ增加时，X取值得平均水平也会相应地减少。
对数正态分布的二阶矩对于一个服从对数正态分布的随机变量X，它的二阶矩E(X^2)可以通过以下公式计算：E(X^2) = ex p(2μ + 2σ^2)这个公式表明了当μ和σ固定时，X取值的平方的平均水平。
当μ增加时，X取值得平方的平均水平也会相应地增加；当σ增加时，X取值得平方的平均水平也会相应地增加。
对数正态分布的三阶矩过以下公式计算：E(X^3) = exp(3μ + 4.5σ^2)这个公式表明了当μ和σ固定时，X取值的立方的平均水平。
当μ增加时，X取值得立方的平均水平也会相应地增加；当σ增加时，X取值得立方的平均水平也会相应地增加。
对数正态分布的四阶矩对于一个服从对数正态分布的随机变量X，它的四阶矩E(X^4)可以通过以下公式计算：E(X^4) = exp(4μ + 10σ^2)这个公式表明了当μ和σ固定时，X取值的四次方的平均水平。
当μ增加时，X取值得四次方的平均水平也会相应地增加；当σ增加时，X 取值得四次方的平均水平也会相应地增加。
图像的矩特征
图像的矩特征1. 矩的概念图像识别的⼀个核⼼问题是图像的特征提取，简单描述即为⽤⼀组简单的数据（图像描述量）来描述整个图像，这组数据越简单越有代表性越好。
良好的特征不受光线、噪点、⼏何形变的⼲扰。
图像识别发展⼏⼗年，不断有新的特征提出，⽽图像不变矩就是其中⼀个。
矩是概率与统计中的⼀个概念，是随机变量的⼀种数字特征。
设X为随机变量，c为常数，k为正整数。
则量E[(x-c)^k]称为X关于c点的k阶矩。
⽐较重要的有两种情况：1. c=0。
这时a_k=E(X^k)称为X的k阶原点矩2. c=E(X)。
这时\mu_k=E[(X-EX)^k]称为X的k阶中⼼矩。
⼀阶原点矩就是期望。
⼀阶中⼼矩\mu_1=0，⼆阶中⼼矩\mu_2就是X的⽅差Var(X)。
在统计学上，⾼于4阶的矩极少使⽤。
\mu_3可以去衡量分布是否有偏。
\mu_4可以去衡量分布（密度）在均值附近的陡峭程度如何。
针对于⼀幅图像，我们把像素的坐标看成是⼀个⼆维随机变量(X,Y)，那么⼀幅灰度图像可以⽤⼆维灰度密度函数来表⽰，因此可以⽤矩来描述灰度图像的特征。
不变矩(Invariant Moments)是⼀处⾼度浓缩的图像特征，具有平移、灰度、尺度、旋转不变性。
M.K.Hu在1961年⾸先提出了不变矩的概念。
1979年M.R.Teague根据正交多项式理论提出了Zernike矩。
下⾯主要介绍这两种矩特征的算法原理与实现。
2. Hu矩⼀幅M\times N的数字图像f(i,j)，其p+q阶⼏何矩m_{pq}和中⼼矩\mu_{pq}为：m_{pq}=\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^Ni^pj^qf(i,j)\mu_{pq}=\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^N(i-\bar{i})^p(j-\bar{j})^qf(i,j)其中f(i,j)为图像在坐标点(i,j)处的灰度值。
\bar{i}=m_{10}/m_{00},\bar{j}=m_{01}/m_{00}若将m_{00}看作是图像的灰度质量，则(\bar{i},\bar{j})为图像的质⼼坐标，那么中⼼矩\mu_{pa}反映的是图像灰度相对于其灰度质⼼的分布情况。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
概率论
四、小结
在这一节中我们学习了随机变量的原点矩
和中心矩以及协方差矩阵 .
一般地 , 维随机变量的分布是不知道的 , 或者太复杂 , 以至于在数学上不易处理 , 因此 在实际中协方差矩阵就显得重要了 .
概率论
五、 布置作业
《概率论与数理统计》作业（四） 一、填空题第1小题 二、选择题第1、2小题 三、解答题第1、2、3、4小题
是X的二阶中心矩。
概率论
设 X 和 Y 是随机变量，若
E( X Y )
k
L
k,L=1,2,…
存在，
称它为 X 和 Y 的 k+L 阶混合（原点）矩.
若 E{[ X E ( X )]k [Y E (Y )]L} 存在，
称它为X 和 Y 的 k+L 阶混合中心矩. 可见， 协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.
概率论
第3节
原点矩 中心矩
k阶矩
小结 布置作业
概率论
一、 原点矩
定义
中心矩
设X和Y是随机变量，若
E ( X k ), k 1,2,
存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩
若 E{[ X E ( X )]k }, k 2,3,
存在，称它为X的k阶中心矩
可见，均值 E（X）是X一阶原点矩，方差D（X）