高考线性规划必考题型(非常全)
线性规划经典例题
线性规划常见题型及解法一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值与最小值分别是（）A、13，1 B、13，2C、13，45D、解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）与（－1,1），则m 的取值范围是 （ ）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C七·比值问题 当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
(完整版)线性规划高考题及答案
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
例3、在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C)003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
例5已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。
六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例６在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）(A)(B)4 (C) (D)2七、研究线性规划中的整点最优解问题例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80(B) 85 (C) 90 (D)95• • • • • •C• 八、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由。
八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于由右图可知,故0＜m＜3，选C七、比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
高考线性规划常见题型(教师)
线性规划常见题型1．图中的平面区域（阴影部分包括边界）可用不等式组表示为 （ C ）A ．20≤≤xB ．⎩⎨⎧≤≤≤≤1020y xC ．⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+yx y x 022D ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+00022y x y x 2．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<31y y x xy ，表示的区域为D ，点P 1（0，-2），P 2（0，0），则（ C ）A ．D P D P ∉∉21且B ．D P D P ∈∉21且C ．D P D P ∉∈21且D ．D P D P ∈∈21且3．已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则 （ D ）A ．02300>+y xB ．<+0023y x 0C ．82300<+y xD ．82300>+y x一、求线性目标函数的取值范围4.若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A5.已知变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-07102y x x y x ，则x y 的取值范围是（ A ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59B.[]6,3C.[)∞+⎥⎦⎤⎝⎛∞-,659,Y D.(][)∞+∞-,63,Y6. 实数,x y 满足00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11y t x -=+的取值范围是: （ D ）（A ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ （D ）1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、求可行域的面积7.不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 （ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B8.已知R y x ∈,，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥02|||1|x x y x y 表示的平面区域的面积是__45______.9.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>123400y x y x 表示的平面区域的面积是____，平面区域内的整点坐标 .三、求可行域中整点个数10.满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩p p p p作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围11.已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值12.已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是 （ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D、5解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C13.若变量x y 、满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为AA. 2B. 3C. 5D. 614.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（ C ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -815.已知x ，y 满足条件5003x y x y x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，+，，则z=13y x -+的最大值是（ A ）A.3B.76 C.13 D.-2316．若实数,x y 满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值为 (B)（A（B ）10 （C ）0 （D）5+17．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤--0101x y x y x 下，则目标函数y x z+=10的最优解是（ D ）A ．（0，1），（1，0）B ．（0，1），（0，-1）C ．（0，-1），（0，0）D ．（0，-1），（1，0）18．某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A 、B 两种规格的金属板，每张面积分别为2m 2、3 m 2，用A 种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B 种金属板可造甲、乙产品各6个，则A 、B 两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料面积最省？（ A ）A ．A 用3张，B 用6张 B ．A 用4张，B 用5张C ．A 用2张，B 用6张D ．A 用3张，B 用5张六、求约束条件中参数的取值范围19.已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是（ ）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选 C七、线性规划的实际应用20.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3，第二种有56m 3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产品木料(单位m3)第一种第二种圆桌0.18 0.08衣柜0.09 0.28解：设生产圆桌x只,生产衣柜y个,利润总额为z元,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+5628.008.07209.018.0yxyxyx而z=6x+10y.如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l:6x+10y=0,即l:3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z=6x+10y取最大值解方程组⎩⎨⎧=+=+5628.008.07209.018.0yxyx,得M点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.21.某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的51.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg,问饲料怎样混合,才使成本最低.解:设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z元,那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥≥+500005135000yxxyyx,而z=0.28x+0.9y如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线0.28x+0.9y =t,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线x+y=35000和直线xy51=的交点)317500,387500(A,即387500=x,317500=y时,饲料费用最低.所以,谷物饲料和动物饲料应按5:1的比例混合,此时成本最低.指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.(例3图) (例4图)。
线性规划高考常见题型
x 2 y 4 0 4.若 x, y 满足 x y 1 0 ，则 x y 的取值范围是_ x 1
线性规划高考常见题型
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线性规划高考常见题型
分，则 k 的值是 7 A. 3 考法 3 距离
3 7 4 3 3 4
B.
C.
D.
x 0 1.设 D 为不等式组 2 x y 0 表示的平面区域，区域 D 上的点与点 (1, 0) 之间 x y 3 0
的距离的最小值为___________.
x y 3 0 2.若平面区域 2 x y 3 0 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行 x 2 y 3 0
面区域记为 2 ，在 1 中随机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为 A.
1 8
B.
1 4
C.
3 4
D.
7 8
2.设复数 z ( x 1) yi ( x, y R ) ，若 z 1 ，则 y x 的概率为 A.
3 1 4 2
B.
1 1 4 2
C.
1 1 2
C. 17 万元
乙 2 2
D. 18 万元
原料限额 12 8
A （吨） B （吨）
3 1
2.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a ,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿 石的价格 c 如下表：
a
b (万吨)
c （百万元）
A B
50% 70%
1 0．5
3 6
某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购买 铁矿石的最少费用为 (百万元).
八种经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、假设x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，那么z=x+2y的取值范围是〔〕A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、〔3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A〔2,0〕时，有最小值2，过点B〔2,2〕时，有最大值6，应选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为〔〕A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点〔x，y〕中整点〔横纵坐标都是整数〕有〔〕A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部〔包括边界〕，容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，那么a 的值为 〔 〕 A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个，那么将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，那么z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是〔 〕A 、13，1B 、13，2C 、13，45 D、解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点〔x ，y 〕到原点的距离的平方，故最大值为点A 〔2,3〕到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点〔0,0〕和〔－1,1〕，那么m 的取值范围是 〔 〕 A 、〔-3,6〕 B 、〔0,6〕 C 、〔0,3〕 D 、〔-3,3〕解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
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线性规划题型总结一、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x 【类型一：已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题】例1.求y x z 32+=的最大值.【类型二：已知线性约束条件，探求分式目标关系最值问题】例2.求112++=y x z 的取值范围.【类型三：已知线性约束条件，探求平方和目标关系最值问题】例3.求22)2(-+=y x z 的最值，以及此时对应点的坐标.【类型四：已知线性约束条件，探求区域面积与周长问题】例4.试求所围区域的面积与周长.【类型五：已知最优解，探求目标函数参数问题】例5.已知目标函数z ax y =+（其中0<a ）仅在（3,4）取得最大值，求a 的取值范围.【类型六：已知最优解，探求约束条件参数问题】 例6.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≤-122y x m y x y x ，目标函数y x z 32+=在（4,6）取得最大值，求m .二、线性规划的实际应用线性规划的实际应用题型大体有两类，一类是一项任务确定后，如何统一安排，做到以最少的人力物力完成任务；另一类是在人力物力一定的条件下，如何安排使得最大化的发挥效益.两类题型是同一个问题的两面，主要依据以下步骤：1.认真分析实际问题的数学背景，将对象间的生产关系列成表格；2.根据问题设未知量，并结合表格将生产关系写出约束条件；3.结合图形求出最优解.例1.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg.今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?例2. 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？针对练习一、选择题1.下列四个命题中真命题是（ ）A .经过点P (x o ,y o )的直线都可以用方程y －y o =k (x －x o )表示；B .经过任意两不同点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)=(x －x 1)(y 2－y 1)表示；C .不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示； D .经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示2.设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ）.A 1=+b a .B 1=-b a .C 0=+b a .D 0=-b a3.下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） Ａ.(02)， Ｂ.(20)-，Ｃ.(02)-， Ｄ.(20)， 4.若变量x 、y 满足约束条件 1.0.20.y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则z ＝x-2y 的最大值为A.4B.3C.2D.15.在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+最大值的变化范围是（ ） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]6.在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）A. B.4C. D.27.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是( )A.80B.85C. 90D.958.已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）.A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59 .B [)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U ，， .C (][)36-∞+∞U ，， .D [36]，二、填空题9.已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 ；10.若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 ；11.已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
高考数学线性规划题型总结
高考数学线性规划题型总结文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]线性规划常见题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。
数形结合是数学思想的重要手段之一。
习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .22x y +解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。
由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。
22x y +的最小值是为5。
点评：本题属非线性规划最优解问题。
求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。
习题2、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2C 、13，45D 、13，25图2x y O22 x=2y =2 x + y =2BA2x + y - 2= 0x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0OyxA解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C 练习2、已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,1052y x y x y x ，则x y 的最大值为___________，最小值为____________． 2，0三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例3、在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域是一个三角形。
线性规划的12种题型
线性规划的12种题型线性规划是高考必考的知识点，学生对这个知识点认识多数停留在简单应用阶段，现将常见题型归纳如下：一、 考查不等式表示的平面区域：例1、不等式0x y ->所表示的平面区域是（ ） A. B. C. D.分析：法一：代入特殊点验证；法二：看系数的符号，若x 系数为正数，则左小右大，选Ｂ练习１、不等式()20y x y +-≥在平面直角坐标系中表示的区域（用阴影部分表示）是 （ ）选Ｃ2、已知点()3,1-和()4,3--在直线320x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是__________．【答案】611a a ><-或二、 判断可行域形状例2、不等式组 (5)()0,03x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是( ) A.矩形 B.三角形 C.直角梯形 D.等腰梯形分析：画图可知为等腰梯形，选D练习2、已知约束条件400x k x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为（ ）A.0B.1C.1或3D.3选B三、 最值型简单线性规划例3、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-041y y x y x ，则目标函数y x z 42+=的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．11分析：1.画可行域，2画l 0:2x+4y=0,3平移到可行域的最右侧确定最优解的位置，4联立求出最优解坐标，4代入目标函数求最大值11选D练习3、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x y z +=的最小值为.答案：1四、最优解问题例4、如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界)内，目标函数ay x z -=2取得最大值的最优解有无数个，则a 为( )A.－2B.2C.－6D.6分析：因为x 的系数为正，所以目标函数与BC 重合时，取最大值，最优解有无数个 代入B 、C 的坐标两式相等，求出a=-2选A五、斜率型线性规划例5、若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为 ． 分析：1y x -相当于P （x,y ）与Q （0,1）连线的斜率，直线最陡时，斜率最大，P 取（1,3）答案：2练习：5、设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，且231x y z x ++=+，则z 的取值范围是（ ） A.[3,11] B.[2,10] C.[2,6] D.[1,5]选A六、距离型例6、设实数,x y 满足约束条件250403100x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则22z x y =+的最小值为 （ ）10 C.8 D.5分析：所求式子相当于原点与可行域内点距离的平方，利用点到直线距离公式可求 选B练习6、设x ，y 满足0,10,3220,y ax y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩若210z x x y =-+2的最小值为12-，则实数a的取值范围是（ ）A ．32a <B ．32a <-C ．12a ≥D ．12a ≤- 选D七、含绝对值型例7、实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-++≤20222x y x x y ，则||y x z -=的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8分析：先求出z=x-y 的最值，再取绝对值选B八、向量型例8、已知()21A ，，()00O ，，点()M x y ，满足12222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则z OA AM =的最大值为（ ）A ．1B ．0 C.1- D ．5-分析：先将向量化简，再求最值选A九、变换型例9、已知点(),M a b 在由不等式组002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩确定的平面区域内，则点(),N a b a b +-所在平面区域的面积是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8分析：设x=a+b,y=a-b,求出x,y 满足的关系式，再求解选C练习9设变量x ，y 满足1,0,0,x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则点(,)P x y x y +-所在区域的面积为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．14 选B十、隐含型例10、已知关于x 的方程2(1)210x a x a b +++++=的两个实根分别为1x ，2x ，且101x <<，21x >，则b a的取值范围是（ ） A ．1(1,)4-- B ．1(1,]4-- C ．(1,)-+∞ D ．1(,)4-∞- 分析：根据条件，利用根的分布列出关系式，提供约束条件，再求解选A练习10、若关于的方程22222(6)2410x a b b x a b a b -+-+++-+=的两个实数根1x ，2x 满足1201x x ≤≤≤，则224a b a ++的最大值和最小值分别为（ ） A.12和5+ B.72-和5+ C.72-和12 D.12-和15-选B十一、含参型例11、设1m >，变量x ，y 在约束条件,,1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值为2，则m =_________．分析：画大致图像，确定最优解位置，解方程组，代入求解1m =+练习1、当x ，y 满足不等式组22,4,72x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩时，22kx y -≤-≤恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．[]2,0-C ．13,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦练习2、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+1236x y x y x ，则目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为2，则b a 11+的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．53+D ．223+十二、曲线型例12已知实数,x y 满足401010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则2y z x =的最大值是 A ．13B ．9C ．2D ．11 分析：所求函数变形后为抛物线，代最高点取最大值【答案】B练习12已知P （x,y）的坐标满足021,x y x y x ≤⎧⎪>⎨⎪<+⎩________ 分析：可转化为向量夹角余弦，再画图求解答案：(（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
高考数学线性规划常见题型及解法[1]
![高考数学线性规划常见题型及解法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/e12c850c001ca300a6c30c22590102020740f2d2.png)
高考数学线性规划常见题型与解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。
现就常见题型与解决方法总结如下： 一、求线性目标函数的最值；例题：(2012年广东文5)已知变量,x y 满足条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为 A.3 .1 C5 6解析:利用线性规划知识求解。
可行域如图阴影所示，先画出直线01:2l y x =-，平移直线0l ,当直线过点A 时，2z x y =+的值最小，得110,x x y =-⎧⎨--=⎩12,x y =-⎧⎨=-⎩min (1,2),12(2)5A z ∴--∴=-+⨯-=- 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想与运算求解能力，难度适中。
二、求目标函数的取值范围；例题：(2012山东文6)设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线30x y -=，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取得最小值，由210,(2,0)240x y A x y ++=⎧⎨+-=⎩得;由4101,(,3)2402x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得B 探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围 三、求约束条件中参数的取值；例题：(2012福建文10)若直线2x y =上存在点(,)x y 满足条件-30-2-30,x y x y x m +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（ ）解析：在同一直角坐标系中函数2x y =的图像与30230x y x y +-≤⎧⎨--≤⎩，所表示的平面区域图阴影部分所示。
高考数学线性规划选择题
高考数学线性规划选择题1. 已知线性规划问题：max 2x + 3y，s.t. x + y ≤ 1，x + y ≥ 0，x, y ≥ 0，求最优解。
2. 已知线性规划问题：min -x + 2y，s.t. 2x + y ≤ 4，x + y ≥ 1，x, y ≥ 0，求最优解。
3. 已知线性规划问题：max x + y，s.t. x - y ≤ 2，x + y ≤ 3，x, y ≥ 0，求最优解。
4. 已知线性规划问题：min -x + 3y，s.t. 2x + y ≤ 4，x + y ≥ 1，x, y ≥ 0，求最优解。
5. 已知线性规划问题：max 2x + y，s.t. x + y ≤ 2，x + y ≥ 0，x, y ≥ 0，求最优解。
6. 已知线性规划问题：min -x + 2y，s.t. x + y ≤ 2，x + y ≥ 0，x, y ≥ 0，求最优解。
7. 已知线性规划问题：max x + y，s.t. x + y ≤ 2，x + y ≥ 0，x, y ≥ 0，求最优解。
8. 已知线性规划问题：min -x + 3y，s.t. x + y ≤ 3，x + y ≥ 0，x, y ≥ 0，求最优解。
9. 已知线性规划问题：max 2x + y，s.t. x + y ≤ 1，x + y ≥ 0，x, y ≥ 0，求最优解。
10. 已知线性规划问题：min -x + 2y，s.t. x + y ≤ 1，x + y ≥ 0，x, y ≥ 0，求最优解。
11. 已知线性规划问题：max x + y，s.t. x + y ≤ 1，x + y ≥ 0，x, y ≥ 0，求最优解。
12. 已知线性规划问题：min -x + 3y，s.t. x + y ≤ 2，x + y ≥ 0，x, y ≥ 0，求最优解。
13. 已知线性规划问题：max 2x + y，s.t. x + y ≤ 3，x + y ≥ 0，x, y ≥ 0，求最优解。
高中简单线性规划基础题型总结
高中简单线性规划基础题型总结熊明军简单线性规划属于操作性知识，是高考必考知识点，历年不变，必有一选择或填空题。
下面结合例题，总结高中简单线性规划问题的基础题型，方便同学们快速掌握相关内容。
线性规划问题的基础题型，可根据目标函数的特点，将其分为三类： 类型一（直线）：by ax z +=【理论】点到直线的距离。
【步骤】①作出可行域；②作出直线by ax +=0；③判断可行域顶点到直线by ax +=0的距离：()max max ,z y x P d ⇒⇒和()min min ,'z y x P d ⇒⇒【例题】已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求y x z 2-=的最值。
【解析】分三步走：①作出可行域：②作出直线y x 20-=：③判断直线y x 20-=到可行域顶点C B A 、、间的距离：平移、目测或代点都能判断，得()()11231,3,max max =⨯-=⇒⇒=z B l B d d ；()()119279,7,min min -=⨯-=⇒⇒=z C l C d d 。
类型二（圆）：()()22b y a x z -+-= 【理论】两点之间的距离。
【步骤】①作出可行域；②作出圆()()222b y a x d -+-=；③判断可行域上的点到圆心()b a ,的距离（即半径r ）：()max max max ,z y x P d r ⇒⇒=和()min min min ,'z y x P d r ⇒⇒=【例题】已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求()()2211-+-=y x z 的最值。
【解析】分三步走：①作出可行域：②作出圆()()22211-+-=y x d ：r d =且半径r 由小到大逐渐作圆。
③判断圆心()1,1到可行域上点间的距离，也就是与可行域有交点的圆中半径r 的大小：目测或用圆规作圆都能判断，得()()()()10019179,7,22max max max =-+-=⇒⇒==z C D C d d r ；()()211411,2222min min min min =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==⇒==d z l D d d r AB . 类型三（斜率）：m n x a b y m a m n x m a b y a n mx b ay z --⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--= 【理论】两点确定的直线的斜率。
线性规划高考试题精选
线性规划高考试题精选一一．选择题共15小题1．设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．92．若x,y满足,则x+2y的最大值为A．1 B．3 C．5 D．93．设x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为A．0 B．1 C．2 D．34．已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．35．若x、y满足约束条件,则z=x+2y的取值范围是A．0,6 B．0,4 C．6,+∞D．4,+∞6．设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是A．﹣3,0 B．﹣3,2 C．0,2 D．0,37．已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是A．0 B．2 C．5 D．68．设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为A．B．1 C．D．39．已知变量x,y满足约束条件,则4x+2y的取值范围是A．0,10 B．0,12 C．2,10 D．2,1210．不等式组,表示的平面区域的面积为A．48 B．24 C．16 D．1211．变量x、y满足条件,则x﹣22+y2的最小值为A．B．C．5 D．12．若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m﹣n等于A．8 B．7 C．6 D．513．设x,y满足约束条件,当且仅当x=y=4时,z=ax﹣y取得最小值,则实数a的取值范围是A．﹣1,1 B．﹣∞,1 C．0,1 D．﹣∞,1∪1,+∞14．实数x,y满足,若z=2x+y的最大值为9,则实数m的值为A．1 B．2 C．3 D．415．平面区域的面积是A．B．C．D．二．选择题共25小题16．设x,y满足约束条件,则z=3x﹣2y的最小值为．17．若x,y满足约束条件,则z=3x﹣4y的最小值为．18．已知x,y满足约束条件,则z=5x+3y的最大值为．19．若实数x,y满足,如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2,则实数m= ．20．已知a＞0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a= ．21．设z=x+y其中x,y满足,若z的最大值为6,则z的最小值为．22．已知点x,y满足不等式组,若ax+y≤3恒成立,则实数a的取值范围是．23．设实数x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+bya＞0,b＞0的最大值为10,则a2+b2的最小值为．24．已知实数x,y满足,则的最小值为．25．若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是．26．设变量x,y满足约束条件,则的取值范围是．27．在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定,若Mx,y为D上的动点,点A的坐标为2,1,则的最大值为．28．已知动点Px,y满足：,则x2+y2﹣6x的最小值为．29．已知实数x,y满足,则的最小值是．30．设实数x,y满足,则2y﹣x的最大值为．31．设x、y满足约束条件,则目标函数z=x2+y2的最大值为．32．已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a= ．33．若x,y满足约束条件,则的最小值是．34．若x,y满足约束条件,则的范围是．35．已知实数x,y满足：,z=2x﹣2y﹣1,则z的取值范围是．36．若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,则实数k= ．37．若实数x、y满足不等式组,且z=y﹣2x的最小值等于﹣2,则实数m的值等于．38．设x,y满足不等式组,若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为．39．已知不等式组表示的平面区域的面积为,则实数k= ．40．已知变量x,y满足的约束条件,若x+2y≥﹣5恒成立,则实数a的取值范围为．线性规划高考试题精选一参考答案与试题解析一．选择题共15小题1．2017新课标Ⅱ设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9解答解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A时,目标函数取得最小值,由解得A﹣6,﹣3,则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选：A．2．2017北京若x,y满足,则x+2y的最大值为A．1 B．3 C．5 D．9解答解：x,y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时,取得最大值,由,可得A3,3,目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选：D．3．2017新课标Ⅰ设x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为A．0 B．1 C．2 D．3解答解：x,y满足约束条件的可行域如图：,则z=x+y经过可行域的A时,目标函数取得最大值,由解得A3,0,所以z=x+y 的最大值为：3．故选：D．4．2017山东已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3解答解：x,y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+2y经过可行域的A 时,目标函数取得最大值,由：解得A﹣1,2,目标函数的最大值为：﹣1+2×2=3．故选：D．5．2017浙江若x、y满足约束条件,则z=x+2y的取值范围是A．0,6 B．0,4 C．6,+∞D．4,+∞解答解：x、y满足约束条件,表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时,函数取得最小值,由解得C2,1,目标函数的最小值为：4目标函数的范围是4,+∞．故选：D．6．2017新课标Ⅲ设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是A．﹣3,0 B．﹣3,2 C．0,2 D．0,3解答解：x,y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y,经过可行域的A,B时,目标函数取得最值,由解得A0,3,由解得B2,0,目标函数的最大值为：2,最小值为：﹣3,目标函数的取值范围：﹣3,2．故选：B．7．2017山东已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是A．0 B．2 C．5 D．6解答解：画出约束条件表示的平面区域,如图所示；由解得A﹣3,4,此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大,所以目标函数z=x+2y的最大值为=﹣3+2×4=5．zmax故选：C．8．2017天津设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为A．B．1 C．D．3解答解：变量x,y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时,目标函数取得最大值,由可得A0,3,目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．9．2017大庆三模已知变量x,y满足约束条件,则4x+2y的取值范围是A．0,10 B．0,12 C．2,10 D．2,12解答解：法1：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的四边形及其内部,其中A2,1,B0,1,设z=Fx,y=4x+2y,将直线l：z=4x+2y进行平移,可得当l经过点A时,目标函数z达到最大值,z=F2,1=10,最大值=F0,1=2当l经过点B时,目标函数z达到最小值,z最小值因此,z=4x+2y的取值范围是2,10．法2：令4x+2y=μx+y+λx﹣y,则,解得μ=3,λ=1,故4x+2y=3x+y+x﹣y,又1≤x+y≤3,故3≤3x+y≤10,又﹣1≤x﹣y≤1,所以4x+2y∈2,10．故选C．10．2017潮州二模不等式组,表示的平面区域的面积为A．48 B．24 C．16 D．12解答解：画出不等式组表示的平面区域如图阴影所示,则点A﹣2,2、B2,﹣2、C2,10,所以平面区域面积为S=|BC|h=×10+2×2+2=24．△ABC故选：B．11．2017汉中二模变量x、y满足条件,则x﹣22+y2的最小值为A．B．C．5 D．解答解：作出不等式组对应的平面区域,设z=x﹣22+y2,则z的几何意义为区域内的点到定点D2,0的距离的平方,由图象知CD的距离最小,此时z最小．由得,即C0,1,此时z=x﹣22+y2=4+1=5,故选：C．12．2017林芝县校级三模若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m﹣n等于A．8 B．7 C．6 D．5解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y,得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时,直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大,由,解得,即C2,﹣1,此时最大值z=2×2﹣1=3,当直线y=﹣2x+z经过点B时,直线y=﹣2x+z的截距最小,此时z最小,由,解得,即B﹣1,﹣1,最小值为z=﹣2﹣1=﹣3,故最大值m=3,最小值为n=﹣3,则m﹣n=3﹣﹣3=6,故选：C13．2017瑞安市校级模拟设x,y满足约束条件,当且仅当x=y=4时,z=ax﹣y取得最小值,则实数a的取值范围是A．﹣1,1 B．﹣∞,1 C．0,1 D．﹣∞,1∪1,+∞解答解：作出约束条件所对应的可行域如图阴影,变形目标函数可得y=ax﹣z,其中直线斜率为a,截距为﹣z,∵z=ax﹣y取得最小值的最优解仅为点A4,4,∴直线的斜率a＜1,即实数a的取值范围为﹣∞,1故选：B．14．2017肇庆一模实数x,y满足,若z=2x+y的最大值为9,则实数m的值为A．1 B．2 C．3 D．4解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．由z=2x+y得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时,直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大,此时2x+y=9．由,解得,即B4,1,∵B在直线y=m上,∴m=1,故选：A15．2017五模拟平面区域的面积是A．B．C．D．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图,则区域是圆心角是是扇形,故面积是．故选：A．二．选择题共25小题16．2017新课标Ⅰ设x,y满足约束条件,则z=3x﹣2y的最小值为﹣5 ．解答解：由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知,目标函数的最优解为A,联立,解得A﹣1,1．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．17．2017新课标Ⅲ若x,y满足约束条件,则z=3x﹣4y的最小值为﹣1 ．解答解：由z=3x﹣4y,得y=x﹣,作出不等式对应的可行域阴影部分,平移直线y=x﹣,由平移可知当直线y=x﹣,经过点B1,1时,直线y=x﹣的截距最大,此时z取得最小值,将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1,即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．18．2017明山区校级学业考试已知x,y满足约束条件,则z=5x+3y的最大值为35 ．解答解：不等式组对应的平面区域如图：由z=5x+3y得y=﹣,平移直线y=﹣,则由图象可知当直线y=﹣经过点B时直线y=﹣的截距最大,此时z最大,由,解得,即B4,5,此时M=z=5×4+3×5=35,故答案为：3519．2017重庆模拟若实数x,y满足,如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2,则实数m= 8 ．解答解：画出x,y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值,故,解得x=,y=,代入x﹣y=﹣2得﹣=﹣2m=8故答案为：8．20．2017湖南三模已知a＞0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a= ．解答解：先根据约束条件画出可行域,设z=2x+y,将最大值转化为y轴上的截距,当直线z=2x+y经过点B时,z最小,由得：,代入直线y=ax﹣3得,a=；故答案为：21．2017山东模拟设z=x+y其中x,y满足,若z的最大值为6,则z的最小值为﹣3 ．解答解：作出可行域如图：直线x+y=6过点Ak,k时,z=x+y取最大,∴k=3,z=x+y过点B处取得最小值,B点在直线x+2y=0上,∴B﹣6,3,∴z的最小值为=﹣6+3=﹣3．故填：﹣3．22．2017黄冈模拟已知点x,y满足不等式组,若ax+y≤3恒成立,则实数a的取值范围是﹣∞,3 ．解答解：满足不等式组的平面区域如右图所示,由于对任意的实数x、y,不等式ax+y≤3恒成立,==﹣3,根据图形,可得斜率﹣a≥0或﹣a＞kAB解得：a≤3,则实数a的取值范围是﹣∞,3．故答案为：﹣∞,3．23．2017惠州模拟设实数x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+bya＞0,b＞0的最大值为10,则a2+b2的最小值为．解答解：由z=ax+bya＞0,b＞0得y=,作出可行域如图：∵a＞0,b＞0,∴直线y=的斜率为负,且截距最大时,z也最大．平移直线y=,由图象可知当y=经过点A时,直线的截距最大,此时z也最大．由,解得,即A4,6．此时z=4a+6b=10,即2a+3b﹣5=0,即a,b在直线2x+3y﹣5=0上,a2+b2的几何意义为直线上点到原点的距离的平方,则原点到直线的距离d=,则a2+b2的最小值为d2=,故答案为：．24．2017历下区校级三模已知实数x,y满足,则的最小值为．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图,的几何意义是区域内的点与点E3,0的斜率,由图象知AE的斜率最小,由得,即A0,1,此时的最小值为=,故答案为：．25．2017平遥县模拟若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是10 ．解答解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得B3,﹣1,x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方,其最大值|OB|2=32+﹣12=10,故答案为：10．26．2017遂宁模拟设变量x,y满足约束条件,则的取值范围是．解答解：不等式组表示的区域如图,的几何意义是可行域内的点与点﹣1,﹣1构成的直线的斜率问题．当取得点A0,1时,取值为2,当取得点C1,0时,取值为,故答案为：27．2017渭南一模在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定,若Mx,y 为D上的动点,点A的坐标为2,1,则的最大值为7 ．解答解：由约束条件作出可行域如图,令z==2x+y,化为y=﹣2x+z,由图可知,当直线y=﹣2x+z过B2,3时,z有最大值为2×2+3=7．故答案为：7．28．2017湖北二模已知动点Px,y满足：,则x2+y2﹣6x的最小值为．解答解：由,∵y+＞y+|y|≥0,∴,∵函数fx=是减函数,∴x≤y,∴原不等式组化为．该不等式组表示的平面区域如下图：∵x2+y2﹣6x=x﹣32+y2﹣9．由点到直线的距离公式可得,P3,0区域中A的距离最小,所以x2+y2﹣6x的最小值为．故答案为：﹣．29．2017盐城一模已知实数x,y满足,则的最小值是．解答解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率,结合图形可知,当直线过OA时斜率最小．由于可得A4,3,此时k=．故答案为：．30．2017和平区校级模拟设实数x,y满足,则2y﹣x的最大值为 5 ．解答解：画出,的可行域如图：将z=2y﹣x变形为y=x+z作直线y=x将其平移至A时,直线的纵截距最大,z最大,由可得A﹣1,2,z的最大值为：5．故答案为：5．31．2017德州二模设x、y满足约束条件,则目标函数z=x2+y2的最大值为52 ．解答解：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的四边形OABC,其中A0,2,B4,6,C2,0,O为原点设Px,y为区域内一个动点,则|OP|=表示点P到原点O的距离∴z=x2+y2=|OP|2,可得当P到原点距离最远时z达到最大值因此,运动点P使它与点B重合时,z达到最大值∴z=42+62=52最大值故答案为：5232．2017镇江模拟已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a= 2 ．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．则A2,0,B1,1,若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,此时,目标函数为z=2x+y,即y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,当直线经过A2,0时,截距最大,此时z最大为4,满足条件,若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+1=4,解得a=3,此时,目标函数为z=3x+y,即y=﹣3x+z,平移直线y=﹣3x+z,当直线经过A2,0时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件,故a=2；故答案为：2．33．2017南雄市二模若x,y满足约束条件,则的最小值是．解答解：x,y满足约束条件的可行域如图：则的几何意义是可行域的点到坐标原点距离,由图形可知OP的距离最小,直线x+y﹣2=0的斜率为1,所以|OP|=．故答案为：．34．2017清城区校级一模若x,y满足约束条件,则的范围是．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D﹣1,0的斜率,由图象知CD的斜率最小,由得C,,则CD的斜率z==,即z=的取值范围是0,,故答案为：．35．2017梅河口市校级一模已知实数x,y满足：,z=2x﹣2y﹣1,则z的取值范围是﹣,5 ．解答解：不等式对应的平面区域如图：阴影部分．由z=2x﹣2y﹣1得y=x﹣,平移直线y=x﹣,由平移可知当直线y=x﹣,经过点C时,直线y=x﹣的截距最小,此时z取得最大值,由,解得,即C2,﹣1,此时z=2x﹣2y﹣1=4+2﹣1=5,可知当直线y=x﹣,经过点A时,直线y=y=x﹣的截距最大,此时z取得最小值,由,得,即A,代入z=2x﹣2y﹣1得z=2×﹣2×﹣1=﹣,故z∈﹣,5．故答案为：﹣,5．36．2017深圳一模若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,则实数k= 3 ．解答解：实数x,y满足不等式组的可行域如图：得：A1,3,B1,﹣2,C4,0．①当k=0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,不满足题意．②当k＞0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C4,0时,Z 取得最大值12．当直线z=kx﹣y过A1,3时,Z取得最小值0．可得k=3,满足题意．③当k＜0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C4,0时,Z 取得最大值12．可得k=﹣3,当直线z=kx﹣y过,B1,﹣2时,Z取得最小值0．可得k=﹣2,无解．综上k=3故答案为：3．37．2017夏邑县校级模拟若实数x、y满足不等式组,且z=y﹣2x的最小值等于﹣2,则实数m的值等于﹣1 ．解答﹣1解：由z=y﹣2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A1,0时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值为﹣2,即y﹣2x=﹣2,点A也在直线x+y+m=0上,则m=﹣1,故答案为：﹣138．2017阳山县校级一模设x,y满足不等式组,若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为﹣2,1 ．解答解：由z=ax+y得y=﹣ax+z,直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a,y轴上的截距为z的直线,作出不等式组对应的平面区域如图：则A1,1,B2,4,∵z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,∴直线z=ax+y过点B时,取得最大值为2a+4,经过点A时取得最小值为a+1,若a=0,则y=z,此时满足条件,若a＞0,则目标函数斜率k=﹣a＜0,要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,=﹣1,则目标函数的斜率满足﹣a≥kBC即0＜a≤1,若a＜0,则目标函数斜率k=﹣a＞0,要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,则目标函数的斜率满足﹣a≤k=2,AC即﹣2≤a＜0,综上﹣2≤a≤1,故答案为：﹣2,1．39．2017许昌三模已知不等式组表示的平面区域的面积为,则实数k= 4 ．解答解：画出不等式组表示的平面区域,如图所示,由题意可知k＞0,可行域的三个顶点为A0,0,B,,C,,∵AB⊥BC,|AB|=k,点C到直线AB的距离为k,=ABBC=×k×k=,∴S△ABC解得k=4,故答案为：4．40．2017白银区校级一模已知变量x,y满足的约束条件,若x+2y≥﹣5恒成立,则实数a的取值范围为﹣1,1 ．解答解：由题意作出其平面区域,则x+2y≥﹣5恒成立可化为图象中的阴影部分在直线x+2y=﹣5的上方,则实数a的取值范围为﹣1,1．故答案为：﹣1,1．。
高中数学线性规划题库
高中数学线性规划题库满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共26小题）1.已知变量x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3D．-12.若满足则的最大值为（）A．2 B．-2 C．1 D．-13.设变量x, y满足约束条件则目标函数z=3x-y的取值范围是（）A．B．C．[-1,6] D．4.设变量x, y满足则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45D．555.已知变量满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．D．6.设变量x，y满足的最大值为（）A．3 B．8 C．D．7.已知满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A．9 B．10 C．15D．208.若变量x, y满足约束条件则z=2x+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和9.已知函数为常数), 当时取得极大值, 当时取极小值, 则的取值范围是（）A．B．C．D．10.设变量ｘ，ｙ满足约束条件,则目标函数的最小值为（）A．-5 B．-4 C．-2 D．311.设x, y满足约束条件则z=2x-3y的最小值是（）A．-7 B．-6 C．-5 D．-312.设，满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则的最大值为（）A．1 B．C．D．13.设x，y满足的约束条件，则的最大值为（）A．8 B．7 C．2D．114.设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．2 B．3 C．4D．515.若满足且的最小值为-4，则的值为（）A．B．C．D．16.设，满足约束条件且的最小值为7，则（）A．-5 B．3 C．-5或3 D．5或-317.满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A．B．C．2或1 D．18.若变量满足约束条件的最大值和学科网最小值分别为M和m，则M-m=（）A．8 B．7 C．6D．519.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．2 B．3 C．4D．520.设x,y满足（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值21.若x、y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围是（）A．（-1,2）B．（-4,2）C．（-4,0] D．（-2,4）22.在平面直角坐标系中，若不等式组为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为（）A．B．1 C．2D．323.不等式组所表示的平面区域的面积等于（）A．B．C．D．24.若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是（）A．B．C．D．25.已知是坐标原点，点若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A．B．C．D．26.设，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小2，则m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（共26小题）27.设满足约束条件，则目标函数最大值为_________.28.若实数满足则目标函数的最小值为_______________.29.设x，y满足约束条件，向量，且//，则m的最小值为．30.不等式组对应的平面区域为D，直线y＝k（x＋1）及区域D有公共点，则k的取值范围是______.31.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=的最大值为_______。
高考线性规划必考题型(非常全)
线性规划专题一、命题规律讲解1、求线性（非线性）目标函数最值题2、求可行域的面积题3、求目标函数中参数取值范围题4、求约束条件中参数取值范围题5、利用线性规划解答应用题一、线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简洁线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标(),x y 即简洁线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y即简洁线性规划的最优解。
例1 已知4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，2z x y=+，求z的最大值和最小值例2已知,x y满意124126x yx yx y+=⎧⎪+≥⎨⎪-≥-⎩，求z=5x y-的最大值和最小值二、非线性约束条件下线性函数的最值问题中学数学中的最值问题许多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。
它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(),x y即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y即最优解。
例3已知,x y满意，224x y+=，求32x y+的最大值和最小值例4 求函数4y x x=+[]()1,5x ∈的最大值和最小值。
三、线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是中学数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。
它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。
例5 已知实数,x y 满意不等式组10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，求22448x y x y +--+的最小值。
高三数学线性规划试题
高三数学线性规划试题1.若点满足线性约束条件，则的取值范围是．【答案】【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图：作出直线x-y=0，对该直线进行平移，可以发现当直线经过点（0，0）时，Z取得最大值0，当直线经过点（-2，0）时，Z取得最小值-2，所以Z的取值范围为[-2，0）．故答案为：[-2，0）．【考点】简单线性规划.2.已知点、的坐标满足不等式组，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示，假设点为上的一点，过点作直线的垂线，需使得垂线与与可行域有公共点，结合图象知，当点，时，在方向上的投影最大，此时，且取最大值，此时；同理当点，，此时，此时取最小值，，故的取值范围是，故选D.【考点】线性规划3.已知变数满足约束条件目标函数仅在点处取得最大值，则的取值范围为_____________．【答案】【解析】由题意知满足条件的线性区域如图所示：，点，而目标函数仅在点处取得最大值，【考点】线性规划、最值问题.4.已知实数满足：，，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】画出约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令，则，先画出直线，再平移直线，当经过点，时，代入，可知，∴，故选．【考点】线性规划.5.设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立.如果实数满足不等式,那么的取值范围是【答案】(9,49)【解析】是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立.所以可得函数为奇函数.由可得，..满足m,n如图所示.令.所以的取值范围表示以原点O为圆心，半径平方的范围，即过点A,B两点分别为最小值，最大值，即9和49.【考点】1.线性规划的问题.2.函数的单调性.3.函数的奇偶性.4.恒成立的问题.6.已知实数满足，则的取值范围是【答案】【解析】由不等式，得，在平面直角坐标系中用虚线画出圆，再作出虚线，则的可行域是由虚线与此虚线的右半圆围成的区域（不包括边界），又目标函数可化为，则当直线过可行域的上顶点时，有，当直线与半圆相切于点时，目标函数有最大值，将目标函数化为，则此时有，解得，如图所示，所以正确答案为.【考点】直线与圆、线性规划.7.已知点满足约束条件，为坐标原点，则的最大值为_______________.【答案】5【解析】作出可行域，得到当位于时，最大，其值为5.【考点】线性规划.8.设实数x、y满足，则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】作出可行域如图，当平行直线系在直线BC与点A间运动时，，此时，平行直线线在点O与BC之间运动时，，此时，. .选B【考点】线性规划9.不等式组所表示的平面区域的面积是________．【答案】25【解析】直线x－y＋4＝0与直线x＋y＝0的交点为A(－2，2)，直线x－y＋4＝0与直线x＝3的交点为B(3，7)，直线x＋y＝0与直线x＝3的交点为C(3，－3)，则不等式组表示的平面区域是＝×5×10＝25.一个以点A(－2，2)、B(3，7)、C(3，－3)为顶点的三角形，所以其面积为S△ABC10.已知点A(a，b)与点B(1,0)在直线3x－4y＋10＝0的两侧，给出下列说法：①3a－4b＋10>0；②当a>0时，a＋b有最小值，无最大值；③>2；④当a>0且a≠1，b>0时，的取值范围为∪.其中正确的个数是( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为点A(a，b)，B(1,0)在直线3x－4y＋10＝0的两侧，所以(3a－4b＋10)(3－0＋10)<0，即3a－4b＋10<0，故①错误；因为a>0时，点(a，b)对应的平面区域如图(不含边界)，所以a＋b既没有最小值，也没有最大值，故②错误；因为原点到直线3x－4y＋10＝0的距离为＝2，而点(a，b)在直线3x－4y＋10＝0的左上方，所以>2，故③正确；的几何意义是点(a，b)与(1,0)的连线的斜率，由图可知，取值范围是∪，故④正确．11.若x，y满足条件当且仅当x＝y＝3时，z＝ax－y取最小值，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】画出可行域，如图所示，得到最优解(3，3)．把z＝ax－y变为y＝ax－z，即研究－z的最大值．当a∈时，y＝ax －z均过(3，3)时截距－z最大．12.若满足，则的最小值为 .【答案】3【解析】由已知不等式得出区域如图所示，目标函数在点处取得最小值，且最小值为3.【考点】线性规划.13.设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为9，则的最小值为__ ___.【答案】【解析】有可行域与目标函数形式可知,只能在点取得最大值,即,整理得:,所以,故.【考点】1、线性规划, 2、基本不等式.14.若，满足约束条件，则的最大值是．【答案】1【解析】根据题意，作出，满足约束条件的平面区域，那么结合三角形区域可知当过点（1，1）点时，则目标函数平移过程中截距最小，此时函数值最大，故答案为1.【考点】线性规划知识点评：本题主要考查了利用线性规划知识的简单应用，属于基础试题，解题的关键是明确目标函数的几何意义15.已知变量x、y，满足的最大值为【答案】3【解析】由复合对数函数的性质，欲使函数最大，即最大。
线性规划题型整理与例题(含答案)
积储知识：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
八种 经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将【l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B'三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D~五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2 .C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）"A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
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线性规划专题一、命题规律讲解1、 求线性（非线性）目标函数最值题2、 求可行域的面积题3、 求目标函数中参数取值范围题4、 求约束条件中参数取值范围题5、 利用线性规划解答应用题一、线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标(),x y 即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即简单线性规划的最优解。
例1 已知4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，2z x y =+，求z 的最大值和最小值例2已知,x y 满足124126x y x y x y +=⎧⎪+≥⎨⎪-≥-⎩，求z=5x y -的最大值和最小值二、非线性约束条件下线性函数的最值问题高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。
它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。
例3 已知,x y 满足，224x y +=，求32x y +的最大值和最小值例4 求函数4y x x=+[]()1,5x ∈的最大值和最小值。
三、线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。
它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。
例5 已知实数,x y 满足不等式组10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，求22448x y x y +--+的最小值。
例6实数,x y 满足不等式组00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，求11y x -+的最小值 四、非线性约束条件下非线性函数的最值问题在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决，它的约束条件是一个二元不等式组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。
例7 已知,x y满足y 2y x +的最大值和最小值 1. “截距”型考题方法：求交点求最值在线性约束条件下，求形如(,)z ax by a b R =+∈的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y 轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.1.【广东卷 理5】已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )()A 12()B 11()C 3()D -12. (辽宁卷 理8)设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为A ．20B ．35C ．45D ．553.(全国大纲卷 理) 若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪⎪+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩，则3z x y =-的最小值为。
4.【陕西卷 理14】 设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为．5.【江西卷 理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，506. (四川卷 理9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A 、1800元B 、2400元C 、2800元D 、3100元2 . “距离”型考题方法：求交点求最值10.【福建卷 理8】 设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( )A.285B.4C. 125D.2 11.( 北京卷 理2) 设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 A4π B 22π- C 6π D 44π- 3. “斜率”型考题方法：现求交点，再画图 （包括90取两边，不包括90取中间） 当目标函数形如y a z x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
12.【高考·福建卷 理8】 若实数x 、y 满足10,0x y x -+≤⎧⎨>⎩则y x 的取值范围是 （ ） A.(0,1) B.(]0,1 C.(1,+∞) D.[)1,+∞13.（江苏卷 14）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则b a的取值范围是． 4.求可行域的面积题 14.【重庆卷 理10】设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B所表示的平面图形的面积为 A 34π B 35π C 47π D 2π 15.（江苏卷 理10）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 （ ）A ．2B ．1C ．12D ．1416.（·安徽卷 理15） 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为.17.（安徽卷 理7） 若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（A ）73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 3418.（浙江卷 理17）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于__________.5.求目标函数中参数取值范围题一、必考知识点讲解规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论与研究.二、经典例题分析21.（高考·山东卷 ）设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪-+⎨⎪+-⎩，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)x y a a a =>≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[1，3]B ．[2，10]C ．[2，9]D ．[10，9]22.（北京卷 理7）设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数y=x a 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是A (1，3]B [2，3]C (1，2]D [ 3， +∞]25.（·陕西卷 理11）若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是 （ ）A ．（1-，2）B ．（4-，2）C ．(4,0]-D ． (2,4)-26.（湖南卷 理7）设m >1，在约束条件下，⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为A ．)21,1(+B ．),21(+∞+C ．（1，3）D ．),3(+∞6.求约束条件中参数取值范围题一、必考知识点讲解规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.二、经典例题分析19.（福建卷 ）在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为A. －5B. 1C. 2D. 320.【福建卷 理9】若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．21B ．1C ．23 D ．2 23.（浙江卷 理17）设m 为实数，若{250(,)300x y x y x mx y -+≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩}22{(,)|25}x y x y ⊆+≤，则m 的取值范围是___________.24.（浙江卷 理7） 若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m =A 2-B 1-C 1D 27. 其它型考题27. （山东卷 理12） 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>> 的值是最大值为12，则23a b+的最小值为（ ） A. 625 B. 38 C. 311 D. 4 28. （·安徽卷 理13）设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b =+>> 的最大值为8，则a b +的最小值为________.6、 利用线性规划解答应用题. (2012年高考·四川卷 理9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A 、1800元B 、2400元C 、2800元D 、3100元。