第三章 集中趋势的度量

GM = N X1 × X2 ×L XN × = 4 104.5%×102.0%×103.5%×105.4% =103.84%
平均收益率＝103.84%平均收益率＝103.84%-1=3.84%
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六、调和平均数 （harmonic mean） ）
（一）概念 调和是被研究对象中变量值倒数的算术平均数的 倒数。因此，又称为倒数的平均数。 倒数。因此，又称为倒数的平均数。一般用 H表示 H表示。 表示。 （二）计算方法 根据所掌握资料的不同也有简单式和加权式两种。 根据所掌握资料的不同也有简单式和加权式两种。 Excel HARMEAN
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有三种蔬菜， 例2有三种蔬菜，甲每千克 元，乙每千克 有三种蔬菜 甲每千克1元 0.8元，丙每千克 元 丙每千克0.5元，现甲买 元， 元 现甲买2元 乙买4元 丙买5元 求平均价格。 乙买 元，丙买 元，求平均价格。
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【 例题 】 某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表4-2 ， 例题】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表4 计算三种蔬菜该日的平均批发价格
(三)计算方法
X N+1 2 Me = 1 XN + XN + 1 2 2 2
当 为 数 N 奇 时 当 为 数 N 偶 时
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数值型未分组数据的中位数计算方法举例
1、5个数据的算例 、 个数据的算例
统计学
statistics
李欣先 Email:lixinxian2005@126.com tongjxxx@163.com
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第三章 集中趋势的度量
（Measures of central tendency）
第一节 平均数（The mean） 第二节 中位数（The median） 第三节 众数（The mode） 第四节 分组数据的平均数、中位数以及 众数（The mean, median, and mode of grouped data ） 第五节 平均数、中位数以及众数的相对 位置（The relative positions of the mean, median, and mode）
X1F + X2 F +L+ XN FN 1 2 X= = & F + F +L+ FN 1 2
∑X F
i= 1 K i i
K
∑F
i= 1 i
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【例题】根据表中的数据，计算50 名工人日加工零件数的均值 例题】根据表中的数据，计算50
某车间50名工人日加工零件均值计算表 按零件数分组 105~110 110~115 115~120 120~125 125~130 130~135 135~140 合计
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（二）计算方法
1、根据未经分组整理的原始数据计算调和平均数， 、根据未经分组整理的原始数据计算调和平均数， 采用简单式。 采用简单式。总体调和平均数和样本调和平均数的计 算公式为： 算公式为：
H= N 1 1 1 + +K + x1 x2 xn
n 1 1 1 + +… + x1 x2 xn
i= 1
N
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一位投资者持有一种股票， 例一位投资者持有一种股票，2003年、2004年、 年 年 2005年和 年和2006年收益率分别为 ％ 、 2.0 ％ 、 年收益率分别为4.5 年和 年收益率分别为 3.5％、 5.4％。 计算该投资者在这四年内的平均 ％ ％ 收益率。 收益率。
方法一:根据未分组数据或单项变量数列 方法一 根据未分组数据或单项变量数列 计算众数， 计算众数，只需找出出现次数最多 的变量值即为众数。 的变量值即为众数。
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无众数 原始数据: 原始数据 10 一个众数 原始数据: 原始数据:
5 9 12
6
8
6
5
9
8
5
5
多于一个众数 原始数据: 原始数据: 25 28 28 36 42 42
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第一节 平均数（The mean）
一、总体平均数（The population mean） 二、样本平均数（The sample mean） 三、算术平均数的特点（The properties of the arithmetic
mean）
四、加权平均数（The weighted mean） 五、几何平均数（The geometric mean）
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五、几何平均数 （geometric mean） ）
（一）概念要点
1、集中趋势的测度值之一 2.N 个变量值乘积的 N 次方根 3、适用于特殊的数据 4、主要用于计算平均发展速度 Excel GEOMEAN
（二）计算方法
GM = N X1 × X2 ×L XN = N ∏Xi ×
某日三种蔬菜的批发成交数据 蔬菜 名称 甲 乙 丙 合计 批发价格(元) Xi 1.20 0.50 0.80 成交量(公斤) Fi 15000 25000 8000 48000
i i i i
成交额(元)
XiFi
18000 12500 6400 36900
HM
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∑X F = XF ∑X
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第四节 分组数据的平均数、中位数以 及众数（The mean, median, and mode of grouped
data ）
一、平均数 二、中位数 三、众数
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一、平均数
设分组后的数据为：X1 ，X2 ，… ，XK ,相应的频 数为： F1 ， F2，… ，FK,加权均值的计算公式 加权均值的计算公式 为
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一、总体平均数（The population mean）
（一）概念
用总体中各单位某一数量标志值之和除以单位 总数
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（二）计算方法
1、设一组数据为：X1 ，X2 ，… ，XN ,简单均值的 简单均值的 计算公式为
X1 + X2 +L+ XN i=1 µ= = N N
—
36900 = = 0.769 元 （ ） 48000
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切尾均值（ 切尾均值（trimmed mean） ）
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第二节、中位数（ 第二节、中位数（median） ）
（一）概念要点
1、集中趋势的测度值之一 、 2、排序后处于中间位置上的值 、
50%
3、不受极端值的影响 Me
∑(x − x) = 0
i i= 1
n
各变量值与其均值的离差平方和为最小值。 2、各变量值与其均值的离差平方和为最小值。即：
∑(x − x)
i
n
2
=m 最 值 in( 小 )
10
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i=1
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四、加权平均数（The weighted mean）
权数除用总体各组单位数即频数的形式外， 权数除用总体各组单位数即频数的形式外，还可以 用比重即频率的形式表示。因此， 用比重即频率的形式表示。因此，便有另一种加权 均值的形式， 均值的形式，就是将各组的变量值乘以相应的比重 即频率），然后求和，即得加权均值。其计算公 ），然后求和 （即频率），然后求和，即得 。 式为（仅以样本为例，总体以次类推）。 式为（仅以样本为例，总体以次类推）。
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(Central tendency)
1. 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 2.测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值 测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值 3.不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 4.低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据， 低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据， 低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据 反过来， 反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数 据 5.选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握 选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势， 选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势 的数据的类型来确定
∑Xf X= ∑f
∑Xf = 1 ∑ X Xf
∑m = X = m ∑X
h
中 m f f 式 ： =X ， =
m X
m是一种特定权数，它不是各组变量值出现的次 是一种特定权数， 而是各组标志值总量。 数，而是各组标志值总量。
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有三种蔬菜，甲每千克1元 例1 有三种蔬菜，甲每千克 元，乙每千克 0.8元，丙每千克 元 丙每千克0.5元，现各买 元， 元 现各买1元 求平均价格。 求平均价格。
原始数据: 原始数据
4
4
5
7
10
x + x2 +L xn + 1 x= n 4 + 4 +5+ 7 +1 0 = 5 =6
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三、算术平均数的特点（The properties of the
arithmetic mean）
1、变量值与其均值的离差之和等于零。即： 、变量值与其均值的离差之和等于零。
原始数据: 排 序: : 位 置:
24 22 21 26 20 20 21 22 24 26 1 2 3 4 5
N +1 5+1 位 = 置 = =3 2 2
中位数 = 22
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2、6个数据的算例 、 个数据的算例 原始数据: 10 5 9 排 序: 5 6 8 位 置: 1 2 3
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=
N n 1 ∑xi i= 1
h=
n = n 1 ∑xi i= 1
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2、加权调和平均数分别为： 、加权调和平均数分别为：
m + m2 +L+ mn 1 H= m m2 mn 1 + +… + x1 x2 xn
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在社会经济统计学中经常用到的仅是一种特定 权数的加权调和平均数。即有以下数学关系式成立： 权数的加权调和平均数。即有以下数学关系式成立：
∑X
N
i
Any measurable characteristic of a population is called a parameter.
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二、样本平均数（The sample mean）
（一）概念
用样本中各单位某一数量标志值之和除以样本 容量
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K
组中值（Xi） 107.5 112.5 117.5 122.5 127.5 132.5 137.5 —
wx1 + w x2 +L+ w xn 1 2 n xw = w + w +L+ w 1 2 n
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例假设附近的一家餐厅分别以0.9元，1.25 假设附近的一家餐厅分别以 元 元和1.5元出售小杯 中杯和大杯饮料， 元出售小杯、 元和 元出售小杯、中杯和大杯饮料， 某天共卖出100杯，其中30小杯，40中 某天共卖出 杯 其中 小杯， 中 小杯 杯和30大杯 大杯。 杯的均价。 杯和 大杯。这100杯的均价。 杯的均价
12 6 8 9 10 12 4 5 6
N+1 位置= N+1 = 6+1= 3.5 2 2 中位数 = 8 + 9 = 8.5 2
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众数（ 第三节 众数（mode） ）
概念:众数是一组出现次数最多的变量值 众数是一组出现次数最多的变量值， （一）概念 众数是一组出现次数最多的变量值， 一般用M 来表示。 一般用 0来表示。 确定方法：根据掌握资料的不同， （二）确定方法：根据掌握资料的不同，众数的 确定方法两种： 确定方法两种：
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（二）计算方法
1、设一组数据为：x1 ，x2 ，… ，xn ,简单均值的 简单均值的 计算公式为
x1 + x2 +L+ xn i=1 = x= n n
∑x
n
i
Any measure based on sample data is called a statistic.
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50%
4、主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定 类数据 5、各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即
∑X
i =1
n
i
− M e = min
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二、中位数
（二）位置的确定
N +1 1、未分组数据： 中 数 置= 未分组数据： 位 位 2
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