弹性变形与塑性变形

一、弹性和塑性的概念

可变形固体在外力作用下将发生变形。根据变形的特点，固体在受力过程中的力学行为可分为两个明显不同的阶段：当外力小于某一限值（通常称之为弹性极限荷载）时，在引起变形的外力卸除后，固体能完全恢复原来的形状，这种能恢复的变形称为弹性变形，固体只产生弹性变形的阶段称为弹性阶段；当外力一旦超过弹性极限荷载时，这时再卸除荷载，固体也不能恢复原状，其中有一部分不能消失的变形被保留下来，这种保留下来的永久变形就称为塑性变形，这一阶段称为塑性阶段。

根据上述固体受力变形的特点，所谓弹性，就定义为固体在去掉外力后恢复原来形状的性质；而所谓塑性，则定义为在去掉外力后不能恢复原来形状的性质。“弹性（Elasticity）”和“塑性（Plasticity）”是可变形固体的基本属性，两者的主要区别在于以下两个方面：

1）变形是否可恢复

．．．．．．．：弹性变形是可以完全恢复的，即弹性变形过程是一个可逆的过程；塑性

变形则是不可恢复的，塑性变形过程是一个不可逆的过程。

2）应力和应变之间是否一一对应

．．．．．．．．．．．．．：在弹性阶段，应力和应变之间存在一一对应的单值函数关

系，而且通常还假设是线性关系；在塑性阶段，应力和应变之间通常不存在一一对应的关系，而且是非线性关系（这种非线性称为物理非线性）。

工程中，常把脆性和韧性也作为一对概念来讲，它们之间的区别在于固体破坏时的变形大小，若变形很小就破坏，这种性质称为脆性；能够经受很大变形才破坏的，称为韧性或延性。通常，脆性固体的塑性变形能力差，而韧性固体的塑性变形能力强。

二、弹塑性力学的研究对象及其简化模型

弹塑性力学是固体力学的一个分支学科，它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力

学问题。因此，弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。

构成实际固体的材料种类很多，它们的性质各有差异，为便于研究，往往根据材料的主要性质做出某些假设，忽略一些次要因素，将它抽象为理想的“模型”。在弹性理论中，实际固体即被抽象为所谓的“理想弹性体”，它是一个近似于真实固体的简化模型。“理想弹性”的特征是：在一定的温度下，应力和应变之间存在一一对应的关系，而且与加载过程无关，与时间无关。

在塑性理论中，由于实际固体材料在塑性阶段的应力-应变关系过于复杂，若采用它进行理论研究和计算都非常复杂，因此，同样需要进行简化处理。常用的简化模型可分为两类，即理想塑性模型和强化模型。

1．理想塑性模型

在单向应力状态下，理想塑性模型的特征如图0.1所示。理想塑性模型又分为理想弹塑性模型和理想刚塑性模型。当所研究的问题具有明显的弹性变形时，常采用理想弹塑性模型。在总变形较大、而且弹性变形部分远小于塑性变形部分时，为简化计算，常常忽略弹性变形部分，而采用理想刚塑性模型；另外，在计算结构塑性极限荷载时，也常采用理想刚塑性模型。

2．强化模型

在单向应力状态下，强化模型的特征如图0.2所示。强化模型又分为线性强化弹塑性模型、线性强化刚塑性模型和幂次强化模型三种。

以上介绍的塑性简化模型仅仅是材料在单向应力状态下的情况，在二维和三维复杂应力状态下，塑性模型就要复杂得多了，有关这方面的概念，将在第三章中介绍。由于在土木工程

实践中，理想塑性模型应用较多，所以，本书在介绍与塑性理论相关的容时，基本都采用了这个简化模型。

三、基本假定

弹塑性力学是一门力学学科，所以，由牛顿最早总结出，其后又由拉格朗日（Lagrange）和哈米尔顿（Hamilton）等发展了的力学的一般原理在这里仍然有效，而且是构成它的理论体系的基石。但除此而外，它还包含有新的容，这主要是以下几个基本假定：

1．连续性假定

所谓连续性假定，是指将可变形固体视为连续密实的物体，即组成固体的质点无空隙地充满整个物体空间。任何物体都是由原子分子组成的。对于固体来讲，还由于整个固体由许多结晶颗粒组成，从而更增加了固体的不连续性。所以，仔细推敲起来，这个假设与实际情况是不相符合的。但如果研究的是固体的宏观力学性态，则所研究的每个微小单位实际上不仅包含有相当多的原子、分子，而且还包含有相当多的晶体，这时物体便可以认为是“连续的”了。可见，连续性假定是在一定条件下对客观事物的一个近似。从这一假定出发进行的力学分析，得到的结果已被广泛的实验和工程实践证明是正确的。

根据连续性假定，固体部任何一点的力学性质都是连续的，例如密度、应力、位移和应变等，就可以用坐标的连续函数来表示（因而相应地被称为密度场、应力场、位移场和应变场等），而且变形后物体上的质点与变形前物体上的质点是一一对应的。有了连续性假定，在进行弹塑性力学分析时，就可以利用基于连续函数的一系列数学工具，避免了数学上的极大困难。

2．均匀性假定

所谓均匀性假定，即认为所研究的可变形固体是由同一类型的均匀材料所构成的，因此，其各部分的物理性质都是相同的，并不因坐标位置的变化而变化。例如，固体各点的弹性性

质都相同。根据均匀性假定，在研究问题的时候，就可以从固体中取出任一单元来进行分析，然后将分析的结果用于整个物体。

3．各向同性假定

所谓各向同性，即假定可变形固体部任意一点在各个方向上都具有相同的物理性质，因而，其弹性常数不随坐标方向的改变而改变。实际上，有不少固体材料不具有这种性质，例如木材、竹材、纤维增强复合材料等，但这类材料不在本书讨论围之。此外，各向同性假定也仅仅应用于弹性阶段，即使是初始各向同性的固体，在进入塑性阶段后，也成为各向异性的。4．小变形假定

所谓小变形假定，即假定固体在外部因素（外力、温度变化等）作用下所产生的变形，远小于其自身的几何尺寸。根据小变形假定，可以不考虑因变形引起的固体的尺寸变化，而采用变形前的几何尺寸来代替变形后的尺寸，使得问题大为简化。例如，在研究物体的平衡时，可不考虑由于变形所引起的物体尺寸和位置的变化；在建立应变和位移之间的关系时，就可以略去几何方程中的二阶小量等，使基本方程线性化。

5．无初应力假定

假定所研究的可变形固体初始处于自然状态，即在外部因素（外力、温度变化等）作用之前，其部是没有应力的。这个假定仅仅为了表述简便而引进的，若固体有初应力存在，则在外部因素（外力、温度变化等）作用时，其部实际存在的应力即等于初应力加上外部因素作用所产生的应力。

以上假定是本书所讨论的问题的基础。此外，本书还不考虑固体与时间有关的力学性质如粘性等；同时，也不考虑固体在外力作用下的动力效应，即假设外力作用过程是一个缓慢的加载过程，在这个过程中，惯性力效应可以忽略不计（这样的加载过程称为准静态加载过程）。