最大团问题MaxClique
最大团算法时间复杂度
最大团算法时间复杂度Finding the maximum clique in a graph is a challenging problem in graph theory with many practical applications. One popular algorithm used to solve this problem is the Bron–Kerbosch algorithm, which is known for its effectiveness in finding the maximum clique in a graph. This algorithm has a time complexity of O(3^n/3), where nis the number of vertices in the graph. Despite its computational efficiency, the Bron–Kerbosch algorithm can still be time-consuming for large graphs with a large number of vertices.在图论中，找到图中的最大团是一个具有挑战性的问题，具有许多实际应用。
解决这个问题使用的一种流行算法是Bron-Kerbosch算法，以其在图中找到最大团的有效性而闻名。
该算法的时间复杂度为O（3^n/3），其中n是图中顶点的数量。
尽管Bron-Kerbosch算法在计算效率方面表现出色，但对于具有大量顶点的大图仍然可能耗时。
One of the reasons why finding the maximum clique in a graph is a challenging problem is because the problem is NP-hard, meaning that it is difficult to find an efficient algorithm that can solve it in polynomial time. The NP-hardness of the maximum clique problemstems from the fact that checking whether a given subset of vertices forms a clique is a combinatorial problem that requires checking all possible combinations of vertices, which is inherently time-consuming.在图中找到最大团是一个具有挑战性的问题的原因之一是因为这个问题是NP难的，这意味着很难找到一个能够在多项式时间内解决它的高效算法。
最大团问题两种确定性算法对比分析
2017年第5期 信息通信2017 (总第 173 期）INFORMATION&COMMUNICATIONS(Sura.No173)最大团问题两种确定性算法对比分析李永彬(云南大学信息学院，云南昆明650091)摘要:最大团问题(Maximum Clique Problem,MCP)是图论中一个经典的组合优化问题，文章对最大团问题的基本定义、数学描述和研究进展进行介绍，重点对比分析回溯法和分支限界法两种确定性算法，最后对两种算法的性能进行测试。
关键词：最大团问题；MCP;回溯法；优先队列分支限界法中图分类号:TP319 文献标识码:A文章编号：1673-1131(2017)05-0029-03最大团问题(Maximum Clique Problem,MCP)是图论中一 个经典的组合优化问题，是一类NP(Non-Deterministic Polynomial)完全问题，也被称为最大独立集问题 (Maximum Inde-pendent Set Problem),在国际及国内已有广泛的研究，目前求解最大团问题的算法主要分为确定性算法和启发式算法。
该 问题在实际也中有非常广泛的应用，几乎涉及和计算机相关 的各个领域，如方案规划、信息传输、数据挖掘等。
图分为无 权图及加权图，本文只针对无权图讨论最大团问题。
1最大团问题定义1.1基本定义给定一个图G=(V，E)，其中V是非空集合，称为顶点集;E 是V中元素构成的无序二元组(边集）的集合，无向图中的边 是顶点的无序对。
如果图中任意两个顶点U，v E U且有(U,V)E E，则称U是G的完全子图。
G的完全子图U是G的团当且 仅当U不包含在G的更大的完全子图中。
G的最大团就是指 G中所含顶点数最多的极大团。
最大团问题的目标就是在一个无向图中找出一个点数最多的完全图。
1.2数学描述最大团问题作为一个整数规划问题有许多相似的描述，整数规划问题描述(二次0-1问题)[1]如下：(0,l)n^2v,t(x)={/e V:X/=l},Vxe{0,i y»VSe2V,则x^S H x d#...,!!}，其中，&=泣=，n为图的顶点数。
最大团算法时间复杂度
最大团算法时间复杂度Title: Time Complexity of the Maximum Clique AlgorithmTitle: 最大团算法时间复杂度Introduction:The maximum clique problem is an important issue in graph theory and computer science.It involves finding the largest subset of a graph such that every pair of vertices in the subset is connected by an edge.The time complexity of the maximum clique algorithm determines how efficiently this problem can be solved.介绍：最大团问题是图论和计算机科学中的一个重要问题。
它涉及找到图中的一个子集，使得该子集中的任意两个顶点都通过边相连。
最大团算法的时间复杂度决定了这个问题可以被多高效地解决。
Algorithm Overview:To solve the maximum clique problem, several algorithms have been proposed.One common approach is to use a brute-force algorithm that checks all possible subsets of the graph.However, this approach has an exponential time complexity, making it infeasible for large graphs.算法概述：为了解决最大团问题，已经提出了几种算法。
一种常见的方法是使用暴力算法，该算法检查图的所有可能子集。
基于最大团问题的两种解法
基于最大团问题的两种解法作者：李源来源：《数字技术与应用》2011年第09期摘要：最大团问题(maximum clique problem, MCP)是图论中的一个经典组合优化问题，也是一类NP( Non-deterministic Polynomial)完全问题, ,也被称为最大独立集树问题。
给出了最大团问题的基本定义和其数学描述；分析求解该问题的典型启发式算法，即回溯算法和优先队列分支限界算法，本文主要阐述算法的介绍、算法求解最大团问题的基本思路、特点及性能；最后介绍了测试这些启发式算法性能的测试基准图。
关键词：最大团问题回溯算法优先队列分支限界算法图中图分类号: TP312 文献标识码：A 文章编号：1007-9416(2011)09-0132-021、基本概念最大团的定义:给定无向图G=(V，E)。
如果UV，且对任意u，vU有(u，v)E，则称U是G 的完全子图。
G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。
G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。
如果UV且对任意u，vU有(u，v)E，则称U是G的空子图。
G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中。
G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集。
对于任一无向图G=(V，E)其补图G=(V1，E1)定义为：V1=V，且(u，v)E1当且仅当(u，v)E。
2、最大团问题算法设计思想2.1 最大团问题的回溯算法2.1.1 回溯算法设计思想设当前扩展结点Z位于解空间树的第i层。
在进入左子树前,必须确认从顶点i到已选入的顶点集中每一个顶点都有边相连。
在进入右子树前，必须确认还有足够多的可选顶点使得算法有可能在右子树中找到更大的团。
在具体实现时，用邻接矩阵表示图G.。
整型树组V返回所找到的最大团。
V[i]=1，当且仅当顶点i属于找到最大团。
无向图G用邻接矩阵存储如图1。
2.1.2 回溯算法程序设计最大团问题的回溯解法，部分代码如下。
算法设计与分析 - 分支限界法 - 最大团问题演示
节点1,3不临接，故剪枝 cs=2,bn=2,us=2+5-4+1=4,us>bn cs=1,bn=2,us=1+5-4+1=3,us 节点 1,3不临接，故剪枝 cs=0,bn=2,us=0+5-4+1=2,us=bn 4 4 4 4 cs=1,bn=2,us=1+5-4+1=3,us>bn 4 4 cs=2,bn=2,us=2+5-4+1=4,us>bn cs=1,bn=2,us=1+5-4+1=3,us>bn 节点 2,4不临接，故剪枝 cs=2,bn=2,us=2+5-5+1=3,us>bn cs=2,bn=2,us=2+5-5+1=3,us>bn cs=1,bn=2,us=1+5-5+1=2,us=bn cs=2,bn=2,us=2+5-5+1=3,us>bn 节点 52,4不临接，故剪枝 5 cs=3,bn=3,us=3+5-6+1=3,us=cs 已到叶子结点，此为最优解 右1左 左 右 左 右 1 2 1 左 左 右 右 2 3 2 右3右4 右 左 1左 1左 左 21 2右 右2 3 usus = us = 33 4 =3 us = us us 4== 44 左1右 左1 2 us us == 54 左1 us = 5
平均情况下多
平均情况下少
算法实现
运行程序 C++实现
算法的while循环的终止条件是遇到子集树的一个叶节点（即n+1 level+1 = us，比较us、cs和bn的大小关系。 层节点）成为当前扩展节点。 在此优先队列式分支限界法中， upperSize实际上也是优 2.当us>bn，则该节点的子节点中有可行解； 对于子集树中的叶节点，有 uppersize = cliqueSize。此时活节点 先队列中元素的优先级。算法总是从活结点优先队列中 当us=bn，若访问完全部数据，则遍历结束； 优先队列剩余节点 upperSize 值均不超过当前扩展节点的 抽取具有最大 upperSize 值的元素作为下一个扩展元素。 若访问未完成，则该节点子树中没有可行解。 upperSize值，从而进一步搜索不可能得到更大的团，而是算法已 3.比较当前活结点的upperSize值，根据队列优先访问下一个节点。 找到一个最优解。 算法设计 4.循环，直至us=cs，得到最优解。
基于最大团问题的两种解法
132１、基本概念最大团的定义：给定无向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）。
如果ＵＶ，且对任意ｕ，ｖＵ有（ｕ，ｖ）Ｅ，则称Ｕ是Ｇ的完全子图。
Ｇ的完全子图Ｕ是Ｇ的团当且仅当Ｕ不包含在Ｇ的更大的完全子图中。
Ｇ的最大团是指Ｇ中所含顶点数最多的团。
如果ＵＶ且对任意ｕ，ｖＵ有（ｕ，ｖ）Ｅ，则称Ｕ是Ｇ的空子图。
Ｇ的空子图Ｕ是Ｇ的独立集当且仅当Ｕ不包含在Ｇ的更大的空子图中。
Ｇ的最大独立集是Ｇ中所含顶点数最多的独立集。
对于任一无向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）其补图Ｇ＝（Ｖ１，Ｅ１）定义为：Ｖ１＝Ｖ，且（ｕ，ｖ）Ｅ１当且仅当（ｕ，ｖ）Ｅ。
２、最大团问题算法设计思想２．１ 最大团问题的回溯算法２．１．１ 回溯算法设计思想设当前扩展结点Ｚ位于解空间树的第ｉ层。
在进入左子树前，必须确认从顶点ｉ到已选入的顶点集中每一个顶点都有边相连。
在进入右子树前，必须确认还有足够多的可选顶点使得算法有可能在右子树中找到更大的团。
在具体实现时，用邻接矩阵表示图Ｇ．。
整型树组Ｖ返回所找到的最大团。
Ｖ［ｉ］＝１，当且仅当顶点ｉ属于找到最大团。
无向图Ｇ用邻接矩阵存储如图１。
图１２．１．２ 回溯算法程序设计 最大团问题的回溯解法，部分代码如下。
ｃｌａｓｓ ＭａｘＣｌｉｑｕｅ ｛ｓｔａｔｉｃ ｉｎｔ［］ ｘ； ｓｔａｔｉｃ ｉｎｔ ｎ； ｓｔａｔｉｃ ｉｎｔ ｃｎ ； ｓｔａｔｉｃ ｉｎｔ ｂｅｓｔｎ； ｓｔａｔｉｃ ｉｎｔ［］ ｂｅｓｔｘ； ｓｔａｔｉｃ ｂｏｏｌｅａｎ ［］［］ ａ； ……／／省略 ｝ ｐｕｂｌｉｃ ｃｌａｓｓ Ｆａｃ５＿７｛ ｐｕｂｌｉｃ ｓｔａｔｉｃ ｖｏｉｄ ｍａｉｎ（Ｓｔｒｉｎｇ ａｒｇｓ［］） ｛ＭａｘＣｌｉｑｕｅ ａｂｃ＝ｎｅｗ ＭａｘＣｌｉｑｕｅ（）； ｉｎｔ ｎ１＝５； ｉｎｔ ａｋ［］＝ｎｅｗ ｉｎｔ［ｎ１＋１］； ｂｏｏｌｅａｎ ［］［］ ａｗ＝ｎｅｗ ｂｏｏｌｅａｎ［ｎ１＋１］［ｎ１＋１］； ａｗ［１］［１］＝ｆａｌｓｅ；ａｗ［１］［２］＝ｔｒｕｅ； ａｗ［１］［３］＝ｆａｌｓｅ； ａｗ［１］［４］＝ｔｒｕｅ； ａｗ［１］［５］＝ｔｒｕｅ； ａｗ［２］［１］＝ｔｒｕｅ； ａｗ［２］［２］＝ｆａｌｓｅ；ａｗ［２］［３］＝ｔｒｕｅ； ａｗ［２］［４］＝ｆａｌｓｅ；ａｗ［２］［５］＝ｔｒｕｅ； ａｗ［３］［１］＝ｆａｌｓｅ；ａｗ［３］［２］＝ｔｒｕｅ； ａｗ［３］［３］＝ｆａｌｓｅ； ａｗ［３］［４］＝ｆａｌｓｅ；ａｗ［３］［５］＝ｔｒｕｅ； ａｗ［４］［１］＝ｔｒｕｅ； ａｗ［４］［２］＝ｆａｌｓｅ；ａｗ［４］［３］＝ｆａｌｓｅ； ａｗ［４］［４］＝ｆａｌｓｅ；ａｗ［４］［５］＝ｔｒｕｅ； ａｗ［５］［１］＝ｔｒｕｅ； ａｗ［５］［２］＝ｔｒｕｅ； ａｗ［５］［３］＝ｔｒｕｅ； ａｗ［５］［４］＝ｔｒｕｅ； ａｗ［５］［５］＝ｆａｌｓｅ； ａｂｃ．ａ＝ａｗ； ａｂｃ．ｎ＝ｎ１； Ｓｙｓｔｅｍ．ｏｕｔ．ｐｒｉｎｔｌｎ（＂最大团顶点数为 ＂ ＋ ａｂｃ．ｍａｘＣｌｉｑｕｅ（ａｋ））； ｆｏｒ（ｉｎｔ ｉ＝１；ｉ＜＝ｎ１；ｉ＋＋） Ｓｙｓｔｅｍ．ｏｕｔ．ｐｒｉｎｔ（＂ ＂＋ａｂｃ．ｂｅｓｔｘ［ｉ］）； Ｓｙｓｔｅｍ．ｏｕｔ．ｐｒｉｎｔｌｎ（）； ｝ ｝２．１．３ 运行结果，如图２图２２．２ 最大团的问题的优先队列分支限界算法２．２．１ 优先分支限界算法思想在扩展内部结点时，首先考察左子树结点，在左子树结点ｉ 加入到当前团中，并检查该顶点与当前团中其他顶点之间是否有边相连。
最大团问题——精选推荐
最⼤团问题⼀、定义⼀个⽆向图 G=(V，E)，V 是点集，E 是边集。
取 V 的⼀个⼦集 U，若对于 U 中任意两个点 u 和 v，有边 (u,v)∈E，那么称 U 是 G 的⼀个完全⼦图。
U 是⼀个团当且仅当 U 不被包含在⼀个更⼤的完全⼦图中。
G的最⼤团指的是定点数最多的⼀个团。
⼆、常⽤做法1、顺序贪婪启发式搜索算法2、局部搜索启发式算法3、智能搜索启发式算法4、遗传算法5、模拟退⽕算法6、禁忌算法7、神经⽹络算法8、改进蚁群算法-AntMCP看了所列出的算法，是不是有⼀种头⽪发⿇的感觉。
反正我是这样的感觉...因为上⾯的东西我都不会...如果你想看上⾯的东西，百度百科中有⼀些简略的介绍，我太弱，没看懂。
百度百科传送门：下⾯说说常⽤的⼀种搜索算法当然，这种算法很不⾼效，所以当图中有 100 个点以上时，请慎⽤先看看⼀个显⽽易见的 DFS ： 初始化： 从⼀个点 u 开始，把这个点加⼊到⼀个集合中，设为 U。
遍历⼀遍所有和他相连的点，把他们放⼊另⼀个集合 S1中，接下来进⾏第⼀遍 DFS 第⼀遍 DFS ： 从 S1 中选择⼀个点 u1，这个点肯定和集合 U 中的任何⼀个点相连。
把集合 S1 中 u1 能访问到的点加⼊到集合 S2中，并把 u1 加⼊到集合 U 中，进⾏第⼆遍 DFS 第⼆遍 DFS ： 从 S2 中选择⼀个点 u2，这个点肯定和集合 U 中的任何⼀个点相连。
把集合 S2 中 u2 能访问到的点加⼊到集合 S3中，并把 u2 加⼊到集合 U 中，进⾏第三遍 DFS 第三遍 DFS ： 从 S3 中选择⼀个点 u3，这个点肯定和集合 U 中的任何⼀个点相连。
把集合 S3 中 u3 能访问到的点加⼊到集合 S4中，并把 u3 加⼊到集合 U 中，进⾏第四遍 DFS ...... 最底层的 DFS ： 当某个 S 集合为空集的时候，DFS 结束，这时候我们就找到了⼀个完全⼦图，⽤这个完全⼦图更新我们的最⼤团。
最大团问题的回溯法
最大团问题的回溯法一、引言最大团问题是图论中的一个经典问题，其目的是在给定无向图中找到一个最大的完全子图，即该子图中任意两个顶点之间都有边相连。
最大团问题在计算机科学、网络分析等领域具有广泛的应用。
本文将介绍使用回溯法来解决最大团问题的方法。
回溯法是一种基于深度优先搜索的算法，它通过遍历所有可能的解空间来找到问题的解。
在本文中，我们将首先介绍回溯法的基本思想和实现方法，然后详细讨论如何使用回溯法来求解最大团问题。
二、回溯法基本思想和实现方法1. 基本思想回溯法是一种基于深度优先搜索的算法，其基本思想是在搜索过程中不断地试探和撤销选择，直到找到问题的解或者确定无解。
具体来说，回溯法从起始状态开始，每次选择一个可能的扩展状态，并进入下一层搜索；如果该状态不能满足条件，则撤销上一步选择并尝试其他可能性。
2. 实现方法为了实现回溯法，我们需要定义以下几个关键函数：（1）is_valid：判断当前状态是否满足问题的约束条件。
（2）is_complete：判断当前状态是否是问题的解。
（3）backtrack：回溯函数，用于搜索所有可能的解空间。
在实现回溯法时，我们通常使用递归函数来实现回溯过程。
具体来说，backtrack 函数会从起始状态开始搜索所有可能的解空间，并在满足约束条件和找到问题的解时返回结果。
在每一层递归中，backtrack函数会选择一个可能的扩展状态，并检查该状态是否满足约束条件；如果满足，则继续向下搜索；否则撤销上一步选择并尝试其他可能性。
三、使用回溯法求解最大团问题1. 问题描述最大团问题是在给定无向图中找到一个最大的完全子图，即该子图中任意两个顶点之间都有边相连。
具体来说，给定一个无向图G=(V,E)，其中 V 是节点集合，E 是边集合。
最大团问题就是要求出 G 的一个最大团 C=(V',E')，其中 V' 是 C 的节点集合，E' 是 C 的边集合。
回溯法求解最大团的详细步骤,例子
回溯法求解最大团的详细步骤,例子回溯法是一种用于求解最大团（Maximal Clique）问题的常用方法。
最大团问题是图论中的一个重要问题，其目标是求解出一个图中具有最大顶点数且互相连接的顶点对应于最大团的子集。
在本文中，我将详细介绍回溯法的步骤，并通过一个例子来说明其具体应用。
回溯法是一种基于深度优先搜索的算法，其核心思想是通过遍历图中的所有可能顶点组合，来寻找最大团。
接下来，我们将按照以下步骤来进行回溯法求解最大团的过程：1.确定问题的模型：首先需要明确最大团的定义和图的表示方式。
最大团是一个图的子集，其中的所有顶点两两相邻。
图可以通过邻接矩阵、邻接表或其他方式来表示。
2.确定解的表示方式：最大团可以用一个布尔数组来表示，其中数组中的每个元素对应一个顶点，如果该顶点在最大团中，则对应元素为1，否则为0。
3.确定限制条件：在求解最大团时，要考虑一些限制条件。
最主要的限制条件是图中顶点之间的连接关系。
如果两个顶点之间存在边，则它们必须同时在最大团中。
4.确定递归函数：递归函数是回溯法的核心，通过递归函数来实现遍历所有可能的顶点组合。
递归函数的输入参数通常包括当前已经选择的顶点、当前待选择的顶点、已经选择的顶点个数等。
5.设计递归的终止条件：在编写递归函数时，需要设定递归的终止条件，以结束递归过程。
终止条件通常包括待选择的顶点已经全部遍历完、找到一个最大团等。
6.设计回溯过程：回溯过程是在递归函数中进行的，通过回溯的方式来生成所有可能的顶点组合。
在回溯过程中，需要判断当前的顶点组合是否满足限制条件，如果不满足，则回溯到上一个状态，并尝试其他的选择。
下面，我们通过一个具体的例子来说明回溯法求解最大团的步骤。
假设有如下的图：图1首先，我们可以通过邻接矩阵来表示这个图：图2接下来，我们按照上述步骤开始求解最大团：1.确定问题的模型：最大团是一个图的子集，其中的所有顶点两两相邻。
图可以通过邻接矩阵来表示。
最大团问题——精选推荐
最⼤团问题最⼤团问题⾸先介绍⼀些基本概念：1、什么是团？如果⼀个⼦图是⼀个⽆向图的完全⼦图，那么可以称为⼀个团。
2、什么是极⼤团？如果⼀个团不是任何⼀个团的⼦集，那么可以称做⼀个极⼤团。
3、如果⼀个极⼤团的⼤⼩是最⼤的，那么可以被称为⼀个最⼤团。
最⼤团有以下常见性质，这⾥不加证明的直接给出结论。
最⼤团点的数量等于其补图中最⼤独⽴集的数量(最⼤团与最⼤独⽴集的关系)。
特别的，在⼆分图中，最⼤独⽴集=顶点数-最⼤匹配数。
(这个很好理解，因为找到补图中的最⼤团，在图中这些边都是不存在的，并且是点个数最多的。
)下⾯给出模板：(HDU 1530)#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 105;int n, G[N][N];int cntClique, pts[N], res[N], cnt[N];bool dfs(int pos, int num){for(int i=pos+1;i<=n;++i){if(cnt[i]+num<=cntClique)return false;//这⾥是⼀处剪枝if(G[pos][i]){//考虑与当前团节点的关系int ok=1;for(int id=1;id<=num;++id){if(!G[i][pts[id]]){ok=0;break;}}if(ok){pts[num+1]=i;if(dfs(i,num+1))return true;}}}if(num>cntClique){ //多枚举⼀个，最多只扩充⼀个点for(int i=1;i<=num;++i){res[i]=pts[i];}cntClique=num;return true;}return false;}void maxClique(){cntClique=-1;for(int i=n;i>0;--i){pts[1]=i;dfs(i,1);cnt[i]=cntClique;}}int main(){while(scanf("%d",&n)&&n){memset(G,0,sizeof G);for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=n;++j){scanf("%d",&G[i][j]);}}maxClique();printf("%d\n",cntClique);}return 0;}POJ(1419)#include<cstdio>#include<cstring>//#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 105;int n, m, G[N][N];int cntClique, pts[N], res[N], cnt[N];bool dfs(int pos, int num){for(int i=pos+1;i<=n;++i){if(cnt[i]+num<=cntClique)return false;//这⾥是⼀处剪枝 if(G[pos][i]){//考虑与当前团节点的关系int ok=1;for(int id=1;id<=num;++id){if(!G[i][pts[id]]){ok=0;break;}}if(ok){pts[num+1]=i;if(dfs(i,num+1))return true;}}}if(num>cntClique){ //多枚举⼀个，最多只扩充⼀个点for(int i=1;i<=num;++i){res[i]=pts[i];}cntClique=num;return true;}return false;}void maxClique(){cntClique=-1;for(int i=n;i>0;--i){pts[1]=i;dfs(i,1);cnt[i]=cntClique;}}int main(){int T;scanf("%d",&T);while(T--){memset(G,0,sizeof G);scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;++i){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);G[u][v]=1;G[v][u]=1;}for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=n;++j){if(i==j)G[i][j]=0;else{G[i][j]^=1;}}}maxClique();printf("%d\n",cntClique);for(int i=1;i<=cntClique;++i){printf("%d ",res[i]);}}return 0;}。
回溯法实验(最大团问题)
算法分析与设计实验报告第七次附加实验测试结果当输入图如下时：当输入图如下时：1 2345 1 2345当输入图如下时：实验分析通过三个实例图，我们只是简单的将最开始的原始图进行加边处理，可以发现结果就会发生变化。
最大团问题可是比较典型的利用解空间的子集树进行深度搜索，然后通过上界函数进行剪枝，只是此处的上界函数比较简单，只要判断是否还有做够的顶点能够构成最大团即可，相对于0-1背包问题和最优装载问题来说还是简单一点，其中主要注意的就是要加入现有团的顶点必须满足和所有的团内的顶点都有边相连，这样才能加入该团中，否则就不能加入团中。
实验心得最大团问题和图的m 着色问题用回溯法解很相似，他俩在对于判断的时候都比较简单，但是相比而言，由于最大团问题涉及到利用上届函数进行右子树剪枝，所以相比较而言复杂一点，最大团问题的上届函数和很多问题比如最优装载问题的上届函数原理是相同的，就是判断右子树当前节点最好的可能是否能够比当前最优解要好，如果当前节点的最好情况都不能超过当前最优解，那么说明最优解绝对不会有该节点，因此可以将该节点所在的右子树剪掉，这样就减少了算法的查找和回溯的时间。
这里要提一点的是在进行右子树剪枝的时候使用了大于等于，如果只是大于的话就没有办法找到顶点数相同的其他最优解了，同样找到叶子节点时则证明得到一个最优解，将其输出即可实验得分助教签名1 2345附录：完整代码（回溯法）//最大团问题回溯法求解#include<iostream>using namespace std;class Clique{friend void MaxClique(int **,int *,int );private:void Backtrack(int i);int **a; //图的邻接矩阵int n; //图的顶点数int *x; //当前解int *bestx; //当前最优解int cn; //当前顶点数int bestn; //当前最大顶点数};void Clique::Backtrack(int i){ //计算最大团if(i>n) //到达叶子节点{for(int j=1;j<=n;j++)bestx[j]=x[j];bestn=cn;cout<<"最大团：（";for(int i=1;i<n;i++)cout<<bestx[i]<<",";cout<<bestx[n]<<")"<<endl;return;}//检查当前顶点是否与当前团连接int ok=1;for(int j=1;j<i;j++)if(x[j]&&a[i][j]==0) //i与j不连接,即j在团中,但是i,j不连接{ok=0;break;}if(ok) //进入左子树{x[i]=1;cn++;Backtrack(i+1); //回溯到下一层节点x[i]=0;cn--;}//通过上界函数判断是否减去右子树，上界函数用于确认还有足够多的可选择顶点使得算法有可能在右子树中找到更大的团if(cn+n-i>=bestn){ //修改一下上界函数的条件，可以得到x[i]=0; //相同点数时的解Backtrack(i+1);}}void MaxClique(int **a,int *v,int n){ //初始化YClique Y;Y.x=new int[n+1];Y.a=a;Y.n=n;=0;Y.bestn=0;Y.bestx=v;Y.Backtrack(1);delete [] Y.x;cout<<"最大团的顶点数："<<Y.bestn<<endl;}int main(){int n;cout<<"please input number of node:";cin>>n;//int a[n+1][n+1]; //由于定义的是int **a，且采用的是二维数组传参，因此int **a=new int *[n+1]; //两种解决方法，一是给定第二维的大小，二是通过for(int i=0;i<=n;i++) //动态分配内存，这里采用了动态内存分配解决问题a[i]=new int[n+1];for(int i=0;i<n+1;i++)for(int j=0;j<n+1;j++)a[i][j]=0;int edge;cout<<"please input number of edge:";cin>>edge;cout<<"please input edge:"<<endl;int v,w;for(int i=0;i<edge;i++){cin>>v>>w;a[v][w]=1;a[w][v]=1;}int *p=new int[n+1];MaxClique(a,p,n);system("pause");return 0;}。
算法笔记——【分支限界法】最大团问题
问题描述给定无向图G=(V, E)，其中V是非空集合，称为顶点集；E 是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集，无向图中的边均是顶点的无序对，无序对常用圆括号“( )”表示。
如果U∈V，且对任意两个顶点u，v∈U有(u, v)∈E，则称U是G的完全子图(完全图G就是指图G的每个顶点之间都有连边)。
G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。
G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。
如果U∈V且对任意u，v∈U有(u, v)不属于E，则称U是G的空子图。
G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中。
G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集。
对于任一无向图G=(V, E)，其补图G'=(V', E')定义为：V'=V，且(u, v)∈E'当且仅当(u, v)∈E。
如果U是G的完全子图，则它也是G'的空子图，反之亦然。
因此，G的团与G'的独立集之间存在一一对应的关系。
特殊地，U是G的最大团当且仅当U是G'的最大独立集。
例：如图所示，给定无向图G={V, E}，其中V={1,2,3,4,5}，E={(1,2), (1,4), (1,5),(2,3), (2,5), (3,5), (4,5)}。
根据最大团(MCP)定义，子集{1,2}是图G的一个大小为2的完全子图，但不是一个团，因为它包含于G的更大的完全子图{1,2,5}之中。
{1,2,5}是G的一个最大团。
{1,4,5}和{2,3,5}也是G的最大团。
右侧图是无向图G的补图G'。
根据最大独立集定义，{2,4}是G的一个空子图，同时也是G的一个最大独立集。
虽然{1,2}也是G'的空子图，但它不是G'的独立集，因为它包含在G'的空子图{1,2,5}中。
{1,2,5}是G'的最大独立集。
{1,4,5}和{2,3,5}也是G'的最大独立集。
最大团问题MaxCliqueC++源码
最大团问题MaxCliqueC++源码// TSP.htemplate class Traveling{public:Traveling(int,T**,T,T);~Traveling();void Backtrack(inti);void print();private:void swap(T&a,T&b);int N,*X,*BestX;T**A,CC,BestC,NoEdge;};templateTraveling::Traveling(intn,T**a,Tc,T e) {N=n;A=a;NoEdge=e;X=new int[N+1];BestX=new int[N+1];CC=c;BestC=e;for(inti=0;i<=N;i++)X[i]=i;}templateTraveling::~Traveling(){delete[]X;delete[]BestX;}templatevoid Traveling::swap(T&a,T&b) {T temp=a;a=b;b=temp;}templatevoid Traveling::print(){if(BestC!=NoEdge){cout<<"最优巡回路线是："<<endl;< p=""> cout<<bestx[1]<<endl;< p="">for(inti=2;i<=N;i++){cout<<"->"<<bestx[i]<<endl;< p="">}cout<<endl;< p="">cout<<"所需费用为："<<bestc<<endl;< p=""> }elsecout<<"问题无解!"<<endl;< p="">}templatevoid Traveling::Backtrack(inti){if(i==N){if(A[X[N-1]][X[N]]!=NoEdge&&A[X[N]][1]!=NoEdge&&(CC+A[X[N-1]][X[N]]+A[X[N]][1]{for(int j=1;j<=N;j++){BestX[j]=X[j];}BestC=CC+A[X[N-1]][X[N]]+A[X[N]][1]; }}else{for(int j=i;j<=N;j++){//是否可进入x[j]子树?if(A[X[i-1]][X[j]]!=NoEdge&&(CC+A[X[i-1]][X[i]]<bestc||< p=""> BestC==NoEdge)){//搜索子树swap(X[i],X[j]);CC+=A[X[i-1]][X[i]];Backtrack(i+1);CC-=A[X[i-1]][X[i]];swap(X[i],X[j]);}}}}// make2db.h#ifndef Make2DArray_#define Make2DArray_templatevoid Make1DArray(T * &x, int cols){x = new T[cols];}templatevoid Make2DArray(T ** &x, int rows, int cols){x = new T * [rows];for (inti = 0; i< rows; i++)x[i] = new T[cols];}templatevoid Make3DArray(T *** &x, int plan, int rows, int cols){ x = new T ** [plan];for (inti = 0; i< plan; i++)x[i] = new T* [rows];for (inti = 0; i< plan; i++)for (int j = 0; j < rows; j++)x[i][j] = new T[cols];}templatevoid remove1DArray(T * &x){delete [] x;}templatevoid remove2DArray(T ** &x, int rows){for (inti = 0; i< rows; i++)delete [] x[i];delete [] x;}templatevoid remove3DArray(T *** &x, int plan, int rows){ for (inti = 0; i< plan; i++)for (int j = 0; j < rows; j++)delete [] x[i][j];for (inti = 0; i< rows; i++)delete [] x[i];delete [] x;}#endif// cclique.hclass clique{public:clique(int **,int [],int);~clique();void backtrack(inti);void print();private:int **a;//图g的邻接矩阵int n;//图g顶点数int *x;//当前解int *bestx;//当前最优解intcn;//当前顶点数intbestn;//当前最大顶点数int **A;int N;int *X;};clique::clique(int **a,int v[],int n) {cout<<"*"<<endl;< p="">A=a;N=n;X=new int[N+1];cn=0;bestx=new int[N+1];v=new int[N+1];/*for(inti=0;i<=N;i++){X[i]=1;v[i]=0;bestx[i]=v[i];}*/cout<<"*"<<endl;< p="">}clique::~clique(){delete []x;delete []bestx;}void clique::print(){if(bestx!=0){cout<<"最大团是："<<endl;< p="">cout<<bestx[1]<<endl;< p="">for(inti=2;i<=N;i++){cout<<bestx[i]<<' '<<endl;<="" p="">}cout<<endl;< p="">}elsecout<<"问题无解!"<<endl;< p="">}void clique::backtrack(inti)//回朔方程{if(i>N)//判断是否有必要继续进行回朔{for(int j=1;j<=N;j++)//如果i小于总顶点的个数就执行循环bestx[j]=X[j];//并且将当前解赋值给当前最优解bestn=cn;//并且将当前顶点个数记为最大顶点个数return;}int ok=1;for(int j=1;j<="">if(X[j]&&A[i][j]==0)//如果i与j是不相连的{ok=0;//将ok变为假break;//并且跳出循环}if(ok)//如果ok为真{X[i]=1; //把相对的数组的位置变为真cn++;//并且当前点数增加一backtrack(i+1);//再马上递归调用原函数继续判断下个个数的顶点数是否适合组成最大团X[i]=0;//要是得出的数组相对应的位置为假cn--;//当前点减小一}if(cn+N-i>bestn)//如果当前点加上总共点的个数减去参数的值比当前最大的点数大当出现不符合组成最大团的点的时候就是用这个函数将其踢走{X[i]=0;//相对应数组的位置变成假backtrack(i+1);//然后调用下个点的个数}}// Maxclique.cpp#include#include#include"cclique.h"#include"Make2db.h"#include"stdlib.h"void main(void){int n,**a,*v;ifstream fin("data.txt");if(!fin){cerr<<"不能打开文件:"<<"data.txt"<<endl;< p="">exit(1);}fin>>n;Make2DArray(a,n+1,n+1); for(inti=1;i<n;i++)< p=""> for(int j=1;j<=n;j++) fin>>a[i][j];clique cli(a,v,n);cli.backtrack(1);cli.print();//TravelingTra(n,a,0,-1);//Tra.Backtrack(2);//Tra.print();remove2DArray(a,n+1);}</n;i++)<></endl;<></endl;<></endl;<></bestx[i]<<'></bestx[1]<<endl;<></endl;<></endl;<></endl;<></bestc||<></endl;<></bestc<<endl;<></endl;<></bestx[i]<<endl;<></bestx[1]<<endl;<></endl;<>。
极大团（maximalclique）算法：Born_kerbosch算法
极⼤团（maximalclique）算法：Born_kerbosch算法不了解极⼤团（maximal clique）的，请看这篇⽂章参考资料：当给出⼀个图后，我们应该怎么去寻找其中的极⼤⼦团呢？寻找极⼤⼦团的最简单的思想是：1.⽣成原始图的所有⼦图（可能的⼦图有2*n个，n代表顶点个数）2.判断这些⼦图是不是团3.将不是极⼤团的团删除Born_Kerbosch算法这个算法主要构造三个集合：R集合：存储当前极⼤团中加⼊的顶点P集合：存储可能还加⼊的点X集合：存储的是已经假如过某个极⼤团的点（作⽤是判重，因为会从每个顶点开始，枚举所有团，如果不对已经加⼊到某个极⼤团的顶点进⾏标记，可能会有重复极⼤团的出现）基础Born_kerbosch算法：1.对于任意⼀个在集合P中的顶点V，我们把V加⼊到R集合（集合P中的每⼀个顶点均与R集合中所有的点是连接的，所以加⼊顶点V后，依然能保证集合R是个团），然后对在P集合中且与V相连的这部分点中，寻找下⼀个可能加⼊到R集合的点。
（意思就时加⼊点v⾄R集合后更新P集合，使P集合中的任意⼀个点依然能和R集合中每⼀个点都是连接的。
因为这⾥新R集合中加⼊了V，所以只要是原p集合中且与v顶点相连的这些顶点就是与新R集合中所有顶点相连）2.回溯时把顶点V从P中移除并加⼊到X集合，表⽰在当前状态下包含顶点V的极⼤团已经计算完毕。
3.R集合为极⼤团时，必须满⾜P与X都是空的。
P存放的是还可能加⼊到极⼤团R中的点，P集合为空表⽰已经没有点能加⼊到R中了。
⽽X 中存放的是已经完成极⼤团计算的点，且X集合中的任意⼀个点必然是与R中每个顶点都连接（因为我们每次向下dfs时，还对P和X分别进⾏取与R集合内都连接的操作来保证，⽽且X中的点就是从R中取出的点，当然会和R集合中的每个点都连接），即X中的点必然可以和R集合构成极⼤团。
如果X集合不为空的话，可以把X的点加⼊到R集合中从⽽构成⼀个团R1，R1的顶点数⼤于R，说明R就不是⼀个极⼤团，R1集合中的极⼤团是之前计算包含x集合中的点的极⼤团的时候计算过了的，故当且仅当P、X集合都为空时R才是⼀个极⼤团。
启发式算法求最大团
启发式算法求最大团Heuristic algorithms are a type of problem-solving method that uses intuitive or experiential approaches to find approximate solutions to complex optimization problems. 启发式算法是一种问题解决方法，它使用直觉或经验性方法来寻找复杂优化问题的近似解决方案。
These algorithms are often employed when traditional optimization techniques are not efficient or feasible due to the problem's size or complexity. 这些算法通常在传统的优化技术由于问题的规模或复杂性而不够高效或可行时使用。
One common application of heuristic algorithms is in finding maximum cliques or maximum independent sets in graphs, known as the maximum clique problem. 启发式算法的一个常见应用是在图中找到最大团或最大独立集，也就是最大团问题。
The maximum clique problem is NP-complete, meaning that it is generally intractable to solve optimally for large instances using exact methods. 最大团问题是NP完全问题，意味着对于大规模实例使用精确方法解决通常是不可行的。
There are several heuristic algorithms that have been developed to tackle the maximum clique problem, each with its own strengths and weaknesses. 有几种启发式算法已经被开发用来解决最大团问题，每种算法都有其优缺点。
最大团问题MaxClique
计算机算法设计与分析最大团问题研究报告目录1. MCP问题描述 (1)1.1 MCP问题基本概念 (1)1.2 MCP问题数学描述 (1)2. MCP问题应用背景 (2)3. 求解MCP问题的常用算法 (2)3.1 顺序贪婪启发式算法 (2)3.2 局部搜索启发式算法 (2)3.3 智能搜索启发式算法 (3)3.3.1 遗传算法 (3)3.3.2 模拟退火算法 (3)3.3.3 禁忌算法 (4)3.3.4 神经网络算法 (4)3.4 改进蚁群算法-AntMCP (4)3.5 其它启发式算法 (5)3.6 回溯法 (6)3.6.1 算法基本思想 (6)3.6.2 算法设计思想 (6)3.6.3 实例分析 (7)3.6.4 程序设计及测试 (8)3.7 分支限界法 (11)3.7.1 算法描述 (11)3.7.2 算法求解流程 (12)3.7.3 优先队列式分支限界法求解MCP问题 (12)3.7.4 实例分析 (13)3.7.5 程序设计及测试 (13)4. 回溯法与分支限界法比较 (18)最大团问题及其求解算法研究最大团问题（Maximum Clique Problem, MCP ）是图论中一个经典的组合优化问题，也是一类NP 完全问题，在国际上已有广泛的研究，而国内对MCP 问题的研究则还处于起步阶段，因此，研究最大团问题具有较高的理论价值和现实意义。
最大团问题又称为最大独立集问题（Maximum Independent Set Problem ），在市场分析、方案选择、信号传输、计算机视觉、故障诊断等领域具有非常广泛的应用。
目前，求解MCP 问题的算法主要分为两类：确定性算法和启发式算法。
确定性算法有回溯法、分支限界法等，启发式算法蚁群算法、顺序贪婪算法、DLS-MC 算法和智能搜索算法等。
不管哪种算法，都要求在多项式时间内求得MCP 问题的最优解或近似解。
图分为有向图和无向图，本文主要研究确定性算法求解无向图最大团问题。
回溯法求解最大团问题python
回溯法求解最大团问题python一、什么是最大团问题？最大团问题是一个经典的NP完全问题，其目标是在一个无向图中找到一个完全子图，使得该子图中的任意两个节点都有一条边相连，并且该子图的节点数最多。
换句话说，就是在一个无向图中找到一个最大的、完全的子图。
最大团问题在实际应用中有很多重要的应用，如社交网络分析、生物信息学等。
二、回溯法求解最大团问题回溯法是一种搜索算法，它通过不断地试探和回溯来寻找问题的解。
回溯法通常适用于求解组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
对于最大团问题来说，回溯法也是一种可行的求解方法。
1. 回溯法基本思想回溯法通过深度优先搜索来遍历所有可能的解空间，并通过剪枝技术来减少搜索空间。
在搜索过程中，每当发现当前状态不满足要求时，就会回溯到之前的状态并尝试其他可能性。
直到找到一个满足要求的解或者遍历了所有可能性为止。
2. 最大团问题的回溯算法实现对于一个无向图G(V,E)，其中V表示节点集合，E表示边集合。
我们可以通过一个布尔类型的矩阵A来表示该图的邻接矩阵。
其中，A(i,j) = True表示节点i和节点j之间有一条边相连，反之则为False。
在回溯算法中，我们需要定义一个函数max_clique来实现最大团问题的求解。
该函数需要接受三个参数：G表示无向图的邻接矩阵；k表示当前正在考虑第k个节点；C表示当前已经选定的节点集合。
算法流程如下：1. 如果已经遍历了所有的节点，则输出当前选定的节点集合C，并返回。
2. 否则，对于当前考虑的节点k，分别判断是否与当前已经选定的节点集合C中所有元素都相连。
如果是，则将该节点加入到C中，并继续递归求解下一层问题；否则跳过该节点并继续考虑下一个节点。
3. 在递归求解下一层问题后，如果发现当前选定的节点集合C中元素个数比之前找到的最优解还要多，则更新最优解。
4. 回溯到上一层状态，并尝试其他可能性。
代码实现如下：```pythondef max_clique(G, k, C, best):if k == len(G):if len(C) > len(best):best.clear()best.extend(C)returnif all(G[k][i] for i in C):C.append(k)max_clique(G, k+1, C, best)C.pop()if len(C) + len(G) - k > len(best):max_clique(G, k+1, C, best)# 示例代码G = [[False, True, True, False],[True, False, True, True],[True, True, False, True],[False, True, True, False]]best = []max_clique(G, 0, [], best)print(best)```运行结果为：[1, 2, 3]三、总结回溯法是一种基于深度优先搜索的算法，它通过不断地试探和回溯来寻找问题的解。
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计算机算法设计与分析最大团问题研究报告目录1. MCP问题描述 (1)1.1 MCP问题基本概念 (1)1.2 MCP问题数学描述 (1)2. MCP问题应用背景 (2)3. 求解MCP问题的常用算法 (2)3.1 顺序贪婪启发式算法 (2)3.2 局部搜索启发式算法 (2)3.3 智能搜索启发式算法 (3)3.3.1 遗传算法 (3)3.3.2 模拟退火算法 (3)3.3.3 禁忌算法 (4)3.3.4 神经网络算法 (4)3.4 改进蚁群算法-AntMCP (4)3.5 其它启发式算法 (5)3.6 回溯法 (6)3.6.1 算法基本思想 (6)3.6.2 算法设计思想 (6)3.6.3 实例分析 (7)3.6.4 程序设计及测试 (8)3.7 分支限界法 (11)3.7.1 算法描述 (11)3.7.2 算法求解流程 (12)3.7.3 优先队列式分支限界法求解MCP问题 (12)3.7.4 实例分析 (13)3.7.5 程序设计及测试 (13)4. 回溯法与分支限界法比较 (18)最大团问题及其求解算法研究最大团问题（Maximum Clique Problem, MCP ）是图论中一个经典的组合优化问题，也是一类NP 完全问题，在国际上已有广泛的研究，而国内对MCP 问题的研究则还处于起步阶段，因此，研究最大团问题具有较高的理论价值和现实意义。
最大团问题又称为最大独立集问题（Maximum Independent Set Problem ），在市场分析、方案选择、信号传输、计算机视觉、故障诊断等领域具有非常广泛的应用。
目前，求解MCP 问题的算法主要分为两类：确定性算法和启发式算法。
确定性算法有回溯法、分支限界法等，启发式算法蚁群算法、顺序贪婪算法、DLS-MC 算法和智能搜索算法等。
不管哪种算法，都要求在多项式时间内求得MCP 问题的最优解或近似解。
图分为有向图和无向图，本文主要研究确定性算法求解无向图最大团问题。
1. MCP 问题描述1.1 MCP 问题基本概念给定无向图G =(V , E )，其中V 是非空集合，称为顶点集；E 是V 中元素构成的无序二元组的集合，称为边集，无向图中的边均是顶点的无序对，无序对常用圆括号“( )”表示。
如果U ⊆V ，且对任意两个顶点u ，v ∈U 有(u , v )∈E ，则称U 是G 的完全子图。
G 的完全子图U 是G 的团当且仅当U 不包含在G 的更大的完全子图中。
G 的最大团是指G 中所含顶点数最多的团。
如果U ⊆V 且对任意u ，v ∈U 有(u , v )∉E ，则称U 是G 的空子图。
G 的空子图U 是G 的独立集当且仅当U 不包含在G 的更大的空子图中。
G 的最大独立集是G 中所含顶点数最多的独立集。
对于任一无向图G =(V , E )，其补图G '=(V ', E ')定义为：V '=V ，且(u , v )∈E '当且仅当(u , v )∉E 。
如果U 是G 的完全子图，则它也是G '的空子图，反之亦然。
因此，G 的团与G '的独立集之间存在一一对应的关系。
特殊地，U 是G 的最大团当且仅当U 是G '的最大独立集。
1.2 MCP 问题数学描述最大团问题作为一个整数规划问题有许多等价的描述，整数规划问题描述如下：设t : (0,1)n →2v ，t (x )={i ∈V : x i =1}，∀x ∈{0,1}n ，∀S ∈2v ，则x =t -1(S )={x i : i =1,2,…,n }，其中⎩⎨⎧∉∈=S i S i x i ,0,1，n 为图的顶点数。
∑=-=ni i x x f 1)(min (1)s.t. nj i x E j i x x }1,0{,),(,1∈'∈∀≤+。
如果x*是式(1)的最优解，则集合C =t (x*)是图G 的一个最大团，且|C |=-f (x*)。
由于x i , x j ∈{0,1}，x i +x j ≤1，∀(i , j )∈E '当且仅当x i x j =0，有x I A x x x x x f G T j i E j i j i n i i )(2)(,),(1-=+-='>'∈=∑∑，其中G A '为图G 的补图G'的邻接矩阵。
MCP 问题等价于下面的全局二次0/1问题：Ax x x f T =)(min (2)s.t. x ∈{0,1}n其中A =A G'-I 。
如果x*是式(2)的最优解，则集合C =t (x*)是图G 的一个最大团，且|C |=-f (x*)。
2. MCP 问题应用背景MCP 问题是现实世界中一类真实问题，在市场分析、方案选择、信号传输、计算机视觉、故障诊断等领域具有非常广泛的应用。
自1957年Hararv 和Ross 首次提出求解最大团问题的确定性算法以来，研究者们已提出了多种确定性算法来求解最大团问题。
但随着问题规模的增大（顶点增多和边密度变大），求解问题的时间复杂度越来越高，确定性算法显得无能为力，不能有效解决这些NP 完全问题。
20世纪80年代末，研究者们开始尝试采用启发式算法求解最大团问题，提出了各种各样的启发式算法，如顺序贪婪启发式算法、遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法、神经网络算法等，并且取得了令人满意的效果。
在时间上，由于采用了启发式信息，启发式算法的运算时间与确定性算法的运算时间之间的比值会随着图的顶点、边密度的增加而变得越来越小。
唯一的缺点就是不一定能找到最优值，有时只能找到近优值。
近年来研究表明，单独使用一种启发式算法求解最大团问题，算法性能往往并不是很好，因此，常借鉴算法之间优势互补策略，形成新的混合启发式算法来求解最大团问题。
当前求解该问题最好的启发式算法有反作用禁忌搜索（Reactive Tabu Search, RTS ）算法、基于遗传算法的简单启发式算法（Simple Heuristic Based Genetic Algorithm, HGA ）、DLS-MC 算法等。
3. 求解MCP 问题的常用算法本节首先对求解最大团问题的常用算法进行简要的阐述，然后重点对回溯法和分支限界法求解最大团问题进行着重分析，并用C++语言在Visual Studio 2008环境下编程实现。
3.1 顺序贪婪启发式算法顺序贪婪启发式算法是最早的求解最大团的启发式算法。
这类算法通过给一个团重复进行加点操作得到一个极大团或者对一组并不是团的子图重复进行删除顶点操作以得到一个团。
1987年，Kopf 和Ruhe 把这类型算法分为Best in 和Worst out 两类。
(1) Best in 方法的基本思路：由一个团出发，和这个团中顶点相连的顶点组成候选集；然后以一定的启发式信息，从中选择顶点加入团中，以后反复进行，直到最后得到一个极大团。
(2) Worst out 方法的基本思路：从整个顶点集开始，然后按一定的启发式信息，从中反复进行删除顶点操作，直到最后得到一个团。
顺序贪婪启发式算法有很大不足，该算法一旦找见一个极大团，搜索就停止，因此找到最大团的概率相对较低。
3.2 局部搜索启发式算法假设S G 为图的所有极大团的集合，由于顺序贪婪启发式算法仅能找见S G 中的一个极大团，因此，为了提高解的质量，应当扩大在S G 的搜索区域，比如，可以在极大团S 的邻居中继续进行搜索，以扩大搜索区域，进而提高解的质量。
在局部搜索启发式算法中，如果搜索S 的邻居越多，提高解的质量的机会就越大。
依赖不同的邻居定义，局部搜索启发式算法可以得到不同的解。
在局部搜索启发式算法中，比较有名的算法是K-interchange 启发式算法，它是一种基于K-neighbor邻居实现的，在解集S的K邻居中进行局部搜索的方法。
分析可知，局部搜索启发式算法存在一个问题，即仅能够找见一个局部最优值。
所以为了提高求解的质量，常把该算法和其它算法相混合，从而得到求解MCP问题的新的算法。
Wayne Pullan和Holger H．Hoos基于这一思想提出了求解最大团问题的DLS-MC算法，该算法是plateau search局部搜索启发式和算法迭代改善法相混合得到的，算法性能非常好，在该方法中引入了顶点惩罚函数，该函数在算法的求解过程中能够动态改变；在算法执行过程中迭代改善法和plateau search算法轮流执行来提高解的质量。
在基准图上对该算法进行了测试，性能非常好。
3.3 智能搜索启发式算法智能搜索算法主要有遗传算法、禁忌算法、模拟退火算法、神经网络等。
3.3.1 遗传算法遗传算法（Genetic Algorithm, GA）是一种基于自然选择和群体遗传机理的搜索算法，它模拟了自然选择和自然遗传过程中发生的复制、交叉和变异现象。
1993年，Carter和Park首次提出使用遗传算法求解最大团问题，但由于所求解的质量差，计算复杂度高，因此，他们认为遗传算法并不适合求解最大团问题。
与此同时，Bäck和Khuri致力于最大独立集问题的求解，却得到了完全相反的结论，通过选用合适的适应度函数，取得了很好的效果。
因此在使用GA来解决最大团问题时，适应度函数起着非常关键的作用。
此后，基于遗传算法求解最大团问题的方法逐渐增多，但在提高解的质量，降低算法复杂度上方面却没有大幅度的提高。
l998年，Marchiori提出了一种基于遗传算法的简单启发式算法（simple heuristic based genetic algorithm, HGA)。
算法由两部分组成：简单遗传算法（simple genetic algorithm, SGA）和简单的贪婪启发式局部搜索算法（simple greedy heuristic local search algorithm, SGHLSA）。
在基准图上对算法HGA的性能进行测试，证明了该算法在解的质量和计算速度方面都优于基于遗传算法的其它算法。
因此，单纯使用遗传算法（改动变异、杂交、选择等算子）求解最大团问题时，算法的性能是比较差；要提高算法性能，遗传算法最好能和局部搜索算法相结合。
3.3.2 模拟退火算法模拟退火（Simulated Annealing, SA）算法是N. Metropolis在1953年提出的一种基于物质退火过程的随机搜索算法，是一种迭代求解的启发式随机搜索算法。
首先在高温下较快地进行搜索，使系统进入“热平衡”状态，大致地找到系统的低能区域。
随着温度的逐渐降低，搜索精度不断提高，可逐渐准确地找到最低能量的基态。
作为局部搜索算法的扩展，当邻域的一次操作使当前解的质量提高时，接受这个改进解作为新的当前解；反之，以一定的概率接受相对质量比较差的解作为新的当前解。