量子力学 第二版 第六章__散射 习题答案 周世勋
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第六章 散射
1．粒子受到势能为
2
)(r
a r U =
的场的散射，求S 分波的微分散射截面。
[解] 为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。注意到第l 个分波的相角位移l δ是表示在辏力场中的矢径波函数l R 和在没有散射势时的矢径波函数l j 在∞→r 时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。
矢径的波动方程是：
0))1()((12
2
22=+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛l l R r l l r V k dr dR r dr d r
其中l R 是波函数的径向部分，而
E
k
r U r V 2
2
2
2),(2)(
μμ=
=
令
r
r x R l l )(=
，不难把矢径波动方程化为
02)1(222
2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+''l l x r r l l k x μα
再作变换 )(r f r x l =，得
0)(221)(1)(22
2
2
=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-
+'+''r f r
e k r
f r
r f μα
这是一个贝塞尔方程，它的解是
)
()()(kr BN kr AJ r f p p +=
其中
2
2
2
221 μα+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=l p 注意到
)
(kr N p 在0→r 时发散，因而当0→r 时波函数
∞
→=
r
N R p l ，不符合波函数的标准条件。所以必须有0=B
故
)
(1kr J r A
R p l =
现在考虑波函数l R 在∞→r 处的渐近行为，以便和l j 在∞→r 时的渐近行为比较，而求
得相角位移l δ，由于：
)
2
sin(1)4
2
sin(1)(l l kr r
p kr r
r R δππ
π+-
=
+
-
→
∞→
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-=++-=∴
2122122422
2l d l l p l μππ
ππδ
当l δ很小时，即α较小时，把上式展开，略去高次项得到
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨
⎧+
-=2122
l l μα
πδ
又因 l i i e
l
δδ212=-
故
∑∞
=-+=
2)
(c o s )1)(12(21)(l l i P e
l ik
f l
θθδ
∑∞
=⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=02)
(cos 122)12(21l l P l i l ik θμαπ
∑∞
=-
=0
2
)
(cos l l
P k θπμα
注意到
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤⎪⎪⎭⎫
⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=∑∑∞=∞=02
121202
1121212
22112
)(cos 1)(cos 1cos 21
1
l l l l l l
r r P r r r r r P r r r r r r r r 当当θθθ
如果取单位半径的球面上的两点来看 则 121==r r ，即有
∑∞
==
=
-0
2sin
21)(cos )
cos 1(21l l
P θθθ
故
2s i n
21)(2
θ
πμα
θ
k f -
=
微分散射截面为
θ
θ
α
μπθθ
α
μπθθd E
d k d f 2
csc
82
sin
41)(2
2
2
224
2
2
22
=
=
由此可见，粒子能量E 愈小，则θ较小的波对微分散射截面的贡献愈大；势能常数α愈大，微分散射截面也愈大。
2．慢速粒子受到势能为
⎩⎨
⎧><=a r a r U r U 当当,0,
)(0
的场的散射，若0,00>
[解] 慢速粒子的德布罗意波长很长，所以只需要考虑S 分波。
在a r >处，方程为 2210l l l(l )x k x r +⎡⎤''+-=⎢⎥⎣⎦
其中
2
2
2
E k
μ=
在a r <处，则有 2210l l l(l )x k x r +⎡⎤
'''-+=⎢⎥⎣⎦
其中
2
02
)
(2 E U k -=
'μ
而波函数是
r x R l l =
在a >>λ的情况下，只故虑S 分波，即0=l 的情况，上面两个方程变为
002
=+''>x k x a r 0020
=-'' r 其解分别为 当a r >时， )sin(00δ+=kr B x 当a r <时， 0x Ashk r A c hk r '''=+ 由于在0→r 时， r x R 0 0= 有限，但 1cos 0 −−→−'→r r k 当 故 0='A 即 )(0a r r k A s h x <'=