中考数学压轴题破解策略专题18《弦图模型》(最新整理)
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AM
D
F
G
AE 图1
D
FN
C
C
G H
B
AE
图2
M H
B
A
D
M NB 图3
解 （1））如图 4．过点 A 作 AP∥EF．交 CD 于点 P，过点 B 作 BQ∥GH，交 AD 于点 Q． 因为四边形 ABCD 是矩形． 所以 AB∥DC，AD∥BC． 所以四边形 AEFP，四边形 BHGQ 都是平行四边形， 所以 AP＝EF，GH＝BQ． 又因为 CH⊥EF． 所以 AP⊥BQ． 所以∠QAT＋∠AQT＝90°． 因为四边形 ABCD 是矩形， 所以∠DAB＝∠D＝90°， 所以∠DAP＋∠DPA＝90°， 所以∠AQT＝∠DPA． 所以△PDA∽△QAB． 所以 AP ＝ AD ，
A
P
B
C
E
D
3．如图，在正方形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，且不与 A，D 重合．BP 的垂直平分线分别 交 CD，AB 于 E，F 两点，垂足为 Q，过点 E 作 EH⊥AB 于点 H．EH 与 BP 交于点 M．求证：HF＝AP．
BQ AB 所以 EF ＝ AD ．
GH AB
D
PF
C
G
Q
T
H
A
E
B
（2）因为 EF⊥GH，AM⊥BN．
4
所以由（1）中的结论可得 EF ＝ AD ， BN ＝ AD ． GH AB AM AB
所以 BN ＝ EF ＝ 11 ． AM GH 15
（3）如图 5．过点 D 作平行于 AB 的直线，交过点 A 且平行于 BC 的直线于点 P，交 BC 的延长线于点 S．
因为四边形 ABCD 和四边形 CEFG 是正方形， 根据“弦图模型”可得△ECD ≌△FEH，所以 FH ＝ED＝AD－AE＝3，EH＝ CD＝4． 因为 CDHK 为矩形，所以 HK＝CD＝4，CK＝DH＝EH－ED＝1． 所以 FK＝ FH 十 HK＝7，BK＝BC＋CK＝．5．
所以 BF＝ FK 2 BK 2 ＝ 74
A D
G
H
F
E
B
C
2．外弦圈 如图，在正方形 ABCD 中，点 M，N，P，Q 在正方形 ABCD 边上，且 四边形 MUPQ 为正方形，则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． 证明 因为∠B＝∠QMN＝∠C＝90°， 所以∠BQM＋∠QMB＝∠QMB＋∠NMC＝90°， 所以∠BQM＝∠NMC． 又因为 QM ＝MN，所以△QBM≌△MCN． 同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ．
x2 y2 25
联立方程组
(5
x)2
(10
y)2
102
，
得
x 5 y0
（舍），或
x y
3 4
．
所以 AR＝5＋x＝8， 所以 DN ＝ AR ＝ 8 ＝ 4 ．
AM AB 10 5
R
D
S
C M
B
A
N
进阶训练 1．如图，在平面直角坐标系中，经过点 A 的双曲线，y＝ k （k＞0）同时经过点 B．且 x
EF AD 于点 G．H 求证： ＝
GH AB
（2）如图 2，在满足（1）的条件下，又 AM⊥BN，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，若 EF ＝ GH
11 BN
，则 ＝
．
15 AM
（3）如图 3，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝ CD－5，AM⊥DN，
3
DN 点 M，N 分别在边 BC，AB 上，求 的值．
A
P
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Q
N
BM
C
3．括展 （1）如图，在 Rt△ABH 中．∠ABH＝90°，BE⊥AH 于点 E．所以
△A BE≌△BHE≌△AHB． （2）如图，在 Rt △QBM 和 Rt△BLK 中，QB＝BL，QM⊥BK，所以 △QBM≌△BLK．
1
A
证明 因为∠BLK＝90°，QM⊥BK， 所以∠KBL＋∠QMB＝∠KBI 十∠K＝ 90° 所以∠QMB＝∠K， 又因为 QB＝ BL． 所以△QBM≌△BLK．
E
B
H
Q
K E
B
ML
例题讲解 例 1 四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在边 AD 所在的直线上，连结 CE，以 CE 为
边，作正方形 CEFG（点 D，F 在直线 CE 的同侧），连结 BF．当点 E 在线段 AD 上时，AE＝1， 求 BF 的长．
F
AE D G
B
C
解 如图，过点 F 作 FH ⊥AD 交 AD 的延长线于点 H， 延长 FH 交 BC 的延长线于点 K．
易证 AE＝BE，所以 AC＝EF，
1
1
所以 S△ACD＝ AC·EF＝ AC2＝4．5，
2
2
从而 AC＝3．
F
B
D
A
EC
例 3 某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探
究，提出下列问题，请你给出证明．
（1）如图 1，在矩形 ABCD 中，EF⊥CH，EF 分别交 AB，CD 于点 F，F，GH 分别交 AD，BC
专题 18《弦图模型》
破解策略 1．内弦图 如图，在正方形 ABCD 中，BF⊥CG，CG⊥DH，DH⊥AE，AE⊥BF，则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 证明 因为∠ABC＝∠BFC＝90° 所以∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB－90°． 所以∠ABE＝∠FCB． 又因为 AB＝BC．所以△ABE≌△BCF， 同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．
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AE
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D H G
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Βιβλιοθήκη Baidu
例 2 如图，△BCD 为等腰直角三角形，∠CBD＝90°，∠BAC＝ 45°，若 S△ACD＝4．5，求 AC 的长．
D B
A
C
解 如图，过点 B 作 BE⊥AC 于点 E，过点 D 作 DF⊥BF 交 EB 的延长线于点 F．
由“外弦图模型”可得△BFD≌△CEB，
所以 BF＝CE．
5
点 A 在点 B 的左侧，点 A 的横坐标为 2 ．∠AOB＝∠OBA＝45°，则 k＝__
__．
y
A
B
O
x
2．如图，巳知∠ABC＝90°，D 是直线 AB 上的点，AD＝BC．E 是直线 BC 上的一点，且 CE＝ BD．直线 AE，DC 相交于点 P，∠APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若 不是，请说明理由．
则四边形 ABSR 是平行四边形． 因为∠ABC＝90°， 所以四边形 ABSR 是矩形． 所以∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS． 因为 AM⊥DN． 所以由（1）中的结论可得 DN ＝ AR ．
AM AB 设 SC＝x，DS＝y，则 AR＝BS＝5＋x．RD＝10－y ， 所以在 Rt△CSD 中，x2＋y2＝25． 在 Rt△ARD 中．（5＋x）2＋（10－y）2＝100．
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M NB 图3
解 （1））如图 4．过点 A 作 AP∥EF．交 CD 于点 P，过点 B 作 BQ∥GH，交 AD 于点 Q． 因为四边形 ABCD 是矩形． 所以 AB∥DC，AD∥BC． 所以四边形 AEFP，四边形 BHGQ 都是平行四边形， 所以 AP＝EF，GH＝BQ． 又因为 CH⊥EF． 所以 AP⊥BQ． 所以∠QAT＋∠AQT＝90°． 因为四边形 ABCD 是矩形， 所以∠DAB＝∠D＝90°， 所以∠DAP＋∠DPA＝90°， 所以∠AQT＝∠DPA． 所以△PDA∽△QAB． 所以 AP ＝ AD ，
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3．如图，在正方形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，且不与 A，D 重合．BP 的垂直平分线分别 交 CD，AB 于 E，F 两点，垂足为 Q，过点 E 作 EH⊥AB 于点 H．EH 与 BP 交于点 M．求证：HF＝AP．
BQ AB 所以 EF ＝ AD ．
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（2）因为 EF⊥GH，AM⊥BN．
4
所以由（1）中的结论可得 EF ＝ AD ， BN ＝ AD ． GH AB AM AB
所以 BN ＝ EF ＝ 11 ． AM GH 15
（3）如图 5．过点 D 作平行于 AB 的直线，交过点 A 且平行于 BC 的直线于点 P，交 BC 的延长线于点 S．
因为四边形 ABCD 和四边形 CEFG 是正方形， 根据“弦图模型”可得△ECD ≌△FEH，所以 FH ＝ED＝AD－AE＝3，EH＝ CD＝4． 因为 CDHK 为矩形，所以 HK＝CD＝4，CK＝DH＝EH－ED＝1． 所以 FK＝ FH 十 HK＝7，BK＝BC＋CK＝．5．
所以 BF＝ FK 2 BK 2 ＝ 74
A D
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2．外弦圈 如图，在正方形 ABCD 中，点 M，N，P，Q 在正方形 ABCD 边上，且 四边形 MUPQ 为正方形，则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． 证明 因为∠B＝∠QMN＝∠C＝90°， 所以∠BQM＋∠QMB＝∠QMB＋∠NMC＝90°， 所以∠BQM＝∠NMC． 又因为 QM ＝MN，所以△QBM≌△MCN． 同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ．
x2 y2 25
联立方程组
(5
x)2
(10
y)2
102
，
得
x 5 y0
（舍），或
x y
3 4
．
所以 AR＝5＋x＝8， 所以 DN ＝ AR ＝ 8 ＝ 4 ．
AM AB 10 5
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进阶训练 1．如图，在平面直角坐标系中，经过点 A 的双曲线，y＝ k （k＞0）同时经过点 B．且 x
EF AD 于点 G．H 求证： ＝
GH AB
（2）如图 2，在满足（1）的条件下，又 AM⊥BN，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，若 EF ＝ GH
11 BN
，则 ＝
．
15 AM
（3）如图 3，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝ CD－5，AM⊥DN，
3
DN 点 M，N 分别在边 BC，AB 上，求 的值．
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3．括展 （1）如图，在 Rt△ABH 中．∠ABH＝90°，BE⊥AH 于点 E．所以
△A BE≌△BHE≌△AHB． （2）如图，在 Rt △QBM 和 Rt△BLK 中，QB＝BL，QM⊥BK，所以 △QBM≌△BLK．
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证明 因为∠BLK＝90°，QM⊥BK， 所以∠KBL＋∠QMB＝∠KBI 十∠K＝ 90° 所以∠QMB＝∠K， 又因为 QB＝ BL． 所以△QBM≌△BLK．
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例题讲解 例 1 四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在边 AD 所在的直线上，连结 CE，以 CE 为
边，作正方形 CEFG（点 D，F 在直线 CE 的同侧），连结 BF．当点 E 在线段 AD 上时，AE＝1， 求 BF 的长．
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AE D G
B
C
解 如图，过点 F 作 FH ⊥AD 交 AD 的延长线于点 H， 延长 FH 交 BC 的延长线于点 K．
易证 AE＝BE，所以 AC＝EF，
1
1
所以 S△ACD＝ AC·EF＝ AC2＝4．5，
2
2
从而 AC＝3．
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EC
例 3 某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探
究，提出下列问题，请你给出证明．
（1）如图 1，在矩形 ABCD 中，EF⊥CH，EF 分别交 AB，CD 于点 F，F，GH 分别交 AD，BC
专题 18《弦图模型》
破解策略 1．内弦图 如图，在正方形 ABCD 中，BF⊥CG，CG⊥DH，DH⊥AE，AE⊥BF，则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 证明 因为∠ABC＝∠BFC＝90° 所以∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB－90°． 所以∠ABE＝∠FCB． 又因为 AB＝BC．所以△ABE≌△BCF， 同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．
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Βιβλιοθήκη Baidu
例 2 如图，△BCD 为等腰直角三角形，∠CBD＝90°，∠BAC＝ 45°，若 S△ACD＝4．5，求 AC 的长．
D B
A
C
解 如图，过点 B 作 BE⊥AC 于点 E，过点 D 作 DF⊥BF 交 EB 的延长线于点 F．
由“外弦图模型”可得△BFD≌△CEB，
所以 BF＝CE．
5
点 A 在点 B 的左侧，点 A 的横坐标为 2 ．∠AOB＝∠OBA＝45°，则 k＝__
__．
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2．如图，巳知∠ABC＝90°，D 是直线 AB 上的点，AD＝BC．E 是直线 BC 上的一点，且 CE＝ BD．直线 AE，DC 相交于点 P，∠APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若 不是，请说明理由．
则四边形 ABSR 是平行四边形． 因为∠ABC＝90°， 所以四边形 ABSR 是矩形． 所以∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS． 因为 AM⊥DN． 所以由（1）中的结论可得 DN ＝ AR ．
AM AB 设 SC＝x，DS＝y，则 AR＝BS＝5＋x．RD＝10－y ， 所以在 Rt△CSD 中，x2＋y2＝25． 在 Rt△ARD 中．（5＋x）2＋（10－y）2＝100．