研究性学习：数学几何在日常生活中的运用

数学几何在日常生活中的运用

研究小组成员：庄桂锋陈燕青蔡佳旋黄楚

丽黄燕铃郭莹莹林敏珊

李秀贤黄晓生黄健明董炜

濠郑杰森

研究小组组长：庄桂锋

指导老师：林丽芳

一、研究的背景：

在这个科技高速发展的时代中，高楼大厦林立，各种各样的交通工具如汽车等穿梭在街头，这些中都不乏几何图形的应用，几何图形已经成了生活的“常客”，到处都有它的影子，社区和机关大院门口的“推拉式自动伸缩门”；运动场跑道直道与弯道的平滑连接；底部不能靠近的建筑物高度的计算；隧道双向作业起点的确定；折扇的设计以及黄金分割等，则是平面几何中直线图形的性质及解Rt三角形有关知识的应用。因此我们的研究性课题是数学几何图形在生

活中的运用，希望通过这次小研究，提高我们的数学能力，能够在生活中自觉地运用数学知识。在我们现实生活中，涉及到很多复杂的数学问题，再复杂的问题也是由简单的知识点演变而来的，透过现象看本质，只要我们勤于思考，善于发现总结，那么会有很多意想不到的收获。二、研究的内容：

例1.

如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图来，并说明原因。

1）题意分析：联系实际，开沟时为使沟最短，应根据“垂线段最短”解题．

2）解题思路：过点C作CD⊥AB于D，CD 为开沟的位置．

解答过程：过点C作CD⊥AB于D，所以在点D处沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到这条直线上所有各点的连线中，垂线段最短。

解题后的思考：在解决实际问题时，应先将实际问题转化为“数学模型”，“如何开沟，使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最常见的垂线的性质的应用。

例2.

有一条输电线路横穿AB两村而过，A村和B村商量，准备在这条电路上合资安装一台

变压器．现在的问题是：这台变压器在这条电路的哪个点上安装，才可使得A村跟B 村尽可能地节约成本（两村到变压器之间的路线最短）？

1）题意分析：A村的人想将变压器安装在C点，B村的人想把变压器安装在D点，理由是离各自的村子近（从直线外一点

到这条直线上所有各点的连线中，垂线

段最短），现在的问题是要使这台变压

器到A、B两村的距离之和最小。

2）解题思路：要使A村到变压器的距离与B村到变压器的距离之和最小，必须让

变压器安装在通过A、B两村的直线与

输电线路的交点处。

解答过程：连接AB交CD于点O，因为两点之间的连线中（包括线段、折线和曲线），只有线段最短，如图所示，ACB和ADB是连接点A、B两点的两条折线，而AOB是连接A、B两点的线段，所以变压器安装在O点处最为合理。

解题后的思考：此题还可以运用三角形的三边关系进行论证，在CD上任取一异于点O的点O’，连接A O’、BO’，在△AO’B 中，AO’＋BO’＞AB，即AO’＋BO’＞AO ＋BO。所以点O是使AO＋BO最短的点。

例3.如图所示，EF表示一块平面镜，光线由AO 方向投射到镜面上的O点，再由OB方向反射出来，如果OC⊥EF，那么根据物理学上的“反射角等于入射角”定律，知道∠AOC ＝∠BOC，但我们也可以说∠AOE＝∠BOF，这是什么道理？如果光线由CO方向投射，反射光线的方向如何？

1）题意分析：这是一道与物理学有关的综合型问题，解题时应注意理解“反射角等于入射角”定律。

2）解题思路：因为OC⊥EF，所以∠EOC＝∠FOC＝90°，又因为∠AOC＝∠BOC，所以根据等角的余角相等，可得∠AOE＝∠BOF，如果光线由CO方向投射，根据“反射角等于入射角”定律，入射角为0度，那么反射角也为0度，故反射光线按OC方向反射。解答过程：因为OC⊥EF（已知），所以∠EOC＝∠FOC＝90°（垂直定义）．又因为∠AOC＝∠BOC（已知），所以∠EOC－∠AOC ＝∠FOC－∠BOC（等式性质），即∠AOE＝∠BOF．如果光线由CO方向投射，根据“反射角等于入射角”定律，入射角为0度，那么反射角也为0度，故反射光线按OC方向反射。

解题后的思考：这类题常将几何学中的相交线和平行线与物理学中的光学知识相结合，解答时，既要熟悉物理学原理，又要善于将其转化为几何问题．

例4.

解放战争时期，有一天江南某游击队在村庄A点出发向正东行进，此时有一支残匪

在游击队的东北方向B 点处（如图所示），残匪沿北偏东60°角方向，向C村进发．游击队步行到A’点处，A’点正好在B的正南方向上，突然接到上级命令，决定改变行进方向，沿北偏东30°角方向赶往C 村．问游击队行进方向A’C与残匪行进方向BC的夹角至少为多大时，才能保证C村村民不

1）题意分析：这是一道方位角的问题，注意正确画图，准确描出点的位置。

2）解题思路：如图可知A’C与BC的夹角的最小值是∠BCA’．解本题的关键是作辅助线，延长A’B到D，过C作CE∥A’D，通过平行线的特征来求解。

解答过程：根据题意，∠DBC＝60°，∠BA’C＝30°．过点C作CE∥A’B，则∠BCE ＝∠DBC＝60°，∠A’CE＝∠BA’C＝30°．所以∠BCA’＝∠BCE－∠A’CE＝60°－30°＝30°．即A’C与BC的夹角至少为30°时才能保证C村村民不受伤害。

解题后的思考：本题较综合地运用了角、方位角、平行线的有关知识．解答这类题时，应先确定中心点、画出方向标，再连接中心点与目标点的方向线，最后转化为角的问题加以解决。

例5.

窨井盖为什么是圆形的？

1.小学中我们学到过在周长相

等的情况下，圆的面积最大，所以窨井盖也是用了这一原理，所以说，圆形的窨井盖所用的材料是最少。

2.圆有一个圆心，在圆内，直径

都相等，而正方形的对角线与边长是不相等的，所以圆的承受力是最大的。

3.圆形的窨井盖还有便于运输

的优点。

例6.

为什么自行车架是三角形？

1.三角形有一种特性，就是三角形稳

定性。

任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。

∵第三条边不可伸缩或弯折。

∴两端点距离固定。

∴这两条边的夹角固定。

∵这两条边是任取的。

∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定。

∴三角形有稳定性。

任取n边形(n≥4)两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接。∴两端点距离不固定。