例谈均值不等式的运用条件和技巧
例谈应用均值不等式要注意的问题
例谈应用均值不等式要注意的问题
应用均值不等式时，要注意以下几个问题：
1.指定正确的变量：应该选择满足均值不等式要求的变量，否则就会得出错误的结论；
2.常数项不能过小：加入常数项来引导收敛到最优解，如果常数项过小，就会使迭代不收敛；
3.允许噪声：当作为替代均值平方误差时，允许噪声，可以更好地拟合实际数据；
4.避免异常值的影响：应该避免异常值的干预，这样可以保证模型对数据的准确性；
5.正确选择梯度方法：采用均值不等式的情况下，要选择适当的梯度方法，以正确反映数据特征。
均值不等式解题技巧总结
均值不等式解题技巧总结
均值不等式是数学中常用的一种算术不等式，可以用来证明和解决各种数学问题。
以下是一些常见的均值不等式解题技巧的总结：
1. 引入适当的均值：根据题目所给条件，选择适当的均值形式，如算术平均数、几何平均数、调和平均数等。
2. 利用均值不等式：根据所选择的均值形式，利用均值不等式进行推导。
常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、几何-调和均值不等式、算术-几何-调和均值不等式等。
3. 引入适当的条件：在使用均值不等式之前，可以引入适当的条件，如非负性条件、大小关系条件等，以限制变量的取值范围，使得均值不等式成立。
4. 倒推法：对于一些需要证明的不等式，可以利用倒推法，从已知的均值不等式开始，逐步推导出需要证明的不等式。
5. 逼近法：对于一些复杂的不等式，可以通过逼近的方法，将其转化为一系列简单的均值不等式，从而解决问题。
6. 双曲线方法：对于一些特殊的均值不等式，可以利用双曲线的性质进行证明。
双曲线方法常用于解决两个变量的均值不等式。
7. 对称性方法：对于一些具有对称性的均值不等式，可以利用其对称性进行证明。
对称性方法常用于解决多个变量的均值不等式。
总之，解题时应根据具体情况选择合适的技巧和方法，并且需要灵活运用数学知识和技巧进行推导和证明。
均值不等式的使用条件
均值不等式的使用条件
建议大家记住以下两点应用：
(1)如果求的是“两个数和的最小值”，那么我们就去看这两个数的乘积是否为定值，如果是，那么就是当这两个数相等的时候，和有最小值;
(2)如果谋的就是“两个数积的最大值”，那么我们就回去看看这两个数的和与否为
定值，如果就是，那么就是当这两个数成正比的时候，弓果最大值。
例1：某村民要在屋顶建造一个长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为元，
池壁每平方米的造价为元，那么要造一个深为3米，容积为48立方米的无盖贮水池最低
造价是多少元?
a. b. c. d.
例2：妈妈为了给过生日的小东一个惊喜，在一底面半径为20厘米，高为60厘米的
圆锥形生日帽里藏了一个圆柱形礼物盒。
为了不让小东事先发现礼物盒，该礼物盒的侧面
积最大为多少平方厘米?
a.π
b.π
c.π
d.π。
均值不等式应用
均值不等式应用在实际应用中，均值不等式有一些常用的技巧，可以帮助我们更方便地应用和理解它们。
1.对称性：均值不等式对于多个变量的情况，通常具有对称性。
这意味着可以通过交换变量的位置来得到等价的不等式。
例如，对于实数$a,b,c$，有$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$ 和$\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}} \geq \frac{b+c}{2}$，可以通过交换$a$和$c$得到$\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}} \geq \frac{a+c}{2}$。
利用这个对称性，可以在一些情况下简化不等式的推导过程。
2.递增性：均值不等式通常对于多个变量的情况是递增的。
这意味着如果变量的取值不变，但其中一个变量增加了，那么均值不等式的左边将比右边更大。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$，如果将$b$增加为$b+c$，则有$\sqrt{a(b+c)} \leq \frac{a+b+c}{2}$。
利用这个递增性，可以在一些情况下通过增加变量的值来简化不等式的推导过程。
3.平方技巧：当不等式中涉及到平方时，可以通过对不等式同时两边取平方来简化推导过程。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{a^2b^2} \leq\frac{a^2+b^2}{2}$，两边同时平方得到$a^2b^2 \leq\frac{(a^2+b^2)^2}{4}$，再进行化简推导。
需要注意的是，平方技巧可能会引入额外的解，因此在使用此方法时需要注意检查这些额外的解是否符合原始问题的要求。
4.归纳思想：对于具有多个变量的复杂不等式问题，可以利用归纳思想逐步推导出目标不等式。
具体来说，可以先考虑两个变量的情况，再逐步增加变量的个数，通过观察和推导相应的不等式，逐步得到目标不等式的结论。
这种思想在解决一些较为复杂的均值不等式问题时非常有帮助。
用均值不等式最值的方法和技巧
用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是数学中的一种重要的不等式关系，用于描述一组数据的平均值与其他性质之间的关系。
它可以应用于各种问题，如最值问题、优化问题等。
使用均值不等式来求解最值问题的方法和技巧有以下几个方面。
1.确定使用哪种均值不等式：均值不等式有许多种，如算术均值不等式、几何均值不等式、平方均值不等式等。
不同的均值不等式适用于不同的情况。
在解题时，要根据具体情况选择适合的均值不等式。
通常，当问题中涉及到平方和、乘积、根号等运算时，选择平方均值不等式；当问题中涉及到和、平均数等运算时，选择算术均值不等式；当问题中涉及到几何平均数、平方根等运算时，选择几何均值不等式。
2.清晰确定问题的条件和目标：在解决最值问题时，首先要清晰地确定问题的条件和目标。
条件是指问题中已知的信息，目标是指要求解的最值。
只有明确了条件和目标，才能有针对性地选择适合的均值不等式，并通过变换和推导进行求解。
3.运用不等式性质进行变换：在使用均值不等式进行求解时，可以根据题目中给出的条件进行变换，使得问题更容易求解。
如将含有平方和的表达式进行整理，将含有乘积的表达式进行拆分等。
变换后可利用不等式的性质，如对称性、单调性、对数性质等来推导和求解。
4.找到合适的等号成立条件：根据均值不等式的性质，等号成立的条件通常与数据的性质相关。
找到合适的等号成立条件不仅是验证结果的正确性，还可以通过这些条件求解最值问题。
例如，在求解两个数的平方和的最小值时，可通过设等号成立条件来求解。
5.结合其他方法进行求解：在使用均值不等式解决最值问题时，有时候也需要结合其他方法和技巧进行求解。
例如，可以结合求导、代数方法、几何方法等来解决一些复杂的最值问题。
这样可以提高问题的求解效率和准确性。
综上所述，运用均值不等式求解最值问题需要根据题目的条件和目标选择合适的不等式，进行变换和推导，并找到合适的等号成立条件。
同时，也可以结合其他方法和技巧进行求解。
例谈均值不等式的运用条件和技巧
例谈均值不等式的运用条件和技巧运用均值不等式“1212,,,n n a a a a a a R n++++∈≥K K 若则当且仅当n a a a ===K 21(2)n n N ≥∈且时等号成立”求最值是中学数学求最值的基本方法之一，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值.且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容，因此必须熟练掌握他的运用条件和运用技巧.一、重视运用过程中的三个条件：“一正、二定、三相等”，三者缺一不可。
（1） 注意“正数”例1、求函数1y x x=+的值域 .误解：12x x +≥=Q （当且仅当1x =时取等号），所以值域为[)2,+∞. 这里错误在于使用均值定理ab b a 2≥+时忽略了条件：+∈R b a ,正确解法：1()0,2(1)a x x x x >+≥==当时仅当时取等号；11()0,0()()2(1)2b x x x x x x x<->-+-≥==-∴+≤-当时而仅当时取等号所以函数的值域是{}22y y y ≤-≥或. （2） 注意“相等”例2、设+∈R x ，求函数213x x y +=的最小值. 误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有3min 3322232312312,=∴=⋅⋅≥++=∈+y xx x x x x y R x Θ. 这里的错误是没有考虑等号成立的条件.显然要212x x x ==，这样的x 不存在，故导致错误.此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数.正确解法：时取等号）23322123(182312323312323xx x x x x x x y ==⋅⋅≥++=. 所以2183,3183min 3==y x . 例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a +=+=+∈,6,3,,,,2222.误解：2222222219,()(1)2222a xb y ax by ax by a b x y ++≤≤∴+≤+++=Q K K 所以by ax +的最大值为29. 这里（1）取等号的条件是仅当b y a x ==,；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值.正确解法：2222222222,()()()a x b y axby a b x y ax by +≥∴++≥+Q 仅当ax by=时取等，所以222236ax by ax by a b x y =⎧⎪+≤=+=⎨⎪+=⎩时取等号.如取23)(,3,26max =+====by ax y x b a （3）注意“定值”例4、已知的最大值求y x R y x y x 2,,,12+∈=+.误解：12),(27)2()3(332=+=+=++≤y x y x y x y x x y x 又时取等当， 271,312≤==∴y x y x 时. 以上过程只能说明当271312===y x y x 时.但没有任何理由说明,2712≤y x 这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果.正确解法：272)322(41)34(41441,,332=+⨯=++≤⋅⋅⋅=∴∈+y x y x x y x x y x R y x Θ， 所以仅当24212,,,213627x y x y x y x y =⎧==∴⎨+=⎩即时取等号最大值为.二、常用的处理方法和技巧（1） 拆项：为了创设使用不等式的条件，有时需将一些项作适当的变形，拆为多项之积，从而达到凑积或和为定值的目的。
用均值不等式求最值的方法和技巧
用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。
下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。
一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a= b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<-> ∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
巧用均值不等式及其条件求最值
巧用均值不等式及其条件求最值(南京师范大学数学与计算机科学学院 张逸洁)均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一，在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能，对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。
本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用，希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。
一、均值不等式1．22,2,a b R ab ab ∈+≥、（当且仅当a=b 时取“=”）。
推论：,a b R a b +∈+≥、，（当且仅当a=b 时取“=”）。
2．变形，对a b R ∈、积向平方和转化：222a b a b +⋅≤。
对a b R ∈、积向和转化：2()2a b a b +⋅≤。
注：这里有“最值定理”： 若,,,x y R x y s xy p +⋅∈+==2()2x y xy +≥⇔≤则x+y 运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这三个条件。
3．333,3a b c Ra b c abc +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）推论：,a b c R a b c +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）4．变形：对3,()3a b c a b c R abc +++∈≤、、 方法小结：在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值；求正数积的最大值时，凑和为定值。
二、巧用均值不等式求解最值问题在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，函数单调性，数形结合等方法分析解答。
本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。
1． 连用例1：已知3222160,a b a b a b ab b-+>>-求的最小值。
解：32222222222161616166416()2a b a b a a a a b a b ab b ab b b a b a -+=+=+≥+=+≥+----（）216.64a b a ⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩2b=a-b 当且仅当即a分析：有时利用均值不等式求最值时只用一次并不能解决问题，通常需要连用来巧求最值。
均值不等式的正确使用及例题
均值不等式的正确使用及例题利用不等式求最值，要注意不等式成立的条件、等号成立的条件以及定值的条件，初学不等式时容易用错，现通过比较来说明均值不等式的正确使用。
（一）均值不等式有许多变形式子，使用哪一个不等式要选准 均值不等式是指),(2+∈≥+R b a ab b a ，它的变形式子有2)2(b a ab +≤，222b a ab +≤，≤+2)(b a)(222b a +等。
由此可知，在求ab 的最大值时至少有两个不等式可供选择，那么选择哪一个更好呢？通过比较发现，若已知b a +是定值，求ab 的最大值可使用第一个不等式；若已知22b a +是定值，求ab 的最大值可用第二个不等式，若求b a +的最大值可用第三个不等式。
（二）使用均值不等式求最值，定值是前提例1. 已知正数a 、b 满足3222=+b a ，求12+b a 的最大值。
（三）连续使用不等式（连续放缩）求最值，等号必须同时成立例2. 已知0>>b a ，求)(42b a b a -+的最小值。
二. 均值不等式的应用（一）用于比较大小例1.若b a >1>，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +⋅=，2lg b a R +=，则（ ） A ．P R <Q <B. Q P <R <C. P Q <R <D. R P <Q < 例2.若)0(21>++=a aa p ，≤-=1(arccos t q )1≤t 则下列不等式恒成立的是（ ） A. q p >≥π B. 0≥>q p C. q p ≥>4 D. 0>≥q p（二）用于求取值范围例3. 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 。
（三）用于证明不等式例4. 已知i 、m 、n 是正整数，且<1n m i <≤，求证：.)1()1(m n n m +>+三. 均值不等式中等号不成立时最值的求法利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意“一正二定三相等”。
用均值不等式最值的方法和技巧
用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是一个常用的不等式工具，在解决很多求最值问题时会起到很大的帮助。
它的核心思想是通过找到相应的均值来构造不等式，从而得到最值的估计。
下面，我将详细介绍均值不等式的方法和技巧。
1.算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）：AM-GM不等式是最常见的均值不等式，它表明对于任意非负实数x1,x2, ..., xn，有如下不等式成立：(x1 + x2 + ... + xn) / n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)这个不等式的意义在于，对于一组非负实数的和，取平均值一定大于等于这组数的乘积的正平方根。
这个不等式常常被用于证明其他数学结论的基础。
2.幂平均不等式：幂平均不等式是一组关于算术平均和几何平均之间关系的不等式。
对于任意非负实数x1, x2, ..., xn，以及实数p，q，有如下不等式成立：[(x1^p + x2^p + ... + xn^p) / n]^(1/p) ≥ [(x1^q + x2^q + ... + xn^q) / n]^(1/q)这个不等式是一个广义的不等式，AM-GM不等式就是其特例（p=q=1）。
使用幂平均不等式可以推导出很多常见的不等式，如柯西不等式、余弦不等式等。
3.杨辉不等式：杨辉不等式是一组与二项式系数相关的不等式。
对于任意自然数n，以及实数a，b，有如下不等式成立：(a+b)^n≥C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n)*a^0*b^n这个不等式是二项式定理的推广，它可以用来证明其它不等式，如二项式不等式、二项式平均不等式等。
4.切比雪夫不等式：切比雪夫不等式是一组关于平均值和取值范围之间关系的不等式。
对于任意一组具有有限均值μ的实数x1, x2, ..., xn，有如下不等式成立：P(，x1-μ，≥k)≤(σ/k)^2其中，σ是x1, x2, ..., xn的标准差，即σ^2 = [(x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2] / n这个不等式的意义在于，对于平均值给定的一组数，其离平均值较远的数出现的概率是受标准差的限制的。
用均值不等式求最值的方法和技巧
用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式（Mean Inequality）是数学中常用的一种方法和技巧，用于求解包含均值的不等式问题。
它的核心思想是通过求解众多数据的平均值来确定问题的最值范围。
1.均值不等式的基本形式均值不等式分为均值-均值不等式和均值-次方均值不等式两种基本形式。
均值-均值不等式：对于任意给定的两个非负实数a和b，以及两个实数λ和μ满足λ+μ≠0，有：√(λa^2+μb^2)≥，λa+μb，/√(λ+μ)均值-次方均值不等式：对于任意给定的n个非负实数x₁，x₂，…，xₙ，以及实数p≥q>0，有：((x₁^p+x₂^p+…+xₙ^p)/n)^(1/p)≥((x₁^q+x₂^q+…+xₙ^q)/n)^(1/q)2.求解最值的一般步骤步骤1：根据不等式问题的具体情况，确定合适的均值不等式形式，即选择均值-均值不等式还是均值-次方均值不等式。
步骤2：根据题目给出的条件，选取合适的数据进行计算和代入，找到不等式中的系数和指数。
步骤3：应用均值不等式，将不等式转化为计算均值的形式。
步骤4：通过简化计算和代入数值，利用均值不等式得到最终的结果。
3.常见应用场景和例题分析均值不等式常用于求解最值问题，特别是在高中数学中的函数极值和数列极限中经常用到。
例如，求解非负整数a，b，c的最小值问题，已知条件是ab+bc+ca=8，可以利用均值不等式进行求解。
解题思路：设S=a+b+c，则利用均值-均值不等式可得：(S^2 + S^2 + S^2) / 3 ≥ (ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2) / 6代入条件ab+bc+ca=8，化简后可得：S^2≥(8+a^2+b^2+c^2)/4而根据平方平均不等式可得：(a^2+b^2+c^2)/3≥((a+b+c)^2)/9将其代入上式化简，可得：S^2≥20/3同时，由于a，b，c都是非负整数，所以可以得到S=√(a^2+b^2+c^2)的最小整数部分为4因此，a+b+c的最小整数部分为44.注意事项和常见误区在应用均值不等式求解最值问题时，需要注意一些常见的误区和陷阱。
用均值不等式求最值的方法和技巧
用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式是数学中常用的一种求最值的方法和技巧，它通过将数列中各个数的和与它们的平均值相比较，从而得到最值的估计。
本文将详细介绍均值不等式的定义、性质、应用以及解题步骤，以帮助读者更好地理解和运用这一重要的不等式求解问题。
一、均值不等式的定义均值不等式是数学中一类关于平均值的不等式，通常用来对一组具有其中一种关系的数值进行比较。
假设有n个非负实数a1、a2、…、an，则它们的平均值和它们的几何平均值之间存在以下关系：(a1+a2+…+an)/n ≥ √(a1*a2*…*an) 或(a1+a2+…+an)/n ≥(a1+a2+…+an)/n ≥ ∛(a1*a2*…*an)其中，等号当且仅当a1=a2=…=an时成立。
二、均值不等式的性质1.单变量均值不等式：对于任意n个非负实数a1、a2、…、an，有(a1^p+a2^p+…+an^p)/n ≥ [(a1+a2+…+an)/n]^p其中，p为实数且p≥12.双变量均值不等式：对于任意两个非负实数a和b以及实数p≥1，有[(a^p+b^p)/2]^1/p≥[(a^q+b^q)/2]^1/q其中，p≥q且p、q均不等于0。
3.形式化均值不等式：设f(x)是定义在[a,b]上的连续函数，则对于任意无穷个非负实数a1、a2、…，有f(∫(a1→∞)f(x)dx) ≤ ∫(a1→∞)f(x)dx/lna1其中，a1为自然对数的底数。
三、均值不等式的应用均值不等式在数学中有着广泛的应用，特别是在求最值、证明不等式和优化问题中。
以下是几个常见的应用场景：1.证明不等式：通过应用均值不等式，可以证明很多重要的不等式，如柯西不等式、霍尔德不等式和克劳斯不等式等。
2.求极值：通过应用均值不等式，可以求解一些极值问题，如求最大面积、最小周长和最优化问题等。
3.优化设计：在工程和经济学中，均值不等式可以帮助优化设计，如在材料使用、成本控制和资源分配等方面。
均值不等式的应用技巧
均值不等式的应用技巧均值不等式：当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式。
用“均值不等式”求最值是求最值问题中的一个重要方法，也是高考考查的一项重要内容。
应用该不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件“一正、二定、三相等”。
在此过程中往往需要采用“变系数、凑项、分离、取倒数、平方”等变形技巧构造定值，下面是笔者总结归纳的一些变形方法和技巧。
一、凑系数例1、求函数的最大值。
分析：由于不是常数，所以需将x的系数1变为2，使和为定值。
解：由，知所以：当且仅当：，即时取等号，所以的最大值是二、凑项例2、已知，求函数的最大值。
解：因为，所以，故所以=0当且仅当：，即或时，等号成立，但不合条件，舍去，故当时，。
三、分离例3、求函数的最大值分析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋2）的项，再将其分离。
解：因为，所以，所以由及得即当时，。
四、取倒数例4、若，求函数的最大值。
分析：此题形式上无法直接用均值不等式，但通过取倒数则可解：因为，所以故五、平方法例5、求函数的最大值。
解析：注意到的和为定值，所以又，所以当且仅当，即时取等号。
故。
评注：本题将解析式两边平方构造出摵臀ㄖ禂，为利用均值不等式创造了条件。
六、整体代换例6、已知，且，求的最小值。
解：不妨将乘以1，而1用代换。
=16当且仅当，且时取等号所以时，的最小值是16。
七、换元例7、求函数的最大值。
解析：变量代换，令，则当t＝0时，y＝0当时，当且仅当：，即时取等号，此时故。
八、化归转化，例8、设，求的最小值。
解：因为当且仅当，即时取等号所以点评：若与分别利用平均值不等式，再相乘求最值，会出现前后取等号条件不一致。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。
均值不等式三个条件
均值不等式三个条件好嘞，咱们今天聊聊“均值不等式”的事儿。
这听起来有点深奥，但其实没那么复杂，放轻松。
均值不等式，简单说就是一种数学上的小秘密，让咱们知道，平均数总是有点意思。
就像你吃饭的时候，点了三道菜，米饭、青菜、肉。
肉多了，自然觉得好吃，青菜放得少，虽然也不错，但总归心里没那么满足。
嘿，均值不等式就是告诉你，这种心里感觉是有道理的。
想象一下，你和朋友们一起聚餐，桌子上摆了一大堆美食。
每道菜都有自己的分数，肉有10分，蔬菜5分，米饭3分。
咱们求个平均分，结果是（10 + 5 + 3）/ 3 = 6分。
听起来不错，但实际情况是，大家心里都觉得肉更重要，均值不能代表大家的真实感受。
这就是均值不等式的魅力所在，它让我们明白，简单的平均数可能藏着些猫腻。
再来聊聊这三个条件。
第一个条件就是，要想使用均值不等式，咱们需要有个正数的基础。
就像你在健身房练习，没个杠铃，练啥也没劲。
你得有点东西做基准。
均值不等式也是如此，数据得是正数，才能让咱们得到想要的结果。
想象一下，如果你把负数带进来，那可就糟糕了，整个人都乱了。
第二个条件，得是均匀分布。
你想象一下，考场上，一群小朋友考数学，成绩都集中在80分上下。
可你要是碰上一个特别优秀的，考了满分，那大家的平均分就会被拉高，可是这却不能反映其他小朋友的真实水平。
均值不等式说的就是这个意思，有些极端值可能会让平均数变得不那么靠谱。
第三个条件呢，就是数据之间得有一种相对的平衡感。
就像你在选择一双鞋子，左脚的鞋子和右脚的鞋子不能差得太多。
要是左脚的鞋子特别宽，而右脚的鞋子特别窄，那你可就不舒服了。
均值不等式在这里也提到，要确保你的数据之间相对均衡，才能更好地反映整体情况。
说了这么多，均值不等式其实就像是生活中的一个小小哲学。
它告诉咱们，生活中有时候要看得更深，不要只停留在表面。
就像我刚才说的那个聚餐的例子，虽然大家都享受着饭菜，但其实心里想的，可能并不是一碗米饭的味道，而是那块香喷喷的肉。
例谈均值不等式的破解方法_沈世金
例谈均值不等式的破解方法沈世金（江苏省石庄高级中学，226531）应用均值不等式求函数最值时，需要满足“正”“定”“等”三个条件，其中“正”“定”两个条件可通过构造来实现，若等号成立的条件不能取到，则需要另辟解题途径．基于此本文给出破解此类问题 的方法．二元均值不等式2()),22a b a b ab ++≥≤其中,0a b >，是求函数最值问题的重要工具，也是高考命题考查的重点．应用中需要满足以下三个条件：（1）,0a b >;（2）a b +或ab 为定值；（3）存在等号成立的条件：当且仅当a b =时．对于不满足前两个条件的函数最值问题，我们可通过拆项、补项等变形方式，构造出“正”或“定值”的条件，但如果等号成立的条件取不到，就需要重新选择求最值的方法了．一、例题分析例I 在下列函数中，y 的最小值为4的是（ ） A.4y xx =+ B.2y = C.4x x y e e -=+ D.4sin (0)sin y x x x π=+<< 解析：选项A 中0x ≠，不满足“正”的条件．当0x >时，最小值为4；当0x <时，最大值为4-.选项C 、D ，从表达式可知满足“正”和“定”的条件，44x x y e e -=+≥=，等号成立的条件是4x x e e =，即ln2x =在定义域内而选项D 中等号成立的条件是2sin 4x =取不到．对于选项B ，224y ===≥，但等号成立的条件=221x +=，21x =-取不到.故正确选项为B. 二、解法探究那么对于选项B 、D 中的函数，最值该如何求解 呢？下面我们就以选项B 中的函数为例，给出几种处理办法，供同学们参考．例2 函数2y =的最小值为 .（1）利用“对号”函数的性质求解． “对号”函数即(,0)b y ax a b x=+>，易知函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，y ax =是函数图像的渐近线，函数在上单调递减，在)+∞上单调递增．当0x >时，存在最小值，此时x =.又因为(,0)b y ax a b x=+>是奇函数，则函数在(,-∞上单调递增，在(,0)b a -上单调递减，所以当以0x <时，存在最大值2ab -，此时b x a =-．如图1 所示. 从形式上来看，“ 对号” 函数与均值不等式之间关系密切，因此当利用均值不等式求最值时，若等号的条件取不到，则可借助“对号”函数性质．因为22222222y x x x ==++++，故可设22(2)x m m +=≥，则22y m m=+，结合“对号”函数的图像及性质，可知此函数在[2,)m ∈+∞内单调递增，所以当2m =，即0x =时，取得最小值5.(2）利用几何法求解．对于分式型函数的值域问题，可利用其与斜率的相似关系，构造直线斜率的形式，进而从形上来寻找思路．因为222222y x x ==++，设22(2)x t t +=≥，则22222(2)0t t y t t +--==-，因此函数的值域即为过曲线22y t =上的2(,2)t t 与点(0,2)-的直线斜率的范围.如图2，易知当2t =，即直线过点(2,8)和(0,2)-时，其斜率8(2)520k --==-，所以函数222y x =+的最小值为5，此时0x =.（3）构造二次函数，利用配方法求解配方法是求值域问题的重要方法，若根据所给的函数类型，能够构造出二次函数，则可利用配方法求解.因为22222y x x =+++，令22(2)x t t +=≥，则 22212()2[()2()]42()4y t t t t t t =+=-++=-+，易判断函数y t t=-在区间[2,)+∞为增函数，所以当2t =，即0x =时，函数取得最小值5.(4）利用导数法求解导数法是判断函数单调性，求函数最值的重要方法，特别是较复杂函数的值域问题． 因为222y x =+，设22(2)x t t +=≥，则222t y t +=，求导得 222242(22)22't t t t y t t -+-==，在区间[2,)+∞内，'0y >，222t y t -=为增函数，所以其最小值为5，此时2t =.所以函数2y =的最小值为5，此时0x =. (5）利用方程有解来判断因为2y =，(2)t t =≥，则222t y t +=，变形得2220t yt -+=，进而所求问题转化为判断方程2220t yt -+=，在区间2,∞［＋）有解，即22()2f t t yt =-+的图像在2, +∞［）与x 轴有交点．结合图像易知当二次函数的对称轴024y <<，即 08y <<时，只需满足只(2)0f ≤，1020y -≤，5y ≥，当24y ≥，即8y ≥时，只需满足2160y ∆=-≥，解得4y ≥，所以此时8y ≥. 综上，函数取得最小值5.类似地，对于选项 D 中的函数4sin (0)sin y x x xπ=+<<的最值，也可利用上述几种方法求解，请同学们自行训练．求解中注意比较多种解法的优劣，选择最优的解法．。
均值不等式八种技巧
运用均值不等式的八类拼凑技巧一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x=-，即3x =时，上式取“=”。
故max 9y =。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()()()222222236418244y xx x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。
当且仅当()2224x x=-，即x ==”。
故max3218827y ⨯=，又max 0,3y y >=。
二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值。
解：()())14114415159111x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+++≥+=+++。
用均值不等式求值的方法和技巧
用均值不等式求值的方法和技巧————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2ab ab +≤≤≤222b a +。
三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项（配常数项） 例1 求函数221632y x x =++的最小值.2、 配系数（乘、除项）例2 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值.3、 裂项例3 已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.4、 取倒数例4 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值.5、 平方例5 已知0,0x y >>且22283y x +=求262x y +的最大值.6、 换元（整体思想） 例6 求函数225x y x +=+的最大值.7、 逆用条件例7 已知191(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） .8、 巧组合例8 若,,0a b c >且()423a a b c bc +++=-,求2a b c ++的最小值 .9、 消元例9、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz 的最小值是.几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2ab ab +≤≤≤222b a +。
例谈应用均值不等式求最值的解法
例 谈 应 用 均 值 不 等 式 求最 值 的解 法
广 西天等 县 高级 中学（ ５ ３ ２ ８ ０ ０ ） 黄玉 凤
最值 问题是中学数学 的重 要 内容之一 ， 它分布 在各 三、 给条件的最值问题的解 法 上 面的方法针对 的是给式子 直接求取 最值 的题 型 ，
当 且 仅 当 ｊ ｌ 三 ｚ Ｙ 。 ， 即 一 １ ２ ， 一 ３ 时 等 号 成 立 ，
一
Ｉ ｌ ） 一一［ （ － ４ ｘ ） ＋（ 一旦） Ｔ ］
‘
【
ｚ
故此函数最 小值 是 １ ８ ．
．
‘ （ －４ ｘ） ＋（ 一 ） ≥１ ２ ， ． ’ ． 厂 （ ） ≤ 一１ ２
值为 ．
解 析 ： 一 导 ＋ 号 ≥ ２ √
等号成立． 所以 ｘ ｙ有最小值为 ６ ４ ．
３ ． 重 新 构 造 条 件 式 子
≤ 专 ≥ ４ ，
【 例 ２ 】 当０ ＜ｘ ＜４时 ， 求 一ｚ （ ８ —２ ｚ ） 的最大值．
当 且 仅 当 一 号 且 昙 ＋ 号 一 １ ， 即 一 ４ ， 一 １ ６ 时 ，
２ ． 添 加 项
的最小值为
．
分析： ２ ｘ＋ ８ ｙ— ｘ ｙ一 ０ １ ６一 （ ｚ一 ８ ） （ ｙ一 ２ ） ≤
７ （ ｘ－ －８ ） ＋（ ｙ －２ ） ］ ２
【 例 ３ 】 求 厂 （ 口 ） 一
＋ｎ （ ｎ ＞３ ） 的最小 值．
＋（ ｎ 一３ ） ＋３
２
ｂ 时等号成立 ） ” 这 一知 识极 易理解 ， 但在 解题 过程 中却 往往 不知 道 如何运 用． 在 教学 中， 我 整理 了均值 不 等式 求最值 的解法 ， 以解除学生 的学 习困惑．
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例谈均值不等式的运用条件和技巧
运用均值不等式“121212,,
,,n
n n n a a a a a a R a a a n
+++
+∈≥若则
当且仅当
n a a a === 21(2)n n N ≥∈且时等号成立”求最值是中学数学求最值的基本方法之一，
许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值.且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容，因此必须熟练掌握他的运用条件和运用技巧.
一、重视运用过程中的三个条件：“一正、二定、三相等”，三者缺一不可。
（1） 注意“正数”
例1、求函数1
y x x
=+
的值域 .
误解：
12x x +
≥=（当且仅当1x =时取等号），所以值域为[)2,+∞. 这里错误在于使用均值定理ab b a 2≥+时忽略了条件：+
∈R b a ,
正确解法：1()0,2(1)a x x x x >+
≥==当时仅当时取等号；
11
()0,0()()2(1)2
b x x x x x x x
<->-+-≥==-∴+≤-当时而仅当时取等号所以函数的值域是{}
22y y y ≤-≥或. （2） 注意“相等”
例2、设+
∈R x ，求函数2
1
3x x y +
=的最小值. 误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有
3min 3322232312312,=∴=⋅⋅≥+
+=∈+y x
x x x x x y R x . 这里的错误是没有考虑等号成立的条件.显然要2
1
2x x x =
=，这样的x 不存在，故导致错误.此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数.
正确解法：时取等号）23322123(182312323312323x
x x x x x x x y ==⋅⋅≥++=
. 所以2
183,3183min 3
==y x . 例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a +=+=+∈,6,3,,,,2
2
2
2
.
误解：2222222219
,()(1)2222
a x
b y ax by ax by a b x y ++≤≤∴+≤+++=
所以by ax +的最大值为
2
9
. 这里（1）取等号的条件是仅当b y a x ==,；由条件知这是不可能的，所以不可能
取到上述的最大值.
正确解法：
222222222
2,()()
()a x b y axby a b x y ax by +≥∴++≥+仅当ax by
=时取等，所以22
2236ax by ax by a b x y =⎧⎪+≤=+=⎨⎪+=⎩
时取等号.
如取23)(,3,2
6
max =+===
=by ax y x b a （3）注意“定值”
例4、已知的最大值求y x R y x y x 2
,,,12+
∈=+.
误解：12),(27
)2()3(
3
32
=+=+=++≤y x y x y x y x x y x 又时取等当， 27
1
,312≤
==∴y x y x 时. 以上过程只能说明当27
1312=
=
=y x y x 时.但没有任何理由说明,2712
≤y x 这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果.
正确解法：
27
2
)322(41)34(41441,,332=
+⨯=++≤⋅⋅⋅=
∴∈+y x y x x y x x y x R y x ， 所以仅当24212,,,21
3627x y x y x y x y =⎧==∴⎨
+=⎩即时取等号最大值为.
二、常用的处理方法和技巧
（1） 拆项：为了创设使用不等式的条件，有时需将一些项作适当的变形，拆为多项之积，
从而达到凑积或和为定值的目的。
为了使等号成立，常遵循“平均分拆”的原则. 例5、求函数)0(3
22
>+=x x
x y 的最小值. 解：
x
x x y 23
2322
+
+
=时取等号）x x x x x 232(36232323232332==⋅⋅≥，
所以仅当min 2x y =
=. （目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆
x
3
为相同两项，同时使得含变量的因子x 的次数和为零）
（2） 裂项：常用于分式形式，且分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大
或相等时用此方法。
例6、设1->x ，求函数1
)
2)(5(+++=
x x x y 的最小值
.
[(1)4][(1)1]
14
15
1
4
59(11
x x y x x x x x ++++=
+=++++≥=+=+解：取等号）
所以仅当9,1min ==y x 时.
（先尽可能的让分子变量项和分母相同，然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定
值。
即使得含变量的因子1+x 的次数和为零，同时取到等号） （3） 添项：求和的最小值时，为了使积为定值，需添加某个项. 例7、求函数2
2
216
3x
x y ++
=的最小值.
2222
163(2)66216
3(2)2y x x x x =++
-≥=++=+解：当且仅当取等号 所以当638,233
4
min -=-±
=y x （求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子2
2x +的次数和为零，同时取到等号）. 例8、若y x y
x y x +=+>>则且
,19
1,0,0.的最小值. 解：
1999()()191016(y x y x
x y x y x y x y x y
+=++
=+++≥+==时取等号）
所以仅当⎩⎨
⎧==⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+=1241919y x y
x y x x y 时y x +的最小值为16. [所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘
y
x 9
1+），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子
x
y
的次数和为零，同时取到等号] 注意：例8这种解法也叫用“1”的技巧.
4、凑系数：为了求积的最大值，常将因式放入根号内，同乘或同除以某个正数，使含变量的各因子之和为常数.
例9、求函数)10(122<<-=x x x y 的最大值. 解:
9
32)3122(4)1(224)1(1322
222
22422
=-++≤-⋅⋅=-=-=x x x x x x x x x x y （仅当22
12
x x -=时取等号）因此仅当932,36max ==y x . （把变量都放在同一条件下的根号里，求积的最值，凑和为定值，因此配变量x 次数相
同且系数和为零，且取到等号）
例10、已知,20<<x 求函数)4(62
x x y -=的最大值. 解：)4)(4(218)4(360,20222222x x x x x y y x --⋅⋅=-=
∴>∴<<
,+
∈R
x 22(243
x x ≤==-取等号）
因此仅当.3
3
32,332max ==
y x （求积的最值，凑和为定值，因此首先配变量x 次数相同,故把变量放到根号内使次数
升高，再配次数相同和系数和为零，且取到等号）
5、分子变量常数化：常用于分式形式，且分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数小时用此方法.
例、11设求函数4
332
+=x x y 的最大值.
解：由题22
3
2
4223434
3x
x x x
x x x y ++=
+=+=
而,+
∈R x 取等号）23224
2(34223422x
x x x x x x x ==⋅⋅≥++∴
所以仅当1,2max ==y x .
（分子变量因子次数比分母的小且变量因子不为零，可同时除以分子所含变量因子化为
前面形式解）
6、取倒数：已知变量出现在分母，所求为变量积且出现在分子，可取倒数再如前面一样求解.
例12、已知13
4,
,=+∈+
y
x R y x ，求y x 2的最大值. 解：32223112231123
()(12123324x x y x y x x y x y
++
=⋅⋅⋅≤==时取等号）
因此仅当324)(,961343
2max 2=⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+=y x y x y
x y x
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