均值定理及其应用探讨

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求两个三角形的面积，于是可设 !" # !，!$ # " 解：如图所示，设 !" # !，!$ # "， （ % & ! & ’ ，% & " & ( ） 则 # 3!"$ # 又 # 3/!0 # 5 ) ) !" ・!$+,-! # ! .+,-! * * ) ) ) !0 ・/0 # 1 2 1 ’ # 3 依题意 4 3!"$ # 4 3/!0 * * *
图 !" 对数图像凸性与均值定理推广
现设 !# ，!! ，…! " 为 " 个正数，已按从小到大排列，对应函数值 ## $ %&!# ， #! $ %&!! … # " 0 0 $ %&! " 。易知多边形 $# ，$! ，…$ " 为凸多边形，因此重心 % （! ，# ） 必位于多边形内如图 ! 。即 有 0 0 %&! )#
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分析：这里错误在于使用均值定理 ’ 9 ()* ! ’( 时忽略了条件：’，($! 9 正解： （ >） 当 ! ? % 时，! 9 ’ )* ! ! 1 # ’ （ 当 ! # * 时取等号） ! ! ’
（ @） 当 ! & % 时， : ! ? % 而（ : !） 9 号） 5 ! 9
’ （ : ) ） ( : ) # ’ （ 当 ! # : * 时取等 ( : ’! ) )* ! !
解得 ! #$ 1 , ( （ 舍） 或 ! #$ )" ，当且仅当 # ’ $ 且 #$ ’ # & $ & " ，即 # ’ $ ’ " 时，取“ ’ ” ，故 #$ 的取值范围是［ - ， & . ） 。 又 # & $ & " ’ #$1
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!" ! "" 分别叫做正数 !， " 的调和平均数，几何平 "
均数，算术平均数，平方平均数。于是：调和平均数 1 几何平均数 1 算术平均数 1 平方平均 数，当且仅当 ! & " 时取等号。 （ 三） 利用均值定理证明不等式 例 ( 已知 ! ) * ，" ) * ，! ! " & # 。求证： # ! " # 1" "
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( "! " ! " ! & ，即 ! ’ ! ，" ’ ! 时，! ! ( & "! 有最大值 ! 。 ! ! ! ! )
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，故 # & $ 的取值范围是［ + ， & 当且仅当，# ’ $ 且 #$ ’ # & $ & " ，即 # ’ $ ’ " 时，取“ ’ ” 。 .） 总之，利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，只有掌握常见的变形技巧与常 见题型的求解方法，加强训练、多多体会，才能达到举一反三的目的。 （ 二） 利用均值定理比较式子大小 例 / 设 !，"$! & ，试比较 ! &" ，! !" ， ! !! & "! ! ， 的大小。 ! ( ( & ! " +"
’ 。 1 : ’ 所以函数的值域是 ｛" A "1 : ’ 或 ")’ ｝ !
（ 二） 忽略了定值的选取 例 *< 已知 ! 9 * " # ) ，!，"$! 9 ，求 !* " 的最大值。 误解：!* "1 5 当! #" #
) # ，即 ! $ # 或 ! $ （ 舍） 时，等号成立，故当 ! + - ,!
提示：利用均值定理求几个正数和的最值，关键在于构造条件，使其积为常数。常采用配 凑的方法进行变换，另外要特别注意：变量为正以及等号成立时的条件。 类型!：求几个正数积的最大值
［ "］ 例! # # 已知 ! $ % ，" $ % ，且 !! &
+ ( , ! - + * / ，故 + - , ! 0 / ,
# # $ - （+ - ,! ’ ） ’, ,! - + + - ,! # # $! )! （ + - , !） + - ,! + - ,!
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( #1 - ! ’ , $ ! ，当且仅当 + - , ! $ ! $ # 时，# 123 $ ! 。 4!
Hale Waihona Puke Baidu
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5 在3!"$ 中，由余弦定理得 "$* # !"* 9 !$* : *!" ・!$78+! ’ ; # !* 9 "* : * !"・ # !* 9 "* : )3 )* !" : )3 # ’ ( 当且仅当 ! # " # ! )% 时等号成立。此时线段 "$ 长为 * 。
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分析：首先 ! !" 1 大小趋于明朗。
! !" !" ! "" ! !" " 与 !" 与 ， ，然后去比较 ! 的大小，于是四数的 " # " " # ! ! " # # ! )" ! " # " 即 !" 1 ! !" # # ! ! "
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中山大学学报论丛，!""# 年 第 !# 卷 第 # 期
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均值定理及其应用探讨
刘晓明
（ 广州市艺术学校， 广东 广州 *+"*!" ）
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摘( 要：均值定理在数学中是很重要的，本文对它的应用以及应用的误区予以探讨。 关键词：不等式；均值定理；算术平均数；几何平均数。 中图分类号：,#-!’ -( ( 文献标识码：.( ( 文章编号：+""/0+/1! （ !""# ） "#0""#+0"# 均值定理在高中数学中占有重要的地位，在高考试题中常见应用此定理来解题。以下从均 值定理的推广，均值定理的应用以及应用过程中的误区等几个方面来阐述。从而说明在应用均 值定理时，要注意的三个条件：一“ 正” — — —各项或各因式均为正；二“ 定” — — —和或积为 定值；三“ 等” — — —各项或各因式能取得相等的值。那样，我们在解决有关不等式方面的问 题就得心应手了。
分析：这是一个条件不等式的证明问题，求证式的右边是一常数，为了脱去左边的根号， 并与条件 ! ! " & # 联系起来，可将 ! ! 利用均值不等式去证明即可。 解：$ # & !! " # "! & " # # # # ，" ! 分别看成是 # ・ （! ! ） ，# ・ （" ! ） ，然后 " " " "
即 # ’ (! ，$ ’ " 时“ ’ ” 号成立，故所求最小值是 (* 。
说明：此类问题不少学生经常有这样一种错误的求解方法：# & ! $ ’
( *# & ($ )（ # & !$） )
成立条件不一致。
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* ( ( * ・ ・! #・! $ ’ * ，其原因就是不等式 & )! # $ # $
一、均值定理
［ +］ +2 均值定理： 若 !，"$! 3 ，那么
! 3" ! 3" !"（ 当且仅当 ! 4 " 时取“ 4 ” ） 。其中， )! ! !
!" 称为 !，" 的几何平均数。 称为 !，" 的算术平均数， ! !2 均值定理的几何意义是“ 半径不小于半弦” 。 即以长为 ! 3 " 的线段为直径作圆，如 图 + ，在直径 #$ 上取点 % ，使 #% 4 !，%$ 4 "& 过点 % 作垂直于直径 .5 的弦 67，那么 !" ，这个圆的半径 86! 4 8.・85 ，即 86 4 ! ! 3" ! 3" 。 显 然， 它 不 小 于 86 ， 即 为 ) ! ! !" ，其中当且仅当点 8 与圆心 9 重合，即 ! ! 3" 4 ! !" 。 ! 4 " 时， ! 个正数 (+ ，(! …，( ’ 有： (+ 3 (! 3 … 3 ( ’ ’ (+ (! …( ’ ；当且仅当 (+ 4 (! 4 … 4 ( ’ 时，等号成立。 )! ’ 上述不等式的一个简单而巧妙的证明，是利用对数函数 ) 4 &:( 图象的凸性。所谓函数图
"! ’ ( ，求 ! ! ( & "! 的最大值。 !
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解：! ! ( & "! ’ ! 当且仅当 ! ’
( " ( " ! ! & ) ’! & 1 （! !! ( ! ! ! ! ! ! !
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提示：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于创造条件，使其和为常数。通常 要通过乘以或除以常数、拆因式（ 常常是拆高次的式子） 等方式进行创造。 类型"：条件最值问题 例 " 已知正数 #、$ 满足 解：# & ! $ ’ * ( & ’ ( ，求 # & ! $ 的最小值。 # $ & (+ $ ) (% & ! #
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提示：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决本题的关键。 （ 四） 利用均值定理解应用题 例 , 在3-./ 中，4/ & 0*1 ，-/ & + ，./ & ’ ，一条直线分 3-./ 的 面积为相等的两部分，且夹在 -. 与 ./ 之间的线段最短，求此线段长。 分析：本题的关键是恰当地选取变量表示夹在 -. 与 ./ 之间的线段， 同时考虑到题设中的等量关系，即 # 3.23 & (’ # # ，因此所选变量应便于 " 3-./
收稿日期：!""# ; "! ; "< 作者简介：刘晓明（ +1#! ; ） ，女，辽宁沈阳人，助理讲师。 图 +( 均值定理的几何意义
-2 均值定理的推广。算术平均数与几何平均数的关系式，可以推广到 ’ 个数。即对于 ’
"
象在某区间的凸性是指：该区间函数图象上的任意两点所连成的线段，整个位于函数图象的下 方（ 或上方） 。
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* ( & 与 # & ! $ )! ! #・! $ 的等号 # $
类型#：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题 例 ) 已知正数 #、$ 满足 #$ ’ # & $ & " ，试求 #$、# & $ 的范围。
! #$ ，即（ ! #$ ） ,! ! #$ & " )% ， 解：由 # $ % ，$ $ % ，则 #$ ’ # & $ & " 2#$ , " ’ # & $ )! !
阶段，" $ ! ，) 的情况是要求掌握的。
二、均值定理的应用
（ 一） 利用均值定理求最值 类型!：求几个正数和的最值 例 #（ # ） 由已知 ! * 解： （#） . ! * # $ ,! - # ’ . + - ,! ’ + # 的最大值； ，求函数 # $ , ! - # ’ , ,! - +
三、应用均值定理误区
均值不等式的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新。但若稍不谨慎，却易 发生如下错误： （ 一）忽视定理成立的前提条件：两正 例 )< 求函数 " # ! 9 误解：6 ! 9 ’ )* ! ’ 的值域 。 ! !1 ’ # ’ （ 仅当 ! # * 时取等号） ，所以值域为［ ’ ， 9 = ） !