古典概型(一)
1-4 等可能概型(古典概型)
n
1
证：从n个不同的元素中取出n1个元素有 n n !( n n )! 种取法；
1 1
n!
(n n1 )! 再从剩下的n-n1个元素中取出n2个元素有 n !(n n n )! 2 1 2
组合分析的两条基本原理
火车2次 火车
成都
汽车3次
重庆
成都
汽车
重庆
火车 飞机 轮船
武汉
共有23=6种方法 共有2+3=5种方法 1.加法原理 若完成一件事有两种方式，第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，
则完成这件事总共有n1+n2种方法。 2.乘法原理 若完成一件事有两个步骤，第一个步骤有n1种方法，
种分法。
例题7
例7 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中
种取法；„
从最后剩下的n-(n1+n2+„+nk-1)个元素中取出nk个元素有
[n (n1 n2 nk 1 )]! 种取法。 nk ![n (n1 n2 nk )]!
按乘法原理，n个不同的元素，分成k组，每组分别有n1,n2,„,nk 个元素,应该有
[n (n1 n2 nk 1 )]! n! (n n1 )! n! n1!(n n1 )! n2!(n n1 n2 )! nk !0! n1!n2! nk !
P ( A) kA 16 4 , n 36 9
kB 4 1 . n 36 9 5 8 P( A B) P( A) P( B) , P(C ) P( B) 1 P( B) 9 9 P( B)
3.2.1古典概型
123,132,213,231,312,321，其中能被 2 整除的有 132,312 这 2 个数，故能被 2 整除的概率为13.
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20
复习总结
1．古典概型的适用条件：
(1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ;
.
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11
问题 2 在抛掷骰子的试验中，如何求出现各个点的概率？ 解 出现各个点的概率相等，即 P(“1 点”)＝P(“2 点”) ＝P(“3 点”)＝P(“4 点”)＝P(“5 点”)＝P(“6 点”)，反 复利用概率的加法公式，我们有 P(“1 点”)＋P(“2 点”) ＋P(“3 点”)＋P(“4 点”)＋P(“5 点”)＋P(“6 点”)＝ P(必然事件)＝1. 所以 P(“1 点”)＝P(“2 点”)＝P(“3 点”)＝P(“4 点”) ＝P(“5 点”)＝P(“6 点”)＝16.
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4
例 1 从字母 a、b、c、d 中任意取出两个不同字母的试验中, 有哪些基本事件?事件“取到字母 a”是哪些基本事件的和? 解 所求的基本事件有 6 个， A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝ {a，d}, D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d}; “取到字母 a”是基本事件 A、B、C 的和，即 A＋B＋C. 小结 基本事件有如下两个特点： (1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
②事件 B 包括 x 的取值为 4,5,6.
③事件 C 包括 x 的取值为 1,2.
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6
探究点二 古典概型 问题 1 抛掷一枚质地均匀的硬币，每个基本事件出现的可能
古典概型1
1、掷一枚质地均匀的硬币的试验，可能 出现几种不同的结果？
正面朝上，正面朝下
2、掷一枚质地均匀的骰子的试验，可 能出现几种不同的结果？
1点，点，点， 5点， 2 3 4点， 6点
像上面的“正面朝上”、 “正面朝 下”；出现“1点”、 “2点”、 “3点”、 “4点”、 “5点”、 “6点”这些随机事 件叫做构成试验结果的基本事件。
例如：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间为：
Ω ＝｛1,2，3,4，5,6｝ 它有6个基本事件
1、连续抛掷两枚硬币，写出所有的 基本事件。
解
2、连续抛掷两枚骰子，共有多少 个基本事件。
6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
共有36个基本事件，每个事件发生 的可能性相等，都是1/36
3、一个袋中装有红、黄、蓝三个大小形状完 全相同的球，（1）从中一次性摸出两个球， 其中可能出现不同色的两个球的结果。
3．豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因 决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的 基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基 因为Dd，若第二子代的基因的遗传是等可 能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基 因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时， 才显现矮茎）．
4(1)掷一颗均匀的骰子，求掷得偶数 点的概率。 (2)掷一颗均匀的骰子，求掷得点数是3 的倍数的概率。
28 45
4、从分别写上数字1, 2，3，…，9的 9张卡片中，任取2张，则取出的两张 卡片上的“两数之和为偶数”的概率 是__________ 4
9
小 结：
1、古典概型
(1)有限性：在随机试验中，其可能出 现的结果有有限个，即只有有限个 不同的基本事件；
(2)等可能性：每个基本事件发生的机 会是均等的。
高中数学古典概型 古典概型常见题型 同步练习(一)北师大版必修3
高中数学古典概型古典概型常见题型同步练习(一)北师大版必修31．随意安排甲、乙、丙3人在三天节日里值班，每人值班一天，请计算：（1）这3人的值班顺序共有多少种不同的安排方法？（2）甲在乙之前的排法有多少种？（3）甲排在乙之前的概率是多少？2．A、b、c、d、e五位同学按任意次序排成一排，试求下列事件的概率：（1）a在边上；（2）a正好在中间；（3）a和b都在边上；（4）a或b在边上；（5）a和b都不在边上。
注意与有顺序排元素问题的区别。
请解决以下3-4题。
3．假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A、C、J、K、S。
她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用。
如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：（1）女孩K得到一个职位；（2）女孩K和S各自得到一个职位；（3）女孩K或S得到一个职位。
4．抛掷两颗骰子，计算：（1）事件“点数之和小于7”的概率P1；（2）事件“点数之和等于或大于11”的概率P2；（3）在点数和里最容易出现的数是几？密码中的数字是允许重复的。
请解决第5题。
5．储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可在0到9这十个数字中选取。
（1）使用储蓄卡时，如果随意按下一个四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率只有多少？（2）某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时如果前三位号码仍按本卡密码，而随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？6．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球。
求：（1）共有多少种不同的结果？（2）摸出2个黑球有多少种不同的结果？（3）摸出2个黑球的概率是多少？7．袋子中装有红、白、黄、黑、大小相同的四个小球。
（1）从中任取一球，求取出白球的概率；（2）从中任取两球，求取出的是红球、白球的概率；（3）先后各取一球，求分别取出的是红球、白球的概率。
8．下表列出了三个游戏规则，从袋中取球，分别计算甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的？（袋中球的数目见表中各游戏）游戏1 游戏2 游戏3 1个红球和1个白球2个红球和2个白球3个红球和1个白球取1个球取1个球，再取1个球取1个球，再取1个球取出的球是红球甲胜取出的两个球同色甲胜取出的两个球同色甲胜取出的球是白球乙胜取出的两个球不同色乙胜取出的两个球不同色乙胜9．在5张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5，将它们混和，然后再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是（）A、0.2B、0.4C、0.6D、0.810．从0到9这十个数中任取两个数（可重复），求这两个数的和等于3的概率。
第一章古典概型
10000
5067
0.5067
可见，掷的次数越多，频率越接近0.5 如上表说明硬币出现正面的概率为0.5。
如何求概率？ 下面我们来讨论下面两种特殊概型.
1、古典概型
要求: (1)只有有限个样本点。有限性 (2) 每个基本事件发生的可能性相同。 等概性
P(A)
事件A中包含的样本点数 样本空间中样本点总数
所以
P ( A) 5 36 P(B) 6 36 1 6
思考：如何是两个骰子同时投，样本空间和事件又会 如何？
复习：排列与组合的基本概念
乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法
加法公式：设完成一件事可有两种途径，第 一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方 法，则完成这件事共有n1+n2种方法。
P ( A) 构 成 事 件 A的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ） 全部结果构成的区域长度（面积或体积）
例1 某人的表停了，他打开收音机听电台报时， 已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于 十分钟的概率.
10分钟
9点
P( A) 10 60 1 6
10点
例 2 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5点之间在某地 会面，先到者等一个小时后即离去.设二人在这段时间内的各时 刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。 解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是
有重复排列：从含有n个元素的集合中随机
抽取k 次，每次取一个，记录其结果
后放回，将记录结果排成一列，
n n n
n
共有nk种排列方式.
无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，
古典概型(一)
古典概型（一）姜灶中学李欣荣【教学目的】（1）理解基本事件、等可能事件等概念；（2）会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．【教学重点】理解古典概型及其概率计算公式【教学难点】古典概型的特征【情感目标】以学生为主体，引导学生积极参与探究古典概率模型及计算，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍求学精神．教学过程：一、设置情境有红心A,2,3和黑桃4,5这5张扑克牌,将其牌点向下置于桌上,现从中任意抽取一张,那么抽到红心A 的概率有多大？抽到的牌为红心的概率有多大?二、探究活动活动一抽一张牌，有多少种不同的结果？活动二从字母,,,a b c d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些不同结果？活动三一枚硬币连续抛掷2次，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”，有哪些不同结果？三、基本概念（1）基本事件活动四掷一枚质地均匀的骰子（其中四个面分别标有1,2,3,4，另两个面标有5）一次的试验中有哪些不同的结果？反思：能否说明一下以上基本事件的共同点是什么？不同点是什么？（2）等可能事件判断下列试验中，哪些试验给出的随机事件是等可能的？（1）投掷一枚质地均匀的硬币，“出现正面”与“出现反面”（2）一只口袋中有三个大小完全相同的小球，其中红、黄、黑球各一个，从中任取一个球，“取出的是红球”、“取出的是黄球”、“取出的是黑球”（3）一只口袋中有四个大小完全相同的小球，其中红球、黄球各一个，黑球两个，从中任取一个球，“取出的是红球”、“取出的是黄球”、“取出的是黑球”（3）古典概型问题：（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？（2）如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？四、公式推导古典概型的概率五、数学运用例1 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．（1）共有多少个基本事件?（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少?（3）摸出的两只球“一白一黑”的概率是多少？六、随堂练习：1．一枚硬币连掷三次，只有一次出现“正面朝上”的概率为．2．某拍卖行拍卖的20幅名画中，有两幅是赝品．某人在这次拍卖中随机买入了1幅画，则买入的这幅画是赝品的概率为．3．某班准备到郊外野营，为此向商店订购了帐篷．如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则淋雨的概率为．4．从1,2,3，…，6这6个数字中任取两个数字．（1）2个数字都是奇数的概率为；（2）2个数字之和为偶数的概率为．5．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”呢?七、布置作业八、课后反思。
25《古典概型(一) 》
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第一章 1.1 课时作业(01)
解析： 从数字 1,2,3 中任取两个不同的数组成的两位数， 共有 6 种不同结果， 即 12,13,21,23,31,32.其中大于 21 的两位数有 3 个，记“这个两位数大于 21”为 3 1 事件 A，则由古典概型的概率公式可知 P(A)＝ ＝ .故选 D. 6 2 答案：D
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第一章 1.1 课时作业(01)
解：(1)从装有 4 个球的口袋内摸出 2 个球，共有 6 种不同结果． (2)若摸出的 2 个是黑球，则有 3 种不同的摸法． 3 1 (3)P＝ ＝ . 6 2
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第一章 1.1 课时作业(01)
状元之路 高中· 新课标A版· 数学· 必修3
传播课堂正能量 唱响课堂好声音
12．假设有 5 个条件很类似的女孩，把她们分别记为 A、C、J、K、S， 她们应聘秘书工作，但只有 3 个秘书职位，因此 5 人中仅有 3 人被录用，如 果 5 个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率． (1)女孩 K 得到一个职位； (2)女孩 K 和 S 各得到一个职位； (3)女孩 K 或 S 得到一个职位．
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第一章 1.1 课时作业(01)
状元之路 高中· 新课标A版· 数学· 必修3
传播课堂正能量 唱响课堂好声音
二、填空题：每小题 5 分，共 15 分． 7．下列试验：(1)种下一粒种子，观察它是否发芽；(2)从规格直径为 250 mm± 0.6 mm 的一批合格产品中任意抽取一件，测量其直径 d；(3)抛一枚硬币， 观察其朝上的一面是正面还是反面；(4)某人射击，中靶或不中靶．则其中是古 典概型的是__________．(填序号)
高中数学必修3 3.2.1古典概型(1)优秀课件
的概率为1
10
解：〔4〕那么根本领件仍为10个，其中取出的两
个球一白一红的的事件包括6个根本领件，所以，
所求事件的概率为
6 3
10 5
变式1.一个口袋内装有大小相同的5个红球和3 个黄球，从中一次摸出两个球。
⑴问共有多少个根本领件；
⑵求摸出两个球都是红球的概率；
n
如果某个事件A包含了其中m个等可能根本 领件，那么事件A的概率 P( A) m
n
例1.(摸球问题〕 一只口袋内装有大小相同的5只球， 其中3只白球，2只红球，从中一次摸出两只球(1)共有 多少根本领件(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？
解: (1)分别记白球1,2,3号，红球为4,5号,从中摸出2只球,
有如下根本领件〔摸到1，2号球用〔1，2〕表示〕：
〔1，2〕〔1，3〕〔1，4〕〔1，5〕
〔2，3〕〔2，4〕〔2，5〕 〔3，4〕〔3，5〕
I
(1,2) (1,3)(2,3)
〔4，5〕 故共有10个根本领件 A
(1,4)(1,5) (2,4)(2,5) (3,4)(3,5) (4,5)
(2)记摸到2只白球的事件为事件A，
2．考察抛硬币的实验，为什么在实验之前 你也可以想到抛一枚硬币，正面向上的概率为1 ?
2
原因:〔1〕抛一枚硬币，可能出现的 结果只有两种；
〔2〕硬币是均匀的，所以出现这两 种结果的可能性是均等的。
3．假设抛掷一枚骰子，它落地时向上的 点数为3的概率是多少？ 为什么？
归纳：
由以上两问题得到，对于某些随机事件，也可 以不通过大量重复实验，而只通过对一次实验中 可能出现的结果的分析来计算概率。
古典概型(一)
（1）假设有20道单选题，如果有一个考生答对了17道题，
（2）在标准化的考试中既有单选题又有不定项选择题，不 定项选择题从A、B、C、D四个选项中选出所有正确
答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，
多选题更难猜对，这是为什么？
我们探讨正确答案的所有结果：
如果只要一个正确答案是对的，则有4种；
如果有两个答案是正确的，则正确答案可以是（ A、 B）（A、C）（A、D）（B、C）(B、D) (C、D)6 种 如果有三个答案是正确的，则正确答案可以是（ A、 B、C） （A、B、D） （A、C、D）（B、C、D） 4种 所有四个都正确，则正确答案只有1种。
正确答案的所有可能结果有4＋6＋4＋1＝15种，从 这15种答案中任选一种的可能性只有1/15，因此更 难猜对。
解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、 选择B、选择C、选择D，即基本事件只有4个，考生随机的选 择一个答案是选择A、B、C、D的可能性是相等的，由古典概 型的概率计算公式得：
P （ “答对” ）= “答对”所包含的基本事件的个数 4
=1/4=0.25
பைடு நூலகம்考：
他是随机选择的可能性大，还是他掌握了一定的知 识的可能性大？ 答：他掌握了一定的知识的可能性较大。
8 9 10
8
9 10 11
9
10 11 12
例3 同时掷两个骰子,计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的点数之和是5的概率是多少？ 解：
（1）掷一个骰子的结果有6种。我们把两个标上记号1、2以 便区分，由于1号骰子 的每一个结果都可与2号骰子的 任意一个结果配对，组成同时掷两个骰子的一个结果， 因此同时掷两个骰子的结果共有36种。 （2）在上面的所有结果中，向上的点数之和为5的结果有 （1，4），（2，3）（3，2）（4，1） 其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号 骰子的结果。 （3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的 结果（记为事件A）有4种，因此， 由古典概型的概率计算公式可得 P（A）=4/36=1/9
高中数学-古典概型(一)
古典概型(一)高中数学 1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．导语 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小．对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率(probability)，事件A的概率用P(A)表示．我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值．能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？一、古典概型的定义问题1 我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？提示 样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等．知识梳理 一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．例1 下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．解 (1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．反思感悟 古典概型需满足两个条件(1)样本点总数有限．(2)各个样本点出现的可能性相等．跟踪训练1 下列问题中是古典概型的是( )A ．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B ．掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率C ．在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D ．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率答案 D解析 A ，B 两项中的样本点的出现不是等可能的；C 项中样本点的个数是无限多个；D 项中样本点的出现是等可能的，且是有限个．故选D.二、古典概型概率的计算问题2 在掷骰子的试验中，记A 事件为“点数为偶数”，A 事件包含哪些样本点？A 事件发生的概率是多少？提示 A ＝{2,4,6}．对于抛掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A 1，A 2，…，A 6，记事件“出现偶数点”为B ，则P (A 1)＝P (A 2)＝…＝P (A 6)，又P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A 6)＝P (必然事件)＝1，所以P (A 1)＝P (A 2)＝…＝P (A 6)＝，P (B )＝＝.163612知识梳理 一般地，设试验E 是古典概型，样本空间Ω包含n 个样本点，事件A 包含其中的k 个样本点，则定义事件A 的概率P (A )＝＝.kn n (A )n (Ω)例2 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：(1)样本空间的样本点的总数n ；(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；(3)摸出2个黑球的概率．解 由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共有6个样本点，所以n ＝6.(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共有3个样本点．(3)样本点总数n ＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m ＝3，故P ＝＝，即摸出36122个黑球的概率为.12反思感悟 利用古典概型概率计算公式计算概率的步骤(1)确定样本空间的样本点的总数n .(2)确定所求事件A 包含的样本点的个数m .(3)P (A )＝.mn 跟踪训练2 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________．答案 23解析 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝＝.4623三、较复杂的古典概型的概率计算例3 先后抛掷两枚质地均匀的骰子．(1)求点数之和为7的概率；(2)求掷出两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率．解 如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36个，且每个样本点出现的可能性相等．(1)记“点数之和为7”为事件A ，从图中可以看出，事件A 包含的样本点共有6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P (A )＝＝.63616(2)记“掷出两个4点”为事件B ，从图中可以看出，事件B 包含的样本点只有1个，即(4,4)．故P (B )＝.136(3)记“点数之和能被3整除”为事件C ，则事件C 包含的样本点共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P (C )＝＝.123613反思感悟 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便．跟踪训练3 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率．解 (1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共15个．所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，共3个，则所求事件的概率为P ＝＝.31515(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，共9个．包括A 1但不包括B 1的事件所包含的样本点有(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，共2个，则所求事件的概率为P ＝.291．知识清单：(1)古典概型．(2)古典概型的概率公式．2．方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数．3．常见误区：在列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏．1．(多选)下列试验是古典概型的是( )A ．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率B ．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率C ．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率D ．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率答案 BD解析 A 不是等可能事件，C 不满足有限性．2．在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是( )A ．0.02 B ．0.05C ．0.1 D ．0.9答案 C解析 由题意知，该题是一个古典概型，因为在50瓶牛奶中任取1瓶有50种不同的取法，取到已过保质期的牛奶有5种不同的取法，根据古典概型公式求得概率是＝0.1.故选C.5503．将一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数的概率为________．答案 736解析 将一枚骰子投掷两次，样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等，其中“将一枚骰子投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数”所包含的样本点有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(5,5)，(6,4)，(4,6)，共7个，故“将一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数”的概率为.7364．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________．答案 0.2解析 两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的样本点有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等，所以P ＝＝0.2.210课时对点练1．下列是古典概型的是( )A ．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B ．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点C ．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率D ．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点答案 C解析 A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A 不是；B 项中的样本点的个数是无限的，故B 不是；C 项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C 是古典概型；D 项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D 不是．2．一个家庭有两个小孩，则所有可能的样本点有( )A ．(男，女)，(男，男)，(女，女)B ．(男，女)，(女，男)C ．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D ．(男，男)，(女，女)答案 C解析 两个孩子出生有先后之分．3．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为( )A. B. C. D.153103512答案 B解析 样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为.3104．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )A. B. C. D.16121323答案 C解析 样本点有：(甲，乙，丙)、(甲，丙，乙)、(乙，甲，丙)、(乙，丙，甲)、(丙，甲，乙)、(丙，乙，甲)，共6个．甲站在中间的样本点包括：(乙，甲，丙)、(丙，甲，乙)，共2个，所以甲站在中间的概率P ＝＝.26135．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A. B. C. D.13122334答案 C解析 试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，数字之和为奇数的有4个样本点，所以所求概率为.236．(多选)投掷一枚质地均匀的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解，其中正确的有( )A ．“出现点数为奇数”的概率等于“出现点数为偶数”的概率B ．只要连掷6次，一定会“出现1点”C ．投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大D ．连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19答案 AD解析 掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是，故A 正确；“出现1点”是随12机事件，故B 错误；概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故C 错误；连续掷3次，若每次都出现最大点数6，则三次之和为18，故D 正确．7．在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．答案 14解析 用列举法知，可重复地选取两个数共有16个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，其中一个数是另一个数的2倍的有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)共4个样本点，故所求的概率为＝.416148．从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是________．若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是________．答案 310425解析 从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等．因为都为奇数的样本点有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，所以所求概率P ＝.从5个数字中有放回的任取两数，310样本点共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，都为偶数的样本点有(2,4)，(4,2)，(2,2)，(4,4)共4个，故概率P ＝.4259．袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其它球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A ：“摸到白球”，B ：“摸到黑球”，C ：“摸到红球”．因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为.111因为白球有5个，所以一次摸球摸中白球的可能性为.511同理可知，摸中黑球、红球的可能性均为.311显然这三个样本点出现的可能性不相等，所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型．10．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．(1)共有多少个样本点？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？解 (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1,2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．因此，共有10个样本点．(2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A )，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P (A )＝.故摸出2只球都是白球的概率为.31031011．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )A. B. C. D.12131425答案 A解析 把2个红球分别标记为红1、红2,2个白球分别标记为白1、白2，本试验样本空间所包含的样本点共有16个，其中取出的2个球同色包含的样本点有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)．故所求概率P ＝＝.8161212．从集合A ＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )A. B. C. D.29134959答案 A解析 直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限，即Error!选取出的两个数记为(k ，b )，则该试验的样本空间Ω＝{(－1，－2)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2,1)，(2,2)}，共9个样本点，符合题意的有(－1,1)，(－1,2)，共2个样本点，所以所求概率为.2913．每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者5名，其中男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为( )A. B. 3525C. D.15310答案 B解析 设3名男生分别用A ，B ，C 表示，2名女生分别用a ，b 表示，则从5人中选出2名青年志愿者的样本空间Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(A ，a )，(A ，b )，(B ，C )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )}，共有10个样本点，其中选出的2名志愿者性别相同包含的样本点有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(a ，b )，共有4个，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率P ＝＝.4102514．一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m 和n ，则关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋4＝0无实数根的概率是________．答案 112解析 总的样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等．因为方程无实根，所以Δ＝(m ＋n )2－16<0.即m ＋n <4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个样本点．所以所求概率为＝.33611215．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A. B. C. D.192971849答案 D解析 记“|a －b |≤1”为事件A ，由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则事件A 包含的样本点有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个，而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等．因此他们“心有灵犀”的概率P ＝＝.16364916．某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A 1，A 2，乙校教师记为B 1，B 2，丙校教师记为C ，丁校教师记为D .现从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名．(1)请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部样本点；(2)求教师A 1被选中的概率；(3)求宣讲团中没有乙校教师代表的概率．解 (1)从6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，组成人员的全部样本点有12个，分别为：(A 1，B 1，C )，(A 1，B 1，D )，(A 1，B 2，C )，(A 1，B 2，D )，(A 1，C ，D )，(A 2，B 1，C )，(A 2，B 1，D )，(A 2，B 2，C )，(A 2，B 2，D )，(A 2，C ，D )，(B 1，C ，D )，(B 2，C ，D )．(2)组成人员的全部样本点中，A 1被选中的样本点有(A 1，B 1，C )，(A 1，B 1，D )，(A 1，B 2，C )，(A 1，B 2，D )，(A 1，C ，D )，共5个，所以教师A 1被选中的概率为P ＝.512(3)宣讲团中没有乙校教师代表的样本点有(A 1，C ，D )，(A 2，C ，D )，共2个，所以宣讲团中没有乙校教师代表的概率为P ＝＝.21216。
古典概型(1)
共有28个等可能事件
（6，7）、（6，8）
（7，8） 1 28
例5（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球， 从中一次摸出两个球。
⑵求摸出两个球都是红球的概率； 设“摸出两个球都是红球”为事件A 则A中包含的基本事件有10个， 因此 P ( A)
m 10 5 n 28 14
第二次抛掷后向上的点数
点数之和是3的倍数的可能结果有多少种？
例4：甲、乙两人作出拳游戏(锤子、剪刀、布)，求： （1）平局的概率； （2）甲赢的概率； （3）乙赢的概率.
解：记甲出锤子、剪刀、布分别为a,b,c；乙出锤子、剪刀、布分 别为1,2,3，甲、乙两人作出拳游戏有(a,1) 、(a,2) 、 (a,3) 、 (b,1) 、 (b,2) 、 (b,3) 、 (c,1) 、 (c,2) 、 (c,3) ．
甲有3种不同的出拳方法，每一种出发是等可能的，乙同样 有3种不同的出拳方法。一次出拳游戏有9种不同的结果，所以基 本事件的总数是9． 设“平局”为事件A；“甲赢”为事件B；“乙赢”为事件C， 1 则事件A、B、C分别含3个基本事件，则P(A)=P(B)=P(C)= 3
练习： （1）一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率为_________.
例5（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球， 从中一次摸出两个球。 ⑶求摸出的两个球都是黄球的概率；
设“摸出的两个球都是黄球” 为事件B， 则事件B中包含的基本事件有3个， 故 P ( B )
m 3 n 28
（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8） （2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）
古典概型(一)
五、课后作业
课本 130 页：1,2,3
六、自助餐
1.一个口袋内装有大小相等的 1 个白球和已有不同编号的三个黑球，从中任意摸出 2 个球． (1)共有多少个不同的基本事件，这样的基本事件是否为等可能的？该试验是古典概型吗？ (2)摸出的两个球ห้องสมุดไป่ตู้是黑球记为事件 A，问事件 A 包含几个基本事件？ (3)计算事件 A 的概率． 2.一个口袋中有大小相等的 5 个白球和 3 个黑球，从中有放回地取出一球，共取两次，试用随机模 拟法求取出的球都是白球的概率估计．
夏邑高中导学案
高一数学必修 3 第
章
编写：
校审：
日期
2012 年
月
日
班级：
姓名：
课题
一、学习目标
古典概型（一）
理解并掌握古典概型的特征和古典概型的定义，能根据已有知识列举基本事件， 计算简单的古典概型的概率. 重点：古典概型的特征和简单的古典概型的概率计算. 难点：根据古典概型的特征对古典概型的判断..
练 2. 2．盒中有 10 个铁钉，其中 8 个是合格的，2 个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概 率是 A．
1 5
B．
1 4
C．
4 5
D．
1 10
三、总结提升 （1） 学习小结 1.古典概型的定义. 2.古典概型计算事件的概率计算公式. 四、学习评价 （1） 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 （2） 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 下列对古典概型的说法中正确的是( ) ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事 k 件出现的可能性相等；④若基本事件总数为 n，随机事件 A 包含 k 个基本事件，则 P(A)＝ . n A．②④ B．①③④
古典概型(1)
归纳总结
由以上两问题得到，对于某些随机事件， 由以上两问题得到，对于某些随机事件，也可以不 通过大量重复实验，而只通过对一次实验中可能出现的 通过大量重复实验， 结果的分析来计算概率。 结果的分析来计算概率。 那么，对于哪些随机事件， 那么，对于哪些随机事件，我们可以通过分析其 结果而求其概率？ 结果而求其概率？
必然事件的概率为： 必然事件的概率为：1 不可能事件的概率为： 不可能事件的概率为：0
数学建构
一般地 , 如果随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m 次,当试验的次数 n 很大时 , 我们可以将事件 m A 发生的频率 作为事件 A 发生的概率的近 n 似 值, 即 为 P A） （ m P( A) ≈ . n
随机事件的概率
如何确定一个随机事件的概率呢？ 如何确定一个随机事件的概率呢？
数学建构
思考1 在相同的条件S下重复n次试验，若某一事件A 思考1：在相同的条件S下重复n次试验，若某一事件A出 现的次数为m 则称m为事件A出现的频数，那么事件A 现的次数为m，则称m为事件A出现的频数，那么事件A出 现的频率f (A)等于什么 频率的取值范围是什么？ 等于什么？ 现的频率fn(A)等于什么？频率的取值范围是什么？
知识回顾
4.如何确定一个随机事件发生的概率呢？ 如何确定一个随机事件发生的概率呢？ 如何确定一个随机事件发生的概率呢 在相同的条件下进行大量的重复试验，随机事件 在相同的条件下进行大量的重复试验， A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，这 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定， 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定 个常数就是随机事件A发生的可能性大小 即概率。 发生的可能性大小， 个常数就是随机事件 发生的可能性大小，即概率。
3.2古典概型(第一课时)课时作业2
3.2古典概型（第一课时）课时作业2A级巩固基础一、单选题1．下列试验中,属于古典概型的是( )A．从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率B．从规格直径为2500.6mm的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径dC．抛一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止D．某人射击一次,求射中环数的概率2．下列试验是古典概型的为（）①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙两人相邻的概率.A．①②B．②④C．①②④D．③④3．从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（）A．所取的3个球中至少有一个白球B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C．所取的3个球都是黑球D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球4．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品．从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.75，“抽到二等品”的概率为0.2，则“抽到不合格品”的概率为（）A．0.05 B．0.25 C．0.8 D．0.955．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球32个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（）A．0.32 B．0.45 C．0.64 D．0.676．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( )A．17B．27C．13D．18357．某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，命中6环、7环、8环、9环、10环的概率依次为0.10，0.20，0.30，0.15，0.05，则该人射击命中的概率为（）A．0.50 B．0.60 C．0.70 D．0.808．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20, 0.30, 0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（）A．0.30 B．0.40 C．0.60 D．0.90B级综合应用9．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，2件都是合格品的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.610．《孙子算经》中有如下问题：“今有六万口，上口三万人，日食九升；中口二万人，日食七升；下口一万人，日食五升.问：上、中、下口，共食几何？”翻译为：“今有6万人，其中，大胃口的有3万人，每人每天要吃9升粮食；中胃口的有2万人，每人每天要吃7升粮食；有1万人，每人每天要吃5升粮食.问：大胃口、中胃口、小胃口的人，一天一共要吃多少粮食？”基于上述问题，现有如下命题：①中胃口的人每日吃的粮食总量比小胃口的人每日吃的粮食总量多9万升；②小胃口的人每日吃的粮食总量占每日被吃粮食总量的5 46；③大胃口的人每日吃的粮食总量不足每日被吃粮食总量的一半.则上述说法正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题11．从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为___________(用数字作答).12．袋中装有质地､大小完全相同的5个球，其中红球2个，黑球3个，现从中任取一球，则取出黑球的概率为_______.13．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是15，则乙获胜的概率是_________．14．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率_____．C 级 拓展探究三、解答题15．甲、乙两个学习小组各有7名同学，在某次数学测试中，测试成绩的茎叶图如图所示.（1）求甲组同学成绩的中位数和乙组同学成绩的众数；（2）从这次测试成绩在90分以上的学生中，随机抽取1名学生，求抽到的这名学生来自甲组的概率.16．已知向量()2,1a =-，(),b x y =．（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足1a b ⋅=-的概率；（2）若x ，y 在连续区间[1,6] 上取值，求满足0a b ⋅<的概率．参考答案1．A【分析】根据古典概型的特点，逐项判断，即可得出结果.【详解】古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等.A选项，只有n个等可能的结果，因此是古典概型；B选项，基本事件的个数有无限多个，所以不是古典概型；C选项，抛掷次数可能取值有无限多，所以不是古典概型；D选项，射击命中环数的概率一般不相等，所以不是古典概型.故选：A.【点睛】本题主要考查古典概型的判断，熟记古典概型的特点即可，属于基础题型.2．C【分析】根据古典概型中基本事件的个数是有限的，且每个基本事件等可能这两个特点逐一判断，即可得出结论.【详解】①②④中的基本事件都是有限个，且每个基本事件都是等可能的，符合古典概型的定义和特点；③不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响.故选：C.【点睛】本题考查古典概型的判断，理解古典概型的两个特点是判断的关键，属于基础题.3．B【分析】根据互斥事件的定义即可判断．【详解】将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑.事件A包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥事件的定义可知，只有事件“所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件A 互斥．故选：B ．4．A【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可求解.【详解】“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.750.20.95+=，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为10.950.05-=.故选：A ．5．B【分析】根据白球的概率可求得白球数，用总数减去红球与白球数即可求出对应的概率【详解】由题可知，白球数为：1000.2323⨯=个，则黑球数为100-32-23=45个，对应黑球概率为：450.45100P == 故选：B【点睛】本题考查概率公式的应用，属于基础题6．A【分析】 利用A n P n=计算即可，其中A n 表示事件A 所包含的基本事件个数，n 为基本事件总数. 【详解】从7本作业本中任取两本共有27C 种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有23C 种不同结果， 由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为232717C C =. 故选：A.【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.7．D【分析】某人射击命中的对立事件是脱靶，根据对立事件概率，即可求解,【详解】∵某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，∴该人射击命中的概率10.200.80P =-=.故选:D .【点睛】本题考查应用对立事件求概率，属于基础题》8．B【分析】先求出此射手在一次射击中大于等于8环的概率，即可求出结果.【详解】记“此射手在一次射击中大于等于8环”为事件A ，由题意可得()0.200.300.100.60P A =++=，所以，此射手在一次射击中不够8环的概率为()10.40P P A =-=.故选B【点睛】本题主要考查对立事件，熟记对立事件的性质即可，属于基础题型.9．A【分析】本题先列出所有的基本事件共10种，再列出目标任务的基本事件共3种，最后求概率即可.【详解】解：设5件产品中2件次品为1B 、2B ，剩下的3件合格品为1A 、2A 、3A ，任取2件产品的基本事件为：12B B 、11B A 、12B A 、13B A 、21B A 、22B A 、23B A 、12A A 、13A A 、23A A ，共10种，其中2件都是合格品的基本事件为：12A A 、13A A 、23A A ，共3种.所以2件都是合格品的概率为：30.3 10=.故选：A.【点睛】本题考查利用古典概型求概率，是基础题.10．C【分析】根据题目对每一项进行分析，可以直接判断正确与否.【详解】中胃口的人每日吃的粮食总量为14万升，小胃口的人每日吃的粮食总量为5万升，故中胃口的人每日吃的粮食总量比小胃口的人每日吃的粮食总量多9万升，故①正确；小胃口的人每日吃的粮食总量为5万升，所有人每日吃的粮食总量为46万升，故小胃口的人每日吃的粮食占每日被吃粮食总量的话，故②正确；大胃口的人每日吃的粮食总量超过每日被吃粮食总量的一半，故③错误.故选：C.【点睛】本题考查数学文化统计，考查的核心素养是数据分析、数学建模，试题难度平稳，属于中档题.数学文化相关的题通常题干篇幅较长，但部分内容为背景介绍，与解题没有直接联系，有的甚至涉及学生未知的跨学科知识，在考场上对学生的心理造成了一定的压力考生要善于排除无关内容的干扰，提炼有用的核心信息，这类题就不难解决.11．1 6【分析】先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲､乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.【详解】解：从4名同学中选2名同学共有24436 21C⨯==⨯种,甲､乙两人都没有被选到有1种，∴甲､乙两人都没有被选到的概率为1 6 .12．3 5【分析】根据古典该概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，袋中装有质地､大小完全相同的5个球，其中红球2个，黑球3个，现从中任取一球，基本事件的个数为5个，其中摸出一球时黑球的个数为3个，根据古典概型的概率公式，可得从中任取一球，则取出黑球的概率为35P=，故答案为：3 5 .13．3 10【分析】根据事件“乙获胜”与事件“两人下和棋或甲获胜”互为对立事件，由对立事件的性质得出答案. 【详解】因为事件“乙获胜”与事件“两人下和棋或甲获胜”互为对立事件，所以乙获胜的概率11315210--=．故答案为：3 1014．3 8【分析】先算任取一卦的所有等可能的结果，再计算恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】任取一卦的所有可能的结果有8卦，其中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件有3卦，所以恰有2根阳线和1根阴线的概率为38P=，故答案为：3 815．（1）甲组成绩的中位数为85，乙组成绩的众数82；（2）2 5 .【分析】（1）根据茎叶图中的数据可甲组成绩的中位数和乙组成绩的众数.（2）利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】（1）甲组共有7名学生的成绩，其中位数为85.乙组成绩中，82出现次数最多，故众数为82.（2）90分以上的学生共计5人，其中来自甲组有2人，设A 为“随机抽取1名学生，求抽到的这名学生来自甲组”，则()25P A =. 16．（1）112 ；（2）2125 . 【分析】（1）根据题意得出基本事件总数和满足1a b ⋅=-包含的基本事件个数，根据古典概型求解；（2）列出不等式组，作出满足条件的区域，利用几何概型求解概率.【详解】(1) ,x y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，有序数对(),x y 可能情况有36种，1a b ⋅=-即21x y -+=-，包含的情况有()()()1,1,2,3,3,5三种，所以满足1a b ⋅=-的概率为313612=； (2)若x ，y 在连续区间[1,6] 上取值，则全部基本事件的结果为(){},16,16Ω=≤≤≤≤x y x y .满足0a b ⋅<的基本事件的结果为()16,1620⎧⎫≤≤⎧⎪⎪⎪=≤≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-+<⎩⎩⎭x A x y y x y ．画出图象如图所示，矩形的面积为=25矩形S ，阴影部分的面积为1=25-24=212⨯⨯阴影S，故满足0a b⋅<的概率为2125.答案第7页，总7页。
古典概型试题(含答案)1
一、选择题1、下列事件中，随机事件是( )A、连续两年的国庆节都是星期日B、国庆节恰为星期日C、相邻两年的国庆节，星期几不相同D、国庆节一定不在星期日2、抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于( )A、B、C、D、3、100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽到6件：至少有1件正品；至少有3件是次品；6件都是次品；有2件次品、4件正品、以上四个事件中，随机事件的个数是( )A、3B、4C、2D、14、下列正确的结论是( )A、事件A的概率P(A)的值满足0＜P(A)＜1B、如P(A)＝0、999、则A为必然事件C、灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为99%、D、如P(A)＝0、001、则A为不可能事件5、下列试验能构成事件的是( )A、掷一次硬币B、射击一次C、标准大气压下，水烧至100℃D、摸彩票中头奖6、已知某人在某种条件下射击命中的概率是，他连续射击两次，其中恰有一次射中的概率是( )A、B、C、D、7、掷一枚骰子三次，所得点数之和为10的概率是( )A、B、C、D、二、填空题8、甲、乙、丙、丁四人中选3人当代表,写出所有基本事件,并求甲被选上的概率9、一箱内有十张标有0到9的卡片,从中任取一张,则取到卡片上的数字不小于6的概率是多少?10、9支球队中，有5支亚洲队，4支非洲队，从中任意抽2队进行比赛，则两洲各有一队的概率是.11、从1，2，3，……，9九个数字中任取两个数字.两个数字都是奇数的概率是；两个数字之和为偶数的概率是；两个数字之积为偶数的概率是.12、从0，1，2，3，4，5中任取3个组成没有重复数字的三位数，这个三位数是5的倍数的概率等于 .三、解答题13、在100000张奖券中设有10个一等奖，100个二等奖，300个三等奖、从中买一张奖券，那么此人中奖的概率是多少?14、某城市的电话号码由五个数字组成，每个数字可以是从0到9这十个数字中的任一个，计算电放号码由五个不同数字组成的概率、15、甲、乙二人参加知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题、①甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?②甲、乙二人中至少有一个抽到选择题的概率是多少?参考答案一、选择题1、B2、C3、C4、C5、D6、C7、 B二、填空题8、9、10、11、，，12、0.3三、解答题13、答：P＝＝14、解：根据题意，由五个数字组成的电话号码中的每个数字可以是由0到9这十个数字中的任一个，因此所有不同的电话号码的种数为105、另外，其中由五个不同数字组成的电话号码的个数，就是从这10个数字中任取5个出来进行排列的种数A105，因此所求的概率P＝＝15、解：①甲从选择题中抽到一题的可能结果有C61个，乙从判断题中抽到一题的可能结果有C41个，又甲、乙依次抽一题的结果共有C101·C91个，所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是：＝②甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1-＝、所求概率为或：++＝++＝，所求概率为。
古典概型的应用(1)课件高一上学期数学北师大版(1)
✓ 随机试验 ✓ 基本事件10000种 ✓ 结果等可能
分析以下各问题，尝试得出结论．
（2）一个暗等奖、二等奖、三等奖.
现在请10个人无放回地 抽取奖品，请问中奖机会与 先后顺序有关吗？
（1）取出的书不成套； （2）取出的书均为上册； （3）取出的书上、下册各一本，但不成套.
古典概型
设取出第一套书的上、下册分别记为A1，A2， 取出第二套书的上、下册分别记为B1，B2， 取出第三套书的上、下册分别记为C1，C2.
（1）设事件A表示“取出的书不成套”，则
样本空间Q={A1A2，A1B1，A1C1，A1C2， A1B2，A2B1， A2C1，A2C2，A2B2，B1B2， B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2}
实际问题
不同角度
不同的古典概型
袋中有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任意摸出2个， 求至少摸出1个黑球的概率.
同时抛掷两枚均匀的骰子，求： （1）“掷出的点数之和为6”的概率； （2）“至少有一个点数是5或6”的概率.
古典概型的基本特征：（1）有限性；（2）等可能性．
运用古典概型求概率的主要步骤 （1）根据问题情境判断是否为古典概型； （2）用列举法写出试验所对应的样本空间； （3）利用古典概型的概率公式计算概率．
无关
分析以下各问题，尝试得出结论．
（3）生物学上已经证明：决定眼皮单双的基因有 两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基 因（记为b）；基因总是成对出现（如BB，bB，Bb， bb），而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么 这个人就一定是双眼皮.
古典概型(1课时)(2021年)
古典概型栏目一：知识要点一、知识清单1．基本事件的特点（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等．3．古典概型的概率公式（1）如果一次试验中可能出现的结果有个，每一个结果称为 基本事件 ，若在一次试n 验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为 等可能事件 ，每个基本事件发生的概率为。
n1（2）如果某个事件含有个结果，那么事件发生的概率为。
A m A =)(A P n m 即. ()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数二、方法清单 求古典概型概率的步骤（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，设出所求事件；A （2）分别列举出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数;n A m （3）利用公式求出事件的概率． ()m P A n=A 【说明】并不是所有的试验都是古典概型．例如，在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否“发芽”，这个试验的基本事件空间为{发芽，不发芽}，而“发芽”与 “不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的．三、教材挖掘在本阶段的学习中，要解决两个问题．第一，对实验产生的一切可能的结果进行分类，抽象出基本事件．要注意两点，一是使得任何两个基本事件互斥，二是使得任何非不可能事件都表示成两个或两个基本事件的和．第二，讨论事件的概率，首先要判断事件A 的概率模型是不是古典概型，这要通过有限性和等可能性来鉴别；其次是确定基本事件A的总数与基本事件包含的基本事件的个数；最后代入公式． n A m ()m P A n栏目二：课前基础自测1.甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 （ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】 D2.从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是（ ）A ．34B ．14C ． 23D ．12【答案】 D3.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．【答案】 0.754．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为.【答案】 0.2 栏目三：重难点突破高频考点1 古典概型的概率求法例1．（2011浙江）一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．(1)求摸出1个球是白球的概率；(2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）； (3)现再将个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为57，求的值． n n 【分析】本题（1）问摸一球，每一个球都可能被摸到。
3.2.1古典概型
P( A)
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
解：（1）基本事件：红，白，黄，黑.
(2)基本事件：（红，白）（红，黄）（黄，黑）（白， 黄） （白，黑）（红，黑）
（3）基本事件：（红白）（白红）（红黄）（黄红） （红黑）（黑红）（黄黑）（黑黄）（黄白）（白黄）（白黑） （黑白）
训练1.随意安排甲、乙、̖丙三人在3 天节日中值班，每人值班1天. （1）写出所有基本事件； （2）其中甲在乙之前值班的基本事 件有多少个？
彼此互斥
（2）基本事件的特点： ①任何两个基本事件是 互斥的； ②任何事件（除不可能事件）都可以表示 成基本事件的 和 .
3.(1)在1中的两个试验有何共同特点？甲、 乙、̖丙三人站成一排，甲站中间的概率是什 么？
①可能出现的基本事件是有限的
②且每个基本事件出现的可能性相等
（2）具有以下两个特点的概率模型称为古典概 率模型，简称古典概型：
四.课堂练习
1.抛掷一枚骰子，出现偶数的基本事个数为
（ C）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.下列试验中，为古典概型的是（C ）
A.种下一粒种子，观察它是否发芽
B.从规格质量为50（±0.2）千克的产品中任意抽
取一袋，检测其是否合格
C.抛掷一枚硬币，观察其出现正面还是反面
D.某人射击中靶或不中靶
3.从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数，则其和
(2,3,5) (2,4,5) (3,4,5)
(1)因为事件A={(2,3,4)},所以A包含的事件的个数 为1.所以P（A）= 1
(2)因为事件B={（1,2,13）0 （1,2,4）（1,2,5）（1,3,4） (1,3,5) (1,4,5) (2,3,5) (2,4,5) (3,4,5)} 所以B包含 的基本事件的个数为9， 所以P（B）= 9
古典概型的几类基本问题(1)
古典概型中的几类基本问题1 引言对于古典概型问题的求解，首先要做到这三方面的工作67]1[：一是明确分辨问题的性质，即是不是古典概型问题；二是掌握古典概型的公式；三是根据公式要求，确定n （基本事件总数）和k （有利事件总数）的值17]2[，这是解题的关键一步，计算方法灵活多变，没有一个固定的模式，但古典概型的种种解法大体上都是围绕n 和k 展开的．抛硬币、掷骰子、摸球、取数等随机试验，在概率问题的研究中有着十分重要的意义．一方面，这些模型是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型，它们的内容生动形象，结构清楚明确，富有直观性和典型性，便于深入浅出地反映事物的本质，揭示事物的规律．另一方面，这种模式化的解决，常常归结为某种简单的模型．因此，有目的地考察并掌握若干常见的概率模型，有助于我们举一反三，触类旁通，丰富解题的技能和技巧，不断提高解题能力．通过对相关资料的查询及老师的指导，本文主要讨论古典概率的三类基本问题：摸球问题、质点入盒问题、随机取数问题，给出它们的一般解法，指出其典型意义，并介绍其推广应用．2 摸球模型摸球模型是指从n 个可分辨的球中按照不同的要求（例如是否放回、是否计序等）一个一个地从中取出m （n m ≤）个，从而得到不同的样本空间，然后在各自的样本空间中计算事件的概率．一般说来，根据摸球的方式不同，可分为四种情况来讨论，得如下表一的四种不同的样本空间26]3[：表一其中mn m m n H C =-+1表示从n 个不同元素中取m 个元素进行元素的可重复的组合时其不同的组合个数，对各种情况先举例及推广应用：如果摸球是从n 个可分辨的球按有放回且计序的方式一个一个地从中取出m 个，这时样本空间的基本事件，总数应按相异元素允许重复的排列公式计算，因而有mn 个,此种情形是我们经常遇到的，下面来看个例子．例1 用1、2两个数字组成3个数，组成多少个数？思考方法 在数字排序的问题中，百位、十位、个位这三个位置上必须找出一个数字，至于每个是否均有位置，则不作要求，所以这是个有放回且计序的摸球问题，从而在各个位置上可以是1、2的任一个．依乘法原理不同的组合数有823==mn个．2.2 有放回且无计序摸球从n 个相异元素每次取出允许重复的m 个元素，不计次序并成一组，叫做从n 个相异元素允许重复的m 元组合，其所有组合的个数为mn m m n H C =-+1，通过下面的这个例子我们也可以看出它的典型性．例2 匣内装颜色分别为红、白、黑的三个球，有放回不按序选取，问匣内任取两个不同颜色的球的概率为多少？思考方法 作为有放回不按序摸球问题，设A 表示从匣内有放回不计序选取两个不同颜色的球的事件．由题设可知，样本空间的基本事件总数为624212323===-+C C H ，事件A 所含的基本事件数为323=C ,故所求概率为21)(2323==H C A P ．2.3 无放回且计序摸球如果摸球是无放回且计序摸球，这时样本空间的基本事件总数等于从n 个不同元素中取出m 个元素的所有不同排列的个数为mn A ，或是n 个互异元素的全排列!n P n =，这种情形也是摸球模型的重要类型．例3 袋中有α个白球，β个黑球，从中陆续取出)3(3βα+≤个球，求这3个球依次为黑白黑的概率．思考方法 每一个样本点对应着βα+个球中依次取出三个球的一种取法，需要考虑先后顺序，属于排列问题．用A 表示事件“取出3个球依次为黑白黑”，从βα+个球中依次任取三个，有3βα+P 种取法，此即样本点总数．对于有利事件，第一个和第三个黑球可在β个黑球中依次取得，有2βP 种取法；第二个白球可在α个白球中取得，有1αP 种取法．因此，A 所包含的样本点总数为12αβP P ，于是312)(φααβ+=P P P A P ．如果摸球是无放回且不计序，其样本空间的基本事件总数是从不同元素中取出若干个元素的所有不同的组合个数．例4 袋中有α个白球，β个黑球，问：从中不放回取出n m +（βα≤≤∈n m N n m ，，、）个球，试求所取出的球恰有m 个白球的概率．思考方法：这些同类球都不加区别，即不计序，又抽取后部返回，因而本例属无放回且不计序的摸球模型，其基本事件总数为nm C ++βα，此事件A 为“取出n m +个球中恰有m 个白球”，而事件A 所包含的样本点数，相当于从α个白球中取出m 个，从另外m -+βα个球中任取n 个取法种数共n m m C C -+βαα，所以nm nmm CC C A P ++-+=βαβαα)(．前面我们对摸球模型的各种类型进行了归纳，如果把白球、黑球换成产品中的正品、次品，或换成甲物、乙物，这样的人、那样的人……就可以得到形形色色的摸球问题．如果能灵活地将这些实际问题与前面的模型类型对号入座，我们就能解决有关的实际问题，为我们的生活带来方便和乐趣，例如灯泡厂检验合格率等这些产品抽样问题；还有可以把全班学生分成两组，求每组中男女生人数相对等的概率；从一副扑克牌中任取6张，求得3张红色的和3张黑色的概率；在安排值班的问题中，也可以按照无放回模型进行分析；在买彩票的过程中，可以把双色球、D 3、36选7等玩法的中奖概率求出，增加自己中奖机会．这样不仅把古典概率的知识应用在了生活中，给生活带来方便，同时也使数学给自己带来了乐趣，激发了对数学应用的动力．3 质点入盒模型该模型是指有n 个可分辨的盒子，m （n m <）个质点，按照质点是否可分辨，每盒可容纳质点的多少等不同情况，把m 个质点放入n 个可分辨的盒子，从而形成不同的样本空间，然后在各自样本空间计算事件的概率，与摸球模型类似，这里也可分四种情况讨论，清晰地可见这种模型的具体分类情况，如表二)37(]3[p ：表二3.1 每盒能容纳任意多个质点且质点可分辨质点需要分辨的问题就是排列问题，盒子能容纳任意多个质点的问题就是重复排列问题． 例1 有5个不同的质点，每个都同样以101的概率落入10个盒子，事件A ={指定的一个盒子中恰有3个质点}的概率．思考方法：由题意知，盒子容纳质点的数目不限，又质点可分辨，故为重复排列问题，其基本事件总数为510=m n ．在指定的一个盒子中恰有3个质点，共有35C 种选法，余下的2个质点可任意放入余下的9个盒中，共有29种不同选法，因而事件A 所包含的基本事件总数为3529C ，故所求概率为008.010*******109)(5352===C A P ． 3.2 每盒可容纳任意多个质点且质点不需分辨m 个质点随机进入n 个盒中，质点不需分辨属组合问题，又每盒能容纳任意多个质点，该组合为元素允许重复的组合，样本空间中含有m n m m n H C =-+1个样本点，即其基本事件总数为mm n C 1-+．例2 将例1中“5个不同的质点”换为“5个相同的质点”．思考方法：质点不需分辨属组合问题，又每个盒子容纳的质点不限，故该组合为元素可重复的组合，其基本事件总数为200251451510510===-+C C H ，因3个质点有35C 种选法，其余两质点可能落入两个盒中，有29C 种选法；也可能落入一个盒中，有19C种选法，故有224.0)()(514192935=+=C C C C A P ． 3.3 每盒最多可容纳一质点且质点需分辨 这样的问题是属于元素不允许重复的排列问题． 例3 将3个不同质点投入5个盒中，每个质点都以51的概率进入每一个盒中，且限定每盒最多只容纳一质点，求：事件A ={指定的一个盒子为空}的概率．思考方法 因质点互异，且每盒最多只容纳一质点，故属元素不允许重复的排列问题，因而其基本事件总数为6035=A ，事件A 所含的基本事件为2434=A ，故4.06024)(35434===A A A P ．3.4 每盒最多只容纳一质点且质点不需分辨 例4 将将3个相同质点投入5个盒中，每个质点都以51的概率进入每一个盒中，且限定每盒最多只容纳一质点，求：事件A ={指定的一个盒子为空}的概率．思考方法：质点不需分辨，属组合问题，又每盒最多只容纳一个质点，该组合为元素不允许重复的组合，因而其基本事件总数为1035=C ，事件A 所包含的基本事件总数为434=C ，故4.0104)(3534===C C A P ．质点入盒模型概括了很多的古典概型问题．如果把盒子看作365天，可研究n 个人的生日问题；如果把盒子看作每周的7天，又可研究值班的安排问题；如果把质点看作人，盒子看作房子，又可研究住房分配问题；如果把粒子看作质点，盒子看作空间的小区域，又可研究统计物理的Boltzmann Maxwell -统计模型；如果把信看作质点，盒子看作邮筒，又可研究投信问题；如果把骰子（硬币）看作质点，骰子（硬币）上的六点（正面和反面）看作)2(6个盒子，又可研究骰子（硬币）问题；如果将旅客视为质点，各个车站看作盒子，又可研究旅客下车问题等．不难看出质点入盒模型可以用来描述很多直观，背景完全不同但实质都完全一样的随机试验，应透过表面抓住本质，把相关问题与相应的模型联系起来，加以转化，这样问题就不难解决了．4 随机取数模型与前面的两种模型相比，此模型分类情况较简单些，分为有放回地随机取数和无放回地随机取数两种情况)44(]3[p ．4.1 有放回地随机取数取出的数字还原时，其样本空间的基本事件总数可按从n 个不同数字里取出m 个的重复排列计算问题．例1 从，，21…10这十个数中任取一个，假定各个数都以同样的概率被取中，然后还原，先后取出7个数，试求下列各事件的概率：)1(1A :7个数全不相同；)2(2A :不含9和2；)3(3A :8至少出现三次；)4(4A :5至少出现两次；)5(6A :取到的最大数恰为6．思考方法 本题所及的随机试验，就取样方法来说，属于返回取样．也就是说，把某数取出后还原，下次仍有同样的可能再取到这个数．注意到这一特点，运用上面介绍的思想方法，此题就不难得解．解 依题设，样本空间就是10个相异元素允许重复的7元排列．所以，样本点总数为710．)1(事件1A ，要求所取的7个数是互不相同的，考虑到各个数取出时有先后顺序之分，所以有利场合相当于从10个相异元素里每次取出7个相异元素的排列．因此，1A 所包含的样本点数为710P ．于是06048.010)(77101≈=P A P ．)2(事件2A ，先后取出的7个数中不含9和2，所以，这7个数只能从108765,3,41，，，，，这8个数中取得．注意到试验属于有返回取样，则2A 的有利场合，相当于8个互异元素允许重复的7元排列．于是2A 所包含的样本点数为78，有2097.0108)(772≈=A P ．)3(事件3A 中出现的三次8，可以是7次取数的任意三次，有37C 种选法；其余的4次，每次可以去剩下的9个数中的任一个，共有49种取法．因此0230.0109)(74373≈=C A P ． )4(事件4A 是六个两两互不相容事件“5恰好出现k 次”)65432(，，，，=k 的和，因此，1497.0109C )P(A 727774≈=∑=-k kk ． 也可以考虑4A 的逆事件．这里4A 是事件“5恰好出现一次或一次也不出现”．显然8503.01099)(776174≈+=C A P所以，1497.08503.01)(-1)P(A 44=-==A P)5(事件5A 的有利场合，就是6个相异元素)654321(，，，，，允许重复的最大数恰好为6的7元排列．这种排列可以分为6出现1次，1次，2次，3次，4次，5次，6次，7次等7类，显然，它们的排列数依次为6175C ,5275C ,4375C ,3475C ,2575C ,567C ,0775C ．于是0202.0105)(771775≈=∑=-k kkCA P事件5A 的有利场合的有利场合数也可以这样来考虑：最大数字不大于6的7元重复排列，有76种，它可以分为两类，一类是最大数恰好是6的7元重复排列；一类是最大数小于6的7元重复排列．注意到第二类重复排列有75种，则第一类重复排列有76-75种．于是0202.01056)(7775≈-=A P ． 4.2 无放回地随机取数如取出的数字不还原，其样本空间的事件总数要根据取数是计序或不计序，按不重复的排列或组合计算．例2 从，，10…9这十个数中任取三个不同的数字，试求下列事件的概率：)1(1A :三个数字中不含0或5；)2(2A :三个数字中不含0和5．解 所取三个数不计序，本例属元素不允许重复的组合问题，其基本事件总数为35C n =．)1(有利于1A 的基本事件总数为381C m =,于是所求概率为157)(310381==C C A P ．)2(在所给的十个数字中任取3个不含0的数字共有39C 个，同样任取3个不含5的数字共有39C 个．这些个数中均包含既不含0又不含5的3个数字的个数38C ．于是这样的3个不同数字被算了两次，即多算了一次，造成了重复．因而有利于事件2A 的基本事件数3839392C C C m -+=,故所求概率为1514)2()(31038392=-=C C C A P ． 随机取数模型作为典型的古典概型，解题的思想方法对于同类问题具有指导意义．但绝不能把它作为现成的公式乱套，有些问题表面看机构相仿，实质上差别较大，须斟酌题意灵活运用．随机取数模型在日常生活也可应用在通讯公司计算电话号码，单位票据编号完全不同的概率等实际问题中．作为古典概型在事件生活中的应用，现例举一综合例子：我们在庙会，公园里都可以看到玩这种游戏的，袋中有3种颜色的相同玻璃球，各有3个球，大家可以免费参加摸球游戏，每次从袋中摸出3个球，奖罚规则如下：摸出的3个球若：(1)颜色只有一种奖励玩家5元；(2)有两种颜色的情况罚玩家1元；(3)有三种颜色的情况奖励玩家2元．面对这种情形，我们大多数人都会对其产生诱惑，会高兴地“免费”试试身手，但我们学习完古典概型的知识后，可以看到这种游戏背后的真相．对于(1)、 (2)、)3(其概率利用古典概型的知识可得为843)1(3913==C C P ,8454)2(3913231223==C C C C C P ,8427)3(39131313==C C C C P ．直观地说，就是在84次的摸球中，第一种情况有3次，老板赢得155*3=元，第二种情况有54次，玩家输去541*54=元，第三种情况有27次，老板赢得542*27=元，最终老板赢得15541554=-+元，这个看似比较公平的游戏还是被老板赚了，所以以后大家遇到这种情形就需要考虑了．总之，通过以上几种古典概型问题的分析过程可得，这类问题是一个既有法、有时又无定法的问题．求解这类问题通常有两条基本思路：一条是直接法，对有附加条件的特殊元素或排列中的特殊位置应先处理，直接求出满足题设条件的种数；另一条是间接法，先撇开附加条件求出一个总数，再扣除不合要求的种数．在这两个过程中，均以排列、组合等知识点作为出发点，考虑一切可能出现的结果，既不能将它们遗漏，也不要重复．综合知识间的内在联系，运用多种多样、灵活多变的解题技巧把抽象的内容知识延伸至实际问题中，提高解决实际问题的能力．因此，在解答概率题时没有一个固定的模式，需要扎实的基础知识和灵活的技能技巧，为解决实际问题服务，把古典概型的知识应用在日常生活中．参考文献：[1] 赵振威等．怎样解概率题[M]．北京师范大学出版社，1986[2] 魏宗舒等．概率论与数理统计教程[M ]．高等教育出版社，1983[3] 毛纲源．概率论与数理统计解题方法技巧归纳[M]．华中科技大学出版社，1999[4] 汪仁宫．概率论引论[M]．北京大学出版社，2005[5] 周惠新．概率方法的妙用[J]．高等数学研究，2005[6] 文建新．如何分析计算古典概型习题[J]．武当学刊，1996[7] 曹晓阳．关于古典概率的几种解法[J]．自然科学版，2005．09[8] A. Kolmogorov-Smirnov .Test for Classical Probability Models [J]．自然期刊，2010。
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古典概型（一）
班级姓名
一、基本事件
试验1：掷一枚质地均匀的硬币，观察可能出现哪几种结果？
试验2：掷一枚质地均匀的骰子，观察可能出现的点数有哪几种结果？
基本事件：
问题1：掷一枚质地均匀的骰子
（1）在一次试验中，会同时出现“1点”和“2点”这两个基本事件吗？（2）事件“出现点数小于3”包含哪几个基本事件？
事件“出现点数大于3”包含哪几个基本事件？
基本事件的特点：（1）
（2）
例1 从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？变式：将标有数字1,2,3,4,5的五个小球放入一个不透明的口袋中，从中任意摸
出2个球，有哪些基本事件？
2.古典概型
问题2：（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，每个基本事件出现的概率是多少？
（2）掷一枚质地均匀的骰子一次，每个基本事件出现的概率是多少？
问题3：综合上述问题，总结古典概型有哪些特征
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有；（填写“有限个”或者“无限个”）
（2）每个基本事件出现的可能性(填写“相等”或者“不相等”)
我们将具有着两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型
古典概型的特征：（1）
（2）
3.求解古典概型
问题6：掷一枚质地均匀的骰子，“出现的点数小于3”和“出现的点数大于3”的概率分别是多少？
古典概型的概率计算公式：
其中基本事件总数为n,A事件所包含的基本事件个数为m，
例2.某小组有5个学生组成，其中3个男生，2个女生，现要从中选2人去参
加由团委组织的关于中学生心理健康的讲座，计算：
（1）列举所有的基本事件；
（2）事件“选出1个男生和1个女生”的概率；
变式：事件“选出的2人都是男生”的概率
[课堂训练]
“雪顿节”期间，超市为了促销，组织抽奖活动。
抽奖箱中有大小均匀的4个红球和2个蓝球。
抽奖规则：要求一次抽取两球，如果抽出2个蓝球则为一等奖，如果抽出1个红球和1个蓝球则为二等奖，否则不中奖。
请同学们结合题意回答下列问题：
(1)顾客中一等奖的概率；
(2)顾客中二等奖的概率；
(3)顾客不中奖的概率.。